线性函数的平均值在高中物理中的应用
高中物理教学中的数学知识
高中物理教学中的数学知识
应用数学知识解决物理问题是高考的重点与难点，高中物理所涉及的数学知识主要有函数图象、空间想象、最值问题、极限与微积分，教师在物理教学中应加以重视，并加强这方面的训练。
标签：物理教学；数学知识；物理问题；能力
在高一“力的分解”的教学过程中，静止于斜面上的物体的重力产生两个作用效果：一个效果是使物体沿斜面向下滑，另一个效果是垂直于斜面压斜面。假设斜面的倾角是θ，我们把重力按照这两个效果进行分解，得到重力的两个分力分别为：重力沿斜面的分力大小为G1=Gsinθ，垂直于斜面方向的分力大小为G2=Gsinθ。但是很多同学在接受这个知识的时候比较吃力。笔者经了解发现，学生学习的障碍不在于对重力的两个作用效果理解不了，而是数学中有关三角函数方面知识的欠缺，有的同学甚至连sinθ是对边比斜边都不知道。由于初中所接受的是素质教育，有些数学知识教学目标只是了解知道，老师讲解时点到为止，没有做深入的探究，对学生的数学知识的掌握情况不清楚。
学科间知识衔接不上，加大了物理教学的难度。为了让学生更容易学习物理，教师在教学中补充数学知识是必要的。纵观整个高中物理教学所涉及的数学知识，大致有以下几个方面。
1.函数图象
物理量之间关系的描述除简洁的物理公式外，还有数学中的x-y函数关系图象，并且对函数图象的考查是高考中的热点。如力学中的运动学v-t、x-t、a-t图线，简谐运动的x-t图，机械波的y-x图，热学中的p-T、p-V图等，电学中电阻的U-I图，闭合电路中路端电压与电流的U-I图、输出功率与外电阻的P-R图等。解题时先看清图象的横纵坐标分别表示什么物理意义。同时，推导出其中“x-y”所表示的函数关系：是正比例函数、一次函数还是二次函数或为其他关系，再看图象的切线的斜率，如v-t斜率为加速度，图象上的点与原点连线的斜率，如非线性电阻元件U-I图象该斜率表示电阻，以及图象的横截距、纵截距，图象的渐近线，图象间的交点、图象与轴所围面积等各表示什么意思，如v-t图象的面积表示位移。在平时教学时，一定要把它们的物理意义描述清楚，同时培养学生利用图象解决物理问题的能力。
高中物理中常用的数学知识归纳
高中物理中常用的数学知识归纳
一、代数基础
在高中物理中，代数是一个非常重要的数学工具。代数的基础知识包括整数运算、分数运算、方程与不等式等。整数运算主要涉及加法、减法、乘法和除法四则运算，以及负数的运算规则。分数运算包括分数的加减乘除、分数的化简、分数与整数的运算等。方程与不等式是代数中常见的问题，可以通过代数运算解决。
二、函数与图像
函数与图像是高中物理中常用的数学工具。函数是自变量与因变量之间的关系，可以用数学符号表示。在物理中，常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。通过函数的图像，可以直观地了解函数的性质，如函数的增减性、最值、零点等。图像的绘制可以通过手工绘图、计算机绘图软件等方式进行。
三、导数与微分
导数与微分是高中物理中涉及的重要数学概念。导数是函数在某一点的变化率，可以用数学符号表示。微分是函数在某一点的切线斜率，也可以理解为导数的微小增量。导数与微分可以用来研究物体的运动、力的大小与方向等问题。在物理中，常见的导数运算包括常数导数、幂函数导数、指数函数导数等。
四、积分与定积分
积分与定积分是高中物理中常用的数学工具。积分是函数的反导数，可以用数学符号表示。定积分是函数在某一区间上的面积，也可以理解为积分的区间求和。积分与定积分可以用来求解物体的位移、速度、加速度等问题。在物理中，常见的积分运算包括常数积分、幂函数积分、三角函数积分等。
五、概率与统计
概率与统计是高中物理中常用的数学工具。概率是事件发生的可能性，可以用数学符号表示。统计是对数据进行收集、整理、分析和解释的过程。在物理中，常见的概率问题包括随机事件的概率计算、独立事件的概率计算等。统计可以用来分析物理实验数据、模拟数据等。
高中物理与函数及函数图象
高中物理与函数图象（一）
函数图象与物理规律
一、学情与内容分析
1、地位与作用：
在高考能力要求中，应用数学工具处理物理问题一项中，就有“能运用几何图形、函数图象进行表达、分析”的要求。图象法就是利用图象来描述两个物理量之间的关系的方法。图象的特点是具有直观性和形象性。从高考试题中也反映物理图象是考试热点之一。
2、重点与难点：
能够正确地作图、读图是准确把握两个物理量间的关键，然后再结合相应的物理规律解答物理问题是重点也是难点。
3、教学说明：
用图像法解题的主要依据是利用了物理过程中恒量与变量之间的关系，以及与数学函数图像之间的联系，再利用几何或分析的方法解决问题。在考试过程中若能巧用图像解题，必会达到事半功倍的效果，特别在高考紧张的气氛下，一般人都易利用公式法和分析法算，思维易混乱，计算繁杂且易算错，这是很不利的，多树立用图像解题的意识，多加训练达到得心应手的境界。但是也不是所有物理题都适用图像法解题，所以我们也必须总结出，哪类题更适合用图像法解题以及哪类题目在高中阶段只能用图像法解。
