第12讲切线放缩

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高中数学必会技能——导数切线放缩常用到的两张切线图

高中数学必会技能——导数切线放缩常用到的两张切线图
今天我们要讲解的是：高中数学必会技能——导数切线放缩常用到的两张切线图。

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常用的切线放缩有,，e^x≥x+1（x=0取等），e^x≥ex（x=1取等），lnx≤x-1(x=1取等）,lnx≤x/e（x=e取等），其实他们就是y=e^x在（0，1）的切线，y=lnx在（1,0）的切线，以及他们过（0,0）的切线方程。

反应在坐标系中如下：
第一张切线图
当然我们也可以把常用的曲线放缩放进去，比如ln≥1-1/x(x=1取等号），lnx≥-1/ex,效果如下：
第一张切线图拓展
第二张切线图是当x∈[0，π/2）时，tanx≥x≥sinx，当且仅当x=0取等号。

图像如下：
第二张切线图
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切线放缩证明超越不等式

f ( x) 0成立
（3）难点在于合理拆分函数，寻找它们的斜率相等的公
切线隔板----以直代曲，
注：切线放缩的一般原则：（1）先对数后指数；（2）合理选用放缩
（一般用得最多指数对数加减）
技能拓展：常见超越不等式谱系图

≥1++
2

≤

以
2
换

以

换

以 −≥
1 换
1
2 证明：当 ≥ 时， ≥ 0.

注：含参函数有时需要根据函数特征将原函数进行适当放缩.
【题2】 2018 ∙ 新课标Ⅲ ∙ 文已知函数 =
2 证明：当 ≥ 1时， + ≥ 0.
2 +−1

注：复杂形式的函数需要将函数适当转化后再进行放缩.
课堂小结
1.切线放缩法实质是以直（切线）代曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ原函数）；
2.切线放缩法中常用的两个定理必须先证明后使用；
3.证明流程为：求切线—构造差函数—证明差函数恒正（负）
--原不等式成立．
4.对于较为简单的导数试题，往往只涉及到一次切线放缩，但是
有些压轴试题涉及到两次不同的切线放缩．
+）
注意事项：
g ( x) min g (0) 0,
（1）适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的
问题（需合理拆成两个函数）----数形结合；
g ( x) 0,
（2）两函数有斜率相同的切线，通过引入一个中间量
又等号不能同时取到
分别证明两个不等式成立，然后利用传递性就可以了；
切线放缩证明超越不等式
超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），

第12讲切线放缩(含答案)

2020本讲义由作业帮周永亮老师（白哥）独家编撰，侵权必究知识导航1．两个常见的切线放缩公式（1） ;（2）2．切线放缩在求导过程中的应用在求导的过程中，我们很多时候需要求二次导，乃至三次或多次，其实，对于几乎所有的问题，如果我们能够很好的利用放缩的技巧的话，我们最多只需要求二次导就可以了.3．切线放缩在数列不等式中的应用数列不等式有很多种，其中有一种最常见的叫做“拆和之函数放缩”，而这个函数，一般都是由我们这两个最常见的切线放缩公式演变而来的．知识札记例2（★★★☆☆）（2018·河北石家庄市一模）已知函数（）在处的切线方程为．（1）求，．（2）若，证明：．（1）由题意解答:所以又所以若，则，与矛盾，故，（2）由上题可知，当时，，易证：例1（★★★☆☆）（2018·河北保定市模拟【文】）已知函数，函数，证明：当且时，．若证,即证明：解答:，易证，当时，,即又，即当，时，考点1 切线放缩的基础应用注：本讲对于切线放缩公式的应用，都写了易证，但在正常考试中，需要同学们证明.经典例题12例4（★★★★☆）已知函数，在点处的切线方程为．（1）求，；（2）证明：．（1）函数解答:求导函数可得（）曲线在处的切线方程为，，（2）函数要证，需证，即证（）也就是证例3（★★★★☆）证明：．若证，即证解答:由已知条件得，又因为，当时，易证：所以，当时，又因为，，所以，又，当时，易证所以，当时，易证所以，当时，所以，所以，原不等式得证.考点2 切线放缩拓展应用所以，又当时，，所以，当时，，所以，此时，因为，所以所以，综上，若，证明：．例6（★★★★★）（2018·江苏泰州市期末【文】）已知函数，（，），当，时，求证：．当时，解答:易证：，例5（★★★★☆）（2017·黑龙江大庆市期中【文】）已知，求证：当时，恒成立．令（）解答:（）恒成立因此在上单调递增且所以（）恒成立因此当时，所以，，即，即又因当时为，,所以，当时，易证，即所以，所以，即当时，恒成立.令，则对于恒成立则，则令则当时，，当时，在上为减函数，在上为增函数则的最小值为即故例8（★★★★☆）证明：当，时，．考点3 切线放缩在数列不等式中的应用例7（★★★★★）证明：．构造函数（）解答:令，则当，；，当时，有最小值，即成立当时，成立因为因而只需证明：，恒有已知：（证明略）因此只需证明：当时，恒有，且等号不能同时成立当时，设，则当时，是单调递增函数，且因而时恒有从而时，单调递减从而即故，（）即例11（★★★★☆）（2013·安徽合肥市月考【理】）设函数（），数列满足：，（）．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．（1）解答:又例10（★★★★☆）（2018·辽宁月考【文】）求证：（）．欲证（），即证解答:易证（当且仅当时取等）取，则，即同理，，，，以上各式相加，得故（）得证例9（★★★★☆）（2016·湖南模拟【理】）证明不等式：（）．易证，当且仅当时等号成立解答:令（），则代入上面不等式得：即，即所以，，，，将以上个不等式相加即可得到：当时，易证：，所以，解答:又因为，所以，即练2（★★★★★）（2017·重庆渝中区模拟【理】）已知函数（为实数，为自然对数的底数），曲线在处的切线与直线平行．（1）求实数的值；（2）证明：当时，．（1）解答:由题设可知曲线在处的切线的斜率解得（2）当时，等价于当时,易证，两边取自然对数，得（）要证明（），只需证明（）即证当时，①设（），则令（）则，当时，，当时，练1（★★★☆☆）（2017·贵州一模【文】）已知函数，证明：对任意，成立．若证，即证明：解答:易证：当，时，即对任意，成立课后练习为首项是、公比为的等比数列（2）易证，所以，所以，原不等式得证练3（★★★★☆）（2016·全国卷）求证：当且时，．当时，易证解答:设，所以，，所以，，即令（且），则化简得同理将上述各式相加可得所以，且时，在区间内单调递减，在区间内单调递增又，，存在，使得当时，，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增又当且仅当时，取等号，即式成立①。

导数中放缩法(切线放缩、对数均值不等式)

导数中放缩法(切线放缩、对数均值不等式)导数证明中的常用放缩在导数证明中，常用的放缩方法有切线放缩、对数放缩、指数放缩、指对放缩和三角函数放缩等。

其中，常用的放缩公式包括对数放缩和指数放缩。

一、常用放缩公式1.对数放缩对数放缩常常可以将一个函数放缩成一次函数或双撇函数，常用的对数放缩公式包括：lnx≤x-1，lnx<x，ln(1+x)≤xlnxx-1/x，x>1lnxx/2，0<x<1lnx≤x^2-x，ln(1+x)≤x-x^2/2，-1<x<∞ln(1+x)≥x/(1+x)，ln(1+x)>x/2，x>02.指数放缩指数放缩常常可以将一个函数放缩成一次函数或二次函数，常用的指数放缩公式包括：ex≥x+1，ex>x，ex≥ex，x≤0ex<1-x，ex<1-x+x^2/2，x<0ex≥1+x+x^2，ex≥1+x+x^2+x^3，x>03.指对放缩指对放缩常常可以将一个函数的导数放缩成一个常数，常用的指对放缩公式包括：ex-lnx≥(x+1)-(x-1)/2，x>04.三角函数放缩三角函数放缩常常可以将一个函数放缩成一个三角函数或二次函数，常用的三角函数放缩公式包括：XXX<x<tanx，sinx≥x-x^2，-1≤x≤1cosx≤1-sin^2x，-1≤x≤1二、经典例题以函数f(x)=lnx+ax^2+(2a+1)x为例，讨论其单调性和当a<0时的最大值。

