2020高中数学人教A版必修4课时达标检测(二十一)平面向量共线的坐标表示 Word版含解析
2020高中数学 课时分层作业20 平面向量共线的坐标表示 新人教A版必修4
课时分层作业(二十) 平面向量共线的坐标表示(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)B [只有选项B 中两个向量不共线可以表示向量a .]2．若向量a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线且方向相同，则x 的值为( )【导学号：84352236】A. 2 B ．－ 2 C ．2D ．－2A [由a ∥b 得－x 2＋2＝0， 得x ＝± 2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反．]3．已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则( ) A ．存在实数x ，使a∥b B ．存在实数x ，使(a ＋b )∥a C ．存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a D ．存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥bD [由a∥b ⇔x 2＝－9无实数解，故A 不对；又a ＋b ＝(x －3,3＋x )，由(a ＋b )∥a 得3(x －3)－x (3＋x )＝0，即x 2＝－9无实数解，故B 不对； 因为m a ＋b ＝(mx －3,3m ＋x )，由(m a ＋b )∥a 得(3m ＋x )x －3(mx －3)＝0， 即x 2＝－9无实数解，故C 不对；由(m a ＋b )∥b 得－3(3m ＋x )－x (mx －3)＝0， 即m (x 2＋9)＝0，所以m ＝0，x ∈R ，故D 正确．] 4．若三点A (2,3)，B (3，a )，C (4，b )共线，则有( ) A ．a ＝3，b ＝－5 B ．a －b ＋1＝0 C ．2a －b ＝3D ．a －2b ＝0C [AB →＝(1，a －3)，AC →＝(2，b －3)， 因为A ，B ，C 共线，所以AB →∥AC →，所以1×(b －3)－2(a －3)＝0， 整理得2a －b ＝3.]5．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，且a ∥b ，则锐角θ等于 ( ) 【导学号：84352237】A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°B [由a ∥b ，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°.]二、填空题6．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________. 32[由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB →＝(4,6)． 又AB →与a ＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，解得λ＝32.]7．若三点A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (x,1)共线，则x ＝________. 9 [∵AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x －1,4)，AB →∥AC →，∴7×4－72×(x －1)＝0，∴x ＝9.]8．已知向量a ＝(－2,3)，b∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________.【导学号：84352238】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0 [由b∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB→＝(x －1，y －2)＝b . 由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2，又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.]三、解答题9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求a ＋3b 的坐标．(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？【导学号：84352239】[解] (1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． 所以a ＋3b ＝(1,0)＋(6,3)＝(7,3)． (2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，解得k ＝－13，所以k a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)， 即k ＝－13时，k a －b 与a ＋3b 平行，方向相反．10．已知A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.[证明] 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)， AB →＝(4，－1)．因为AE →＝13AC →，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， 故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23. 因为BF →＝13BC →，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1， 故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. 所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，所以EF →∥AB →.[冲A 挑战练]1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则n m＝( )【导学号：84352240】A ．2B ．3C ．±2D ．－2D [由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以nm＝－2.]2．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，若p ∥q ，则角C 为( )A.π6B.2π3C.π2D.π3C [因为p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，且p ∥q ，所以(a ＋c )(c －a )－b ·b ＝0，即c 2＝a 2＋b 2，所以角C 为π2.故选C.] 3．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．m ≠12[AB →＝OB →－OA →＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，AC →＝OC →－OA →＝(5－m ，－3－m )－(3，－4)＝(2－m,1－m )，由于点A ，B ，C 能构成三角形，则AC →与AB →不共线，则3(1－m )－(2－m )≠0，解得m ≠12.]4．已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，且P 1P →＝λPP 2→，则λ＝________，y ＝________.517 4922 [∵P 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，y －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y －2，PP 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫－8－12，3－y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－172，3－y ，且P 1P →＝λPP 2→，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－172，3－y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－52＝－172λ，y －2＝λ－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝517，y ＝4922.]5．如图2320所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标.【导学号：84352241】图2320[解] ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫4，74，AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，－72.∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①∵CM →∥CB →， ∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.。
数学人教A版必修4课时分层作业 平面向量共线的坐标表示
课时分层作业(二十)(建议用时：60分钟)一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)B [只有选项B 中两个向量不共线可以表示向量a .]2．若向量a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线且方向相同，则x 的值为( ) A.2 B ．－ 2 C ．2D ．－2A [由a ∥b 得－x 2＋2＝0， 得x ＝±2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反．]3．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 A [∵b ∥a ，∴2sin α－cos α＝0，即tan α＝12.]4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，c ＝(k,2)．若(3a －b )∥c ，则实数k 的值为( ) A ．－8 B ．－6 C ．－1D ．6B [由题意得3a －b ＝(3，－1)，因为(3a －b )∥c ，所以6＋k ＝0，k ＝－6.故选B.]5．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°B [由a ∥b ，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°.]二、填空题6．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________.32[由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB →＝(4,6)． 又AB→与a ＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，解得λ＝32.]7．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 23 [AB→＝(x ＋1，－6)，AC →＝(4，－1)， ∵AB→∥AC →，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.] 8．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0 [由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎨⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎨⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2，又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.]三、解答题9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求a ＋3b 的坐标．