《2.1指数函数》同步练习1

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高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)

高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)

课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算( 1)根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1,且 nN ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. 当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用符号 na 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示,负的 n 次方根用符号na表示; 0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根.②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当n 为奇数时, a 为随意实数;当 n 为偶数时, a.③根式的性质: (na )n a ;当 n 为奇数时, n a n a ;当 n 为偶数时, n a n | a |a (a 0) .a (a 0)( 2)分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是:a n 0, m,n N , 且 n 1) .0 的正分数指数幂等于0.②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是:a n)n n (0, m, n N , 且 n1) .0 的负分数指aa数幂没存心义. 注意口诀: 底数取倒数,指数取相反数.( 3)分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质( 4)指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域(0,+ ∞)过定点 图象过定点(0,1 ),即当 x=0 时, y=1.奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y > 1(x > 0), y=1(x=0), 0< y < 1(x < 0)y > 1(x < 0), y=1(x=0), 0< y < 1(x > 0)变化状况a 变化对在第一象限内, a 越大图象越高,越凑近 y 轴; 在第一象限内, a 越小图象越高,越凑近 y 轴; 图象影响在第二象限内,a 越大图象越低,越凑近x 轴.在第二象限内,a 越小图象越低,越凑近x 轴.三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析: A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析: 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= [ f(x) ] nD.f [ (xy) n ] =[ f(x) ] n [ f(y) ] n (n ∈ N * )分析: 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f [(xy)n] =a (xy)n , 而[ f(x) ] n ·[f(y) ] n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析: a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析: 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析: 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. [ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析: 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ] ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析: 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈[ -1,1]时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______[ -5,1 ] ___________.3分析: f(x) 在[ -1,1 ]上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析: (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩[ 2,+ ∞]=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈[ -3,2]的最大值和最小值 .解: 设 2-x=t, 由 x ∈[ -3,2 ]得 t ∈[ 1,8 ] , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解: ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. [ 1,2]B.[ 2,3]C.(-∞ ,2]D.[ 2,+∞ )分析: 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈[ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为[ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. [ -1,+∞ )B. [ -1,63)C.[ 0,+∞ )D.(0,63 ]分析: 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= [ f(x)-1 ]2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈[ 1,9 ].2.1 指数函数练习1.以下各式中建立的一项A . ( n)71n 7 m 7B .12 ( 3)433m3C . 4 x 3y 3( x y) 4D .393321111 1 52.化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D . 9a 2 A . 6aB . aC . 9a3.设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ,则以下等式中不正确的选项是f (x) A . f(x+y)=f(x) ·f(y)B . f ( x y )f ( y)C . f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D . f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4.函数 y (x5) 0 ( x 2)2A . { x | x 5, x 2}B . { x | x 2}C . { x | x 5}D . { x | 2 x 5或 x 5}()()()(n N )( )5.若指数函数 y a x 在 [- 1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数 a 等于 ()A .15 B .1 5 C .15D .5 122 226.当 a0 时,函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是()7.函数 f ( x)2 |x| 的值域是()A . (0,1]B . (0,1)C . (0, )D . R8.函数 f ( x)2 x 1, x 0,知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x()A . ( 1,1)B . ( 1, )C . { x | x 0或 x2}D . { x | x 1或 x1}9.函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2()A .[ 1,1]B . ( , 1]C .[2,)D .[ 1,2]2exe x210.已知 f ( x)()2 ,则以下正确的选项是A .奇函数,在 R 上为增函数B .偶函数,在 R 上为增函数C .奇函数,在 R 上为减函数D .偶函数,在 R 上为减函数11.已知函数 f (x)的定义域是(1, 2),则函数 f (2 x ) 的定义域是.12.当 a >0 且 a ≠1 时,函数 f (x)=a x -2- 3 必过定点.三、解答题:13.求函数 y1的定义域 .x5 x 1114.若 a >0, b > 0,且 a+b=c ,求证: (1) 当r >1时, a r +b r < c r ; (2) 当r < 1时, a r +b r > c r .a x 1 15.已知函数 f ( x)(a >1) .a x1( 1)判断函数 f (x) 的奇偶性;( 2)证明 f (x)在 (-∞, +∞ )上是增函数 .xa16.函数 f(x) = a (a>0 ,且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2,求 a 的值.参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11. (0,1);12. (2,- 2) ;三、 13. 解:要使函数存心义一定:x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 : x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114. 解:ba,c rcccc.r >1 ,a rb ra b 1,r r r当因此+b< c ;时c c c crrrrr当 r < 1 时, aba b1, 因此 a +b >c .ccc c15. 解 :(1)是奇函数 .(2) 设x <x ,则 f (x 1 )ax11 ax21 。

指数与指数函数练习及答案

指数与指数函数练习及答案

指数与指数函数一、选择题:1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,结果是( ) A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44⎛⎛⎝⎝等于( ) A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a3、若1,0a b ><,且b b a a -+=则b b a a --的值等于( ) A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数,则a 的取值范围是( ) A 、1>a B 、2<a C、a < D、1a <<5、下列函数式中,满足1(1)()2f x f x +=的是( )A 、 1(1)2x + B 、14x +C 、2xD 、2x -6、已知,0a b ab >≠,下列不等式(1)22a b >;(2)22ab >;(3)ba 11<;(4)1133a b >;(5)1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 7、函数2121xx y -=+是( )A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数 8、函数121xy =-的值域是( )A 、(),1-∞B 、()(),00,-∞+∞C 、()1,-+∞D 、()(,1)0,-∞-+∞ 9、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限10、一批设备价值a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低%b ,则n 年后这批设备的价值为( )A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)n a b - 11、若103,104x y ==,则10x y -= 。

高中数学必修一第二章2.1.2指数函数及其性质习题(含答案)

高中数学必修一第二章2.1.2指数函数及其性质习题(含答案)

2.1.2 指数函数及其性质知识清单1.指数函数的概念一般地,______________________叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是____.2.指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图象和性质a >1 0<a<1图象定义域 R 值域 (0,+∞)性 质 过定点过点______,即x =____时,y =____函数值 的变化 当x >0时,______; 当x <0时,________ 当x >0时,________; 当x <0时,________单调性是R 上的________是R 上的________基础练习一、填空题1.下列以x 为自变量的函数中,是指数函数的是______.(填序号)①y =(-4)x ;②y =πx ;③y =-4x ;④y =a x +2(a >0且a ≠1). 2.函数f (x )=(a 2-3a +3)a x 是指数函数,则a 的值为________. 3.函数y =a |x |(a >1)的图象是________.(填序号)4.已知f (x )为R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=3x,那么f (2)=________.5.如图是指数函数 ①y =a x ; ②y =b x ; ③y =c x ;④y =d x 的图象,则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是________.6.函数y =(12)x -2的图象必过第________象限.7.函数f (x )=a x 的图象经过点(2,4),则f (-3)的值为____.8.若函数y =a x -(b -1)(a >0,a ≠1)的图象不经过第二象限,则a ,b 需满足的条件为________.9.函数y =8-23-x (x ≥0)的值域是________. 二、解答题10.比较下列各组数中两个值的大小:(1)0.2-1.5和0.2-1.7; (2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭; (3)2-1.5和30.2.11.2000年10月18日,美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息:“市政委员会今天宣布:本市垃圾的体积达到50 000 m 3”,副标题是:“垃圾的体积每三年增加一倍”.如果把3年作为垃圾体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾的体积V (m 3)与垃圾体积的加倍的周期.(1) (2)根据报纸所述的信息,你估计3年前垃圾的体积是多少? (3)如果n =-2,这时的n ,V 表示什么信息?(4)写出n 与V 的函数关系式,并画出函数图象(横轴取n 轴). (5)曲线可能与横轴相交吗?为什么?12.定义运算a ⊕b =⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b ),则函数f (x )=1⊕2x 的图象是________.(填序号)13.定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ,y 都有f (x y )=yf (x ). (1)求f (1)的值;(2)若f (12)>0,解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数).能力提升一、填空题1.设P ={y |y =x 2,x ∈R },Q ={y |y =2x ,x ∈R },则P 、Q 的关系为________. 2.函数y =16-4x 的值域是________.3.函数y =a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y =2ax -1在[0,1]上的最大值是________.4.若函数f (x )=3x +3-x 与g (x )=3x -3-x 的定义域均为R ,则下列命题正确的是________.(填序号)①f (x )与g (x )均为偶函数;②f (x )为偶函数,g (x )为奇函数; ③f (x )与g (x )均为奇函数;④f (x )为奇函数,g (x )为偶函数.5.函数y =f (x )的图象与函数g (x )=e x +2的图象关于原点对称,则f (x )的解析式为________. 6.已知a =1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭,b =1235-⎛⎫⎪⎝⎭,c =1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭,则a ,b ,c 三个数的大小关系是________.7.春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了________天.8.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=1-2-x ,则不等式f (x )<-12的解集是________.9.函数y =2212x x-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________.二、解答题10.(1)设f (x )=2u ,u =g (x ),g (x )是R 上的单调增函数,试判断f (x )的单调性; (2)求函数y =2212x x --的单调区间.11.函数f (x )=4x -2x +1+3的定义域为[-12,12].(1)设t =2x ,求t 的取值范围; (2)求函数f (x )的值域.12.函数y =2x -x 2的图象大致是________.(填序号)13.已知函数f (x )=2x-12x +1.(1)求f [f (0)+4]的值;(2)求证:f (x )在R 上是增函数;(3)解不等式:0<f (x -2)<1517.知识清单1.函数y =a x (a >0,且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 基础练习 1.②解析 ①中-4<0,不满足指数函数底数的要求,③中因有负号,也不是指数函数,④中的函数可化为y =a 2·a x ,a x 的系数不是1,故也不是指数函数. 2.2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-3a +3=1,a >0且a ≠1,解得a =2. 3.②解析 该函数是偶函数.可先画出x ≥0时,y =a x 的图象,然后沿y 轴翻折过去,便得到x <0时的函数图象.4.-19解析 当x >0时,-x <0,∴f (-x )=3-x ,即-f (x )=(13)x ,∴f (x )=-(13)x .因此有f (2)=-(13)2=-19.5.b <a <1<d <c解析 作直线x =1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1,a )、(1,b )、(1,c )、(1,d ),由图象可知纵坐标的大小关系. 6.二、三、四解析 函数y =(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位,就得到函数y =(12)x -2的图象,所以观察y =(12)x -2的图象可知.7.18解析 由题意a 2=4,∴a =2.f (-3)=2-3=18.8.a >1,b ≥2解析 函数y =a x -(b -1)的图象可以看作由函数y =a x 的图象沿y 轴平移|b -1|个单位得到.若0<a <1,不管y =a x 的图象沿y 轴怎样平移,得到的图象始终经过第二象限;当a >1时,由于y =a x 的图象必过定点(0,1),当y =a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后,得到的图象不经过第二象限.由b -1≥1,得b ≥2.因此,a ,b 必满足条件a >1,b ≥2. 9.[0,8)解析 y =8-23-x =8-23·2-x =8-8·(12)x=8[1-(12)x ].∵x ≥0,∴0<(12)x ≤1,∴-1≤-(12)x <0,从而有0≤1-(12)x <1,因此0≤y <8.10.解 (1)考察函数y =0.2x . 因为0<0.2<1,所以函数y =0.2x 在实数集R 上是单调减函数.又因为-1.5>-1.7,所以0.2-1.5<0.2-1.7.(2)考察函数y =(14)x .因为0<14<1,所以函数y =(14)x 在实数集R 上是单调减函数.又因为13<23,所以1314⎛⎫ ⎪⎝⎭>2314⎛⎫ ⎪⎝⎭1.(3)2-1.5<20,即2-1.5<1;30<30.2,即1<30.2,所以2-1.5<30.2.11.解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍,24年后即8个周期后,该市垃圾的体积是50 000×28=12 800 000(m 3).(2)根据报纸所述的信息,估计3年前垃圾的体积是50 000×2-1=25 000(m 3).(3)如果n =-2,这时的n 表示6年前,V 表示6年前垃圾的体积. (4)n 与V 的函数关系式是V =50 000×2n ,图象如图所示.(5)因为对任意的整数n,2n >0,所以V =50 000×2n >0,因此曲线不可能与横轴相交. 12.①解析 由题意f (x )=1⊕2x=⎩⎪⎨⎪⎧1, x ≥0;2x , x <0.13.解 (1)令x =1,y =2,可知f (1)=2f (1),故f (1)=0.(2)设0<x 1<x 2,∴存在s ,t 使得x 1=(12)s ,x 2=(12)t ,且s >t ,又f (12)>0,∴f (x 1)-f (x 2)=f [(12)s ]-f [(12)t ]=sf (12)-tf (12)=(s -t )f (12)>0,∴f (x 1)>f (x 2).故f (x )在(0,+∞)上是减函数. 又∵f (ax )>0,x >0,f (1)=0, ∴0<ax <1,当a =0时,x ∈∅,当a >0时,0<x <1a ,当a <0时,1a<x <0,不合题意.故x ∈∅.综上:a ≤0时,x ∈∅;a >0时,不等式解集为{x |0<x <1a}.能力提升 1.Q P解析 因为P ={y |y ≥0},Q ={y |y >0},所以Q P . 2.[0,4)解析 ∵4x >0,∴0≤16-4x <16, ∴16-4x ∈[0,4). 3.3解析 函数y =a x 在[0,1]上是单调的,最大值与最小值都在端点处取到,故有a 0+a 1=3,解得a =2,因此函数y =2ax -1=4x -1在[0,1]上是单调递增函数,当x =1时,y max =3. 4.②解析 f (-x )=3-x +3x =f (x ),g (-x )=3-x -3x =-g (x ).5.f (x )=-e -x -2解析 ∵y =f (x )的图象与g (x )=e x +2的图象关于原点对称,∴f (x )=-g (-x )=-(e -x +2)=-e -x -2. 6.c <a <b解析 ∵y =(35)x 是减函数,-13>-12,∴b >a >1.又0<c <1,∴c <a <b . 7.19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1,则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y =2x -1,当x =20时,长满水面,所以生长19天时,荷叶布满水面一半. 8.(-∞,-1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数, ∴f (0)=0.当x <0时,f (x )=-f (-x )=-(1-2x )=2x -1.当x >0时,由1-2-x <-12,(12)x >32,得x ∈∅;当x =0时,f (0)=0<-12不成立;当x <0时,由2x -1<-12,2x <2-1,得x <-1.综上可知x ∈(-∞,-1). 9.[1,+∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断.令u =-x 2+2x ,则y =(12)u 在u ∈R 上为减函数,问题转化为求u =-x 2+2x 的单调递减区间,即为x ∈[1,+∞).10.解 (1)设x 1<x 2,则g (x 1)<g (x 2).又由y =2u 的增减性得()12g x<()22g x ,即f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )为R 上的增函数.(2)令u =x 2-2x -1=(x -1)2-2, 则u 在区间[1,+∞)上为增函数.根据(1)可知y =2212x x --在[1,+∞)上为增函数. 同理可得函数y 在(-∞,1]上为单调减函数.即函数y 的增区间为[1,+∞),减区间为(-∞,1].11.解 (1)∵t =2x 在x ∈[-12,12]上单调递增,∴t ∈[22,2].(2)函数可化为:f (x )=g (t )=t 2-2t +3,g (t )在[22,1]上递减,在[1,2]上递增,比较得g (22)<g (2). ∴f (x )min =g (1)=2, f (x )max =g (2)=5-2 2.∴函数的值域为[2,5-22]. 12.①解析 当x →-∞时,2x →0,所以y =2x -x 2→-∞, 所以排除③、④.当x =3时,y =-1,所以排除②.13.(1)解 ∵f (0)=20-120+1=0,∴f [f (0)+4]=f (0+4)=f (4)=24-124+1=1517.(2)证明 设x 1,x 2∈R 且x 1<x 2, 则22x>12x>0,22x-12x>0,∴f (x 2)-f (x 1)=212121212121x x x x ---++ =()()()21212222121x x x x -++>0,即f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在R 上是增函数.(3)解 由0<f (x -2)<1517得f (0)<f (x -2)<f (4),又f (x )在R 上是增函数,∴0<x -2<4,即2<x <6,所以不等式的解集是{x |2<x <6}.。

