弹性力学基本理论
弹性力学基本理论
15
1.1.3 应变的概念
(a) x方向的线应变
(b) y方向的线应变
(c) xy面内的剪应变
图 1-3 单元体应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
u x x
y
u y x
（1.9）
u y y
ux y
相应地，y轴方向的正应变为： x-y 平面内的剪应变：
tan 1
（1.10）
; tan 2
（1.11）
16
1.1.3 应变的概念
因此，剪应变 xy 为
xy
u x 1 2 x y u y
（1.12）
应变分量的矩阵型式
x xy ij yx y zx yy
2 2 Tn n n 2
m A
B T
G
P A
n
o
y
图1-1 物体内任意点处的应力
（1.6）
12
1.1.2 应力的概念 应力状态
在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有 同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面 上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。
x' ' y z'
=
0 1 0 cos 0 sin
0 x1 sin y1 cos z1
（b）
将第一式代入上式，可得
x ' 1 0 0 cos sin 0 x ' y y 0 cos sin = sin cos 0 z' z 0 sin cos 0 0 1
弹性力学考研试题及答案
弹性力学考研试题及答案1. 弹性力学基本概念- 弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变，当外力消失后物体能否恢复原状的学科。
2. 弹性力学的基本原理- 胡克定律：在弹性限度内，物体的形变与外力成正比。
- 弹性模量：描述材料抵抗形变的能力。
3. 弹性力学的数学描述- 应力：单位面积上的内力。
- 应变：物体形变的程度。
- 应力-应变关系：描述应力与应变之间的数学关系。
4. 弹性力学的分类- 线弹性：应力与应变成正比。
- 非线性弹性：应力与应变不成正比。
5. 弹性力学的应用- 结构工程：预测和设计结构的承载能力。
- 材料科学：研究材料的力学性质。
6. 弹性力学的计算方法- 有限元分析：通过数值方法求解弹性力学问题。
- 能量法：利用能量原理求解弹性力学问题。
7. 弹性力学的实验方法- 拉伸试验：测量材料的弹性模量。
- 压缩试验：测量材料的抗压能力。
8. 弹性力学的典型问题- 梁的弯曲：分析梁在弯曲力作用下的应力和应变分布。
- 薄壳理论：研究薄壳结构在外力作用下的变形。
9. 弹性力学的前沿研究- 智能材料：研究具有自适应能力的新型材料。
- 纳米力学：研究纳米尺度下的力学行为。
答案1. 弹性力学基本概念- 正确。
2. 弹性力学的基本原理- 正确。
3. 弹性力学的数学描述- 正确。
4. 弹性力学的分类- 正确。
5. 弹性力学的应用- 正确。
6. 弹性力学的计算方法- 正确。
7. 弹性力学的实验方法- 正确。
8. 弹性力学的典型问题 - 正确。
9. 弹性力学的前沿研究 - 正确。
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
弹性力学及其在工程中的应用研究
弹性力学及其在工程中的应用研究弹性力学是研究固体变形和应力分布规律的一门物理学科。
它在工程领域中具有广泛的应用，可以用来设计材料、结构和设备，预测功能的能力和寿命等等。
本文将简要介绍弹性力学的基本理论和主要应用，并探讨其对工程项目的重要性。
1.弹性力学的基本理论弹性力学的基本理论包含了两个部分：弹性形变和应力分布。
其中，弹性形变是指在物体受到外力时，具有一定的形变能力，且摆脱外力后，能恢复原来的形状。
应力分布是弹性形变的前提，也即物体在受力情况下的应变状况，它包含了应变量、外力与力学性能等参数。
对于一个点在空间中的变形，可以使用切向量和法向量来描述其变化。
切向量描述了物体上某点沿表面的变形，比如皮肤在头部运动时的变形；法向量描述了物体上某点的体积扩张或收缩，比如气压变化对于塑料容器的影响。
这两个向量的具体计算模型基于弹性模量、杨氏模量、泊松比等物理参数。
2.弹性力学在工程领域的应用弹性力学在工程领域应用广泛，下面列举几个常见的例子：（1）结构设计：弹性力学可用于建筑、桥梁、汽车、飞机、火箭、船舶等结构物的设计、分析和优化。