(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ [解] (1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(1,0)＋(6,3)＝(7,3)． (2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，解得k ＝－13， 所以k a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)，即k ＝－13时，k a －b 与a ＋3b 平行，方向相反．10．已知A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB→. [证明] 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 依题意有AC→＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB→＝(4，－1)．因为AE →＝13AC →， 所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， 所以(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23.因为BF →＝13BC →， 所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1， 所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.所以EF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23. 又因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，所以EF→∥AB →.1．已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若()2a ＋b ∥c ，则x ＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．－4C [向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)， 则b ＝a －(a －b )＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)， ∴(2a ＋b )＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)， ∵(2a ＋b )∥c ，∴－3－x ＝0，∴x ＝－3， 故选C.]2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，若p ∥q ，则角C 为( )A.π6B.2π3C.π2D.π3C [因为p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，且p ∥q ，所以(a ＋c )(c －a )－b ·b ＝0，即c 2＝a 2＋b 2，所以角C 为π2.故选C.]3．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )A ．(1,5)或(5,5)B ．(1,5)或(－3，－5)C ．(5，－5)或(－3，－5)D ．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)D [设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，第四个顶点为D ， ①若这个平行四边形为▱ABCD ， 则AB→＝DC →，∴D (－3，－5)； ②若这个平行四边形为▱ACDB ， 则AC→＝BD →，∴D (5，－5)； ③若这个平行四边形为▱ACBD ，则AC →＝DB →，∴D (1,5)．综上所述，D 点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．]4．已知向量OA→＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．m ≠12 [AB →＝OB →－OA →＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，AC →＝OC →－OA →＝(5－m ，－3－m )－(3，－4)＝(2－m,1－m )，由于点A ，B ，C 能构成三角形，则AC →与AB →不共线，则3(1－m )－(2－m )≠0，解得m ≠12.]5．如图所示，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，用向量的方法证明：DE ∥BC .[证明] 如图，以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系，设|AD→ |＝1，则|DC →|＝1，|AB →|＝2. ∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， ∴四边形AECD 为正方形，∴可求得各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)． ∵ED→＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)， BC→＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， ∴ED →＝BC →，∴ED →∥BC →， 即DE ∥BC .由Ruize收集整理。
高中数学必修4平面向量常考题型平面向量共线的坐标表示案
平面向量共线的坐标表示【知识梳理】平面向量共线的坐标表示题型一、向量共线的判定【例】()已知向量＝()，＝(λ，)，若(＋)∥(－)，则λ的值等于( )．．()已知()，()，()，(，－)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？()[解析]法一：＋＝()＋(λ，)＝(＋λ，)，－＝()－(λ，)＝(－λ，)，由(＋)∥(－)可得(＋λ)－(－λ)＝，解得λ＝.法二：假设，不共线，则由(＋)∥(－)可得＋＝μ(－)，从而(\\(＝μ，＝－μ，))方程组显然无解，即＋与－不共线，这与(＋)∥(－)矛盾，从而假设不成立，故应有，共线，所以＝，即λ＝.[答案]()[解]＝()－()＝(－)，＝(，－)－()＝(，－)，∵(－)×(－)－×＝，∴，共线．又＝－，∴，方向相反．综上，与共线且方向相反．【类题通法】向量共线的判定方法()利用向量共线定理，由＝λ(≠)推出∥.()利用向量共线的坐标表达式－＝直接求解．【对点训练】已知＝()，＝(－)，当实数为何值时，(＋)∥(－)？这两个向量的方向是相同还是相反？解：∵＝()，＝(－)，∴＋＝(－＋)，－＝(，－)．由题意得(－)×(－)－(＋)＝，解得＝－.此时＋＝－＋＝－(－)，∴当＝－时，(＋)∥(－)，并且它们的方向相反.题型二、三点共线问题【例】()若点(，－)，，()共线，则＝.()设向量＝()，＝()，＝(，)，求当为何值时，、、三点共线．()[解析]＝，＝(－)．∵，，共线，∴与共线∴×－(－)＝，解得＝.[答案]()[解]法一：若，，三点共线，则，共线，则存在实数λ，使得＝λ，∵＝－＝(－，－)，＝－＝(－，－)．∴(－，－)＝λ(－，－)，即(\\(－＝λ(－(，,－＝λ(－(，))解得＝－或＝.∴当＝－或时，、、三点共线．法二：由题意知，共线，∵＝－＝(－，－)，＝－＝(－，－)，∴(－)(－)＋(－)＝，∴－－＝，解得＝－或＝.∴当＝－或时，、、三点共线．【类题通法】三点共线的实质与证明步骤()实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．()证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．【对点训练】已知点()，()，(，)，()．()求实数的值，使向量与共线；()当向量与共线时，点，，，是否在一条直线上？解：()＝()，＝(，)．∵∥，∴＝，＝±.。
高中数学人教A版必修4第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示 答案和解析
高中数学人教A 版必修4第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知e 为x 轴上的单位向量,若AB =-2e,且B 点的坐标为3,则A 点的坐标和AB 中点的坐标分别为( ) A ．2,1 B ．5,4 C ．4,5D ．1,-22．已知向量,a b 不共线，c ka b =+，d a b =-,如果c d ，那么 ( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向3．若向量a ，b 不共线，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则下列关系式中正确的是（ ） A ．AD BC =B ．2AD BC =C ．AD BC =-D ．2AD BC =-4．已知0,a R λ≠∈下列叙述中,正确的个数是( ) ①a λ//a ;②a λ与a 的方向相同; ③||aa 是单位向量; ④若a λ>a ,则1λ>. A ．1B ．2C ．3D ．45．已知在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 是DC 的中点,F 是EC 的中点,若AB =a,AC =b,则AF 等于( )A ．14a+34bB ．14a-34b C ．18a+78bD ．18a-78b6．已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线,b c +与a 共线,则向量a b c ++等于( )A ．aB ．bC ．cD ．7．O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、双空题8．已知数轴上两点A ,B 的坐标分别是-8,-3,则AB 的坐标为_____,长度为_____.三、填空题9．已知长度相等的三个非零向量,,OA OB OC 满足OA OB OC ++=0,则由A ,B ,C 三点构成的△ABC 的形状是_____三角形.四、解答题10．如图所示，OBC 中，点A 为BC 中点，点D 是线段OB 上靠近点B 的一个三等分点，CD ，OA 相交于点E ，设OA a =，OB b =．（1）用a ，b 表示OC ，DC ； （2）若OE OA λ=，求λ．11．如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,试问在边AC 上是否存在一点D ,使得1233BD BC BE =+?若存在,说明点D 的位置;若不存在,请说明理由.参考答案1．B 【解析】因为AB =-2e,22325B A A B x x x x ∴-=-∴=+=+= AB 中点的坐标为5342+= ，选B. 2．D 【解析】分析：利用向量共线的充要条件列出方程组，求出即可 详解：//,,c d c d λ∴=，(),,a b ka b a b λ∴+=-不共线，1,1k λλ=⎧∴⎨=-⎩ 解得1,1k λ=-⎧∴⎨=-⎩(),d a b a b c =--=-+=-故选D.点睛：本题考查向量共线的向量形式的充要条件，属于基础题． 3．B 【解析】分析：根据条件计算向量，可得 2AD BC =，从而可得出正确选项． 详解：由条件可得 AD =AB +BC +CD =﹣8a ﹣2b =2BC ， 则关系式中正确的是2AD BC =， 故选B ．点睛：本题考查向量的共线问题，考查向量的运算法则及向量的线性运算，属于基础题． 4．B 【详解】a λ//a ;当0λ>时，a λ与a 的方向相同;||aa 是单位向量; 若a λ>a 则1λ>或1λ<- 所以（1）（3）正确，选B 5．C 【解析】由题意可得CB AB AC =-=a-b .∵D 是BC 的中点,∴1122CD CB ==(a-b), 同理1124CE CD ==(a-b),1128CF CE ==(a-b),∴AF AC CF =+=b +18(a-b)=18a +78b . 选C 6．D 【详解】因为a b +与c 共线,所以有()a b mc m R +=∈. 又b c +与a 共线, 所以有()b c na n R +=∈, 即b mc a =-且b c na =-+. 因为,,a b c 中任意两个都不共线,则有-1,-1,m n =⎧⎨=⎩所以b mc a c a =-=--, 即0a b c ++=,故选D . 7．B 【分析】 先根据||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，确定||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】 解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力． 