2.1 指数函数

2.1 指数函数

2.1 指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算(1)根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 当n 是偶数时,正数a 的正的n 示,负的n 次方根用符号0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:n a =;当n 为奇数时,a =;当n 为偶数时,(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数当堂训练[基础训练A组]一、选择题1.计算122[(]-的结果是().A. D.-2.对任意实数x,下列等式恒成立的是().A.211332()x x= B.211332()x x= C.311535()x x= D.131355()x x--= 3.化简(21)(21)2222k k k-+----+等于().A.22k- B.(21)2k-- C.(21)2k-+- D.24.下列函数中指数函数的个数是().①23xy=⋅②13xy+=③3xy=④3y x=A.0 B.1 C.2 D.35.方程135108x x x-⋅=的解集是().A.{}1,4 B.14⎧⎫⎨⎬⎩⎭C.11,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭D144⎧⎫⎨⎬⎩⎭,6.函数()(0,1)xf x a a a=>≠且对任意正实数,x y都有().A.()()()f xy f x f y= B.()()()f xy f x f y=+C .()()()f x y f x f y +=D .()()()f x y f x f y +=+ 二、填空题1.化简:1114424111244()a b ba ab --=- . 2.计算:120.750311(0.064)(16()23---÷÷-= .3.若239x=,3x-= .4.985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 . 5.若函数()11x mf x a =+-是奇函数,则m 为 . 三、解答题1.化简下列各式: (1)11122()()x x x x x --++-;(2)222222223333x y x y xyxy--------+--+-;(3)3333441()()[(1)()]a a a a a a a a ----+-÷++-.2.计算下列各式:(1)1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-;(2)20.520371037(2)0.1(2)392748π--++-+.3.已知2212213333334,3,3a b x a a b y b a b +==+=+,求2233()()x y x y ++-的值.4. 比较下列各组数的大小:(1)0.1()4-和 0.2-; (2)163()4和154()3-; (3)2(0.8)-和125()3- .5.家用电器(如冰箱等)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q 呈指数函数型变化,满足关系式0.00250t Q Q e -=,其中0Q 是臭氧的初始量. (1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少? (2)多少年以后将会有一半的臭氧消失?[基础训练B 组] 一、选择题1.设全集为R ,且22{|0},{|1010}x x A x B x -=≤==,则()R A B ð为( ). A .{2} B .{1}- C .{|2}x x ≤ D .∅2.函数y x =3与y x =--3的图像关于下列那种图形对称( ). A .x 轴 B .y 轴 C .直线y x = D .原点中心对称3.函数11x x e y e -=+的值域是( ).A .(1,1)-B .[1,1]-C .(0,1)D .(,)e e - 4.已知集合{}11M =-,,11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ,,则M N = ( ). A .{}11-,B .{}1-C .{}0D .{}10,1-,5.函数11()()3x f x -=在区间[2,1]--上的最大值是( )A .1B .3C .9D .276.设1x ,2x 是函数()(1)x f x a a =>定义域内的两个变量,且12x x <,设121()2m x x =+.那么下列不等式恒成立的是( ). A .12|()()||()()|f m f x f x f m ->-B .12|()()||()()|f m f x f x f m -<-C .12|()()||()()|f m f x f x f m -=-D .212()()()f x f x f m > 二、填空题1.若集合{11|,|x A y y B x y -⎧⎫====⎨⎬⎩⎭,则集合A B = _________.2.方程33131=++-xx的解是_____________. 3.若1122a a-+=1114421124___________1111aaaa+++=+-++. 4.化简11410104848++的值等于__________. 5.若关于x 的方程12220x x a -++=有两个实数解,则实数 的取值范围是_______. 6.对于函数f (x )定义域中任意的x 1,x 2(x 1≠x 2),有如下结论:①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+; ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅;③0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ; ④2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 当xx f -=2)(时,上述结论正确结论的序号是 .(写出全部正确结论的序号) 三、解答题1.求函数11()()142xxy =-+在[]3,2x ∈-上的值域.2.求函数241(),[0,5)3x xy x -=∈的值域.3.解方程:(1)192327xx ---⋅= (2)649x x x +=.4.已知11()(),(0)212x f x x x =+≠-, (1)判断()f x 的奇偶性; (2)证明()0f x >.5.在工程技术中经常用到一类所谓的双曲函数,定义如下:双曲正弦,2x xe e shx --=;双曲余弦,2x x e e chx -+=;双曲正切,x xx xe e thx e e---=+,请证明: (1)()sh x y shxchy chxshy +=+;(2)()1thx thyth x y thxthy++=+.同步提升一、选择题(12*5分) 1.(369a )4(639a )4等于( )(A )a 16 (B )a 8(C )a 4(D )a 22.函数f (x )=(a 2-1)x在R 上是减函数,则a 的取值范围是( ) (A )1>a (B )2<a (C )a<2 (D )1<2<a3.下列函数式中,满足f(x+1)=21f(x)的是( ) (A)21(x+1) (B)x+41 (C)2x (D)2-x4.已知a>b,ab 0≠下列不等式(1)a 2>b 2,(2)2a>2b,(3)ba 11<,(4)a 31>b 31,(5)(31)a <(31)b 中恒成立的有( )(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个5.函数y=121-x 的值域是( ) (A )(-1,∞) (B )(-,∞0)⋃(0,+∞) (C )(-1,+∞) (D )(-∞,-1)⋃(0,+∞) 6.下列函数中,定义域为R 的是( ) (A )y=5x-21 (B )y=(31)1-x(C )y=1)21(-x(D )y=x 21- 7.下列关系中正确的是( )(A )(21)32<(51)32<(21)31 (B )(21)31<(21)32<(51)32(C )(51)32<(21)31<(21)32 (D )(51)32<(21)32<(21)318.若函数y=3·2x-1的反函数的图像经过P 点,则P 点坐标是( )(A )(2,5) (B )(1,3) (C )(5,2) (D )(3,1)9.函数f(x)=3x +5,则f -1(x)的定义域是( ) (A )(0,+∞) (B )(5,+∞) (C )(6,+∞) (D )(-∞,+∞)10.已知函数f(x)=a x+k,它的图像经过点(1,7),又知其反函数的图像经过点(4,0),则函数f(x)的表达式是( )(A)f(x)=2x +5 (B)f(x)=5x +3 (C)f(x)=3x +4 (D)f(x)=4x+311.已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x+b 的图像必定不经过( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限12.一批设备价值a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,则n 年后这批设备的价值为( )(A )na(1-b%) (B )a(1-nb%) (C )a(1-(b%)n ) (D )a(1-b%)n二、填空题(4*4分) 13.若a 23<a2,则a 的取值范围是 。

2021-2022年高中数学 2-1-1指数函数同步练习 新人教A版必修1

2021-2022年高中数学 2-1-1指数函数同步练习 新人教A版必修1

2021-2022年高中数学 2-1-1指数函数同步练习新人教A版必修1 1.化简1-2x2(2x>1)的结果是( ).A.1-2x B.0 C.2x-1 D.(1-2x)2解析∵2x>1,∴1-2x<0,∴1-2x2=|1-2x|=2x-1.答案 C2.式子a2a·3a2(a>0)经过计算可得到( ).A.a B.-6a5 C.5a6 D.6a5解析原式=答案 D3.下列说法:①16的4次方根是2;②416的运算结果是±2;③当n为大于1的奇数时,na对任意a∈R有意义;④当n为大于1的偶数时,na只有当a≥0时才有意义.其中正确的是( ).A.①③④ B.②③④ C.②③ D.③④解析16的4次方根是±2;416=2.答案 D4.当8<x<10时,x-82+x-102=________.解析x-82+x-102=|x-8|+|x-10|=(x-8)+(10-x)=2. 答案 25.计算:(0.25)-0.5+-6250.25=________.解析原式=答案0综合提高限时25分钟7.下列说法中,正确说法的个数为( ). ①na n =a ;②若a ∈R ,则(a 2-a +1)0=1; ③3x 4+y 3=+y ;④3-5=6-52.A .0B .1C .2D .3解析 ①中,若n 为偶数,则不一定成立,故①是错误的;②中,因为a 2-a +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+34≠0,所以 (a 2-a +1)0=1是正确的;③是错误的;④左边为负数,而右边为正数,是错误的,故选B. 答案 B答案11610.化简-x3x的结果是________.解析由题意知,x<0,∴-x3x=--x3x2=--x.答案--x11.计算下列各式的值:40484 9E24 鸤40038 9C66 鱦36104 8D08 贈^23432 5B88 守 27174 6A26 樦Z> 39144 98E8 飨27982 6D4E 济 4。

2022-2022学年[苏教版]高一数学必修一312《指数函数》同步练习(含答案)

2022-2022学年[苏教版]高一数学必修一312《指数函数》同步练习(含答案)