4、学生情况分析：
图像法是高考考试的热点，高中学生数学水平已经能够解决高中物理中的图像问题，而以往学生只在做习题的时候，零星的接触了一些图像题，在讲解题目的时候，发现学生对于这类题目有点发怵，觉得无从着手，即使这道题搞懂了，碰到其他又不会了，所以对图像问题进行一次总结很有必要。
二、教学目标：
1、知识与技能：
①回顾高中所学过的常见图像
②能搞清图象所揭示的物理规律或物理量间的函数关系
③具有建立图像以及应用图像解决物理问题的能力
线性函数的应用
线性函数的应用
线性函数是高中数学中的一个重要内容，它在实际生活中的应用非
常广泛。本文将探讨线性函数在各个领域中的应用，并重点介绍其在
经济学、物理学和工程学中的应用。
一、线性函数在经济学中的应用
1. 成本函数
在经济学中，成本函数是衡量生产成本与产量之间关系的一个重要
指标。成本函数通常可以表示为C(x) = mx + b，其中x表示产量，m
表示单位成本，b表示固定成本。
举个例子，假设某公司的固定成本为10000元，每单位产品成本为10元，那么该公司的成本函数可以表示为C(x) = 10x + 10000。通过分
析成本函数，我们可以计算出当产量为某个具体值时，该公司的总成
本是多少，进而为决策提供参考依据。
2. 需求函数
需求函数是描述商品需求与价格之间关系的一个重要工具。在经济
学中，通常假设需求函数为线性函数形式，即Q(p) = a - bp，其中p表
示商品价格，Q表示需求量，a和b为常数。
例如，某商品需求量与价格的关系可以通过Q(p) = 100 - 2p来表示。通过分析需求函数，我们可以计算出当商品价格为某个具体值时，该
商品的需求量是多少，从而帮助企业制定价格策略。
二、线性函数在物理学中的应用
1. 物体运动
在物理学中，线性函数广泛应用于描述物体的运动情况。假设某物体做匀速直线运动，其位移与时间之间的关系可以用线性函数表示。
例如，某物体的位移与时间的关系可以表示为d(t) = vt + c，其中d 表示位移，t表示时间，v表示匀速运动的速度，c为常数。通过分析该线性函数，我们可以计算出在某个具体时间时，物体的位移是多少，从而更好地理解物体的运动规律。
函数知识点总结高中
函数知识点总结高中
一、函数的定义
1. 函数的定义
函数是自变量和因变量之间的一种映射关系。一般地，如果对于集合A中的每一个元素x，在集合B中有唯一确定的元素y与之对应，则称y是x的函数值，称这种对应关系为函数，记作y=f(x)。
2. 函数的定义域和值域
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。在定义函数的时候，需要
确定函数的定义域和值域。
3. 函数的性质
函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等，这些性质可以通过函数的图像来判断。
二、函数的图像
1. 函数的图像
函数的图像是函数在平面直角坐标系上的表示，对于一元函数y=f(x)，可以通过画出函数
的图像来直观地理解函数的性质和规律。
2. 基本初等函数的图像
常见的初等函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，
它们都有各自的特点和图像特征。
三、函数的性质
1. 奇偶性
函数的奇偶性是指函数的图像是否关于原点对称。如果对于任意x∈D，有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于任意x∈D，有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。
2. 周期性
周期函数的函数值随自变量的变化而重复出现。周期函数可以用来描述一些具有规律性变
化的现象，如正弦函数、余弦函数等。
3. 单调性
函数的单调性是指函数在定义域上的增减性。如果对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则函
数f(x)是单调增加的；如果对于任意x1<x2，有f(x1)>f(x2)，则函数f(x)是单调减少的。
4. 极限和连续性
浅谈高中物理中的平均值
由一道学生错题所想到问题-----浅谈物理中的平均值
陕西.兴平.陕柴中学 何武刚
在一次模考的讲评时发现了一个有意思的现象，现将试题与我和学生解法呈现出来：
试题：如图所示,在水平面上有两条平行导电导轨MN 、PQ ，导轨间的距离为d ，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向下，磁感应强度的大小为B ，两根金属杆1、2间隔一定的距离摆放在导轨上，且与导轨垂直，它们的电阻均为R ，两杆与导轨接触良好，导轨的电阻不计，金属杆与导轨的摩擦不计，现让杆2固定、杆1以初速度v 0滑向杆2
A.2
2
0d
B R mv B.