8．5 5 【解析】AB 3(8)5,5AB =---==9．等边 【解析】 【详解】如图,以OA ,OB 为邻边作菱形OAFB ,则OA OB OF +=,∴OF OC +=0,∴OF =-OC . ∴O ,F ,C 三点共线. ∵四边形OAFB 是菱形, ∴CE 垂直平分AB.∴CA=CB.同理,AB=AC.∴△ABC 为等边三角形.10．（1）2OC a b =-，523DC a b =-．（2）45λ= 【分析】（1）利用向量的加减运算、数乘运算化简、转化即可求解．（2）由E 在CD 上，则存在实数μ，使CE DC μ=，将,CE DC 均用用a ，b 表示，再根据平面向量基本定理，使对应基向量的系数相等求出λ. 【详解】解：（1）∵2OC OB OA +=， ∴22OC OA OB a b =-=-，252233DC OC OD a b b a b =-=--=-．（2）∵(2)(2)CE OE OC a a b a b λλ=-=--=-+，又由E 在CD 上，CE 与DC 共线，∴存在实数μ，使CE DC μ=．即5(2)23a b a b λμ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，则22513λμμ-=⎧⎪⎨=-⎪⎩． 解方程组，得45λ=． 【分析】本题主要考查了平面向量的加减法、数乘运算，向量共线的应用，平面向量的基本定理，属于容易题．11．D点为AC上靠近C的一个三等分点【详解】试题分析：将向量条件1233BD BC BE=+转化为两向量相等关系：13CD CA=,根据向量共线可得点D的位置试题解析：假设存在点D,使得1233BD BC BE=+.由1233BD BC BE=+,得12(33)BD BC BC CE=++=23BC CE+,所以23BD BC CE-=,即23CD CE=.又12CE CA=,所以13CD CA=,即在AC上存在一点D,使1233BD BC BE=+,且D点为AC上靠近C的一个三等分点.。
高中数学人教A版必修4课时达标检测(二十一)平面向量共线的坐标表示 Word版含解析
课时达标检测（二十一）平面向量共线的坐标表示一、选择题．若＝()，＝()，＝()，则下列命题成立的是( )．＋与共线．－与共线．与－共线．＋与共线答案：．已知向量＝()，＝()，＝＋(∈)，＝－，如果∥，那么( )．＝且与同向．＝且与反向．＝－且与同向．＝－且与反向答案：．已知向量＝()，＝(－)，若＋与－共线，则等于( )．－．．－答案：．已知＝(，－)，＝(－，－)，＝(，)，且＋－＝，则等于( )答案：．已知＝(－－θ)，＝θ，－()))，且∥，则锐角θ等于( )．°．°．°或°．°答案：二、填空题．已知＝()，＝(，)，＝(－，－)，若∥，则＋的值为．答案：．已知向量＝(，－)，＝(－，)，＝(－)，若(＋)∥，则＝.答案：－．在△中，点在上，且＝，点是的中点，若＝()，＝()，则＝.答案：(－)三、解答题．平面内给定三个向量＝()，＝(－)，＝()，回答下列问题：()求＋－；()求满足＝＋的实数，；()若(＋)∥(－)，求实数.解：()＋－＝()＋(－)－()＝()＋(－)－()＝(－－＋－)＝()．()∵＝＋，∴()＝(－)＋()＝(－＋＋)．∴－＋＝且＋＝，解得＝，＝.()∵(＋)∥(－)，又＋＝(＋＋)，－＝(－)，∴×(＋)－(－)×(＋)＝.∴＝－.．已知()，()，()，(，－)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：＝()－()＝(－)，＝(，－)－()＝(，－)．∵(－)×(－)－×＝，∴与共线且方向相反．．如图所示，已知△中，()，()，()，＝，＝，与相交于点，求点的坐标．解：∵＝＝()＝，∴.∵＝＝()＝，∴.设(，)，则＝(，－)，＝，＝，＝.。
人教A版必修4：课时跟踪检测(二十一)平面向量共线的坐标表示含解析
课时追踪检测（二十一）平面向量共线的坐标表示层级一 学业水平达标1．以下向量组中，能作为表示它们所在平面内全部向量的基底的是 ( )A ． e 1＝ (0,0)， e 2＝ (1，－ 2)B ． e 1＝ (－ 1,2)， e 2＝ (5,7)C ． e 1＝ (3,5)， e 2＝ (6,10)1 3 D ． e 1＝ (2，－ 3)， e 2＝ 2，－4分析：选B1e 2，∴e 1∥e 2； D 中 e 1＝ 4e 2，∴A 中向量 e 1 为零向量，∴ e 1 ∥e 2； C 中 e 1＝2e 1∥e 2，应选 B.uuur2．已知点 A (1,1)， B(4,2) 和向量 a ＝ (2， λ)，若 a ∥ AB ，则实数 λ的值为 ()2B.3A ．－ 3223C. 3D ．－ 2uuur分析：选C依据 A ， B 两点的坐标，可得 AB ＝ (3,1)，uuur 2，应选 C.∵a ∥ AB ，∴2× 1－ 3λ＝0，解得 λ＝3uuur 3．已知 A(2，－ 1)， B(3,1)，则与 AB A ． (2,1)C ． (－ 1,2)平行且方向相反的向量a 是 ( )B ． (－ 6，－ 3)D ． (－ 4，－ 8)uuur 分析：选 DAB＝ (1,2)，向量 (2,1)、 ( － 6，－ 3) 、 (－ 1,2)与 (1,2) 不平行； (－ 4，－ 8)与(1,2) 平行且方向相反．4．已知向量 a ＝ (x,2)， b ＝ (3，－ 1)，若 (a ＋ b)∥ (a － 2b)，则实数 x 的值为 ()A ．－ 3B ． 2C ． 4D ．－ 6分析：选D 因为 (a ＋ b)∥(a － 2b)， a ＋ b ＝ (x ＋ 3,1)，a － 2b ＝ (x －6,4)，因此 4(x ＋ 3)－(x － 6)＝0，解得 x ＝－ 6.5．设 a ＝3， tan α， b ＝ cos α， 1 ，且 a ∥ b ，则锐角 α为 ()2 3A ． 30°B ． 60°C ． 45°D ． 75°分析：选A ∵a ∥b ，3 1 ∴ × － tan αcos α＝ 0，1即 sin α＝2，α＝ 30° .6．已知向量a＝ (3x－ 1,4)与 b＝ (1,2)共线，则实数x 的值为 ________．分析：∵向量 a＝ (3x－ 1,4)与 b＝ (1,2)共线，∴2(3x－ 1)－ 4×1＝ 0，解得 x＝ 1.答案： 17．已知 A(－ 1,4)， B(x，－ 2)，若 C(3,3) 在直线 AB 上，则 x＝ ________.uuur uuur分析： AB ＝(x＋1，－6)， AC ＝(4，－1)，uuur uuur∵AB ∥ AC ，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.答案： 238．已知向量a＝ (1,2)，b＝ (－ 2,3)，若λa＋μb与 a＋ b 共线，则λ与μ的关系是 ________．分析：∵a＝ (1,2) ，b＝ (－ 2,3)，∴a＋ b＝ (1,2)＋( － 2,3)＝ (－ 1,5)，λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－ 2,3)＝ (λ－ 2μ， 2λ＋ 3μ)，又∵(λa＋μb)∥(a＋ b)，∴－1× (2λ＋ 3μ)－ 5(λ－ 2μ)＝ 0，∴λ＝μ.答案：λ＝μuuur1 uuur uuur1 9．已知 A， B，C 三点的坐标为 (－ 1,0)，(3，－ 1)，(1,2)，而且AE＝3AC ，BF＝3 uuur uuur uuurBC ，求证： EF ∥ AB .证明：设 E ， F 的坐标分别为 (x1， y1)、 (x2， y2 )，uuur uuur uuur依题意有 AC＝ (2,2)，BC＝ (－ 2,3)，AB＝ (4，－ 1)．uuur1 uuur，∴(x ＋ 1，y)＝1∵AE＝3 AC3(2,2) ．111 2∴点 E 的坐标为－3，3 .7uuur82同理点 F 的坐标为3，0，EF＝3，－3 .8× (－ 1)－4× －2uuur uuur又＝0，∴EF∥AB .3310．已知向量a＝ (2,1)， b＝ (1,1)， c＝ (5,2)， m＝λb＋ c(λ为常数 )．(1)求 a＋ b；(2)若 a 与 m 平行，务实数λ的值．解： (1)因为 a＝ (2,1) ，b＝ (1,1)，因此 a＋ b＝ (2,1)＋ (1,1)＝ (3,2) ．(2)因为 b＝ (1,1)， c＝(5,2)，因此 m＝λb＋c＝λ(1,1)＋ (5,2)＝ (λ＋ 5，λ＋ 2)．又因为 a＝ (2,1)，且 a 与 m 平行，因此 2(λ＋2) ＝λ＋ 5，解得λ＝ 1.层级二应试能力达标1．已知平面向量 a＝ (x,1)， b＝ (－ x， x2)，则向量 a＋ b()A ．平行于 x 轴B．平行于第一、三象限的角均分线C．平行于 y 轴D．平行于第二、四象限的角均分线分析：选C因为 a＋ b＝(0,1＋ x2)，因此 a＋ b 平行于 y 轴．2．若 A(3，－ 6)， B(－ 5,2)， C(6， y)三点共线，则 y＝ ()A． 13B．－ 13C． 9D．－ 9分析：选D A， B， C 三点共线，uuur uuur uuur uuur∴AB ∥ AC ，而 AB＝(－8,8)，AC＝ (3， y＋6) ，∴－8(y＋ 6)－ 8× 3＝ 0，即 y＝－ 9.3．已知向量a＝ (1,0)， b＝ (0,1)， c＝ ka＋ b(k∈ R)， d＝ a－ b，假如 c∥ d，那么 ()A ． k＝ 1 且 c 与 d 同向B． k＝ 1 且 c 与 d 反向C． k＝－ 1 且 c 与 d 同向D． k＝－ 1 且 c 与 d 反向分析：选 D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，明显， c 与 d 不平行，清除 A 、 B.若 k＝－ 1，则 c＝－ a＋ b＝ (－ 1,1)， d＝ a－ b＝－ (－ 1,1)，即 c∥d 且 c 与 d 反向．4．已知平行四边形三个极点的坐标分别为( － 1,0)， (3,0)， (1，－ 5)，则第四个极点的坐标是()A ． (1,5)或 (5,5)B． (1,5)或 (－ 3，－ 5)C． (5，－ 5)或 (－ 3，－ 5)D． (1,5)或 (5，－ 5)或 (－ 3，－ 5)分析：选 D设 A (－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个极点为D，①若这个平行四边形为?ABCD ，uuur uuur则 AB ＝ DC ，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为?ACDB ，uuur uuur则 AC ＝ BD ，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为?ACBD ，uuur uuur则 AC ＝ DB ，∴D(1,5)．综上所述， D 点坐标为 (1,5)或 (5，－ 5)或 (－ 3，－ 5)．uuur uuur uuur uuur uuur 5．已知AB＝ (6,1)，BC＝ (x， y)，CD＝ (－2，－ 3)，BC∥DA，则 x＋ 2y 的值为________．uuur uuur uuur uuur分析：∵AD ＝ AB ＋ BC ＋ CD ＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝ (x＋ 4， y－ 2)，uuur uuur∴DA ＝－ AD ＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．uuur uuur∵BC ∥DA ，∴x(－ y＋ 2)－ (－ x－ 4)y＝ 0，即 x＋ 2y＝ 0.答案： 0uuur uuur uuur6．已知向量OA＝ (3，－ 4)，OB＝ (6，－ 3)，OC＝ (5－ m，－ 3－ m)．若点 A ， B，C 能组成三角形，则实数m 应知足的条件为 ________．uuur uuur 分析：若点 A， B， C 能组成三角形，则这三点不共线，即AB 与 AC 不共线．uuur uuur uuur uuur uuur uuur∵AB ＝ OB － OA ＝(3,1)， AC ＝ OC － OA ＝(2－m,1－m)，1∴3(1－ m)≠ 2－ m，即 m≠2.1答案： m≠27．已知 A(1,1)， B (3，－ 1)， C(a， b)．(1)若 A ， B， C 三点共线，求 a 与 b 之间的数目关系；uuur uuur(2)若 AC ＝2 AB ，求点C的坐标．uuur uuur解： (1)若 A， B，C 三点共线，则AB 与 AC 共线．uuur uuurAB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)， AC ＝(a－1，b－1)，∴2(b － 1)－ (－ 2)(a － 1)＝ 0，∴a ＋ b ＝ 2.uuur uuur(2)若 AC ＝ 2 AB ，则 (a － 1， b － 1)＝ (4，－ 4)，a － 1＝4， a ＝5，∴∴b － 1＝－ 4，b ＝－ 3，∴点 C 的坐标为 (5，－ 3)．8.如下图， 在四边形ABCD 中，已知 A (2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线 AC 与 BD 交点 P 的坐标．uuur解： 设 P(x ， y)，则 DP ＝ (x － 1， y)， uuur uuuruuur DB ＝(5,4) ， CA ＝ (－ 3,6)， DC ＝ (4,0)．uuur uuuur 由 B ， P ，D 三点共线可得 DP ＝ λDB ＝ (5λ， 4λ)．uuur uuur uuur又∵CP ＝ DP － DC ＝ (5λ－ 4,4λ)，uuur uuur因为 CP 与 CA 共线得， (5λ－ 4)× 6＋ 12λ＝ 0.4解得 λ＝7，uuur uuur20 16∴DP ＝74DB ＝ 7，7 ，27 16∴P 的坐标为7，7 .。