例如，当需要在海洋平台上建设高压油气管线时，弹性力学可以帮助设计出所需的特殊管道，并保证其经济、可靠和安全。
此外，也是基于弹性力学，人们才能够建造出高速铁路、超高层建筑等现代化的设施。
（2）材料制造：弹性力学不仅可以用于结构设计，还可以用于材料工业的生产优化。
例如，在钢铁生产过程中，了解弹性力学可以帮助精确地调整钢丝绳的拉伸和松弛，从而生产出高强度、高韧性的钢材。
（3）机器设备：弹性力学可以用于制造各种机器和设备，例如，弹簧、轮胎、传动带、齿轮、气动系统和液压系统等。
弹性力学理论可以指导机器的设计和改进，从而提高工作效率和减少机械故障。
3.弹性力学在工程项目中的重要性弹性力学在工程项目中有着举足轻重的地位。
首先，基于弹性力学理论进行的工程设计可以降低风险，提高可靠性。
例如，在风力发电机组件的设计中，弹性力学可以指导刚度和载荷分布的控制，从而确保风机的安全和稳定运行。
弹性力学理论
弹性力学理论弹性力学理论是研究物体在受力作用下的变形和应力分布规律的科学理论。
它是应用力学的基础学科，对于工程领域的设计和分析至关重要。
本文将从理论概述、基本原理、应力分析、变形分析和应用等方面对弹性力学进行论述。
一、理论概述弹性力学理论是力学中的重要分支，它研究的是物体在受力作用下的弹性变形和应力分布规律。
从宏观上来看，弹性力学理论可以用于解释物体的形变和变形后的恢复情况。
从微观角度来看，弹性力学理论涉及到原子和分子之间的相互作用力，以及它们之间的位移和应力的关系。
二、基本原理弹性力学理论建立在几个基本原理之上。
首先是虚功原理，它表明物体在受力作用下的形变能量等于外力对物体所做的功。
其次是共轭原理，说明应力与应变之间存在一一对应的关系。
弹性力学还依赖于线性弹性假设，即假设物体的应力与应变之间是线性关系。
三、应力分析弹性力学理论对于应力分析提供了有力的工具。
应力是物体内部的力分布，它可以通过弹性模量、泊松比等参数进行描述。
弹性力学理论可以计算各个部位的应力大小和分布情况，从而评估物体在受力下是否会发生破坏。
在工程实践中，应力分析是设计结构和材料的重要环节。
四、变形分析除了应力分析，变形分析也是弹性力学理论的重要内容。
变形是物体在受力作用下发生的形状改变，它可以通过应变进行描述。
弹性力学理论可以计算物体在受力下的变形情况，包括线性弹性变形和非线性变形等。
通过对变形进行分析，可以判断物体是否满足设计要求，以及设计参数的合理性。
五、应用弹性力学理论在工程领域有广泛的应用。
在结构设计中，弹性力学理论可以用于计算各个部位的应力和变形情况，从而预测结构的安全性和可靠性。
在材料工程中，弹性力学理论可以评估材料的弹性性能和变形行为，为材料选择和优化提供指导。
此外，弹性力学理论还被应用于地质勘探、地震学和生物力学等领域。
结论弹性力学理论作为应用力学的基础学科，对于工程领域的设计和分析具有重要意义。
通过理论概述、基本原理、应力分析、变形分析和应用等方面的论述，对弹性力学进行了全面介绍。
弹性力学基本理论
( , )2
可略去
等项,使几何方程成为线性方程。
弹性力学基本假定，确定了弹性力 学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
第二节 有限元方法概述
分析思路是： 将整个结构看作是由有限个力学小 单元相互连接而形成的集合体，每 个单元的力学特性组合在一起便可 提供整体结构的力学特性。
离散化的组合体与真实弹性体的区别 在于：组合体中单元与单元之间的联 接除了结点之外再无任何关联。但要 满足变形协调条件，单元之间只能通 过结点来传递内力。通过结点来传递 的内力称为结点力，作用在结点上的 荷载称为结点荷载。当连续体受到外 力作用发生变形时，组成它的各个单 元也将发生变形，因而各个结点要产 生不同程度的位移，这种位移称为结 点位移。
面力是指分布在物体表面的力，如
流体的压力和接触力 。
z
fz F
S
fy
fx P
y
x
三、应力分量 内力的平均集度即为平均应力。
z
p在法向和切向的分量，
F
p
A
P
也就是正应力和切应力，
y
如图所示。
x
应力分量如图所示。 应力分量可用矩阵表示为
四、应变分量
应变是指物体在受力后发生变形的 相对量，总的可以归结为长度的改 变和角度的改变。
5、小变形假定 假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸，
例：梁的挠度v＜＜梁高h。
b. ε,
1.
