随机过程讲义全套

合集下载

(完整版)随机过程知识点汇总

第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。

若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程的基本概念１．随机过程的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上的随机过程。

随机过程论(第3版)PPT完整全套教学课件

在独立增量过程中有一类很重要的特例一稳定过程，它满足条件:存在a>0(a称为此稳定过程的阶)，使对∀c>0恒有
04 马氏过程
马氏过程
定义14(马氏过程)
成立。式(1.17)又称为马氏性。特别地，
马氏过程
命题1.2
成立。
证明当
时，式(1.17)显然蕴含式(1.18);另外，用测度论典型
证明
可见Y是一元正态分布。
Gauss 系
命题1.6
证明
Gauss 系
命题1.7
令
Gauss 系
命题1.7
于是这就可得到于是
Gauss 系
命题1.8
于是这就可得到于是这就证明了 (a)，(b)可采用同样的方法证明。
Gauss 系
命题1.9
于是这就可得到而式(1.28)左侧等于
Gauss 系
第二章
鞅论初步
随机过程论
上鞅、下鞅的概
01 念、简单性质与
分解定理
1.概念与简单性质
设在概率空间
上有一个非降的σ-代数族
和实随机过程
条件2’)还蕴含证明1)令
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2)证明P( · )在δ上是完全可加的。
1° 为书写方便，我们先定义以下m-步转移概率测度。设
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
及
再令由
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2° 用归纳法来证明存在由于
当K=-1时，式(1.27)可写成
Kolmogorov定理给出了由有限维联合分布族构造(Ω,ƒ)上测度P的方法。
1.Kolmogorov定理

北大随机过程随机游动讲义

随机游动1．随机游动模型设有一个质点在x 轴上作随机游动，在t=0时在x 轴的原点，在t=1,2,3,…时沿x 轴正方向或反方向移动一个单位距离，沿正方向移动一个单位距离的概率为p ，沿反方向移动一个单位距离的概率为q=1-p 。

质点随机游动构成一个离散时间、离散状态的随机过程。

记质点在第n 步时的状态为L ,2,1,0,=n n η，¾ 样本空间：{……-3,-2,-1,0,1,2,3……} ¾ 初始态：00=η¾ 一步转移概率：经过一步从状态i 转移到状态j 的概率1110ij p j i p q p j i otherwise =+⎧⎪==−=−⎨⎪⎩2．随机游动模型的分析¾ 经过n 步以后的位置特征 ¾ 经过n 步返回原点的概率 ¾ 经过n 步第一次返回原点的概率 ¾ 第一次返回原点所需的平均时间 ¾ 迟早返回原点的概率 ¾ 多次返回原点的概率 ¾ 经过n 步达到+1的概率 ¾ 第1次通过最大值2.1 经过n 步以后的位置特征：概率分布、统计特征质点在第n 步时的状态为L ,2,1,0,=n n η，？经过时间n ，质点距离原点的距离为m 的概率P{n η=m}n η是一个随机变量，它的可能取值是：{}n n n n n ,1,,1,,0,1,,2,1,−−−−−L L若质点移动n 步后到达m n =η 的位置，则所有的移动中，正方向移动2mn +步，反方向移动2mn −步，因此：一维概率分布：{}222m n m n n q p m n n m P −+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+==η， m=-n,-n+2,-n+4,……,n-2,n ；n m ≤均值：∑==nk k n 1ξη；其中k ξ为每一步的移动，{}{},n ,,q,k ξP p,ξP k k L 2111==−==={}{}{}q p 1)(*11*1E −=−=+==k k k ξP ξP ξ{}{})(n 11q p E E E nk k n k k n −==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑==ξξη，[]∑∑∑∑∑∑=======⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=n k n l l k n k n l l k n k nl l k nE E E E 1111112}{ξξξξξξη考虑到l k ≠，[][][]()2q p E E E l k l k −=⋅=ξξξξ；l k =，[]()11122=+=⋅−+⋅=q p q p E l k ξξ∴ [][][]n ))(1n (n 21kl 112+−−=+=∑∑∑=≠==q p E E E n k n l nk k k l k ξξξξη方差：()[]{}()(){}n n n n n E E E E E ηηηηηη⋅−+=−2222＝()()[]22n n E E ηη−＝()22n n E ημη−npqq)n(p n q)(p n n q))(p n(n 412222=−−=−−+−−=相关函数：若n<m, []⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⋅∑∑==ml l n k k m n E E 11ξξηη⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n k m l l k E 11ξξ()∑∑===nk ml l k E 11ξξ()()∑∑∑==≠=+=nk k kn k mk l l l kE E 111ξξξξn q p nk m kl l +−=∑∑=≠=112)( n q p m n +−−=2))(1(若n>m, []m q p n m E m n +−−=⋅2))(1(ηη[][][]22)()(1,min q p nm q p m n E m n −⋅+−−=⋅ηη总结：概率分布：{}222m n m n n q p m n n m P −+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+==η ， m=-n,-n+2,-n+4,……,n-2,n ；n m ≤均值：{}()n E n p q η=− 方差：(){}24n n E E npq ηη−=⎡⎤⎣⎦相关函数：[][]2min ,4()n m E n m pq nm p q ηη⋅=⋅+⋅−2.2 经过n 步返回原点的概率根据一维分布的分析可知，第n 步返回原点的概率为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==为偶数，为奇数n q p n n n P nn n 222,0}0{η只有经过偶数步才能返回原点，经过奇数步返回原点的概率为0。