2022-2022学年[苏教版]高一数学必修一312《指数函数》同步练习(含答案)2.2.2指数函数1.下列以某为自变量的函数中,是指数函数的序号是__________.+①y=(-4)某②y=π某③y=-4某④y=a某2(a>0且a≠1)⑤y=(a+1)某(a>-1且a≠0)1-2.方程3某1=的解是__________.93.指数函数y=f(某)的图象经过点(2,4),那么f(-1)·f(3)=__________.4.指数函数y=(2m-1)某是单调减函数,则m的取值范围是__________.5.设f(某)=3某+2,则函数f(某)的值域为__________.6.函数y=1-3某的定义域是__________.7.右图是指数函数①y=a某;②y=b某;③y=c某;④y=d某的图象,则a、b、c、d与1的大小关系是__________.-8.(1)已知函数f(某)=4+a某2(a>0,a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是__________.(2)函数f(某)=a某2+2某-3+m(a>1)恒过点(1,10),则m=__________.1-9.设y1=40.9,y2=80.48,y3=()1.5,则y1、y2、y3的大小关系为__________.21110.为了得到函数y=3某()某的图象,可以把函数y=()某的图象向__________平移33__________个单位长度.-11.函数y=2某1+1的图象是由函数y=2某的图象经过怎样的平移得到的?12.已知函数f(某)的定义域为[,4],求函数f(2某)的定义域.213.已知镭经过100年剩余的质量是原来质量的0.9576,设质量为1的镭经过某年后,剩留量是y,求y关于某的函数关系式.14.函数y=()3某-1的值域是__________.15.下列说法中,正确的序号是__________.函数y=-e某的图象:①与y=e某的图象关于y轴对称;②与y=e某的图象关于坐标原--点对称;③与y=e某的图象关于某轴对称;④与y=e某的图象关于y轴对称;⑤与y=e某-的图象关于坐标原点对称;⑥与y=e某的图象关于某轴对称.16.(1)已知指数函数f(某)=a某(a>0且a≠1)的图象经过点(3,π),则f(-3)的值为__________;(2)函数y=a某(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为6,则a的值为__________.17.一种单细胞生物以一分为二的方式进行繁殖,每三分钟分裂一次,假设将一个这种细胞放在一个盛有营养液的容器中,恰好一小时这种细胞充满容器,假设开始将两个细胞放入容器,同样充满容器的时间是__________分钟.a,某>1,18.(易错题)若函数f(某)=是R上的单调增函数,则实数a的取值a4-某+2,某≤12范围是__________.某19.下列四个图形中,是函数y=a|某|(a>1)的大致图象的序号是__________.1120.已知实数a,b满足等式()a=()b,下列五个关系式:23①0其中不可能成立的关系式有__________个.21.设函数f(某)定义在实数集上,它的图象关于直线某=1对称,且当某≥1时,f(某)=1233某-1,则f(),f(),f()的大小关系是__________.33222.已知函数f(某)=-m(m为常数)是奇函数,则m=__________.2+1某23.(1)已知02-1,某≤0,24.(1)设函数f(某)=1若f(某0)>1,则某0的取值范围是__________.某,某>0.211(2)若某1、某2为方程2某=()-+1的两个实数解,则某1+某2=.2某1125.(易错题)(1)函数f(某)=()某-()某+1,某∈[-3,2]的值域是__________;42(2)已知函数y=a2某+2a某-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上有最大值14,则a的值为__________.11326.已知函数f(某)=(某+)·某.2-12(1)求f(某)的定义域;(2)讨论f(某)的奇偶性;(3)证明f(某)>0.-某27.讨论函数f(某)=()某2-2某的单调性,并求其值域.528.分别比较函数f(某)=2某2-2某-1,g(某)=(2)某2-2某-1与函数y=某2-2某-1的单调性之间的关系.答案与解析基础巩固1.②⑤由指数函数的定义知①③④不是指数函数;②是;⑤∵a>-1且a≠0,∴a+1>0且a+1≠1.∴y=(a+1)某(a>-1且a≠0)是指数函数.1---2.-1由=32,知3某1=32,9∴某-1=-2,即某=-1.3.4设f(某)=a某,由题意f(2)=4,即a2=4.又a>0且a≠1,∴a=2.∴f(某)=2某.-∴f(-1)·f(3)=21·23=22=4.114.<m<1由指数函数的性质知0<2m-1<1,∴<m<1.225.(2,+∞)∵3某>0,∴3某+2>2,即f(某)>2,∴f(某)的值域为(2,+∞).6.(-∞,0]要使函数有意义,必须1-3某≥0,即3某≤1,3某≤30,∴某≤0.∴函数的定义域为(-∞,0].7.b<a<1<d<c直线某=1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1,a),(1,b),(1,c),(1,d).由图象可知纵坐标的大小关系,即得答案.8.(1)(2,5)(2)9(1)函数图象随变量a的变化而变化,但恒有当某=2时,f(2)=4+a0=5,∴P(2,5).(2)∵f(某)恒过点(1,10),∴把(1,10)点代入解析式得a12+2某1-3+m=10,即m+a0=10,∴m=9.某9.y2<y3<y1y1=(22)0.9=21.8,y2=(23)0.48=230.48=21.44,y3=21.5,∵y=2某为R上的单调增函数,且1.44<1.5<1.8,∴21.44<21.5<21.8,即y2<y3<y1.11-110.右1∵y=3某()某=()某1,∴把函数y=()某的图象向右平移1个单位长度便得3331-1到y=()某1的图象,即y=3某()某的图象.3311.解:∵指数函数y=2某的图象向右平移一个单位长度,就得到函数y=2某1的图象.再-向上平移一个单位长度,就得到函数y=2某1+1的图象.-∴函数y=2某1+1的图象是由函数y=2某的图象向右平移一个单位长度再向上平移一个单位长度而得到的.-12.解:∵f(某)的定义域为[,4],21-∴≤2某≤4,即21≤2某≤22.2又函数y=2某是R上的增函数,∴-1≤某≤2.故函数f(2某)的定义域为[-1,2].13.解:由题意知,一百年后质量为1的镭剩留量y1=1某0.9576=0.95761,二百年后质量为1的镭剩留量y2=y1某0.9576=0.9576某0.9576=0.95762,…,某百年后质量为1的镭剩留量y=(0.9576)某,某∴某年后,y=0.9576.100能力提升14.(0,1]方法一(单调性法):∵函数的定义域为[1,+∞),且u=某-1为增函数,y=()u为减函数,3∴由复合函数的单调性知,原函数为减函数.∴当某=1时yma某=1.又指数函数值域为y>0,。

高一数学人教A版必修1课后训练:2.1指数函数-指数函数的图象及其性质 Word版含解析

高一数学人教A版必修1课后训练:2.1指数函数-指数函数的图象及其性质 Word版含解析

课后训练千里之行 始于足下1.下列式子一定是指数函数的是( ).A .形如y =a x 的函数B .y =22x +1C .y =(|m |+2)-xD .y =x 22.函数()f x 的定义域是( ).A .(-∞,0]B .[0,+∞)C .(-∞,0)D .(-∞,+∞)3.已知对不同的a 值,函数f (x )=2+a x -1(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,则P 点的坐标是( ).A .(0,3)B .(0,2)C .(1,3)D .(1,2)4.已知函数f (x )=a x 在(0,2)内的值域是2(,1)a ,则函数y =f (x )的图象是( ).5.函数223()x x f x a m +-=+(a >1)恒过定点(1,10),则m =________.6.当x >0时,函数f (x )=(a 2-1)x 的值总大于1,则实数a 的取值范围是________.7.求函数22811()3x x y --+= (-3≤x ≤1)的值域.8.已知函数f (x )=a x -1(x ≥0)的图象经过点1(2,)2,其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值;(2)求函数y =f (x )(x ≥0)的值域.百尺竿头 更进一步设4()42xx f x =+,若0<a <1,试求f (a )+f (1-a )的值,进一步求 1231000()()()()1001100110011001f f f f +++⋅⋅⋅+的值. 答案与解析1.答案:C解析:根据指数函数的定义求解.2.答案:A解析:要使函数有意义,则1-2x ≥0,即2x ≤1,∴x ≤0.3.答案:C解析:令x -1=0,得x =1,此时y =2+1=3,∴图象恒过定点(1,3).4.答案:A解析:∵f (x )=a x 在(0,2)内的值域是2(,1)a ,∴f (x )在(0,2)内单调递减,∴0<a <1,∴选A.5.答案:9解析:由题可知a 0+m =10,即1+m =10,得m =9.6.答案:a a ><解析:∵x >0时,f (x )=(a 2-1)x 的值总大于1,∴a 2-1>1,∴a 2>2,即a ,故a a ><.7.解:令t =-2x 2-8x +1, 则1()3t y =,又t =-2x 2-8x +1=-2(x 2+4x )+1=-2(x +2)2+9,∵-3≤x ≤1,∴当x =-2时,t max =9,当x =1时,t min =-9,故-9≤t ≤9,∴9911()()33y -≤≤,即3-9≤y ≤39, 故所求函数的值域为993,3-⎡⎤⎣⎦.8.解:(1)函数图象过点1(2,)2, 所以2112a-=, 则12a =. (2)11()()2x f x -=(x ≥0),由x ≥0,得x -1≥-1, 于是11110()()222x --<≤-. 所以函数的值域为(0,2].百尺竿头 更进一步 解:11444442()(1)14242422444242a a a a a a a a a a f a f a --+-=+=+=+=+++⨯+++. 观察式子,不难发现11000299939981100110011001100110011001+=+=+=⋅⋅⋅=.从而1231000()()()()500 1001100110011001f f f f+++⋅⋅⋅+=.。

高一数学指数函数知识点及练习题(含答案)

高一数学指数函数知识点及练习题(含答案)

+⎩ + 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算〔1〕根式的概念 ①如果 xn= a , a ∈ R , x ∈ R , n > 1,且 n ∈ N ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时,a 的 n 次 方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 - na表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根.②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数时, a ≥ 0 .nnn n⎧a (a ≥ 0)③根式的性质:( a ) = a ;当 n 为奇数时, a = a ;当 n 为偶数时,=| a |= ⎨-a .(a < 0)〔2〕分数指数幂的概念m①正数的正分数指数幂的意义是: a n= n a m(a > 0, m , n ∈ N , 且 n > 1) .0 的正分数指数幂等于 0.②- m1 m1正数的负分数指数幂的意义是: an= ( ) n = n ( )m (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) .0 的负分数指a a数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. 〔3〕分数指数幂的运算性质①a r ⋅ a s = a r +s (a > 0,r , s ∈ R )②(a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R )③(ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R )2.1.2 指数函数及其性质〔4〕指数函数 函数名称 指数函数定义函数 y = a(a > 0 且 a ≠ 1)叫做指数函数图象a > 10 < a < 1y = 1 yOy = ax(0, 1)xy = a xy = 1Oy( 0 , 1 )x定义域 R值域 〔0,+∞〕过定点 图象过定点〔0,1〕,即当 x=0 时,y=1.奇偶性 非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的变化情况y >1(x >0), y=1(x=0), 0<y <1(x <0)y >1(x <0), y=1(x=0), 0<y <1(x >0)a 变化对图象影响在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴.在第一象限内, a 越小图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠近 x 轴.n a n39 1 + 5 1 ± 5 12.1 指数函数练习1.以下各式中成立的一项〔〕A . ( n )7 = n 7m 7mB . 12(-3)4 =C . 4x 3+ y 33(x + y )4D .=2 11 1 1 1 52.化简(a 3 b 2)(-3a 2 b 3) ÷ ( 3a 6b 6 )的结果〔〕A . 6aB . - aC . - 9aD . 9a23.设指数函数 f (x ) = a x(a > 0, a ≠ 1) ,那么以下等式中不正确的选项是〔 〕A .f (x +y )=f(x )·f (y )B . f 〔x - y 〕=f (x )f ( y )C . f (nx ) = [ f (x )]n(n ∈ Q )- 1D . f (xy )n= [ f (x )]n·[ f ( y )]n(n ∈ N + )4.函数 y = (x - 5)0+ (x - 2)2A .{x | x ≠ 5, x ≠ 2} C .{x | x > 5}〔〕B .{x | x > 2}D .{x | 2 < x < 5或x > 5}5.假设指数函数 y = a x在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,那么底数a 等于 〔〕A .B . 2 2C .D .2 26.当 a ≠ 0 时,函数 y = ax + b 和 y = b ax的图象只可能是〔〕7.函数 f (x ) = 2-|x |的值域是〔 〕A . (0,1]B . (0,1)⎧⎪2- x- 1, x ≤ 0 C . (0,+∞)D .R8.函数 f (x ) = ⎨ 1 ,满足 f (x ) > 1的 x 的取值范围⎪⎩x 2 , x > 0〔 〕A . (-1,1)B . (-1,+∞)C .{x | x > 0或x < -2}D .{x | x > 1或x < -1}9.函数 y = ( 1 ) 2- x 2 + x +2 得单调递增区间是〔 〕11A . [-1, ]2B . (-∞,-1]C . [2,+∞)D . [ 2,2]3 - 33 3- 1 + 5 5 ± 1⎩ x e x - e - x10. f (x ) =,那么以下正确的选项是 〔 〕2A .奇函数,在 R 上为增函数B .偶函数,在 R 上为增函数C .奇函数,在 R 上为减函数D .偶函数,在 R 上为减函数11.函数 f (x )的定义域是〔1,2〕,那么函数 f (2 x) 的定义域是 .12.当 a >0 且 a ≠1 时,函数 f (x )=a x -2-3 必过定点 .三、解答题:13.求函数 y = 1的定义域.5 x -1 - 114.假设a >0,b >0,且a +b =c ,求证:(1)当r >1时,a r +b r <c r ;(2)当r <1时,a r +b r >c r .15.函数 f (x ) =a x - 1 a x + 1(a >1).〔1〕判断函数f (x )的奇偶性;〔2〕证明f (x )在(-∞,+∞)上是增函数.16.函数 f(x)=a x (a>0,且 a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 a,求 a 的值. 2参考答案一、DCDDDAAD D A二、11.(0,1);12.(2,-2);三、13. 解:要使函数有意义必须:⎧x - 1 ≠ 0⎧x ≠ 1⎪x ⇒⎨ ≠ 0 ⎩ x - 1⎨x ≠ 0∴定义域为: {x x ∈ R 且x ≠ 0, x ≠ 1}⎪1 a +1 a +12 14. 解: a r + br⎛ a ⎫r⎛ b ⎫r,其中 0 < a < 1,0 < b < 1.= ⎪ c rc + ⎪c ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 当r >1时,⎛ a ⎫ r ⎛ b ⎫r a b ,所以a r+b r <c r ;⎪ + ⎪ < + = 1⎝ c ⎭ ⎝ c ⎭ c c当 r <1 时,⎛ a ⎫r⎛ b ⎫ra b,所以 a r +b r >c r . ⎪ + ⎪ > + = 1 ⎝ c ⎭ ⎝ c ⎭ c c15.解:(1)是奇函数.(2) x <x ,a x 1 -1 a x2 -1 。

