函数的基本性质——单调性与最大(小)值
函数的基本性质
∴ f(x1) - f(x2)<0,
即 f(x1) < f(x2), ∴函数在(0, +∞)上也是减函数.
•用定义证明函数的单调性 证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是减函数． • [分析] 函数解析式和区间已给出，要证明函数是减函数， 只需用定义证明即可． • • [证明] 设x1<x2≤－1，则Δx＝x2－x1>0， Δy＝f(x2)－f(x1)＝(2x＋4x2)－(2x＋4x1)
习题 1.3 A组 1. 画出下列函数的图象, 并根据图象说出 y=f(x) 的单调区间, 以及在各单调区间上, 函数 y=f(x) 是增 函数还是减函数. (1) y=x2-5x+5; (2) y=9-x2. 解: (1) 函数是二次函数, y 其图象是开口向上的抛物线, 3 2 顶点 ( 5 , - 5 ). 2 4 1 两对称点 (1, 1), (4, 1). -1 o -1 5 函数在 (-, ] 上是减函数, - 5 2 4 5 , + ) [ 在 上是增函数. 2
-2 -1 -1 >0}. I = {x|x<0, 在区间 (-∞, x0) 上任取 x1<x2<0, -2 (2) 函数在定义域 I 内的区间 则 x x >0, x -x >0,
1 2 2 1
1 2
x
(-∞, 0)上是减函数 ,x )>0, 在区间(0, +∞)上也是减函数. ∴ f ( x 1) - f ( 2 x2 - x1 1 1 x1 )x )= - = , 即 : f f (x > f ((x ), 证明 1) 22 x1 x2 x1 x2 ∴函数在(-∞, 0)上是减函数.
重点难点重点：①函数单调性的定义②函数的最大(小)值
最大(小)值的性质
01
最大值一定高于或等于函数在 其它点的函数值，最小值一定 低于或等于函数在其它点的函 数值。
02
若函数在某区间内连续，则在 此区间内必定存在最大值和最 小值。
03
若函数在某点处取得局部最大 （小）值，则该点的导数为0 或不存在。
最大(小)值的求解方法
求导数
首先求出函数的一阶导数，然后 令其为0解出驻点，再通过二阶导 数测试判断驻点是最大值点、最 小值点还是拐点。
注意问题
在判断函数单调性和求最值时，要注意函数的定义域和导数的存在性；对于不可导点或导数不存 在的点，需要单独考虑其函数值。
06 函数单调性与最值的应用 领域
在数学领域的应用
函数性质研究
通过函数的单调性，可以判断函 数在某一区间内是增函数还是减 函数，进而研究函数的性质。
不等式证明
利用函数的单调性，可以对一些 不等式进行证明，特别是涉及函 数值大小比较的不等式。
• 解析
首先求导$f'(x) = 2x - 2$，令$f'(x) = 0$解 得$x = 1$。在$[-1, 1]$上$f'(x) < 0$，函 数单调减少；在$[1, 3]$上$f'(x) > 0$，函 数单调增加。因此，在$x = 1$处取得最小 值$f(1) = -1$，在区间端点处取得最大值 $f(-1) = 3$和$f(3) = 3$。
第02课函数的单调性与最大(小)值(课件)
【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
2024年高考一轮复习考点逐点突破经典学案
第二单元 函数与基本初等函数
第02课 函数的单调性与最大(小)值
考试要求
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实 际意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
一、【考点逐点突破】
【考点 1】增函数：当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上单调递增. 自左向右看图象是上升 的. 【典例】利用单调性定义证明：
所以 f(x1)<f(x2)，即函数 f(x)＝ x－1在定义域上是增函数.
【反思】函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量 x 的取值必须是连续的.用定义证明函数的单调性的基本 步骤是“取值——作差(或作商)——变形——定号——判断”.
高中数学《函数的基本性质-3.1单调性与最大(小)值》说课稿1 新人教A版必修1
1.3 函数的基本性质
以初中所学过的一次函数f（x）=x和二次函数f（x）=x2的图象引出函数的单调性.通过具体实例感受函数单调性与函数奇偶性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换的能力.
函数的简单性质包括函数的单调性与函数的奇偶性.
