线性代数2011C

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2011年7月自考真题线性代数

2011年7月自考真题线性代数（时间：120分钟，满分150分）一、选择题（3分，共36分） 1、4的平方根是（）A 、±16B 、16C 、±2D 、22、下列计算正确的是（）A 、()5210aa = B 、257a a a +=C2=- D、=3、已知样本数据1，0，6，1，2，下列说法不正确的是（）A 、中位数是6B 、平均数是2C 、众数是1D 、极差是64、从《中华人民共和国2010年国民经济和社会发展统计报告》中获悉，去年我国国内生产总值达397983亿元，请你用亿元为单位用科学记数法表示2010年我国的国内生产总值为（结果保留两个有效数字）（）A 、3.9³1013B 、4.0³1013C 、3.9³105D 、4.0³105 5、反比例函数ky x=在第二象限的图像如图所示，则k 的值可能是（） A 、-1 B 、-2C 、-3D 、-46、下列各式中，正确的是（）A 、()()2232349a a a ---=-B、(22x x x=-C 、()2226a a b -=-D 、()2231361x x x -=-+7、把直线122y x =-+向下平移2个单位得到的直线的解析式为（）A 、322y x =-- B 、22y x =-- C 、322y x =-D 、522y x =-+8、如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（图1中虚线）剪开，再打开，得到的菱形的面积为（）A 、10cm 2B 、20 cm 2C 、40 cm 2D 、80 cm 2 9、已知⊙O 的面积为9πcm 2，若点O 到直线l 的距离为πcm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（）A 、相交B 、相切C 、相离D 、无法判断10、如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 的度数为（） A 、116° B 、32° C 、58° D 、64°11、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数ay x=与正比例函数y bx=在同一坐标系中的大致图象是（）图2图1B A12、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，下列说法中正确的个数是（）①AC ²BC=AB ²CD ②AC 2=AD ²DB ③BC 2=BD ²BA④CD 2=AD ²BD⑤22AC ADBC BD= A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个二、填空题（每小题4分，共24分）13、因式分解：321_____________4x x x -+= 14、函数y =x 的取值，范围是_________________。

线性代数(数一)答案

⎛ ⎜0 ⎜ ⎜1 ⎜a ⎜ 1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ # ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝
0 0 1 a2 # 0 0
0 " 0 " 0 " # 0 " 0 "
0 0 0 # 0 1 an −1
1⎞ an ⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ # ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎠
(1,1,1)
T
（7）已知 P 是可逆矩阵， B 是对角元全为 1 或-1 的对角阵， E 是单位矩阵，且 PA = BP , 则A
4
2011 届钻石卡学员
2 −1 −1 2 −1 −1 2 证明 Dn = # # # 0 0 0 0 0 0
【解析】将各列加到第一列
" " "
0 0 0 0 0 0 = n +1 # # " 2 −1 " −1 2
0 0 0 # 2 0 0 0 # = 1 −1 0 # 0 1 " " −1 " # 0 0 2 −1 # 0 0 0 0 0 # 2 # 0 0 0 0 0 # " " −1 " " 0 0 0 # 2 0 0 0 #
T
X = ( −1,1) ，求由 α1 , α 2 到 β1 , β 2 的过渡矩阵 C 及向量 ξ 在 β1 , β 2 下的坐标 Y .
【解析】由于 β1 = 2α1 − α 2 , β 2 = α1 + 2α 2 ，所以由 α1 , α 2 到 β1 , β 2 的过渡矩阵是 C = ⎜ 3分
3 6 ⎞ 14 2 ⎛ = 5 ⎜ x1 − x2 + x3 ⎟ + ( 2 x2 + x3 ) 5 5 ⎠ 5 ⎝

1_1行列式定义性5质与计算

b1b2b3 bn，所以
D = (-1)τ(n n-1 21) b1b2b3 bn
《线性代数》返回
n ( n -1 )
= ( - 1)
下页
2
b1 b 2 b n
结束
结论：
a11 a21 下三角形行列式的值： a31 … an1 a11 0 0 … 0 a11 0 0 … 0
2010-2011第一学期
线性代数
任课教师：田祥
部门：信息学院办公室：文理大楼 721 室 E-mail：txiang8@
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结束
一《线性代数》的发展过程
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二、线性代数的主要研究对象
a11x1+a12x2+ +a1nxn =b1 a21x1+a22x2+ +a2nxn =b2 am1x1+am2x2+ +amnxn=bm
= D D
j
j
，
j = 1，2，3
其中D1, D2, D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.
《线性代数》返回下页结束
1.2
排列
n 个自然数1,2,…,n 按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个 n 级排列，记为i1i2…in. 其中，排列12…n称为自然排列. 显然，n 级排列共有个n! . 如， 3421 是4级排例； 25431 是一个5级排列. 例1．写出所有的3级全排列. 解：所有的3级排列为： 123， 132， 213， 231， 312， 321 .
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线性代数—Linear Algebra