人教版高中数学必修一: 2.1《指数函数》(1)(22)

人教版高中数学必修一: 2.1《指数函数》(1)(22)

又要钱?借多少?
黄老板,能借点 钱吗?
哦,我每天还的钱是前一 天的2倍是吧,那我需要 很久才能还完你啊?
这样吧,从今天开始在一个 月中,我每天都借你10万元, 而你从今天开始,第一天还 我1元,第二天2元,第三天 4元,第四天8元,.......以后 知道怎么还了吗?
不,你只要还我三十天就 可以了,剩下的就不要了。
∵ 1.2< 5 1 1.2 > 1 5 ∴
3 3
对大 于的 减函 函数 数值 ,反 自而 变小 量
.
练习:比较100.2与1的大小.
课堂练习:用“>”或“<”填空:
(1)0.8
0.1
< 0.80.2
1 m ( 2)若( ) (0.25) n , 则m > n. 4
1 x y =( ) 3
1 x y =( ) 4
y =3
x
y = 4x
1、a > 1 时,底大图陡
0 < a < 1 时,底小图陡
观察图像:你发现了什么?
通过图像,动态图特点,总结指数函数性质
(1)图象都位于 x轴上方 方 (2)图象都过点(0,1) (3) y 2 x 的图象从左到 右上升
1 x (4) y ( 2 )
(口答)判断下列函数是不是指 数函数,为什么?
(1) y ax( a 0且a 1) ( 2) y x
1 3
练习巩固
1 x (3) y ( ) √ 3 x ( 4) y ( 3) (5) y 1
x x
(6) y a ( a 0且a 1) (7 ) y 2 3
(1) 考虑指数函数 y=1.7x, 解:

高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数习题2.1》430教案教学设计 一等奖名师公开课比赛优质课评比

高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数习题2.1》430教案教学设计 一等奖名师公开课比赛优质课评比

2.1.1(1)指数与指数幂的运算(教学设计)教学目标1、知识与技能:理解根式的概念及性质,能进行根式的运算,提高根式的运算能力。

2、过程与方法:通过由特殊到一般,由平方根、立方根,采用类比的方法过渡到n次方根;通过对“当n是偶数时,)0()0(aaaaaann”的理解,培养学生分类讨论的意识。

3、态度情感价值关:通过运算训练,培养学生严谨的思维,一丝不苟的学习习惯。

教学重点:对根式概念、性质的理解,运用根式的性质化简、运算。

教学难点:当n是偶数时,)0()0(aaaaaann的得出及运用教学过程一、创设情境,新课引入:问题(课本P58问题2):当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP.当生物死亡了5730,25730,35730,…年后,它体内碳14的含量P分别为21,2)21(,3)21(,….是正整数指数幂.它们的值分别为21,41,81,….当生物死亡6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P分别为57306000)21(,573010000)21(,5730100000)21(,这些式子的意义又是什么呢?这些正是本节课要学习的内容.二、师生互动,新课讲解:1、问题引入:(1)若ax2,则x叫a的.如:2是4的平方根一个正数的平方根有个,它们互为数;负数没有平方根;零的平方根是.(2)若ax3,则x叫a的.如:2是8的立方根,-2是-8的立方根。

一个正数的立方根是一个数,一个负数的立方根是一个数,0的立方根是.(3)类比平方根、立方根的定义,你认为,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的;一个数的五次方等于a,则这个数叫a的;一个数的六次方等于a,则这个数叫a的;……;一个数的n次方等于a,则这个数叫a的;一般地,如果axn,则x叫a的n次方根,其中1n且*Nn. 问:(1)16的四次方根是.32的五次方根是.-32的五次方根是.(2)一个正数的n次方根有几个?一个负数的n次方根有几个?0的n次方根是多少?(给学生留点时间进行探究)得出结论:(1)一个正数的偶次方根有两个,这两个数互为相反数;负数没有偶次方根。

【金版教程】人教版高中数学必修一练习:2.1.2.1指数函数的基本内容(含答案解析)

【金版教程】人教版高中数学必修一练习:2.1.2.1指数函数的基本内容(含答案解析)
一、选择题 4x+ 1
1. [2015 ·福建六校高一联考 ]函数 f(x) = 2x 的图象 ( )
A.关于原点对称
B .关于直线 y= x 对称
C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称
答案 D
解析
f(x)
4x + =x
2
1 =
2x +
2-
x
.
f(-
x)


2
x+
2x=
f(x)

∴ f(x) 为偶函数,图象关于 y 轴对称. 2.如图是指数函数① y= ax,② y =bx,③ y = cx,④ y= dx 的图象,则 a, b, c, d 与 1
解法二:作直线 x= 1,与四个图象分别交于 A ,B, C,D 四点,由于 x= 1 代入各个函
数可得函数值等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知
b< a
< 1< d< c.故选 B.
3.若 a>1,- 1<b<0 ,则函数
y=
x
a
+限
B .第一、三、四象限
C.第二、三、四象限
D .第一、二、四象限
答案 A
解析 ∵ a>1,且- 1<b<0,故其图象如图所示.
ex +e- x
4.函数 y= ex- e- x的图象大致为 (
)
的大小关系是 ( )
A. a< b<1< c< d B. b< a< 1< d< c C. 1< a< b< c< d D. a< b<1< d< c 答案 B 解析 解法一:在 y 轴的右侧,指数函数的图象由下到上,底数依次增大. 由指数函数图象的升降,知 c> d>1, b< a< 1.

指数函数(日常练习)

指数函数(日常练习)

2.1指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算一、课前预习1、()化成分数指数幂为()A、B、C、D、2、计算的结果是()A、B、—C、D、—3、化简()的结果为()A、6aB、—aC、—9aD、9a24、若有意义,则x .5、若10m =2,10m =3,则10= .二、课后作业1、下列各式中成立的是()A、B、C、D、2、函数的定义域为()A、B、C、D、3、()等于()A、a16B、a8C、a4D、a24、若,且ab+a-b=2,则ab—a-b的值等于()A、B、C、D、25、( )A、B、C、D、6、计算= .7、若,则的值等于.8、方程的解是.9、计算下列各式:(1)(2)10、(1)计算(2)已知,求的值.三、拓展训练.1、计算下列各式(式中字母都是正数):(1)(2)2、已知,求下列各式的值:(1)(2)第一课时指数函数及其性质(1)一、1、若指数函数在上是减函数,那么()A、0<a<1B、-1<a<0C、a=—1D、a<—12、时,,则间的大小关系是()A、B、C、D、3、函数的图像必经过点()A、(0,1)B、(1,1)C、(2,1)D(2,2)4、指数函数的图象上一点的坐标是,则= .5、已知函数满足:对任意实数,有且,写出一个满足这些条件的函数:. 二、已知且,则的取值范围是()A、B、C、D、2、若集合,则是()A、B、C、D、有限集3、如图为指数函数(1)则与1的大小关系为()A、B、C、D、4、下列函数中,满足的是()A、B、C、D、5、如图所示是某池墉中浮萍的面积与时间(月)的关系:,有以下叙述:①这个指数函数的底数为2;②第5个月时,浮萍面积就会超过30㎡;③浮萍从4㎡蔓延到12㎡需要经过1.5个月;④浮萍每月增加的面积都相等;⑥若浮萍蔓延到2㎡,3㎡,6㎡所经过的时间分别是则,其中正确的是()A、①②B、①②③④C、②③④⑤D、①②⑤6、在定义域内是减函数,则的取值范围是.7、比较大小(1)( 2 )8、函数在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则.9、已知,求函数的最大值与最小值.10、若三、1、函数是指数函数,则的值为.2、求下列函数的定义域和值域:(1)(2)3、已知函数(1)当为何值时,有(2)当为何值时,有(3)当为何值时,有(4)当,求的取值范围。

高中数学新人教B版必修一《2.1指数函数》同步练习

高中数学新人教B版必修一《2.1指数函数》同步练习
例1求下列各式的值
⑴ =⑵ =⑶ =⑷ =
例2⑴把下列各式中的a写成分数指数幂的形式(a>0);
①a =256②a =28③a =5 ④a =3 (m,n N )⑵计算:①9
②16
例3化简 ÷
例4化简(式中字母都是正数)
⑴(x y )
⑵(2x + 3y )(2x - 3y )
⑶4x ·3x (- y )·y
二、整体代换思想
例7⑴已知2 (常数),求8 的值。
创新、拓展、实践
1.数学与科技
例8已知某两星球间的距离d = 3.12×10 千米,某两分子间的距离d = 3.12×10 米,请问两星球间距离是两分子间距离的多少倍?
2.创新应用题
例9已知a、b是方程x - 6x + 4 = 0的两根,且a>b>0,求 的值。
例化简下列各式
⑴ -
⑵ ÷(1–2 )×
例2计算:⑴

题型二、分数指数幂及运算性质
1.计算问题:例3计算:
2.化简问题:例4化简下列各式:⑴
⑵(x )(x )
3.带附加条件的求值问题
例5已知a + a = 3,求下列各式的值:
⑴a + a
⑵a + a

数学思想方法
一、化归ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ转化思想
例6化简: (a>0,b>0).
3.开放探究题
例10已知a>0,对于0≤r≤8,r N ,式子( ) ( ) 能化为关于a的整数指数幂的可能情形有几种?
高考要点阐释(写出解题的过程)
例1(2008·重庆文高考)若x>0,则(2x + 3 )(2x - 3 )- 4x ·(x - x )=_____________________________.

