函数的基本性质——单调性与最大(小)值

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函数的单调性与最大(小)值-高考数学复习

1
f(x)在区间[2,6]上的最大值为 1,最小值为5.
解题心得1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最
小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)
能力形成点2
利用函数的单调性求最值
1
例3 已知函数 f(x)= .
-1
(1)判断f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解 (1)函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
证明:任取 x2>x1>1,则
1
1
f(x1)-f(x2)=
−
件都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
单调递减
结单调递增
论当函数 f(x)在它的定义域上单调当函数 f(x)在它的定义域上单调
递增时,称它是增函数
递减时,称它是减函数
图
示
结如果函数 y=f(x)在区间 I 上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f(x)
的上升或下降确定其单调性
导数法
先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间
对于由基本初等函数的和、差构成的函数,可根据各初等函数
性质法
的单调性及f(x)±g(x)的单调性进行判断
对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(
复合法
判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规

函数的基本性质

f(x1) f(x1) f(x2) f(x2) x1 x2o x2 x1 x
例1. 如图是定义在区间[-5, 5]上的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 它是增函数还是减函数? y
解: 函数的单调区
间有 [-5, -2), [-2, 1). [1, 3), [3, 5].
例题(补充). 如图是函数 y=f(x) 的图象, 其定义域为[-p, p], x0 为何值时, 有f(x)≥f(x0), 或 f(x)≤f(x0)? 函数的最大值是多少? 最小值是多少? 解: (1) 当 x0 = - p 时, f(x)≥f(x0),
2
-p y
-p 2
1
这时函数取得最小值
o
-1
[解析] 任取 x1、x2，使得－1<x1<x2<1，则 Δx＝x2－x1>0. ax1x2＋1x1－x2 Δy＝f(x2)－f(x1)＝， 2 x2 － 1 x － 1 1 2
∵－1<x1<x2<1，
2 ∴x1x2＋1>0，x2 1－1<0，x2－1<0，
Байду номын сангаас
x1x2＋1x1－x2 ∴ 2 <0， x1－1x2 － 1 2 ∴当 a>0 时，f(x2)－f(x1)<0，故此时函数 f(x)在(－1,1)上是减函数，当 a<0 时，f(x2)－f(x1)>0，故此时 f(x)在(－1,1)上是增函数．综上所述，当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数，当 a<0 时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
• 3．函数单调性在图象上的反映：若f(x)是区间A上的单调增函数，则图象在A上的部分从左向右是逐渐________ 的，若上升 f(x)是单调减函数，则图象在相应区间上从左向右是逐渐下降的． ________ 取值作差， • 4．用定义证明单调性的步骤：__________ ，________ 变形，________ 定号，________. 结论 ________

函数单调性和最大值最小值

考点二求函数的单调区间 1．求函数的单调区间 (1)利用已知函数的单调性． (2) 定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图象法：如果 f(x)是以图象给出的，或者 f(x)的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调区间． (4) 导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间．
②由 x2－3x＋2≥0 得 x≥2 或 x≤1 设 u(x)＝x2－3x＋2，则 y＝1－ u x∈(－∞，1]时，u(x)为减函数 x∈[2，＋∞)时，u(x)为增函数而 u≥0 时，y＝1－ u为减函数 ∴y＝1－ x2－3x＋2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[2，＋∞)． ③y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1) 令 y′>0 得 x>1 或 x<－1，
5．(2010 年江苏省苏北四市期末联考模拟试题)函数 y＝ x2＋2x－3的单调减区间是________．
解析：∵y＝ x2＋2x－3，∴x2＋2x－3≥0，∴x∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)， ∴y＝ x2＋2x－3的单调减区间为(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
考点一函数单调性的判断与证明
由 y′<0 得－1<x<1，
∴y＝x3－3x 的增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，减区间为(－1,1)．
1 变式迁移 2 (2010 年天津模拟)求函数 y＝log (－x2－2x 2 ＋3)的单调区间．
解析：由－x2－2x＋3>0，得－3<x<1， 1 所以函数 y＝log (－x2－2x＋3)的定义域是{x|－3<x<1}． 2 又函数 μ＝－x2－2x＋3 在区间(－3，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，由复合函数单调性的判定方法知函数 1 y＝log (－x2－2x＋3)的单调递减区间是(－3，－1)，单调递增 2 区间是(－1,1)．

3.2.2函数的基本性质单调性与最大(小)值课件高一上学期数学人教A版

问题1：已知函数y=x2+2x-3 ,且x [-03，，-22],
求函数的最值．
y
解：因为由图易知:对称轴
x0= -1[0，2]
f(x)在区间[0，2]上
-10 1 2
x
单调递增。
所以：ymin= f(0)= -3 ymax= f(2)= 5
答：函数的最小值为-3，最大值为5
例三：二次函数在闭区间上的最值
y f (x)
2 O 6
11
x
例5已知函数 f (x) 2 (x [2, 6]),求函数f (x) x 1
的最大值和最小值.
y
2
0.5
02
6x
猜想证明运用(结论)
证明: 设任意 x1, x2 [2, 6], 且 x1 x2 , 则
22
f
(x1)
f
(x2 )
x1
1
x2
1
2[(x2 1) (x1 1)] 2(x2 x1) . (x1 1)(x2 1) (x1 1)(x2 1)
h(t) 4.9(t 14.7 )2 4 (4.9) 18 14.72
2 (4.9)
4 (4.9)
当 t 14.7 1.5 时,函数h(t)有最大值 2 (4.9)
h(t ) max
h(1.5)
4 (4.9) 18 14.72 4 (4.9)
2.9
于是, 烟花冲出后 1.5s 是它爆裂的最佳时刻这时距地面的高度约为 29 m.
例三：二次函数在闭区间上的最值
问题3:已知函数y=x2 +2x-3,且x[-2，2],
求函数的最值.
解：因为由图易知：对称轴
x0=-1 [-2，2] 所以 ymin= f(-1) = -4 ;

3.2.1单调性与最大(小)值

概念学习
PART 2
知识点一增函数与减函数的定义
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1<x2
都有f(x1) < f(x2)
都有f(x1) > f(x2)
图示
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
当函数f(x)在它的定义域上单调递当函数f(x)在它的定义域上单调递
高一数学
第1课时函数的单调性
y=f(x)
MATHEMATICS
MATHEMATICS
知识引入
概念学习
例题讲解
课堂练习
课后作业
本课任务
知识引入
PART 1
知识引入
y
y = x2
(2) y 随 x 的增大而增大
y y = x3
o
x
o
x
(1)（-3;∞）上随 x 的增大而增大
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
分组讨论
此处输入简短的分组说明
PART 4
分组讨论
概念讨论
概念深入学习与理解。
请在此输入内容请在此输入内容请在此输入内容请在此输入内容请在此输入内容请在此输入内容请在此输入内容请在此输入内容
2.若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围.
2x－3>0，
解
由题意可知，5x－6>0， 2x－3<5x－6，