1) 解f(x)的定义域为(0,∞)，求导得f'(x)=1/x+2ax+2a+1.当a≥-1/2时，f'(x)>0，因此f(x)在(0,∞)上单调递增；当a<-1/2时，f'(x)<0，因此f(x)在(0,∞)上单调递减。

2) 当a0，因此g(x)在(0,∞)上单调递增，且有g(x)≤g(1)=ln1-2/3=-2/3.又因为f(x)可以表示为f(x)=g(x)+(2a+1)x+ax^2+2/3x，因此有f(x)≤g(1)+(2a+1)x+ax^2+2/3x=-2/3+(2a+1)x+ax^2+2/3x=2/3x+ax^2+(2a+1)x-2/3.当2/3x+ax^2+(2a+1)x-2/3取到最大值时，有x=-(2a+1)/(2a),此时f(x)的最大值为-2/3+(2a+1)^2/(4a)-a(2a+1)^2/(4a)=-3/4a。

切线放缩公式大全

切线放缩公式大全切线放缩公式是微积分中的重要概念之一，它在曲线的切线近似及其应用中起到了关键作用。

本文将为您介绍切线放缩公式的相关内容。

一、切线的定义在微积分中，对于给定函数y=f(x)，在点(x_0, y_0)处，函数的切线是通过该点且与函数图像在该点相切的线。

切线的斜率等于函数的导数在该点处的值，切线的方程可以通过斜率和点的坐标得到。

二、切线的斜率对于函数y=f(x)，在点(x_0, y_0)处的切线斜率可以通过函数的导数在该点处的值f'(x_0)计算得到。

切线的斜率公式如下：k=f'(x_0)三、切线放缩公式切线放缩公式是指通过一个点的切线来近似曲线的局部行为。

在切线放缩公式的推导中，关键是需要利用到函数的导数。

1. 斜率形式的切线放缩公式在给定函数y=f(x)的情况下，对于点(x_0, y_0)处的切线近似曲线的情况，可以使用切线的斜率和点的坐标来表示切线放缩公式。

切线放缩公式如下：y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)2. 一阶泰勒展开形式的切线放缩公式在给定函数y=f(x)的情况下，可以使用一阶泰勒展开来近似曲线的局部行为。

一阶泰勒展开形式的切线放缩公式如下：f(x) ≈ f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)3. 二阶泰勒展开形式的切线放缩公式在给定函数y=f(x)的情况下，可以使用二阶泰勒展开来更精确地近似曲线的局部行为。

二阶泰勒展开形式的切线放缩公式如下：f(x) ≈ f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2四、切线放缩公式的应用切线放缩公式在微积分中有广泛的应用，特别是在近似计算、求解极限、曲线的性质分析和图像的绘制等方面。

以下是切线放缩公式的一些应用案例：1. 近似计算通过使用切线放缩公式，可以对函数在某一点附近的取值进行近似计算，避免了对整个函数进行详细计算的复杂性。

切(割)线放缩

切(割)线放缩
在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，更能使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果.
导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明.常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝ 0时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号.
题型二双切线放缩
例 1 (2023·福州模拟)已知函数 f(x)＝xln x－x.若 f(x)＝b 有两个实数根 x1， x2，且 x1<x2.求证：be＋e<x2－x1<2b＋e＋1e.
f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x. 令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减. 因为f(x)＝b有两个实数根x1，x2，且x1<x2. 所以0<x1<1<x2，先证不等式 x2－x1<2b＋e＋1e，
设直线y＝b与直线l1交点的横坐标为x′1，－x′1－1e＝f(x1)≥－x1－1e，则 x′1≤x1，设直线y＝b与直线l2交点的横坐标为x′2，同理可证x2≤x′2，因为 x′1＝－b－1e，x′2＝b＋e，所以 x2－x1<x′2－x′1＝b＋e－－b－1e
＝2b＋e＋1e(两个等号不同时成立)，因此 x2－x1<2b＋e＋1e. 再证不等式x2－x1>be＋e，函数f(x)图象上有两点A(1，－1)，B(e,0)，

切线放缩的概念

切线放缩的概念切线放缩是数学中的一个重要概念，主要应用在微积分领域。

它指的是通过对函数图像进行适当的平移和伸缩，来通过切线的性质来近似估算函数的值。

切线放缩的基本思想是，当一个函数在某一点处连续可导时，它的切线可以很好地近似函数在该点附近的变化情况。

我们可以通过对切线的平移和伸缩来近似估算函数在该点的函数值。

具体来说，我们可以通过函数在某一点的切线斜率来估算函数在该点的函数值。

对于一个函数f(x)，如果它在x=a 处可导，那么它在该点的切线斜率为f'(a)。

切线方程可以表示为：y = f(a) + f'(a)(x-a)。

如果我们要近似估算函数在x=a 处的函数值f(a)，我们可以通过切线向函数的函数值的偏差来进行近似。

具体来说，我们可以将切线方程中的x 替换为a，得到y = f(a) + f'(a)(a-a) = f(a)。

这说明切线方程上的点(a, f(a)) 就是函数在该点的函数值。

切线放缩的思想可以通过一个例子来说明。

假设我们要计算函数f(x) = x^2 在x=2 处的函数值。

我们可以通过切线放缩来近似估算。

首先，我们需要计算函数在x=2 处的斜率。

函数f(x) = x^2 的导数为f'(x) = 2x，所以f'(2) = 2*2 = 4。

这说明函数在x=2 处的切线斜率为4。

接下来，我们可以利用切线方程y = f(a) + f'(a)(x-a) 来构建切线方程。

由于我们要估算的点是x=2，所以a=2。

因此切线方程可以表示为y = f(2) + f'(2)(x-2) = 2 + 4(x-2) = 4x - 6。

现在我们可以用切线近似估算函数在x=2 处的函数值。

当x=2 时，切线方程为y = 4*2 - 6 = 2。

因此，函数f(x) = x^2 在x=2 处的函数值约为2.切线放缩不仅适用于简单的函数，也可以应用于复杂的函数。

对于复杂函数，我们可以通过将函数进行局部的平移和伸缩来近似估算函数值。

切线放缩的原理

切线放缩的原理
切线放缩的原理是基于函数的二阶导数。

如果函数在某点处的二阶导数大于0，则函数在该点处向上凸；如果二阶导数小于0，则函数在该点处向下凸；如果二阶导数为0，则该点可能是函数的拐点。

切线放缩是优化算法中的一种方法，通过限制函数的一些特定性质来确定函数的最小值或最大值。

例如，对于函数f(x) = x^2 + 3x - 5，我们可以使用切线放缩法来寻找其在定义域[-2,2]上的最小值。

由于函数在定义域内处处向上凸，我们可以选择一个切线使其与函数图像相切，然后将这个切线向左右两边移动，直到它与函数图像的交点构成的区间完全包含在定义域内，从而找到函数的最小值或最大值。

高中常见的指对放缩

数
的
泰
勒
放
缩
拟合放缩的两种功能
1、拟合放缩求多项式放缩函数
例：求 = 在 = 处的二次放缩
2、拟合放缩求反比例型放缩函数
例：求 = 在 = 处的反比例放缩
3、原理上可求任意形式确定的放缩
4、基本原理“待定系数法”+“公切”