人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数 习题2.1》_24

人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数 习题2.1》_24

函数的应用1.题型为选择题或填空题,主要考查零点个数的判断及零点所在区间.2.函数的零点与方程的根的关系:方程f (x )=0有实数根⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y =f (x )有零点.[典题示例] 函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1,x ≤0,x -2+ln x ,x >0的零点个数为________.[解析] 令f (x )=0,得到⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1=0,x ≤0,解得x =-1;或⎩⎪⎨⎪⎧x -2+ln x =0,x >0,在同一个直角坐标系中画出y =2-x 和y =ln x 的图象,观察交点个数,如图所示.函数y =2-x 和y =ln x ,x >0,在同一个直角坐标系中交点个数是1,所以函数f (x )在x <0时的零点有一个,在x >0时零点有一个,所以f (x )的零点个数为2.[答案] 2 [类题通法]确定函数零点个数的方法(1)解方程f (x )=0有几个根.(2)利用图象找y =f (x )的图象与x 轴的交点或转化成两个函数图象的交点个数. (3)利用f (a )·f (b )与0的关系进行判断.[题组训练]1.函数f (x )=lg x -9x 的零点所在的大致区间是( ) A .(6,7) B .(7,8) C .(8,9)D .(9,10)解析:选D ∵f (6)=lg 6-96=lg 6-32<0,f (7)=lg 7-97<0,f (8)=lg 8-98<0,f (9)=lg 9-1<0,f (10)=lg 10-910>0, ∴f (9) · f (10)<0.函数的零点问题∴f (x )=lg x -9x的零点的大致区间为(9,10).2.已知函数f (x )=ln x -⎝⎛⎭⎫12x -2的零点为x 0,则x 0所在的区间是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3)D .(3,4)解析:选C ∵f (x )=ln x -⎝⎛⎭⎫12x -2在(0,+∞)是增函数, 又f (1)=ln 1-⎝⎛⎭⎫12-1=ln 1-2<0, f (2)=ln 2-⎝⎛⎭⎫120<0, f (3)=ln 3-⎝⎛⎭⎫121>0, ∴x 0∈(2,3).3.函数y =⎝⎛⎭⎫12|x |-m 有两个零点,则m 的取值范围是________. 解析:在同一直角坐标系内,画出y 1=⎝⎛⎭⎫12|x |和y 2=m 的图象,如图所示,由于函数有两个零点,故0<m <1.答案:(0,1)1.通过对近几年高考试题的分析可以看出,对函数的实际应用问题的考查,更多地以实际生活为背景,设问新颖、灵活;题型以解答题为主,难度中等偏上;主要考查建模能力,同时考查分析问题、解决问题的能力.2.函数实际应用的示意图[典题示例] 某网店经营的某消费品的进价为每件12元,周销售量p (件)与销售价格x (元)的关系,如图中折线所示,每周各项开支合计为20元.(1)写出周销售量p (件)与销售价格x (元)的函数关系式; (2)写出利润周利润y (元)与销售价格x (元)的函数关系式;函数的应用(3)当该消费品销售价格为多少元时,周利润最大?并求出最大周利润. [解] (1)由题设知,当12≤x ≤20时,设p =ax +b ,则⎩⎪⎨⎪⎧12a +b =26,20a +b =10,∴a =-2,b =50. ∴p =-2x +50,同理得,当20<x ≤28时,p =-x +30,所以p =⎩⎪⎨⎪⎧-2x +50,12≤x ≤20,-x +30,20<x ≤28.(2)当12≤x ≤20时,y =(x -12)(-2x +50)-20=-2x 2+74x -620; 当20<x ≤28时,y =(x -12)(-x +30)-20=-x 2+42x -380.∴y =⎩⎪⎨⎪⎧-2x 2+74x -620,12≤x ≤20,-x 2+42x -380,20<x ≤28. (3)当12≤x ≤20时,y =-2x 2+74x -620, ∴x =372时,y 取得最大值1292. 当20<x ≤28时,y =-x 2+42x -380, ∴x =21时,y 取得最大值61. ∵1292>61,∴该消费品销售价格为372时,周利润最大,最大周利润为1292. [类题通法]建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括,确定变量之间的主被动关系,并用x ,y 分别表示. (2)建立函数模型,将变量y 表示为x 的函数,此时要注意函数的定义域. (3)求解函数模型,并还原为实际问题的解.[题组训练]1.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示.以下四种说法:①前三年产量增长的速度越来越快; ②前三年产量增长的速率越来越慢; ③第三年后这种产品停止生产; ④第三年后产量保持不变. 其中说法正确的是序号是________.解析:由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y =x α(0<α<1),反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由t ∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确.答案:②③2.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中,t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y =a e nt .若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升,则m的值为( )A .7B .8C .9D .10解析:选D 令18a =a e nt ,即18=e nt ,由已知得12=e 5n ,故18=e 15n ,比较知t =15,m =15-5=10.3.某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产,打入国际市场,已知投资生产这两种产品的有关数据如表:时需上交0.05x 2万美元的特别关税.(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y 1,y 2与生产相应产品的件数x (x ∈N)之间的函数关系式;(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润.解:(1)由题知y 1=10x -(20+ax )=(10-a )x -20,0≤x ≤200且x ∈N ;y 2=18x -(40+8x )-0.05x 2=-0.05x 2+10x -40=-0.05(x-100)2+460,0≤x ≤120且x ∈N.(2)∵3≤a ≤8,∴10-a >0, ∴y 1=(10-a )x -20为增函数. 又0≤x ≤200,x ∈N ,∴x =200时y 1取最大值,即生产甲产品的最大年利润为(10-a )×200-20=1 980-200a (万美元).又y 2=-0.05(x -100)2+460,0≤x ≤120,x ∈N ,∴x =100时y 2取最大值,即生产乙产品的最大年利润为460万美元.1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (x +4),x <0,x (x -4),x ≥0,则该函数的零点的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选C 当x <0时,令x (x +4)=0,解得x =-4;当x ≥0时,令x (x -4)=0,解得x =0或4.综上,该函数的零点有3个.2.函数f (x )=ln(x +1)-2x 的零点所在的大致区间是( )A .(1,2)B .(0,1)C .(2,e)D .(3,4)解析:选A f (1)=ln 2-2=ln 2e 2<ln 1=0,f (2)=ln 3-1=ln 3e>ln 1=0,所以函数f (x )=ln(x +1)-2x的零点所在的大致区间是(1,2).3.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是( )A .118元B .105元C .106元D .108元解析:选D 设该家具的进货价是x 元,由题意得132(1-10%)-x =x ·10%,解得x =108元.4.下列函数:①y =lg x ;②y =2x ;③y =x 2;④y =|x |-1,其中有2个零点的函数是( ) A .①② B .③④ C .②③D .④解析:选D 分别作出这四个函数的图象,其中④y =|x |-1的图象与x 轴有两个交点,即有2个零点,选D.5.已知函数f (x )在区间[a ,b ]上是单调函数,且f (a )f (b )<0,则方程f (x )=0在区间[a ,b ]内( )A .至少有一实根B .至多有一实根C .没有实根D .必有唯一实根解析:选B 由于f (a )f (b )<0,则f (a )<0<f (b )或f (b )<0<f (a ),又函数f (x )在区间[a ,b ]上是单调函数,则至多有一个实数x 0∈[a ,b ],使f (x 0)=0,即方程f (x )=0在区间[a ,b ]内至多有一实根.6.已知0<a <1,则方程a |x |=|log a x |的实根个数为( ) A .2 B .3C .4D .与a 的值有关解析:选A 设y 1=a |x |,y 2=|log a x |,分别作出它们的图象如图所示.由图可知,有两个交点,故方程a |x |=|log a x |有两个根.故选A.7.长为4,宽为3的矩形,当长增加x ,宽减少x2时,面积达到最大,此时x 的值为________.解析:由题意,S =(4+x )⎝⎛⎭⎫3-x 2,即S =-12x 2+x +12,∴当x =1时,S 最大. 答案:18.某学校要装备一个实验室,需要购置实验设备若干套,与厂家协商,同意按出厂价结算,若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠.如果按出厂价购买应付a 元,但再多买11套就可以按优惠价结算,恰好也付a 元(价格为整数),则a 的值为________.解析:设按出厂价y 元购买x (x ≤50)套应付a 元, 则a =xy .再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元,则a =(x +11)(y -30),其中x +11>50.∴xy =(x +11)(y -30)(39<x ≤50).∴3011x =y -30.又x ∈N ,y ∈N(因价格为整数),39<x ≤50, ∴x =44,y =150,a =44×150=6 600. 答案:6 6009.若函数f (x )=a x -x -a (a >0,且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围为________. 解析:函数f (x )的零点的个数就是函数y =a x 与函数y =x +a 交点的个数,如下图,由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点,0<a <1时两函数图象有唯一交点,故a >1.答案:(1,+∞)10.某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但每提高一个档次,在规定的时间内,产量减少3件.如果在规定的时间内,最低档次的产品可生产60件.(1)请写出规定时间内产品的总利润y 与档次x 之间的函数关系式,并写出x 的定义域; (2)在规定的时间内,生产哪一档次产品的总利润最大?并求出最大利润.解:(1)由题意知,生产第x 个档次的产品每件的利润为8+2(x -1)元,该档次的产量为60-3(x -1)件.则规定时间内第x 档次的总利润y =(2x +6)(63-3x )=-6x 2+108x +378,其中x ∈{x ∈N *|1≤x ≤10}.(2)y =-6x 2+108x +378=-6(x -9)2+864,则当x =9时,y 有最大值为864.故在规定的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.11.A 、B 两城相距100 km ,在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电,为保证城市安全.核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A 城供电量为20亿度/月,B 城为10亿度/月.(1)求x 的范围;(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数;(3)核电站建在距A 城多远,才能使供电费用最小. 解:(1)x 的取值范围为[10,90].(2)y =0.25×20x 2+0.25×10(100-x )2=5x 2+52(100-x )2(10≤x ≤90).(3)由y =5x 2+52(100-x )2=152x 2-500x +25 000=152⎝⎛⎭⎫x -10032+50 0003. 则当x =1003km 时,y 最小. 故当核电站建在距A 城1003km 时,才能使供电费用最小.12.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2-200x +80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?解:设该单位每月获利为S 元, 则S =100x -y=100x -⎝⎛⎭⎫12x 2-200x +80 000=-12x 2+300x -80 000=-12(x -300)2-35 000,因为400≤x ≤600,所以当x =400时,S 有最大值-40 000.故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={2,3,4},则下列结论中正确的是( ) A .A ⊆B B .A ∩B ={2} C .A ∪B ={1,2,3,4,5}D .A ∩(∁U B )={1}解析:选D A 显然错误;A ∩B ={2,3},B 错;A ∪B ={1,2,3,4},C 错,故选D. 2.(2017·山东高考)设函数y =4-x 2的定义域为A ,函数y =ln(1-x )的定义域为B ,则A ∩B =( )A .(1,2)B .(1,2]C .(-2,1)D .[-2,1)解析:选D 由题意可知A ={x |-2≤x ≤2},B ={x |x <1},故A ∩B ={x |-2≤x <1}.3.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2e x -1,x <2,log 3(2x-1),x ≥2,则f (f (2))=( ) A .0 B .1 C .2D .3解析:选C ∵f (2)=log 3(22-1)=1. ∴f (f (2))=f (1)=2e 1-1=2.4.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A .y =x -2B .y =x -1C .y =x 2-2D .y =log 12x解析:选A ∵y =x-1是奇函数,y =log 12x 不具有奇偶性,故排除B 、D ,又函数y =x 2-2在区间(0,+∞)上是单调递增函数,故排除C ,只有选项A 符合题意.5.函数y =log 2|1-x |的图象是( )解析:选D 函数y =log 2|1-x |可由下列变换得到: y =log 2x →y =log 2|x |→y =log 2|x -1|→y =log 2|1-x |.故选D.6.已知幂函数y =f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12,22,则log 2f (2)的值为( )A.12 B .-12C .2D .-2解析:选A 设f (x )=x α,则22=⎝⎛⎭⎫12α,∴α=12,f (2)=212,所以log 2f (2)=log 2212=12. 7.函数f (x )=lg x -1x 的零点所在的区间是( ) A .(0,1) B .(1,10) C .(10,100)D .(100,+∞)解析:选B ∵f (1)=-1<0,f (10)=1-110=910>0,f (100)=2-1100>0, ∴f (1)·f (10)<0,由函数零点存在性定理知,函数f (x )=lg x -1x 的零点所在的区间为(1,10).8.设a =60.4,b =log 0.40.5,c =log 80.4,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a <b <c B .c <b <a C .c <a <bD .b <c <a解析:选B ∵a =60.4>1,b =log 0.40.5∈(0,1),c =log 80.4<0,∴a >b >c .故选B. 9.如右图,向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满水槽,水槽中整体水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )解析:选B 开始一段时间,水槽底部没有水,烧杯满了之后,水槽中水面上升先快后慢.故选B.10.已知函数f (x )=1+x 21-x 2,则有( )A .f (x )是奇函数,且f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x ) B .f (x )是奇函数,且f ⎝⎛⎭⎫1x =f (x ) C .f (x )是偶函数,且f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x ) D .f (x )是偶函数,且f ⎝⎛⎭⎫1x =f (x ) 解析:选C ∵f (-x )=f (x ), ∴f (x )是偶函数,排除A 、B.又f ⎝⎛⎭⎫1x =1+⎝⎛⎭⎫1x 21-⎝⎛⎭⎫1x 2=1+x 2x 2-1=-f (x ),故选C. 11.已知函数f (x )=m +log 2x 2的定义域是[1,2],且f (x )≤4,则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,2] B .(-∞,2) C .[2,+∞)D .(2,+∞)解析:选A 因为f (x )=m +2log 2x 在[1,2]是增函数,且由f (x )≤4,得f (2)=m +2≤4,得m ≤2.12.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |,0<x ≤10,-12x +6,x >10,若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),则abc 的取值范围是( )A .(1,10)B .(5,6)C .(10,12)D .(20,24)解析:选C 作出f (x )的大致图象.由图象知,要使f (a )=f (b )=f (c ),不妨设a <b <c ,则-lg a =lg b =-12c +6.于是lg a +lg b =0. 故ab =1.因而abc =c .由图知10<c <12,故abc ∈(10,12).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.设U =R ,已知集合A ={x |x >1},B ={x |x >a },且(∁U A )∪B =R ,则实数a 的取值范围是________.解析:∵A ={x |x >1}, ∴∁U A ={x |x ≤1}.由B ={x |x >a },(∁U A )∪B =R 可知a ≤1. 答案:(-∞,1]14.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL ,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,则至少经过________小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时)解析:设n 小时后他才可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n ≤0.2,即2n ≥15,解得n ≥log 215,故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.答案:415.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x <1,x 2+ax ,x ≥1,若f (f (0))=4a ,则实数a 等于________. 解析:∵0<1,∴f (0)=20+1=2.∵2>1,∴f (2)=4+2a ,∴f (f (0))=f (2)=4+2a =4a ,∴a =2.答案:216.已知函数f (x )=lg(2x -b )(b 为常数),若x ∈[1,+∞)时,f (x )≥0恒成立,则b 的取值范围是________.解析:∵要使f (x )=lg(2x -b )在x ∈[1,+∞)上,恒有f (x )≥0,∴有2x -b ≥1在x ∈[1,+∞)上恒成立,即2x ≥b +1恒成立.又∵指数函数g (x )=2x 在定义域上是增函数.∴只要2≥b +1成立即可,解得b ≤1.答案:(-∞,1]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知集合A ={x |2<2x <8},B ={x |a ≤x ≤a +3}.(1)当a =2时,求A ∩B ;(2)若B ⊆∁R A ,求实数a 的取值范围.解:(1)当a =2时,A ={x |2<2x <8}=(1,3),B ={x |a ≤x ≤a +3}=[2,5],故A ∩B =[2,3).(2)∁R A =(-∞,1]∪[3,+∞).故由B ⊆∁R A 知,a +3≤1或a ≥3,故实数a 的取值范围为(-∞,-2]∪[3,+∞).18.(本小题满分12分)已知f (x )=log a x (a >0且a ≠1)的图象过点(4,2).(1)求a 的值;(2)若g (x )=f (1-x )+f (1+x ),求g (x )的解析式及定义域;(3)在(2)的条件下,求g (x )的单调减区间.解:(1)由已知f (x )=log a x (a >0且a ≠1)的图象过点(4,2),则2=log a 4,即a 2=4,又a >0且a ≠1,所以a =2.(2)g (x )=f (1-x )+f (1+x )=log 2(1-x )+log 2(1+x ).由⎩⎪⎨⎪⎧1-x >0,1+x >0,得-1<x <1,定义域为(-1,1).(3)g (x )=log 2(1-x )+log 2(1+x )=log 2(1-x 2),其单调减区间为[0,1).19.(本小题满分12分)若f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x ,y >0,满足f ⎝⎛⎭⎫x y =f (x )-f (y ).(1)求f (1)的值;(2)若f (6)=1,解不等式f (x +3)-f ⎝⎛⎭⎫13<2.解:(1)在f ⎝⎛⎭⎫x y =f (x )-f (y )中,令x =y =1,则有f (1)=f (1)-f (1),∴f (1)=0.(2)∵f (6)=1,∴f (x +3)-f ⎝⎛⎭⎫13<2=f (6)+f (6).∴f (3x +9)-f (6)<f (6),即f ⎝⎛⎭⎫x +32<f (6).∵f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x +3>0,x +32<6.解得-3<x <9, 即不等式的解集为(-3,9).20.(本小题满分12分)随着新能源的发展,电动汽车在全社会逐渐普及开来,据某报记者了解,某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系,为新能源汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式.现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用,管理这些电动汽车的费用是每日1 725元.调查发现,若每辆电动汽车的日租金不超过90元,则电动汽车可以全部租出;若超过90元,则每超过1元,租不出的电动汽车就增加3辆.设每辆电动汽车的日租金为x (元)(60≤x ≤300,x ∈N *),用y (元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用).(1)求函数y =f (x )的解析式;(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时,才能使日净收入最多?解:(1)当60≤x ≤90,x ∈N *时,y =750x -1 725;当90<x ≤300,x ∈N *时,y =[750-3(x -90)]x -1 725,故f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧750x -1 725,60≤x ≤90,x ∈N *,-3x 2+1 020x -1 725,90<x ≤300,x ∈N *. (2)对于y =750x -1 725,60≤x ≤90,x ∈N *,∵y 在[60,90](x ∈N *)上单调递增,∴当x =90时,y max =65 775.对于y =-3x 2+1 020x -1 725=-3(x -170)2+84 975,90<x ≤300,x ∈N *,当x =170时,y max =84 975.∵84 975>65 775,∴当每辆电动汽车的日租金为170元时,日净收入最多.21.(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=2x -1.(1)求f (3)+f (-1);(2)求f (x )的解析式;(3)若x ∈A ,f (x )∈[-7,3],求区间A .解:(1)∵f (x )是奇函数,∴f (3)+f (-1)=f (3)-f (1)=23-1-2+1=6.(2)设x <0,则-x >0,∴f (-x )=2-x -1, ∵f (x )为奇函数,∴f (x )=-f (-x )=-2-x +1, ∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x ≥0,-2-x +1,x <0.(3)作出函数f (x )的图象,如图所示.根据函数图象可得f (x )在R 上单调递增,当x <0时,-7≤-2-x +1<0, 解得-3≤x <0;当x ≥0时,0≤2x -1≤3,解得0≤x ≤2;∴区间A 为[-3,2].22.(本小题满分12分)对于函数f (x )=a -2b x+1(a ∈R ,b >0,且b ≠1). (1)探索函数y =f (x )的单调性;(2)求实数a 的值,使函数y =f (x )为奇函数;(3)在(2)的条件下,令b =2,求使f (x )=m (x ∈[0,1])有解的实数m 的取值范围.解:(1)函数f (x )的定义域为R ,设x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫a -2bx 1+1-⎝⎛⎭⎫a -2bx 2+1=2(bx 1-bx 2)(bx 1+1)(bx 2+1).当b >1时,由x 1<x 2,得bx 1<bx 2,从而bx 1-bx 2<0,于是f (x 1)-f (x 2)<0,所以f (x 1)<f (x 2),此时函数f (x )在R 上是单调增函数; 当0<b <1时,由x 1<x 2,得bx 1>bx 2,从而bx 1-bx 2>0,于是f (x 1)-f (x 2)>0,所以f (x 1)>f (x 2), 此时函数f (x )在R 上是单调减函数.(2)函数f (x )的定义域为R ,由f (0)=0得a =1. 当a =1时,f (x )=1-2b x +1=b x -1b x +1, f (-x )=1-2b -x +1=b -x -1b -x +1=1-b x 1+b x . 满足条件f (-x )=-f (x ),故a =1时,函数f (x )为奇函数.(3)f (x )=1-22x+1, ∵x ∈[0,1],∴2x ∈[1,2],2x +1∈[2,3],22x+1∈⎣⎡⎦⎤23,1, ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤0,13, 要使f (x )=m (x ∈[0,1])有解,则0≤m ≤13,即实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0,13.。