为了说明函数f（x）在某个区间上不是单调增（减）函数，只需在该区间上找到两个值x1、x2，当x1＜x2时，有f（x1）≥f（x2）〔或f（x1）≤f（x2）〕成立.
函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它反映的是函数的局部性质，函数在某个区间上单调，并不能说明函数在定义域上也单调.
让学生体会函数最大（小）值与单调性之间的关系及其几何意义，引导学生通过函数的单调性研究最大（小）值.
通过已学过的函数特别是二次函数，进一步理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义.
由实例，通过观察图象，抽象出函数奇偶性的定义.在教学中要注意展现出探索过程，引导学生关注函数图象的对称性与函数奇偶性的关系.
只要函数的定义域内有一个x值不满足f（－x）=－f（x）〔或f（－x）=f（x）〕，这个函数就不是奇（偶）函数；或只要函数图象上有一个点不满足“关于原点（或y轴）的对称点都在函数的图象上，”这个函数就不是奇（偶）函数.
1.3.1 单调性与最大（小）值（1）
从容说课
函数的单调性是函数的一个重要性质，在比较几个数大小、对函数作定性分析（求函数的值域、最值，求函数解析式中参数的范围、绘函数的图象）以及与不等式等其他知识的综合应用上都有广泛的应用；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学.
新教材人教版高中数学必修第一册 3-2-1-1 单调性与最大(小)值——函数的单调性 教学课件
3．通过用符号形式表达单调性定义提升学生数学抽象的核心素 养．在函数单调性的应用过程中，发展学生逻辑推理和数学运 算的核心素养．通过图象经历函数最值的抽象过程，发展学生 数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
第三页，共四十一页。
(一)教材梳理填空
第一课时 函数的单调性
1．增函数和减函数 增函数
第五页，共四十一页。
2．单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间__． [ 思考] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关 系，如果函数 f(x)是减函数呢？ 提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞ b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
5．若 y＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则 k 的取值范围为________，b 的取值范围为________． 答案：－∞，12 R
第十页，共四十一页。
题型一 判断(证明)函数的单调性 [学透用活]
用定义法判断函数的单调性的关键是变形，常用的变形技巧有：① 因式分解：当原来的函数是多项式函数时，通常作差后进行因式分解； ②通分：当原来的函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分 子、分母进行因式分解；③配方：当原来的函数是二次函数时，作差后 可以考虑配方，便于判断符号；④分母有理化：当原来的函数是根式函 数时，作差后往往考虑分母有理化．
第2节 函数的单调性与最大(小)值
第2节函数的单调性与最大(小)值
考试要求 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质
.
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那
么就说函数f(x)在区间A上是
增加的
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，
那么就说函数f(x)在区间A上
是减少的
图像
描述
自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间.
2.函数的最值
前提函数y＝f(x)的定义域为D
条件(1)对于任意x∈D，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈D，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈D，使得f(x0)＝M
结论M为最大值M为最小值
[常用结论与微点提醒]
1.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数.
2.函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1
f （x ）
的单调性相反.
3.“对勾函数”y ＝x ＋a
x (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.( )
单调性与最大(小)值——单调性 课件
f
(x2 )
(
2 ) ( x1
2 x2
)
2 x2
2 x1
2(x1 x2 ) . x1x2
x1, x2 （ ,0）， x1x2 0.
x1 x2 , x1 x2 0. f (x1) f (x2 ) 0,
即f (x1) f (x2 ),
所以，函数 f (x) 2 在区间 (,0)上单调递增. x
f (x1) f (x2 ), 我们能说函数 f（x）在区间 D 上单调递增吗？你能举例说明吗？
（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函 数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增，但在另一些区间上单调递减的函数例 子吗?
（1）不能. 例如函数 f (x) x2 ,取D [2,)，A [0,), A D.
你能说明为什么 f (x1) f (x2 ) 吗？
x1 x2 0,x1 x2 0.
由不等式性质7可得：（ x1）2 （ x2）2.
即x12 x22 , f (x1) f (x2 ).
在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫 做函数的单调性. 下面进一步用符号语言刻画这种性质.
特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
如果函数 y=f（x）在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函 数 y=f（x）在这个区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 y=f（x） 的单调区间.