= 处的切线放缩：
通法：取点求切线即可

≤ + −

注意：指数的切线均为下界
通法：取点求切线即可
注意：对数的切线均为上界
联
系
指数缩
指数的曲线放缩
联
系
= 处的切线放缩：

≥
= 处的曲线放缩：

≥

下述放缩是相对独立的放缩结论
可从对数均值不等式来
= 处的放缩：
>

(

−

),

<<
< ( − ), >
可从对数均值不等式来
= 处的放缩：
<
−
,
+
>
<<
−
,
+
>
万能拟合放缩
指
数
的
泰
勒
放
缩
对
指对放缩专题
导数专题归纳
指对切线放缩
指数的切线放缩
联
系
联系
= 处的切线放缩：

≥+
= 处的切线放缩：
≥
= 处的切线放缩：

导数中放缩法(切线放缩、对数均值不等式)

导数证明中的常用放缩一、常用结论1、切线放缩2、其它对数放缩（对数均值不等式）3、常用放缩公式：（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<，（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x+<<+ 第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥，（放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<，（放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++，第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =.二、基础练习：练习题组一练习题组二：二、经典例题：母题 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a－2.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x. 若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a，所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a－2，即ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x >0时，g (x )≤0.从而当a <0时，ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0，即f (x )≤－34a－2. [子题1] 设函数f (x )＝ln x －x ＋1.证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x . 证明 f ′(x )＝1x －1＝1－x x，x >0，当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )＝ln x －x ＋1≤f (1)＝0，∴ln x ≤x －1，∴当x >1时，ln x <x －1，①且ln 1x <1x－1，② 由①得，1<x －1ln x ，由②得，－ln x <1－x x， ∴ln x >x －1x ，∴x >x －1ln x，综上所述，当x >1时，1<x －1ln x<x . [子题2] 已知函数f (x )＝e x －x 2.求证：当x >0时，e x ＋(2－e )x －1x≥ln x ＋1. 证明设g (x )＝f (x )－(e －2)x －1＝e x －x 2－(e －2)x －1(x >0)，则g ′(x )＝e x －2x －(e －2)，设m (x )＝e x －2x －(e －2)(x >0)，则m ′(x )＝e x －2，易得g ′(x )在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，又g ′(0)＝3－e>0，g ′(1)＝0，由0<ln 2<1，则g ′(ln 2)<0，所以存在x 0∈(0，ln 2)，使得g ′(x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)∪(1，＋∞)时，g ′(x )>0；当x ∈(x 0,1)时，g ′(x )<0.故g (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，所以g (x )＝e x －x 2－(e －2)x －1≥0，故当x >0时，e x ＋(2－e )x －1x≥x . 又由母题可得ln x ≤x －1，即x ≥ln x ＋1，故e x ＋(2－e )x －1x≥ln x ＋1. 规律方法利用导数证明不等式f (x )>g (x )的基本方法(1)若f (x )与g (x )的最值易求出，可直接转化为证明f (x )min >g (x )max .(2)若f (x )与g (x )的最值不易求出，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数h (x )的单调性或最值，证明h (x )>0.(3)通过题目中已有的或常用的不等式进行证明．(4)利用赋值法证明与正整数有关的不等式.跟踪演练1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e时，f (x )≥0. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x. 由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x. 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．(2)证明当a ≥1e 时，f (x )≥e x e－ln x －1. 设g (x )＝e x e－ln x －1(x ∈(0，＋∞))，则g ′(x )＝e x e －1x. 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0.所以x ＝1是g (x )的最小值点．故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0.因此，当a ≥1e时，f (x )≥0. 2．(2020·北京市陈经纶中学模拟)已知函数f (x )＝ln x －1x－ax .若1<a <2，求证：f (x )<－1. 证明 f (x )的定义域为(0，＋∞)，为了证明f (x )<－1，即ln x －1x－ax <－1，只需证明ln x －1－ax 2<－x ，即ln x <ax 2－x ＋1，令m (x )＝ln x －x ＋1(x >0)，则m ′(x )＝1x－1，令m ′(x )>0，得0<x <1；令m ′(x )<0，得x >1，所以m (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以m (x )max ＝m (1)＝0，即ln x －x ＋1≤0，则ln x ≤x －1.令n (x )＝ax 2－2x ＋2，因为1<a <2，所以Δ＝4－8a <0，所以n (x )>0恒成立，即ax 2－2x ＋2>0，所以ax 2－x ＋1>x －1.综上所述，ln x <ax 2－x ＋1，即当1<a <2时，f (x )<－1.（2017年全国新课标1·理·21）已知()()22x x f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.解析：（1）()()()()2'221211x x x x f x ae a e e ae =+--=+-若0a ≤，则()'0f x <恒成立，所以()f x 在R 上递减；若0a >，令()'0f x =，得11,ln x e x a a ==. 当1ln x a <时，()'0f x <，所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减；当1lnx a >时，()'0f x >，所以()f x 在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上递减；当0a >时，()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. （2）()f x 有两个零点，必须满足()min 0f x <，即0a >，且()min 111ln1ln 0f x f a a a ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭. 构造函数()1ln g x x x =--，0x >. 易得()1'10g x x =--<，所以()1ln g x x x =--单调递减. 又因为()10g =，所以()11111ln 01101g g a a a a a ⎛⎫--<⇔<⇔>⇔<< ⎪⎝⎭. 下面只要证明当01a <<时，()f x 有两个零点即可，为此我们先证明当0x >时，ln x x >. 事实上，构造函数()ln h x x x =-，易得()1'1h x x=-，∴()()min 11h x h ==，所以()0h x >，即ln x x >. 当01a <<时，()()22222110a ea e a a f e e e++---=++=>， ()2333333ln 121ln 11ln 10a f a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+----=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中11ln a -<，31ln ln a a a ->，所以()f x 在11,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和13ln ,ln a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个零点. 故a 的取值范围是()0,1.注意：取点过程用到了常用放缩技巧。

切线放缩公式大全

切线放缩公式大全1.切线放缩公式在数学中，切线放缩公式是一组用于计算图形放缩前后相似性的公式。

这些公式可以用于计算曲线的切线斜率、曲率和其他相关参数。

下面是一些常用的切线放缩公式。

1.1切线斜率放缩公式设曲线方程为y=f(x)，其上特定点(x0,y0)处的切线斜率为m0。

如果对曲线进行放缩，即沿x轴方向将横坐标放大k倍，纵坐标放大h倍，则新曲线方程为y'=h*f(k*x)，其上对应点(x0',y0')处的切线斜率为m0'。

切线斜率放缩公式为：m0'=m0*(h/k)这个公式说明了切线的斜率在放缩时也要按比例放缩。

1.2曲率放缩公式曲率是刻画曲线弯曲程度的一个参数。

在进行放缩时，曲线的曲率也会发生变化。

设曲线方程为y=f(x)，则曲线上特定点(x0,y0)处的曲率为κ0。

如果对曲线进行放缩，即沿x轴方向将横坐标放大k倍，纵坐标放大h倍，则新曲线方程为y'=h*f(k*x)，其上对应点(x0',y0')处的曲率为κ0'。

曲率放缩公式为：κ0'=κ0*(1/k)这个公式说明了曲率在放缩时反比于放缩比例。

1.3其他放缩公式除了切线斜率和曲率的放缩公式外，还有一些其他常用的公式可以用于图形的放缩。

比如，如果对一个图形进行放缩，横坐标放大k倍，纵坐标放大h倍，则图形的面积会变为原来的k*h倍，周长也会按比例放大。

如果放缩比例为k=h，则图形的面积和周长都会变为原来的k^2倍。

2.应用举例以下是一些切线放缩公式的应用举例：2.1切线斜率放缩应用假设有一曲线方程为y=x^2，点(1,1)处的切线斜率为2、现在对该曲线进行放缩，横坐标放大3倍，纵坐标放大2倍。