高中数学新人教B版必修一《2.1.2指数函数及其性质》同步练习

高中数学新人教B版必修一《2.1.2指数函数及其性质》同步练习

例1指出下列函数哪些是指数函数⑴y=4x ;⑵y=x 4;⑶y=-4x ;⑷y=(-4)x ;⑸y=x π;⑹y=4x 2;⑺y=x x ;⑻y=(2a-1)x (a >21,且a ≠1)例2比较下列各题中两个值的大小。

⑴1.75.2,1.73;⑵0.81.0-,0.82.0-;⑶1.73.0,0.91.3例3求下列函数的定义域和值域:⑴y=x 21-;⑵y=211-x ⑶y=(21)322--x x教材问题探究1.函数图像的变换例1画出下列函数的图像,并说明他们是由函数f(x)=2x 的图像经过怎样的变换得到的。

⑴y=21-x ;⑵y=21+x ;⑶y=2x ;⑷y=12-x ; ⑸y=-2x ;⑹y=-2x -2.图像变换的应用例2设f(x)=13-x ,c <b <a 且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的是()A.3c <3bB.3c >3bC.3c +3a >2D.3c +3a<2探究学习例3选取底数a(a >0,且a ≠1)的若干个不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图像.观察图像,你能发现他们有哪些共同特征?典型例题精析题型一指数函数的定义题型二指数函数的图像和性质1.过定点问题例2函数y=23-x +3恒过定点________________.2.指数函数的单调性例3讨论函数f(x)=(31)x x 22-的单调性,并求其值域。

例4已知函数f(x)=11+-x x a a (a >1) ⑴求该函数的值域;⑵证明f(x)是R 上的增函数3.指数函数的图像例5若函数y=a x+b –1(a >0,且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限,则一定有()A.a >1,且b <1B.0<a <1,且b <0C.0<a <1,且b >0D.a >1,且b <1变试训练1:当a ≠0时,函数y=ax +b 和y=b ax 的图象只可能是下列中的()题型三指数函数图像和性质的综合应用1.比较大小例6右图是指数函数:①y=a x ,②y=b x ,③y=c x ,④y=dx 的图象,则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是()A.a <b <1<c <dB.b <a <1<d <cC.1<a <b <c <dD.a <b <1<d <c2.解不等式例7⑴解不等式2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛x ≤2.⑵已知()x a a 22++>()x a a -++122,则x 的取值范围是________________。

