复习专题1--分段函数汇编
十年上海数学高考真题专题汇编-函数
【考点 1】函数的概念以及定义域，值域，零点以及反函数 一、函数基本概念：掌握求函数定义域、函数解析式、分段函数的求解等
函数定义：
1、对于两个变量 x, y ，若对于 x 范围内的每一个值，按照某个对应法则 f ， y 总有唯一一个值与之相对 应，那么我们称 y 是关于 x 的函数，记作： y = f (x) ；其中， x 的范围称为定义域，记作： D ； y 的范 围称为值域，记作： A ； f (x) 称为解析式； 2、函数图像与 x 轴的垂线至多有一个交点，但与 y 轴的垂线可能没有，也可能有多个交点； 3、函数的运算：两个函数 y = f (x), x D1, y = g(x), x D2 ，设 D = D1 D2 ，那么函数 f (x) + g(x) (x D) 称为 f (x) 与 g(x) 的和函数；函数 f (x) g(x), x D 称为 f (x) 与 g(x) 的积函数
四、数形结合去解决相应零点，周期性的问题：研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是 含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函 数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准 确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等. 函数中恒成立等问题：通过参数分离等转化成求函数最值问题解决，然后数形结合的方法去判断相应问
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》真题汇编及答案解析
新数学复习题《函数与导数》专题解析
一、选择题
1．已知函数()0,1ln ,1
x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞
B ．[)1,+∞
C ．[)0,1
D ．(]1,0-
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1
x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】
当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x
=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .
在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩
和()g x x k =-的图象如下图的所示：
利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤.
故选：A
【点睛】
本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.
2．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对称性即可求出答案．
【详解】
解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，
2016-2018年高考数学分类汇编：专题2函数 教师版
1、【2018全国2卷文3】函数 的图像大致为
【答案】B
【解析】判断 为奇函数，
2.【2018全国2卷文10】若 在 是减函数，则 的最大值是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ，根据其图象可知 的最大值为 .
3.【2018全国2卷文12】已知f(x)是定义域为（- ，+ ）的奇函数，满足f（1-x）=f(1+x),若f(l)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+···+f(50)=
即
由图象变换可画出 与 的图象如下：
由图可知，满足 的解为 .
10.【2017全国3卷文16】设函数 ，则满足 的 的取值范围是____.
【答案】
【解析】① 时， ，得 ；
② 时， 恒成立；
③ 时， 恒成立.
综上所述， .
11.【2018全国3卷文16】已知函数 ， ，则 ________．
【答案】
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 在 上是减函数所以A不对， 是周期函数B不对， 是减函数C正确， 不一定正确。
【2016北京卷理14】设函数
若a=0，则f（x）的最大值为____________________；
若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是_________________。
(专题精选)初中数学函数基础知识易错题汇编附答案解析
（专题精选）初中数学函数基础知识易错题汇编附答案解析
一、选择题
1．在函数3y x =-中，自变量x 的取值范围是( )
A ．3x <
B ．3x >
C ．3x ≥
D ．8,5OA OB ==u u u v u u u v
【答案】C 【解析】 【分析】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】 依题意，得x-3≥0， 解得x≥3． 故选C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质：二次根式的被开方数是非负数．
2．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E 为矩形ABCD 边AD 的中点，在矩形ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P 从点B 出发，沿着B ﹣E ﹣D 的路线匀速行进，到达点D ．设运动员P 的运动时间为t ，到监测点的距离为y ．现有y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（ ）
A ．监测点A
B ．监测点B
C ．监测点C
D ．监测点D
【答案】C 【解析】
试题解析：A 、由监测点A 监测P 时，函数值y 随t 的增大先减少再增大．故选项A 错误；
B 、由监测点B 监测P 时，函数值y 随t 的增大而增大，故选项B 错误；
C 、由监测点C 监测P 时，函数值y 随t 的增大先减小再增大，然后再减小，选项C 正确；
D 、由监测点D 监测P 时，函数值y 随t 的增大而减小，选项D 错误． 故选C ．