高中数学 《函数的基本性质-3.1单调性与最大(小)值》说课稿2 新人教A版必修1
1.3.1 单调性与最大（小）值（2）
从容说课
最值问题是生产、科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题，是高中数学的一个重点，它涉及到高中数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技能，灵活选择合理的解题途径.本节课利用单调性求函数的最值，目的是让学生知道学习函数的单调性是为了更好地研究函数.利用单调性不仅仅确定函数的值域、最值，更重要的是在实际应用中求解利润、费用的最大与最小，用料、用时的最少，流量、销量的最大，选取的方法最多、最少等问题.
三维目标
一、知识与技能
1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用.
2.启发学生学会分析问题、认识问题的能力和创造地解决问题的能力.
二、过程与方法
1.通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育.
2.探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确.
三、情感态度与价值观
理性描述生活中的最大（小）、最多（少）等现象.
教学重点
领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念.
教学难点
利用函数的单调性求最值.
教具准备
多媒体课件（PowerPoint）.
教学过程
一、创设情景，引入新课
师：前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变量增大之间的关系，请大家看某市一天24小时内的气温变化图，说出气温随时间变化的特点.
生：从图象上看出0时～4时之间气温下降，4时～14时之间气温逐渐上升，14时～24时气温逐渐下降.
师：好，请继续回答.某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低?
生：14时气温达到最高，4时气温达到最低.
第二节 函数的单调性与最大(小)值
四、“基本活动经验”不可少 结合函数的单调性，寻找能描述下列成语含义的函数图象：“蒸蒸日 上”“每况愈下”“此起彼伏”． 解：答案不唯一，如：
命题点一 确定函数的单调性或单调区间(自主练通) [题组练透]
1．(2020·荆州高三期末)设 max{a，b}＝ba， ，aa<≥bb，， 则函数 f(x)＝max{x2－x,1
等”的条件，用基本不等式法求最值(值域)
先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出 导数法
最值
对比较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的 换元法
方法求最值(值域)．注意换元后的新元的取值范围
[过关训练] 1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称
号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x∈R ，用[x]表示不超过 x 的最大
整数，则 y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数 f(x)
＝12＋x＋2x3＋1，则函数 y＝[f(x)]的值域为
()
A．12，3 C．{0,1,2}
B．(0,2] D．{0,1,2,3}
－x2}的单调增区间为
()
A．[－1,0]，12，＋∞ C.－∞，－12，[0,1]
B．(－∞，－1]，0，12 D.－12，0，[1，＋∞)
解析：由 x2－x＝1－x2 得 2x2－x－1＝0，解得 x＝1 或 x＝－12，当 x≥1 或 x≤ －12时，f(x)＝max{x2－x,1－x2}＝x2－x，结合图象知此函数的递增区间为[1， ＋∞)；当－12<x<1 时，f(x)＝max{x2－x,1－x2}＝1－x2，结合图象知此函数的 递增区间为－12，0.综上所述，函数的递增区间为－12，0，[1，＋∞)． 答案：D
人教版高一数学必修一1.3函数的基本性质(单调性)(共25张PPT)
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
y＝f(x)的单调区间，
-5
-4
-3
-2
-1 O -1
12
3 4 5x
以及在每一单调区
-2
间上， y＝f(x)是增函数还是减函数-3 ，以及函
数的最大值和最小值.
例1 右图是定义在 闭区间[－5, 5]上
y
3
2
的函数y＝f(x)的图
1
象，根据图象说出
y＝f(x)的单调区间，
-5
-4
-3
-2
-1 O -1
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
新教材高中数学第三章函数概念与性质 单调性与最大小值课件新人教A版必修第一册
【定义】一般地,设函数 反之,设函数
的定义域为A,如果当自变量
时,有：
,那么我们就称
是函数的最小值；
的定义域为A,如果当自变量
时,有：
,那么我们就称
是函数的最大值.
函数的最值(最大值和最小值) 【常用结论与表达方式】
【1】若函数
在区间 ,最大值
上单调递增,那么函数的最小值
【2】若函数
在区间 ,最大值
反之,函数在区间端点处无定义时,书写单调区间时就 不能包括端点.