第11讲随机过程孙应飞

第11讲随机过程孙应飞第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）九、更新过程（1）概念及基本性质定义：设}1,{≥k X k 是独立同分布，取值非负的随机变量，分布函数为)(x F ，且1)0(k k n X S X S S 1110,,0，对0≥?t ，记：}:sup{)(t S n t N n ≤=则称}0),({≥t t N 为更新过程。

更新过程是一计数过程，并有：}{})({t S n t N n ≤=≥}{}{}{})({11t S t S S t S n t N n n n n ≤-≤=<≤==++记：)(s F n 为n S 的分布函数，由∑==nk k n X S 1，易知：)()(1x F x F =)2()()()(01≥-=?-n u F d u x F x F xn n证明：由全概率公式有：))(())(()()()(}{)(}{)(}{}{}{)(1101010111x F f x f F u F d u x F u F d u x S P u F d u x S P ud u f u X u x S P x X S P x S P x F n n x n xn n X n n n n n n n----∞-∞∞---*=*=-=-≤=-≤==-≤=≤+=≤=即)(x F n 是)(x F 的n 重卷积，记作：F F F n n *=-1。

另外，记：)}({)(t N E t m =称)(t m 为更新函数。

关于更新函数，有以下重要的定理。

定理：对于0≥?t ，有：∑∞==1)()(n n t F t m证明：根据以上的关系式，计算得：∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞==∞=∞=≤=≥=≥=========11111110}{})({})({})({})({})({})({)(n n n k k kn n n k n n t S P n t N P k t N P n t N P n t N P n t N P n n t N P n t m即有：∑∞==1)()(n n t F t m推论：若对0≥?t ，1)(<="">1))(1)(()(--≤t F t F t m下面是重要的更新方程。

随机过程讲义(南开大学内部)

舱舮舴复合艐良艩艳艳良艮过程及应用舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舷
舱舮舴舮舱复合艐良艩艳艳良艮过程舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舷
舱舮舴舮舲复合艐良艩艳艳良艮过程在保险风险理论中的应用舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舸
3 连续时间马氏链
33
舳舮舱定义舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舳
舳舮舱舮舱马氏性与等价条件舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舳
对 h > 0般有
pn(t
+
h) h
−
pn(t)
=
−λpn(t)
+
λpn−1(t)
+
o(h) ,
h
从而 pn(t) 在 t 的右导数为 −λpn(t) + λpn−1(t)舮类似的可知 pn(t) 的左导数也存在。
这样
pn(t) = −λpn(t) + λpn−1(t), pn(0) = 0, n ≥ 1.
舱舮舵艐良艩艳艳良艮过程的其它扩展舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舰
舱舮舵舮舱非齐次艐良艩艳艳良艮过程舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舰