新教材人教版高中数学必修第一册 3-2-1-1 单调性与最大(小)值——函数的单调性教学课件

第五页，共四十一页。
2．单调性与单调区间如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间__． [ 思考] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关系，如果函数 f(x)是减函数呢？提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞ b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
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(3)由题知－－11<<12－a－a<1<1，1， 1－a>2a－1，
解得 0<a<23，即所求 a 的取值范围是
0，23.
[答案] (1)①(－∞，－4] ②－4
(2)(－4，－2) (3)0，23
第二十九页，共四十一页。
[方法技巧] (1)区间 D 是函数 f(x)的定义域的子集，x1，x2 是区间 D 中的任意两个自变量，且 x1＜x2， ①f(x)在区间 D 上单调递增，则 x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)． ②f(x)在区间 D 上单调递减，则 x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)．
第十八页，共四十一页。
题型二求函数的单调区间 [学透用活]
(1)如果函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增(减)函数，则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
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第2节函数的单调性与最大(小)值

第2节函数的单调性与最大(小)值考试要求 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间.2.函数的最值前提函数y＝f(x)的定义域为D条件(1)对于任意x∈D，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈D，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[常用结论与微点提醒]1.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数.2.函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.3.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.( )(2)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (3)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数.( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( ) 解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x 1＝－1，x 2＝1，则f (－1)＜f (1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞). (3)应对任意的x 1＜x 2，f (x 1)＜f (x 2)成立才可以.(4)若f (x )＝x ，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，但y ＝f (x )的单调递增区间是R . 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2.(老教材必修1P37例1改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A.y ＝x 12 B.y ＝2－x C.y ＝log 12xD.y ＝1x解析函数y ＝x 12在(0，+∞)上是增函数，函数y ＝2－x ，y ＝log 12x ，y ＝1x 在(0，+∞)上均是减函数. 答案 A3.(新教材必修第一册P61例5改编)函数y ＝xx －1在区间[2，3]上的最大值是________.解析函数y ＝x x －1＝1＋1x －1在[2，3]上递减，当x ＝2时，y ＝x x －1取得最大值22－1＝2.答案 24.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)解析由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间. ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞). 答案 D5.(2020·西安模拟)函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________.解析由条件知⎩⎨⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.答案 [－1，1)6.(2020·青岛二中月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________.解析当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2. 答案 2考点一确定函数的单调性(区间)【例1】 (1)函数y ＝log 12(－x 2＋x ＋6)的单调增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 C.(－2，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2，3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝log 12t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，故选A.答案 A(2)(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性. 解法一设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增. 法二 f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图像不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图像法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.解析由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g (x )的递减区间是[0，1). 答案 [0，1)(2)判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在x ∈[1，2]上的单调性.解 f (x )在[1，2]上单调递增，证明如下：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，2<x 1＋x 2<4. 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上单调递增. 考点二求函数的最值【例2】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12B.14C.2D.4(2)(2020·九江一中月考)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________. 解析 (1)f (x )＝a x ＋log a x 在[1，2]上是单调函数，所以f (1)＋f (2)＝log a 2＋6，则a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，即(a －2)(a ＋3)＝0，又a >0，所以a ＝2.(2)法一在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )的图像，依题意，h (x )的图像如图所示的实线部分. 易知点A (2，1)为图像的最高点，因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二依题意，h (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，因此h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1. 答案 (1)C (2)1规律方法求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【训练2】 (1)定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ，2x －3，6－x }，则M 的最小值是( ) A.2B.3C.4D.6(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (x )的最小值是________.解析 (1)画出函数M ＝{2x ，2x －3，6－x }的图像(如图)，由图可知，函数M 在A (2，4)处取得最小值22＝6－2＝4，故M 的最小值为4.(2)当x ≤1时，f (x )＝x 2的最小值为0，当x >1时，f (x )＝x ＋6x －6≥26－6(当且仅当x ＝6时，取“＝”). 由于26－6<0，所以f (x )min ＝26－6. 答案 (1)C (2)26－6 考点三函数单调性的应用多维探究角度1 利用单调性比较大小【例3－1】已知函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c解析因为f (x )的图像关于直线x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减.又1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，即f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>f (e)，故b >a >c . 答案 D角度2 求解函数不等式【例3－2】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0.则满足f (x ＋1)<f (2x )的x的取值范围是( ) A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)解析当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图像如图所示，结合图像知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎨⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0.答案 D角度3 求参数的值或取值范围【例3－3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π(2)如果函数f (x )＝⎩⎨⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________.解析 (1)∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数.所以⎩⎨⎧2－a >0，a >1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a <2. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2规律方法 1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”.3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图像的升降，再结合图像求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.【训练3】 (1)(角度2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e －x ，x ≤0，－x 2－2x ＋1，x >0，若f (a －1)≥f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 (2)(角度1)(2019·全国Ⅲ卷)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32)>f (2－23) B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23)>f (2－32) C.f (2－32)>f (2－23)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D.f (2－23)>f (2－32)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314(3)(角度3)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A.(－1，0)∪(0，1)B.(－1，0)∪(0，1]C.(0，1)D.(0，1]解析 (1)作出函数f (x )的图像如图所示，知函数f (x )在R 上是减函数，由f (a －1)≥f (－a )，得a －1≤－a ，解得a ≤12.(2)因为f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34).又因为log 34>1>2－23>2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (log 34)< f (2－23)<f (2－32).即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314<f (2－23)<f (2－32).(3)因为f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1，2]上为减函数，所以由其图像得a ≤1.g (x )＝a x ＋1，g ′(x )＝－a（x ＋1）2，要使g (x )在[1，2]上为减函数，需g ′(x )<0在[1，2]上恒成立，故有－a <0，因此a >0.综上可知0<a ≤1. 答案 (1)A (2)C (3)DA 级基础巩固一、选择题1.(2019·唐山调研)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( ) A.是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C.是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D.是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析 f (－x )＝(－x )(e －x ＋e x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x － e －x )，当x >0时，e x －e －x >0，e x ＋e －x >0，所以f ′(x )>0.故f (x )在(0，＋∞)上是增函数. 答案 A2.(2020·合肥模拟)已知函数f (x )在R 上单调递减，且a ＝33.1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13π，c ＝ln 13，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A.f (a )>f (b )>f (c ) B.f (b )>f (c )>f (a ) C.f (c )>f (a )>f (b )D.f (c )>f (b )>f (a )解析因为a ＝33.1>30＝1，0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13π<⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1，c ＝ln 13<ln 1＝0，所以c <b <a ，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (c )>f (b )>f (a ). 答案 D3.已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1)D.(－3，－1]解析令g (x )＝－x 2－2x ＋3，由题意知g (x )>0，可得－3<x <1，故函数的定义域为{x |－3<x <1}.根据f (0)＝log a 3<0，可得0<a <1，又g (x )在定义域(－3，1)内的减区间是[－1，1)，∴f (x )的单调递增区间为[－1，1). 答案 C4.函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A.(1，2)B.(－1，2)C.[1，2)D.[－1，2)解析函数y ＝2－x x ＋1＝3－（x ＋1）x ＋1＝3x ＋1－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f (2)＝0，所以n ＝2.根据题意，x ∈(m ，n ]时，y min ＝0. ∴m 的取值范围是[－1，2). 答案 D5.(2020·福州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋（4a －3）x ＋3a ，x <0，log a （x ＋1）＋1，x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 解析由分段函数f (x )在R 上单调递减，可得0<a <1，根据二次函数图像及性质，可得－4a －32≥0，解得a ≤34，又由3a ≥log a (0＋1)＋1得3a ≥1，解得a ≥13. ∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34.答案 C 二、填空题6.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.解析 y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，函数的大致图像如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，127.设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________. 解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a ，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数， ∴⎩⎨⎧2a 2－1>0，－2a ≤－2，即⎩⎨⎧2a 2－1>0，a ≥1，即a ≥1.答案 [1，＋∞)8.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________. 解析作函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4. 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0). (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值.(1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，易得a ＝25. 10.已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论； (3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的范围. 解 (1)f (0)＝a －220＋1＝a －1. (2)f (x )在R 上单调递增.证明如下：∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝2·（2x 1－2x 2）（1＋2x 1）（1＋2x 2）， ∵y ＝2x 在R 上单调递增且x 1<x 2，∴0<2x 1<2x 2，∴2x 1－2x 2<0，2x 1＋1>0，2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在R 上单调递增.(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1. ∴f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)，又∵f (x )在R 上单调递增，∴x <2. ∴x 的取值范围是(－∞，2).B 级能力提升11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析 ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图像是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1. 答案 D12.(2020·皖东名校联盟联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋m ，x <e ，x －ln x ，x ≥e的值域是[e －1，＋∞)，其中e 是自然对数的底数，则实数m 的最小值是________. 解析当x ≥e 时，(x －ln x )′＝1－1x >0，此时函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递增，值域是[e －1，＋∞).当x <e 时，y ＝－12x ＋m 是减函数，其值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞⊆[e －1，＋∞).于是－e 2＋m ≥e －1，解得m ≥3e2－1，故实数m 的最小值是3e2－1.答案 3e 2－113.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1. (1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0，3]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由⎩⎨⎧x 2－1>0，1<x 2－1<3，解得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为{x |－2<x <－2或2<x <2}. (2)∵函数f (x )在(0，3]上是增函数， ∴f (x )在(0，3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0，3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1，1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1，1]恒成立. 设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1，1]， ∴需满足⎩⎨⎧g （－1）≥0，g （1）≥0，即⎩⎨⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).C 级创新猜想14.(多填题)(2019·北京卷)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数).若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________. 解析若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即e －x ＋a e x ＝－(e x ＋a e －x )，即(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0对任意的x 恒成立，所以a ＝－1.若函数f(x)＝e x＋a e－x是R上的增函数，则f′(x)＝e x－a e－x≥0恒成立，所以a≤e2x恒成立，则有a≤0，即a的取值范围是(－∞，0].答案－1(－∞，0]。