.8 .3 0.6 1 A= , x1 = , x2 = .2 .7 0.4 −1
λ1 =1
λ2 =1/2
其中λ1, λ2 是矩陣A的特徵值，我們令det(A-λI)=0求出λ1, 與λ2，而特徵向量x1屬於A-I的nullspace ，而特徵向量x2屬
所有對應同樣特徵值的特徵向量形成一個子空間。
2011/6/18 13
6.1 Introduction to Eigenvalues : Good News, Bad News
Elimination does not preserve theλ’s .
1 A= 1 1 1 λ= 0 and λ= 2 1 U = 0 1 0
When a matrix is shifted by I, each λ is shifted by 1. 但是特徵向量不變， x1=(1, 1) 與 x2 =(1, -1)
2011/6/18
9
6.1 Introduction to Eigenvalues
範例：排序矩陣的特徵值λ滿足|λ|=1
上頁映射矩陣R也是排序矩陣(列對調)，其特徵值λ為1,-1 0 1 R= 1 0 但是P4的特徵值λ為±1, ± i有複數，其對應之特徵向量 (1, ±1, 1, ±1)與 (1,ction to Eigenvalues
範例：映射矩陣R的特徵值λ為1,-1
0 R= 1 1 0
(R2的特徵值是λ2=1 ,特徵向量不變)
R=2P- I , R2 = I
if Px= λx then 2Px=2λx , (2P- I) x=(2λ-1)x=Rx
0 1 P4 = 0 0
2011/6/18
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

线性代数1-8试题2011.10.11

《线性代数》试题1一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每题只有一个正确答案，错选、多选或未选均不给分。

）1. 若1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111211132122212331323133232323a a a a a a a a a a a a ++=+【】 A ．2 B. 4 C. 8 D.16 2．设A 是n 阶方阵，且3A =，则13A =【】 A ．113n -B ．13n -C ． 3nD ．13．设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭且，则A 的伴随矩阵A *=【】 A ．d b ca ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．a b c d -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C ．d b c a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. a b c d -⎛⎫ ⎪-⎝⎭4．设给向量组 321,,:αααA ； :B 4321,,,αααα ，则下列命题中正确的是【】A.若A 线性无关，则B 线性无关；B. 若B 线性无关，则A 线性无关；C.若A 线性无关，则B 线性相关；D. 若B 线性相关，则A 线性相关。

5．设21,ηη是非齐次线性方程组β=Ax 的解，则下列向量中齐次线性方程组0=Ax 的解的是【】.A ． 121233ηη+ B ．12ηη+ C ．12ηη-D ． 122ηη-6．设λ是可逆阵A 的一个特征值，则23A -必有一个特征值是【】A ．23λB ．32λC ．13λD ．23λ二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1.四阶行列式|a |D ij =中,含有因子1221a a 且带负号的项为 2．若方阵A 满足2230A A E +-=，则=-1A .3．设三阶方阵A 等价于122111231-⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭，则()R A =____ _4．设101n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则nA = 5．若2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与00xB y ⎛⎫= ⎪⎝⎭相似，则x = ，y = 。

2011年线性代数复习题(模拟题)

2011年线性代数复习题（模拟题）一、单项选择题1. n 阶行列式 0111101111011111=D的值为 B（A ）.1 （B ）.1)1(--n （C ）.0 （D ）.-12. 已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则=a 【 B 】 (A) 2； (B) 2-； (C) 1； (D) 1-.3. n 阶（n>1）行列式 1111111111111111=D 的值为【 A 】 (A) 0 （B ） 1 （C ） 1)1(--n （D ） -14. 设A ，B 都是n 阶方阵，且|A|＝－2，|B|＝1，则|A T B －1|＝ .(A)．－2(B)．－21(C)．21(D)．25. 设()121212212,314,.340205ij A B C c AB ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则c 23=______ A.22 B.10 C.3 D.1-6. 设 t () 表示排列的逆序数, 则=)596287431(t ___D__ A. 1 B.2 C.3 D.107. 设A ，B ，C 是三个n 阶方阵，若AB ＝AC ，则必有。

A ．A ＝0B ．B ＝CC ．|B|＝|C|D ．|AB|＝|AC| 8. 设 t () 表示排列的逆序数, 则 t t ()()()31472896516427531+- = 。

A.10B.12.C.0.D.11.9. 向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),αααα====则向量组1234,,,αααα的秩为_____(A) 1； (B) 2； (C) 3 ； (D) 4 。

10. 00322111=_____ (A) 0； (B) 6 ；(C) -6； (D) 10。

2010-2011第一学期线性代数期末试卷A(1)及答案

西南财经大学200 － 200 学年第学期专业科级（年级学期）学号评定成绩（分）学生姓名担任教师《线性代数》期末闭卷考试题（下述一 — 四题全作计100分，两小时完卷）考试日期：试题全文：一、填空题（共5小题，每题2分）1、211121112---= 2、设A 是m n ⨯矩阵，B 是p m ⨯矩阵，则T T A B 是______矩阵。

