第6讲 方差分析-正交分析-1
正交试验方差分析
1（50） 1（6.5） 1（2.0） 1 1 2 2 2（7.0） 2（2.4） 3（7.5） 3（2.8 2 3 1 3 2 3
2（55） 1
3（58） 1
8பைடு நூலகம்
9 K1j
3
3 15.76
2
3 25.18
1
2 22.65
3
1 20.74
10.9
8.95
T 65.58
K2j
K3j K1j2 K2j2 K3j2
n
对上式做如下变换
SST ( X ij X ) 2 ( X ij X i. X i. X ) 2
i 1 j 1 i 1 j 1
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2 (X ij X i. )( X i. X )
各式的物理意义
X
所有数据的平均值称为总平均 值 第i个水平的数据平均值称为组平均值 随机误差，又称为组内离差平方和
X i.
SSE 表示每一个数据与其组平均值的离差平方和，反映了实验中的
SS A
表示组平均值与总的平均值得离差平方和，反映了由于因素不同水平引 起的差异又称为组间离差平方和
再稍做整理
X 总和 2 2 SST ( X ij X ) ( X ij ) N i 1 j 1 i 1 j 1 X 总和 校正项CF N
2 2 i 1 j 1 r n i 1 j 1 r n i 1 j 1
r
n
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2
2 i 1 j 1 i 1 j 1
第6章-正交试验设计结果的方差分析
（4）计算F值
• 各均方除以误差的均方，例如：
FABiblioteka VA Ve或FA
VA V e
FAB
VAB Ve
或
FAB
VAB Ve
（5）显著性检验
• 例如： • 若 FAF(fA,f，e)则因素A对试验结果有显著影
响 • 若 F A BF (fA B,fe，)则交互作用A×B对试验结
果有显著影响
（6）列方差分析表
设：
QT
n
x
2 i
i1
n
T xi i1
②各因素引起的离差平方和
• 第j列所引起的离差平方和 ：
Sj
1( m r p1
Kp2j
)T2 n
k
ST S j Se j 1
③交互作用的离差平方和
• 若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于 所在列的离差平方和
• 若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占 多列离差平方和之和，
• 例：3时
S S S AB （ AB ） 1 （ AB ） 2
④试验误差的离差平方和
• 方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空 列，即误差列
• 误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和 之和 ：
Se S空列
（2）计算自由度
①总自由度 ：＝n－1 ②任一列离差平方和对应的自由度 ：
＝m－1 ③交互作用的自由度 ：（以A×B为例） ×B＝ × ×B＝(m－1 ) 若m ＝ 2， ×B＝ 若m ＝ 3， ×B＝ 2 ＋ ④误差的自由度：
• 方差分析的基本步骤如下： • (1)计算离差平方和 • (2)计算自由度 • (3)计算平均离差平方和(均方) • (4)计算F 值 • (5)显著性检验
5第六章方差分析
练习
• 以小鼠研究正常肝核糖核酸（RNA）对癌细 胞的生物学作用，试验分为对照组（生理 盐水）、水层 RNA组和酚层RNA组，分别用 此三种不同处理诱导肝细胞的FDP酶活力， 得数据如下。该三组资料均服从正态分布， 试比较三组均数有无差别?