2
2
02d
B R mv C.
学生的做法是：F L=
2
1m 20v B I d L=2
1
m 20
v
B
R
2ε
d L=2
1
m 20
v B R v Bd 2 d L=21m 2
0v B 2
R
v 2d 2
L=2
1m 20
v ∵v =2
0v ∴L=22
02d
B R mv
选B
从结果上看都是B ，好象做对了，仔细分析，是有问题的，出现问题在了导体棒的平均速度上了，能否
处理为v =
2
0v ，因为导体棒的运动为变加速运动，加速度逐渐减小，显然不能简单的进行v =
2
0v ，所以才出
现了歪打正着的现象。这也反映了学生对平均值的不理解。
其实物理中平均值是一个很重要的问题，有的物理量在同一过程对时间的平均值和对位移平均值是不同的，
例1以简谐振动为例，在其由平衡位置到最大位置的过程中，力对时间的平均值和力对位移的平均值是不同的，设力对时间的平均值为1F ，力对位移的平均值为2F ，平衡位置的速度为v 0。
1F t=mv 0 1F =
平面直角坐标系在高中物理实验中的应用
，
“ａｌｌｔ０ｏ”（太实在 ），“ｂｕｔｔｏ”（非常），“ｏｎｌｙｔｏ”（非常 、实在），“ｑｕｉｔｅ
ｔｏ”（简 直太 ）。如 ： １．Ｉｔｍ ０ｎｌｖ ｔｏｏ ｇｌａｄ ｔｏ ｓｅｅ ｙｏｕ ｈｅｒｅ．在这儿见到你我真是太高
兴 了 。 ２．Ｍｖ ｂｒｏｔｈｅｒ ｉｓ ａ１１ ｔｏｏ ｓａｔｉｓｆ ｉｅｄ ｔｏ ｅａｍ ２０ ａ ｄｏｌｌａｒ ｄａｙ．我 弟 弟
电流 表 Ａ。、Ａ：（量 程 ０—５００ Ａ，内阻 约 为 ５００Ｑ ），滑 动 变 阻 器Ｒ（阻值 ０ ｌ００Ｑ，额定 电流 １．０Ａ），定值 电 阻 Ｒ （阻 值约 为 ｌ００Ｑ），电阻箱 Ｒ 、Ｒ （阻值０～９９９．９Ｑ），开关 、导线若干。
由于现有 电流表量程偏小 ，不能满足实验要求 ，为此 ，先将 电流表改装（扩大量程 ），然后再按图３电路进行测量。
在《研 究匀变速直线运动 的加速 度》中用ｖ—ｔ图象来求加速 度 。由实验数据求得各计数点有速度，做 出ｖ—ｔ图象 ，图像斜率求 得物体运动加速度（略）。
初中到高中函数归纳总结
初中到高中函数归纳总结
函数是数学中的一种基本概念，对于初中生而言，函数的学习主要
集中在探索线性函数、二次函数以及简单的初等函数。然而，随着升
入高中，学生将会接触到更多种类的函数，例如指数函数、对数函数、三角函数等。本文将对初中到高中函数的学习内容进行归纳总结，旨
在帮助读者全面了解和掌握这些知识点。
一、线性函数
线性函数是初中阶段最常见的一类函数。其一般形式可以表示为：
y = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。线性函数的
图像是一条直线，斜率决定了线的倾斜方向和陡峭程度，截距则决定
了线与y轴的交点位置。
在初中的学习中，除了研究线性函数的图像特征外，学生还需要掌
握线性函数的性质和应用。例如，线性函数的值随着自变量的增大而
增大或减小，这就反映了数量之间的比例关系。在实际问题中，线性
函数常用于描述直线运动、价格与数量的关系等。
二、二次函数
二次函数是初中数学中另一个重要的函数类型。其一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不为0。二次函数的图像是一条
开口向上或向下的抛物线，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
初中阶段，学生主要学习了一些简单的二次函数，例如y = x^2和y = -x^2。但是，在高中阶段，学生将进一步研究二次函数的图像、性质
和应用。他们会学习到二次函数的平移、翻折、缩放等变换方式，以
及二次函数在物理、几何等方面的实际应用。
三、指数函数与对数函数
指数函数和对数函数是高中阶段的重点内容，与初中的线性函数和
二次函数相比，它们更有挑战性。指数函数具有以下一般形式：y =
新教材高中物理功与能重点难点易错点高频必刷高分必考经典题变力做功问题的求法新人教版必修2
变力的功求法集锦
第一.平均力法
1.基本依据：如果一个过程，若F 是位移l 的线性函数时，即F=k l +b 时，可以用F 的平均值 =F (F 1 +F 2)/2来代替F 的作用效果来计算。
2.基本方法：先判断変力F 与位移l 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F ，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由αcos l F W =求其功。
【例1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等）
练习1：例如:用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?