例：梁的ε 103 1
＜＜1弧度。
小变形假定的应用：
a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡
条件时，可以用变形前的尺寸代替变形
后的尺寸。
b.简化几何方程：在几何方程中，由
于(, ) (, )2 (, )3 ,
2--弹性力学基本理论
yz
zx
• 应变的定义
• 设平行六面体单元，3个轴棱边 ：
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'
。
x、 y、 z
•正应变（小变形）
•符号规定： 正应变以伸长为正。
•剪应变
•符号规定： 正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
ͼ 1-1a
x
0
sx x
ͼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
ͼ 1-3a ͼ 1-3b
2.1 弹性力学的基本假定
• 连续性假设：物体所占的空间被介 质充满，不考虑材料缺陷，在物体 内的物理量是连续的, 可以采用连续 函数来描述对象。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这 样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单 元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析 的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们 可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度， 并确定它们的适用范围。
当△S 趋近于0，则为P点的面力
•面力分量 •符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 •面力的量纲：[力]/[长度]^2 •列阵表示：Fs={X Y Z}T
集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点
弹性力学理论基础
2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 2）应力 物体受外力作用后，在其内部将要产生 应力。 六面体称为微元体：从物体中取出一 个无限小的平行六面体，它的棱边平行于 坐标轴。 将微元体每一个面上的应力分解成为一 个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴 平行，并称为该面的三个应力分量
2.1 基本假设和基本概念
1）分析各点的位移
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 2）求正应变
根据弹性力学的基本假设，限定位移是微小 的。
正应变的定义有：
u dx
x
dx
u dx x
dx
u x
同理：
y
PB2 PB
PB
v y
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 3）求剪应变
在弹性力学里假想把物体分成无限多个微小六面体(在物 体边界处可能是微小四面体)，称为微元体。
考虑任一微元体的平衡(或运动)，可写出一组平衡(或运 动)微分方程及边界条件。
2.1 基本假设和基本概念
（3）弹性力学问题求解的基本方法 弹性力学问题都是超静定的，必须同时再考虑微元体
的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相 应地称为几何方程和物理方程。平衡(或运动)方程、几何方 程和物理方程以及边界条件称为弹性力学的基本方程。
2 x
x 2
dx 2
略去二阶及二阶以上的微量后：
x
x
x
dx
同样设左面的剪应力是 xy
右面的剪应力将是
xy
xy x
dx
2.2 弹性力学的基本方程
（1）平衡方程
各个面上所受的应力可以假设为均匀分
布，并作用在对应面的中心。六面体所受的 体力，也可假设为均匀分布，并作用在它的 体积的中心。
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用弹性力学是固体力学学科的分支。
其基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
一．弹性力学的基本规律规律假设弹性力学的研究对象是完全弹性体。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。
井下工程是复杂多变的，随着工程的进展，巷道的应力情况也在不断的变化，我们研究的不是一个静止的物体，我们要研究的是一个动态的、不断变化的围岩条件。