2021-2022年高中数学 2-1-2-1指数函数同步练习 新人教A版必修1

2021-2022年高中数学 2-1-2-1指数函数同步练习 新人教A版必修1

2021-2022年高中数学 2-1-2-1指数函数同步练习 新人教A 版必修11.下列各函数中,是指数函数的是( ).A .y =(-3)xB .y =-3xC .y =3x -1D .y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 解析 由指数函数定义知D 正确.答案 D2.已知0<a <1,b <-1,则函数y =a x +b 的图象必定不经过( ).A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 解析 函数y =a x (0<a <1)在R 上单调递减,图象过定点(0,1),所以函数y =a x +b 的图象在R上单调递减,且过点(0,1+b ).因为b <-1,所以点(0,1+b )在y 轴负半轴上,故图象不经过第一象限.答案 A3.函数y =2-x的图象是( ). 解析 y =2-x =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,故选B. 答案 B4.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >1,则x 的取值范围为________. 解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >1,得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫120,∴x <0. 答案 (-∞,0)5.函数y =a x -5+1(a ≠0)的图象必经过点________.解析 指数函数的图象必过点(0,1),即a 0=1,由此变形得a 5-5+1=2,所以所求函数图象必过点(5,2).答案 (5,2)6.若函数f (x )=a x -1(a >1)的定义域、值域都是[0,2].求a 的值.解 ∵a >1,∴f (x )在[0,2]上单调递增,∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0=0,f 2=2.即⎩⎪⎨⎪⎧ a 0-1=0a 2-1=2,∴a =± 3.又∵a >1,∴a = 3.综合提高 限时25分钟 7.已知对不同的a 值,函数f (x )=2+ax -1(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,则P 点的坐标是( ).A .(0,3)B .(0,2)C .(1,3)D .(1,2)解析 令x -1=0,得x =1,此时y =2+1=3,∴图象恒过定点(1,3).答案 C8.函数f (x )=1-2x 的定义域是( ).A .(-∞,0]B .[0,+∞)C .(-∞,0)D .(-∞,+∞) 解析 要使函数有意义,则1-2x ≥0,即2x≤1,∴x ≤0.答案 A9.已知函数f (x )是指数函数,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32=525,则f (3)=________. 解析 设f (x )=a x (a >0,且a ≠1),则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32=525,得,所以a =5,故f (x )=5x ,从而f (3)=53=125.答案 12510.已知f (x )=a x +b 的图象如图所示,则f (3)=________.解析 ∵f (x )的图象过(0,-2),(2,0),且a >1,∴⎩⎪⎨⎪⎧-2=a 0+b 0=a 2+b ,∴b =-3,a =3, ∴f (x )=(3)x -3,则f (3)=(3)3-3=33-3.答案 33-311.求下列函数的定义域和值域:解 (1)要使函数y =有意义,只需1-x ≥0,即x ≤1,所以函数的定义域为{x |x ≤1}.设y =3u ,u =1-x ,则u ≥0,由函数y =3u 在[0,+∞)上是增函数,得y ≥30=1,所以函数的值域为{y |y ≥1}.(2)函数y =5-x -1对任意的x ∈R 都成立,所以函数的定义域为R .因为5-x >0,所以5-x -1>-1,所以函数的值域为(-1,+∞).12. (创新拓展)作出函数y =2|x +1|的图象.解 法一 由函数解析式可得y =2|x +1| =⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +1x <-1,2x +1 x ≥-1. 其图象分成两部分,一部分是将y 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +1(x <-1)的图象作出,而它的图象可以看作将y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象沿x 轴的负方向平移一个单位而得到,另一部分是将y =2x +1(x ≥-1)的图象作出,而它的图象可以看作将y =2x 的图象沿x 轴的负方向平移一个单位而得到,如图所示.法二 先作出y =2x (x ≥0)的图象,再关于y 轴对称即得y =2|x |的图象,再将y =2|x |的图象左移一个单位即可得到y =2|x +1|的图象,如法一中图所示.31205 79E5 秥K34415 866F 虯20211 4EF3 仳23337 5B29 嬩v39773 9B5D 魝32182 7DB6 綶}34861 882D 蠭29781 7455 瑕23252 5AD4 嫔39604 9AB4 骴39157 98F5 飵35139 8943 襃。

必修1 2.1指数函数 测试题

必修1    2.1指数函数  测试题

绵阳市开元中学高2013级第一学期必修12.1指数函数 测试题1(满分100分,60分钟完卷)制卷:王小凤 学生姓名一.选择题(本大题共10小题,每小题6分,共60分.)1.下列以x 为自变量的函数中,是指数函数的是( B )A. (4)x y =-B. xy π=C .4xy =- D .2,(01)x y a a a +=>≠且 2.已知0>a ,41=--a a ,则22-+a a 的值是( C )A .14B .16C .18D .203.若0>a ,则函数11x y a -=+的图像经过定点 ( A )A.(1,2)B.(2,1)C .(0,11a +) D .(2,1+a )4.当a ≠0时,函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是(A )5.下列函数中值域为(0,+∞)的是( B )A .y =x15B .y =x )31( C .y =12+-xD .y =12-x6.函数()2xf x -=的值域是( A )A. (]0,1B. ()0,1C. ()0,+∞D. R7.若b a ,满足10<<<b a ,则下列不等式中成立的是 (C )A. a ba a < B. a bb b < C .aa ab < D . b b b a <8.若x x 310932⋅=+,那么12+x 的值为( D )A .1B .2C .5D .1或59.函数)1,0()1(≠>-+=a a b a y x 的图象不经过第二象限,则有( D )A.1,1<>b aB.0,10≤<<b aC.0,10><<b aD.0,1≤>b a 10.已知函数3234+⋅-=x x y 的值域为[]7,1,则x 的范围是( D ) A.[]4,2 B.)0,(-∞ C. [](0,1)2,4U D. (][],01,2-∞U二.填空题(本大题共5小题,每小题6分,共30分.)11.下列各式:①21)(x x -=-②331x x-=-③)0()()(4343>=-xy xy y x④3162y y = ,其中正确的是______③________12._________)125(,2)5(12=-=-f x f x 则.__0__13.如果函数()(1)x f x a =-在R 上是减函数,那么实数a 的取值范围是 (1,2) .14.)(x f 为奇函数且0>x 时,xx f 10)(=,当0≤x 时,解析式为_______()10xf x -=-15.函数121+⎪⎭⎫⎝⎛=x y ,[]1,2-∈x 的值域是_____________.1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦三.解答题(本大题共10分.)16.解不等式145-+<x x a a(01a a >≠且)。

高中数学新人教B版必修一《2.1指数函数》同步练习.docx

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例1 求下列各式的值⑴ 33)2(-= ⑵ 44)2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷222y xy x ++= 例2 ⑴ 把下列各式中的a 写成分数指数幂的形式(a >0);① a 5=256 ② a 4-=28 ③ a 7-=56 ④ a n 3-=3m 5(m ,n ∈N *) ⑵ 计算:① 923 ② 1623-例3 化简32132b aba •-÷3211---⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b b a 例 4 化简(式中字母都是正数) ⑴ (x 2y3)6⑵ (2x2+ 3y3-)(2x 2- 3y 3-) ⑶ 4x21·3x21-(- y3)·y33-例 化简下列各式 ⑴323222----++yxy x -323222------yxy x⑵323323134428bab a b a a ++-÷(1 – 23ab)×3a例2 计算:⑴ 625625++- ⑵ 335252-++ 题型二、分数指数幂及运算性质1. 计算问题:例3 计算:313373329a a a a--÷2. 化简问题:例4 化简下列各式:⑴ 313315383327----÷÷a a a a a a⑵ (x 01x x ++-)(x2121x --)3. 带附加条件的求值问题 例5 已知a 21+ a 21-= 3,求下列各式的值:⑴ a + a 1- ⑵ a 2+ a 2-⑶21212323----aa a a数学思想方法一、化归与转化思想例6 化简:332b aab ba (a >0,b >0). 二、整体代换思想 例7 ⑴ 已知2a xx=+-2(常数),求8xx -+8的值。

创新、拓展、实践1. 数学与科技例8 已知某两星球间的距离d 1= 3.12×1034千米,某两分子间的距离d 2= 3.12×1032-米,请问两星球间距离是两分子间距离的多少倍?2. 创新应用题例9 已知a 、b 是方程x 2- 6x + 4 = 0的两根,且a >b >0,求ba b a +-的值。

高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业:第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.1.1 Word版含解析

高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业:第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.1.1 Word版含解析

第二章基本初等函数(Ⅰ)§2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景,体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义,知道实数指数幂的意义,掌握幂的运算.1.如果____________________,那么x叫做a的n次方根.2.式子na叫做________,这里n叫做__________,a叫做____________.3.(1)n∈N*时,(na)n=____.(2)n为正奇数时,na n=____;n为正偶数时,na n=______.4.分数指数幂的定义:(1)规定正数的正分数指数幂的意义是:mna=__________(a>0,m、n∈N*,且n>1);(2)规定正数的负分数指数幂的意义是:mna =_______________(a>0,m、n∈N*,且n>1);(3)0的正分数指数幂等于____,0的负分数指数幂________________.5.有理数指数幂的运算性质:(1)a r a s=______(a>0,r、s∈Q);(2)(a r)s=______(a>0,r、s∈Q);(3)(ab)r=______(a>0,b>0,r∈Q).一、选择题1.下列说法中:①16的4次方根是2;②416的运算结果是±2;③当n为大于1的奇数时,na对任意a∈R都有意义;④当n为大于1的偶数时,na只有当a≥0时才有意义.其中正确的是() A.①③④B.②③④C.②③D.③④2.若2<a<3,化简(2-a)2+4(3-a)4的结果是()A.5-2a B.2a-5 C.1D.-13.在(-12)-1、122-、1212-⎛⎫⎪⎝⎭、2-1中,最大的是()A.(-12)-1B.122-C.1212-⎛⎫⎪⎝⎭D.2-14.化简3a a的结果是()A.a B.1 2 aC.a2D.1 3 a5.下列各式成立的是()A.3m2+n2=()23m n+B.(ba)2=12a12bC.6(-3)2=()133- D.34=1326.下列结论中,正确的个数是() ①当a<0时,()322a=a3;②na n=|a|(n>0);③函数y=()122x--(3x-7)0的定义域是(2,+∞);④若100a =5,10b =2,则2a +b =1. A .0B .1 C .2D .3二、填空题 7.614-3338+30.125的值为________.8.若a >0,且a x =3,a y =5,则22y x a+=________.9.若x >0,则(214x +323)(214x -323)-412x -·(x -12x )=________. 三、解答题 10.(1)化简:3xy 2·xy -1·xy ·(xy )-1(xy ≠0);(2)计算:122-+(-4)02+12-1-(1-5)0·238-.11.设-3<x <3,求x 2-2x +1-x 2+6x +9的值.能力提升 12.化简:4133223384a a b b a-+÷(1-23b a )×3a .13.若x >0,y >0,且x -xy -2y =0,求2x -xyy +2xy 的值.1.n a n 与(na )n 的区别(1)na n 是实数a n 的n 次方根,是一个恒有意义的式子,不受n 的奇偶性限制,a ∈R ,但这个式子的值受n 的奇偶性限制:当n 为大于1的奇数时,na n =a ;当n 为大于1的偶数时,na n =|a |.(2)(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂,其中实数a 的取值由n 的奇偶性决定:当n 为大于1的奇数时,(n a )n =a ,a ∈R ;当n 为大于1的偶数时,(n a )n =a ,a ≥0,由此看只要(n a )n 有意义,其值恒等于a ,即(na )n =a . 2.有理指数幂运算的一般思路化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,灵活运用指数幂的运算性质.同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题,或利用已知的公式、换元等简化运算过程. 3.有关指数幂的几个结论 (1)a >0时,a b >0; (2)a ≠0时,a 0=1; (3)若a r =a s ,则r =s ;(4)a ±212a 12b +b =(12a ±12b )2(a >0,b >0); (5)(12a +12b )(12a -12b )=a -b (a >0,b >0).第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算知识梳理1.x n =a(n>1,且n ∈N *) 2.根式 根指数 被开方数 3.(1)a (2)a |a | 4.(1)na m (2)1a m n (3)0 没有意义5.(1)a r +s (2)a rs (3)a r b r 作业设计1.D [①错,∵(±2)4=16, ∴16的4次方根是±2; ②错,416=2,而±416=±2.] 2.C [原式=|2-a |+|3-a |, ∵2<a <3,∴原式=a -2+3-a =1.]3.C [∵(-12)-1=-2,122-=22,1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭=2,2-1=12,∵2>22>12>-2,∴1212-⎛⎫⎪⎝⎭>122->2-1>(-12)-1.] 4.B [12a =.]5.D [被开方数是和的形式,运算错误,A 选项错;(b a )2=b 2a 2,B 选项错;6(-3)2>0,()133-<0,C 选项错.故选D.]6.B [①中,当a <0时,()()3312222a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=(-a )3=-a 3,∴①不正确;②中,若a =-2,n =3,则3(-2)3=-2≠|-2|,∴②不正确; ③中,有⎩⎨⎧x -2≥0,3x -7≠0,即x ≥2且x ≠73,故定义域为[2,73)∪(73,+∞),∴③不正确; ④中,∵100a =5,10b =2,∴102a =5,10b =2,102a ×10b =10,即102a +b =10.∴2a +b =1.④正确.] 7.32解析 原式=(52)2-3(32)3+3(12)3=52-32+12=32. 8.9 5 解析 22y x a+=(a x )2·()12y a=32·125=9 5. 9.-23解析 原式=412x -33-412x +4=-23.10.解 (1)原式=()()11132122xy xyxy -⎡⎤⎢⎥⎣⎦·(xy )-1=13x ·2111136622y x yxy---=13x ·13x-=⎩⎨⎧1, x >0-1,x <0. (2)原式=12+12+2+1-22 =22-3.11.解 原式=(x -1)2-(x +3)2=|x-1|-|x+3|,∵-3<x<3,∴当-3<x<1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.∴原式=⎩⎨⎧-2x-2(-3<x<1)-4(1≤x<3).12.解原式=()111333212133338242a ab a bb a a a--÷++×13a13.解∵x-xy-2y=0,x>0,y>0,∴(x)2-xy-2(y)2=0,∴(x+y)(x-2y)=0,由x>0,y>0得x+y>0,∴x-2y=0,∴x=4y,∴2x-xyy+2xy=8y-2yy+4y=65.。

人教版数学高一 2.1.2指数函数及其性质 同步练习(新人教A版必修一)

