关于不定方程x 2+49 n=y 3的唯一整数解

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求不定方程的整数解(含答案)-

求不定方程整数解有三对夫妻一同上商店买东西.男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、•姓赵、姓尹。

他们每人只买一种商品，并且每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价(元数).现在知道每一个丈夫都比他的妻子多花63元,并且孙先生所买的商品比赵女士多23件,金先生所买的商品比李女士多11件,问孙先生、陈先生、金先生的爱人各是谁？例1．若b a ,都是正整数，且2001500143=+b a ，求b a +的值．(2001年北京市初中数学竞赛)例２设m 为正整数，且方程组⎩⎨⎧-==+17001113mx y y x ()()21 有整数解，求m 的值。

（“希望杯”数学竞赛试题）例３已知自然数y x ,满足789=+yx ，求y x +的值．（五羊杯数学竞赛试题）【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值．思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ． 5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根1.已知实数x,y,z 适合x+y=6,z 2=xy -9,则z 等于( )A.±1B.0C.1D.-12.方程组44,23.ab bc ac bc +=⎧⎨+=⎩的正整数解(a,b,c)的组数是( ) A.4 B.3 C.2 D.13.方程xy=x+y 的整数解有_____组.4.设x,y 都是正整数,且使,则y=+的最大值为________.5.求满足1116x y -=的所有正整数x,y.1.( )A.不存在B.仅有1组C.有2组D.至少有4组2.设a 、b 、c 为有理数,且等式则2a+999b+1 001c 的值是( )A.1 999B.2 000C.2 001D.2 0033.满足方程11x 2+2xy+9y 2+8x -12y+6=0的实数对(x,y)的个数等于_____.4.实数x,y 满足x ≥y ≥1和2x 2-xy -5x+y+4=0,则x+y=_________.5.a 、b 、c 都是正整数,且满足ab+bc=3 984,ac+bc=1 993,则abc•的最大值是______.6.象棋比赛共有奇数个选手参加,每位选手都同其他选手比赛一盘,记分办法是胜一盘得1分,平一盘各得0.5分,输一盘得0分,已知其中两名选手共得8分,其他人的平均分为整数,求参加此次比赛共有多少人?、。