则新的曲线方程为y'=2*(3x)^2=18x^2，对应点(1,2)处的切线斜率为2*(2/3)=4/32.2曲率放缩应用假设有一曲线方程为 y = sin(x)，点(π/2, 1)处的曲率为 1、现在对该曲线进行放缩，横坐标放大2倍，纵坐标放大3倍。

泰勒公式切线放缩

泰勒公式切线放缩泰勒公式是一种用于近似函数值的方法，可以在某一点处用函数的若干阶导数来逼近函数值。

而泰勒公式切线放缩则是在泰勒公式的基础上，利用切线的性质来放缩函数值。

首先，我们回顾一下泰勒公式的一般形式：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + cdots + frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$其中，$f(a)$为函数在点$a$处的函数值，$f'(a)$、$f''(a)$等为函数在点$a$处的一阶、二阶等导数，$R_n(x)$为余项。

当$n$越大时，余项$R_n(x)$的值越小，逼近的精度越高。

现在，我们将泰勒公式的式子进行变形，可以得到：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + frac{f''(xi)}{2!}(x-a)^2$$ 其中，$xi$是$a$和$x$之间的某个值。

我们发现，$frac{f''(xi)}{2!}(x-a)^2$这一项可以看作$f(x)$在点$a$处的一个二次函数的值，将其与$f(a) +f'(a)(x-a)$这一直线进行比较，我们可以得到以下结论：当$x$接近$a$时，$f(x)$与其在点$a$处的一阶泰勒展开式$f(a) + f'(a)(x-a)$的差距越来越小，因此我们可以将$f(x)$用$f(a) + f'(a)(x-a)$来近似表示。

而当$x$远离$a$时，$frac{f''(xi)}{2!}(x-a)^2$这一项的影响逐渐显现，因此我们无法通过一阶泰勒展开式来精确逼近$f(x)$的值。

基于以上分析，我们可以利用切线的性质来放缩函数值。

具体来说，我们可以选择一个点$x_0$，并计算出$f(x_0)$和$f'(x_0)$。

切线放缩法技巧全总结

切线放缩法技巧全总结哎呀，今天咱们聊聊一个特别有趣的数学技巧——切线放缩法。

听起来是不是有点儿高大上？其实它就像是你开车的时候，偶尔要调一下后视镜，能让你看到更远的风景，懂吧？这个方法主要是用来处理一些复杂的极限问题，特别是在求导和优化的时候，简直就像是拿到了秘密武器。