人教A版高中数学必修4同步练习-平面向量共线的坐标表示
A 级 基础巩固一、选择题1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2B.2 C ．－2或 2D ．0解析：由题意知，1×2－m 2＝0，所以m ＝±2. 答案：C2．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 解析：若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，即e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；同理排除C ，D ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据平面向量基本定理知，e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)可以把向量a ＝(3，2)表示出来．答案：B3．已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(m 2，2)．若存在λ∈R ，使得a ＋λb ＝0，则m ＝( )A ．0B ．2C ．0或2D ．0或－2解析：法一 因为a ＝(m ，1)，b ＝(m 2，2)，a ＋λb ＝0， 所以(m ＋λm 2，1＋2λ)＝(0，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋λm 2＝0，1＋2λ＝0，所以⎩⎨⎧λ＝－12，m ＝0或2.法二 由a ＋λb ＝0，知a ＝－λb ，故a ∥b ，所以2m ＝m 2，解得m ＝0或m ＝2.答案：C4．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( )A.35B ．－35C ．3D ．－3解析：向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， 所以AB →＝(3，1)，因为OC →＝(2m ，m ＋1)，AB →∥OC →， 所以3m ＋3＝2m ，解得m ＝－3. 答案：D5．已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3，1)，a －2b ＝(x －6，4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.答案：D 二、填空题6．已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)．若a ∥b ，则λ＝________． 解析：因为a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，a ∥b ， 所以2λ－6×(－1)＝0，所以λ＝－3. 答案：－37．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3，1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________．解析：由题意得，点B 的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)， 则AB →＝(4，6)． 又AB →与a ＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，则λ＝32.答案：328．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．答案：12三、解答题9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A (0，0)，B (3，1)，C (4，3)，D (1，2)，M ，N 分别为DC ，AB 的中点，求AM →，CN →的坐标，并判断AM →，CN →是否共线．解：由已知可得M (2.5，2.5)，N (1.5，0.5)， 所以AM →＝(2.5，2.5)，CN →＝(－2.5，－2.5)， 所以AM →＝－CN →， 所以AM →，CN →共线．10．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，解得k ＝－12.(2)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝m λ，解得m ＝32.B 级 能力提升1．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析：因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α， b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α，13，a ∥b ， 所以32×13－sin α·cos α＝0，即sin α·cos α＝12.把α＝30°，45°，60°，75°代入验证可知45°能使上式成立． 答案：B2．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若ma ＋nb 与a －3b 共线，则mn＝________． 解析：由向量的坐标运算知，ma ＋nb ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －3b ＝(5，－3)．由两向量共线可得5×(3m ＋2n )＝－3×(2m －n )，化简得mn ＝－13.答案：－133．已知四点A (x ，0)，B (2x ，1)，C (2，x )，D (6，2x )． (1)求实数x ，使两向量AB →，CD →共线．(2)当两向量AB →∥CD →时，A ，B ，C ，D 四点是否在同一条直线上？ 解：(1)AB →＝(x ，1)，CD →＝(4，x )． 因为AB →，CD →共线，所以x 2－4＝0， 则当x ＝±2时，两向量AB →，CD →共线．(2)当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2，1)， 则AB →∥BC →，此时A ，B ，C 三点共线，又AB →∥CD →，从而，当x ＝－2时，A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上．当x ＝2时，A ，B ，C ，D 四点不共线．。
人教版高中数学必修四练习平面向量共线的坐标表示
基础达标1．已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5,2)．若点C 横坐标为6，则C 的纵坐标为( )． A ．－13 B.9 C ．－9D.13解析 设C (6，y )．由题意知，AB →＝(－8,8)， AC →＝(3，y ＋6)．∴－8(y ＋6)－8×3＝0，∴y ＝－9. 答案 C2．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )． A ．2 B.12 C ．－2D.－12解析 ∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.故选A. 答案 A3．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )． A ．k ＝1且c 与d 同向 B.k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D.k ＝－1且c 与d 反向解析 由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ， ∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线， ∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向，选D. 答案 D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析 由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，05．(2012·荆州高一检测)已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________.解析 由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)， 则AB →＝(4,6)．又AB →与a ＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，得λ＝32. 答案 326．(2012·邢台高一检测)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是________． 解析 ∵点A 、B 、C 能构成三角形， ∴AB →与BC →不共线，AB →＝(1,2)，BC →＝(m －1，m －1)， ∴有m －1－2(m －1)≠0，∴m ≠1.答案 m ≠17．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解 (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12. (2)∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )， ∴⎩⎨⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32. 能力提升8．(安徽省皖南八校联考)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn 等于( )． A ．－12 B.12 C ．－2D.2解析 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12，选A. 答案 A9．(2012·三明高一检测)已知两向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，若a ∥b ，则sin θ＋2cos θ2sin θ－3cos θ＝________.解析 ∵a ∥b ，∴2cos θ－sin θ＝0，sin θ＝2cos θ， ∴sin θ＋2cos θ2sin θ－3cos θ＝2cos θ＋2cos θ2×2cos θ－3cos θ＝4cos θcos θ＝4. 答案 410．如图所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．解 ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32－(0,5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0， 即7x ＋4y ＝20① ∵CM →∥CB →， ∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2， 故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.。
高中数学 必修四 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时跟踪检测 新人教A版必修4