ex_36.sas
表 6.1 对照组
2.79 2.69 3.11 3.47 1.77 2.44 2.83 2.52
复相关系数（确定系数），变异系数，均方根，总均数
对自变量的检验
R-Square:等于模型的平方和除以总 平方和，用于度量在因变量的变差 里能够由模型决定的比例有多少， 越接近1，效果越好。
检验的显著水平、自由度、 误差均方
具有相同字母的组间 均值差异没有统计学意义。
第2组具有A和B两个字母，所以 第二组和第三组，第一组均没有差异。
单因素方差分析
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重 复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式
如下表所示。
（一）总平方和的分解 在上表中，反映全部观测值总变异的总平方和
是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记 为SST。即
kn
SST
( xij x.. ) 2
i1 j 1
nj 组内样本容量j 1,2,,n ki 组数，即水平数i 1,2,,k x.. 总平均数 xij i水平下第 j个样样本
变 差
组间 变差
总 变 差 组内 变差
组数（水平数）
（二）总自由度的剖分
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要
kn
受 (xij x这..) 一0 条件的约束，故总自由度等于 i1 j1
资料中观测值的总个数减1，即kn-1。
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
第6讲方差分析正交分析
Ti为各因素同一水平试验指标（增 重）之和。
如 A因素第1水平 T1=y1+y2+y3=63.4+68.9+64.9=197.2， A因素第2水平 T2=y4+y5+y6=64.3+70.2+65.8=200.3， A因素第3水平 T3=y7+y8+y9=71.4+69.5+73.7=214.6；
1 号试验处理是 A1B1C1，即配 方I、用量15g、食盐 为0；2号试验处理是A1B2C2，即配方II 、 用 量 25g 、 食 盐 为 4g，… ；9号试验处理为A3B3C2，即配方III、 用量20 重复观测值正交试验 因素间有交互作用
上一张 下一张 主 页 退 出
在这9个水平组合中，A因素各水平下包括 了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同， 但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水 平时，B因素和C因素不同水平的效应相互抵消。 所以A因素3个水平间具有可比性。同样，B、 C因素3个水平间亦具有可比性。
上一张 下一张 主 页 退 出
个水平组合，就能反映包含27个水平组合的 情况，找出最佳的生产条件。
二、正交设计的基本原理
Ａ Ｂ Ｃ
图中标有试验号的九个“(·)”，就是利用正 交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。 即：
(1)A1B1C1 (4)A1B2C2 (7)A1B3C3
(2)A2B1C2 (5)A2B2C3 (8)A2B3C1
上一张 下一张 主 页 退 出
（2）不完全方案
将某些水平组合在一起形成少数几 个水平组合。 目的：探讨某些水平组合的综合作 用。
正交试验是在全部水平组合中选出有 代表性的部分水平组合设置的试验
正交检验的极差分析和方差分析教材
正交检验的极差分析和方差分析教材正交检验的极差分析和方差分析引言：正交检验的极差分析和方差分析是统计学中常用的两种分析方法。
它们被广泛应用于实验设计和数据分析中，可以帮助我们判断变量之间的差异是否显著，并且确定是哪些因素对变量影响最为显著。
本文将重点介绍正交检验的极差分析和方差分析的基本原理和应用方法。
一、正交检验的极差分析1.1 基本原理正交检验的极差分析是通过观察不同水平的自变量对因变量的影响，推断不同水平之间的差异是否显著的一种方法。
它基于方差分析的原理，通过计算不同水平之间的平均差和标准差，判断不同水平之间的差异是否超过了预期的随机误差范围，从而得出结论。
1.2 应用方法首先，确定研究的自变量和因变量，并确定自变量的水平。
然后，通过随机抽样的方式获取样本数据，并计算每个水平下的极差。
接下来，计算整体样本数据的均值和方差，以及不同水平之间的平均差和标准差。
最后，使用统计方法，比较差异是否显著，并进一步推断不同水平之间的差异。
1.3 实例分析以某品牌洗衣机的不同水平温度对洗涤效果（洗涤时间）为例，通过极差分析探究不同水平温度下洗涤效果是否存在显著差异。
首先，选择3个不同水平的温度：40℃、60℃和80℃。
然后，使用这3个水平的温度进行多次洗涤实验，每次实验记录洗涤时间。