随机过程讲义（第二章）（PDF）

第二章随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。

T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。

随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。

),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。

一般代表的是时间。

根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。

随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。

通常以表示随机过程的状态空间。

根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。

)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。

随机过程讲义

n U U{N (t ) = n − l , N (t + h) − N (t ) = l} l =2
故有：
Pn (t + h) = Pn (t )(1 − λh − ο (h)) + Pn −1 (t )(λh + ο (h)) + ο (h)
化简并令 h → 0 得：
Pn′(t ) = −λPn (t ) + λPn −1 (t )
∀ n ∈ N ， t i ∈ T , 1 ≤ i ≤ n ，有随机过程 X (t ) 的增量： X (t 2 ) − X (t1 ), X (t 3 ) − X (t 2 ),L, X (t n ) − X (t n−1 )
相互独立，则称随机过程 { X (t ), t ∈ T } 是独立增量过程。注意：若独立增量过程的参数集 T = [ a, b), a > −∞ ，一般假定 X ( a ) = 0 ，则独立增量过程是一马氏过程。特别地，当 X ( 0) = 0 时，独立增量过程
两边同乘以 e ，移项后有：
λt
d λt λt [e Pn (t )] = λ e Pn −1 (t ) dt Pn (0) = P{N (0) = n} = 0
当 n = 1 时，有：
d λt [e P1 (t )] = λ , P1 (0) = 0 ⇒ P1 (t ) = (λ t )e −λ t dt
由归纳法可得：
(λ t ) n − λ t Pn (t ) = e , n ∈ N0 n!
注意： E{N (t )} = λ t 现的平均次数。注意：Poission 过程的转移率矩阵（Q 矩阵）的表示，并用上一章讲过的方法求解 Poission 过程的一维分布。