初中数学函数基础知识真题汇编及答案解析
初中数学函数基础知识真题汇编及答案解析
一、选择题
1．如图，点M 为▱ABCD 的边AB 上一动点，过点M 作直线l 垂直于AB ，且直线l 与▱ABCD 的另一边交于点N ．当点M 从A→B 匀速运动时，设点M 的运动时间为t ，△AMN 的面积为S ，能大致反映S 与t 函数关系的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
分析：本题需要分两种情况来进行计算得出函数解析式，即当点N 和点D 重合之前以及点M 和点B 重合之前，根据题意得出函数解析式．
详解：假设当∠A=45°时，2AB=4，则MN=t ，当0≤t≤2时，AM=MN=t ，则S=212
t ，为二次函数；当2≤t≤4时，S=t ，为一次函数，故选C ． 点睛：本题主要考查的就是函数图像的实际应用问题，属于中等难度题型．解答这个问题的关键就是得出函数关系式．
2．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点A 出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A 方向运动到点A 处停止．设点P 运动的路程为x ，△PAB 的面积为y ，如果y 与x 的函数图象如图2所示，则矩形ABCD 的面积为（ ）
A．24 B．40 C．56 D．60
【答案】A
【解析】
【分析】
由点P的运动路径可得△PAB面积的变化，根据图2得出AB、BC的长，进而求出矩形ABCD的面积即可得答案．
【详解】
∵点P在AB边运动时，△PAB的面积为0，在BC边运动时，△PAB的面积逐渐增大，
∴由图2可知：AB=4，BC=10-4=6，
∴矩形ABCD的面积为AB·BC=24，
暑假复习专题二_函数
高一数学暑期复习专题2（函数与映射）
函数的有关概念
1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．
例1集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )
A ．x y x f 21:=
→ B ．x y x f 31:=→ C ．x y x f 3
2:=→ D ．x y x f =→: 例2函数)(x f y =的图象与直线a x =的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个
D ．可能两个以上
2．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.
(5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
例3函数y ＝x ＋1＋x -1的定义域是
A ．（-1，1）
高考数学试题分类汇编——函数
2009年高考数学试题分类汇编——函数
一、选择题
1.(2009年广东卷文)若函数()y f x =是函数1x
y a a a =>≠（0，且）的反函数，且
(2)1f =，则()f x =
A ．x 2log
B ．x 21
C ．x 2
1log D ．22-x 【答案】A
【解析】函数1x
y a a a =>≠（0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即log 21a =,
所以,2a =,故2()log f x x =,选A.
2.(2009年广东卷文)函数x
e x x
f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞
【答案】D
【解析】()()(3)(3)(2)x x
x
f x x e x e
x e
'''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D
3.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( B )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点00(,)P x y ，则0
000ln 1,()y x a y x =+=+,又
0'01
|1x x y x a
==
=+
00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B 4.（2009全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( D )
(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数 解
上海高三数学应用题分类汇编(最新修改)
高三数学应用题汇编
<1>建立函数关系,确定定义域〔2〕求函数最值
一、函数〔二次函数,NIKE 函数,分段函数,三角函数〕
1、甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品〔生产条件要求110x ≤≤〕,每一小时可获
得的利润是310051x x ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭元.
<1> 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x 的取值范围；
<2> 要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.
<1> 生产该产品2小时的利润为3310051220051x x x x ⎛⎫⎛
⎫+-⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
由题意,3200513000x x ⎛
⎫+-≥ ⎪⎝
⎭,解得3x ≥或15x ≤-.
又110x ≤≤,所以310x ≤≤.
<2> 生产900千克该产品,所用的时间是
900
x
小时,获得的利润为239003110051900005110x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
+-⋅=-++≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，.
记231()5110f x x x x =-++≤≤，,则2
111()35612
f x x ⎛⎫
=--++ ⎪⎝⎭,当且仅当6x =时取到最
大值.
最大利润为61
9000045750012
⨯
=元. 因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润为457500元.