3.2 函数的基本性质(课时1 函数的单调性)优秀公开课获奖课件高一数学

6－4a，a<2， ∴f(x)min＝ 2－a2，2≤a≤4，
18－8a，a>4.
经典例题
跟踪训练3
题型三求二次函数的最值
已知函数 f(x)＝x－2 x－3，求函数 f(x)的最值．
解：设 x＝t(t≥0)，则 x－2 x－3=t2－2t－3. y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当 t＝1 即 x＝1 时，f(x)min＝－4，无最大值．
的最大值为________．
－x2＋2，x<1
2 解析：当 x≥1 时，函数 f(x)＝1x为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值，为 f(1)＝1；当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2. 故函数 f(x)的最大值为 2.
当堂达标
解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2＋1，当 0<a<4 时，f(x)在[－4，a]上是减函数，在[a,4]上是增函数．又 f(－4)＝9a＋17，f(4)＝17－7a，f(－4)>f(4)．所以 f(x)的最大值为 f(－4)＝9a＋17. 当 a≥4 时，f(x)在[－4，4]上是减函数，所以 f(x)的最大值为 f(－4)＝9a＋17. 综上，在[－4,4]上函数的最大值为 9a＋17.
4.函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________.
4 解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数，所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14，所以 b＝4.
当堂达标
5．求函数 f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a>0)在[－4,4]上的最大值．

函数的单调性与最大(小)值PPT课件

∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数. 又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故
f(x)在[-1,1]上是增函数. (3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处
可取得最大值. ∴f(1)=， ∴函数的最大值为 ,无最小值.
x≤1,
.是
,
上的减函数, 那么a的取值范围是(
)
A.(0,1)
C.
1 7
,
1 3
B.
0,
1 3
D.
1 7
,1
[错解]依题意应有
3a 1 0, 0 a 1,
解得0
a
1 3
,
选B.
[剖析] 本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函数
在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-∞,1]上的最小值
【典例2】利用定义判断函数f x x x2 1在区间
R上的单调性.
[错解]设x1, x2 R,且x1 x2 ,则f x2 f x1
(x2 x22 1) (x1 x12 1)
x2 x1 ( x22 1 x12 1),
因为x1 x2 ,则x2 x1 0,且 x22 1 x12 1 0,
(2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解,导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.
错源一不注意分段函数的特点
【典例1】已知f
x
(3a 1)x 4a, logax, x 1