练习2：要把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。问此钉子全部进入木板需要打击几次？
【例2】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m 的木块连接，放在光滑的水平面上。弹簧劲度系数为k ，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x ，求拉力对木块做了多少功？
F
Kd+d ′
d +d ′
kd
d C A
B D
【例3】如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h ，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h ，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。
函数图象在高中物理功能问题中的运用
为3×103
N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数
1 v
的关
系如图5所示。试解答：
（1）根据图线ABC判断汽车做什么运动？
（2）求最大速度v2的大小。 （3）求匀加速直线运动中的加速度。
F/103 N
B
A
3
2 C
1
O1 v2
1 v1
图5
1 v
/(s·m
1)
分析：汽车启动问题要求学生具有较强的分析能力，
A．物体的质量为2 kg B．h=0时，物体的速度为20 m/s C．物体所受到的恒定阻力大小为5 N D．从地面至h=4 m，物体的动能减少100 J
E/J
100
E总
80
60
Ep
40
20 h/m
0 12 34
图4
解析：重力做功对应重力势能改变。由Ep-h图象知 其斜率为G，故G=20 N，解得m=2 kg，故A正确。
作出 f-h图象（如图2），由于木块始终处于平衡状态，
相应压力随下降高度变化图也可得出，此图象与坐标
轴围成的面积即为压力所做的功，有第一阶段压力做
功， W1=
gV h ×=
44
gVh 16
，第二 阶段 压力做的功
为W2=
gV × 5h = 5 gVh ，可得此过程中压力做功为 24 8
高中所有函数类型总结归纳
高中所有函数类型总结归纳
在高中数学学习中，函数是一个非常重要的概念。函数可以描述两
个变量之间的关系，并且在各种数学问题中起着至关重要的作用。在
高中数学中，我们学习了许多不同类型的函数，每种函数都具有特定
的性质和特点。本文将对高中所有函数类型进行总结和归纳，以帮助
学生更好地理解和应用这些函数。
一、线性函数
线性函数是最为简单和直观的一类函数。它的函数关系可以用一条
直线来表示。一般形如：y = kx + b，其中k和b为常数。线性函数的
特点是斜率恒定，即直线的斜率在整个定义域上保持不变。线性函数
可以表示两个变量之间的线性关系，如速度和时间的关系等。
二、二次函数
二次函数是高中数学中较为复杂的一类函数。它的函数关系可以用
一个抛物线来表示。一般形如：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。二次函数的定义域是全体实数。二次函数的特点是
抛物线的开口朝上或朝下，其顶点坐标可以通过平移、伸缩以及翻折
等变换来得到。
三、指数函数
指数函数是以底数为常数、指数为变量的函数。一般形如：y = a^x，其中a大于0且不等于1。指数函数的特点是底数为常数，指数为变量，
指数变量可以是实数。指数函数的图像可以是递增或递减曲线，取决于底数的大小和指数的正负。
四、对数函数
对数函数是指以对数为变量的函数。一般形如：y = logₐx，其中a 是底数，x是正实数。对数函数的特点是底数为常数，对数变量可以是正实数。对数函数和指数函数是互逆的，即对数函数可以将指数函数的运算逆转。
五、三角函数
三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。三角函数的图像可以是周期性波动的曲线，对应于角度或弧度的变化。三角函数在几何、物理等领域中有广泛的应用，如描述周期性运动等。
物理函数知识点总结高中
物理函数知识点总结高中
在高中物理中，函数是一个非常重要的概念。将函数的概念引入物理学中，可以帮助学生
更好地理解物理现象，并且可以通过函数来描述和解释许多物理现象。在这篇文章中，我
们将总结一些高中物理中与函数相关的知识点。
一、函数的概念
函数是一个非常重要的数学概念，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量。在物理学中，我们常常用函数来描述物理量之间的关系。例如，我们可以用函数来描述一个物体的位置
随时间的变化，或者用函数来描述一个物体的速度随时间的变化。在物理世界中，几乎所
有的物理量都可以用函数来描述。
二、线性函数
线性函数是最简单的函数之一，它可以表示为y = ax + b的形式，其中a和b是常数。线
性函数的图像是一条直线，它的斜率等于a，截距等于b。在物理学中，线性函数可以用