接下来，计算每个水平下的极差，并计算整体样本数据的均值和方差。
最后，使用正交检验的极差分析方法，比较不同水平之间的差异是否显著。
二、方差分析2.1 基本原理方差分析是通过比较不同组之间的方差大小，来判断不同组之间的差异是否显著的一种方法。
它基于总体方差和组内方差之间的关系，通过计算F统计量来比较差异是否显著。
2.2 应用方法首先，确定研究的自变量和因变量，并确定不同组别。
然后，通过随机抽样的方式获取样本数据，并计算每个组别的均值和方差。
接下来，计算总体样本数据的均值和方差，以及组内方差和组间方差。
最后，使用统计方法，计算F统计量，并比较差异是否显著。
正交试验设计中的方差分析
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。
正交试验设计中的方差分析
那么正交试验的方差分析可以从以下几步进行：
1.计算差方和（离差平方和）： 包括以下几部分：
1)各因素差方和：
正交试验都是多因素多水平的试验，因此有必要对各因素的 差方和进行计算。 各因素差方和等于它的各水平均值k1A,k2A,…,kmA之间偏差平 方和。 以因素A为例，它在正交表中的某列，用xij表示A在第i个水 平的第j次试验结果，则;
即：fA×B=fA×fB 试验误差的自由度fe＝fT－f因 。
3.计算平均差方和（均方）： 在计算各因素的差方和时，按照前面的讲述，它是各水平的 偏差方的和，其大小与水平数有关，故此还不能确切的反映 各因素的情况。为了消除水平数的影响，可以计算其平均差 方和：
因素的平均差方和＝因素差方和 ＝Q因 因素的自由度 f因
试验误差的差方和是所有试验结果在不同水平下的指标值与该 水平下的均值之间的差的平方和。它是由随机误差引起的，故 叫误差的差方和。
Qe QT ( QA QB QN )
2.计算自由度：
试验的总自由度： fT n 1
各因素自由度： f因 m 1
如果有交互作用，则交互作用的自由度为两因素自由度之积:
一．几个数据处理中常用的数理统计名词：
首先对几个数理统计名词进行回顾
1. 平均值 x
就是所有数据的和除以数据的个数。
x
1 n
n i 1
xi
1 n
x1
x2
xn
总体平均值：
1 n
n
xi
i 1
n
总体：数理统计学中指的是研究对象的某一特性值的全体； 样本：从总体中随机抽出的一组测量值。
2.极差 R： 就是一组数据中的最大值减去最小值得到的差值。 3.差方和Q： 测量值对平均值的偏差的平方和，就叫～。也叫离差平方和。
QC工具方法培训-正交试验、方差分析
0.381 0.487
125
0.174
11
0.553 0.684
26
0.374 0.478
150
0.159
12
0.532 0.661
27
0.367 0.470
200
0.138
13
0.512 0.641
28
0.361 0.463
300
0.113
14
0.497 0.623
29
0.355 0.456
400
652 4.922819 0.035945 4.256495
9
132.4444
总计
2496
11
设α=0.05，则 F1-0.05(2,9)=4.26 拒绝原假设
13
第一节 方差分析
水平
数据
课堂练习： A1 6
5
7
A2 2
1
3
方差分析：单因素方差分析
SUMMARY
组
观测数 求和
A1
3
18
A2
3
6
方差分析
0.095
15
0.482 0.606
30
0.349 0.449 1000 0.062
1%
0.418 0.393 0.372 0.354 0.325 0.302 0.283 0.267 0.254 0.228 0.208 0.181 0.143 0.123 0.081
21
第二节 回归分析
(三) 一元线性回归方程——定量分析
i1 j 1
16
第一节 方差分析
水平
A1：原结构 A2：改进方案1 A3：改进方案2
方差分析与正交设计C6
第五章 方差分析与正交设计§1．单因素方差分析 在实际问题中，人们常常需要在不同的条件或不同的状态下，对所研究的对象进行对比试验，从而得到若干组数据（样本）。
方差分析就是一种分析、处理多组试验数据均值间差异显著性的统计分析方法。
其主要任务是通过对数据的分析处理，搞清各试验条件以及它们所处的状态对试验结果（又称试验指标）的影响，以便有效地指导实践，提高经济效益或科研水平。
1.1 基本概念例1 某灯泡厂用四种不同材料的灯丝生产了四批灯泡，除灯丝材料不同外，其他生产条件完全相同。
今由每批灯泡中随机地抽取若干个灯泡，测得使用寿命（单位：h ）数据如表（1）所示，现在要求推断出灯泡使用寿命是否因灯丝材料不同而有显著差异。
表（1）如果在一项试验中，只有一个因素变化，其他因素保持不变，我们称这种试验为单因素试验。
因素所处的状态称为水平。
本例考虑的是一个因素即灯丝，这个因素具有四个水平，即四个不同材料的灯丝，A 1, A 2, A 3, A 4。