一些特殊不定方程的整数解

第37卷第2期 (2021 年 3 月）福建师范大学学报（自然科学版）Journal of Fujian Normal University (Natural Science Edition)Vol. 37, No. 2Mar. 2021DOI：10. 12046/j. issn. 1000-5277. 2021. 02. 003 文章编号：1000-5277(2021)02-0018-08一些特殊不定方程的整数解高志贤，杨标桂(福建师范大学数学与信息学院，福建福州350117)摘要：通过引入平衡、余平衡、Lucas-balancing和Lucas-cobalancing数列，研冗其性质，再利用这些数列给出一些特殊不定方程的所有正整数解.关键词：不定方程；平衡数；余平衡数；Lucas-balancing数；Lucas-cobalancing数中图分类号：0156. 1文献标志码：AInteger Solutions of Some Special Diophantine EquationsGAO Zhixian, YANG Biaogui(College of Mathematics and Informatics ^Fujian formal University ^Fuzhou350117, China)Abstract：In this paper,balance,cobalancing,Lucas-balancing and Lucas-cobalancing sequence sequences are introduced to study their properties,and then all positive integer solutions of some special Diophantine equations are given by mean of these sequences.Key words ：Diophantine；balancing numbers；cobalancing numbers；Lucas-balancing and Lucas-cobalancing numbers1999年，Behera等1引入了平衡数（balancingnumber),即平衡数m(m e Z+)是不定方程1 +2 + *-* + (m-l) = (m+l) + (m + 2) +••• +(m +r)(1)的解，称r(r e N)为平衡数m所对应的平衡因子（balancer).例如平衡数1、6、35、204分别对应的平衡因子为0、2、14、84•由式（1)得m(m - 1)r(r + 1)----------------=mr + ---------------,225从而—(2m+ 1) + V8m2+ 1、r =-------------------2-----------------. 2对于n = 1，2,…，令' 表示第a i个平衡数.显然，由式（2)知圪是平衡数当且仅当+ 1是完全平方数.2005年，Panda等[2]通过修改式（1)，从而引入了余平衡数（cobalanicng numbe)，即余平衡数m(m e N)是不定方程12+••• +m =(m + 1) + (m + 2) + --- + (m+r)(3)的解，称e Z+)为余平衡数m所对应的余平衡因子（cobalancer).例如余平衡数0、2、14、84 分别对应的余平衡因子为1、6、35、204.由式（3)得m(m + 1)r(r+l)--------=mr + --------,22从而-（2/71 + 1) + \iSm2 + + 1..收稿日期：2020-09-15基金项目：国家自然科学基金资助项目（11761049)通信作者：杨标桂（1976-)，男，副教授，研究方向为几何学、数论.bgyang@ 163. com第2期高志贤，等：一些特殊不定方程的整数解19对于n = 1，2,…，令表示第n个余平衡因子.由式（4)知是余平衡数当且仅当V叫+ 86… + 1是完全平方数.由于V8# + 1和^b2n + 86… + 1都是完全平方数，那么+ 1和+ 86… + 1都是正整数.诸多学者从多方面研究平衡数和余平衡数的性质及应用[3_6].Panda等;_7_分别令 C… = + 1,c…= -J^bl + 8fe… + 1，其中 C…为第 n个 Lucas-halancing数，cn为第 n个Lucas-cobalancing 数，并给出了平衡、余平衡、Lucas-balancing和Lucas-cobalancing数列的二阶递推关系：=6B…_ A-丨，A= i，b2=:6，(5)h=:66… -bn-l42，bx= 0,b2=2，(6)c n+l:~ Cn-\, C, = 3, C2=17，(7)C n+i = 6c…~ C n-1，ci = 1，c2=7.(8)同时也给出了平衡和余平衡数列的非线性递推关系:B…+1 = 3Bn + J%B2… + 1 ,(9)= 36… + 78^ + 86… + 1+ 1.(10) Panda等进一步还研究了平衡数与Lucas-丨)alancing数、余平衡数与Lucas-cobalancing数之间的关系：C…tl =3C… + 8B…, (I Dcn+i = 3c…+ + 4_( 12)数列、IC…l和|c…l的比内公式分别为：a f-a f^(13)4V22(14)(15)(16)其中 a, = 1 + ，a: = 1 - •近年来，不定方程的研究有了新的进展，有学者对于不定方程的整数解提出了一些理论.K o-shy[8:研究不定方程-办2 = ±1和;c2 -办2 = &的整数解，具体见下面几个引理.引理1(1)设d是一个正整数且不是一个完全平方数，令（a，/8)为Pell方程V -办2 = 1的基础解，则它的全部解可由U…，y…)给出，(a + (3\[d)"+ (a -fi-Jd)"---------------------2---------------------，(a+/3^/d)n-(a-^J d)nJn 二-------------------------------------------’2-Jd其中（*i，) = (a，P )且灯彡2.(2)设cf是一个正整数且不是一个完全平方数，令（a，/3)为P ell方程;c2-办2 =- 1的基础解，则它的全部解可由（\，y…)给出，(a+p j d)2"-'+ (a-/3^/d)2"-'xn=------------------------------------，" 2(a+P^Jd)2"-'-(a~/3-Jd)2n-'2-Jdyn=20福建师范大学学报（自然科学版)2021 年其中（U i) = (a，0 )且《彡2.引理2 设r/是一个正整数且不是一个完全平方数，令（a ,y3 )为P e ll方程办2 = 1的基础解，（u,为不定方程x2 -办2 = A的一个解，那么（au.+奶?;）2 - + m;)2 = A：,则是不定方程的一个解.这个递推公式可以用来生成不定方程的无限多个解，这些解与«；)是相关联的且它们属于同一类解.实际上，不定方程W -办2 = A的基础解不止一个.下面的引理为不定方程-办2 = &的基础解 U,t；)限定了范围.引理3设^/是一个非平方的正整数，令（a，0 )为不定方程；c2 -办2 = 1的基础解，（u,〃）为不定方程d -dy2 =A；的基础解，其中A：> 0,则《，j;满足0 < I u I0 ^ v ^ /3k2(a+ 1)事实上，如果r f>〇, A >0,且d不是平方数，那么不定方程办2 =々的解仅有有限类，且所有类的基本解可以由引理3经过有限步求出，于是所有类所包含的全部解就是不定方程V -办2的全部解.若不定方程V-办2 =1没有解满足引理3,则不定方程x2-办2 = A无解.本文主要研究某些不定方程的正整数解是由一些特殊的整数序列给出的.首先引人平衡、余平衡、Lucas-halancing和Lucas-cobakndng数列并且研究其性质，再利用这些数列给出某些特殊不定方程的所有正整数解.1定理及证明考虑尤2 + ；y2 - ± 8 = 0，x2 + y2 - 34xy ± 288 = 0 和a：' + 36).- - 36;cy ± 288 = 0 等不定方程的正整数解都是由特殊的整数数列给出的.1.1以Lucas-ba丨ancing数列| C J为整数解的不定方程由引理1，得到如下结果：定理1设n身1，则P ell方程；c2-8/= 1的所有正整数解为（*, y) = (C…, S J.证明P e ll方程a:2 -8/ = 1的基础解为（a，/S )= (3，1)，由引理1(1)知P e ll方程x2 -8/ =1的全部正整数解可由（*，y)表出，其中(3 + 272 )" + (3 - 2V2 )"(1 + V2 )2" + (1 - V2 )2nX=-----------------------------------------------------------------------=---------------------------------------------------------------22(3 +2j2)n-(3- 2V2 )n(1 +72)2n - (1 - 72 )2ny-------------------------------=------------------------------•472 4V2又由数列1c…丨和丨fi…!的比内公式得(1+ V2 )2" + (1 -72)2n<+«2n^"=--------2--------=~T—=C"'(1 + 72 )2" - (1 - V2 )2"-a2ny=------------------------------=----------=B….4V2 4^2即定理得证.由定理1，可得到定理2、定理3.定理2设《 >丨，则不定方程-8/ + 16*y-9二0的所有正整数解为U,y) = (C…,B…+,).证明假设:t和y为不定方程P - 8/ + 16巧-9 = 0的正整数解.由于不定方程V - 8/ + 16y -9 = 0 等价于不定方程 9-t2 - 8(y - *)2 = 9，从而 9 丨（y -尤）2，即 3 丨（y - *).令 h = a:，u =第2期高志贤，等：一些特殊不定方程的整数解21^一，将;c = w和y = 3ti + u代人不定方程x2 - 8y2 + 16xy - 9 = 0中，可得it2 - 8(3ij + u)2 + 16«(3ii + u)- 9 = 0,整理得u由定理 1 知 u = C…，t; = B,,，即;《 = u = C…，y = 3d + u = + C… = 3B… + V賊 + 1=相反的，如果（*，y) = (C…，B…+1)，由定理1和式（9)得C2n- 8B^, + \6Cn Bn+l -9= C] -S(3Bn+C n)2+ 16C…(3B… + C…) - 9 =Cl -8(9B2…+C2n+6BnCn) + 48BnC… + l6C2n-9 =9C2n-12B\ - 9 =9{C l -SB]-1) = 0,即定理得证.定理3设^1& 1，则不定方程*2 + / -6巧+ 8 = 0的所有正整数解为U,y) = (C…, C…+1).证明假设i和y为不定方程V+y2-6；c y+ 8 = 0的正整数解.由于不定方程W+/-6町+8 = 0 等价于（x-y)2-4xy + 8=0,从而41 (;c-y)2,即21 (x-y)，从而*和y的奇偶性相同.接下来按x和y的奇偶性分为以下两种情况：情形1x和y都为奇数.因为*为奇数，即8 I(V- 1)，又由于不定方程％2+ /- 6xy + 8 = 0等价于（y- 3*)2-r一3尤8 (尤2 - 1) = 0，从而 64 1(y-3尤）2，即 81 (y-3x) •令 u=;c，i; = ^―-—，即 x u，y= 3u + 8f,O再将A： = a和;y = 3w + 8f代入不定方程尤2 + y2 - 6;cy + 8 = 0中得u2+ (3u+ 8t;)2-6u(3u+ Sv)+8=0,整理得u2-Sv2=1.由定理 1 知 “ =C...，I；二坟，即 X = u = ，y = 3u + % = 3C... + 8坎=C (1)相反的，如果h，y)= (Q,C…+1)，那么C〗+0+1 -6C人+1 +8=0,下面用数学归纳法证明此性质.当n = 1时显然成立.假设当n = m时此恒等式是成立的.当n=m+l时，由式（7)得Cm+1+ Cm+2~ 6C m+l Cm +2+ 8 =C>+ (6Cmtl - C J2 - 6Cm+1(6C m+1 - C J+ 8 =C, + ^ -6CmtlCm + 8-0.情形2 *和y都为偶数.令 * = 2;^，y = 2y,，将 x = 2；)：,和 y= 2y,代人不定方程 a:2 + y2 - 6xy + 8 = 0 中，整理得 x丨+;^- 6*,;^ + 2 = 0，显然;t,和；y,的奇偶性相同.若;c,和y,都为偶数，令;《：, = 2*2,y,二2y2，再将*, = 2j c2和= 2y2代人不定方程4Z _ 6;^;^ + 2 = 0中，整理得知丨+ 4y〖-24»:2y2+ 2 = 0,显然4 1 (44+4H-24:«:2；k2),但4乜，产生矛盾.同理，若〜和:^同为奇数也会产生类似的矛盾，因此x和 y不可能都为偶数，即此定理得证.由定理3,可得到定理4和定理5.定理4设》為1,则不定方程8V- /- 8 = 0的所有正整数解为（X，y)= (C…,8S…).证明假设*和y为不定方程8x2-y2-8=0的正整数解•令u=;c，i;=;k + 3：v，即•* = “，y = r - 3u，再将x=u和y=t;-3u代入不定方程8a:2 - y2 - 8 = 0中得8u* ~ (v —3u)2 — 8 = 0,整理得u2+ v2-6uv+ 8=0.由定理 3 知 “ =C…，t; = C…+，，即 x = u = C…，y = t； - 3u = C…+1 - 3C… = 8B…•22福建师范大学学报（自然科学版)2021 年相反的，如果（*，y) = (C…，8B J,由式（11)和定理3得%C2…-(8B J2-8 = 8C^ -(C…+1-3C…)2-8 = -(C^ + C^+1-6C…C…+1+ 8) = 0,即定理得证.定理5设n >2,则不定方程；c2+y2 -34巧'+ 288 = 0的所有正整数解为（x,y)=证明假设x和y为不定方程V +/ - 34巧+ 288 = 0的正整数解.由于不定方程*2+/-+288 = 0 等价于（x + y)2 - 36xy + 288 = 0,即36 1(x+y)2，从而 61 (文+y) •令u = —,•" "6，即尤=6w —r，y=v，再将尤=6u —p和），=f代人不定方程a;2 + y2 _ 34xy + 288 = 0中得(6w - z；)2 + i；2 - 34(6w - v)i; + 288 二0，整理得u2+ v2-6uv + 8=0.由定理 3 知u = C...，i; = C...+1，即x = 6u - r= 6C... - (：...+| = (：..._,，y二i; = C (1)相反的，如果（*，y) = (C…_,，C…+I)，由定理3和式（7)得C, +C, -34C…_,C…+, + 288 =C l, + (6C… - C…_,)2 - 34C….,(6C… - C…_,) + 288 =36C^_, + 36C^ - 216C…_,C… + 288 =36K -6C…_,C… + 8) = 0,即定理得证.由定理5和定理3,可得到如下结果.定理6设n & 1，则不定方程;c2 + 36y2 - 3知' + 288 = 0的所有正整数解为（*，y)= (6C…，C…+,).证明假设a:和；y是不定方程a：2 + 36y2 - 36xy + 288 = 0的正整数解.令u=;«-y，i;=y，即再将x=“+j;和y=t;代人不定方程x2 + 36y2 — 36巧+ 288 = 0中得(u+ v)2+36v2-36(u + v)v+ 288 = 0,整理得u2 + v~—3Auv + 288 = 0.由定理 5 知u = C..._,，r = C...+1，即x = w + t)= C..._, + C...+, = 6C...，y= i; = C (1)相反的，如果（;<:，y) = (6C…,C…+1)，由定理3得(6C…)2 + 36C, -36(6C J C…+1 + 288 = 36(C X丨-6C…C…+1 +8) = 0，即定理得证.1.2以Lucas-cobalancing数列| C…|为整数解的不定方程结合式（14)、（16)和引理1，得到如下结果：定理7设《 & 2,则不定方程*2 - 8/ - 8y - 1 = 0的所有正整数解为（*，y) = (c…,6…).证明不定方程*2-872-8；^-1=0等价于*2-2(27+1)2=-1.令“=；»:，1；= 27+1，从而得到Pel丨方程u2 - 2d2 二-1.P e ll方程的基础解为（《，0)= (1，1),由引理1(2)知P e ll方程的全部正整数解可由〇表出，其中(1+ V2 )2""' + (1 -V2 )2""*u =--------------------------,2 ，(1+V2 )2""' - (1 - V2 )2"-'v=---------------------------------------.i-fi同时，又由数列|c…丨和|6…|的比内公式得第2期高志贤，等：一些特殊不定方程的整数解23(1+72)2"-' + (1 -72)2n"(1+72)2n-' - (1 -72)2"-'--------------------------=262V2因此，A： = U = C…且y = ^ ，即定理得证.由定理7得到如下结果：定理8设y - a:三1(mod 3)且r a &1,则不定方程aT- 8广+ 16;cy + 8(；«- y) + 7= 0的所有正整数解为 U，y) = (c n,/»…+|)•证明假设和y为不定方程的x2 - 8；y2+ 16a:y+ 8(x- y)+ 7 = 0正整数解.令u= ：»：，u= -—---，即：《 = “，7 = “ + 31；+1，再将；》：= “和7 = « + 3|；+1代人不定方程；>：2-872 + 16町 + 8(X-y)+ 7 = 0 中得u'-8(u + 3i;+ I)2+ 16u(u + 3t)+ 1) +S[u-(u+3v+1)] + 7= 0,整理得u2- Sv2-8i>-1= 0.由定理 7 知 it = c…，i; = 6…，即 x = u = c… , y = “ + 3j;+ 1= cn+ 36n+ 1= 6n+1•相反的，如果U, y) = (c…，6…+,)，由定理7和式（10)得cl ~ ^b2n+l +16c…6…tl + 8(c… -bn+l)+ 7 =4_ 8(c…+ + l)2+ 16c…(c… + 36… + 1) + 8[c… _ (c… + 36… + 1) ] + 7 =9c2n-72b2n-72bn-9 = 9(c2…-8b2n-8bn-1) = 0,即定理得证.由引理2和引理3得到如下结果.定理9 设n 3= 1,则不定方程a:2 + y2 - 6*y - 8 = 0的所有正整数解为（a:,y) = (cn，c n+1).证明不定方程;c2+y2- 6xy- 8 = 0 等价于不定方程（3y-x)2 - 2( 2y)2= 8，令 u= 3y-x，t; = 2y显然P e ll方程u2 -2t;2= l的基础解为（3, 2).令〇,，d,)为不定方程u2 -2«;2=8的基础解.由引理3知，“丨和1)丨须满足不等式0<l u丨丨备4，0专&矣2，即-4矣U|矣4,0矣^^2，其中#0，从而基础解（U|,*;,)共有24种可能，其中只有这两种（±4, 2)是不定方程u2-2t;2=8的基础解.由于（-4, 2)不是正整数解，则与它相关联的同一类解都不是正整数，那么不定方程u2-2i;2 =8满足条件的基础解只有一对，即（U|，V|)= (4, 2)，从而此不定方程的所有正整数解是由基础解 (u,,%) = (4, 2)和与它相关联的同一类解构成的.由引理2知，与基础解（Ul,力）=(4, 2)相关联的同一类解（u,,可由下列表示：、2、'34、、丨、"34、h-'20、U2J、2 3,U丨)、2 3y w,14, "34、v厂3 4)〔20)016) U3^、2 \K v2 )、2 3八1七182 yp o-p4)卜、+ 4^.；U J b3J U…-i J+ 3l,…-ly乂+丨、，34)M ，3“… + VUn+1J、23J U J y2un + 2>v n,24福建师范大学学报（自然科学版)2021 年因此 u…+, = 3u… + 4n+l 二2u… + •下面利用数学归纳法证明！^+1 = 3c n+l~ C n和\+i =:2cn+1 *当n = 1时，有 u2 = 3c2 - c, = 20 和2c2 = 14,此时成立.假设当n = m- 1时，有=3c m-c和、=2c…x^ n = mU m+\=3um+ =3(3cm -'C m-1)■^4(2c J =\lcm-3c m_!=■I7cm-3(6cm -C m+1)=:3c m+1 - c m,V m+ l=2um+ 3vm=2(3cm -C m-\)-^3(2c J =12cm-2cm m-,=12cm~2(6c,n - C m+1)=2cm+l，从而不定方程^-2^=8的所有正整数解为（u,t；)= (3c…+1-c…，2c…+,)(n&l)，因此= c…+,,3A： = y l；-u = 3c…+1 - (3c…+1 - c…) = c… .相反的，如果（*，；>〇= ((；…,^)，那么£；〖+匕-6£：人+|-8= 0.下用数学归纳法证明此性质.当r a = 1时恒等式显然成立，假设当r a = m时恒等式成立，当n=m+l时，由式（8)得C m+1 + C m+2 ~ 6cm+lC m+2 ~ 8 ~C m+l + (6cm+l~ C m)2~6cm+l(6cm+l~ C m)" 8 =C l,+ C m+1_6cm C m+l -8=0,即定理得证.由定理9,可得到定理10和定理11.定理10 设n&1，则不定方程8*2 -y2 - 8y - 8 =0的所有正整数解为U，y)= (C…,86…).证明假设*和y为不定方程8*2- 8y- 8 = 0的正整数解.令u=A：,2；= 3^+y + 4,即* = u，y=t i-3u-4,再将;c=u和 — 4 代入不定方程 - y2 — 8y - 8 = 0 中得8u2—(v —3u — 4)" - 8(u — 3u — 4) —8=0,整理得u2+ v2-6uv -8=0.由定理9知“=(：…，1；二(；…+1，即;《= “=(；…，7=1；-37-4=«；…+1-3(；…-4= 86….相反的，如果 (*, y) = (C…，86J，由定理 9 和式（12)得84-（8/〇2-8(86…) -8 =8c^ _ (cn+i _ 3c… _ 4)： _ 8(c…+i - 3cn - 4) - 8 =~ (cn+i+ cl ~+i-8) = 0,即定理得证.定理11 设n & 2,则不定方程*2+ /- 34外-288 = 0的所有正整数解为（*,y) = (c…_,，c…+1) •证明假设尤和y为不定方程W+ /-34*y -288 = 0的正整数解.由于不定方程V + /-34#-288 = 0 等价于方程U+ y)2- 36外-288 = 0，即36 I(* + y)2，从而 6 丨（a： + y) •令《=——1；=7,即》=:6(/_11，7 = 1；，再将：*::：611-1；和7=1)代人不定方程：*2+72_34；«：7_288 =0中6得(6u - v)1+ v2- 34(6u - v)v - 288 = 0,整理得u2+ v2- 6uv -8=0.由定理 9 知a = c...，t; = c...+1，B P尤=6a —i;= 6c... - c...+1 = y = r = c (1)相反的，如果U，c…+1)，由定理9和式（8)得C l-\+ C l+\~ ^C n-\C n+\ ~288 =(6cn-c n+l)2 + c2n+l - 34(6cn - c…+1)c n+1 - 288 =第2期高志贤，等：一些特殊不定方程的整数解2536(4 + 4+1 - 丨- 8) = 〇，即定理得证.结合定理9和定理11，可得到如下结果.定理12假设n > 1，则不定方程;c2 + 36y2 - - 288 = 0的正整数解为（i，y)= (6c n，(:n+1).证明假设a:和y为不定方程;c2 + 36y2 - 36xy- 288 = 0的正整数解•令u=A：-y，i；=y,即尤= a +汐，y=汐，再将a；=w+i;和y=i;代人不定方程；c2 + 36y2 - 36xy - 288 = 0中得(u + v)2 + 36v2- 36(a + v)v- 288 = 0,整理得w, + iT - 34iu> - 288 = 0.由定理 11 知 u = c…_i，i; = c…+i，艮fU = u + i; = c…_i+ c…+i = 6c…，y = i; = c…+1 •相反的，如果（％,y) = (6c…, c…+1)，由定理9得(6c J2 + 36c^+1 -36(6c j c n+1- 288 =36(4 + g+1 - 6c…c n+1 -8) = 0，即定理得证.参考文献：[1] BEHERA A, PANDA G K. On the square roots of triangular numbers [ J]. Fibonacci Quarterly, 1999, 37 (2) ：98-105.[2] PANDA G K, RAY P K. Cobalancing numbers and cobalancers [ J]. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2005, 2005 (8)：1189-1200.[3] G〇ZRRI G K. On Pell, Pell-Lucas, and balancing numbers [J]. Journal of Inequalities and Applications, 2018, 2018(1): 1-16.[4] DASH K K, OTA R S, DASH S. Sequence t-balancing numbers [ J]. Int J Contemp Math Sciences, 2012, 7 (47)：2305-2310.[5 ] KARAATLI 0, KESKIN R. On some Diophantine equations related to square triangular and balancing numbers [ J ]. J Algebra Number Theory, Adv Appl, 2010, 4 (2)：71-89.[6] KESKIN R, KARAATLY 0. Some new properties of balancing numbers and square triangular numbers [ J]. Journal of Integer Sequences, 2012, 15 (1)：1-13.[7] PANDA G K, RAY P K. Some links of balancing and cobalancing numbers with Pell and associated Pell numbers [ J].Bulletin of the Institute of Mathematics, Academia Sinica (New Series) , 2011, 6 ( 1) ：41-72.[8] KOSHY T. Pell and Pell-Lucas numbers with applications [M].New York：Springer, 2014：31-55.(责任编辑：杨柳惠)。