高一数学必修一教案 3.2 函数的基本性质

3．2 函数的基本性质3．2.1 单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是；(2)不能．知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．1．如果f (x )在区间[a ，b ]和(b ，c ]上都是增函数，则f (x )在区间[a ，c ]上是增函数．( × ) 2．函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)．( √ )3．若函数y ＝f (x )在定义域上有f (1)<f (2)，则函数y ＝f (x )是增函数．( × )4．若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数，则函数y ＝－f (x )在区间D 上是减函数．( √ )一、函数单调性的判定与证明例1 根据定义，研究函数f (x )＝axx －1在x ∈(－1,1)上的单调性．解当a ＝0时，f (x )＝0，在(－1,1)上不具有单调性，当a ≠0时，设x 1，x 2为(－1,1)上的任意两个数，且x 1<x 2，所以f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 1－1－ax 2x 2－1＝ax 1x 2－1－ax 2x 1－1x 1－1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1因为x 1，x 2∈(－1,1)且x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，所以x 2－x 1x 1－1x 2－1>0，当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(－1,1)上单调递减，当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1,1)上单调递增．综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤跟踪训练1 求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．证明对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．二、求单调区间并判断单调性例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．(2)作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图象如图所示，由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． ②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．跟踪训练2 (1)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________．答案 (－∞，1)，(1，＋∞)解析方法一 y ＝1x －1的图象可由y ＝1x的图象向右平移一个单位得到，如图，所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．方法二函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，设x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1x 1－1x 2－1.因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．(2)函数y ＝|x 2－2x －3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解 y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．三、单调性的应用例3 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－3]解析 f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的开口方向向上，对称轴为x ＝1－a ， ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数， ∴4≤1－a ， ∴a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析因为y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，所以1－a <2a －1，即a >23，所以所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞. 延伸探究在本例(2)中，若将定义域R 改为(－1,1)，其他条件不变，则a 的范围又是什么？解由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1.解得0<a <1.①因为f (x )在(－1,1)上是增函数，且f (1－a )<f (2a －1)，所以1－a <2a －1，即a >23.②由①②可知，23<a <1，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.反思感悟函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a 的取值范围．解函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．1．函数y ＝6x的减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 C2．函数f (x )在R 上是减函数，则有( ) A ．f (3)<f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)>f (5) D ．f (3)≥f (5)答案 C解析因为函数f (x )在R 上是减函数，3<5，所以f (3)>f (5)． 3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上( )A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减答案 C解析因为y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.作出y ＝|x ＋2|的图象，如图所示，易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．4．若f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋2的单调增区间为[3，＋∞)，则a 的值是________．答案－1解析 ∵f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋2的单调增区间为[2－a ，＋∞)， ∴2－a ＝3，∴a ＝－1.5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.1．知识清单：(1)增函数、减函数的定义． (2)函数的单调区间． 2．方法归纳：数形结合法．3．常见误区：函数的单调区间不能用并集．1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性答案 C解析单调区间不能用“∪”连接．2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x ＋1|答案 B解析 y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数．3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( ) A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－12答案 C4．若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a 2)答案 D解析因为f (x )是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a 2＋1>a 2，所以f (a 2＋1)<f (a 2)．故选D.5．已知函数y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( ) A ．减函数且f (0)<0 B ．增函数且f (0)<0 C ．减函数且f (0)>0 D ．增函数且f (0)>0答案 A解析因为y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________．答案 (－∞，1)解析当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，2]解析因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2. 8．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________．考点函数单调性的应用题点利用单调性解抽象函数不等式答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，故满足条件的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 9．已知函数f (x )＝2－x x ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．证明任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1x 1＋1－2－x 2x 2＋1＝3x 2－x 1x 1＋1x 2＋1. 因为x 2>x 1>－1，所以x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，因此f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．10．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0的图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．11．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性答案 D解析函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．12．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( ) A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2) 答案 A解析对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x －1，x ≤1.若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 [4,8) 解因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 2>0，4－a 2－1≤1，解得4≤a <8. 14．函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 ①a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在R 上单调递减，∴a ＝0满足条件；②a ≠0时，f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1，对称轴为x ＝－a －32a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，－a －32a ≤－1，解得－3≤a <0.由①②得－3≤a ≤0，故a 的取值范围是[－3,0]．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)答案 A 解析画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2.16．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1.因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋a x 1x 2>0，即a >－x 1x 2. 因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1.所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．。

3.2.1+单调性与最大(小)值(共2课时)高一数学优秀课件(人教A版2019必修第一册)

【答案】(−∞, 1)和
3
2
,2
【解析】当 ≥ 2或 ≤ 1时， ( ) = 2 − 3 + 2，
3
对称轴为 = 2 ，
当1 < < 2时， ( ) = − 2 + 3 − 2，对称轴为
3
= 2，
作出 ( )的图象如图所示，
3
由图可知 ( )单调递减区间为(−∞, 1) 和 ( 2 , 2)，
(2)用定义法证明：在 2,6 上单调递增；
【解析】（1）函数 =
2−3
有意义，则
−1
− 1 ≠ 0，
即 ≠ 1，
所以函数 =
2 −3
的定义域为
−1
−∞, 1 ⋃ 1, +∞ .
（2）任取2 ≤ 1 < 2 ≤ 6，
2 − 1 =
2 2 −3
区间D为f(x)的单调递减区间.
图
示
注意：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.
新知：单调性的定义
问题2：(1)设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且∀1 ，2 ∈ ，当1 < 2 时，
则 1 − 2 =
= 1 − 2 +
= 1 − 2

1
1−
∵ 0 < 1 < 2 <
，

1
−
+ 1 −

2

1 2

2
∵
− 2
= 1 − 2 +
= 1 − 2

高中数学3-2函数的基本性质3-2-1单调性与最大小值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册

上是增函数，则f (m)与f (1)的大小关系是(
A．f (m)<f (1)
C．f (m)≤f (1)
B
)
B．f (m)>f (1)
√
D．f (m)≥f (1)
∵函数f (x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，∴m－1>0，解得m>1，
则f (m)> f (1)，故选B．
− 2 + 4， ≤ 1，
1

• (1)f (x)＝－；
[解] 函数f
1
(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，

0)，(0，＋∞)上都是单调递增的．
2 + 1， ≥ 1，
• (2)f (x)＝ቊ
5 − ， < 1；
[解] 当x≥1时，f (x)是增函数，当x<1时，f (x)是减函数，所以f (x)
(2a－1)，求实数a的取值范围．
思路导引： 1 − < 2 − 1
建立的不等关系

在定义域 −1，1 上
是减函数
−1 < 1 − < 1，
2
• [解] 由题意知ቐ−1 < 2 − 1 < 1，解得0<a< ，
3
1 − > 2 − 1，
• 即所求a的取值范围是 0，
• 知识点1 增函数与减函数的定义
函数
增函数
减函数
图示
条件
设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，
f (x1)<f (x2)
都有___________
f (x1)>f (x2)

函数四大基本性质

函数的基本性质一、函数的单调性作用：比较大小，解不等式，求最值。

定义：略定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.定理2：（导数法确定单调区间）若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法 2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。

3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅： (1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时， ①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同， ②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么： ①1()()()F x f x g x =+的增减性不能确定；②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠为增函数，5()()(()0)()g x F x f x f x =≠为减函数。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解10---单调性与最大(小)值