随机过程英语讲义

随机过程英语讲义2.2 Properties of Poisson processesExample Suppose that people immigrate into a territory at a Poisson rateλ=1 per day. (a) What is the expected time until the tenth immigrant arrives? (b) What is the probability that the elapsed time between the tenth and the eleventh arrival exceeds two days? Solution: (a) E[S10]=10/λ= 10 days (b) P{X112}= e -2λ= e-2≈ 0.13332.2 Properties of Poisson processesArrival time distribution Proposition 2.2.2: The arrival time of the nth event Sn follows aΓ distribution with parameter (n,λ). (λt ) n 1 f (t )=λe λ t Proof: (n 1)!{Sn≤ t} {N(t)≥n} P{Sn≤ t}= P{N(t)≥n}=∑k=n∞e λ t(λ t ) k k!differentiating the two sides of equation with respect to t:2.2 Properties of Poisson processes2.2 Properties of Poisson processesSuppose we are told that exactly one event of a Poisson process has taken place by time t, and we are asked to determine the distribution of the time atwhich the event occurred. Since a Poisson process possesses stationary and independent increments, it seems reasonable that each interval in[0,t] of equal length should have the same probability of containing the event. In other words, the time of the event should be uniformly distributed over[0,t].2.2 Properties of Poisson processesThis result may be generalized, but before doing so we need to introduce the concept of order statistics.52.2 Properties of Poisson processesOrder statistics Order statistics Let Y1, Y2……Yn are n random variables, if we arrange these random variables from small to big, note Y(1)= y1 is the smallest in the sequence, Y(2)= y2 is the second smallest,…. Y(n)= yn is the biggest in the sequence. Y(1) Y(2)…… Y(n), Y(1)……Y(n) or y1……yn are the order statistics of Y1…Yn.2.2 Properties of Poisson processes,Let,f is density of distribution of Yi, if f follows the uniform density over (0,t), the joint density of{Y(i)} is:Y(1) .....Y( n )f( y1,..., yn )= n !Ci=1nn! f ( yi )= n, t0 y1 ... yn t2.2 Properties of Poisson processesPast arrival times givenC Joint density of past arrival times Proposition 2.2.3: Given that N(t)=n, the n arrival times S1… Sn have the same distribution as the order statistics corresponding to the n i.i.d. samples from U(0,t). that is,n! f S1 .....S n N ( t )(t1,..., t n n)= n, tProof:0 t1 ... t n t2.2 Properties of Poisson processesP{ti≤ Si≤ t+hi, i=1,…n|N(t)= n}P{one event in[ti, ti+ hi], 1≤ i≤ n, no events elsewhere in[0,t]}= P{N (t )= n}=λh1eλh1n!= n h1 ...hn t...λhn e e e λt (λ t ) n n!λhn1λ ( t h1 ...hn )P{N (t )= n}= eλt(λ t ) n, n= 0,1, 2,...... n!2.2 Properties of Poisson processesn! P{ti≤ Si≤ t+hi, i=1,…n|N(t)= n}= n h1 ...hn t P{ti≤ S i≤ ti+ hi, i= 1...n N (t )= n} n!= n h1....hn ttaking the limits as hi→ 0 for all i, we obtain n! f S1 ..... S n N ( t )(t1,..., t n n)= n t2.2 Properties of Poisson processesExample: A cable TV company collects$1/unit time from each subscriber. Subscribers sign up in ac cordance with a Poisson process with rateλ. What is the expected total revenue received in (0,t]? Solution: (Depends on the total number of subscribers and their arriving time)2.2 Properties of Poisson processesLet N(t) denote the number of subscribers, and Si denote the收益arrival time of the ith customer. The revenue generated by this customer in (0,t] is t-Si. Adding the revenues generated by all arrivals in (0,t] N (t ) ∑ (t Si ), E ∑ (t S i ) i=1 i=1 find the previous expectation by conditioning on N(t)N (t )N (t ) n n E ∑ (t S i ) N (t )= n = E ∑ (t S i ) N (t )= n = nt E ∑ S i N (t )= n i=1 i=1 i=12.2 Properties of Poisson processesLet U1,…Un be iid random variables which follow U(0,t). sot n n n n E ∑ Si N (t )= n= E ∑ U (i ) = E ∑U i =∑ E[U i]= n 2 i=1 i=1 i=1 i=1soN (t ) t t E ∑ (t Si ) N (t )= n = nt n= n 2 2 i=1Calculate the expectation by conditional expectation: N (t ) E[ N (t )]t 1 2=λt E ∑ (t S i ) = 2 2 i=12.2 Properties of Poisson processesDecomposition of Poisson process (an important application of Proposition 2.2.3) A Poisson process N={N(t),t≥0} with rateλ. We consider the case in which if an arrival occurs at time s, it is a type-1 arrival with probability P(s) and a type-2 arrival with probability 1-P(s). The type of arrival depends on the epoch of arrival. By using Proposition 2.2.3 we can prove the following propositon.2.2 Properties of Poisson processesProposition 2.2.4 Let Ni={Ni(t), t≥0}, i=1 and 2, where Ni(t) denotes the number of type-i arrivals in (0,t]. N1(t) and N2(t) are two independent Poisson random variables with meansλpt andλqt, where1 t p=∫ P ( s )ds and q= 1 p t 0 λ pt (λpt ) n λ qt (λqt ) m P{N1 (t )= n, N 2 (t )= m}= e e n! m!2.2 Properties of Poisson processes2.2 Properties of Poisson processesThe importance of the above proposition is illustrated by thefollowing example.17。

随机过程讲义第一章

第一章随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。

在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。

将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。

1．随机过程的概念定义：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈，),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω为该概率空间上的一随机过程。

其中R T ⊂是一实数集，称为指标集或参数集。

随机过程的两种描述方法：用映射表示T X ，R T t X →Ω⨯:),(ω即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数，固定T t ∈，),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈ω，),(ω⋅X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。

记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为)(t X 。

参数T 一般表示时间或空间。

常用的参数一般有：（1）},2,1,0{0 ==N T ；（2）},2,1,0{ ±±=T ；（3）],[b a T =，其中a 可以取0或∞-，b 可以取∞+。

当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。

随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S 。

S 中的元素称为状态。

状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。

实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。

例1：抛掷一枚硬币，样本空间为},{T H =Ω，借此定义：⎩⎨⎧=时当出现，时当出现T 2H ,cos )(t t t X π ),(∞+-∞∈t 其中2/1}{}{==T P H P ，则)},(,)({∞+-∞∈t t X 是一随机过程。

随机过程讲义(第一章)