不定方程的解法

基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。

所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。

古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。

不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。

1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。

2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。

古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。

Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。

今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。

他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。

丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。

研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。

②有解时决定解的个数。

③求出所有的解。

中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。

百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。

设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。

3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

4方程相关编辑本段4.1一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。

第十二讲：不定方程的整数解

上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲不定方程的整数解【例题】例1、求方程5x －9y =18整数解的通解.例2、求方程90226=+y x 非负整数解.例3、求方程213197=+y x 的所有正整数解.（练习：求方程2510737=+y x 的整数解）例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻且排在7617之前的一个数.例5、求方程 162852100=++z y x 的整数解.例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。

如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。

如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数.例7、求不定方程2196313029=++c b a 正整数解的组数.【练习】1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）① 4x ＋2y =11, ②10x -5y =70, ③9x +3y =111,④18x -9y =98, ⑤91x -13y =169, ⑥120x +121y =324.2、求方程5x +6y =100的正整数解.3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？（答案：最多答对12题）5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题”.（答案：⎪⎩⎪⎨⎧===75250z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===78184z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===81118z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===84412z y x ）上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲不定方程的整数解（教师用）我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。

例如方程32=+y x ，或方程组⎩⎨⎧=+-=-+235432z y x z y x ，它们的解都是不确定的。

与数列有关的不定方程的整数解问题初探

与数列有关的不定方程的整数解问题初探一、引言数列是我们在数学学科中常见的概念，而不定方程则是我们在初等数论和高等代数中学习的一个重要概念。

在实际应用中，数列和不定方程经常出现在一起，这篇文章将重点探讨与数列有关的不定方程的整数解问题。

二、数列与不定方程数列是按一定规律排列的数，也可称为序列。

数列在数学中的基本概念是不同的，它们可能是线性、比例、等差、等比数列等各种类型，但无论哪种类型，数列都可以用递推公式进行表达。

而不定方程则是一种带有未知数的方程，它通常的形式是$f(x,y)=0$，其中 $x$ 和 $y$ 都是未知数，每个 $x$ 和 $y$ 的取值都可以使该方程成立。

不定方程的解通常被称为整数解（或非负整数解、正整数解等）。

三、与数列有关的不定方程的整数解问题在实际应用中，我们有时需要求解与数列有关的不定方程的整数解问题，例如下面这个经典问题：【问题】求解正整数 $a$ 和 $b$，使得 $a^2-b^2=100$。

我们可以通过枚举发现 $a=11$，$b=9$ 或者 $a=50$，$b=48$ 都是方程的解。

但这种方法并不是很高效，特别是当方程的解特别多时，我们很难通过枚举的方式来找到所有的解。

对于这种问题，我们可以采用分析的方法。

对于上面的问题，我们不妨设$a+b=p$，$a-b=q$，其中$p$ 和$q$ 都是正整数。

不难发现，由于 $a$ 和 $b$ 都是正整数，所以 $p$ 和 $q$ 都大于 $1$。

将上面的式子代入原方程得：$$(\frac{p+q}{2})^2-(\frac{p-q}{2})^2=100$$这是一个关于 $p$ 和 $q$ 的不定方程，我们可以将它化简为：$$pq=50$$这时，我们可以列举 $50$ 的各个因数来确定 $p$ 和 $q$ 的值，从而得到 $a$ 和 $b$ 的值。

例如，当 $p=25$，$q=2$ 时，我们有：$$a=\frac{p+q}{2}=13,b=\frac{p-q}{2}=12$$当 $p=10$，$q=5$ 时，我们有：$$a=\frac{p+q}{2}=7,b=\frac{p-q}{2}=3$$通过这种方法，我们可以找到所有的解，而不必进行枚举。