高一数学复习考点知识与题型专题讲解第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值【考点梳理】重难点：单调性考点一：增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．考点二：二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．重难点：函数的最大(小)值考点一函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②函数y＝f(x)图象上最低点的纵∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M坐标考点二求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )． (2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．【题型归纳】题型一：函数单调性的判定与证明1．（2021·高平市第一中学校高一开学考试）已知函数()2a f x x x =-，且1()2f ＝3. （1）求a 的值；（2）判断函数f (x )在[1，+∞)上的单调性，并证明．2．（2020·金华市云富高级中学高一月考）（1）求证：y =-x ²+1在区间[0，+∞)上为减函数. （2）画出函数y =-x ²+2|x |+3的图像，并指出函数的单调区间.3．（2021·上海高一专题练习）已知函数()()0x af x a ax-=>．证明：函数()y f x =在()0,∞+上严格增函数.题型二：根据函数的单调性求参数范围4．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）若函数2()2(1)2f x x a x =+-+，在(],5-∞上是减函数，则a 的取值范围是（）A ．(],5-∞-B ．[)5,+∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞-5．（2021·全国高一单元测试）已知函数25,1(),1x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．[)3,0-B ．(],2-∞- C ．[]3,2--D ．(),0-∞ 6．（2021·全国）函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞题型三：复合函数的单调性7．（2021·全国）函数23s x x =+的单调递减区间为（） A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞- 8．（2021·全国）以下函数在其定义域上为增函数的是（） A ．1(0)x y x x +=>B ．2(0)y x x x =+> C ．1y x =-D ．2y x =-9．（2020·黑龙江鹤岗一中）函数()212x f x x=-的单调递增区间是（）A ．(,1]-∞B ．(,0)-∞，(0,1)C ．(,0)(0,1)-∞D ．(1,)+∞题型四：根据函数的单调性解不等式10．（2020·沧源佤族自治县民族中学高一月考）设a R ∈，已知函数()y f x =是定义在[]4,4-上的减函数，且()()12f a f a +>，则a 的取值范围是（） A ．[)4,1-B ．(]1,4C ．(1,2]D ．[]5,2-11．（2020·淮北市树人高级中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（）A ．1233⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎛⎫⎪⎝⎭，D ．1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，12．（2020·江苏省板浦高级中学高一月考）已知奇函数()f x 在(),0-∞上单调递增的，且()30f =，则不等式()()10x f x ->的解集为（）A ．()3,1--B ．()()3,12,--+∞C ．()()3,03,-⋃+∞D ．()(),33,(0,1)-∞-+∞．题型五：根据函数的单调性求值域13．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）函数()12f x x x=-在区间[]1,2上的最小值是（）A ．72-B ．72C ．1D ．-114．（2021·全国高一单元测试）若“[1x ∃∈，2]，使2210x x λ--<成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（）A ．(-∞，7]2B ．3[2，7]2C ．(-∞，1]D ．7[2，)+∞ 15．（2021·上海高一专题练习）已知函数()1[]226f x x x ∈-＝（，），则f (x )的最大值为（）． A ．13B ．12C ．1D ．2题型六：根据函数的值域求参数范围 16．（2021·浙江）若函数()2=1x mf x x ++在区间[]0,1上的最大值为52，则实数m =（）A ．3B ．52C ．2D ．52或317．（2020·宜城市第三高级中学）函数2y ax =+在[1，2]上的最大值与最小值的差为3，则实数a 为（） A ．3B ．-3C ．0D ．3或-3 18．（2020·湖北）已知函数()()212,02,0a x a x f x x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩有最小值，则a 的取值范围是（）A ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦题型七：函数不等式恒成立问题19．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）函数211()()1x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意的*N x ∈，()3f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（）A ．8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,-+∞20．（2021·全国高一单元测试）设二次函数()2f x x ax b =++，若存在实数a ，对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，使得不等式()f x x <成立，则实数b 的取值范围是（） A ．1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,34⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．19,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．19,34⎛⎫- ⎪⎝⎭21．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）若函数243y kx kx =++对任意x ∈R 有0y >恒成立，则实数k 的取值范围为（） A ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【双基达标】一、单选题22．（2019·云南省楚雄天人中学高一月考）函数()21f x x =-，[)1,1x ∈-，则()f x 的值域为（）A ．{}3,1-B ．(]3,1-C ．[]3,1-D ．[)3,1-23．（2021·沧源佤族自治县民族中学高一期末）已知函数4,(,]1xy x a b x +=∈+的最小值为2，则a 的取值范围是（） A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．[1,2)D ．[1,2)-24．（2020·内蒙古杭锦后旗奋斗中学）若函数()()2211f x x a x =+-+在(],2-∞上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．)5,2⎡-+∞⎢⎣D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦25．（2020·杭州之江高级中学高一期中）函数()11f x x =+中，有（） A ．()f x 在()1,-+∞上单调递增B ．()f x 在()1,+?上单调递减 C ．()f x 在()1,+?上单调递增D ．()f x 在()1,-+∞上单调递减26．（2021·全国高一专题练习）已知f (x )＝x ，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝(),()(),(),()(),g x f x g x f x f x g x ≥⎧⎨<⎩则F (x )的最值情况是（）A ．最大值为3，最小值为－1B ．最小值为－1，无最大值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值27．（2021·全国高一专题练习）设偶函数f (x )在区间(-∞，-1]上单调递增，则（） A ．3()2f -<f (-1)<f (2)B ．f (2)<3()2f -<f (-1) C ．f (2)<f (-1)<3()2f -D ．f (-1)<3()2f -<f (2)28．（2021·全国高一专题练习）甲：函数()f x 是R 上的单调递减函数；乙：()()1212x x f x f x ∃<>,，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件29．（2021·全国高一课前预习）当0x >时，()31x k k x +≥+，则k 的取值范围为（）A ．{}2B ．(]0,2C ．(],2-∞D ．[)2,+∞ 30．（2021·全国高一专题练习）已知(31)4,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,,73⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【高分突破】一：单选题31．（2021·全国）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)32．（2021·全国高一单元测试）函数()()2213f x x m x =-+-+在区间(]3,4-上单调递增，则m的取值范围是有（）A ．[3,)-+∞B ．[3,)+∞C ．(,5]-∞D ．(,3]-∞- 33．（2021·全国高一专题练习）已知函数()21xf x x=+的定义域为[)2,+∞，则不等式()()22228f x f x x +>-+的解集为（）A ．5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)2,3C ．(),3-∞D ．()3,+∞34．（2021·全国高一专题练习）已知函数()f x 在R 上为增函数，若不等式()2()43f x a f x ≥-+--对(]0,3x ∀∈恒成立，则a 的取值范围为（）A ．[)1,-+∞B ．()3,+∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞35．（2021·全国高一专题练习）已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩则不等式()()324f x f x +<-的解集为（） A ．(),3-∞-B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．(),1-∞36．（2021·全国高一专题练习）在R 上定义运算：a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若不等式1211x a a x --⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为（） A ．12-B ．32-C ．12D ．32二、多选题37．（2021·全国高一课时练习）下列函数中满足“对任意x 1，x 2∈（0，＋∞），都有1212()()f x f x x x--＞0”的是（）A ．f （x ）＝－2xB ．f （x ）＝－3x ＋1C ．f （x ）＝x 2＋4x ＋3D ．f （x ）＝x －1x38．（2021·全国高一专题练习）已知函数()21f x x =-+（[]2,2x ∈-），2()2gx x x =-，（[]0,3x ∈），则下列结论正确的是（）A ．[]2,2x ∀∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-B ．[]2,2x ∃∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-C ．[]0,3x ∃∈，()g x a =，则实数a 的取值范围是[]1,3-D ．[]2,2x ∀∈-，[]0,3t ∃∈，()()f x g t =39．（2021·全国高一单元测试）给出下列命题，其中错误的命题是（） A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,4； B ．函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞⋃+∞；C ．