3、设αβ、线性无关，则k αββ+、线性无关的充要条件是_______。

4、设αβ、为n 维非零列向量，则T R ()αβ=_________。

5、设3阶矩阵-1A 的特征值为-1、2、1，则A =_____。

二、选择题（共10小题，每题2分）1、设A 、B 为n 阶矩阵，则下列说法正确的是（）（A ）、=B+AA B + （B ）AB =BA（C ）、T(AB )=TTA B （D ）若AB A =，则B E =2、若某个线性方程组相应的齐次线性方程组仅有零解，则该线性方程组（）（A)、有无穷解（B)、有唯一解（C)、无解（D ）、以上都不对3、一个向量组的极大线性无关组（）（A)、个数唯一（B)、个数不唯一（C)、所含向量个数唯一 (D)、所含向量个数不唯一 4、若3阶方阵A 与B 相似，且A 的特征值为2、3、5，则B-E =（）。

(A)、 30 （B)、 8 （C)、11 (D)、75、若m n ⨯矩阵A 的秩为m,则方程组A X B =（）。

（A)、有唯一解（B ）、有无穷解 (C)、有解（D)、可能无解6、设A 为3阶方阵，且1A 2=，则1*2A A -+=( )。

（A)、 8 （B)、16 （C)、10 (D)、127、已知行列式D 的第一行元素都是4，且D=-12，则D 中第一行元素代数余子式之和为（）。

（A)、0 （B)、-3 （C)、-12 （D)、4 8、设A 、B 都是正定矩阵，则（）（A)、AB,A+B 一定都是正定矩阵（B)、AB 是正定矩阵，A+B 不是正定矩阵（C)、AB 不一定是正定矩阵，A+B 是正定矩阵（D)、AB 、A+B 都不是正定矩阵9、设A 是n 阶方阵，且k A O =(k 是正整数)，则（）（A ）、A O = （B ）、A 有一个不为零的特征值 (C)、 A 的特征值全为零（D ）、A 有n 个线性无关的特征向量 10、已知2阶实对称矩阵A 满足232A A E O -+=，则A （）（A)、正定（B)、半正定（C ）、负定（D)、不定三、计算题（共8小题，每题8分）1、计算四阶行列式01001100100k k k k2、设100110111A⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，且*22A BA BA E=-，求B3、设111111kA kk⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，求R(A)4、考虑向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1412,2615,1012,31407,023154321ααααα (1) 求向量组的秩;(2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.5、设T α)0,2,1(1=, Tααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.6、设12314315A a-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭有一个2重特征值，求a 的值并讨论A 是否可对角化。

化工工程师-公共基础-高等数学-线性代数

化工工程师-公共基础-高等数学-线性代数[单选题]1.设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，行列式等于()。

[2010年真题]A.－｜A｜｜B｜B.｜A｜｜B｜C.（－1）m＋n｜A｜｜B｜D.（－1）mn｜A｜｜B｜正确答案：D参考解析：行列式经过m×n次列变换得到行列式即：[单选题]2.设A、B均为三阶方阵，且行列式|A|＝1，|B|＝－2，AT为A的转置矩阵，则行列式|－2ATB－1|＝()。

[2018年真题]A.－1B.1C.－4D.4正确答案：D参考解析：因为A、B均为三阶方阵，计算得|－2ATB－1|＝（－2）3×|AT|×|B－1|＝（－2）3×1×（－1/2）＝4。

[单选题]3.若n阶方阵A满足|A|＝b（b≠0，n≥2），而A*是A的伴随矩阵，则行列式|A*|等于()。

[2019年真题]A.bnB.bn－1C.bn－2D.bn－3正确答案：B参考解析：伴随矩阵A*＝|A|A－1，则|A*|＝|A|n·|A－1|＝|A|n·|A|－1＝|A|n－1。

又|A|＝b，则|A*|＝|A|n－1＝bn－1。

[单选题]4.矩阵的逆矩阵A－1是()。

[2017年真题]A.B.C.D.正确答案：C参考解析：用矩阵的基本变换求矩阵的逆矩阵，计算如下则有矩阵A的逆矩阵为[单选题]5.设则A－1＝()。

[2011年真题]A.B.C.D.正确答案：B参考解析：由A·A*＝|A|·E，得A－1＝A*/|A|，其中|A|＝－1；故可得：[单选题]6.设3阶矩阵已知A的伴随矩阵的秩为1，则a＝()。