P (Ω ) = 1 ；
对任意两两不交的至多可数集 {An } ⊂ F ， P⎛ ⎜ U An ⎞ ⎟ = P ( An ) ⎝n ⎠ ∑ n
称 P(⋅) 为 F 上的概率测度， (Ω, F , P) 称为概率空间。
1
1.4 随机变量的概念定义：设 (Ω, F , P ) 为一概率空间， X = X ( w) 为 Ω 上的一个实值函数，若对任意实数 x ，X −1 ((−∞, x) ) ∈ F ，则称 X 为 (Ω, F , P ) 上的一个（实）随机变量。称 F ( x) = P( X < x ) = P( X ∈ (−∞, x)) = P X −1 ((−∞, x) ) 为随机变量 X 的分布函数。随机变量实质上是 (Ω, F ) 到 (R, B ( R ) ) 上的一个可测映射 ( 函数 ) 。记
_______
2
α 1 , α 2 Lα m ， ∑∑ ϕ (t l − t k )α l α k ≥ 0 ；
l =1 k =1
m
m
5) ϕ ( w) 为 R n 上的连续函数。 6) 有限多个独立随机变量和的特征函数等于各自特征函数的乘积； 7) 设 X = (ξ1 , Lξ n ) 为 n 维随机向量，特征函数为 ϕ ( w1 ,L wn ) , 则
n→∞
敛到随机变量 X ；
2)
若 E X n 存在，且 lim E X n − X
n→∞
p
p
则称 X 1 , X 2 , L X n ,L p 阶收敛到 = 0，
随机变量 X ，特别当 p = 2 ，称为均方收敛。
3) 4)
若 P lim X n = X = 1 ，称 X 1 , X 2 , L X n ,L 几乎必然收敛到随机变量 X 。

随机过程讲义(第5-6讲)

( 2)
0.3, 0.4, （2） pij = P{Yn +1 = j Yn = i} = 0.3, 0,
T13 = n
(n) f13 = P{T13 = n}
1
2
3
4
…
n
…
1 4
3 42
∞
32 43
33 … 44
3n−1 … 4n
3n −1 因此， ET13 = ∑ nP{T13 = n} = ∑ n n = 4 。 4 n =1 n =1
∞
（2）由于：
(1) (n) f11 = 1 / 2, f11 = 0 , n > 1 ，故 f11 = 1 / 2 < 1 (1) (n) f 22 = 3 / 4, f11 = 0 , n > 1 ，故 f11 = 3 / 4 < 1
S = D U C1 U C 2 U L U C k
其中：每个 C n , n = 1,2,L, k 均是由正常返状态组成的有限不可约闭集，
D 是非常返态集。
（十一）例子
例 1 设有三个状态 { 0,1, 2} 的齐次马氏链，它的一步转移概率矩阵为：
1 / 2 1 / 2 0 P = 1 / 2 1 / 4 1 / 4 0 1/ 3 2 / 3
4.
马尔可夫链状态的分类
（六）闭集和状态空间的分解
定义：设 C 是状态空间 S 的一个子集，如果从 C 内任何一个状态 i 不能到达
C 外的任何状态，则称 C 是一个闭集。如果单个状态 i 构成的集 {i} 是闭集，则
称状态 i 是吸收态。如果闭集 C 中不再含有任何非空闭的真子集，则称 C 是不可约的。闭集是存在的，因为整个状态空间 S 就是一个闭集，当 S 不可约时，则称此马氏链不可约，否则称此马氏链可约。

鲜思东重庆邮电学院400065概率论与随机过程讲义

2.
3.
随机试验
1、可以在相同的条件下重复地进行；
2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； 3、进行一次试验之前不能确定那一个结果会现。在概率论中，我们将具有上述三个特点的验称为随机试验。本书中以后提到的试验都是指随机试验。
样本空间
对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的，我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。
古典概型的计算公式
设试验的样本空间为
包含 k 个基本事件，即
S = {e1 , e 2 , L , e n }, 事件 A
A=
∑ A ，且有
j =1
j
k
1 ≤ i1 < i 2 < L i k ≤ n ，则有
P(A = ∑P( ej )
j= 1 k
{ }
k A包的本件含基事数 )= = n S中本件总基事的数
例1·2·3 设A、B、C是S中的随机事件
事件“A与B发生，C不发生”可以表示成 “A、B、C中至少有二个发生”可以表示成 A、B、C中恰好发生二个”可以表示成 “A、B、C中有不多于一个事件发生”可以表示成
事件的运算
A 1、交换律： U B = B U A, AB = BA 、交换律：
2、结合律：A( BC ) 、结合律：
A= A
A U A = S, AA = Φ A ⊂ B ⇔ A − B = AB
8、子集的等价表示 A U B = B ⇔ AB = A 、 9、反演律（德·摩根律）、反演律（摩根律摩根律）