要研究岩体的弹性问题,必须要给它一个前提,也就是对它的假设,基本假设是弹性力学讨论问题的基础。
没有基本假设任何问题也进行不了.下面简要介绍弹性力学的几个基本假设：1.连续性假设：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空袭。
2.均匀性假设：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。
因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。
因此，物体的弹性性质处处是相同的。
3.各向同性假设：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常熟将不随坐标方向的改变而变化。
4.完全弹性假设：对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。
5.小变形假设：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
6.无初始应力的假设：假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。
根据这一假设，弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。
二．下面介绍一下弹性力学基本的解决问题的方法：弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。
数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对岩体在某种假设的前提下进行弹性分析，从而得出岩体的各种力学参数。
弹性力学的基本原理
弹性力学的基本原理弹性力学是研究物体在受力后能够恢复原状的力学分支。
它的基本原理可以总结如下：背景介绍弹性力学是力学学科的一个重要分支，研究物体受力后能够恢复原状的性质和行为。
弹性力学的研究对象可以是实物材料，如金属、塑料等，也可以是抽象的理想模型。
本文主要内容本文将讨论弹性力学的基本原理，包括以下几个方面：1. 倍力定律：弹性力学的基本原理之一是倍力定律。
倍力定律指出，在弹性变形范围内，物体受力与其变形之间存在着线性关系。
换句话说，物体受力越大，变形也越大，且两者之间成正比。
2. 弹性恢复：另一个基本原理是弹性恢复。
当外力作用于物体时，物体会变形，但在外力消失后，物体会努力恢复到原来的形状和尺寸。
这种恢复性质是弹性力学的核心特征。
3. 施加力和变形的关系：弹性力学研究物体受力后的变形情况。
在弹性力学中，施加力的方式和大小与物体的变形密切相关。
不同的力学作用方式将导致不同类型的变形，如拉伸、压缩、弯曲等。
4. 弹性模量：弹性力学的另一个关键概念是弹性模量。
弹性模量是衡量物体对外力的抵抗程度的指标。
不同材料具有不同的弹性模量，例如金属具有较高的弹性模量，而橡胶具有较低的弹性模量。
结论弹性力学的基本原理包括倍力定律、弹性恢复、施加力和变形的关系以及弹性模量等重要概念。
理解这些原理可以帮助我们更好地理解物体的弹性行为和性质。
请注意，本文的内容仅为简要介绍弹性力学的基本原理，详细的数学理论和推导过程超出了本文的范围。
参考文献：。
弹性力学第二章平面问题的基本理论
圣维南定理
总结词
圣维南定理是弹性力学中的一个重要定理，它表明在弹性体的局部区域，改变内力的分布不会影响该 区域以外的应力分布。
详细描述
圣维南定理指出，在一个弹性体上施加一个集中力或分布力，只会影响该力作用点附近的应力分布， 而不会影响远离作用点的应力分布。这个定理在解决弹性力学问题时非常重要，因为它可以帮助我们 忽略某些局部细节，从而简化问题。
04
弹性力学的基本方程
平衡方程
平衡方程描述了弹性体在受力作用下的平衡状态，其数学表达式为：$frac{partial sigma_{xx}}{partial x} + frac{partial sigma_{xy}}{partial y} = 0$，其中 $sigma_{xx}$和$sigma_{xy}$分别为应力分量。
几何方程反映了物体在变形过程中满足连续性和均匀性的条 件，是解决弹性力学问题的重要基础。
本构方程
本构方程描述了应力与应变之间的关系，其数学表达式为： $sigma_{xx} = lambdaepsilon_{xx} + 2muepsilon_{xx}$， 其中$lambda$和$mu$分别为拉梅常数，$epsilon_{xx}$为 应变分量。
平面应变问题的应用场景
1 2 3
土木工程
在桥梁、建筑等土木工程结构中，常常需要考虑 平面应变问题，以分析结构的稳定性、承载能力 和抗震性能。
机械工程
在机械零件和设备的设计中，如板、壳等结构， 也需要考虑平面应变问题，以确保其在使用过程 中的安全性和稳定性。
地球科学