[2011年真题]A.－2B.－1C.1D.2正确答案：A参考解析：由矩阵与伴随矩阵秩的关系式：可知，r（A）＝2。

故|A|＝0，得：a＝－2或a＝1。

当a＝1时，r（A）＝1。

故a＝－2。

[单选题]7.若使向量组α1＝（6，t，7）T，α2＝（4，2，2）T，α3＝（4，1，0）T线性相关，则t等于()。

2010-2011(1)线性代数(A)卷

命题方式：单独命题佛山科学技术学院2010 —2011学年第一学期《线性代数》课程期末考试试题（A卷）佛山科学技术学院2010～2011学年第一学期《线性代数》课程期末考试试题（A 卷）解答及评分标准专业、班级： 09材料化学（1）（2）、09化学师范、09应用化学任课教师陈怡一、单项选择题：（每小题3分，共30分）（1）D （2）A （3）C （4）D （5）A （6）B （7）C （8）A （9）A（10）D 二、（7分）解00000433221433221b a b b a b a a b b a a D -= （注：按第1行展开） (3分) 332241332241a b b a b b a b b a a a -= (5分)33224141a b b a b b a a )(-= (6分)))((32324141b b a a b b a a --=. (7分)三、（7分）解：因为 ληη=A ，则 ηλη11--=A A A 从而 ηηλ11-=A即 λ1是1-A 的特征值，η是1-A 的属于λ1的特征向量；（2分）知， 231++λλ是E A A 231++-的特征值（4分）因为3阶方阵A 的特征值为1,、2、-3，所以3阶方阵E A A 231++-的特征值为6、217、-322，（5分）则 E A A 231++-=6374)322(217-=-⨯⨯ （7分）四、（10分）解：（1）由题目条件和定理知，当3=λ时，原方程组有解. (3分)当3=λ时，原方程组可化为同解方程组：⎩⎨⎧=++-=+-.,132432421x x x x x x亦即⎩⎨⎧+-=+-=.,132423421x x x x x x （42x x ,可任意取值） (4分)可知，对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1301011121ξξ,. (7分) 于是得知，原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010213010111214321c c x x x x ，(42c c ,可任意取值). (10分)五、（12分）解对A 作初等行变换变成行阶梯形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=4312374321212431A (1分)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0550********2431～ (2分)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000900005502431～. (5分) 1010011000010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～. (6分)于是，得1.3=)(A R (7分)2. 因<=3)(A R 向量个数 4 ，故所给向量组线性相关. (9分)3. 所给向量组的一个最大无关组为421a a a ,,. (11分)12ααα=+3 (12分)六、（10分）解把所给方程变形为A X E A =-)(. (1分)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-010********2022021),(A E A (2分) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----332340*********21～ (4分) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---312100010110022021～ (6分) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----312100302010622001～， (8分)可见E E A r～-，因此E A -可逆，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=-3123026221A E A X )(. (10分) 七、（10分）解：由 0=1+1--=-010-1010-=-2)()(｜｜λλλλλλE A ， (2分)求得A 的特征值为1==21λλ，1-=3λ. (3分)对应1==21λλ，解方程0x E A =-)(，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001-01⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01000101-=-r ～E A ， (4分) 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010=1ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101=2ξ. 可知21ξξ,正交 (5分) 再将21ξξ,单位化，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010=1p ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10121=2p . (6分)对应1-=3λ，解方程0x E A =+)(，由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101=+r ～E A ， (7分) 得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101-=3ξ，将3ξ单位化，得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101-21=3p . (8分) 将321p p p ,,构成正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121000121-210==321),,(p p p P ， (9分)有 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-00010001==1-ΛAP P . (10分)八、（8分）证明（1）由 O E A A =--1032 得 E E A A 10)3(=-则 E E A A =-)]3(101[ （3分）所以 )]3(101[1E A A -=- （4分）又由 O E A =--1032A 得 E E A E A 6)4)((=-+则 E E A E A =-+)4)]((61[ （7分）所以 )(61)4(1E A E A +=-- （8分）九、（6分）证明：因为A 与B 相似，故存在可逆矩阵P ，使得1B P AP -= （2分）则 111()()()T T T T T T T T B P AP P A P P A P ---=== （4分）且 T P 是可逆矩阵（5分）于是 T A 与TB 相似。

线性代数—Linear Algebra

(ii)
1 A = − 1 2
1 −2 3
2 1
3 2
1 − 1 2 1 4 3
2 − 3 = LDLT 1
= ( L D )( L D )T = R T R
2011/6/13 13
Positive Definite Matrices: A=RTR R has independent columns
When the first derivatives əf/əx and əf/əy are zero and the second derivative matrix is positive definite, we have found a local minimum.
2011/6/13 6
6.5 Positive Definite Matrices(正定矩陣)
2011/6/13 7
6.5 Positive Definite Matrices:
First Application: Test for a Minimum
1 2 例題： A = 2 7
f(x,y)=xTAx=x2+4xy+7y2= (x+2y)2+3y2 >0 寫成兩個平方項之和。
a b 針對一般 A = b c
b 2 b2 2 f ( x, y ) = ax 2 + 2bxy + cy 2 = a ( x + y ) + (c − ) y a a
two pivots
2011/6/13
8
6.5 Positive Definite Matrices: First Application: Test for a Minimum