已知函数()f x 是定义域上减函数，若()()f m f n >，则m n <；D ．两个函数11y x x =+⋅-，21y x =-表示的是同一函数.40．（2021·全国高一课时练习）函数()f x 的定义域为R ，对任意的1x ，2x ∈R 都满足()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，下列结论正确的是（）A ．函数()f x 在R 上是单调递减函数B ．()()()212f f f -<<C ．()()12f x f x +<-+的解为12x <D ．()00=f三、填空题41．（2020·金华市云富高级中学高一月考）函数y =1x -+3x +的最大值为__________. 42．（2021·浙江杭州市·学军中学高一竞赛）若函数()|21|||2f x x x a =++--的定义域为R ，则a 的取值范围是_____________． 43．（2021·全国高一课时练习）函数232()(20)3x x f x x x ++=-<<+的值域为______ 44．（2021·广东潮州·高一期末）已知函数()223f x x ax =-+在区间[]28,是单调递增函数，则实数a 的取值范围是______．45．（2020·杭州之江高级中学高一期中）已知函数()()25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．四、解答题46．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）已知函数2()4.f x x x =- （1）证明函数()f x 在区间[)2,+∞上的单调性；（2）若函数()f x 在区间[0,5]上的最大值为M ，最小值为m ，求mM的值.47．（2019·罗平县第二中学高一期中）设函数()21x f x x +=-. （1）用函数单调性定义证明：函数()f x 在区间()1,+?上是单调递减函数；（2）求函数()f x 在区间[]3,5上的最大值和最小值.48．（2019·长沙市南雅中学高一月考）设函数()22f x mx mx =--.（1）若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围.49．（2021·全国高一专题练习）定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且当1x >时，()0f x <．（1）求()1f ；（2）证明()f x 在(0,)+∞上单调递减；（3）若关于x 的不等式()(3)(931)1x x x f k f f --+≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案详解】1．【详解】(1)函数()2a f x x x =-中，因1()2f =3，则12232a ⋅-=，解得1a =-，所以a 的值是1-；(2)由(1)知：1()2f x x x=+，f (x )在[1，+∞)上的单调递增，12,[1,)x x ∀∈+∞，且12x x <，12112121221112(2)()(()(2))x x x x x x x x f x f x +-+=---=，因211x x >≥，则120x x -<，且12120->x x ，即有12())0(f x f x -<，12()()f x f x <，所以f (x )在[1，+∞)上的单调递增. 2．【详解】（1）证明：设任意0≤x 1<x 2，则y 1−y 2=x 22−x 21=(x 2−x 1)(x 2+x 1)>0，21210,0x x x x ->+>∴y 1>y 2，∴函数y =−x ²+1在区间[0，+∞)上是减函数. （2）作出函数图象如图所示：增区间为：(−∞，−1)，(0，1)，减区间为：(−1，0)，(1，+∞). 3．任取120x x <<，所以()()1212121212x a x a x xf x f x ax ax x x ----=-=，因为120x x <<，所以12120,0x x x x <->，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以函数()y f x =在()0,∞+上严格增函数. 4．D 【详解】因为()f x 的对称轴为1x a =-且开口向上，且在(],5-∞上是减函数，所以15a -≥，所以4a ≤-，故选：D. 5．C 【详解】解：若25,1(),1x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则应满足21201151a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤，即[]3,2a ∈--. 故选：C 6．B 【详解】1(2)2112()222ax a x a af x a x x x ++-+-===++++，依题意有120a -<，即12a >，所以实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：B. 7．D 【详解】由230x x +≥得3x ≤-或0x ≥，即函数23s x x =+的定义域为(][),30,-∞-⋃+∞，又二次函数23t x x =+的图象的对称轴方程为32x =-，所以函数23t x x =+（x ∈(][),30,-∞-⋃+∞）在区间(],3-∞-上单调递减，在区间[)0,+∞上单调递增，又函数(0)y t t =≥为增函数，所以23s x x =+的单调递减区间为(],3-∞-．故选：D 8．B 【详解】解：对于A 选项，111(0)x y x x x +==+>，由于反比例函数()10y x x=>为减函数，故1(0)x y x x+=>为减函数，A 选项错误；对于B 选项，2(0)y x x x =+>的对称轴为102x =-<，开口向上，故2(0)y x x x =+>为增函数，B 选项正确；对于C 选项，由于()11y x x =-≤上是减函数，故由复合函数的单调性得1y x =-为定义域(],1-∞上的减函数，C 选项错误；对于D 选项，2y x =-为减函数，故D 选项错误. 故选：B. 9．B 【详解】由220t x x =-≠，可知函数22t x x =-开口向上，对称轴x 1=，x 0≠且x 2≠．因为函数22t x x =-在区间(,0)-∞，(0,1)上单调递减，所以原函数() f x 的单调递增区间(,0)-∞，(0,1)．故选:B ． 10．C 【详解】∵函数()y f x =是定义在[]4,4-上的减函数，且()()12f a f a +>， ∴4124a a -+<≤≤，解得12a <≤，故选：C ． 11．A 【详解】因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x =，所以()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价于()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以1213x -<，即112133x -<-<，解得：1233x <<，所以原不等式的解集为1233⎛⎫⎪⎝⎭，，故选：A. 12．D 【详解】因为奇函数()f x 在(),0-∞上单调递增的，且()30f =，所以奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增的，且()3(3)0f f -==，所以有：（1）当0x >时，因为()30f =，所以当3x >时，()0f x >，当03x <<时，()0f x <，当1x >时，由()()10()03x f x f x x ->⇒>⇒>，当01x <<时，由()()10()03x f x f x x ->⇒<⇒<，所以01x <<，（2）当0x <时，因为()30f -=，所以当03x >>-时，()0f x >，当3x <-时，()0f x <，因此由()()10()03x f x f x x ->⇒<⇒<-，综上所述：由()()10x f x ->⇒()(),33,(0,1)-∞-+∞，故选：D 13．A 【详解】∵函数()f x 在[]1,2上为减函数， ∴()()min 1722222f x f ==-⨯=-. 故选：A. 14．C 【详解】解：若“[1x ∃∈，2]，使得2210x x λ--<成立”是假命题，即“[1x ∃∈，2]，使得12x x λ>-成立”是假命题，故[1x ∀∈，2]，12x x λ-…恒成立，令1()2f x x x=-，[1x ∈，2]，所以()f x 是增函数（增函数+增函数=增函数），所以min ()(1)1f x f ==，1λ∴…，故选：C ． 15．D 【详解】因为2y x ＝在()0+∞，上单减，所以21y x -＝在()1+∞，上单减，即21y x -＝在[]2,6上单减，所以f (x )的最大值为()22=221f -＝. 故选：D 16．B 【详解】函数()21x m f x x +=+，即()221m f x x -=++，[]0,1x ∈，当2m =时，()2f x =不成立；当20m ->，即2m >时，()f x 在[]0,1递减，可得()0f 为最大值，即()05012m f +==，解得52m =成立；当20m -<，即2m <时，()f x 在[]0,1递增，可得()1f 为最大值，即()25122m f +==，解得3m =不成立；综上可得52m =．故选：B ． 17．D 【详解】解：①当0a =时，2=2y ax =+，不符合题意；②当0a >时，2y ax =+在[]1,2上递增，则()()2223a a +-+=，解得3a =； ③当0a <时，2y ax =+在[]1,2上递减，则()()2223a a +-+=，解得3a =-．综上，得3a =±，故选：D ． 18．C 【详解】如图所示可得：10,21,a a -<⎧⎨≥-⎩或10a -=，解得：1,12a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选：C.19．A 【详解】对任意*x ∈N ，()3f x ≥恒成立，即21131x ax x ++≥+恒成立，即知83a x x ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭．设8()g x x x =+，*x ∈N ，则(2)6g =，17(3)3g =．∵(2)(3)g g >，∴min 17()3g x =， ∴8833x x ⎛⎫-++≤- ⎪⎝⎭，∴83a ≥-，故a 的取值范围是8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．故选：A. 20．D 【详解】由题意，对于任意1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()f x x <成立，所以1b x a x ++<即11b x a x -<++<对于任意1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以只需()1,,22b g xx x x ⎡⎤=+⎢⎣∈⎥⎦的最大值与最小值的差小于2即可，当4b ≥时，()g x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()()1113222122222g g b b b ⎛⎫-=+--=-< ⎪⎝⎭，解得73b <，不合题意；当14b ≤时，()g x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()()1321222g g b ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以1,341b ⎛⎤ ⎥⎝-⎦∈；当144b <<时，()g x 在1,2b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2b ⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()()()222221122222b g g b b g g b b b ⎧-=+-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，所以19,44b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，综上，19,34b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.21．A 【详解】由题意，函数243y kx kx =++对任意x ∈R 有0y > （1）当0k =时，30y =>成立；（2）当0k ≠时，函数为二次函数，若满足对任意x ∈R 有0y >，则2030161204k k k k >⎧∴<<⎨∆=-<⎩综上：30,4k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：A 22．D 【详解】因为函数()21f x x =-，在[)1,1x ∈-上递增，所以()f x 的值域为[)3,1-，故选：D 23．D 【详解】由41331111x x y x x x +++===++++作出图象，如图，由图象可得要取得最小值2，则1a ≥-；∵在区间(,]a b 上单调递减，则x b =时，取得最小值为2，即311b =+，可得2b =， ∴a 的取值范围为[1,2)-24．