在地质工程、地震工程等领域，平面应变问题也 是重要的研究内容，用于分析地壳的应力分布、 地震波传播等。
弹性力学第二章平面问题的 基本理论
第2章 弹性力学基本理论
x
u
z
z
z 0
0
0
z
u v
0
w
y
x
3、物理方程（应力与应变之间的关系）
x
1 E
x y z
y
1 E
y z x
•微观上这个假设不成立——宏观假设。
2. 均匀性假设
•——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。 因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标 位置的变化而改变。
•——物体的弹性性质处处都是相同的。
•工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几何形 状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也 可以视为均匀材料。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因 变形所引起的尺寸变化。
——忽略位移、应变和应力等分量的高阶微量，使 基本方程成为线性的偏微分方程组。
6. 无初始应力假设
——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前， 物体内部没有应力。
弹性力学求解的应力、位移仅仅是外力、边界约 束或温度改变而产生的。
向或负面上的应力沿坐
x
图1－7
标负向为正。
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
例：应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画 出正面和负面上的正应力和正的面力的方向。
Oz
x
y
注意：
弹性力学
材料力学 图1-8
（3）注意弹性力学切应 力符号和材料力学是有 区别的。在图1－8中， 弹性力学里，切应力都 为正，而材料力学中相 邻两面的符号是不同的， 顺时针转动为正。
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用弹性力学是固体力学学科的分支。
其基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
一．弹性力学的基本规律规律假设弹性力学的研究对象是完全弹性体。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。
井下工程是复杂多变的，随着工程的进展，巷道的应力情况也在不断的变化，我们研究的不是一个静止的物体，我们要研究的是一个动态的、不断变化的围岩条件。
要研究岩体的弹性问题,必须要给它一个前提,也就是对它的假设,基本假设是弹性力学讨论问题的基础。
没有基本假设任何问题也进行不了.下面简要介绍弹性力学的几个基本假设：1.连续性假设：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空袭。
2.均匀性假设：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。
因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。
因此，物体的弹性性质处处是相同的。
3.各向同性假设：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常熟将不随坐标方向的改变而变化。
4.完全弹性假设：对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。
5.小变形假设：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
6.无初始应力的假设：假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。
根据这一假设，弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。
二．下面介绍一下弹性力学基本的解决问题的方法：弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。
数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对岩体在某种假设的前提下进行弹性分析，从而得出岩体的各种力学参数。
2024版弹性力学
•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧•一维问题求解方法与实例分析•二维问题求解方法与实例分析•三维问题求解方法与实例分析•弹性力学在工程中应用与拓展弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象弹性力学定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内部应力分布规律的科学。