《线性代数》考试复习题及解答

《线性代数》考试复习题一. 判断题（正确打√，错误打×）1．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 解答：因为没有说明01≠⨯n x ，所以错误.2．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√)解答：因为实对称矩阵与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21相似（n λλλ,,,21 是A 的特征值），而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21的秩等于n λλλ,,,21 中非零数的个数, 又因为相似矩阵秩相同, 所以结论正确.3．二次型Ax x T的标准形的系数是A 的特征值(×)解答：正确结论是：用正交变换化二次型Ax x T为标准形的系数是A 的特征值. 4. 若k ααα,,, 21线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (×)解答：虽然k ααα,,, 21都是A 的特征向量，但他们不一定属于A 的同一个特征值，所以他们正交化后不一定是特征向量.5．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则 Ax x T不是二次型. (×)解答：对于任意的n 阶矩阵A ，Ax x T都是二次型，只是若不要求A对称，二次型Ax x T中的A 不唯一. 例如取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4421A ，那么21222164x x x x Ax x T ++=，但取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4331A ，仍得到此二次型.二．单项选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21(-A 有一个特征值为(C ).(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a . 解答：因为n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 a A ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111 a A ，所以a 1是1-A 的一个特征值，所以22-a 是12)21(-A 的一个特征值. 2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的特征向量最多有(A )个线性无关.(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 解答：A 对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数≤λ的重数. 3. 设A 为n 阶非零矩阵，并且O A =3，那么(C ) .(A) A E -不可逆，A E +不可逆； (B) A E -不可逆，A E +可逆； (C) A E -可逆，A E +可逆； (D) A E -可逆，A E +不可逆. 解答：设λ为A 的任意一个特征值，那么3λ是3A 的特征值，但O A =3，所以0=λ，所以1±=λ不是A 的特征值，所以A E -、A E +都可逆. 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为(D ).(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；(B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112； (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2112；(D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221 . 解答：方法1 合同矩阵的行列式符号相同(BC C A T=,那么B C A 2=)，所以选(D) .方法2 2122214x x x x Ax x T ++=, 令⎩⎨⎧=-=2211y x y x , 那么2122214y y y y Ax x T -+=,而2122214y y y y Ax x T -+=的矩阵就是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221, 所以选(D) .方法3 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A 的特征值是3,1-, 而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221的特征值也是3,1-, 所以两个二次型可化为同一个标准型, 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221合同, 所以选(D) . 三. 填空题1. 若A 为正定矩阵，且E A A T=，则=A E .解答：因为A 为正定矩阵, 所以A A T =, 并且E A +可逆，从而E A =2,即O E A E A =-+))((, 所以E A =.2.设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，01=αA ，2122ααα+=A ，则A 的非零特征值为=λ 1 .解答：方法1 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+==1020),()2,0(),(),(21212121ααααααααA A A , 而 21,αα线性无关，所以矩阵),(21αα可逆，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1020),(),(21121ααααA ，即A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020相似，所以A 的非零特征值为1. 方法2 因为01=αA ，01≠α，所以0是A 的一个特征值. 因为02212≠+=αααA ，而22122)(ααααA A A A A =+=，所以1是A 的一个特征值, 而A 为2阶矩阵, 所以A 的非零特征值为1.3. 设3阶方阵A 的特征值互不相同，0=A ，则A 的秩= 2 . 解答：因为A 的特征值互不相同，所以A 与对角矩阵相似，所以)(A R 等于A 的非零特征值的个数, 因为A 为3阶方阵, 0=A , 所以A 的特征值是01=λ，2λ、03≠λ，所以2)(=A R .4. （2011年考研题）若二次曲面的方程4=2+2+2++3+222yz xz axy z y x 经正交变换化为4=4+2121z y ，则=a 1 .解答：由题知二次型的系数矩阵的特征值为4=1=0=321λλλ,, ，于是有0==1111311=321λλλaa A ||，解得1=a .5. （2011年考研题）设二次型Ax x x x x f T =321),,(的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y解答：因为二次型Ax x x x x f T =321),,(的秩为1，所以非零特征值只有一个，由A 的各行元素之和为3，知3是A 的特征值，故f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y . 6. （2011年考研题）二次型3231212322213212+2+2++3+=x x x x x x x x x x x x f ),,(，则f 的正惯性指数为 2 .解答：方法1 配方得2223213212+++=x x x x x x x f )(),,(，故正惯性指数为2.方法2 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111131111=A 的特征值也可得正惯性指数为2.7. 设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1，则=--E A 14 3 .解答：因为A 的特征值为2,2,1, 所以-1A 的特征值为2121,1，, 所以E A --14的特征值为11,3，, 所以341=--E A四. 计算题1.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=735946524A 的特征值与特征向量.解答：λλλλλλλλλ--------------=-731941521132735946524||列列加到、E A)1(21420521)1(731941521)1(2λλλλλλλλ-=------=------=,所以特征值为11=λ，=2λ03=λ.对于11=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111k x ,对于=2λ03=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312k x , 其中21,k k 是不为零的任意常数.2．求()n n A ⨯=1的特征值与特征向量.解答：因为1))(---=-n n EA λλλ（行和相等, 所以0121====-n λλλ ,n n =λ.对应于0121====-n λλλ : 方程组0=Ax 即为021=+++n x x x ,所以特征向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--1111n n k k k k x , 其中121,,,-n k k k 不全为零. 对应于n n =λ:因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-n n nn n n nnnE A 00111111111111行 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−101011000101011111行行n , 所以方程组nx Ax =即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-111312x x xx x x n , 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a x , 其中0≠a .3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y x A 与对角阵相似，求x 和y 应满足的条件.解答：容易求得A 的特征值为11-=λ，132==λλ，因为A 与对角阵相似当且仅当A 有3个线性无关的特征向量，所以对应于132==λλ，应该有两个线性无关的特征向量，所以2)(3=--E A R ，即1)(=-E A R ,而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00000101-1010101y x y x E A 行, 所以0=+y x .4.（2011年考研题）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-0011A . （1）求A 的特征值与特征向量;（2）求矩阵A . 解答：（1）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-01-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01A A ,, 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-011k ，1k 为任意非零常数；1也是A 的一个特征值，且属于1的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1012k ，2k 为任意非零常数.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则()()0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01321321x x x x x x ,，即 ⎩⎨⎧0=+0=-3131,,x x x x于是属于0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0103k ，3k 为任意非零常数.（2）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-=1-AP P ，于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001000100=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0102102121-021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010001-=1-P P A 5．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,（1）求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值；（2）指出方程1),,(321=x x x f 表示何种曲面. 解答：二次型),,(321x x x f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=91203512c 60091203511224033351315c c c A 行行, 因为2)(=A R ，所以3=c （或者由0=A 得c ）. 于是)9)(4(363361001)4(333351011)4(333351044333351315||--=------=------=-------=-------=-λλλλλλλλλλλλλλλλλE A所以A 的特征值为9,4,0, 于是二次型),,(321x x x f 通过正交变换化为232221094y y y ++, 所以1),,(321=x x x f 表示椭圆柱面. 五．证明题1. 若矩阵A 满足O E A A =+-232，证明A 的特征值只能是1或2.证明: 设λ为A 的任意一个特征值，那么232+-λλ是E A A 232+-的特征值, 所以0232=+-λλ, 所以21或=λ.2. 证明⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100002A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=260010001B 相似.证明: 容易求得A 、B 的特征值都是2,1,1-, 所以A 、B 都与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-200010001相似, 所以A与B 相似.3. 已知A 、B 都是n 阶正交矩阵, 且0=+B A , 证明0=+B A .证明因为TT T T T B A A B B B A A )()(+=+=+, 所以||||||||B A B B A A +=+，而A B -=，12=A , 所以||||B A B A +=+-, 所以0=+B A .4. 若矩阵A 正定，证明A 可逆并且1-A 也正定.证明因为A 正定，所以A A T=且 ||A >0，于是A 可逆.由1-1-1-==A A A T T )()(知1-A 为对称矩阵，由于A 正定，所以A 的特征值n λλλ ,,21全为正，于是1-A 的特征值nλλλ11121,,,. 也全为正，故1-A 正定.5.设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ,试证：当0>λ时，矩阵B 为正定矩阵.证明由于B A A E A A E B TT T T =+=+=λλ)(, 所以B 为n 阶实对称矩阵.于是，对于任意的非零列向量x ，有 Ax A x x x x A A E x Bx x TT T T T T +=+=λλ)( )()(Ax Ax x x TT +=λ，而当0≠x 时，有0>x x T， 0≥)()(Ax Ax T，从而，0>λ时，0>+=)()(Ax Ax x x Bx x T T T λ，即矩阵B 为正定矩阵.。