高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时跟踪检测1．已知m ，n ∈R ，向量a ＝(2m ＋1，m ＋n )与b ＝(－2,0)平行，则m ，n 满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝0 B ．m －n ＝0 C ．－m ＋n ＝0D ．m ＋n ＝1解析：由题意得，(2m ＋1)×0－(m ＋n )×(－2)＝0，∴m ＋n ＝0. 答案：A2．设k ∈R ，下列向量中，与向量a ＝(1，－1)一定不平行的向量是( ) A ．(k ，k ) B ．(－k ，－k ) C ．(k 2＋1，k 2＋1)D ．(k 2－1，k 2－1)解析：因为(k 2＋1)＋(k 2＋1)＝2k 2＋2＞0， 所以a 与(k 2＋1，k 2＋1)一定不平行． 答案：C3．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：因为a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0，x 2＋1)，又x 2＋1≥1，所以a ＋b 与y 轴平行．故选C.答案：C4．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(1，－1)D ．(－1,1)解析：∵AB →与CD →是相反向量，∴AB →＝－CD →，又AB →＝(1,1)，∴CD →＝(－1，－1)．设D (x ，y )，则CD →＝(x －2，y )＝(－1，－1)．从而x ＝1，y ＝－1.即D (1，－1)．答案：C5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，22，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，13，且a ∥b ，则锐角α＝______. 解析：∵a ∥b ，∴32×13－22sin α＝0.得到sin α＝22，而α为 锐角，∴α＝45°.答案：45°6．若三点A (－2，－2)，B (0，m )，C (n,0)(mn ≠0)共线，则1m ＋1n的值为______．解析：∵A ，B ，C 共线，∴AB →∥AC →. ∵AB →＝(2，m ＋2)，AC →＝(n ＋2,2)， ∴4－(m ＋2)(n ＋2)＝0. ∴mn ＋2m ＋2n ＝0. ∵mn ≠0，∴1m ＋1n ＝－12.答案：－127．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u∥v ，求实数x 的值． 解：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，所以u ＝a ＋2b ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2a －b ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，解得x ＝12.8．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )， 则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0 9．已知OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，若点A ，B ，C 在同一条直线上，且m ＝2n ，则m ＋n ＝________.解析：AB →＝OB →－OA →＝(n,1)－(－2，m )＝(n ＋2,1－m )， BC →＝OC →－OB →＝(5，－1)－(n,1)＝(5－n ，－2)．因为A ，B ，C 共线，所以AB →与BC →共线．所以－2(n ＋2)＝(1－m )(5－n )．① 又m ＝2n ，②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝32.所以m ＋n ＝9或92.答案：9或9210．已知A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)， BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．因为AE →＝13AC →，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23.因为BF →＝13BC →，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.所以(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝23，y 1＝23.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－13，y 1＝23.所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23. 所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3＝－23，y 2＋1＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0.所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，所以EF →∥AB →.11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 为圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解：如图所示，设M (x 0，y 0)，N (x ，y )， 由MA →＝2AN →，得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y ＋3，代入方程(x －3)2＋(y －3)2＝4，整理得x 2＋y 2＝1. ∴所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.。
2020年高中数学 人教A版 必修4 同步作业本《平面向量共线的坐标表示》(含答案解析)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
5.已知向量集 M={a|a=(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N={a|a=(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则
M∩N=( )
A．{(1,1)}
B．{(1,1)，(－2,2)}
C．{(－2，－2)}
D．∅
6.已知向量 a=(1，m)，b=(3m,1)，且 a∥b，则 m2 的值为( )
2.答案为：D. 解析：ma＋4b=(2m－4,3m＋8)，a－2b=(4，－1)， 由于 ma＋4b 与 a－2b 共线，－(2m－4)=4(3m＋8)，解得 m=－2，故选 D.
3.答案为：C. 解析：设 C(6，y)，∵A→B∥A→C，又A→B=(－8,8)，A→C=(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－3×8=0.∴
9.已知点 A(1，－2)，若线段 AB 的中点坐标为(3,1)，且A→B与向量 a=(1，λ)共线，则 λ=________.
10.已知向量 a=(－2,3)，b∥a，向量 b 的起点为 A(1,2)，终点 B 在坐标轴上，则点 B 坐标为 _______．
11.在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 AB∥DC，AD∥BC.已知点 A(－2,0)，B(6,8)， C(8,6)，则 D 点的坐标为________．
∴B(0， )或( ，0)． 23
11.答案为：(0，－2)； 解析：由题意知，四边形 ABCD 是平行四边形，∴A→B=D→C，设 D(x，y)，
则(6,8)－(－2,0)=(8,6)－(x，y)，∴x=0，y=－2，即 D 点的坐标为(0，－2)．
1
7
12.答案为：( ，4)或(－ ，8)；
高中数学人教A版必修4课时达标检测(二十一)平面向量共线的坐标表示
课时达标检测（二十一）平面向量共线的坐标表示一、选择题1．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( )A ．a －c 与b 共线B ．b ＋c 与a 共线C ．a 与b －c 共线D ．a ＋b 与c 共线答案：C2．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向答案：D3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则m n 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 答案：A4．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，且2a ＋b －3c ＝0，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫－2，73B.⎝⎛⎭⎫2，73 C.⎝⎛⎭⎫2，－73 D.⎝⎛⎭⎫－2，－73 答案：C5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝⎝⎛⎭⎫1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60° 答案：A二、填空题6．已知AB ＝(6,1)，BC ＝(x ，y )，CD ＝(－2，－3)，若BC ∥DA ，则x ＋2y 的值为________．答案：07．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案：－18．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.答案：(－6,21)三、解答题9．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89. (3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613. 10．已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB 与CD 共线且方向相反．11．如图所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC ＝14OA ，OD ＝12OB ，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．解：∵OC ＝14OA ＝14(0,5)＝⎝⎛⎭⎫0，54， ∴C ⎝⎛⎭⎫0，54. ∵OD ＝12OB ＝12(4,3)＝⎝⎛⎭⎫2，32， ∴D ⎝⎛⎭⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM ＝(x ，y －5)， CM ＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB ＝⎝⎛⎭⎫4，74， AD ＝⎝⎛⎭⎫2，－72. ∵AM ∥AD ，∴－72x －2(y －5)＝0， 即7x ＋4y ＝20.①∵CM ∥CB ，∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2. 小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
人教A版高中数学必修四课堂达标·效果检测 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 Word版含解析
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课堂达标·效果检测1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A.e1=(0，0)，e2=(1，-2)B.e1=(5，7)，e2=(-1，2)C.e1=(-3，5)，e2=(9，-15)D.e1=(2，-3)，e2=【解析】选B.不共线的向量才能作为一组基底，e1=(5，7)，e2=(-1，2)不共线，所以选B.2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选B.因为A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)，所以=(1-x，4)，=(1，2)，由于A，B，C三点共线，所以∥，即2(1-x)-1×4=0，解得x=-1.3.已知=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3)，∥，则x+2y的值为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选A.因为=++=(x+4，y-2)，所以=-=(-x-4，-y+2)，又∥，所以x(-y+2)-(-x-4)y=0，即x+2y=0.4.已知平行四边形ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.【解析】由平行四边形ABCD得，=，又=(-2，x-7)，=(-2，3-x)，所以x-7=3-x，解得x=5.答案：55.已知a=(-1，2)，b=(1，x)，若2a-b与a+2b平行，求实数x的值.【解析】方法一：由已知得2a-b=(-3，4-x)，a+2b=(1，2+2x).由2a-b与a+2b平行，知-3(2+2x)-(4-x)=0，解得x=-2.方法二：因为2a-b与a+2b平行，所以2a-b=λ(a+2b)，又2a-b=(-3，4-x)，a+2b=(1，2+2x)，所以解得x=-2.方法三：设2a-b=m，a+2b=n，则可得a=m+n，b=-m+n.因为m∥n，所以a∥b，又a=(-1，2)，b=(1，x)，所以-x-2=0，解得x=-2.关闭Word文档返回原板块。