2、某企业参加A 项目生产的工人为1000人,平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要,从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润⎪⎭
2015年高考数学真题分类汇编：专题(02)函数(理科)及答案
专题二 函数
1.【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( ) A
．y = B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-
【答案】D
【解析】函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇
函数，故选D ．
【考点定位】函数的奇偶性．
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特征即定义域关于原点对称，否则即使满足定义，但是不具有奇偶性，属于基础题． 2.【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．x
e x y += B ．x x y 1+= C ．x x y 2
12+= D ．21x y += 【答案】A ．
【解析】记()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+，那么()()11f f -≠，
()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，依题可知B 、C 、D 依次是奇
函数、偶函数、偶函数，故选A ． 【考点定位】函数的奇偶性判断．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性判断和常见函数性质问题，但既不是奇函数，也不是偶函数的判断可能较不熟悉，容易无从下手，因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除，依题易知B 、C 、D 是奇偶函数，排除得出答案，属于容易题．
3.【2015高考湖北，理6】已知符号函数1,0,
sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
复习专题1--分段函数
复习专题1—分段函数专题
不务正业收集、整理、点评
知识点梳理
一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。 二、注意:
１、分段函数是一个函数,而不是几个函数； 2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集; ３、分段函数的值域是各段函数值的并集。 4、解决分段函数的方法：先分后合
三、涉及的内容及相应的常用方法:
１、求解析式: 利用分段中递推关系,如平移、周期、对称关系,已知其中一段的解析式,得到整个定义域的解析式； ２、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论; 3、单调性： 各段单调(如递增）+连接处不等关系。
（如()()()
12,(,],[,)f x x a f x f x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩在Ｒ上是增函数，则()()()()
1212(,)[,)f x a f x a f a f a ⎧-∞↑
⎪⎪+∞↑⎨⎪≤⎪⎩①在上②在上③）；
4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式,才有奇偶性，否则为非奇非偶函数;
5、图像性质或变换等: 作图、赋值等，注意变量的范围限制；
6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；
7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图；
例题讲解：
题型一、分段函数的图像。 １．作出函数()1y x x =+的图象 2. 函数ln |1|x
y e
x =--的图象大致是
（ D )
题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数(1)(0),
()(1)
(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性
高三二轮微专题复习的实践与体会——以“分段函数的取值范围问题”教学为例
．（答案：０＜ 犿 ＜１；０＜狓１狓２狓３狓４ ＜１）
设计意图 通过两个小题训练，抽象出本课
例 涉 及 的 三 个 主 要 内 容 ：“与 单 调 性 有 关 ”“与 零 点
有关”“与多元 最 值 有 关”等 问 题，发 现 它 们 均 需
借助函数的图象进 行 分 析 探 究 进 而 解 答，彰 显 了
（答 案 ：１ ２
≤犪
＜ １）
变 式 １１ 已 知 函 数 犳（狓） ＝
本文为江苏省教育科学“十三五”规划２０１８年度青年专项重点资助课题“基于学生数学学力发展的教学实践与校本课 程 开 发 研 究” （课题编号：Ｃａ／２０１８／０２／１７）、江苏省教育科学“十三五”规划２０１８年度教师发展研究专项立项课题“基于高中数学关键能力的视频 案 例 研 究 ”（课 题 编 号 ：Ｊｃ／２０１８／４６）的 研 究 成 果 ．
≤犪
＜
２） ３
wk.baidu.com
串 讲 １１ 已 知 函 数 犳（狓） ＝
｛－狓２ ＋２犪狓，狓
犪狓 ＋１， 狓
≤ １，若 ＞ １，
存
在狓１
，狓２
∈ 犚且狓１