不定方程

不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。

不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。

不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。

基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。

以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成为任意整数)。

定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。

若有解，可先求一个特解，从而写出通解。

当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。

15 二(多)元一次方程的整数解+佳颖录入

15 二（多）元一次方程的整数解两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天，窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船. ——杜甫《绝句》如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，那么称这样的方程（组）为不定方程（组）.例如，方程8646x y +=为二元一次不定方程，方程组10032180x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩是三元一次不定方程组.不定方程（组）的解一般是不确定的.一个不定方程总有无穷多组解，但若讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，则不定方程（组）的解有三种可能，有无数组解，或有限组解，或无解.例1 求方程269x y +=的整数解解观察方程，发现方程左边，不论x ，y 取何整数，2x +6y 是偶数，但方程的右边是9 ，为奇数.所以，不存在整数x ，y 便269x y +=.故此方程无整数解.说明例1告诉我们，二元一次不定方程并非都有整数解，当方程ax by c +=中整数a 与整数b 的最大公约数d （d ≥2）不是c 的因数时，此方程无整数解，如3x +12y =8无整数解.一般地，我们有结论：若整系数方程ax by c +=有整数解，则a 与b 的最大公约数d 整数c ；反之，若其最大公约数d 整除c ，则此方程一定有整数解.这样的解可以表示出来吗？例2 求方程254x y -=的全部整数解. 解法1 原方程化为452y x +=，即522yx =+. 显然，y 只能取偶数，如y 取…，－2，0，2，…等，则x 分别为…，－3，2，7，….容易得到这个不定方程的解：…，3,2,x y =-⎧⎨=-⎩2,0,x y =⎧⎨=⎩7,2,x y =⎧⎨=⎩…. 解法2 先由观察法，得72x y =⎧⎨=⎩是此方程的一组解（称其为特解）.为了求出全部整数解，设72x m y n =+⎧⎨=+⎩（m ，n 为整数）代入原方程，得()()22524m n +-+=，即52m n=，设比值为整数t ，得 722x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为整数）. 这就是方程254x y -=的全部整数解.恰似“两个黄鹂”x ，y “鸣翠柳”，“一行白鹭上青天”（x =7+5t ，y =2+2t ，y 为整数）说明请尝试总结出求整系数方程ax by c +=的全部整数解的一般步骤.例3 求不定方程753x y -=满足2030x y ≤+≤的整数解.基本思路先判断方程是否有整数解，此方程有整数解；其次寻求特解，如x =9，y =12，写出方程的全部整数解的表达式；利用2030x y ≤+≤，得t 的取值，从而求出符合题设要求的整数解.解因为（7，－5）=1，所以方程有整数解. 由题设知7323555x x y x -=-=+，取x =9，得y =12，即为方程753x y -=的一组解，所以，此方程的全部整数解为95127x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为任意整数）从而2112x y t +=+又因为2030x y ≤+≤，所以有20212030t ≤+≤，即191212t -≤≤，由于t 为整数，所以t =0，得x =9，y =12.故所求的整数解为912x y =⎧⎨=⎩.例4 求方程13415x y +=的正整数解.解观察方程，因为x ≥1，得13x ≥13；y ≥1，得4y ≥4，所以13+4y ≥13+4=17 ＞15.即不存在正整数x 、y ，使13x +4y =15成立.故此方程无正整数解.说明一般地，若方程ax by c +=中，a ＞0，b ＞0，a +b ＞c ，则这个方程无正整数解.你可以求出方程13x +4y =15的全部整数解吗？例5 求方程3x +5y =31的正整数解.基本思路先求出方程3x +5y =31的全部整数解7523x ky k=+⎧⎨=-⎩（k 为任意整数），从而得750230k k +⎧⎨-⎩＞＞，7253k -＜＜，于是有k =0或k =－1. 解因为（3，5）=1，所以方程有整数解. 由12103yx y -=-+知取y =2，得x =7，即72x y =⎧⎨=⎩为方程的一组解. 所以此方程的全部整数解为7523x ky k =+⎧⎨=-⎩（k 为整数），750k +＞，且230k -＞，得7253k -＜＜，所以整数k =－1或k =0.当k =－1时，x =2，y =5. 当k =0时，x =7，y =2. 故所求方程的正整数解为72x y =⎧⎨=⎩，25x y =⎧⎨=⎩.例6 一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区.他们出发后以每天17km 的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km 的速度返回.在出发后的第60天，考察队行进了24km 后回到出发点.试问：科学考察队在生态区考察了多少天？基本思路考察队x 天到生态区，考察了y 天，满足42x +25y =1499.由x ，y 为正整数及方程的全部解表达式，得t =1，从而得x 与y .解设考察队到生态区用了x 天，考察了y 天，则()1725601x x y =---，即42251499x y +=解得2536542x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为整数）由253065420t t -⎧⎨-⎩＞＞，解得3652542t ＜＜，所以t =1.于是2223x y =⎧⎨=⎩.答：科学考察队在生态区考察了23天.例7 如果三个既约真分数23，4a ，6b的分子都加上b ，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积.解由题意，我们有266346b a b b +++===，整理得 31164a b +=问题转化为求31164a b +=的正整数解. 由31164a b +=得64113b a -=，从而12143ba b +=--. 令b =2，得a =14，则这个不定方程有一组整数解142a b =⎧⎨=⎩，从而它的所有整数解为141123a kb k =+⎧⎨=-⎩（k 为任意整数）. 令a ＞0，b ＞0，得不等式组14110230k k +⎧⎨-⎩＞＞，解得142113k -＜＜，从而k =0或－1，因此，这个方程有两组正整数解 142a b =⎧⎨=⎩和35a b =⎧⎨=⎩，注意4a 与6b为既约真分数，所以a =3，b =5是它的唯一解.因此所求的积为235534612⨯⨯=.习题151.求方程41034x y +=的整数解.2.有一个两位数，加上54以后，十进位上的数字和个位上的数字恰好互换位置，求这个两位数.3.求方程537x y -=-的正整数解.4.求不定方程5316x y -=的最小正整数解5.小凯驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，一小时后看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数；再过一小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次看到见到的两位数字之间添加上一个0的三位数.问：这三块里程碑上的数各是多少？6.将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩只有正数解的a 与b 的概率为（）.A .112 B .29 C .518 D .1336（2009年全国初中数学竞赛题） 7.求方程()()135x y +-=的整数解的个数.8.一个箱子中装有若干蜘蛛与蟋蟀，每只蜘蛛8条腿，每只蟋蟀6条腿.已知箱内的蜘蛛和蟋蟀共有46条腿，问其中蜘蛛和蟋蟀各有多少只？9.一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩下一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，盒子里共有多少粒棋子？10.小明玩套圈游戏，套中小鸡得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次.小明套10次共得61分，问：小鸡被套中几次？11.（1）如图，现有19°的“模板”，请你设计一种办法，只有这个“模板”和铅笔在纸上现出1°的角来；（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？（3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？对于（2）、（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由. 答案习题151.方程化为2517x y +=，因2，5互素，所以方程有整数解，且1822yx y -=-+知取y =1，得x =6，从而方程的整数解为6512x ky k =+⎧⎨=-⎩，其中k 为任意整数.2.令两位数的十位上的数字为x ，个位上数字为y ，则由题设知105410x y y x ++=+，即6x y +=，且1≤x ≤9，1≤y ≤9，所以x =1，y =7，或x =2，y =8，或x =3，y =9，故所求两位数为17，28，39.3.原方程可化为()3125y x +=-+，所以当y =4时，x =1，即14x y =⎧⎨=⎩为原方程的一组整数解，因此，原方程的所有整数解为1345x ky k =-⎧⎨=-⎩（k 为任意整数）.再令x ＞0，y ＞0，即有不等式组130450k k -⎧⎨-⎩＞＞，解得13k ＜，所以当k 取0，－1，－2，…时原方程可得到无穷多组正整数解1345x ky k=-⎧⎨=-⎩（k =0，－1，－2，…）4.由2153x y x -=-+可知取x =2，y =－2，从而此方程的整数解为2325x k y k =+⎧⎨=-+⎩，其中k为任意整数，由2+3k ＞0，且－2+5k ＞0可得25k ＞，所以当k =1时，53x y =⎧⎨=⎩为不定方程5316x y -=的最小整数解.5.设第一个两位数的十位上的数字为x ，个位上的数字为y ，车速为a ，则第一个里程碑上的数为10x +y ，第二个里程碑上的数为10y +x ，第三个里程碑上的数为100x +y ，于是()10(10)11000101y x x y ax y y x a+-+=⨯⎧⎪⎨++-+=⨯⎪⎩，消去a ，得y =6x ，因为0＜x ≤9，0＜y ≤9，所以x =1得y =6.故这三块里程碑上的数字为16，61，106. 6.当2a －b =0时，方程组无解.当2a －b ≠0时，方程组的解为622232b x a ba y ab -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，由已知，得62022302b a b a a b -⎧⎪⎪-⎨-⎪⎪-⎩＞＞，即32⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2a-b ＞0a ＞b ＜3或20323a b a b -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＜＜＞，由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2,3,4,5,61,2a b =⎧⎨=⎩，共有5×2=10（种）情况，或14,5,6a b =⎧⎨=⎩共3种情况.又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36（种）情况，故所求的概率为1336.7.注意到5是素数只能分解成1×5或（－1）×（－5）由于|x |+1＞0，所以原方程可化为1135x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩①或1531x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩② 由①有08x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则①式的解为08x y =⎧⎨=⎩或08x y =⎧⎨=-⎩由②有44x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则②式的解为44x y =⎧⎨=⎩，44x y =-⎧⎨=⎩，44x y =-⎧⎨=-⎩，44x y =⎧⎨=-⎩综合①、②，原方程的整数解为08x y =⎧⎨=⎩，08x y =⎧⎨=-⎩44x y =⎧⎨=⎩，44x y =-⎧⎨=⎩，44x y =-⎧⎨=-⎩，44x y =⎧⎨=-⎩共6组.8.设蜘蛛x 只，蟋蟀y 只，由题意得8x +6y =46，4x +3y =23，且0＜y ≤5，0＜y ≤7.由()31233544y yx --==+得y －1为4的倍数，即y =1，5，得原方程的正整数解为25x y =⎧⎨=⎩，51x y =⎧⎨=⎩，故箱中有蜘蛛2只，蟋蟀5只或有蜘蛛5只，蟋蟀1只.注：或直接求出方程4x +3y =23的全部整数解5314x ky k=+⎧⎨=-⎩（k 为任意整数），然后再由0＜y ≤5，0＜y ≤7，求得整数k =0，k =－1.9.设盒子里共有x 粒棋子，则x 被2、3、4、6的最小公倍数12除时，余数也是1，即x =12a +1（a 为正整数）.又因为x =11b （b 为正整数），得12a +1=11b ，12111111a a b a ++==+，所以a +1是11的位数.因为0＜x ≤200， 0 ＜12a +1 ≤200 ，0＜a ≤71612，得a =10，从而12101121x =⨯+=，即盒子里共有121粒棋子.10.设套中小鸡x 次，套中猴子y 次，套中小狗z 次，则根据题意得9526110x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，消去z 得4173x y -=③，则③可以看出417x ＜，从而x 的值只能是1，2，3，4，5，将③写成21323xy x -=-+，由于y 是整数，所以2－x 必须是3的位数，只有2，5两个值满足这一要求，但x =2 时，y =9,z =－1不是正整数，在x =5时，y =2,z =3是本题的解，因此小鸡被套中5次.11.（1）在平面上取一点O ，过点O 画一条射线OB ，以19°模板顶点与O 重合，一边与射线 OB 重合，过另一边画射线OB 1，得∠BOB 1=19°，再在∠B 1OB 的外部画∠B 1OB 2=∠B 2OB 3=…=∠B 18OB 19=19°，则∠B 1OB 2+∠B 2OB 3+…+∠B 18OB 19=19°×19=361°，∠BOB 19就是1°的角.（2）利用17°角的模板，要画出1°的角，关键在于找到整数m 和n ，使得17×m －180×n =1，当535m n =⎧⎨=⎩时上式成立，所以可作，作法略.（3）若用21°的模板可以画出1°的角，则存在整数m，n，使21×m－180×n=1，此时3|21，3，180，而3/ ∣ 1，因此用21°角的模板与铅笔不能画出1°的角来.。