来描述一些简单的物理现象，例如，一个物体的位置随时间的变化，或者一个力对物体的
加速度的影响。
三、二次函数
二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数。二次函数的图像是一个
抛物线。在物理学中，二次函数可以用来描述一些复杂的物理现象，例如，一个弹簧的形
变随外力的变化，或者一个物体的加速度随时间的变化。
四、正弦函数和余弦函数
正弦函数和余弦函数是周期性函数，它们描述了一个变量随时间的周期性变化。在物理学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述一些周期性的物理现象，例如，一个振动物体的位
置随时间的变化，或者一个周期性力对物体的影响。
五、指数函数和对数函数
指数函数和对数函数描述了一个变量随时间的指数性增长或减小。在物理学中，指数函数
高中物理平均值的教学
高中物理平均值的教学
作者：程如林
来源：《物理教学探讨》2007年第19期
摘要：在目前的高中物理教材中，对平均值的阐述比较简单，教师在教学中往往又会淡化这一问题，这样一来，学生在处理相关问题时出错率就较高，本文分析学生中存在的典型错误和教师应采取的对策。
关键词：平均值；典型错误；对策
中图分类号：G633.7文献标识码：A
文章编号：1003-6148(2007)10(S)-0024-3
在解决物理量的平均值时，老师在教学中往往会淡化这一问题，因此学生在处理相关问题时，就缺少足够的理论基础，从而经常出现错误。本文对学生中存在的典型错误及教师在教学中需要解决的问题作了初步分析与探讨。
1学生在平均值计算中存在的典型错误
实例1汽车以一定的功率由静止开始运动，经过t=5s后速度达到18m/s，在这段时间内，关于汽车的平均速度的大小，下列选项正确的是（）
A.=9m/s
B.>9m/s
C.
解答=v1+v22=9m/s，所以选A。
点评：这个解法是错误的。因为公式=v1+v22的适用条件是：v与t成线性关系。在此例中，汽车速度v并不随着时间t作线性变化，所以不能使用公式=v1+v22。
实例2如图1所示，物体质量为m=2kg，静止于光滑水平面上，现对该物体施加一水平变力F，已知F随时间t的变化关系如图2所示。若物体在水平面上运动了t=10s，发生的位移为s=50m，求这一时间内力F对物体所做的功。
解答因为力F随时间t作线性变化，所以力F的平均值为
=F1+F22=0+62=3N。
所求的功为W F=s=3×50=150J。
高中函数种类
高中函数种类
函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。在高中数学中，函数是一个重要的研究内容，也是学生们需要掌握的知识点之一。高中函数种类主要包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。下面将逐一介绍这些函数种类的特点和应用。
一、线性函数
线性函数是最简单的函数之一，其函数表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。线性函数的特点是图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点。
线性函数在实际应用中十分常见，比如直线运动、电路中的欧姆定律和直线增长模型等。直线运动中，速度与时间的关系可以表示为线性函数；欧姆定律中，电流与电压的关系也可以表示为线性函数；在经济学中，线性函数可以用来建立一些简单的增长模型。
二、二次函数
二次函数是一个抛物线，其函数表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不等于0。二次函数的图像可以是开口向上或者开口向下的抛物线，其顶点坐标为（-b/2a, -Δ/4a），其中Δ为b^2-4ac，称为判别式。
二次函数也有很多实际应用，比如物体自由落体的运动轨迹、抛物线天线的形状和椭圆轨道的描述等。自由落体运动中，物体的高度与时间的关系可以用二次函数来表示；在物理学中，二次函数可以用来描述光学系统中的成像原理。
三、指数函数
指数函数是以常数e为底的幂函数，其函数表达式为y = a^x，其中a为常数，a大于0且不等于1。指数函数的图像在坐标平面上是一个递增或递减的曲线，具有特定的增长率。
指数函数在各个领域都有广泛的应用，比如生物学中的人口增长模型、经济学中的复利计算和物理学中的放射性衰变等。人口增长模型中，指数函数可以用来描述人口数量随时间的变化；复利计算中，指数函数可以用来计算利息的增长；放射性衰变中，指数函数可以用来描述放射性物质的衰变过程。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用
在高中数学教学中，函数是一个非常重要的概念。函数的思想贯穿于数学的各个领域，不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在解题中也有着广泛的应用。函数思想在高中数
学解题中的应用，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题的效率和准确性。