≠
狓２，使犳（狓１）＝犳（狓２）成立，则实数犪 的取值范围
为 ．（答案：犪 ＜１或犪 ＞２）
串 讲 １２ 已 知 函 数 犳（狓） ＝
｛（３－犪）狓 －３，狓
2021-2023全国高考真题数学汇编：函数章节综合
2021-2023全国高考真题数学汇编
函数章节综合
()
++
21
f ()22
f
++)6=从而得到=的图像关于直线
()
y g x
()2
g x
=+
()
++
f
21
()(
++=−
22
f
()()()()
f f f f
++++++=−−−
2146221310
⎤⎡⎤
⎦⎣⎦
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
专题02 函数的概念与基本初等函数-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(通用)(原卷版)
专题02函数的概念与基本初等函数
I 考点三年考情（2022-2024）命题趋势
考点1：已知奇偶性求参数2023年全国Ⅱ卷
2023年全国乙卷（理）
2024年上海卷
2022年全国乙卷（文）
2023年全国甲卷（理）
从近三年高考命题来看，本节
是高考的一个重点，函数的单
调性、奇偶性、对称性、周期
性是高考的必考内容，重点关
注周期性、对称性、奇偶性结
合在一起，与函数图像、函数
零点和不等式相结合进行考
查．
考点2：函数图像的识别2022年天津卷
2023年天津卷
2024年全国甲卷（理）2024年全国Ⅰ卷
2022年全国乙卷（文）2022年全国甲卷（理）
考点3：函数模型及应用2022年北京卷2024年北京卷2023年全国Ⅰ卷
考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性2023年全国乙卷（理）2022年北京卷
2023年北京卷
2024年全国Ⅰ卷
2024年天津卷
2023年全国Ⅰ卷
考点5：分段函数问题2022年浙江卷2024年上海夏季
考点6：函数的定义域、值域、最值问题2022年北京卷2022年北京卷
考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用2023年全国Ⅰ卷2022年全国I卷2024年全国Ⅰ卷2022年全国II卷
考点8：指对幂运算2022年天津卷
2022年浙江卷
2024年全国甲卷（理）2023年北京卷
考点1：已知奇偶性求参数
1．
（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若()()21
ln 21
x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）．
A ．1
-B ．0
C ．1
2
D ．1
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知e ()e 1
(超级精品)2011届高考数学一轮复习精品题集分类汇编之函数(39页)
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.1 函数的概念和图象
重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f （x ）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解．
考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；
③了解简单的分段函数，并能简单应用；
经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域： （1）H （x ）=f （x2+1）；
（2）G （x ）=f （x+m ）+f （x －m ）（m ＞0）.
当堂练习：
1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A
．
(),()f x x g x ==
B
．
2
(),()f x x g x ==
C ．
2
1(),()1
1
x f x g x x x -=
=+- D
．()()f x g x =
=
2函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）
A ．必有一个
B ．1个或2个
C ．至多一个
D ．可能2个以上
3．已知函数1
()1f x x =
+，则函数[()]f f x 的定义域是（ ）
A ．
{}1x x ≠ B ．{}2x x ≠- C ．{}
1,2x
x ≠-- D ．
{}1,2x x ≠-
4．函数
1
()1(1)f x x x =
--的值域是（ ）
A ．5[,)4+∞
B ．5(,4-∞
C ． 4[,)3+∞
函数复习
【变式2】下列四组函数中，表示 同一函数的是( C ) A．y＝1与y＝ x
x
B．y＝2lgx与y＝lgx2
C．y＝|x|与y＝ x2
D．y＝x与y＝ x2
【解析】 A中，B中两函 数的定义域不同； D中两函数的对应法则 不同； 而C中两函数的定义域 和对应法则都相同，故 选C.
考点一：函数及其表示方法
函数复习
直击高考
考点 函数及其 表示方法
函数的性 质及运用
考纲解读 ①理解函数的有关概念及其表 示方法 ②会求一些常见函数的定义域
③会由f(x)的表达式求出f(ax ＋b)的表达式
④理解分段函数的概念 ①理解函数的单调性、奇偶性 的定义
②掌握增函数、减函数的图象 特征，并会判断一些简单函数 的单调性 ③掌握奇函数、偶函数的图象 特征，并会判断一个函数是奇 函数还是偶函数 ④综合运用函数的单调性、奇 偶性解决有关的数学问题
3x
1
则f(1)＝________.