想象一下，在繁忙的生活中，咱们总会碰到一些看起来特别棘手的数学题，而这个切线放缩法就像那一缕阳光，照亮了前方的路。

切线放缩法到底是怎么一回事呢？简单说就是，我们可以通过切线来“放大”或“缩小”某个点附近的情况。

这就像咱们在生活中，有时候只需要关注某个细节，其他的都可以暂时抛在脑后。

当我们在画图的时候，想象一下，把曲线附近的那个小区域用切线给代替，这样一来，整个问题就变得简单多了。

就像是用放大镜看蚂蚁，它的一举一动都清晰可见，不再是一个模糊的点了。

数学上，这个技巧的核心就是用切线的斜率来近似函数的变化。

你有没有觉得，有时候解题就像是走迷宫？找不到出口，心里特别慌。

但是，如果你用上切线放缩法，就好像找到了迷宫的天花板，整个布局一下子都看得清清楚楚。

咱们的目标是把复杂的情况转化成简单的形式，能让我们更容易计算，直奔主题，省时又省力。

切线放缩法就像是数学里的万能钥匙，能打开一扇又一扇通向成功的大门。

再说说在极限问题中的应用，想象一下，咱们面对的是一个难以捉摸的极限，感觉就像是试图抓住一条鱼。

这个时候，切线放缩法就能帮你在鱼的身边放个网，把它稳稳地捉住。

咱们只需关注函数在某一点的表现，别的就留给切线去处理。

这样一来，原本复杂的计算就能变得轻松愉快。

说到这里，难免有人会觉得，“这玩意儿真有那么神？”没错，切线放缩法的魅力就在于它的简单和高效，像是一道美味的家常菜，做起来省心又不失风味。

试想一下，你在考试的时候，看到一道复杂的题目，心里一紧，突然想到切线放缩法，瞬间就像在考试中喝了杯提神的咖啡，清醒了许多，灵感乍现，思路豁然开朗。

这个技巧也不是万能的，使用的时候还是得结合具体情况，谨慎为上。

导数专题之切割线放缩

导数专题之切割线放缩切线放缩若函数()y f x =在区间[,]a b 上有凹凸性，可以利用切线()()()000'y f x x x f x =-+进行放缩．（1）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 下凸（''()0f x >），则有：()()()000()'f x f x x x f x ≥-+；（2）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 上凸（''()0f x <），则有：()()()000()'f x f x x x f x ≥-+.割线放缩若函数()y f x =在区间[,]a b 上有凹凸性，可以利用割线()()()()f b f a y x a f a b a-=-+-进行放缩．（1）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 下凸（''()0f x >），则有：()()()()()f b f a f x x a f a b a -≤-+-；（2）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 上凸（''()0f x <），则有：()()()()()f b f a f x x a f a b a-≥-+-.附函数凹凸性的定义1、凹函数定义：设函数()y f x =在区间I 上连续，对12,x x I ∀∈，若恒有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称()y f x =的图象是上凹/下凸的，函数()y f x =为上凹/下凸函数；二阶导数''()0f x > 2、凸函数定义：设函数()y f x =在区间I 上连续，对12,x x I ∀∈，若恒有1212()()()22x x f x f x f ++>，则称()y f x =的图象是下凹/上凸的，函数()y f x =为下凹/上凸函数. 二阶导数''()0f x <1.已知(0,)x e ∈，求证：()22222ln ln 2ln 25ee x x e x x -+>++ 解：原式等价于()()2ln 121(ln 1)ln 2ln 25x ee x x x --->++令ln 1 (0)t x t =-<，即证：()2214155te et t t ->++ 取e e t y t =-在0t =处的切线，有(1)1,0te et e t t ->-+<()2222[(1)1](1)2(1)1t e et e t e t e t ->-+=---+当0t <时，有22214(1),2(1)55e t t e t t->-->，得证.2.求证：1(1)ln 2x x e x -->-解：① 当1x ≥时用切线放缩 1xe x ≥+1(1)(1)ln (1)(1)(1)(1)2LHS x x x x x x x x ≥-+->-+--=->-② 当01x <<时用割线放缩(1)1x e e x <-+ [][]11(1)(1)1ln (1)(1)1(1)(1)(1)42e LHS x e x x x e x x e x x -≥--+->--+--=--≥->-练习：(1)ln 1xe e x x x ≥-++；12ln 1x xe e x x -+>；233125ln 02x x x x x -++-->3.已知,,0a b c >且1a b c ++=，求证：222233131314.a b c +++++<解一：利用勾股定理刻画不等式中的几何意义．解二：利用切线和割线构造了函数不等式：2233131 1.323x x x ⎛⎫+-≤+≤+ ⎪⎝⎭加和即得证.4.已知,0a b >且1a b +=，求证：3≥.法一均值不等式18a =++≥≥3≥≥=法二切线法2x ≥-，当12x =时取等. ()2243a b a b ≥-+-=-+=，取等条件：12a b ==. 5.已知23()1xf x x +=+，[0,3]x ∈，已知数列{}n a 满足03n a <≤，*n N ∈，且122010670a a a +++=，则()()()122010f a f a f a +++的最大值为______．(6030)构造[0,3]x ∈上的函数不等式：239131103x x x+⎛⎫≤-⋅-+ ⎪+⎝⎭. 6.求函数y=的值域．解：定义域：[]3,5为上凸函数，于是3x≥-()52x≥--)3513y x x x⎛=--=+≥⎝⎭当且仅当3x=时取等.()()2357210x x x x≤-+--+-=当且仅当7235x xx x--=--，即297x=时取等.于是函数值域为.7.已知,0a b>且1ab+=，求.解：设函数()f x=()g x='()f x=，'()g x=取这两个函数平行的切线，有=2240119b a-=与1a b+=联立，解得12,33a b==212123311a b⎛⎫⎫--+=⎪⎪⎝⎭⎭8.已知,0ab≥，1a b+=，则______，最小值是_______．法一割线放缩处理最大值.1)1a≤+(7b≤等号当,{0,1}a b∈时取得．于是有1)32(7a b≤+++考虑到1)2(7>-，于是当()(),1,0a b=时右边取得最大值．因此所求的最大值为切线放缩处理最小值．)aλ≥-，)bμ≥-等号当(,)(,)a bλμ=时取得．令112,3233λμλμ+=⎧⎪⇒==⎨=⎪⎩≥=等号当12(,),33a b⎛⎫= ⎪⎝⎭时取得．因此所求的最小值为法二令()01f x x==≤≤9.已知,,a b c满足1a b c++=的最值.解：设函数()f x=14x≥-，'()f x=作出函数()f x的图象，函数()f x的图象在13x=处的切线：1733y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭，以及函数()f x的图象过点1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭的割线：y x=+13x x⎫≤-⎪⎝⎭左侧等号当14x=-或32x=时取得；右侧等号当13x=13a b c===，当14a b==-，32c=时取得．10.已知1122ln ln x x x x a==，12x x <，求证：22121x x a e --<++.解：设函数()ln f x x x =，()1ln .f x x '=+取其2x e -=在和1x =处的切线，分别为21:e l y x -=--和2:1l y x =-，如图．直线y a =与直线1l ，函数()f x 的图象和直线2l分别交于1122',,,'x x x x ，则有：1122''x x x x <<<()222121(1)21x x x x a a e a e ''---<-=+---=++注1 类似的，我们还可以用割线y x =-和1(1)1y x e =--来估计21x x -的下界，如图．注2 我们也可以利用函数图象的外接曲线得到更加精确的界，例如用21(1)12y x x =-+-和2y e =-如图．11.设,,a b c 为非负实数，满足1a b c ++=，则222111222ab c +++++的取值范围是______．设函数21()2f x x =+，考虑利用切割线放缩得到辅助不等式：当[0,1]x ∈时，有：21115419622361319x x x ⎛⎫-+≤≤--+ ⎪+⎝⎭ 且左边不等式等号当0,1x =时取得；右边不等式等号当13x =时取得．左边不等式为：(1)(2)0x x x --≥，右边不等式为：2(176)(31)0x x --≥，容易得证. 所以()135427()16236119x f x x -+≤≤--+∑∑∑222411127322219a b c ≤++≤+++左侧等号当()(),,1,0,0x y z =时可以取得；右侧等号当111(,,),,333x y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭时可以取得．因此所求的取值范围是427,319⎡⎤⎢⎥⎣⎦．12.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：cos tan 2x x x +>．解：先证 0,,sin tan 22x x x xπ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭于是当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，有 cos tan sin tan 2x x x x x +≥+> 当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用cos y x =在4x π=和2x π=之间的割线，有cos 2x x π⎫>-⎪⎝⎭ 利用tan y x =在4x π=处的展开，有 2tan 12244x x x ππ⎛⎫⎛⎫>+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 于是当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有22cos tan 21228x x x x x ππππ⎛⎫+->++-++ ⎪ ⎪⎝⎭右侧对应的28480ππ∆=+-<，得证.13.已知,0a b >，4a =，则31a b +的最小值是_______．根据切割线放缩，有14(1)33a a b =+≥+-+，于是433b a +≤进而3143a b a +≥≥+等号当且仅当()(),1,1a b =时取得．因此所求的最小值为4．14.已知1nii xn==∑，求()12inx ii x =⋅∑的最小值．解切线放缩,2(ln 42)(1)2xx R x x ∀∈⋅≥+-+ ()()112(ln 42)122innx i ii i x x n n==⋅≥++∴-=∑∑当1i x =时取到等号，从而得到所求的最小值为2n ．注切比雪夫不等式亦可解.例1、()[]23,0,31xf x x x +=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且满足122010670a a a +++=，则122010()()()f a f a f a +++= 6030解析：3)31(f =因为，当12201013a a a ====时，122010()()()f a f a f a +++=6030对于函数23()(03)1x f x x x +=≤≤+,19()316k f '==-,在13x =处的切线方程为即3(11)10y x =-，则()22331(11)(3)()01103x f x x x x x +=≤-⇔--≤+成立，所以当03,n a n N*<≤∈时，有()3(113)10n n f a a ≤-122010()()()f a f a f a +++[]12201031120103()603010a a a ≤⨯-+++=例2、已知函数2901xf x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．解析：（1）2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++，令，解得（负值舍去），由，解得．（ⅰ）当时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴在上的最大值为18(2)41f a =+．（ⅱ）当时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴在上的最大值为118()24f a =+．（ⅲ）当时，在时，，在时，，在上的最大值为．（2）设切点为，则()1,()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩ 由，有，化简得，即或， …① 由()2f t t a =-+，有，…② 由①、②解得或．（3）当时，，由（2）的结论直线为曲线的切线，，点在直线上，根据图像分析，曲线()y f x =在线下方．下面给出证明：当时，．()0f x '=x a =±122a <<144a <<104a <≤()f x 1[,2]24a ≥()f x 1[,2]2144a <<12x <<()0f x '>2x <<()0f x '<∴()f x 1[,2]2f (,())t f t ()1f t '=-2229[1]1(1)at at -=-+2427100a t at -+=22at =25at =2921ta t at =-+2a=4a =2a =29()12xf x x =+4y x =-()y f x =(2)2f =∴(2,(2))f 4y x =-4y x =-1[,2]2x ∈()4f x x ≤-，当时，()(4)0f x x --≤，即．∴，，．要使不等式恒成立，必须．又当时，满足条件，且，因此，的最小值为．例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且311i i x ==∑，则2111x ++2211x ++2311x +≤2710证明：设21()1g x x =+，则()222'()1xg x x -=+ ，()()232231''()1x g x x -=+，由''()0g x <得x <<，''()0g x >得x >或x <，故21()1g x x =+在⎡⎢⎣⎦是上凸的，在区间,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭是下凸的. 由311ii x==∑，则平衡值013x =，由导数知识易求得()g x 在13x =处的切线为27(2)50y x =- ，因01333x ⎡=∈-⎢⎣⎦，()g x在33⎡-⎢⎣⎦是上凸的，故()2127()2150g x x x =≤-+恒成立.即()1211272150x x ≤-+，()2221272150x x ≤-+，()3231272150x x ≤-+，三式相加并结合311ii x ==∑即得2111x ++2211x ++2311x +≤2710.3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++2221(2)12x x x --=+（）1[,2]2x ∈()4f x x ≤-12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++121414x x x +++=1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-=∴1214()()()f x f x f x λ+++≤42λ≥12141x x x ====121414x x x +++=1214()()()42f x f x f x +++=λ42若将该题条件改为：若)3,2,1(,0=>i x i ，且313i i x ==∑时，解法同理.此时平衡值01x =，而21()1g x x =+在1x =处的切线为112y x =-+,因01x ⎫=∈+∞⎪⎪⎝⎭，()g x在3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭是下凸的，故211()112g x x x =≥-++恒成立. 即12111112x x ≥-++，22211112x x ≥-++，32311112x x ≥-++，三式相加并结合313i i x ==∑即得2111x ++2211x ++2311x +≥32.即得一个新的不等式：若1,2,3i x i >=，且313i i x ==∑，则2111x ++2211x ++2311x +≥32. 所以，在证明一类多元不等式时，我们经常用到的一个办法就是假设这些变元的和为1.例4、若实数,,0a b c >，证明：23≥+++++b a c c a b c b a .提示：不妨设0a b c t ++=>，则平衡点是3t x =.x x x f -=1)(在3t x =处的切线()2293x t y t -=-，有()229()3x t f x t -≥-.5、若z y x ,,非负，且1222=++z y x ，证明：43111222≤+++++z z y y x x 提示：平衡点是33=x .21)(x x x f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f 练习1：已知函数)2()20()2(11)(2>≤≤⎪⎩⎪⎨⎧++=x x f x x x f ，⑴求函数)(x f 在定义域上的单调区间.⑵若关于x 的方程0)(=-a x f 恰有两个不等的实根，求实数a 的范围；⑶已知实数]1,0[,21∈x x ，121=+x x ，若不等式)ln()()(21p x x x f x f --≤在),(+∞∈p x 上恒成立，求实数p 的最小值.（可以利用切线求)()(21x f x f 的最大值）练习2：若z y x ,,非负，且1222=++z y x ，证明：43111222≤+++++z z y y x x 提示：平衡点是33=x .21)(x x x f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f 切线放缩法实质就是利用函数的图像性质解决一类多元的问题向一元函数求最值和类型的不等式转化.此时，可以选择先求二阶导看凹凸性，判断这个函数是否能使用切线法，或者能够被用得比较好.也可以直接选择求一阶导，把等号取道条件的切线值求出来，对应不等式常数项配最后的常数系数.其本质相当于求这个一元函数在等号取到条件时（也就是文中的平衡点）的切线值，进一步求对于这个一元函数相对应的某个局部不等式.15.已知函数1()x e f x x -= （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若2ln 10x e x x kx ---≥对任意实数0x >都成立，求k 的取值范围.解：（1）2(1)1'()x e x f x x -+=设()(1)1x x e x ϕ=-+，'()x x e x ϕ=⋅ 于是()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，在0x =处取得极小值，亦为最小值(0)0ϕ=，因此()f x 在R 单调递增．（2）12ln 102ln x xe e x x kx k x x ----≥⇒≤- 设 1()2ln x e x x x μ-=-，21(1)2'()x e x x x x μ+--=其极值点在1x =附近．因此考虑在1x =处进行切线放缩，有 12x e x e x -≥+-()22ln x x e x μ≥+--设 ()2ln 2h x x x e =-+-，2'()1h x x =-在2x =取最小值，(2)2ln 2h e =-，即2ln 2k e ≤-.。