同济11-12第一学期线性代数_A卷_

⎛2 2 0⎞
二、（10
分）设
AB
+
A
+
B
=
O
,其中
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
4 0
2 0
0 1
⎟ ⎟⎟⎠
,求矩阵
B
.
解：
| B |=
.
2、全体 3 阶实对称阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间的维数为
.
3、已知三阶矩阵 A 满足| A − E |=| A − 2E |=| A − 3E |= 0 ，则| A + E |=
（C） α1 + α2 ,α2 − α3,α3 + α1 线性无关
三、（10 分）设 3 阶对称阵 A 的 3 个特征值为 1，2，2. 求： A102 − 3A101 + 2 A100 .
解：
2011-2012 学年第一学期《线性代数》期终考试试卷（A 卷）--2
五、（12 分）设二次 2x2 x3 ．（1）写出二次型 f 的矩阵；
．
4、二次型 f = −x2 − y2 − z2 + axy 是负定二次型,则 a 的取值范围是
.
5、设 A,
B 均为
2
阶矩阵， A*, B* 分别为 A,
B 的伴随矩阵.
若
A
= 2,
B
=
3
，则分块矩阵
⎛ ⎜ ⎝
A O
O B
⎞ ⎟ ⎠
的伴随矩
阵为 (
)
（A）
⎛ 2 A* ⎜
⎝O
O⎞
3B*
⎟ ⎠
.
八、（8 分）设 m × n 矩阵 C 为行满秩，即 R(C) = m ，试证：