B 【详解】函数()()2211f x x a x =+-+的单调递减区间是21(,]2a --∞-，依题意得(]21,2(,]2a --∞⊆-∞-，于是得2122a --≥，解得32a ≤-，所以实数a 的取值范围是3(,]2-∞-. 故选：B 25．D 【详解】解：函数1y x =的图象向左平移1个单位可得函数11y x =+的图象，因为函数1y x =在(),0-?和()0,+?上单调递减，则函数11y x =+在(),1-∞-和()1,-+∞上单调递减．故选：D ． 26．D 【详解】由f (x )≥g (x )得0≤x ≤3；由f (x )<g (x )，得x <0，或x >3，所以()2,02,03,3x x F x x x x x x <⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩易得F (x )无最大值，无最小值．故选：D 27．B 【详解】因函数f (x )为偶函数，于是有f (-x )=f (x )，从而得f (2)=f (-2)，又f (x )在区间(-∞，-1]上单调递增，且-2<32-<-1，所以f (2)=f (-2)<3()2f -<f (-1). 故选：B 28．A 【详解】函数()f x 是R 上的单调递减函数，则1212,()()∃<>x x f x f x ，由减函数定义知，此命题是真命题，即命题：“若甲则乙”是真命题；反之，()()1212x x f x f x ∃<>,，则函数()f x 是R 上的单调递减函数，条件与减函数定义不符，即命题：“若乙则甲”是假命题，所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 29．A 【详解】解：不等式()31x k k x +≥+可化为()()()211x x x k x -+≥-．当01x <<时，2k x x ≥+，可得 2k ≥；当1x =时，00≥，k ∈R ；当1x >时，2k x x ≤+，可得 2k ≤．综上，k 的取值范围为{}2．故选：A ． 30．C 【详解】因为函数(31)4,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩是定义在R 上的减函数，所以310,31411a a a -<⎧⎨-+≥-+⎩，解得1173a ≤<.所以实数a 的取值范围为11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C. 31．C 【详解】解：根据题意，函数221()11()ax a x a a a f x a x a x a x a--+--===+---，若()f x 在区间(2,)+∞上单调递减，必有2102a a ⎧->⎨⎩…，解可得：1a <-或12a <…，即a 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，2]，故选：C ．【详解】解：因为函数()()2213f x x m x =-+-+，开口向下，对称轴为1x m =-，依题意14m -≥，解得3m ≤-，即(],3m ∈-∞- 故选：D 33．C 【详解】因为()2111x f x x x x==++，可知()f x 在[)2,+∞上单调递减，所以不等式()()22228f x f x x +>-+成立，即2222222823228x x x x x x x ⎧+≥⎪-+≥⇒<⎨⎪+<-+⎩. 故选：C. 34．D 【详解】因为函数()f x 在R 上为增函数，则不等式()2()43f x a f x ≥-+--对(]0,3x ∀∈恒成立，即243x a x -+≥--对(]0,3x ∀∈恒成立，所以243a x x ≥-+-对(]0,3x ∀∈恒成立，令()()224321g x x x x =-+-=--+，当(]0,3x ∈，则()()(]2213,1g x x =--+∈-，所以1a ≥，故a 的取值范围为[)1,+∞.35．A 【详解】易得函数()f x 在R 上单调递增，则由()()324f x f x +<-可得324x x +<-，解得3x <-，故不等式的解集为(),3-∞-. 故选：A ． 36．D 【详解】由a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1211x a a x --⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭即(1)(2)(1)1x x a a ---+≥，所以221a a x x --≤-恒成立，在R 上2x x -的最小值为14-，所以2114a a --≤-，整理可得(21)(23)0a a +-≤，解得1322a -≤≤，实数a 的最大值为32，故选：D 37．ACD因为“对任意x 1，x 2∈（0，＋∞），都有1212()()f x f x x x --＞0” 所以不妨设0< x 1<x 2,都有12()()f x x <, 所以f （x ）为（0，＋∞）上的增函数.对于A ：f （x ）＝－2x在（0，＋∞）上为增函数,故A 正确; 对于B ：f （x ）＝－3x ＋1在（0，＋∞）上为减函数,故B 错误;对于C ：f （x ）＝x 2＋4x ＋3对称轴为x =-2,开口向上,所以在（0，＋∞）上为增函数,故C 正确;对于D ：f （x ）＝x －1x ,因为1y x =在（0，＋∞）上为增函数, 21y x=-在（0，＋∞）上为增函数,所以f （x ）＝x －1x在（0，＋∞）上为增函数, 故D 正确; 故选:ACD 38．AC 【详解】在A 中，因为()[]()212,2f x x x =-+∈-是减函数，所以当2x =时，函数取得最小值，最小值为3-，因此3a <-，A 正确；在B 中，因为()[]()212,2f x x x =-+∈-减函数，所以当2x =-时，函数取得最大值，最大值为5，因此5a <，B 错误；在C 中，[]22()2(1)1(0,3)g x x x x x =-=--∈，所以当1x =时，函数取得最小值，最小值为1-，当3x =时，函数取得最大值，最大值为3，故函数的值域为[]1,3-，由()g x a =有解，知[]1,3a ∈-，C 正确；在D 中，[][]2,2,0,3,()()x t f x g t ∀∈-∃∈=等价于()f x 的值域是()g t 的值域的子集，而()f x 的值域是[]3,5-，()g t 的值域[]1,3-，D 错误. 故选：AC 39．ABD函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 中，[]20,2x ∈，即[]0,1x ∈，函数()2f x 的定义域为[]0,1，故A 错误；函数()1f x x=图象不连续，故其单调递减区间是()(),0,0,-∞+∞，故B 错误；函数()f x 是定义域上减函数，由单调性知()()f m f n >时，有m n <，即C 正确；函数11y x x =+⋅-定义域为[)1,+∞，函数21y x =-定义域为(][),11,-∞-+∞，故不是同一函数，即D 错误. 故选：ABD. 40．BC 【详解】解：由()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，得()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在R 上单调递增，所以A 错，因为()f x 为R 上的递增函数，所以()()()212f f f -<<，所以B 对，因为()f x 在R 上为增函数，()()112122f x f x x x x +<-+⇔+<-+⇒<，所以C 对函数R 上为增函数时，不一定有()00=f ，如()2x f x =在R 上为增函数，但(0)1f =，所以D 不一定成立，故D 错．故选：BC 41．22 【详解】由1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，解得31x -≤≤，即函数的定义域为[]3,1-，()()()2242134214y x x x =+-+=+-++，当1x =-时，2y 取得最大值8，即max 22y =.故答案为： 2242．][53,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭因为函数()|21|||2f x x x a =++--的定义域为R ，所以|21|||2x x a ++-≥恒成立，令1()|21|||2||||2g x x x a x x a =++-=++-，当12a -<时，31,1()1,2131,2x a x a g x x a x a x a x ⎧⎪+->⎪⎪=++-<≤⎨⎪⎪-+-≤-⎪⎩，故当12x =-时，min 1()22g x a =+≥即可，解得32a ≤，当12a <-时，131,21()1,231,x a x g x x a a x x a x a ⎧+->-⎪⎪⎪=---<≤-⎨⎪-+-≤⎪⎪⎩，当12x =-时，min 1()22g x a =--≥，解得52a ≤-，当12a =-时，1()3||22g x x =+≥不恒成立.综上，52a ≤-或32a ≤.故答案为：][53,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭43．2[223,)3-【详解】2322()33,(20)33x x f x x x x x ++==++--<<++，令3(1,3)t x =+∈，因为2y t t=+在(1,2)单调递减，在(2,3)单调递增，所以222t t+≥，当1t =时，23y t t =+=，当3t =时，2113y t t =+=所以()f x ∈2[223,)3-，即值域为：2[223,)3-.故答案为：2[223,)3-44．2a ≤ 【详解】函数()223f x x ax =-+的对称轴是x a =，开口向上，若函数()223f x x ax =-+在区间[]28,是单调递增函数，则2a ≤，故答案为：2a ≤． 45．[]3,2--解：要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(],1-∞上递增，在()1,+?上递增，且21151a a --⨯-≤，所以有21201151a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤，故a 的取值范围为[]3,2--．故答案为：[]3,2--． 46．（1）函数()f x 在区间[)2,+∞上单调递增；设任意的[)12,2,x x ∈+∞，且12x x >，则()()()222212112212214444f x f x x x x x x x x x -=---=-+-()()()()()121212121244x x x x x x x x x x =-+--=-+-，因为12x x >，[)12,2,x x ∈+∞，所以120x x ->，1240x x +->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间[)2,+∞上的单调递增；（2）函数2()4f x x x =-对称轴为2x =，开口向上，所以函数()f x 在区间[0,2]上单调递减，在[2,5]上单调递增；所以()()2min 22424f x f ==-⨯=-，()00f =，()255455f =-⨯=，所以函数()f x 在区间[0,5]上的最大值为5M =，最小值为4m =-，所以4455m M -==-. 47．（1）证明：设211x x >>,由题有()()()()()21121212123221111x x x x f x f x x x x x -++-=-=----, ∵211x x >>,∴210x x ->, 110x ->, 210x ->,∴()()120f x f x ->, 即()()12f x f x >,∴函数()f x 在区间()1,+?上是单调递减函数. （2）由（1）可知()f x 在区间[]3,5上单调递减, ∴()f x 的最大值为()532f =, 最小值为()754f =. ∴函数()f x 在区间[]3,5上的最大值为52, 最小值为74. 48．（1）()22f x mx mx =--，()0f x <220mx mx --<10m =，()2f x =-()0f x <恒成立 22080m m m <⎧⎨+<⎩080m m <⎧⇒⎨-<<⎩80m ⇒-<<综上(]8,0m ∈-(2)225mx mx m --<-+27mx mx m -+<()217m x x -+<271m x x <-+∵[]1,3x ∈ ∴[]211,7x x -+∈∴[]271,71x x ∈-+∴1m <，(),1m ∈-∞ 49．解：（1）()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()1f 2f =（1）f ∴（1）0=；证明：（2）由()()()f xy f x f y =+可得()()()y f f y f x x =-，设120x x >>，1122()()()x f x f x f x -=，121x x >， ∴12()0x f x <，即12())0(f x f x -< 12()()f x f x ∴<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；（3）因为()(3)(931)1x x x f k f f --+≥，所以(3)(931)x x xf k f ≥-+，由（2）得·3931(*)·30x x x x k k ⎧≤-+⎨>⎩恒成立，令30x t =>，则(*)可化为2(1)10t k t -++≥对任意0t >恒成立，且0k >， 11k t t ∴+≤+，又12t t+≥， ∴12k +≤，即1k ≤，01k ∴<≤．。