从表中的数据看到，即使对于同一种材料的灯丝，虽然生产条件都一样，但灯泡的使用寿命还是可以不相等的，这说明灯泡的使用寿命是一随机变量。
现在用1ξ,2ξ,3ξ,4ξ表示四种材料的灯丝所生产的灯泡的使用寿命，这样就有四个总体。
若从这四个总体中分别随机地抽取容量为i n 的样本1i ξ,2i ξ,…，iin ξ, =i 1,2,3,4，我们应用这四个样本来推断四个总体之间有无显著差异。
要判断不同灯丝材料的灯泡对使用寿命的影响问题，就是要辨别使用寿命之间的差异是主要由抽样误差造成的还是由灯丝材料不同造成的。
这一问题可以归结为判断四个总体是否具有相同的分布。
另外，在方差分析中，总是假定各总体相互独立，且都服从正态分布。
由于除因素外，试验的其他条件都认为相同，这样就可以假设每个总体的方差相同。
因此推断四个总体是否具有相同分布的问题，就归结为检验四个具有相同方差的正态总体，其均值是否相等的问题。
正交法方差分析详解
先列出一个表格 三因素，三水平 正交表为4列，9行正交表的作用:对于同一个因素的任一个水平,当实验组合中含有这个水平时,其他的参数取值是均匀的,没有重复.如B 因素取90这个水平时有三个组合,这三个组合为可以看出,在B 因素取90时,A 和C 因素分别取了没有重复的三个变量，即均匀的。
这有什么好处，下面引出方差分析中一些假设1. 实验的结果有一个期望值E 0值，这个E 0 值是所用参数可能取值得到的计算结果的期望值，而且假设计算结果是满足正态分布的。
即),(~20σE N X i 。
注意：E 0 不是这9个计算结果的平均值，这9个计算结果只是所有可能结果的9个样本而已，我们就是在用着9个样本来分析总体2. 对于单个参数而言，由于单个参数的任一水平的计算结果只受该参数影响，而不受其他参数的影响，所以单个参数的计算结果的期望和方差都应该满足）（20,σE N ，1、2这两条实际是为方差分析服务的。
3. 至于说在正交法中单个参数的计算结果只受该参数影响，而不受其他两个参数取值的影响，涉及了另一个假设：假设各个参数对计算结果的影响是独立的，也就是说计算结果是3个参数的作用的加和，比如说在B=30，C=64时，A 取12对计算结果的贡献是8。
当B=32，C=40时，A 取12对计算结果的贡献还是8。
当然，这都是理想状态，参数之间的作用肯定是有互相影响滴，这种影响叫做交互作用，而且，每次试验都有误差的，不可能互相没有影响，两次试验中A 对计算结果的贡献肯定是不相等的。
我们在试验时一般不急于考虑交互作用，且在我们这个项目中交互作用的影响比较小，查的文献中直接对交互作用闭口不提，所以就不考虑了。
这样的话不就可以列出各个参数下的计算结果的表达式了以B=90这个例子为例。
X 1=31=Y(A=80)+Y ’(A=80)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=5) +Y ’(C=5) X 4=53=Y(A=85)+Y ’(A=85)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=6) +Y ’(C=6) X 7=57=Y(A=90)+Y ’(A=90)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=7) +Y ’(C=7)其中Y （A=80）是理想状态下A 取80对计算结果的贡献，Y ’(A=80)是A 取80对计算结果贡献的实验误差。
正交试验的方差分析
计算平均离差平方和(均方):
在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方的和, 它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。为了消 除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。
因素的平均离差平方和 = (因素离差的平方和)/因素的自由度 = S因 /f因
试验误差的平均离差平方和 = (试验误差的离差的平方和)/试验误差的自由度 = SE / fE
33.212 ) 377.17, 35.882 ) 376.29,
QC
1 (6.272 9
35.212
59.162 )
531.00,
Q( AXB)1
1 (35.632 9
32.082
32.932 )
375.89,
Q( AXB)2
1 (34.302 9
31.732
34.612 ) 375.68,
考 虑A，B的交互作用。试进行方差分析。
第22页/共47页
第三节： 2水平正交设计的方差分析
解：(选用正交表L8(27)
第23页/共47页
第三节： 2水平正交设计的方差分析
这 里
ST
QT
P
8
xk2
k 1
T2 8
65668 1 (724)2 8
146
SA
1 8
(K1
K2 )2
1 8
(366 358)2
第四节：混合型正交设计的方差分析
混合型正交设计的方差分析，本质上与一般水平数相等正交设计 的