随机过程讲义(南开大学内部)

舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮
舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮
舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮
舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮
舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮
舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮
舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮
舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮
舮舮舮舮舮舮舮舮
舮舮舮舮舮舮舮舮
舮舮舮舮舮舮舮舮
舮舮舮舮舮舮舮舮
舮舮舮舮舮舮舮舮
舭艩舭
第一章艐良艩艳艳良艮过程
第一章
Poisson 过程
k
称随机变量 X 服从参数为 λ 的艐良艩艳艳良艮分布，若 P (X = k ) = e−λ λ 般 k = 0, 1, . . .舮 k! −λt 称随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布，若 P (X > t) = e 舮此时，X 的密度函数为 λe−λt 般 t > 0般分布函数为 1 − e−λt 般 t > 0舮指数分布满足无记忆性，即 P (X > t + s) = P (X > t)P (X > s). 引理 1.1 设随机变量 X , Y 独立，f : R × R → R 有界可测。令 g (x) = E [f (x, Y )]. 则 g (X ) 可积，且 E [f (X, Y )] = E [g (X )]. 称 {N (t), t ≥ 0} 为计数过程，若 N (t) 表示在时刻 t 之前发生事件的次数。因此，计数过程 N (t) 满足：舨艩舩 N (t) ≥ 0舻舨艩艩舩 N (t) 为整数值；舨艩艩艩舩对 0 ≥ s ≤ t般 N (s) ≤ N (t)舻舨艩艶舩对 0 ≤ s < t般 N (t) − N (s) 表在区间 (s, t] 发生事件的次数。

《随机过程》教程.ppt

无穷大的分类
0, 1 ,2 ,3,……(自然数集合的无限多为0， 0集合的所有子集构成的集合的 “无限多（势）”为1 ， 1集合的所有子集构成的集合的势为2 ， ……)，在数学上已经严格证明： 0, 1 ,2 ,3,等之间不能建立双射的关系。
对于无穷大，“整体大于部分”的直觉不再成立
对于自然数集 N 1,2,3,4,5,L ，偶数集合
原像集
像集单射（不同的原
f
像具有不同的像）
f a1 f a2
满射（每一个像都有原像）
原像集
像集
f
b, a, s.t.
b f a
双射（既是单射，又是满射）
原像集
像集
f
从直觉上承认能建立双射关系的两个集合，其所含元素的“个数”一样多。
可数和不可数的定义
凡是能和自然数集合或者自然数集合的一个子集建立双射关系的集合称为可数集合；否则称为不可数集合。可数和不可数是人类认识“无穷”所产生的概念，是对无穷的分类。已经证明连续的区间，和实数集等都是不可数集合：[1,2],(0.1,0.01),R,等等
事件和Borel集
事件：样本空间中满足一定条件的全体元素构成子集，“一定条件”有事件的意义，因此称样本空间的子集为事件。
（举例说明）
不可能事件必然事件基本事件：可数和不可数 Borel集：规定了事件的全体及其相容性
概率空间的定义
阅读讲解p.16定义2.1 理解概率空间
概率空间是对随机现象的基本建模方法概率空间有三个要素：样本空间、Borel事
《随机过程》教程
第三讲随机对象（一）
本章要义（阅读引言部分）
本章介绍如何对随机现象建立数学模型。