求不定方程整数解的常用方法

求不定方程整数解的常用方法摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.关键字：不定方程;整数解;整除性1引言不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法与技巧的积累与总结.不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能力、运算能力、解决问题能力的好材料.2不定方程的定义所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是有理数，整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系.下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结：3一般常用的求不定方程整数解的方法(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程025=-++y x x 的整数解解已知方程可化为 231232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此5,1,3,1,3,3,1,12---=--=+x x 即相应的.0,2,0,4=y所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解因为251)107,37(=,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解:18433,413337,33237107+⨯=+⨯=+⨯=从最后一个式子向上逆推得到19107)26(37=⨯+-⨯所以25)259(107)2526(37=⨯⨯+⨯-⨯则特解为⎩⎨⎧=⨯=-=⨯-=225259650252600y x 通解为Z t t t y t t x ∈⎩⎨⎧++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650或改写为.,3731078Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=--= (3)不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程1111=++zy x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解因为z y x ≥≥所以zy x 111≤≤ 所以zz z z y x z 1111111++≤++〈 即 zz 311≤〈 所以31≤〈z所以.32==z z 或当2=z 时有2111=+y x 所以y y y x y 11111+≤+〈 所以y y 2211≤〈 所以42≤〈y所以;46,43或相应地或===x y y当3=z 时有3211=+y x 所以yy y x y 11111+≤+〈 所以 y y 2321≤〈 所以.3;3,3==≤x y y 相应地所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x(4)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.有10737〈，用y 来表示x ，得 37412313710725y y y x +-+-=-=则令 12374,37412=-∈=+-m y Z m y 即由4<37,用m 来表示y ,得 49343712m m m y ++=+=令.4,4t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为 Z t t y t x ∈⎩⎨⎧=+--=,3731078 注①解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.②对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.⎩⎨⎧⎩⎨⎧∈-=+=∈+=-=)(,)(,0000Z t at y y bt x x Z t at y y bt x x 或 (5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.解原方程等价于0)28(5)1(331405314353=-+-⇔+=+⇔=+y x y x y x因为()15,3=所以⎩⎨⎧∈=-=-Z t t y t x ,32851 所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=-= (6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6 求方程32822=+y x 的正整数解.解显然y x ≠,不妨设0〉〉y x因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.令112,2v y x u y x =-=+则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且所以1111,v u y v u x -=+=代入原方程得1642121=+v u同理，令2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且于是，有822222=+v u 再令3223222,2v v u u v u =-=+得412323=+v u此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且 []641033=≤〈〈u v取,5,4,3,2,13=v 得相应的16,25,32,37,4023=u所以，只能是.4,533==v u从而2,18==y x结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7 求方程7111=+y x 的正整数解. 解显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7111=+y x 可化为717171=+++n m 整理得 ()()()().49,777777=++=+++mn n m n m 即所以49,1;7,7;1,49332211======n m n m n m相应地56,8;14,14;8,56332211======y x y x y x所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且bc a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.解由题意得⎩⎨⎧==++acb c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程()().0132622=-+-+a c a c 因为()().3520,01342622≤≤≥---=∆a a a 解得因,0≠a若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时;9311641⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时;912161416⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为.9316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=c b c b c b c b 或和或 (9)配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9 若.,24522的值求x y y x y x y x ++=++ 解由题意 045222=+-+-y y x x 即()021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 所以21,1==y x 所以23211=+=+x y y x (10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ⋅形式的式子，最后用韦达定理.例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p解设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤由根与系数关系得⎩⎨⎧=⋅-=+pq x x q p x x 51082121 因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数. 所以⎩⎨⎧==p q p q pq pq x q p q p x ,,5,5,,55,5,,,5,121 所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以,1081015q p p pq -〉〉+故此时无解.②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以()(),85810-=-⋅+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-〉+q p 所以,1,5885,1710⎩⎨⎧--=-=+q p 解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,157q p =满足条件的质数对. ④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,113q p =于是()()()().3,11,3,7,==q p q p 或综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或(11)整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()A.2个B.4个C.6个D.8个解当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数;当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组⎩⎨⎧+=-=kkx y x y 3的解，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=1413k k y k k x 因为x 、y 均为整数,所以1-k 只能取4,2,1±±±解得.3,5,1,3,0,2-=k综上，答案为C.(12)利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值. 解因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为()()(),25223229843222k k k k k k k x ++±+-=++±+-= 由原方程的根是有理根，所以()5222++k 必是完全平方式. 可设(),52222m k =++则(),52222=+-k m 即 ()(),512222⨯=--++k m k m因为m 、k 均是整数,所以⎩⎨⎧=--=++522122k m k m , ⎩⎨⎧=--=++122522k m k m ⎩⎨⎧-=---=++112522k m k m , ⎩⎨⎧-=---=++522122k m k m 解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.(13)判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=∆的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13 求方程431112=++xy y x 的整数解. 解已知方程可化为()044342=-+-xy y x因为x 、y 均为整数，所以,06448162≥+-=∆x x 且为完全平方数.于是，令(),464481622n x x =+-其中n 为正整数所以()04322=-+-n x x因为x 、n 均为整数所以(),04492≥--=∆n 且为完全平方数，即有，742-n 为完全平方数.于是，再令,7422m n =-其中m 为正整数所以()()722=-+m n m n因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -〉+22所以12,72=-=+m n m n由上.2=n相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或把3=x 代入已知方程中得(),522舍去或==y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x(14)因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为,⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解. 解已知方程可化为ab a b =-128所以()()9696812-=+-+b a ab即()()96128-=+-b a因为a 、b 都是正整数所以1212,0〉+〉b b这样964832241612或或或或=+b所以4=b 或12或20或36或84相应地2=a 或4或5或6或7所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,24小结本文只针对不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义;并且，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.不定方程（组）在人们的实际生活中有一定的现实意义和应用价值.正确解决这类问题的关键,是在把实际问题转化为数学问题后,依据问题中的条件，特别注意挖掘隐含的条件，使理论化与实际化相结合，灵活运用所学的数学知识，从而讨论出符合题意的解.本文对解决这类问题的方法做以总结，在解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活选用方法技巧，这对于学生的思维能力、分析问题、解决问题的能力的提高有很大的帮助.参考文献[1] 王云峰.判别式法[J].数学教学通讯,2011(07):14—16.[2] 濮安山.中学数学解题方法[M].黑龙江:哈尔滨师范大学出版社，2003年10月.[3] 王秀明.浅析不定方程的解法[J].数理化学习,2009(8）:22—25.[4] 黄一生.因式分解在解题中的应用[J].初中生之友，2011(Z):32—35.[5] 张东海，尹敬会.浅谈韦达定理在解题中的应用[J].中学数学教学参考，1994(5):22-23.[6] 范浙杨 .初中数学竞赛中整数解问题的求解方法[J].中学数学研究，2006(12):17-19.[7] 黄细把.求不定分式方程整数解的几种方法[J].数理化学习（初中版），2005（3）:27—31.[8] Grinelord.On a method of solving a class of Diophantineequations[M].Mathcomp.,32(1978):936-940[9] 陈志云.关于不定方程(组)的一些常用的初等解法[J].高等函数学报(自然科学版)，1997(2):14-29.[10] 敏志奇.不定方程的若干解法[J].(自然科学版)，1998(3):87-91.谢辞经过一点时间的查找资料、整理资料、写作论文，今天，我的论文已接近尾声，这也意味着我的大学生活即将拉上帷幕，此时此刻真的让我感慨万分.论文撰写过程的每一个细节都影响着整篇论文的质量，稍一疏忽变出差错，这使我联想到我们的做人处事又何尝不是如此，每一个标点符号对我的考验是千真万确的事,标点符号竟然有着如此重要的地位，我想标点符号大概与我们在日常生活中的每一个细节的决定、每一次不经意的言谈举止一样吧！虽然非常细微却同样举足轻重.当然，在这将要完结的时刻，我将送上我真诚的感谢.首先，我要感谢我的论文指导老师—高丽老师.从初稿的批阅到最后的完成自然都离不开高老师的悉心指导，大体上论文撰写过程中高老师的指导模式是这样的：学生写好—高老师逐一批改—高老师进行当面指导—学生改写一次高老师再批注、再指导，如此不厌其烦的进行指导.在这里我要感谢高老师的随和、平易近人带给我很多心灵上的启迪，我想这是我大学里最后的有意义的一课.我想多少年之后我依然会清晰地记着高老师的和蔼可亲.其次，我要感谢我的同学，你们不但给了我很多宝贵的意见，有时候会亲自帮我修改论文.尤其是在大家时间都这么紧的情况下，竟然有同学花费整天的时间帮助我，在这里，我想表达我的感谢.谢谢！非常感谢！除过这些良师益友，最后我要感谢那些学识渊博并愿意把他所拥有的知识发表于书刊、网站的编写者们，让我有机会了解那么多知识，让我在论文中有了自己的想法和研究，谢谢你们的启迪.再次送上我诚挚的感谢!。