研究对象弹性力学的研究对象主要是弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。
弹性体基本假设与约束条件基本假设弹性体在变形过程中，其内部各点之间保持连续性，且变形是微小的，即小变形假设。
约束条件弹性体的变形受到外部约束和内部约束的限制。
外部约束指物体边界上的限制条件，如固定端、铰链等；内部约束指物体内部的物理性质或化学性质引起的限制条件，如材料的不均匀性、各向异性等。
0102 03应力应力是单位面积上的内力，表示物体内部的力学状态。
在弹性力学中，应力分为正应力和剪应力。
应变应变是物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体形状的改变。
在弹性力学中，应变分为线应变和角应变。
位移关系位移是物体上某一点位置的改变。
在弹性力学中，位移与应变之间存在微分关系，即位移的一阶导数为应变。
应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律虎克定律是弹性力学的基本定律之一，它表述了应力与应变之间的线性关系。
对于各向同性材料，虎克定律可表示为σ=Eε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
适用范围虎克定律适用于小变形条件下的线弹性问题。
对于大变形或非线性问题，需要考虑更复杂的本构关系。
此外，虎克定律还受到温度、加载速率等因素的影响，因此在实际应用中需要注意其适用范围和限制条件。
弹性力学分析方法与技巧ABDC建立问题的数学模型根据实际问题，确定弹性体的形状、尺寸、边界条件、外力作用等，建立相应的数学模型。
选择合适的坐标系根据问题的特点和求解的方便性，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系、柱坐标系等。
列出平衡方程根据弹性力学的基本方程，列出平衡方程，包括应力平衡方程、应变协调方程等。
理论与应用力学中的弹性力学基本原理
理论与应用力学中的弹性力学基本原理弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。
它的基本原理包括胡克定律、应变能原理和位移方法等。
胡克定律是弹性力学的基石，它描述了物体在小变形范围内的应力和应变之间的关系。
根据胡克定律，应力与应变成正比，比例系数为弹性模量。
这意味着物体在受力作用下会发生弹性变形，一旦去除外力，物体就会恢复原状。
胡克定律的应用十分广泛，例如在工程结构设计中，可以根据物体的弹性模量来选择合适的材料，以确保结构的稳定性和安全性。
应变能原理是弹性力学中另一个重要的基本原理。
它基于能量守恒的原理，认为物体在受力作用下会存储一定的应变能，这部分能量来自外力对物体所做的功。
应变能原理可以用来推导物体的应力分布和形变情况，通过最小化应变能可以得到物体的平衡方程。
这个原理在工程实践中也有广泛的应用，例如在材料加工过程中，可以通过控制应变能来优化加工工艺，提高材料的性能。
位移方法是弹性力学中的一种常用分析方法，它通过假设物体的位移场，利用平衡方程和边界条件来求解物体的应力分布和变形情况。
位移方法的优点是可以处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种不同的力学问题。
例如在土木工程中，可以利用位移方法来分析桥梁和建筑物的结构响应，预测其在不同荷载下的变形和破坏情况。
除了这些基本原理，弹性力学还有许多其他的理论和方法，如弹性波传播、弹性体的稳定性和动力响应等。
这些理论和方法在不同领域的应用中发挥着重要的作用。
例如在地震工程中，可以利用弹性波传播理论来研究地震波的传播规律和地震对结构的影响，从而提高建筑物的抗震性能。
总之，弹性力学是力学中的一个重要分支，它研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。
胡克定律、应变能原理和位移方法是弹性力学的基本原理，它们在工程实践和科学研究中有着广泛的应用。
通过深入理解这些基本原理，我们可以更好地理解和应用弹性力学，为解决实际问题提供有效的方法和思路。
弹性力学课件完整版
材料拉伸或压缩时力学性能指标
弹性模量
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的指标，它等于应 力与应变的比值。
泊松比
泊松比是描述材料在拉伸或压缩时横向变形与纵向变形之 间关系的指标。
屈服极限和强度极限
屈服极限是指材料开始产生塑性变形的应力值，强度极限 是指材料在拉伸或压缩时所能承受的最大应力值。这些指 标对于评价材料的力学性能具有重要意义。