方差分析相同，只要在计算时注意到各水平数的差别就行了。
8
现以L8(4X24)混合S型T 正交QT表为P例：k 1
xk2
1 8
正交试验设计的方差分析
三.正交试验设计的方差分析 现以实验室制取H2为例，来说明正交设计的方 差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平 如表1和表2所示。
表1. 因素水平
因素 水平 一 二 A wH2SO4 (%) 20 25 B mCuSO4· 5H2O(g) 0.4 0.5 C mZn (g) 4 5
三
30
0.6
为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析 方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析就是将 因素水平(或交互作用)的变化引起的实验结果间的差 异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来 的一种数学方法。 方差分析的中心要点是：把实验数据总的波动分 解成两部分，一部分反映因素水平变化引起的波动， 另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏 差平方和(S总)分解为因素的偏差平方和(SA、SB、SC ……)与误差的偏差平方和(Se)，并计算它们的平均偏 差平方和(也称均方和，或均方)，然后进行检验，最 后得出方差分析表。
方差分析是把实验数据总的波动(即数据的总的偏差平方 和S总)分解成两部分：一部分反映因素水平变化引起的波动 (即因素的偏差平方和)，对本例而言仅为S wH2SO4；另一部分 反映实验误差引起的波动(即误差的偏差平方和Se)。即： (1) Se的计算
表3.实验结果分析 参与wH2SO4某一水平的实验编号 A1(20%) 1 4 7 A2 (25%) 2 5 8 平均值y A3 (30%) 3 6 9 10minH2产率 A1(20%) 32.62 34.97 36.62 34.74 A2 (25%) 40.40 36.53 39.19 38.71 A3 (30%) 41.07 45.75 44.53 43.78
在F分布表上横行(n1：1, 2, 3…)代表F比中分子的自 由度；竖行(n2：1, 2, 3…)代表F比中分母的自由度；表 中的数值即各种自由度情况下F比的临界值。 例如，某因素A的偏差平方和的自由度fA=1，误差 (e)的偏差平方和的自由度fe=8，查得F0.1(1,8)=3.64，这 里0.1是信度。 在判断时(如判断因素A的水平的改变对实验结果 是否有显著影响)，信度a是指我们对做出的判断有多大 的把握，若a=5%，那就是指当FA>F0.05(fA, fe )时，大概 有95%的把握判断因素A的水平改变对实验结果有显著 影响。对于不同的信度a，有不同的F分布表，常用的 有a=1%， a=5%， a=10%等。根据自由度的大小，可 在各种信度的F表上查得F比的临界值，分别记作 F0.01(n1, n2 )， F0.05(n1, n2 )， F0. 10 (n1, n2 )等。
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。
这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理表11-1 33试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。
图1中标有‘9 ’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3(4)A2B1C2(5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次。
正交设计试验资料的方差分析
数据整理
将收集到的数据整理成 表格形式，便于后续分 析。
数据筛选
对异常值进行筛选和处 理，确保数据质量。
正交设计试验资料的方差分析过程
确定试验因素和水平
明确试验因素和各因素的水平， 为后续分析提供基础。
计算各因素的效应值
根据试验结果，计算各因素的效 应值。
计算误差平方和
根据效应值和水平，计算误差平 方和。
跨学科融合
标准化与规范化
结合其他学科的理论和方法，拓展正交设 计试验的应用领域，推动多学科交叉融合 发展。
制定和完善正交设计试验的标准和规范， 提高试验的可靠性和可比性。
正交设计试验资料方差分析的实际应用价值
科学研究
在科学研究领域，正交设计 试验资料方差分析可用于探 索和验证科学假设，揭示现 象背后的机制和规律。
正交试验设计的基本原理
1 2
正交性原理
正交试验设计基于正交性原理，即每个因素在试 验中出现的次数相同，且各次出现的概率相等。
均匀分散原理
正交试验设计通过均匀分散原理，确保每个水平 在试验中都有均衡的分布，从而减少结果的偏差。