本文将从函数的定义和特点、函数在高中数学解题中的应用以及相关解题技巧等方面展开
探讨，希望能帮助学生更好地理解和应用函数思想。
一、函数的定义和特点
在高中数学中，函数是一个非常基础的概念。函数通常可以用一个数学表达式来表示，它包括自变量和因变量两部分。自变量是函数中的输入值，而因变量是函数中的输出值。
函数的定义通常是这样的：如果对于每一个属于定义域的自变量x，函数f(x)都有唯一的
对应值y，则称函数f是定义在定义域上的。
函数有着许多特点，其中包括单调性、奇偶性、周期性等。这些特点在解题中都有着
非常重要的应用。通过函数的单调性可以确定函数的增减性，从而帮助我们分析函数的变
化趋势；通过函数的奇偶性可以简化函数的运算，减少解题的复杂度；通过函数的周期性
可以确定函数的周期，从而帮助我们分析函数的周期性变化规律。
函数思想在高中数学解题中有着广泛的应用，涉及到数学的各个分支，比如代数、几何、概率等。下面我们就来具体看一下函数在高中数学解题中的应用。
1. 代数方程的解法
函数思想在代数方程的解题中有着非常重要的应用。通过定义函数并建立函数关系，
可以将一个复杂的代数方程转化为一个简单的函数关系，从而简化问题的求解过程。这种
方法在解决线性方程组、二次方程、高次方程等代数方程时都有着广泛的应用。
高中物理浅谈平均值专题辅导
高中物理浅谈平均值
如图1所示，函数y=f(x)在21x x 到区域内与横轴所围成的面积为S ，则y 在21x x 到区域内的平均值为1
2x x S )x (f -=
。物理量的平均值不仅与21x x 到这一区域有关，还与选择怎样的自变量x 有关。
图1
1. 平均速度
平均速度的定义式是t s v =。 对于匀变速直线运动，由于速度对时间是线性变化，所以2v v v t 0+=
。 例1 伽利略通过研究自由落体和物块沿光滑斜面的运动，首次发现了匀加速运动规律。伽利略假设物块沿斜面运动与物块自由下落遵从同样的法则，他在斜面上用刻度表示物块滑下的路程，并测出物块通过相应路程的时间，然后用图线表示整个运动过程，如图2所示。图中OA 表示测得的时间，矩形OAED 的面积表示该时间内物块经过的路程，则图中OD 的长度表示_____________。P 为DE 的中点，连接OP 且延长交AE 的延长线于B ，则AB 的长度表示______________。（06年上海高考）
图2
分析 由题意，路程
t OD OA OD S s OAED ⋅=⋅==矩形， 又t v s =，
比较两式可知OD 表示平均速度。
由CP 是ΔOAB 的中位线，得2AB OD CP ==， 又匀加速直线运动的平均速度2
v v v t 0+=，所以AB 表示物块的末速度。 2. 力的平均值
常见的力的平均值有两种：
（1）功x F W =中的力F ，它以位移（空间）x 为自变量；
（2）冲量t F I =中的力F ，它以时间t 为自变量。
例2 一根截面积为S 、长为H 的粗细均匀木棒，在外力作用下，以速度v 匀速竖直向下浸入水中，求从木棒开始接触水面到全部浸入过程中，浮力做的功与浮力的冲量各是多
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移变化的大致情形,∀ 阴影# 的 面积则 为合力 在相应 位移内 所做的功.
点拨: 由此例解析可见, 我们虽然 先后在 A C 和 A B 两 段位移上都 利用动能定 理解决问 题, 但由于 前者与后 者的
位移不同, 使得 同一 合力 的平 均值 显然 不 同; 从做 功 角度 看, 造成 BC > OC 的原因, 显然是在 A C 一 段位移上, 重力
感应 强 度 为 B 的 匀 强 磁
场. 在磁 场 的 左 侧另 有 一
个位于纸面 内的等 腰梯形
图5
线 框 A BCD , 已 知 A B 边
的长度 d , 底角 !, 且总电 阻为 R . 现 使线 框自 左至 右以 速
度 v 匀速进入磁场 , 自 A B 边进 入直 到 CD 边与 磁场左 边
时, x 2 < 0, 舍去负解. 从而可得到
x 2= mg +
m 2g 2+ k
2k mgh .
显然, x 2>
2
mg k
.
我们再与
x1=
mg k
比较,
可知
x
2>
2x 1.
亦即线段 BC > OC, 点 C 不是 线 段 OB 的 中点; 若 h
比较大, 则 BC 段比 OC 段 要大得多. 图 3 表 示出合 力随位
竖直 向 下 移 动 x m 至 O 点,
图1
然后释 放. 求木 块 由 O 点 返
回到 O 点时的瞬时速度.
解析: 选竖直 向下为 x 轴的坐标正 方向, 以 O 点为坐
标原点. 考虑到浮力 遵守阿基米德定律, 可得 N = gSh, 其
中 h 为木块没入 水中的 深度. 从而, 可 得木 块所 受的 合力
综上所述, 若能巧妙的利用一次函数的平均值, 笔者们
的确可以解决中学 物理中一 大类物 理问题. 它不 仅可以 大
幅度提高中学生分 析和解决 物理问 题的能 力、利 用数学 知
识解决物理问题 的能力, 而 且对 于培养 求异 思维、巧妙 思 维和创新思维能力, 进而 大面积 提高中 学物理的 教学质 量 都有十分重要的意义.