生物医学领域人体骨骼、肌肉等软组织力学性能研究
骨骼力学性能研究
运用弹性力学理论对人体骨骼进行受力分析 和模拟，研究骨骼在不同载荷下的应力分布 和变形情况，为骨折治疗和骨骼生物力学研 究提供理论支持。
肌肉软组织力学性能研究
通过弹性力学方法建立肌肉软组织的力学模 型，研究肌肉在收缩和舒张过程中的应力应 变关系以及能量转换机制，为运动生物力学
通过弹性力学中的运动方程可以建立位移梯度与应变之间的联系。
03
位移边界条件与约束
在实际问题中，空间各点的位移会受到边界条件和约束的影响。因此，
在分析空间各点位移变化规律时，需要考虑这些因素的影响。
06
弹性力学在工程中应用 举例
建筑结构中梁、板、柱设计原理
梁的设计原理 根据梁的受力特点和支承条件，运用弹性力学理论进行内 力、应力和变形的分析，从而确定梁的截面尺寸和配筋。
实验法在弹性力学研究中作用
验证理论模型
通过实验手段，可以验证弹性力学理论模型 的正确性和有效性。
研究材料性能
通过实验可以研究不同材料的力学性能，为 弹性力学的研究提供基础数据。
获取实验数据
通过实验可以获取大量的实验数据，为弹性 力学的研究提供有力的支持。
探索新现象和新规律
通过实验可以发现新的力学现象和规律，推 动弹性力学的发展。
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13
2）几何方程
• 已经推断：位移和应变相关联 • 在小位移和小变形的情况下，可以略去位移导数的高次幂， 则应变分量（6个）和位移分量（3个）间的几何关系为：
x y z xy yz zx
u x v y w z u y v z w x v x w y u z
1
0 0 0 1 2 2 1
0 0 0 0 1 2 2 1
1 1
对 称
0 0 0 0 1 2 2 1 0
其中
D
称为弹性矩阵。它完全取决于弹性体材料 的弹性模量E和泊松比 。
x xy
ij yx
0
y
0
0 y 方向线元的应变 0 z 方向线元的应变
平衡方程
x x
yx y
0
xy x
y y
Z面上的主应力 z
0
1 2
( 1 2 )
1 2
( x y )
21
平面应变问题
ij yx zx
x xy xz
y zy
yz y 方向线元的应变 z z 方向线元的应变
10
5.3.7 主应变
与主应力类似 存在着3个互相垂直的方向——只有正应变，没有剪应变 主应变方向
1 ij 0 0
0
2
0
0 0 3
16
5.5 虚功原理
如果在虚位移发生之前，弹性体处于平 衡状态（物体内部满足平衡微分方程，边界 满足力学边界条件），那么在虚位移过程中， 外力在虚位移上所做的功就等于应力在虚应 变上所做的虚功。 ——等价于平衡微分方程与力学边界条件 ——表达了力系平衡的充分必要条件
17
5.6 问题的简化
为什么需要简化？变量太多，求解不易。 实际物体都是三维的 为什么可以简化？抓主要矛盾！ 简化为两维 平面问题——平面应力或者平面应变
4
5.3弹性力学的基本概念
5.3.1外力 作用在物体在物体全部体积内的力， • 作用在物体的每一个质点上——场——不需要接 触 • 如重力、运动物体的惯性力和磁力等。 2） （表）面力(surface forces) 分布在物体表面的力——必须接触，才能施力 (1)分布力 （2）集中力
2
5. 1几个相关课程名称（2）
4） Elastic Mechanics（theory of elasticity） 弹性力学 （弹性理论 ） • 研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应 力、应变、位移和稳定性的学科。 5） Solid Mechanics 固体力学 • 研究可变形固体在荷载、温度等作用下的应力、 应变、位移以及稳定、破坏等规律的学科。 材料力学——弹性力学——固体力学 窄——宽 模型（杆、梁、轴）——弹性体——固体
yx zy xz
14
3) 物理方程
应力与应变之间的关系称为物理关系 当变形体为一维时—— 就是虎克定律 当变形体为三维时——复杂
D
E 1 D 1 1 2 1 1 1
15
4) 边界条件
在弹性体的表面边界上存在三种可能的控制条件： • 给定位移 • 给定外力 • 某些边界给定位移，某些边界给定外力 注意： • 哪些表面给定了外力？ • 自由表面没有施加力，这是给定力的面 • 施加力的表面，往往不知道力为多大，而位移恰恰受控制 的 • 哪些面给定了位移？ • 对称面是给定位移的面
6
5.3.5 应力
如果假设内力分布连续，命 ΔA无 限减小并 趋向 P点, 则ΔF/ΔA 将趋向一个极限 s:
A 0
lim
F A
s
这个极限S就叫做物体在截面mn（以其外 法线方向余弦做标志）上P点的应力。 简言之：应力是内力在一点的集度。 注意：过一点可以做无穷个截面 内力是与外力平衡求出的，是矢量 一个截面有一个矢量
22