西尔维斯特方程唯一解

西尔维斯特方程唯一解西尔维斯特方程，又称为线性同余方程，是指形如ax ≡ b (mod m)，其中a，b，m为已知整数，x为未知整数。

解这种方程可以用到数论中的非常重要的概念——同余。

同余指两个数除以同一个正整数后余数相同，即a ≡ b(mod n)表示a与b同余于模n，可以表示为n | (a-b)。

同余关系是一种等效关系，可以利用同余关系把无限集划分为有限的几个等价类。

因此，求解线性同余方程的唯一解就显得尤为重要。

本文将讲述关于西尔维斯特方程的求解方法。

首先需要明确的是，只有在gcd（a，m）= 1的情况下，方程ax≡ b(mod m) 才有解。

如果gcd（a，m）> 1，方程则称为不完全同余方程。

在这种情况下，如果b是gcd（a，m）的倍数，则方程有解，否则方程无解。

因此，我们将重点放在gcd（a，m）= 1的情况下的求解方法上。

1. 扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法求解的是ax + by = gcd（a，b）的最小非负整数解x和y。

在求解西尔维斯特方程时，我们可以利用扩展欧几里得算法求出gcd（a，m）= 1时的x0和y0，则ax0 + my0 = 1。

然后乘以b，得到bax0 + mby0 = b，即ax ≡ b(mod m)的一个特殊解。

接下来，利用模m的加减运算规则，可以得到通解为x ≡ x0b (mod m)。

2. 费马小定理当m是质数且a与m互质时，可以利用费马小定理求解。

费马小定理指的是，对于任意不是m的倍数的a，a^(m-1) ≡ 1(mod m)。

因此，ax ≡ b(mod m)可以化为a^(m-1)x ≡ b^(m-1)(mod m)，即a^(φ(m))x ≡ b^(φ(m)) (mod m)，其中φ(m)表示小于等于m且与m互质的正整数的个数。

因此，我们只需要求出φ(m)和b^(φ(m)) (mod m)，即可解出x。

这里需要注意，φ(m)的求解可以用欧拉定理φ(m) = m(1 - 1/p1)(1 - 1/p2)...(1-1/pk) 进行计算。

不等式关于整数解这类题

我们要解决一个关于整数解的不等式问题。

首先，我们要理解整数解的概念，并掌握如何解决这类问题的方法。

不等式是一种数学表达方式，表示两个数值之间的大小关系。

例如，2 < 3 是一个不等式，表示2小于3。

对于整数解，这意味着解必须是整数。

例如，x = 2 是方程 x^2 = 4 的一个解，因为2^2 = 4。

但x = 2.5并不是方程的解，因为2.5^2不等于4。

现在我们有一个不等式：x^2 - 3x + 2 > 0。

我们要找出这个不等式的所有整数解。

首先，我们要解这个不等式，然后找出所有满足条件的整数解。

方程的解为： [1, 2]
所以，不等式 x^2 - 3x + 2 > 0 的整数解为：[1, 2]。

求不定方程的整数解

求不定方程的整数解
不定方程的整数解是指在给定的方程中，寻找满足整数条件的解。一般来说，求解不定方程的整数解可以使用数学方法，如贝祖定理、模运算等。以下是一些常见的不定方程及其整数解的求解方法：
1. 一元一次方程：形如ax + by = c的一元一次方程，可以使用贝祖定理求解。贝祖定理告诉我们，如果a和b互质，那么方程有整数解。具体的求解方法是使用扩展欧几里得算法，找到满足ax + by = gcd(a, b)的整数解x和y。
3. 二元二次方程：形如ax^2 + bxy + cy^2 = d的二元二次方程，可以使用整数平方根的性质求解。首先，将方程转化为完全平方形式，即将方程两边同时乘以4ac，得到(2ax + by)^2 - (4ac - b^2)y^2 = 4acd - b^2y^2。然后，使用整数平方根的性质，找到满足该等式的整数解。
求不定方程的整数解
4. Diophantine方程：Diophantine方程是一类更一般的不定方程，形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为整数。求解Diophantine方程的整数解可以使用模运算和数学归纳法。具体的求解方法可以根据方程的特点和形式进行推导和求解。
需要注意的是，不定方程的整数解可能有多个或无解，具体的解个数和形式取决于方程的特点和系数的取值。在实际求解时，可以根据具体的方程形式选择合适的方法和工具进行求解。
求不定方程的整数解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 二元一次方程：形如ax + by = c的二元一次方程，可以使用扩展欧几里得算法求解。首先，使用欧几里得算法找到a和b的最大公约数d，如果c是d的倍数，那么方程有整数解。然后，使用扩展欧几里得算法找到满足ax + by = d的整数解x和y。最后，将x和y分别乘以 c/d，得到方程的整数解。

关于不定方程x 2+4 n=y 3

给出（式的解。２）若ｂ：１，则２ｎ：３一ｌ，有２口＋ｌ口。当ｎ＝０，显然不可能。当ｎ＝１，有ａ＝３Ｎ时＝１，即口：± ，由（式知Ｘ＝± 但这与Ｘ是奇数矛盾，以当ｎ＝１ｌ３）２，所时无解。当ｎ２时，由２＋ｌａ＝３有３：（ｄ）口三ｌｍｏ４，这显然不可能。所以当ｂ＝ｌ，无满足（式的整数解。时２）若ｂ：一ｌ，则有２ｎ：ｌ口，有２＋３：ｌ一３２ｎ口，所以有ｎ＝０ａ＝０，故Ｘ＝０，但这与Ｘ是奇数矛，盾。所以当ｂ＝一时，无满足（ｌ２）式的整数解。若ｂ：２，则有２＋４：３，有口三０ｍｏ２口（ｄ），由（知Ｘ三０ｍｏ）３）（ｄ，但这与Ｘ是奇数矛盾。２所以ｂ＝２时。无满足（２）式的整数解。若ｂ＝一，由（２４）式我们有２＋３＝４，显然此时仅有整数解（，）３０，１１当口，ａ＝（，）（，），ｌ ± （，）１），Ｘ＝±ｌ，而Ｙ＝５；（，）３０时，Ｘ＝０，，口：（，时有ｌ ±１ｌ从当，口＝（，）有ｌ这与Ｘ是奇数矛盾。以ｂ＝－所２时，给出（２）式仅有整数解（ ’） ± １，。ｙ，＝（ｌ，１１５）
第２卷第１０期
黄勇庆：关于不定方程＋４＝Ｙ
２７
（４）
２＝３ａｂ—ｂ＝ｂ３一ｂ）（ａ
由（式我们有易：± ，２２，２，４）ｌ， ± 其中ｔ ±± ∈Ｎ，ｔｎ。以下我们分别讨论易的取值情况所２ —ｌ

6年级奥数-不定方程

不定方程讲义讲义编号 LTJYsxsrl005学员编号：LTJY001 年级：六年级课时数：学员姓名: 辅导科目：数学学科教师：学科组长签名及日期教务长签名及日期课题一次不定方程（组）的整数解问题授课时间：备课时间：教学目标 1.理解不定方程（组）的含义2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法重点、难点重点：不定方程定理的理解难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用考点及考试要求不定方程（组）是数论中的一个重要课题教学内容【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理 3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤：（1）判断有无整数解；（2）求出一个特解；（3）写出通解；（4）有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法；（2）穷举法；（3）因式分解法；（4）配方法；（5）整数的整除性；（6）奇偶分析；（7）不等式分析；（8）乘法公式.【学法指导】【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ；（2）13105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ，观察得到⎩⎨⎧==1,1y x 是43=+y x 的一组整数解（特解），根据定理2 ，)(1,31是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ；（2）11145=-y x .【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=，由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来. 【实践】求方程2654731=+y 的正整数解.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x 答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉〈方法二〉特解：)(3116125165是整数通解：t ty t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x x y -∴-=答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和.【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 . 【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值. 【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=- 由题意可得，n≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数 .16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 .【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== .2,1,07181071804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t ty t x y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+ 〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-= 【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解，从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-= 又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-= 将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解.【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a .∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解. 答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1）小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2）若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数. 【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ，整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ，又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为n a . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值.【分析】审清题中n a 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为32=++z y x ，由于.10,0,0≤≤≥≥z y x 得当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y ）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y ）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组. 综上，3a =6.（2）当n=2001时，原方程为20012=++z y x ，由于.10000,0,0≤≤≥≥z y x 得当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y ）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y ）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，2001a =2+4+6+…+2002=1003002.【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题. 【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（） A. 一切偶数 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A 地到B 地用了4h ，而返程用了4小时40分，求AB 两地的距离.学生签名：签字日期：。