3
代表性原理
正交试验设计通过代表性原理，选取具有代表性 的样本点进行试验，以反映整体情况。
正交设计试验资料的方差 分析
• 正交设计试验概述 • 方差分析基础 • 正交设计试验资料的方差分析方法 • 实例分析 • 总结与展望
01
正交设计试验概述
正交试验设计的基本概念
正交试验设计是一种统计技术，用于 在多因素、多水平条件下进行试验， 以最小化试验次数，同时最大化信息 收集。
它利用正交表来安排试验，确保每个 因素的每个水平都被等可能地选取， 从而得到全面而均衡的试验结果。
实习课六-方差分析
SStotal ( xij x ) 2； vtotal n 1
2、组内变异：同一水平处理组内，各个观察值并不完全相等， 该变异称为组内变异或误差变异，主要由个体差异和随机测量误 差造成，统称随机误差；
SSerror ( xij xi ) 2 ;
verror =n k
x1n1
n1 x1
x2n2
n2
x2
……
xknk
nk
xk
n ni
x
10
中 国 医 学 科 学 院
．基 础 医 学 研 究 所
五、问题？
为什么不用t检验？
—两个组之间的比较当然可以！
但是，同批数据多次反复使用t检验显然会使犯α错误的概率增大。
统计学上的显著性差异从来就不是绝对的，而是概率，α=0.05，表示实际无差异，而 检验得到有差异结果的概率。
F值多大算和1差别大呢？和其他假设检验一样，我们可以：
查表：查自由度为ν1 ν2的F界值表 或更省事的办法直接看软件计算的结果
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三、方差分析的基本思想
根据变异的来源，将全部观察值总的离均差平方和及自由度 分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变 异可由某些特定因素的作用加以解释。 通过比较不同来源变异的方差（也叫均方MS），借助F分布做 出统计推断，从而判断某因素对观察指标有无影响
2 xj
0.9677
0.2032
9.6148
0.4296
38.7813
0.5133
42.5230
0.4600
( x ) 91.8868
(S )
方差分析
方差分析一、单因素试验的方差分析：在科学试验、生产实践和社会生活中，影响一个事件的因素往往很多。
例如，在工业生产中，产品的质量往往受到原材料、设备、技术及员工素质等因素的影响；又如，在工作中，影响个人收入的因素也是多方面的，除了学历、专业、工作时间、性别等方面外，还受到个人能力、经历及机遇等偶然因素的影响. 虽然在这众多因素中，每一个因素的改变都可能影响最终的结果，但有些因素影响较大，有些因素影响较小. 故在实际问题中，就有必要找出对事件最终结果有显著影响的那些因素. 方差分析就是根据试验的结果进行分析，通过建立数学模型，鉴别各个因素影响效应的一种有效方法.在上一章，我们讨论了具有相同方差的两个正态总体的均值是否有显著差异的检验问题。
在这一章里，将讨论具有相同方差的k (k >2)个正态总体的均值是否有显著性差异的检验问题。
初看起来，这个问题似乎不难解决。
只要运用上一章介绍的T－检验法，将每一对正态总体都检验一次就可以了，然而这样做是不能达到预期目的的。
因为这样做不但非常繁琐，而且往往会导致错误的结论。
例如有5个方差相同的正态C=10对正态总体逐对进总体，要检验它们的均值是否有显著差异，就必须对25行检验，若要求的显著性水平为0.05，那么，每对“μi =μj成立（i≠j）”这个结论是正确的概率为0.95，但是“五个正态总体的均值都相等”这个结论正确的概率却是( 0.95 )10 = 0.5987因此，得到错误结论的概率是1－0.5987=0.4013，这就是说，犯第一类错误的概率将达到40.13.%，这是无法接受的。
如果总体的个数更多，那么犯第一类错误的概率也将更大。
即使只有3个总体，得到错误结论的概率也将达到14.3% 。
从以上的分析，迫使我们寻求另外的方法，将所有的总体一起加以考虑。
而方差分析正是检验同方差的若干正态总体均值是否相等的一种统计方法。
方差分析的方法广泛地运用在工农业生产、科学研究和经营管理中。
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一. 单独观测值正交试验结果的方差分析
总变异 = 处理间 + 误差 处理间 = A因素 + B因素 + C因素 SST = SSA+SSB+SSC+SSe dfT = dfA + dfB + dfC + dfe
18
用n表示试验次数；a、b、c表示A、B、C因 素各水平重复数；ka、kb、kc表示A、B、C因素的 水平数。本例，n=9、a=b=c=3、 ka=kb=kc=3
11
任两列中，同一横行所组成的数字对出现
的次数相等