参考文献: 1 复旦大学、上海师范大 学物理 系编. 物理学. 上海: 上 海科学 技
术出版社, 1997. 2 人民教育出版社编. 全日制普通高中( 必修 加选修) 教师教 学用
书. 北京: 人民教育出版社, 2003. ( 收稿日期: 2009- 07- 15)
做了比在 BC 段更多的正功. 还应明确, 若使 上式中 h = 0, 可知物体由 O 到 B 恰好完成简谐运动的半个全振动, 此时
C 点才是 OB 线段的中点, 同时也是振动的平衡位置. 2 关于线性变力冲量的问题
这里所谓线性变力, 是另一 种方向沿 同一 直线而 大小 随时间均匀变化的力, 其表 达式为 F = kt + b 或 F = kt. 反
所求的损失的动量.
3 线性长度导致的感应电动势问题
电磁感应现象中也有 一类随位移或时间均匀变化的感
应电动势问题, 即感应电 动势 E 是 位移 s 或时 间 t 的一 次 函数. 类似地, 笔者们也可以利用求其平均值 的方法去分析 和解决.
例 4. 如 图 5 所 示, 两 条平行的 虚线 M 、N 之间 存在 着 垂直 纸 面 向 内、磁
上, 恰好在弹簧的正上 方高度 为 h 的
A 点, 有一质量为 m 的物体由静 止自
由下落. 当物体落至弹簧上端的 O 点
时, 弹簧开 始 被压 缩, 而 当 它 到 达 B
点时, 物体的速度为零. 试求:
( 1) 物体位移 多大 时达 到最大 速
度, 最大速度为多少.
图2
( 2) 弹簧的最大压缩量.
第 31 卷第 4 期 2010 年
物理教师 PHYSICS T EACHER
V ol. 31 N o. 4 ( 2010)
线性函数的平均值在高中物理中的应用
臧立志
( 苏州大 学附属中学, 江苏 苏州 215006)
在中学 物理中, 线 性函数 y = kx + b 或 y = kx 等 获得
最后, 由( 3) 、( 4) 式即可求出
解析: 首先, 分析可知 物体在 竖直向 下的 重力、竖直 向
上的弹力等共同作 用下, 做先加 速、后 减速、最后 静止的 变
加速运动.
选竖直向 下为 x 轴正 方向, 以 O 点为坐标 原点. 由牛
顿第二定律, 可得
mg- kx = ma,
其中 F = - kx 为弹簧的弹力.
然后, 设物体自 A 点下 落至 C 点时
位移均匀变 化的力, 亦 即大小 与位移 成正比 而方向相 反的
变力, 其表 达式为 F = - kx + b 或 F = - kx . 反 映在 数学
中, 这种变力是位移的一次函数. 对解决这种变力做功的问
题, 使许多初学者感到 困惑不 解或十 分棘手. 但是, 从 另一
个角度着眼, 若利用这种函数在 0~ x 位移内的平均值即 F
解析: 首先, 分析可知洒水车在水平方向的牵引力和滑 动摩擦力等作用下做加速度逐渐增大的加速运动.
显然, 由于所受合力 不为零, 动量 守恒 定律不 适用. 但 是笔者们可 以先用合力 的平均值 求出合 力的冲 量, 再 利用
动量定理即可求出动量的损失. 依题意, 可知其合力为
F 合= F- mg = F - ( m0 - k t) g .
加 速 度 为 零, 此 时 物 体 达 到 最 大 速 度
v m; 又设 OC= x 1 , 亦即 mg- kx 1= 0. 于
图3
是可得
x 1=
mg k
.
( 1)
显然, 重力、弹力的合力在位移 x 内的平均值为
为
F = mg - gS( h0+ x ) .
(1)
其中 x 为木块在 任意位置偏离 O 点的位移.
界 M 重合为止, 所用的时间为 t, 那么求在此过程中通过线
框某一横截面的电量.
解析: 分析可知, 在题设过程中梯形线框 切割部分的有
效长度为
L = d + 2v tcot!. 由电磁感应规律得线框中 的感应电动势
E= Bv ( d + 2v tcot!) .
显见, 它是时间的一次函数.
然后, 该电动势在时间 0~ t 内的平均值 E= Bvd + Bv 2 t co t!.
y
1+ 2
y
2,
来分wk.baidu.com和解决许多比
较复杂
乃至极
其困难
的物理
v=
gS m
x
m.
点拨: 应该指出, 当线性变力 F = kx 与另一 恒力( 如此
例之重力) 共同作用于 一个物 体时, 其合力 也是线 性的, 从
而形成 F = kx + b 形式的 线性变力, 其平 均值的表达 式与
前者亦有所不同. 并且这 一点对 于以时 间为自变 量的一 次
合力随 时间 变化 的情 形如 图 4 中 直线 A B 所示, ∀ 阴 影# 的面积则表示了合力的冲量. 在时间 t 内合力的平均值
为
F=
F 0+ 2
Ft =
F-
m0g +
gkt 2
.