3.2 不定方程的常用解法

3．2 不定方程的常用解法对于高次不定方程，求出其通解然后再讨论有时是不现实的，因为我们甚至还没有找到判别一个高次不定方程是否有解的统一方法，当然要求出通解就更难了．或许正是因为没有统一的方法来处理高次不定方程，对具体的问题往往有许多方法来处理，并且每一种方法都表现出一定的创造性，所以，高次不定方程的问题频繁在数学竞赛中出现．当然，结合整除与同余的一些理论，求解高次不定方程也有一些常见的处理思路和解决办法．一、因式分解法将方程的一边变为常数，而含字母的一边可以进行因式分解，这样对常数进行素因数分解后，对比方程两边，考察各因式的每种取值情况就可将不定方程变为若干个方程组去求解．这就是因式分解法处理不定方程的基本思路．例1 求方程()101xy x y －＋＝ ① 的整数解．解：利用十字相乘，可将①变形为()()1010101x y －－＝而101为素数，故()1010x y －，－＝（1，101），（101，1），（－1，－101），（－101，－1）．分别求解，得方程的整数解为()x y ，＝（11，111），（111，11），（9，－91），（－91，9）．例2 是否存在整数x 、y 、z ，使得44422222222224x y z x y y z z x ＋＋＝＋＋＋？解：若存在整数x 、y 、z 满足条件，则()22222244424222x y y z z x x y z －＝＋＋－＋＋＝()()22222242224x yx y z z x y－＋＋＋－＋＝()2222224x y zxy －＋－＋＝()()22222222xy x y z xy x y z ＋＋－－－＋＝()()()()2222x y z z x y ＋－－－＝()()()()x y z x y z z x y y z x ＋＋＋－＋－＋－，这要求－24能表示为4个整数x y z ＋＋，x y z ＋－，z x y ＋－，y z x ＋－的乘积的形式，而这4个数中任意两个数之差都为偶数，故这4个数具有相同的奇偶性，由－24为偶数，知它们都是偶数，但这要求42|24，矛盾．所以，不存在符合要求的整数．说明熟悉海伦公式的读者可以一眼看穿问题的本质．事实上，ABC S ∆a 、b 、c 为△ABC的三边长，这就是海伦公式．根号里面的式子展开后就是222a b ＋222b c ＋222c a －4a －4b －4c ．例3 求所有的正整数对（m ，n ），使得5471mn n ＋＝－． ①解：将①移项后作因式分解，得()545433711m n n n n n n ＝＋＋＝＋＋－－＝()()()322111n n n n n n ＋＋－－＋＋＝()()3211n n n n －＋＋＋ ② 由①知n ＞1，而n ＝2时，可得m ＝2．下面考虑n ＞2的情形，我们先看②式右边两个式子的最大公因数．()()()()32322111111n n n n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋－＋＋＋－，＋＝()()()()22212123n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋＋＋＋－＋，＋＝()27n －＋，．故()3211|7n n n n －＋，＋＋．结合②式知31n n －＋与21n n ＋＋都是7的幂次，而它们在n ≥3时，都大于7，这导致 ()()2327|11n n n n －＋＋＋，与前所得矛盾．综上可知，只有（m ，n ）＝（2，2）符合要求．说明对①式变形后，所得②式两边符合因式分解方法解不定方程的套路，但7m并不是一个常数，这里需要有另外的方法来处理才能继续下去．活学活用方能攻城拔寨．二、配方法配方是代数变形中的常见方法，在处理不定方程的问题时还可综合利用完全平方数的特性，因此配方法在求解不定方程时大有用武之地．例4 求不定方程2234335x xy y －＋＝的全部整数解．解：对方程两边都乘以3，配方后即得()22325105x y y －＋＝． ①由①式得 25105y ≤，所以 4y ≤．当4y ＝时，325x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（1，4），（―1，―4）．当1y ＝时，3210x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（4，1），（―4，―1）．当023y ＝，，时，()232x y －分别为105，85，60 ．此时，所得的方程组显然无整数解．上面的讨论表明，原方程有4组解：（x ，y ）＝（4，1），（1，4），（―4，―1），（―1，―4）．例5 求方程2432x x y y y y ＋＝＋＋＋的整数解．解：同上例，对方程两边同乘以4，并对左边进行配方，得()()24322141x y y y y ＋＝＋＋＋＋． ①下面对①式右端进行估计．由于()43241y y y y ＋＋＋＋ ()222212y y y y ＝＋＋－＋ ()2222341y y y y ＝＋＋＋＋，从而，当y ＞2或y ＜－1时，有()()()2222222121y y x y y ＋＜＋＜＋＋．由于22y y ＋与22y y ＋＋1是两个连续的整数，它们的平方之间不会含有完全平方数，故上式不成立．因此只需考虑当－1≤y ≤2时方程的解，这是平凡的，容易得到原方程的全部整数解是（x ，y ）＝（0，－1），（－1，－1），（0，0）（－1，0），（－6，2），（5，2）．例6 求所有的正整数n ≥2，使得不定方程组22121222232322112211501612501612501612501612n nn n nn x x x x x x x x x x x xx x x x ⎧⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎩－－＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋有整数解．解：移项后配方，方程组变形为()()()()()()()()122122223221221850850850850n n n n x x x x x x n x x ⎧⎪⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎪⎩－－－＋－6＝， ①－＋－6＝， ②－＋－6＝，－＋－6＝．由于50表示为两个正整数的平方和只有两种：2222501755＝＋＝＋，所以，由①知261x －＝、5或7，而由②知281x －＝、5或7，从而21x ＝、7、13．进一步，可知对每个1≤i ≤n ，都有1i x ＝，7或13，依11x ＝、7、13 ，分三种情况讨论．若11x ＝，则由①知27x ＝，再由②知313x ＝，依次往下递推，可知当()1mod3k ≡时，1k x ＝；当()2mod3k ≡时，7k x ＝；当()0mod3k ≡时，13k x ＝．所以，由第n 式，知当且仅当()11mod3n ≡＋时，原方程组有整数解，即当且仅当3|n 时，n 符合要求．对另外两种情况17x ＝和113x ＝同样讨论，得到的条件是一样的．综上可知，满足条件的n 是所有3的倍数．说明进一步讨论可知，当3|n 时，方程组恰有3组整数解．三、不等式估计利用不等式的知识，先确定不定方程中的某个字母的范围，然后逐个枚举得到所有解，这个方法称为不等式估计，它也是我们处理不定方程的常见方法．当然，如果能够恰当地利用字母的对称性等，那么作不等式估计时会简洁很多．例7 求不定方程3361x y xy －＝＋的正整数解．解：设（x ，y ）为方程的正整数解，则x ＞y ．设x ＝y ＋d ，则d 为正整数，且()()3361y d y y d y ＋＋＝＋－22333dy yd d ＝＋＋，即有 ()()23313161d y d d y d －＋－＋＝．故 361d ＜，于是 3d ≤．分别令1d ＝、2、3代入，得222161y y ＋＋＝， 2510861y y ＋＋＝， 28242761y y ＋＋＝．只有第一个方程有整数解，并由y 为正整数知y ＝5，进而x ＝6．所以，原方程只有一组正整数解（x ，y ）＝（6，5）．例8 求所有的正整数a 、b ，使得22444aa b ＋＋＝． ①解：若（a ，b ）是满足①的正整数数对，则2b 为偶数，且24ab ＞，从而b 为偶数，且2ab ＞，故22ab ≥＋．于是()22244422a aa b ＋＋＝≥＋4a ＝＋4·2a ＋4，知22aa ≥，可得4a ≤（对a 归纳可证：当5a ≥时，有22aa ＜）．分别就a ＝1，2，3，4代入①式，可得方程的所有正整数解为（a ，b ）＝（2，6）或（4，18）．例9 求所有的正整数数组（a ，b ，c ，x ，y ，z ），使得a b c xyz x y z abc ⎧⎨⎩＋＋＝，＋＋＝，这里a b c ≥≥，x y z ≥≥．解：由对称性，我们只需考虑x a ≥的情形．这时 33xyz a b c a x ＝＋＋≤≤，故 3yz ≤，于是（y ，z ）＝（1，1），（2，1），（3，1）．当（y ，z ）＝（1，1）时，a b c x ＋＋＝且2x abc ＋＝，于是 2abc a b c ＝＋＋＋．若2c ≥，则2324a b c a a abc ＋＋＋≤＋≤≤，等号当且仅当2a b c ＝＝＝时成立．若1c ＝，则3ab a b ＝＋＋，即 ()()114a b －－＝，得（a ，b ）＝（5，2），（3，3）．当（y ，z ）＝（2，1）时，2266abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，与上述类似讨论可知c ＝1，进而()()212115a b －－＝，得（a ，b ）＝（3，2）．当（y ，z ）＝（3，1）时，331212abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，类似可知，此时无解．综上所述，可知（a ，b ，c ，x ，y ，z ）＝（2，2，2，6，1，1），（5，2，1，8，1，1），（3，3，1，7，1，1），（3，2，1，3，2，1），（6，1，1，2，2，2），（8，1，1，5，2，1），（7，1，1，3，3，1）．说明此题中如果没有条件a ≥b ≥c 和x ≥y ≥z ，也需要利用对称性作出这样的假设后再处理，解题中利用对称性假设x ≥a 是巧妙的，这样问题就转化为只有3种情况而便于处理了．四、同余方法若不定方程()120n F x x x ，，…，＝有整数解，则对任意的*m N ∈，其整数解（1x ，2x ，…，n x ）均满足()()120mod n F x x x m ≡，，…，．运用这一条件，同余可以作为不定方程是否有整数解的一块试金石．例10 证明：不定方程22386x y z ＋－＝ ①没有整数解．证明若（x ，y ，z ）是方程①的整数解，对①的两边模2，可知x 、y 同奇偶；再对①两边模4可知x 、y 都为奇数，于是()221mod8x y ≡≡，这要求6()22382mod8x y z ≡＝＋－，矛盾．故方程①没有整数解．说明利用同余方法解不定方程问题时，选择恰当的数作为模是十分重要的，它不仅涉及问题解决的繁简程度，重要的是能否卡住字母的范围或导出矛盾．例11 求所有的非负整数x 、y 、z ，使得223xyz ＋＝． ①解：（1）当y ＝0时，有()()22111xz z z ＝－＝－＋，于是可设 2z α－1＝，2z β＋1＝，0αβ≤≤，因此 222βα－＝．此时，若2α≥，则4|22βα－，与42矛盾，故1α≤．而0α＝导致23β＝，矛盾，故1α＝，2β＝，所以 z ＝3，x ＝3，得（x ，y ，z ）＝（3，0，3）（2）当y ＞0时，由于323xy＋，故3z ，所以 ()21mod3z ≡．对①两边模3，知()()11mod3x≡－，故x 为偶数，现在设x ＝2m ，则 ()()223mmyz z －＋＝，所以可设 23mz α－＝，23m z β＋＝，0αβ≤≤，y αβ＋＝，于是 1332m βα＋－＝，若α≥1，则3|33βα－，但132m ＋，矛盾，故α＝0，因此1312m β＋－＝．当m ＝0时，β＝1，得（x ，y ，z ）＝（0，1，2）；当m ＞0时，()120mod4m ＋＝，故 ()31mod4β＝，这要求β位偶数，设β＝2n ，则()()122313131m n n n ＋＝－＝－＋，同y ＝0时的讨论，可知 312n－＝，即n ＝1，进而m ＝2，得（x ，y ，z ）＝（4，2，5）．所以（x ，y ，z ）＝（3，0，3），（0，1，2），（4，2，5）．例12 设m 、n 为正整数，且n ＞1，求25m n －的最小值．解：由于25m n －为奇数，而m ＝7，n ＝3时，253m n －＝，故若能证明n ＞1时，251m n －≠，则所求的最小值为3．若存在正整数m 、n ，使得n ＞1，且251m n －＝，则251m n －＝或251m n－＝－．如果251mn－＝，那么m ≥3，两边模8，要求()57mod8n ≡，但对任意正整数n ，51n≡或()5mod8，矛盾，故251mn－＝不成立．如果251m n－＝－，那么由n ＞1，知m ≥3．两边模8，得 ()51mod8n≡，可知n 为偶数．设n ＝2x ，x 为正整数，则 ()()25151m x x ＝－＋，由于51x－与51x＋是两个相邻偶数，这要求512x －＝，514x＋＝，不可能．所以，25mn－的最小值为3．说明上面的两个例子都用到了一个结论：两个差为2的正整数之积为2的幂次，则这两个数只能为2和4．该结论在例11的前半段解答中已予以证明．五、构造法有些不定方程的问题只需证明该方程有解或有无穷多个解，这时经常采用构造法来处理．例13 证明：方程253x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．证明取15102k x ＋＝，642k y ＋＝，1072k z ＋＝，k 为非负整数，则这样的x 、y 、z 满足253x y z ＋＝，所以方程有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．另证先求方程的一组特解，易知x ＝10，y ＝3，z ＝7 是方程253x y z ＋＝的一组解．因而1510k x a ＝，63k y a ＝，107k z a ＝（a ，k 为非负整数）是方程的解．例14 证明：对任意整数n ，方程222x y z n ＋－＝ ①证明现有命题“当m 为奇数或4的倍数时，方程22a b m －＝有整数解（a ，b ）”，它对解决本题是有用的．这个命题基于下面2个恒等式：()22121k k k ＋－＝＋，()()2214k k k ＋－－1＝．对于方程①，只需取x ，使x 与n 的奇偶性相反（这样的x 有无穷多个），从而利用上述命题，方程 222y z n x －＝－有整数解，可知方程①有无穷多组整数解．例15 是否存在两两不同的正整数m 、n 、p 、q ，使得m n p q ＋＝＋2012都成立？解：存在满足条件的正整数．由方程的结构，我们寻找形如2m a ＝，3n b ＝，2p c ＝，3q d ＝的正整数．这里a 、b 、c 、d 为正整数．此时，条件转化为2012a b c d ＋＝＋＞，2323a b c d ＋＝＋，即 a c d b －＝－，()()()()22a c a c d b d bd b －＋＝－＋＋．令1d b －＝，即1b d ＝－，且使2012b ＞，则b 、d 的奇偶性不同，现令2212b bd d a ＋＋＋＝，2212b bd dc ＋＋－＝，那么a 、c 为正整数，且由a 、b 、c 、d 确定的m 、n 、p 、q 满足条件．例16 证明：存在无穷多组正整数组()x y z ，，，使得x 、y 、z 两两不同，并且 33xx y z ＝＋．证明一个想法是：将x 取为3k ＋1形式的数，这时()3131k x x k ＋＝＋()()33131kk k ＝＋＋ ()()3333131k kk k k ＝＋＋＋因此，如果使3k 为一个完全立方数，那么符合要求的正整数x 、y 、z 就找到了．为此，令323m k ＋＝，这里m 为正整数，那么令31x k ＝＋，()1331km x k ＋＝＋，()31kz k ＝＋，则x 、y 、z 两两不同，且满足33xx y z ＝＋．命题获证．说明如果不要求x 、y 、z 两两不同，我们还可以这样来构造：取2m y z ＝＝，2x α＝，则当231m αα•＝＋时，就有33xx y z ＝＋．容易看出满足231m αα•＝＋的正整数对()m α，有无穷多对．。