切线放缩公式大全

切线放缩公式大全在微积分中，切线是研究曲线性质的重要工具之一。

而切线放缩公式是通过对曲线进行放缩操作，从而求得其切线的一种方法。

下面将介绍常见的切线放缩公式，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。

一、一次函数的切线放缩公式：对于一次函数 y = ax + b，其切线的斜率为 a。

如果我们希望将切线的斜率变为ka，其中 k 是一个常数，那么我们可以使用切线放缩公式：y = k(ax + b)二、二次函数的切线放缩公式：对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，我们可以通过放缩系数 k 来改变切线的形状。

切线放缩公式如下：y = k(ax^2 + bx + c)三、指数函数的切线放缩公式：对于指数函数 y = a^x，我们可以通过放缩系数 k 来调整切线的斜率。

切线放缩公式如下：y = k(a^x)四、对数函数的切线放缩公式：对于对数函数 y = log_a(x)，其中 a 为底数，我们可以通过放缩系数 k 来调整切线的斜率。

切线放缩公式如下：y = k(log_a(x))五、三角函数的切线放缩公式：对于三角函数 y = sin(x)，y = cos(x)，y = tan(x)等，我们可以通过放缩系数 k 来调整切线的斜率。

切线放缩公式如下：y = k*sin(x)y = k*cos(x)y = k*tan(x)六、其他常见函数的切线放缩公式：除了上述基本函数外，我们还可以使用切线放缩公式来处理其他常见函数的切线问题。

例如：1. 双曲函数：y = sinh(x)，y = cosh(x)，y = tanh(x)等2. 指数幂函数：y = e^x，y = ln(x)等3. 傅里叶级数：y = a_0 + Σ(a_n*cos(nx) + b_n*sin(nx))4. 隐函数和参数方程：y = f(x)，(x(t), y(t))等5. 简单和复杂的多项式函数等总结：切线放缩公式是研究曲线切线的重要工具之一。

切线放缩公式

切线放缩公式
切线放缩公式是一种用于测度曲线间距离的数学公式。

它可以被广泛应用于计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域。

切线放缩公式的基本思想是利用切线在一定范围内的长度来近似测量曲线之间的距离。

具体来说，假设有两条曲线A和B，它们在某一点P处相交，并且在该点处的切线分别为T1和T2。

此时，我们可以将曲线A在P点处的一段长度为L1的线段T1作为测量曲线A 和B之间距离的近似值，因为这段线段与曲线A的距离非常接近。

同样地，我们可以将曲线B在P点处的一段长度为L2的线段T2作为测量曲线A和B之间距离的近似值。

切线放缩公式的具体数学形式如下：
d(A,B) ≈ min{L1,L2}
其中，d(A,B)是曲线A和B之间的距离，L1和L2分别是曲线A和B在P点处的切线长度。