则f(1)＝________.
考点一：函数及其表示方法
典例剖析
【例5】(2018年高考真题）
x2 1, x 0
5, x 0
【变式】f(x)=
x 1, x 0 f (x 2), x 0
则f(-3)=______.
考点一：函数及其表示方法
中考数学大一轮数学复习专题ppt课件：一次函数的应用
及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共 1200 只，这
两种节能灯的进价、售价如下表：
进价(元/只) 售价(元/只)
甲型
25
30
1
乙型
45
60
(1)如何进货，进货款恰好为 46000 元？
(2)如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的 30%，此时利
润为多少元？
2
3
1. (2014·上海)已知水银体温计的读数 y(℃)与水银柱的长度 x(cm)之间是一次函数关系．现有
一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银
柱的长度.
水银柱的 长度 x(cm)
4.2 … 8.2 9.8
体温计的 读数 y(℃)
35.0 … 40.0 42.0
3
中考大一轮复习讲义◆ 数学
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的速度相差____4____ km/h.
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复习专题1—分段函数专题
不务正业收集、整理、点评
知识点梳理
一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。 二、注意：
1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；
2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；
3、分段函数的值域是各段函数值的并集。
4、解决分段函数的方法：先分后合
三、涉及的内容及相应的常用方法：
1、求解析式： 利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系，已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；
2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论；
3、单调性： 各段单调（如递增）+连接处不等关系。
（如()()()12,(,],[,)
f x x a f x f x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩在R 上是增函数，则()()()()
1212(,)[,)f x a f x a f a f a ⎧-∞↑
⎪⎪
+∞↑⎨⎪≤⎪⎩①在上②在上③）；
4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式，才有奇偶性，否则为非奇非偶函数；
5、图像性质或变换等： 作图、赋值等，注意变量的范围限制；
6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；
7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图；
例题讲解：
题型一、分段函数的图像。 1.作出函数()1y x x =+的图象
2. 函数ln |1|x
y e
x =--的图象大致是 （ D ）
题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数(1)(0),
()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩
的奇偶性
2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2
0,()2 3.x f x x x
>=-+时求f(x)的解析式。
题型三、分段函数的最值
1、(2005上海高考题)对定义域分别是
,f
g
D D
的函数(),()y f x y g x ==.规定：
函数()(),,
()(),(),
f g
f g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ⎧∈∈⎪⎪
=∈∉⎨⎪
∈∉⎪⎩当且当且当且
（I ）若函数21
(),()1
f x
g x x x =
=-，写出函数()h x 的解析式； （II ）求问题（I ）中函数()h x 的值域；
题型四、与分段函数有关的不等式与方程 1、已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨
-<⎩
，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________
2、(2011年高考北京卷理科13)已知函数32
,
2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩
若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则
数k 的取值范围是_______
3、(2011年高考陕西卷理科11)设2
0lg ,0
()3,0
a x x f x x t dt x >⎧=⎨+⎰≤⎩，若((1))1f f =，则a =
题型五、分段函数创新题
1、定义运算⎩⎨
⎧>≤=*)
()(y x y
y x x
y x ，若,11-=*-m m m 则m 的取值范围是（ ）
A.21≥
m B. 1≥m C. 2
1
b a b b a b -≤⎧⊗=⎨
->⎩
设函数
()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是
（ ）
A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭
B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭
C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D. 总结：
1、分段函数是高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、
求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。
2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。
3、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解，然后取这些不等式（组）解集的并集。
4、研究分段函数的最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。
课后作业：
1、设f(x)= 12
32,2,
log (1),2,
x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f(x)>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）⋃ （10 ，+∞）(D)（1，2）
2、已知(3)4,1()log ,1a
a x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜
，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）
（A ）(1，+∞) （B ）(-∞,3) (C)[5
3
，3) (D)(1,3)
3、
4、设定义为R 的函数lg 1,1,()0,
1.x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩则关于x 的方程2
()()0f x bf x c ++=
有7个不同的实数解的充要条件是 （ ） 311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