随机过程西财讲义

（1）若 X 与 Y 相互独立，则 E (X | Y ) = E (X )，E (Y | X ) = E (Y )；
（2）设 g( y) 是一个函数，则 E [ g(Y ) | Y ] = g(Y )，E [ g(Y ) X | Y ] = g(Y ) E (X | Y )．
与条件随机变量独立时，条件期望等于无条件的期望；而条件随机变量的函数，相当于常数．
解：设该矿工需要 X 小时到达安全区，X 的分布很复杂，
又设 Y 表示矿工选择的门的编号，Y 的分布很简单，
Y 123 P111
333
因 E (X | Y = 1) = 3，E (X | Y = 2) = 5 + E (X )，E (X | Y = 3) = 7 + E (X )，
∑ 则 E( X ) P{Y = i} = 3× 1 + [5 + E( X )]× 1 + [7 + E( X )]× 1 = 5 + 2 E( X ) ，
计算复杂随机变量的数学期望转化为计算简单随机变量函数的数学期望．
例一矿工被困在有三个门的矿井里．第一个门通一坑道，沿此坑道走 3 小时可到达安全区；第二个门通
一坑道，沿此坑道走 5 小时又回到原处；第三个门通一坑道，沿此坑道走 7 小时又回到原处．假定此矿工
总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达安全区．
y
y
当 0 < y < 1 时，pY ( y) > 0，有
p X |Y (x |
y) =
p(x, y) pY ( y)
=
8xy 4( y − y 3 )
= 2x 1− y2
，y < x < 1，

随机过程实验讲义

随机过程实验讲义刘继成华中科技大学数学与统计学院2011-2012年上半年为华中科技大学数学系本科生讲授随机过程课程参考资料前言 (1)第一章Matlab 简介 (2)第二章简单分布的模拟 (6)第三章基本随机过程 (9)第四章Markov过程 (12)第五章模拟的应用和例子 (16)附录各章的原程序 (51)参考文献 (75)若想检验数学模型是否反映客观现实，最自然的方法是比较由模型计算的理论概率和由客观试验得到的经验频率。

不幸的是，这两件事都往往是费时的、昂贵的、困难的，甚至是不可能的。

此时，计算机模拟在这两方面都可以派上用场：提供理论概率的数值估计与接近现实试验的模拟。

模拟的第一步自然是在计算机程序的算法中如何产生随机性。

程序语言，甚至计算器，都提供了“随机”生成[0，1]区间内连续数的方法。

因为每次运行程序常常生成相同的“随机数”，因此这些数被称为伪随机数。

尽管如此，对于多数的具体问题这样的随机数已经够用。

我们将假定计算机已经能够生成[0，1]上的均匀随机数。

也假定这些数是独立同分布的，尽管它们常常是周期的、相关的、……。

……本讲义的安排如下，第一章是Matlab简介，从实践动手角度了解并熟悉Matlab环境、命令、帮助等，这将方便于Matlab的初学者。

第二章是简单随机变量的模拟，只给出了常用的Matlab 模拟语句，没有堆砌同一种变量的多种模拟方法。

对于没有列举的随机变量的模拟，以及有特殊需求的读者应该由这些方法得到启发，或者参考更详细的其他文献资料。

第三章是基本随机过程的模拟。

主要是简单独立增量过程的模拟，多维的推广是直接的。

第四章是Markov过程的模拟。

包括服务系统，生灭过程、简单分支过程等。

第五章是这些模拟的应用。

例如，计算概率、估计积分、模拟现实、误差估计，以及减小方差技术，特别给读者提供了一些经典问题的模拟，通过这些问题的模拟将会更加牢固地掌握实际模拟的步骤。

平稳过程的模拟、以及利用平稳过程来预测的内容并没有包含在本讲义之内，但这丝毫不影响该内容的重要性，这也是将会增补进来的主要内容之一。

随机过程讲义

为事件A出现的情况下，事件B的条件概率，或简称事件B关于事件A的条件概率。
2．基本公式
定理1（乘法公式）
假设若则
A1，A2，，An为任意n个事件（ n 2 ），
P（A1 A2 An） 0
P（A1 A2 An） P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
则
pi P( X xi ) pij