人教A版高中数学必修四课时提升作业二十一 2-3-4 平面向量共线的坐标表示2 含解析 精品
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课时提升作业(二十一)平面向量共线的坐标表示一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·房山高一检测)已知三点P(1，-2)，Q(2，3)，R(-3，y)共线，则y=( ) A.-2 B.-22 C.2D.22【解析】选B.因为错误！未找到引用源。
=(1，5)，错误！未找到引用源。
=(-4，y+2)，且错误！未找到引用源。
∥错误！未找到引用源。
，故(y+2)×1-(-4)×5=0，所以y=-22.【变式训练】已知平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，且a∥b，则2a+3b 等于( )A.(-4，8)B.(4，-8)C.(-4，-8)D.(4，8)【解析】选C.因为a∥b，所以1×m-2×(-2)=0，m=-4，所以2a+3b=2(1，2)+3(-2，-4)=(-4，-8).2.(2013·陕西高考)已知向量a=(1，m)，b=(m，2)，若a∥b，则实数m等于( )A.-错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.-错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
D.0【解题指南】根据条件建立关于m的方程，求解即得.【解析】选C.因为a=(1，m)，b=(m，2)，且a∥b，所以1·2=m·m⇒m=±错误！未找到引用源。
.3.若错误！未找到引用源。
=i+2j，错误！未找到引用源。
=(3-x)i+(4-y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
共线，则x，y的值可能分别为( )A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4【解析】选B.因为i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量，所以错误！未找到引用源。
=i+2j=(1，2)，错误！未找到引用源。
高中数学人教A版必修4课时达标检测(二十一)平面向量共线的坐标表示 Word版含解析
课时达标检测（二十一）平面向量共线的坐标表示一、选择题1．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( )A ．a －c 与b 共线B ．b ＋c 与a 共线C ．a 与b －c 共线D ．a ＋b 与c 共线答案：C2．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向答案：D3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则m n 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 答案：A4．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，且2a ＋b －3c ＝0，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫－2，73B.⎝⎛⎭⎫2，73 C.⎝⎛⎭⎫2，－73 D.⎝⎛⎭⎫－2，－73 答案：C5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝⎝⎛⎭⎫1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60° 答案：A二、填空题6．已知AB ＝(6,1)，BC ＝(x ，y )，CD ＝(－2，－3)，若BC ∥DA ，则x ＋2y 的值为________．答案：07．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案：－18．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.答案：(－6,21)三、解答题9．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89. (3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613. 10．已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB 与CD 共线且方向相反．11．如图所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC ＝14OA ，OD ＝12OB ，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．解：∵OC ＝14OA ＝14(0,5)＝⎝⎛⎭⎫0，54， ∴C ⎝⎛⎭⎫0，54. ∵OD ＝12OB ＝12(4,3)＝⎝⎛⎭⎫2，32， ∴D ⎝⎛⎭⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM ＝(x ，y －5)， CM ＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB ＝⎝⎛⎭⎫4，74， AD ＝⎝⎛⎭⎫2，－72. ∵AM ∥AD ，∴－72x －2(y －5)＝0， 即7x ＋4y ＝20.①∵CM ∥CB ，∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2. 高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
2020-2021学年人教版数学必修4课时素养评价 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
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课时素养评价二十一平面向量共线的坐标表示(20分钟35分)1.(2020·菏泽高一检测)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则下列关系式一定成立的是( ) A.x1y1-x2y2=0 B.x1x2-y1y2=0C.=D.x1y2-x2y1=0【解析】选D.A、B明显错误,C中只有在y1y2≠0时才成立.2.若向量a=(3,2),b=(-1,m),且a∥b,则m= ( )A. B.- C. D.-【解析】选B.向量a=(3,2),b=(-1,m),且a∥b,则3m-2×(-1)=0,解得m=-.3.已知向量a=(1-sin θ,1),b=,且a∥b,则锐角θ等于( ) A.30° B.45° C.60° D.75°【解析】选B.由a∥b,可得(1-sin θ)(1+sin θ)-=0,即cos θ=±,而θ是锐角,故θ=45°.【补偿训练】设a=,b=,且a∥b,则锐角α为( )A.30°B.60°C.45°D.75°【解析】选A.因为a∥b,所以×-tan α·cos α=0,即sin α=,又α为锐角,故α=30°.4.已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b( )A.平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】选 C.a+b=(x,1)+(-x,x2)=(0,x2+1),因为x2+1≥1,所以点(0,x2+1)在y轴正半轴上.所以a+b平行于y轴.5.(2020·宝山区高一检测)向量a=(1,-2),向量b与a共线,且|b|=4|a|,则b= .【解析】因为b∥a,令b=λa=(λ,-2λ),又|b|=4|a|,所以(λ)2+(-2λ)2=16×(1+4),故有λ2=16,解得λ=±4,所以b=(4,-8)或(-4,8).答案:(4,-8)或(-4,8)6.已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=,求证:∥.【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意有=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).因为=,所以(x1+1,y1)=(2,2).所以点E的坐标为.同理点F的坐标为,=.又×(-1)-4×=0,所以∥.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j的方向分别与x,y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x,y的值可能分别为( )A.1,2B.2,2C.3,2D.2,4【解析】选B.因为=(1,2),=(3-x,4-y),又∥,所以4-y-2×(3-x)=0,即2x-y-2=0,代入检验知B合适.2.(2020·本溪高一检测)已知三点A(-1,1),B(0,2),C(2,0),若和是相反向量,则D点坐标是( ) A.(1,1) B.(-1,-1) C.(1,-1) D.(-1,1)【解析】选 C.因为与是相反向量,所以=-,又=(1,1),所以=(-1,-1).设D(x,y),则=(x-2,y)=(-1,-1).从而x=1,y=-1.即D(1,-1).3.设k∈R,下列向量中,与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是( )A.(k,k)B.(-k,-k)C.(k2+1,k2+1)D.(k2-1,k2-1)【解析】选C.因为(k2+1)+(k2+1)=2k2+2>0,所以a与(k2+1,k2+1)一定不平行.4.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则①存在实数x,使a∥b;②存在实数x,使(a+b)∥a;③存在实数x,m,使(m a+b)∥a;④存在实数x,m,使(m a+b)∥b.其中,所有叙述正确的序号为( ) A.①② B.③④ C.①③ D.④【解析】选D.由a∥b⇔x2=-9无实数解,故①不对;又a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9无实数解,故②不对;因为m a+b=(mx-3,3m+x),由(m a+b)∥a得(3m+x)x-3(mx-3)=0.即x2=-9无实数解,故③不对;由(m a+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故④正确.5.(2020·鞍山高一检测)△ABC中A为其内角,设a=,b=,且a∥b,则sin A+cos A= ( ) A. B. C.- D.2【解析】选B.a=,b=,且a∥b,所以×-sin AcosA=0,则sin Acos A=.所以(sin A+cos A)2=sin2A+cos2A+2sin Acos A=1+2×=2.由A是△ABC的内角,可得sin A>0,cos A>-1,所以sin A+cos A>-1,则sin A+cos A=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·泰安高一检测)若三点A(-2,-2),B(0,m),C(n,0)(mn≠0)共线,则+的值为.【解析】因为A,B,C共线,所以∥.因为=(2,m+2),=(n+2,2),所以4-(m+2)(n+2)=0.所以mn+2m+2n=0.因为mn≠0,所以+=-.答案:-7.已知=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),∥,则x+2y= . 【解析】因为=++=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),所以=-=-(x+4,y-2)=(-x-4,-y+2).