例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出 现两次；L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。即每 个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次 数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均 匀的。
38
A因素各水平平均数的多重比较
33
B因素平方和
SSB =ΣT2B / br - C
=(441.82+475.52+430.12)/3×2 -100860.3756 =185.2077
C因素平方和
SSC = ΣT2C / cr - C
= (423.92+473.22+450.32)/3×2 -100860.3756
= 202.8811
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在这9个水平组合中，A因素各水平下包括 了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同， 但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水 平时，B因素和C因素不同水平的效应相互抵消。 所以A因素3个水平间具有可比性。同样，B、 C因素3个水平间亦具有可比性。
13
正交表的类别 1、相同水平正交表 如L4(23)、L8(27)、L12(211) 、L9(34)、L27(313) 2、混合水平正交表 各列中出现的最大数 L8（27） 字不完全相同的正交表称为混合水平正交表。 列数，正交表上最多允许安排的因素个数 如L8(4×24)表中有一列最大数字为4，有4列最 因素的水平数 实验的次数 大数字为2。也就是说该表可以安排一个4水平 正交表的代号 因 素 和 4 个 2 水 平 因 素 。 再 如 L16(44×23) ， L16(4×212)等都混合水平正交表。
6
二、正交设计的基本原理
Ａ Ｂ Ｃ
7
图中标有试验号的九个“( ·)”，就是利用正 即： (1)A1B1C1 (4)A1B2C2 (7)A1B3C3 (2)A2B1C2 (5)A2B2C3 (8)A2B3C1 (3)A3B1C3 (6)A3B2C1 (9)A3B3C2
交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
14
四、正交设计
【例】 在进行矿物质元素对架子猪补饲试验 1.选用正交表的原则： 中，考察补饲配方、用量、食盐3个因素，每个 因素都有3个水平。试安排一个正交试验方案。 试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中 括号内的底数；因素的个数（包括交互作用）应 若不考察交互作用 自由度＝因素个数×(水平数-1)=3*2=6 不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交 L9(34)总自由度9-1=8，故可以选用 互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由 若要考察交互作用 度 则应选用L27(313)，此时所安排的试验方案 实际上是全面试验方案。
8
上述选择 ，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次 。对于A、B、C 3个因素来说， 是在27个全面试验点中选择9个试验
点 ，仅 是全面试验的 三分之一。
从图中可以看到 ，9个试验点在选优区中分布是
均衡的，在立方体的每个平面上 ，都恰是3个试验点；
在立方体的每条线上也恰有一个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很强 的代表性 ， 能够比较全面地反映选优区内的基本情 况。
T1=y1+y4+y7=63.4+64.3+71.4 = 199.1
… B因素第3水平
T3 = y3+y6+y9 = 64.9+65.8+73.7 = 204.4。
同理可求得C因素各水平试验指标之和。
21
x 为各因素同一水平试验指标的平均数。
如A因素第1水平 x1 =197.2/3=65.7333， A因素第2水平 x2 =200.3/3=66.7667， A因素第3水平 x3 =214.6/3=71.5333。 同理可求得B、C因素各水平试验指标的平 均数。
dfe = dfT-dfA-dfB-dfC = 8-2-2-2 = 2
26
列出方差分析表，进行F 检验
27
三个因素对增重的影响都不显著 原因：可能试验误差大
误差自由度小(仅为2)，灵敏度低
各因素对增重影响都不显著，不再进行
各因素水平间的多重比较
直观从表中选择平均数பைடு நூலகம்的水平组合
28
成最优水平组合：A3B3C2。