需要注意的是，切线放缩公式只是一种近似方法，其精度取决于所选取的切线长度。

当切线长度越长时，公式的精度也会随之提高。

因此，切线放缩公式的应用需要根据具体问题来确定切线长度的选择。

切线放缩公式广泛应用于计算机图形学中的形状匹配问题。

在形状
匹配问题中，我们需要找到两个形状之间的相似性。

切线放缩公式可以用来计算两个形状之间的距离，从而实现形状匹配的目的。

此外，切线放缩公式还可以用于机器人学中的路径规划问题，以及计算机视觉中的图像配准问题。

切线放缩公式是一种在计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中广泛应用的数学公式。

它通过利用切线长度来近似测量曲线之间的距离，为这些领域提供了一种有效的数学工具。

导数专题之切割线放缩

导数专题之切割线放缩切线放缩若函数()y f x =在区间[,]a b 上有凹凸性，可以利用切线()()()000'y f x x x f x =-+进行放缩．（1）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 下凸（''()0f x >），则有：()()()000()'f x f x x x f x ≥-+；（2）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 上凸（''()0f x <），则有：()()()000()'f x f x x x f x ≥-+.割线放缩若函数()y f x =在区间[,]a b 上有凹凸性，可以利用割线()()()()f b f a y x a f a b a-=-+-进行放缩．（1）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 下凸（''()0f x >），则有：()()()()()f b f a f x x a f a b a -≤-+-；（2）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 上凸（''()0f x <），则有：()()()()()f b f a f x x a f a b a-≥-+-.附函数凹凸性的定义1、凹函数定义：设函数()y f x =在区间I 上连续，对12,x x I ∀∈，若恒有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称()y f x =的图象是上凹/下凸的，函数()y f x =为上凹/下凸函数；二阶导数''()0f x > 2、凸函数定义：设函数()y f x =在区间I 上连续，对12,x x I ∀∈，若恒有1212()()()22x x f x f x f ++>，则称()y f x =的图象是下凹/上凸的，函数()y f x =为下凹/上凸函数. 二阶导数''()0f x <1.已知(0,)x e∈，求证：()22222lnln2ln25e e x x ex x-+>++2.求证：1 (1)ln2xx e x-->-练习：(1)ln1xe e x x x≥-++；12ln1xxee xx-+>；233125ln02x xx x x-++-->3.已知,,0a b c>且1a b c++=，求证：4.4.已知,0a b>且1a b+=，求证：3≥.5.已知23()1xf x x +=+，[0,3]x ∈，已知数列{}n a 满足03n a <≤，*n N ∈，且122010670a a a +++=L ，则()()()122010f a f a f a +++L 的最大值为______．(6030)构造[0,3]x ∈上的函数不等式：239131103x x x +⎛⎫≤-⋅-+ ⎪+⎝⎭.6.求函数y =的值域．7.已知,0a b >且1a b +=，求.8.已知,0a b ≥，1a b +=，则______，最小值是_______．9.已知,,a b c 满足1a b c ++=的最值.10.已知1122ln ln x x x x a==，12x x <，求证：22121x x a e --<++.11.设,,a b c 为非负实数，满足1a b c ++=，则222111222ab c +++++的取值范围是______．12.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：cos tan 2x x x +>．13.已知,0a b >，4a =，则31a b +的最小值是_______．14.已知1nii xn==∑，求()12inx ii x =⋅∑的最小值．例1、()[]23,0,31xf x x x +=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且满足122010670a a a +++=L ，则122010()()()f a f a f a +++L = 6030例2、已知函数2901xf x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且311i i x ==∑，则2111x ++2211x ++2311x +≤2710例4、若实数,,0a b c >，证明：23≥+++++b a c c a b c b a .练习1：已知函数)2()20()2(11)(2>≤≤⎪⎩⎪⎨⎧++=x x f x x x f ，⑴求函数)(x f 在定义域上的单调区间.⑵若关于x 的方程0)(=-a x f 恰有两个不等的实根，求实数a 的范围；⑶已知实数]1,0[,21∈x x ，121=+x x ，若不等式)ln()()(21p x x x f x f --≤在),(+∞∈p x 上恒成立，求实数p 的最小值.（可以利用切线求)()(21x f x f 的最大值）练习2：若z y x ,,非负，且1222=++z y x ，证明：43111222≤+++++z z y y x x 提示：平衡点是33=x .21)(x xx f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f15.已知函数1()x e f x x -=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若2ln 10xe x x kx ---≥对任意实数0x >都成立，求k 的取值范围.答案1.已知(0,)x e ∈，求证：()22222ln ln 2ln 25e e x x e x x -+>++ 解：原式等价于()()2ln 121(ln 1)ln 2ln 25x e e x x x --->++令ln 1 (0)t x t =-<，即证：()2214155te et t t ->++ 取e e t y t =-在0t =处的切线，有(1)1,0te et e t t ->-+<()2222[(1)1](1)2(1)1te et e t e t e t ->-+=---+当0t <时，有22214(1),2(1)55e t t e t t->-->，得证.2.求证：1(1)ln 2x x e x -->-解：① 当1x ≥时用切线放缩 1xe x ≥+1(1)(1)ln (1)(1)(1)(1)2LHS x x x x x x x x ≥-+->-+--=->-② 当01x <<时用割线放缩(1)1x e e x <-+ [][]11(1)(1)1ln (1)(1)1(1)(1)(1)42e LHS x e x x x e x x e x x -≥--+->--+--=--≥->-练习：(1)ln 1xe e x x x ≥-++；12ln 1x xe e x x -+>；233125ln 02x x x x x -++-->3.已知,,0a b c >且1a b c ++=，求证：222233131314.a b c +++++<…解一：利用勾股定理刻画不等式中的几何意义．解二：利用切线和割线构造了函数不等式：2233131 1.323x x x ⎛⎫+-≤+≤+ ⎪⎝⎭加和即得证.4.已知,0a b>且1a b+=，求证：3≥.法一均值不等式=≥≥3≥≥=法二切线法2x≥-，当12x=时取等.()2243a b a b≥-+-=-+=，取等条件：12a b==.5.已知23()1xf xx+=+，[0,3]x∈，已知数列{}n a满足03na<≤，*n N∈，且122010670a a a+++=L，则()()()122010f a f a f a+++L的最大值为______．(6030)构造[0,3]x∈上的函数不等式：239131103xxx+⎛⎫≤-⋅-+⎪+⎝⎭.6.求函数y=的值域．解：定义域：[] 3,5为上凸函数，于是3x≥-)5x≥-)3513222y x x x⎛=---=-+-≥⎝⎭当且仅当3x=时取等.()()2357210x x x x≤-+--+-=当且仅当7235x xx x--=--，即297x=时取等.于是函数值域为.7.已知,0a b>且1ab+=，求.解：设函数()f x=()g x='()f x=，'()g x=取这两个函数平行的切线，有=2240119b a-=与1a b+=联立，解得12,33ab==1233a b⎫⎫--+=⎪⎪⎭⎭8.已知,0a b≥，1a b+=，则______，最小值是_______．法一割线放缩处理最大值.1)1a≤+(7b≤等号当,{0,1}ab∈时取得．于是有1)32(7a b≤+++考虑到1)2(7>-，于是当()(),1,0a b =时右边取得最大值．因此所求的最大值为切线放缩处理最小值．)a λ≥-，)b μ≥-等号当(,)(,)a b λμ=时取得．令112,3233λμλμ+=⎧⎪⇒==⎨=⎪⎩≥= 等号当12(,),33a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭时取得．因此所求的最小值为法二令()01f x x ==≤≤9.已知,,a b c 满足1a b c ++=的最值.解：设函数()f x =14x ≥-，'()f x =作出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象在13x =处的切线：1733y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，以及函数()f x 的图象过点1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭的割线：y x =+，如图．1733x x ⎫≤-+⎪⎝⎭左侧等号当14x =-或32x =时取得；右侧等号当13x =，当13a b c ===，当14a b ==-，32c =时取得．10.已知1122ln ln x x x x a==，12x x <，求证：22121x x a e --<++.解：设函数()ln f x x x =，()1ln .f x x '=+取其2x e -=在和1x =处的切线，分别为21:el y x -=--和2:1l y x =-，如图．直线y a =与直线1l ，函数()f x 的图象和直线2l分别交于1122',,,'x x x x ，则有：1122''x x x x <<<()222121(1)21x x x x a a e a e ''---<-=+---=++注1 类似的，我们还可以用割线y x =-和1(1)1y x e =--来估计21x x -的下界，如图．注2 我们也可以利用函数图象的外接曲线得到更加精确的界，例如用21(1)12y x x =-+-和2y e =-如图．11.设,,a b c 为非负实数，满足1a b c ++=，则222111222ab c +++++的取值范围是______．设函数21()2f x x =+，考虑利用切割线放缩得到辅助不等式：当[0,1]x ∈时，有：21115419622361319x x x ⎛⎫-+≤≤--+ ⎪+⎝⎭ 且左边不等式等号当0,1x =时取得；右边不等式等号当13x =时取得．