因为∥,所以x(-y+2)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.答案:08.如图所示,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),则直线AC与BD交点P的坐标为.【解析】设P(x,y),则=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0). 由B,P,D三点共线可得=λ=(5λ,4λ).又因为=-=(5λ-4,4λ),由于与共线得,(5λ-4)×6+12λ=0.解得λ=,所以==,所以P的坐标为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标.(2)若点P(2,y)满足点P,B,D三点共线,求y的值.【解析】(1)设B(x1,y1),因为=(4,3),A(-1,-2),所以(x1+1,y1+2)=(4,3),所以所以所以B(3,1).同理可得D(-4,-3),设BD的中点M(x2,y2),则x2==-,y2==-1,所以M.(2)=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).因为P,B,D 三点共线,所以∥,所以-4+7(1-y)=0,所以y=.10.已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点,点F在BC 上,且BF∶FC=2∶1,AF与EC相交于点P,求四边形APCD的面积. 【解析】以A为坐标原点,所在直线为x轴建立直角坐标系,如图所示,所以A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),F(6,4),E(3,0),设P(x,y),=(x,y),=(6,4),=(x-3,y),=(3,6).由点A,P,F和点C,P,E分别共线, 得所以所以=--=36-×3×3-×3×6=.1.已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为.【解析】因为在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥CD,所以=2.设点D的坐标为(x,y),则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),=(2,1)-(1,2)=(1,-1),所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),所以解得故点D的坐标为(2,4).答案:(2,4)2.如图,已知四边形ABCD是正方形,∥,||=||,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.【证明】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),若点E的坐标为(x,y),则=(x,y-1),=(1,-1).因为∥,所以x×(-1)-1×(y-1)=0. ①又||=||,所以x2+y2=2. ②由①②联立,解得点E的坐标为.设点F的坐标为(x′,1),由=(x′,1)和=共线,得x′-=0,所以x′=-(2+),所以点F的坐标为(-2-,1).所以=(-1-,0),=,所以||=1+=||,即AF=AE.关闭Word文档返回原板块。
人教版高中数学高一A版必修4达标训练 平面向量共线的坐标表示
更上一层楼 基础•巩固1.下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是( )A.a =(-1，2)，b =(0，5)B.a =(1，2)，b =(2，1)C.a =(2，-1)，b =(3，4)D.a =(-2，1)，b =(4，-2)思路分析:我们把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，而D 中两个向量共线，故不能作为一组基底.答案:D2.以下命题错误的是( ) A.若i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，则|i +j |=|i -j |B.若a ∥b ，a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则必有2211y x y x = C.零向量的坐标表示为(0，0)D.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标思路分析:对B 选项，两个向量中，若有与坐标轴共线的向量或有零向量，则坐标不应写成比例式.答案:B3.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若(a +2b )∥(2a -b )，则x 的值是( )A.2B.1C.21 D.21- 思路分析:a +2b =(1，2)+2(x ，1)=(1+2x ，4)，2a -b =2(1，2)-(x ，1)=(2-x ，3).∵(a +2b )∥(2a -b )，∴3(1+2x)-4(2-x)=0，解得x=21. 答案:C4.如图2-3-27，AC =-3CB ，且OA =a ，OB =b ，OC =c ，则下列等式成立的是( )图2-3-27A.c =21-a +23b B.c =-a +2b C.c =-b +2a D.c =23a +21b 思路分析:由=+=-3，即c =a -3(b -c )，∴c =a -3b +3c ，得-2c =a -3b .所以c =-21a +23b . 答案:A5.已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb (λ∈R )平行，则λ=____________.思路分析:λa +b =λ(3，2)+(2，-1)=(3λ+2，2λ-1)，a +λb =(3，2)+λ(2，-1)=(3+2λ，2-λ).∵(λa +b )∥(a +λb )，∴(3λ+2)(2-λ)-(3+2λ)(2λ-1)=0，即7λk=7.∴λ=1或-1.答案:1或-1综合•应用6.已知向量a =(-2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A(1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________.思路分析:由b ∥a ，可设b =λa =(-2λ，3λ).设B(x ，y)，则=(x-1，y-2)=b .由⎩⎨⎧+=-=⇒⎩⎨⎧-=-=-.23,212312λλλλy x y x又B 点在坐标轴上，则1-2λ=0或3λ+2=0，所以B(0，27)或(37，0).答案:(0，27)或(37，0)7.已知向量=(4，3)，=(-3，-1)，点A(-1，-2).(1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB =λBD (λ∈R )，求y 与λ的值.解：(1)设点B 的坐标为(x 1，y 1). ∵=(4，3)，A(-1，-2)，∴(x 1+1，y 1+2)=(4，3).∴⎩⎨⎧=+=+.32,4111y x ∴⎩⎨⎧==.1,311y x∴B(3，1).同理可得D(-4，-3).设线段BD 的中点M 的坐标为(x 2，y 2)， 则212432-=-=x x ，12312-=-=y ，∴M(-21，-1).(2)由=(3，1)-(2，y)=(1，1-y)，=(-4，-3)-(3，1)=(-7，-4). 又=λ，∴(1，1-y)=λ(-7，-4)，得⎩⎨⎧-=--=.41,71λλy ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.73,71y λ8.如图2-3-28，已知ABCD 是正方形，BE∥AC ，AC=CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF=AE.图2-3-28证明：以正方形ABCD 的边DC 所在直线为x 轴，点C 为坐标原点，建立直角坐标系(如图所示).设正方形边长为1，则A 、B 点的坐标分别为A(-1，1)、B(0，1).若设点E 的坐标为(x ，y)，则BE =(x ，y-1)，AC =(1，-1).∵∥，∴x·(-1)-1·(y-1)=0，即x+y=1. ①又CE=AC ，∴x 2+y 2=2. ②∴点E 在y 轴右侧.∴由①②得E 的坐标为(231,231-+). ∴|AE|=13)1231()1231(22+=--+++. 再设点F 的坐标为(x′，1)，则CF =(x′，1).又=(231,231-+)，且∥， ∴231231+-'-x ·1=0. ∴x′=32--.∴F(32--，1).从而|AF|=|-1-(32--)|=13+.∴AF=AE.回顾•展望9.(2006潍坊统考) 已知向量u =(x ，y)与向量v =(y ，2y-x)的对应关系可用v =f(u )表示.(1)证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立；(2)设a =(1，1)，b =(1，0)，求向量f(a )及f(b )的坐标；(3)求使f(c )=(3，5)成立的向量c .思路分析:本题考查的是向量的坐标运算与函数概念的结合，充分理解函数的概念，弄清对应法则的本质，是解决本题的关键.(1)证明：设向量a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则f(mx 1+nx 2，my 1+ny 2)=(my 1+ny 2，2my 1+2ny 2-mx 1-nx 2).又mf(a )=(my 1，2my 1-mx 1)，nf(b )=(ny 2，2ny 2-nx 2)，所以mf(a )+nf(b )=(my 1+ny 2，2my 1+2ny 2-mx 1-nx 2).所以f(m a +n b )=mf(a )+nf(b ).(2)解:f(a )=(1，1)，f(b )=(0，-1).(3)解:由⎩⎨⎧=-=,52,3x y y 得⎩⎨⎧==.3,1y x 所以c =(1，3).。
人教A数必修4基础达标训练：2.3.4 平面向量共线的坐标表示(含答案解析)[ 高考]
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1．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则下列关系式一定成立的是( )A ．x 1y 1－x 2y 2＝0B ．x 1x 2－y 1y 2＝0C.x 1y 1＝x 2y 2D ．x 1y 2－x 2y 1＝0 解析：选D.A 、B 明显错误，C 中只有在y 1y 2≠0时才成立，故选D.2．已知向量a ＝(x,5)，b ＝(5，x )，两向量方向相反，则x ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1解析：选A.a ∥b ，∴x 2＝25，∴x ＝±5，∵两向量反向，∴验证x ＝－5.3．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析：选C.由于a ∥b ，则1×m －2×(－2)＝0，解得m ＝－4，则2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．4．已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13解析：选C.设C (6，y )，则AB →∥AC →.又AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)，∴－8(y ＋6)－3×8＝0.∴y ＝－9.5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n等于( ) A ．－12 B.12C ．－2D ．2解析：选A.由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12. 6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析：a ＋b ＝(1，m －1)，∵a ＋b ∥c ，∴1×2－(－1)(m －1)＝0，解得m ＝－1.答案：－17．(2013·荆州高一检测)已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)且AB →与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.解析：由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB →＝(4,6)．又AB →与a ＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，得λ＝32. 