(i 1,2,
j 1,2,)
p j P(Y y j ) pij
i 1
j 1
分别称为（ X ， Y ）关于 X 和 Y 的边缘分布律。
X和Y相互独立的充要条件是
pij pi p j
连续型
若随机变量（X，Y）的概率密度为
P（Ai1 Ai2 Ais） P（Ai1）P（Ai2） P（Ais）
则称事件
A1，A2，，An 相互独立。
美国有一对夫妻连续生了8个儿子。他们原本只想要4 个小孩，但是当前面4个小孩都是男孩时，他们想再生一个女孩，直到连续生了7个男孩。后来他们的医生都保证说，按照平均数定律，下次生女孩的概率是99％。不幸的是，第8次还是男孩。因为生孩子和扔硬币一样，连续8个男孩的概率固然很小，但是在已经生了7个男孩之后，下一个是女孩的概率仍然是50％。
2
2
3．性质
（1）
E (C ) C
n n
D(C ) 0
2
E(CX ) CE ( X ) D(CX ) C D( X )
（2）
E ( X i ) E ( X i )
i 1 i 1
（3）若X和Y相互独立，则
E( XY ) E ( X ) E(Y )

《概率论与数理统计》课件-随机过程

06
随机过程的未来发展与挑战
随机过程理论的发展趋势
随机过程与大数据的结合
随着大数据技术的快速发展，如何将随机过程与大数据分析相结合，挖掘出更多有价值的信息和模式，是未来的一个重要研究方向。
复杂系统中的随机过程
研究复杂系统中的随机过程，如金融市场、生态系统、社交网络等，以揭示其内在的运行规律和动态特性。
02
随机过程的基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型
独立增量过程
总结词
描述随机过程中事件发生次数随时间变化的过程，其中每次事件的发生都是独立的。
详细描述
独立增量过程是指随机过程中事件发生次数在不相重叠的时间区间内相互独立，即每次事件的发生与其他时间点的事件无关。这种过程在保险、金融等领域有广泛应用。
马尔科夫过程
总结词
描述一个随机系统在给定当前状态的情况下，未来状态只依赖于当前状态的过程。
详细描述
马尔科夫过程是一种特殊的随机过程，其中下一个状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。这种过程在自然现象、社会现象和工程领域中都有广泛的应用，如天气预报、股票价格波动等。
泊松过程
总结词
描述随机事件在单位时间内按照恒定速率独立发生的随机过程。
该方法通过大量随机抽样，得到概率分布的近似结果，具有简单、灵活和通用性强的特点。
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于事件驱动的模拟方法，适用于描述离散状态变化的过程。
该方法通过跟踪系统中的事件发生和状态变化，来模拟系统的动态行为。
离散事件模拟方法在交通运输、生产制造、通信网络等领域有广泛应用。

随机过程讲义

=(1−λhP( t) +λhP−1( t) +oh) )n ( n
Similarly
Pn ( t + h ) − Pn ( t ) o(h) = − λ Pn ( t ) + − λ Pn − 1 ( t ) + h h
Take the limit h→0,
P/ (t) =−λP ( t) +λP−1 ( t) , n =1,2,… (3) … n n n
PX ( z ) − z3a3 − z2a2 = qz PX ( z ) − z2a2 + pqz2 PX ( z )
Probability generating function
PX ( z ) − z3a3 − z2a2 = qz PX ( z ) − z2a2 + pqz2 PX ( z )
= P ( t ) P{ N ( h) = 0} = P ( t) [1−λh+o(h)] 0 0
P0 ( t + h ) − P0 ( t ) 0(h) = −λ P0 ( t ) + h h
take the limit h → 0，
P 0/ ( t ) = − λ P 0
(t ) , ( 2 )
The preceding system reduces to:
f f
/
(t ) = a f (t ) (0 ) = 1
sf e ( s ) − f ( 0) = af e ( s )
Laplace transform: Combine boundary condition,we obtain
f
e
(s )
(3)∫ f (τ )g ( t −τ ) dτ

随机过程讲义全套

(完整版)随机过程知识点汇总

随机过程论(第3版)PPT完整全套教学课件

北大随机过程随机游动讲义

第11讲随机过程孙应飞

随机过程讲义(南开大学内部)

随机过程讲义（第二章）（PDF）

随机过程讲义

随机过程英语讲义

随机过程讲义 第一章

随机过程讲义(第一章)

随机过程讲义(第5-6讲)

鲜思东重庆邮电学院400065概率论与随机过程讲义

随机过程讲义(南开大学内部)

《随机过程》教程.ppt

随机过程西财讲义

随机过程实验讲义

随机过程讲义

《概率论与数理统计》课件-随机过程

随机过程讲义

随机过程讲义第一章