人教版数学高一 2.1.2指数函数及其性质 同步练习(新人教A版必修一)

指数与指数函数一、选择题(每小题5分,共60分,请将所选答案填在括号内) 1.化简[32)5(-]43的结果为( )A .5B .5C .-5D .-5 2.化简46394369)()(a a ⋅的结果为( )A .a 16B .a 8C .a 4D .a 23.设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-( )A .(-1,1)B .(-1,+∞)C .),0()2,(+∞⋃--∞D .),1()1,(+∞⋃--∞4.设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ,则( )A .y 3>y 1>y 2B .y 2>y 1>y 3C .y 1>y 2>y 3D .y 1>y 3>y 2 5.当x ∈[-2,2)时,y =3-x -1的值域是( )A .[-98,8] B .[-98,8] C .(91,9) D .[91,9] 6.在下列图象中,二次函数y =ax 2+bx +c 与函数y =(ab)x 的图象可能是 ( )7.已知函数f (x )的定义域是(0,1),那么f (2x)的定义域是( )A .(0,1)B .(21,1) C .(-∞,0)D .(0,+∞)8.若122-=xa,则xx xx aa a a --++33等于( )A .22-1B .2-22C .22+1D . 2+19.设f (x )满足f (x )=f (4-x ),且当x >2 时f (x )是增函数,则a =f (1.10.9),b = f (0.91.1),c =)4(log 21f 的大小关系是( )A .a >b >cB .b >a >cC .a >c >bD .c >b >a 10.若集合}1|{},2|{-====x y y P y y M x ,则M ∩P=( )A .}1|{>y yB .}1|{≥y yC .}0|{>y yD .}0|{≥y y11.若集合S ={y |y =3x ,x ∈R},T ={y |y =x 2-1,x ∈R},则S ∩T 是 ( )A .SB .TC .∅D .有限集 12.下列说法中,正确的是( )①任取x ∈R 都有3x >2x②当a >1时,任取x ∈R 都有a x >a -x ③y =(3)-x 是增函数④y =2|x |的最小值为1⑤在同一坐标系中,y =2x 与y =2-x 的图象对称于y 轴 A .①②④B .④⑤C .②③④D .①⑤二、填空题(每小题4分,共16分,请将答案填在横线上)13.计算:210319)41()2(4)21(----+-⋅- = .14.函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3,则=a .15.函数y =121+x的值域是_ _______. 16.不等式1622<-+x x 的解集是 .三、解答题(本大题共74分,17—21题每题12分,22题14分)17.已知函数f (x )=a x +b 的图象过点(1,3),且它的反函数f -1(x )的图象过(2,0)点,试确定f (x )的解析式.18.已知,32121=+-xx 求3212323++++--x x x x 的值.19.求函数y =3322++-x x 的定义域、值域和单调区间.20.若函数y =a 2x +b +1(a >0且a ≠1,b 为实数)的图象恒过定点(1,2),求b 的值.21.设0≤x ≤2,求函数y =1224221++⋅--a a xx 的最大值和最小值.22.设a 是实数,2()()21x f x a x R =-∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数.参考答案一、选择题: BCDDA ACADC AB 二、填空题:13.619,14.2,15. (0,1) ,16.}12|{<<-x x . 三、解答题:17.解析: 由已知f (1)=3,即a +b =3 ①又反函数f -1(x )的图象过(2,0)点即f (x )的图象过(0,2)点. 即f (0)=2 ∴1+b =2 ∴b =1代入①可得a =2 因此f (x )=2x +1 18.解析:由,9)(22121=+-xx 可得x +x -1=7∵27)(32121=+-xx∴23121212333---++⋅+xx x x x x =27∴2323-+xx =18,故原式=219.解析:(1)定义域显然为(-∞,+∞).(2)uy x x x x f u 3.4)1(423)(22=∴≤--=-+== 是u 的增函数, 当x =1时,y max =f (1)=81,而y =3223++-x x >0.∴]81,0(,3304即值域为≤<u.(3) 当x ≤1 时,u =f (x )为增函数, uy 3=是u 的增函数, 由x ↑→u ↑→y ↑∴即原函数单调增区间为(-∞,1];当x >1时,u =f (x )为减函数,uy 3=是u 的增函数, 由x ↑→u ↓→y ↓∴即原函数单调减区间为[1,+∞).20.解析:∵x =-2b时,y =a 0+1=2 ∴y =a 2x +b +1的图象恒过定点(-2b,2) ∴-2b=1,即b =-2 21.解析:设2x =t ,∵0≤x ≤2,∴1≤t ≤4原式化为:y =21(t -a )2+1 当a ≤1时,y min =942,2322max 2+-=+-a a y a a ; 当1<a ≤25时,y min =1,y max =2322+-a a ; 当a ≥4时,y min =232,9422max 2+-=+-a a y a a . 22.证明:设1212,,x x R x x ∈<,则12()()f x f x -1222()()2121x x a a =---++21222121x x =-++12122(22)(21)(21)x x x x -=++, 由于指数函数2xy =在R 上是增函数,且12x x <,所以1222x x <即12220xx -<,又由20x>,得1120x +>,2120x +>,∴12()()0f x f x -<即12()()f x f x <,所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数.。

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《2.1指数函数》同步练习1 课时目标 1.提高学生对指数与指数幂的运算能力.2.进一步加深对指数函数及其性质的理解.3.提高对指数函数及其性质的应用能力.
双基演练:
1.下列函数中,指数函数的个数是( )
①y =2·3x ;②y =3x +
1;③y =3x ;④y =x 3. A .0 B .1
C .2
D .3
2.设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=2x +2x +b (b 为常数),则f (-1)等于( )
A .-3
B .-1
C .1
D .3
3.对于每一个实数x ,f (x )是y =2x 与y =-x +1这两个函数中的较小者,则f (x )的最大值是( )
A .1
B .0
C .-1
D .无最大值
4.将22化成指数式为________.
5.已知a =4
0. 2,b =80.1,c =(12)-0.5,则a ,b ,c 的大小顺序为______________. 6.已知
12x +12x -=3,求x +1x 的值.
作业:
一、选择题
1.(1222-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为( ) A . 2 B .- 2
C .22
D .-2
2
2.化简3a -b 3+a -2b 2的结果是( )
A .3b -2a
B .2a -3b
C .b 或2a -3b
D .b
3.若0<x <1,则2x ,(1
2)x ,0.2x 之间的大小关系是( )
A .2x <0.2x < (12)x
B .2x <(1
2)x <0.2x
C .(12)x <0.2x <2x
D .0.2x <(1
2)x <2x
4.若函数(2)2
()22x f x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩则f (-3)的值为( )
A .18
B .1
2
C .2
D .8
5.函数f (x )=a x -b 的图象如图所示,其中a ,b 均为常数,则下列结论正确的是(
) A .a >1,b >0
B .a >1,b <0
C .0<a <1,b >0
D .0<a <1,b <0
6.函数f (x )=4x +1
2x 的图象( )
A .关于原点对称
B .关于直线y =x 对称
C .关于x 轴对称
D .关于y 轴对称

号 2356
答 案
二、填空题
7.计算:120.064--(-14)0+160.75+120.01-=__________________________________
_. 8.已知10m =4,10n =9,则3210m n
-=________.
9.函数y =1-3x (x ∈[-1,2])的值域是________.
三、解答题
10.比较下列各组中两个数的大小:
(1)0.63.5和0.63.7;(2)(2)-1.2和(2)-1.4;
(3) 1332⎛⎫ ⎪⎝⎭和2332⎛⎫ ⎪⎝⎭;(4)π-2和(1
3)-1.3.
11.函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2,求a 的值.
能力提升
12.已知f (x )=a
a 2-1(a x -a -x )(a >0且a ≠1),讨论f (x )的单调性.
13.根据函数y=|2x-1|的图象,判断当实数m为何值时,方程|2x-1|=m无解?有一解?有两解?
反思感悟:
1.(1)根式的运算中,有开方和乘方并存的情况,此时要注意两种运算的顺序是否可换.如当a ≥0时,n a m =(n a )m ,而当a <0时,则不一定可换,应视m ,n 的情况而定.
(2)分数指数幂不能对指数随意约分.
(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数,不能同时含有分母和负指数.
2.指数函数的解析式y =a x 中,a x 的系数是1.有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y =a x +k (a >0且a ≠
1,k ∈Z );有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如y =a -x (a >0且a ≠1),因为
它可以化为y =(1a )x ,其中1a >0,且1a ≠1.
3.学习指数函数要记住图象,理解图象,由图象能说出它的性质.关键在于弄清楚底数a 对于函数值变化的影响,对于a >1与0<a <1时函数值变化的情况不同,不能混淆,为此必须利用图象,数形结合.
2.1指数函数
双基演练
1.B [只有③中y =3x 是指数函数.]
2.A [因f (x )为定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,
即1+b =0,b =-1.
所以f (-1)=-f (1)=-(2+2-1)=-3.]
3.A [当x ≤0时,f (x )=2x ;
当x >0时,f (x )=-x +1.显然,其最大值是1.]
4.23
4
解析
5.b <a <c
解析 a =20.4,b =20.3,c =20.5.
又指数函数y =2x 在R 上是增函数,
∴b <a <c .
6. 7. 作业设计
1.C [原式=122-=1
2=22.] 2.C [原式=(a -b )+|a -2b |=⎩⎪⎨⎪⎧ b , a ≤2b ,
2a -3b , a >2b .]
3.D [当0<x <1时,2x
>1,(1
2)x <1, 对于(12)x ,(0.2)x ,不妨令x =12,
则有0.5>0.2.]
4.A [f (-3)=f (-3+2)=f (-1)=f (-1+2)=f (1)=f (1+2)=f (3)=2-3
=1
8.] 5.D [f (x )=a x -b 的图象是由y =a x 的图象左右平移|b |个单位得到的,由图象可知f (x )在R 上是递减函数,所以0<a <1,由y =a x 过点(0,1)得知y =a x 的图象向左平移|b |个单位得f
(x )的图象,所以b <0.]
6.D [f (-x )=4-x +12-x =1+4x
2x =f (x ),
∴f (x )是偶函数,图象关于y 轴对称.]
7.48
5 9.[-8,2
3]
解析 因为y =3x 是R 上的单调增函数,所以当x ∈[-1,2]时,3x ∈[3-1,32],即-3x ∈
[-9,-13],所以y =1-3x ∈[-8,23].
10.解 (1)考查函数y =0.6x .因为0<0.6<1,所以函数y =0.6x 在实数集R 上是单调减函数.又因为3.5<3.7,所以0.63.5>0.63.7. (2)考查函数y = (2)x .因为2>1,所以函数y =(2)x 在实数集R 上是单调增函数.又
因为-1.2>-1.4,所以(2)-1.2>(2)-1.4. (3)考查函数y =(32)x .因为32>1,所以函数y =(32)x 在实数集R 上是单调增函数.又因为13<
23,所以1332⎛⎫ ⎪⎝⎭<2332⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
(4)∵π-2
=(1π)2<1,(13)-1.3=31.3>1, ∴π-2
<(1
3)-1.3. 11.解 (1)若a >1,则f (x )在[1,2]上递增,
∴a 2-a =a 2,
即a =3
2或a =0(舍去).
(2)若0<a <1,则f (x )在[1,2]上递减,
∴a -a 2=a
2,即a =1
2或a =0(舍去). 综上所述,所求a 的值为12或3
2.
12.解 ∵f (x )=a
a 2-1(a x -1
a x ),
∴函数定义域为R ,
设x 1,x 2∈(-∞,+∞)且x 1<x 2, 1212121221()()()(1)1110x x x x x x a f x f x a a a a a a a -=
-+-+>Q
∴当a >1时,ax 1<ax 2,a
a 2
-1>0 ∴f (x 1)-f (x 2)<0,f (x 1)<f (x 2),f (x )为增函数,
当0<a <1时,,a
a 2
-1<0 ∴f (x 1)-f (x 2)<0,f (x 1)<f (x 2),∴f (x )为增函数,
综上,f (x )在R 上为增函数.
13.
解函数y=|2x-1|的图象可由指数函数y=2x的图象先向下平移一个单位长度,然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形,如图所示.
函数y=m的图象是与x轴平行的直线,观察两图象的关系可知:
当m<0时,两函数图象没有公共点,此时方程|2x-1|=m无解;
当m=0或m≥1时,两函数图象只有一个公共点,此时方程|2x-1|=m有一解;
当0<m<1时,两函数图象有两个公共点,此时方程|2x-1|=m有两解.。

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