不定方程的整数解问题及其方法简介(含答案)

专题三：不定方程的整数解问题所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。

在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。

【基础知识】1．不定方程整数解的常见类型：（1）求不定方程的整数解；（2）判定不定方程是否有整数解；（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程整数解问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；（2）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；（4）枚举法：列举出所有可能的情况；（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（6）无穷递推法。

【典型例题分析】一、代数恒等变形1、因式分解法【例1】已知,x y 都是整数，且满足22()xy x y +=+，求22x y +的最大值.分析：由22()xy x y +=+，得(2)(2)2x y --=因为(2),(2)x y --都是整数，所以2221x y -=⎧⎨-=⎩，或2122x y -=⎧⎨-=⎩，或2221x y -=-⎧⎨-=-⎩，或2122x y -=-⎧⎨-=-⎩ 解得43x y =⎧⎨=⎩，或34x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或10x y =⎧⎨=⎩ 故22x y +的最大值为25注：一般地，整系数,,,a b c d 的二次方程0axy bx cy d +++=，可变形为：20a xy abx acy ad +++=分解，得 ()()ax c ay b bc ad ++=-.求整数解时，只需把整数()bc ad -分解成两个整数的积，转化为解几个方程组#ax c ay b +=∆⎧⎨+=⎩，（这#bc ad ∆⨯=-）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。

浅谈不定方程整数解的求解方法

浅谈不定方程整数解的求解方法摘要：不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容,所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组.古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一.不定方程解的范围可以是有理数域，整数环，或某一代数域上的代数整数环，本文讨论的是不定方程的整数解的求解方法.) .对于一般的不定方程(组)，除个别情况外，没有统一的解法，因此必须就所给的不定方程(组)的具体形式进行分析，以便确定解题方向.本文具体的从二元一次不定方程，三元一次不定方程，二次不定方程，三次不定方程的求整数解的方法进行探讨并举例说明不定方程的整数解的方法二元一次不定方程整数解的求解方法怎么判断整系数方程有无整数解.用定理1来判断。

定理1 若整系数方程（）有整数解，则必有，反之若，则整系数（）有整数解.其中表示的最大公约数；表示整除c。

若整系数方程有整数解,怎么求出它的整数解时就用以下方法来求解。

1通法：若整系数方程（）满足，，且，是它的一个特解，则方程（）的所有整数解（通解）可以表示为2观察法在二元一次不定方程中，当系数a、b以及c的绝对值比较小时，可以用观察法求它的一个特解，从而得到其通解。

例1.求二元一次不定方程2x + 5y=45的一切整数解。

解:因为(2|5)=1，得(2,5) |45，所以原方程有整数解又因为5|45，所以得到方程的一个特解为并且， .故原方程的一切整数解为:3辗转相除法两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。

辗转相除法基于原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。

由辗转相除法也可以得出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，这个重要的等式叫贝祖等式。

例2.求方程的一切整数解。

一元二次方程的整数整数解(含答案)-

竞赛辅导一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值．思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0；(2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。

关于不定方程x 2+4096=y 3的解

贝（６ｉ一４）２且４Ｉ＋４＋６ｉ＝ｘ
Ｉ６ｉ戈＋６ｉ２ｉ（４一＋４）＝１８。
由于（ｏ）故ｆｘ１８）２则为三１ｒｄ，（，ｉ＝，ｏ２２２
１，，１＋２。
项目（１Ｋ０８、１ＹＺ１）陕西省基础数学重点学科项目资助作者简介：文吉（９８），关１７一女陕西大荔人，南师范学院数学与渭信息科学学院讲师，学硕士。Ｅｍｉｇａｗｎ一０３ｙｏ．理 — ａ：ｕｎｅｊ２０＠ａｏｌｉｈ
文献标志码
Ａ
关于丢番图方程＋１＝ＤｚＤ＞０且不含平ｙ（
（１，） ± １３。廖江东利用代数数论的方法证明了
不定方程＋１６＝Ｙ无整数解。对于不定方程式
方因子）是一类基本而又重要的方程。当Ｄ无６，
第１１卷第３５期２１年１０１２月
１７ — １１ｆ０１３－８００６１８５２１）５８３－２
科
学
技
术
与
工
程
Ｖ０．１Ｎ．５Ｄｅ０１１１ｏ３ｅ．２１
ＳｉｎｅＴｃｎｌｇｎｇｎｅｎｃｅｃｅｈｏｏｙａｄＥｎｉｅｒｇｉ
３５期
关文吉：关于不定方程＋９的解４０６＝
８３８１
因此６，因为Ｚ［］唯一分解整环，＝ｌ又ｉ是由引
理知：