自考重点线性代数

全国2011年7月高等教育自学考试线性代数〔经管类〕试题课程代码：04184说明：本卷中，A T表示方阵A 的转置钜阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。

错选、多项选择或未选均无分。

1．设101350041A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么TAA =〔〕A ．-49B ．-7C ．7D ．492．设A 为3阶方阵，且4A =，那么2A -=〔〕 A ．-32 B ．-8 C ．8D ．323．设A ，B 为n 阶方阵，且A T=-A ，B T=B ，那么以下命题正确的选项是〔〕 A ．〔A +B 〕T=A +B B ．〔AB 〕T=-AB C ．A 2是对称矩阵D ．B 2+A 是对称阵4．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶方阵，那么下面等式正确的选项是〔〕 A ．假设A 2=0，那么A =0 B ．〔AB 〕2=A 2B 2C ．假设AX =AY ，那么X =YD ．假设A +X =B ，那么X =B -A5．设矩阵A =1131021400050000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么秩〔A 〕=〔〕 A ．1 B ．2 C ．3D ．46．假设方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，那么k ≠〔〕A ．-2B ．-1C ．0D ．27．实数向量空间V={〔x 1，x 2，x 3〕|x 1 +x 3=0}的维数是〔〕 A ．0 B ．1 C ．2D ．38．假设方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，那么λ=〔〕A ．1B ．2C ．3D ．49．设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么以下矩阵中与A 相似的是〔〕 A ．100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B ．110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．100011002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．101020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10．设实二次型2212323(,,)f x x x x x =-，那么f 〔〕 A ．正定 B ．不定 C ．负定D ．半正定二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕请在每题的空格中填上正确答案。

线性代数(2010-2011年度所有线性代数试题及部分答案)

全国2011年1月自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：本卷中，A T 表示矩阵A 转置，det(A )表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，(α，β)表示向量α，β的内积，E 表示单位矩阵．一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A 是4阶方阵，且det(A )=4，则det(4A )=( )A ．44B ．45C ．46D ．472．已知A 2+A +E =0，则矩阵A -1=( )A ．A +EB ．A -EC ．-A -ED ．-A +E 3．设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =( )A ．A -1CB -1B ．CA -1B -1C ．B -1A -1CD ．CB -1A -14．设A 是s×n 矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A 的叙述正确的是( )A ．A T A 是s×s 对称矩阵B ．A T A =AA TC ．(A T A )T =AA TD ．AA T 是s×s 对称矩阵5．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出6．设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量X 均满足AX =0，则( )A ．A =0B ．A =EC ．秩(A )=nD ．0<秩(A )<n7．设矩阵A 与B 相似，则以下结论不正确．．．的是( ) A ．秩(A )=秩(B )B ．A 与B 等价C ．A 与B 有相同的特征值D ．A 与B 的特征向量一定相同8．设1λ，2λ，3λ为矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200540093的三个特征值，则1λ2λ3λ=( )A ．10B ．20C ．24D ．309．二次型f (x 1，x 2，x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 10．设A ，B 是正定矩阵，则( )A ．AB 一定是正定矩阵B ．A +B 一定是正定矩阵C ．(AB )T 一定是正定矩阵D ．A -B 一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数同济大学第五版课后习题答案

线性代数同济大学第五版课后习题答案第五版线性代数同济版答案第一章行列式1用对角法则计算下列三阶行列式(1)2011年？4？1？183解决办法2011年？4？1？1832(4)3 0(1)(1)1 1 8 0 1 3 2(1)8 1(4)(1)24 8 16 4 4(2)abcbcacab解决办法abcbcacabacb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3111abc222abc (3)111abc222abc解决方案bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2(a)b)c)c)a)xyx？yyx？yxx？yxy(4)解决办法x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3 x3 3xy(x y)y3 x2 y x3 y3 x32(x3 y3)根据自然数从小到大的标准顺序，找出下列排列的逆序数xyx？yyx？yxx？yxy(1)1 2 3 4解的逆序数是0 (2)4 1 3 2反向订单号是4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1逆解的数目是5 3 2 3 1 4 2 4 1，2 1 (4)2 4 1 3逆解的个数是3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)n(n )?1)解的逆序数为23 2 (1)5 2 5 4(2)7 2 7 4 7 6(3)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n(6)13(2 n1)(2n)(2 N2)2解的逆序数是n(n 1) 3 2(1)5 2 5 4 (2)(2 n1)2(2 n1)4(2 n1)6(2 n1)(2 N2)(n42(1)6 2 6 4(2)(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1) 3将包含因子a11a23的项写入四阶行列式以求解包含因子a11a23的项的一般形式是(1)ta11a23a3ra4s当rs是2和4的排列时，有两个这样的排列，即24和42，因此包含因子a11a23的项分别是(1)ta 11a 23 a 32 a 44(1)1a 11 a 23 a 32 a 44 a 11 a 23 a 32 a 44)11 (1)ta 11 a 23 a 34 a 42(1)2 a 11 a 23 a 34 a 42 a 11 a 23 a 34 a 42 4计算下列行列式41100 (1)1251202112514207 20214c2？c342？？？？？？10c？7c10307441100解决方案？12302021？1024？1？10？14岁？122？(？1)4？30103？144？110c2？c39910？12岁？2？？？？？？00吗？2？010314c1？12c31717142315 (2)1？120423611222315解决方案1？12042361c4？c221？？？？？312521？12042360r4？r222？？？？？310221？12142340200r4？r123？？？？？101？120423002？000(3)？阿巴卡巴德？cddebfcf？仰角指示器解决办法？阿巴卡。