答案：328．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，∴B (0，72)或(73，0)． 答案：(0，72)或(73，0) 9．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，BC →∥DA →，求x ＋2y 的值．解：∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)＝(x ＋4，y －2)，∴DA →＝－AD →＝－(x ＋4，y －2)＝(－x －4，－y ＋2)．∵BC →∥DA →，∴x (－y ＋2)－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0.10．设A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，AB →与CD →共线且方向相同？此时A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB →＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC →＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)，CD →＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由AB →与CD →共线，得x 2＝1×4，即x ＝±2.又AB →与CD →方向相同，∴x ＝2.此时，AB →＝(2,1)，BC →＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，∴AB →与BC →不共线，∴A ，B ，C 三点不在同一直线上，∴A ，B ，C ，D 不在同一直线上．。
新编人教A版高中数学必修4课时作业21平面向量共线的坐标表示 Word版含答案
课时作业21.平面向量共线的坐标表示时间：45分钟..分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．下列向量中，与向量a ＝(－5,4)平行的是(..) A ．(－5k,4k ) B ．(－5k ，－4k ) C ．(－10,2)D ．(5k,4k )解析：因为k a 与a 共线，故本题可通过观察直接选A 项． 答案：A2．已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为(..)A ．5B ．6C ．7D ．8解析：AB→＝(3，y －1)，又AB →∥a ， 所以(y －1)－2×3＝0，解得y ＝7. 答案：C3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝(..)A.14 B.12 C ．1D ．2解析：由题意可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)．由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，解得λ＝12.答案：B4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )．若p ∥q ，则角C 的大小为(..)A.π6B.2π3C.π2D.π3解析：∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )且p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b ·b ＝0，即c 2＝a 2＋b 2， ∴角C 的大小为π2.故选C. 答案：C5．若a ＝(x,2)，b ＝(12，1)，c ＝a ＋2b ，d ＝2a －b ，且c ∥d ，则c －2d 等于(..)A ．(－52，－5) B ．(52，5) C ．(1,2)D ．(－1，－2)解析：c ＝(x ＋1,4)，d ＝(2x －12，3)， ∵3(x ＋1)＝4(2x －12)， ∴x ＝1.∴c ＝(2,4)，d ＝(32，3)，c －2d ＝(－1，－2)．故选D. 答案：D6．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14)，且a ∥b ，则锐角θ等于(..)A ．45°B ．30°C ．60°D ．15°解析：由a ∥b 得－2(－14)－(1－cos θ)(1＋cos θ)＝0， 即12＝1－cos 2θ＝sin 2θ，即sin θ＝±22， 又∵θ为锐角，∴sin θ＝22，θ＝45°，故选A. 答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.解析：λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，∵(λa ＋b )∥c ，∴－7(λ＋2)＝－4(2λ＋3)⇒λ＝2.故填2. 答案：28．已知A 、B 、C 三点共线，BA →＝－38AC →，A 、B 的纵坐标分别为2、5，则点C 的纵坐标为________．解析：设点C 的纵坐标为y ，∵A 、B 、C 三点共线，BA →＝－38AC →，A 、B 的纵坐标分别为2、5， ∴2－5＝－38(y －2)．∴y ＝10. 答案：109．平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 延长至E ，使|CE →|＝14|ED →|，则点E 的坐标为________．解析：∵AC →＝12BC →，∴OC →－OA →＝12(OC →－OB →)． ∴OC→＝2OA →－OB →＝(3，－6)． ∴点C 的坐标为(3，－6)．又∵|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上， ∴CE →＝－14ED →.设E (x ，y )， 则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14(4－x )，y ＋6＝－14(－3－y )，解得⎩⎨⎧x ＝83，y ＝－7，∴点E 为(83，－7)． 答案：(83，－7)三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．已知向量AB→＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，当BC →∥DA→时，求实数x ，y 应满足的关系． 解：由题意，得DA→＝－AD →＝－(AB →＋BC →＋CD →) ＝－[(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)] ＝(－x －4，－y ＋2)， BC→＝(x ，y )． 又∵BC→∥DA →， ∴x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0.解得x ＋2y ＝0，即x ，y 应满足的关系为x ＋2y ＝0. 11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值．解：(1)由已知k a －b ＝(k,0)－(2,1)＝(k －2，－1)． a ＋2b ＝(1,0)＋(4,2)＝(5,2)． 当k a －b 与a ＋2b 共线时， 2(k －2)－(－1)×5＝0，解得k ＝－12.(2)由已知可得AB→＝2a ＋3b ＝(2,0)＋(6,3)＝(8,3)． BC→＝a ＋m b ＝(1,0)＋(2m ，m )＝(2m ＋1，m )． ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，得m ＝32. 12.如图，在▱OABP 中，过点P 的直线与线段OA ，OB 分别相交于点M ，N ，若OM→＝xOA →，ON →＝yOB →(0<x <1)． (1)求y ＝f (x )的解析式；(2)令F (x )＝1f (x )＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明．解：(1)OP→＝AB →＝OB →－OA →，NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →， MP→＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA → ＝－(1＋x )OA→＋OB →， 又NM→∥MP →，有x －y (1＋x )＝0， 即f (x )＝xx ＋1(0<x <1)．(2)由(1)得F (x )＝x ＋1x ＋x ＝x ＋1x ＋1(0<x <1)， 设0<x 1<x 2<1，则F (x 1)－F (x 2)＝(x 1＋1x 1＋1)－(x 2＋1x 2＋1)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2.由0<x 1<x 2<1，得x 1－x 2<0，x 1x 2－1<0，x 1x 2>0，得F (x 1)－F (x 2)>0， 即F (x 1)>F (x 2)．所以F (x )在(0,1)上为减函数．。
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课时达标检测（二十一）
平面向量共线的坐标表示
一、选择题
1．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( )
A ．a －c 与b 共线
B ．b ＋c 与a 共线
C ．a 与b －c 共线
D ．a ＋b 与c 共线 答案：C
2．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )
A ．k ＝1且c 与d 同向
B ．k ＝1且c 与d 反向
C ．k ＝－1且c 与d 同向
D ．k ＝－1且c 与d 反向
答案：D
3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则m n
等于( )
A ．－12 B.12
C ．－2
D ．2 答案：A
4．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，且2a ＋b －3c ＝0，则c 等于( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，73
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，73
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－73
D.⎝
⎛⎭⎪⎫－2，－73 答案：C
5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．30°或60° 答案：A
二、填空题
6．已知AB ＝(6,1)，BC ＝(x ，y )，CD ＝(－2，－3)，若BC ∥DA ，则x ＋2y 的值为________．
答案：0
7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案：－1
8．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.
答案：(－6,21)
三、解答题
9．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；
(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .
解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)
＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)
＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a ＝mb ＋nc ，
∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．
∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89
. (3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，
又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.
∴k ＝－1613
. 10．已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解：AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，
∴AB与CD共线且方向相反．。