(1)
设洒水过程中损失的动量为 p , 由动 量定理得
Ft = ( mv t+ p ) - mv 0.
(2)
由( 1) 、( 2) 式, 可以解得
依题意, 当木块在 O 点时,
F 0= mg- gSh0 = 0.
(2)
再把( 2) 式代入( 1) 式 , 又得 F= - gSx .
由此可见, 木块在此线性变力作用下做简谐运 动. 不难求出合力 F 在 0- xm 区间上的平均值为
F= -
g
Sx 2
m
.
(3)
设由 O 点返回到 O 点时的瞬时速度为 v , 根 据动能定
了极其广泛的应用. 利用线性函数, 我们不但能正确地表达
诸如由时间决定的变力, 弹簧类物体的弹力, 线性变化的感
应电动势, 静止液体内部的压强, 共轴转动物体的各点的线
速度等等一般的物理规律, 更重要的是, 我们还可以利用线
性函数在 定 义区 间 x 1 ~ x 2( 或 t 1~ t2) 内的 平 均值 y =
理可得
F(-
xm) =
mv 2
2
.
(4)
F=
mg-
kx 2
.
( 2)
从而由动能定理, 我们不难得到
mgh+ Fx 1=
mv 2
2
.
( 3)
由( 1) ~ ( 3) 式, 即可解得
v m=
2g( h +
x 1) -
kx 1 m
2
.
最后, 依题意知物体自 A 点 下落到 B 点 时速 度为零,
再设弹簧的最大压缩量即 OB= x 2, 我们由动能定理又 得
函数也是如此.
问题, 从而删繁 就简, 化 难为 易, 收 到良 好 的教 学效 果. 下 面, 笔者试从 3 个方面展开讨论.
例 2. 如 图 2 所示 , 一根 轻质弹 簧 竖 直 站 立、下 端 固 定 在 水 平 支 持 面
1 关于线性变力的做功问题
这里所谓线性变力, 是一种 方向沿同 一直 线而大 小随
! 58 !
p = Ft -
m0gt +
gkt 2
2
+
m 0v 0-
( m0-
kt ) v t .
点拨: 解答此题的关键有二: 一先用线性 变力 !! ! 合力
对时间的平均值, 求出合 力的冲 量; 进 而, 再利用 动量定 理
去求动量的变化. 二在全 过程的 动量变 化之中, 不 但有末、
初动量之差, 同时必须包括流出的水带走的动量, 亦即题目
不变, 即单 位时 间内流 出的 水的 质量相等. 因而, 洒水车的质量是
时间的一次函数, 可以 写作 m =
m0 - kt . 其 中 m 0 为初 始质 量, k
图4
为质量对时间的变化率, t 为洒水 的时间. 现设洒水 车的初 速度为 v 0, 初始质量为 m 0, 经过 t 的时间, 车速增加为 v t ; 再设它的牵 引力 F 恒 定不变, 与 路面 的摩 擦因 数为 . 试 求: 洒水车在时间 t 内损失的动量.
=
F 0+ 2
Fx 作为恒力来替代线性变力,
使求线性变 力做功的
问题予以简化.
例 1. 如 图 1 所示 , 把 质
量为 m 、底面积为 S 的木块,
放入 密 度 为 的 水 内 的 O
点, 即 木 块下 底 面在 水下 h0 深度 处 时, 由 于 恰 好 受 力 平
衡而 静 止. 现 用 力 下 按 使 其
mgh+
( mgx 2 -
kx 2 2
2
)
=
0.
显然, 上式是关于 x2 的一元二次方程. 从而又可解得
x 2= mg
m2g2+ k
2k mgh .
! 57 !
V ol. 31 N o. 4 ( 2010)
物理教师 PH YSICS T EACHER
第 31 卷第 4 期 2010 年
由于 m2 g 2+ 2k mgh > m 2 g2 , 因而当 根式 前为∀ - # 号
映于数学中, 这种线性 变力是 时间的 一次函 数. 类 似地, 若
能利用线性变力在 时间 0~
t 内 的平 均值, 即 F =
F0+ Ft 2
作为恒力替代线性变力, 使求变力的冲量问题 得以简化.
例 3. 洒水车在 洒水 过程 中,
由于水 流速 度、喷水口 面积 等在
比较长 的时 间内, 可以 认为 保持
最后由欧姆定律求出 通过线框某一横截面的电荷量
q=
E R
t=
Bvdt +
Bv R
2
t
2
cot
!.
点拨: 解决此题的关键在于, 先求出线框 匀速进入磁场
时切割磁感线的有效长 度 L , 再 由感应 电动势 的瞬时 表达
式求出其在时间 0 t 内的 平均值; 然后, 作为 恒定 的感应 电
动势结合欧姆定律等处理 .