线性代数第14讲

T i= j= 1 1 n n
6 2011-2-20
f (x , x2,L xn ) = ∑∑aij xi xj = X AX (6.5) , 1
T i= j= 1 1
n
n
把A称为二次型对应的矩阵, 对于任意一个二次型(6.1), 总可以通过(6.2)使其写成对称形式 (6.3), 并对应矩阵A. 由(6.2)知, A为对称矩阵, 又若A,B为n阶对称方阵, 且 f(x1,x2,...,xn)=XTAX=XTBX, 则必有A=B. 故二次型和它的矩阵是相互唯一确定的. 所以, 研究二次型的性质转化为研究 A所具有的性质.
11 2011Leabharlann 2-20将(3)式代入(1)式 5 −3 x T 1 X AX =[x , x2] = 4, 1 −3 5 x2
得 X AX =Y C ACY = 2y +8y = 4, 其中
T T T 2 1 2 2
2 2 2 2 2 5 −3 2 − 2 T 2 C AC = −3 5 2 2 2 2 − 2 2 2 2 2 0 = 0 8
23 2011-2-20
推论设A为n阶实对称阵, 若A的正负惯性指数分别为p和q, 则 A≅diag(1,...,1,−1,...,−1,0,...,0) (6.14) 其中1有p个, −1有q个, 0有n−(p+q)个. 或者说, 对于二次型XTAX, 存在非退化线性变换X=CY, 使得 T 2 2 2 2 X AX = y1 +L+ yp − yp+1 −L− yp+q. (6.15) 并把(6.15)式右端的二次型称为XTAX的规范形; 把(6.14)式中的对角阵称为A的合同规范形.

2011级线性代数期末复习题解答

2011级线性代数期末复习题一．选择题 1. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组[（C ）]（A ）14433221,,,αααααααα++++线性无关。

（B ）14433221,,,αααααααα----线性无关。

（C ）14433221,,,αααααααα-+++线性无关。

（D ）14433221,,,αααααααα--++线性无关。

()A 对应向量组线性相关。

12233441,,,αααααααα∴++++线性相关。

类似（B ）,(D)对应向量组线性相关。

2. 设A ，B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有[（A ） ] （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。

12(,,,)=000AX=00AX=0R(A)m r r n n A B A b b b B B r⨯⨯=⇒≠⇒⇒< （，，，）的每一列是的解；有非零解A 的列向量组线性相关;00T T AB B A =⇒=⇒B 的行向量组线性相关.3. 对非齐次线性方程组b Ax =及其导出组0=Ax ，应有[（C ）]成立。

（A ）若0=Ax 仅有零解，则b Ax =无解；（B ）若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解；（C ）若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 有非零解；（D ）若b Ax =有惟一解，则0=Ax 有非零解。

注意：齐次方程有解，通常推不出非齐次方程也有解。

4.设A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程有0=Ax 仅有零解的充要条件是[（A ） ] （A ）A 的列向量线性无关；（B ）A 的列向量线性相关；（C ）A 的行向量线性无关；（D ）A 的行向量线性相关。

5.若在非齐次线性方程组m n A x b ⨯=中，系数矩阵A 的秩为r ，则[（A ） ] （A ）m r =时, b Ax =有解（B ）n m =时， b Ax =有惟一解（C ）n r =时, b Ax =有惟一解（D ）n r <时, b Ax =有无穷解注意增广矩阵B 的行数为m.R(A)=m,则R(B)=m 。

2011年1月-2012年4月自考04184线性代数(经管类)历年试题及答案

2011年1月-2012年4月自考04184线性代数(经管类)历年试题及答案全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r (A)表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( )A.-12B.-6C.6D.122.设矩阵A =120120003⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A *中位于第1行第2列的元素是()A.-6B.-3C.3D.63.设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则1()A --=( )A.-3B.13-C.13D.34.已知4⨯3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于( ) A.1B.2C.3D.45.设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则用P 左乘A ，相当于将A ( )A.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列6.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为( )A.1B.2C.3D.47.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为( ) A.1212cηηη-+ B.1212c ηηη-+ C.1212cηηη++ D.1212c ηηη++8.设A 是n 阶方阵，且|5A +3E |=0，则A 必有一个特征值为( ) A.53-B.35-C.35D.539.若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 3=( ) A.E B.DC.AD.-E10.二次型f 123(,,)x x x =22212332x x x +-是( )A.正定的B.负定的C.半正定的D.不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。