左边不等式为：(1)(2)0x x x --≥，右边不等式为：2(176)(31)0x x --≥，容易得证. 所以()135427()16236119x f x x -+≤≤--+∑∑∑222411127322219a b c ≤++≤+++左侧等号当()(),,1,0,0x y z =时可以取得；右侧等号当111(,,),,333x y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭时可以取得．因此所求的取值范围是427,319⎡⎤⎢⎥⎣⎦．12.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：cos tan 2x x x +>．解：先证 0,,sin tan 22x x x xπ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭于是当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，有 cos tan sin tan 2x x x x x +≥+> 当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用cos y x =在4x π=和2x π=之间的割线，有cos 2x x ππ⎫>--⎪⎝⎭利用tan y x =在4x π=处的展开，有 2tan 12244x x x ππ⎛⎫⎛⎫>+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有22cos tan 21228x x x x x πππ⎫+->+-++⎪⎪⎝⎭右侧对应的28480ππ∆=+-<，得证.13.已知,0a b >，4a =，则31a b +的最小值是_______．根据切割线放缩，有14(1)33a a b =≥+-+，于是433b a +≤进而3143a b a +≥≥+等号当且仅当()(),1,1a b =时取得．因此所求的最小值为4．14.已知1nii xn==∑，求()12inx ii x =⋅∑的最小值．解切线放缩,2(ln 42)(1)2xx R x x ∀∈⋅≥+-+ ()()112(ln 42)122innx i ii i x x n n==⋅≥++∴-=∑∑当1i x =时取到等号，从而得到所求的最小值为2n ．注切比雪夫不等式亦可解.例1、()[]23,0,31xf x x x +=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且满足122010670a a a +++=L ，则122010()()()f a f a f a +++L = 6030解析：3)31(f =因为，当12201013a a a ====L 时，122010()()()f a f a f a +++L =6030 对于函数23()(03)1x f x x x +=≤≤+,19()316k f '==-,在13x =处的切线方程为即3(11)10y x =-，则()22331(11)(3)()01103x f x x x x x +=≤-⇔--≤+成立，所以当03,n a n N*<≤∈时，有()3(113)10n n f a a ≤-122010()()()f a f a f a +++L []12201031120103()603010a a a ≤⨯-+++=L例2、已知函数2901xf x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．解析：（1）2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++，令，解得（负值舍去），由，解得．（ⅰ）当时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴在上的最大值为18(2)41f a =+．（ⅱ）当时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴在上的最大值为118()24f a =+．（ⅲ）当时，在时，，在时，，在上的最大值为．（2）设切点为，则()1,()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩由，有，化简得，即或， …① 由()2f t t a =-+，有，…②()0f x '=x =122<<144a <<104a <≤()f x 1[,2]24a ≥()f x 1[,2]2144a <<Q 12x a <<()0f x '>2x a <<()0f x '<∴()f x 1[,2]2f (,())t f t ()1f t '=-2229[1]1(1)at at -=-+2427100a t at -+=22at =25at =2921ta tat =-+由①、②解得或．（3）当时，，由（2）的结论直线为曲线的切线，，点在直线上，根据图像分析，曲线()y f x =在线下方．下面给出证明：当时，．，当时，()(4)0f x x --≤，即． ∴，，．要使不等式恒成立，必须．又当时，满足条件，且，因此，的最小值为．例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且311i i x ==∑，则2111x ++2211x ++2311x +≤2710证明：设21()1g x x =+，则()222'()1xg x x -=+ ，()()232231''()1x g x x -=+，由''()0g x <得x <<，''()0g x >得x >或x <，故21()1g x x =+在33⎡-⎢⎣⎦是上凸的，在区间,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭是下凸的. 2a=a =2a =29()12xf x x =+4y x =-()y f x =(2)2f =Q ∴(2,(2))f 4y x =-4y x =-1[,2]2x ∈()4f x x ≤-3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++Q 2221(2)12x x x --=+（）1[,2]2x ∈()4f x x ≤-12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++L L 121414x x x +++=Q L 1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-=L ∴1214()()()f x f x f x λ+++≤L 42λ≥Q 12141x x x ====L 121414x x x +++=L 1214()()()42f x f x f x +++=L λ42由311ii x==∑，则平衡值013x =，由导数知识易求得()g x 在13x =处的切线为27(2)50y x =- ，因013x ⎡=∈⎢⎣⎦，()g x在⎡⎢⎣⎦是上凸的，故()2127()2150g x x x =≤-+恒成立.即()1211272150x x ≤-+，()2221272150x x ≤-+，()3231272150x x ≤-+，三式相加并结合311ii x ==∑即得2111x ++2211x ++2311x +≤2710.若将该题条件改为：若)3,2,1(,0=>i x i ，且313ii x==∑时，解法同理.此时平衡值01x =，而21()1g x x =+在1x =处的切线为112y x =-+,因01x ⎫=∈+∞⎪⎪⎝⎭，()g x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭是下凸的，故211()112g x x x =≥-++恒成立.即12111112x x ≥-++，22211112x x ≥-++，32311112x x ≥-++，三式相加并结合313ii x ==∑即得2111x ++2211x ++2311x +≥32.即得一个新的不等式：若1,2,33i x i >=，且313ii x ==∑，则2111x ++2211x ++2311x +≥32.所以，在证明一类多元不等式时，我们经常用到的一个办法就是假设这些变元的和为1.例4、若实数,,0a b c >，证明：23≥+++++b a c c a b c b a .提示：不妨设0a b c t ++=>，则平衡点是3t x =.x x x f -=1)(在3t x =处的切线()2293x t y t -=-，有()229()3x t f x t -≥-.5、若z y x ,,非负，且1222=++z y x ，证明：43111222≤+++++z z y y x x 提示：平衡点是33=x .21)(x xx f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f练习1：已知函数)2()20()2(11)(2>≤≤⎪⎩⎪⎨⎧++=x x f x x x f ，⑴求函数)(x f 在定义域上的单调区间.⑵若关于x 的方程0)(=-a x f 恰有两个不等的实根，求实数a 的范围；⑶已知实数]1,0[,21∈x x ，121=+x x ，若不等式)ln()()(21p x x x f x f --≤在),(+∞∈p x 上恒成立，求实数p 的最小值.（可以利用切线求)()(21x f x f 的最大值）练习2：若z y x ,,非负，且1222=++z y x ，证明：43111222≤+++++z z y y x x 提示：平衡点是33=x .21)(x xx f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f 切线放缩法实质就是利用函数的图像性质解决一类多元的问题向一元函数求最值和类型的不等式转化.此时，可以选择先求二阶导看凹凸性，判断这个函数是否能使用切线法，或者能够被用得比较好.也可以直接选择求一阶导，把等号取道条件的切线值求出来，对应不等式常数项配最后的常数系数.其本质相当于求这个一元函数在等号取到条件时（也就是文中的平衡点）的切线值，进一步求对于这个一元函数相对应的某个局部不等式.15.已知函数1()x e f x x -=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若2ln 10xe x x kx ---≥对任意实数0x >都成立，求k 的取值范围.解：（1）2(1)1'()x e x f x x -+=设()(1)1x x e x ϕ=-+，'()xx e x ϕ=⋅ 于是()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，在0x =处取得极小值，亦为最小值(0)0ϕ=，因此()f x 在R 单调递增．（2）12ln 102ln x xe e x x kx k xx ----≥⇒≤-设 1()2ln x e x x x μ-=-，21(1)2'()x e x xx x μ+--=其极值点在1x =附近．因此考虑在1x =处进行切线放缩，有 12x e x e x -≥+-()22ln x x e x μ≥+-- 设()2ln 2h x x x e =-+-，2'()1h x x =-在2x =取最小值，(2)2ln 2h e =-，即2ln 2k e ≤-.。

第12讲 切线放缩

高中数学必会技能——导数切线放缩常用到的两张切线图

切线放缩证明超越不等式

第12讲 切线放缩(含答案)

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