思考：应力是什么？ 至少是个矢量！
7
5.3.6 应力张量
• • • • • • • •
x yx zx
xy y zy
xz x 面上的应力 yz y 面上的应力 z z 面上的应力
ij
应力需要3个互相垂直面上的矢量来表达 一个面上的应力就是一个矢量 空间矢量需要3个互相垂直的标量表达 一点的应力状态需要9个分量表达 应力分量用两个角标作标记 第一个是应力作用平面代码 第二个是应力作用方向代码 应力正负的规定：正面正向为正，负面负向 为正；正面负向为负，负面正向为负。 • 剪应力互等，应力分量中6个是独立的 • 9个应力分量的集合——应力张量
0
0
z
0 z 面上的应力
x
平衡方程
x xy x xz x
yx y y y yz y
zx zy z z z
0 0 0
1 E
x x
yx y
00
3
5.2弹性力学的基本假设
1）弹性变形体是连续的（根本性假设） • 物体中没有空隙 • 物体内的物理量也是连续的 • 高等数学——连续是可导的必要条件——可以用高 数做工具 • 实际情况？宏观上满足 2）物体完全弹性——弹性常数与变形量无关（限制） 没有残余变形——小变形时满足 3）物体是均匀的——坐标原点可任选（限制） 4）物体是各向同性的——坐标轴可任选（限制） 5）位移和变形很微小——无需区别变形前后的尺寸 6）物体内初始无应力（限制）
12
5.4 弹性力学的基本方程
1）平衡微分方程
• 物体在外力作用下处于平衡状态，在其弹性体V域 内任一点沿坐标轴x，y，z方向的平衡方程为：
x x xy x xz x yx y y y yz y zx zy z z z z 0 0 0
5
5.3.2内力
• 在外力或温度作用下，物体内部引起的附加的作用力。 5.3.3求内力 1）截开显力 2）弃去代力 3）平衡求力 注意：内力的分布一般不均匀 5.3.4平均应力 • 单位面积上的平均内力 • 量纲——MPa——N/mm2 • 设作用在包含P点某一个截面mn上的面积ΔA 上的内力 为ΔF ，则ΔF/ΔA 称为ΔA 上的平均应力；
18
5.6.1 平面应力
• 应力特点： 1）某一个面上无应力（设定为z面）。但是Z面上有主应变。 2）所有应力分量与z轴无关. • 几何特征： 物体在一个方向的尺寸远小于其他两个坐标方向的尺寸 • 载荷特点： 外力与z轴无关。 x xy 0 x 面上的应力 应力张量 ij yx y 0 y 面上的应力
11
5.3.7 位移
• 物体内质点相对位置发生变化——产生变形——应变 • 位置的变化用什么度量？ • 位移 • 相对位置变化——相对位移 • 什么是相对位移？ • 刚体平动包含相对位移吗？ • 刚体转动包含相对位移吗？ • ——都不包括 • 位移是矢量。 • 空间矢量一般用几个分量表达？ • 3个 • u、v、w 不难发现：应变与位移有关系！
xy x
y y
00
0000
Z面上的主应变由广义虎克定律决定
z
[ z ( x y )]
E
( x y )
19
平面应力问题
20
5.6.2 平面应变
• 应变特点： 1）某一个面上无应变（设定为z面）。但是Z面上有主应力。 2）所有应变分量与z轴无关. • 几何特征： 物体沿着一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很长， 所有垂直z轴的横截面都相同，亦即为一个等直柱体； 位移约束条件或支撑条件沿着z轴方向也是相同的。 • 载荷特点：外力与z轴无关。 0 x 方向线元的应变 应变张量
8
5.3.6 主应力
• 主平面：只有正应力的平 面 • 主应力：主平面上的正应 力 • 一点存在3个互相垂直的 主方向 • 若取主方向为坐标系，一 点的应力状态只有3个分 量
9
ij
1 0 0
0
2
0
0 0 3
5.3.6 应变
表示相对变形大小的物理量 它包含长度和角度的改变 • 正应变（线应变normal strain）： 各线段单位长 度的伸缩。以伸长为正；缩短为负。 • 剪应变（切应变shear strain）：各线段之间的直 角的改变。 以弧度表示，直角变小为正；变大为 负。 • 正应变和剪应变为无量纲数。 • 应变也是对称张量 x 方向线元的应变
现代机械设计方法
第2篇 有限元方法与应用 第5章 弹性力学基本理论
1
5.弹性力学的基本理论
5.1几个相关课程名称 1） theoretical mechanics 理论力学 研究刚体的力学性能及运行规律， 研究对象为刚体，包括质点、质点系。 2） mechanics of materials （materials strength） 材料力学 研究可简化为某种力学模型的零件或构件的在荷载、 温度等作用下的应力、应变、位移以及稳定、破坏等规律 的学科——强度、刚度、稳定性 3）结构力学 structural mechanics 研究在工程结构（杆、板、壳及其组合体)在荷载、温 度等作用下的应力、应变、位移以及稳定、破坏等规律的 学科——强度、刚度、稳定性