本例MSe1/ MSe2<1，MSe1与MSe2差异不显著， 合并的误差MSe，即 MSe = ( SSe1+ SSe2)/(dfe1+ dfe2)
= (15.2012+315.6845)/(2+8) = 33.09 F检验结果表明: 矿物质元素配方对架子猪增重有 统计学意义，另外两个因素作用无统计学差异； 二个单位组间差异有统计学意义。
正交试验是在全部水平组合中选出有 代表性的部分水平组合设置的试验 正交设计就是安排多因素试验 、寻求最 优水平组合 的一种高效率试验设计方法
5
例如：影响某品种鸡的生产性能有3个
因素： A因素是饲料配方，设A1、A2、A3 3个水 平；B因素是光照，设B1、B2、B3 3个水平；C 因素是温度，设C1、C2、C3 3个水平。这是一 个3因素3水平的试验 ，各因素的水平之间全部 可能的组合有27种 。 可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9 个水平组合，就能反映包含27个水平组合的 情况，找出最佳的生产条件。
dfC = kc-1 = 3-1 =2 dfe1= dft-dfA-dfB-dfC = 8－2－2－2 = 2 dfe2=dfT-dfr -dft =17-1-8 = 8
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列出方差分析表，进行 F 检验
37
首先检验MSe1与MSe2差异的显著性
若不显著，则计算合并误差
若F检验显著，说明存在交互作用, 不能合并。
34
模型误差平方和
SSe1 = SSt – SSA – SSB - SSC
=819.6244 - 416.3344 -185.2077 -202.8811
=15.2012
试验误差平方和
SSe2 =SST – SSr - SSt =1978.5444-843.2355 - 819.6244 =315.6845
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三、正交表及其特性
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数学工作者制定，供选用 2水平正交表：L8(27)、L4(23)、L16(215)等 3水平正交表有L9(34)、L27(313)等
正交表特性：
任一列中，不同数字出现的次数相等
例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各 出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们 各出现3次 。
41629.6011=57.4289 B因素平方和 2 TB /b-C SSB = Σ
B水平数
=(199.12+208.62+204.42)/3 41629.6011 =15.1089
24
C因素平方和
SSC=ΣT2C/c-C
C水平数
=(198.72+206.92+206.52)/3 –
41629.6011 =14.2489
误差平方和
SSe=SST-SSA-SSB-SSC =101.2489 – 57.4289 – 15.1089 – 14.2489 =14.4622
25
总自由度
dfT =n-1=9-1=8
A因素自由度
B因素自由度
dfA =ka-1=3-1=2
dfB =kb-1=3-1=2
C因素自由度
误差自由度
dfC =kc-1=3-1=2
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矫正数 （校正数）
C =T2/ (r×n) = 1347.42/(2×9) = 100860.3756
总平方和
SST=Σy2-C =63.42+68.92+…+92.82 －100860.3756 =1978.5444
单位组间平方和
SSr=ΣT2r /n － C =(612.12+735.32)/9 － 100860.3756 =843.2355
第六讲方差分析（五）：
正交实验设计 及统计分析
1
一、多因素试验设计
多 因素试验 是指在同一试验中同 时研究两 个或两个以上试验因素的试 验。 多因素试验设计方案由该试验的所 有试验因素的水平组合（即处理）构 成。多因素试验方案分为完全方案和 不完全方案两类。
2
A1B2 在列出因素水平组合（即处理）时 ，要求 A1B3 每一个因素的每个水平都要碰见一次，这时，组 合数等于各个因素水平数的乘积。 A2B1 例如以3种饲料配方对3个品种肉鸭进行试 A2B2 验。共有3×3=9 个水平组合（处理）。这 9 A2B3 个水平组合（处理）就构成了这两个因素的试验 A3B1 方案。 A3B2 A3B3
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总自由度 单位组自由度 处理自由度 A因素自由度 B因素自由度 C因素自由度
模型误差自由度 试验误差自由度