《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计

《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计一、内容和内容解析函数思想是贯穿高中数学的一根主线，函数的基本性质又是函数一章的重点内容。

一方面，它是对以前所学具体函数的一次总结，又是函数知识的一次拓展，对后续学习指、对数函数、三角函数有重要的指导作用。

另一方面，函数的单调性与最大(小)值是初等数学与高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的单调性与最大(小)值在解决实际问题中有着相当重要的作用。

因此，函数单调性与最大(小)值的教学，在教材体系中有着不可替代的位置，又有着重要的现实意义。

函数的单调性最大(小)值是函数的重要性质之一，它是研究函数值与自变量变化的一种关系，既要求学生结合函数的图象（直观性）来研究函数单调性和最大(小)值，也要求学生利用函数单调性和最大(小)值的定义（严谨性）来研究函数单调性和最大(小)值。

因此本节课的教学重点是函数的单调性与最大(小)值的概念及其几何意义；判断、证明函数单调性；求函数的最大(小)值，利用单调性和最大(小)值来解决实际问题，培养学生的函数思想，数形结合思想以及应用数学意识。

二、目标和目标解析1、通过观察一些函数图象的特征，形成函数单调性的直观认识。

再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出函数单调性的定义。

理解函数单调性的定义，能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。

2、通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最大（小）值，由此得出函数最大（小）值的定义。

理解函数最值的定义，掌握求最值的基本方法和基本步骤，能解决相关实际问题。

3、利用函数的单调性和图象求函数在闭区间上的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，增进对数学应用价值的认识，激发学习数学兴趣与热情。

4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），培养学生数形结合的思想和应用数学意识。