单调性的应用 【例题1】根据定义,研究函数
的单调性.
【解】函数 ,
的定义域是R,对于任意的
且
由
知
,所以：
①当
时,
,即
,
这时,函数
是增函数；
①当
时,
,即
,
这时,函数
是减函数；
单调性的应用
【例题2】物理学中的玻意耳定律
( 为正常数)告诉我们,对于一定量的
气体,当其体积V减少时,压强P将增大.试对此用函数的单调性证明.
【分析】根据题意,只要证明函数
是减函数即可.
【证明】
且
,有：
由
得
；由
得
又
,所以
所以函数
即 是减函数.问题得证.
函数的最值(最大值和最小值)
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第2课时函数的最大值、最小值)
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( × ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( √ ) (3)若函数 f(x)≤1 恒成立，则 f(x)的最大值为 1.( × )
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数 f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、 最大值分别是( )
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数最值的应用问题
某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生 产销售的统计规律：每生产产品 x(百台)，其总成本为 G(x)(万 元)，其中固定成本为 2.8 万元，并且每生产 1 百台的生产成本 为 1 万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入 R(x)(万元) 满足： R(x)＝1－1，0.4xx>25＋，4x.2∈x，N，0≤x≤5，x∈N，假定该产品产销平衡 (即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问 题：
单调性与最大(小)值(第一课时)
1.3.1单调性与最大（小）值（第一课时）
数学组4贺彦斌
教材分析
单调性与最大（小）值这节内容选自人教版A版《普通高中课程标准试验教科书必修1》第一章1.3节函数的基本性质的内容。函数是描述事物运动变化规律的数学模型，学习函数的变化规律能把握事物的变化规律，因此研究函数的性质非常关键。学生在此之前已经学习了函数的概念及函数的三种表示法，并且学生学会了从集合的角度来认识函数。本次课的学习是函数的基本性质的第一课时，研究函数的单调性与最大最小值问题，这一性质是函数最直观的一个性质。也是为后续学习函数的奇偶性等相关性质奠定基础。因此，本次课的教学尤为关键。本次课在教学上我将采取两个课时的时间，在第一课时内完成函数单调性概念的教学并掌握判断简单函数单调性的方法，在第二课时内完成最大（小）值概念的教学，并且能进一步掌握部分函数单调性的判断技巧。
教学目标
●知识与技能：
了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法；
●过程与方法：
经历情景引入、直观感知、知识形成等过程，掌握数形结合的数学方法，同时学会从直观的图像上发现问题并且掌握作差法，培养学生严谨的数学思维能力；
●情感态度与价值观
感受数学符号以及图形的魅力，培养学生能从辩证的角度看问题，感受数学与现实生活的联系，体会数学的强大实用功能；
教学重难点
教学重点：函数单调性的概念以及判断简单函数单调性的方法；
教学难点：判断简单函数单调性的方法；
重难点突破：学生在学习函数单调性概念的过程中，教师通过引入具体事例加以分析，首先让学生直观感受函数的单调性，进而通过引导探究认识函数的单调性；在判断简单函数的单调性的过程中，教师引导学生通过直接看图像以及做差这两种方法来判断函数的单调性。
高中数学3-2函数的基本性质3-2-1单调性与最大小值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
D．f (3)≥f (5)
C
[∵3<5，且f (x)为R上的减函数，
∴f (3)>f (5)．故选C．]
1
2
3
4
2．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上单调递减，则实数a
的取值范围是(
A．
3
− ，
2
)
B．
√
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+∞
C．(3，＋∞)
B
−∞， −
3
2
D．(－∞，－3]
2−1
3
[由题意可知－
的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f (x)在区间(－∞，1)
上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
• (3)f (x)＝－x2＋2|x|＋3．
2 + 2 + 3， ≥ 0，
−
[解] 因为f (x)＝－x2＋2|x|＋3＝ቊ 2
− − 2 + 3， < 0．
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f (x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，
1)，[1，＋∞)．
f (x)在区间(－∞，－1]，[0，1)上单调递增，在区间
(－1，0)，[1，＋∞)上单调递减．
• 反思领悟 求函数单调区间的方法
• (1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调
单调性与最大(小)值_课件3
x1x2＞a 恒成立．
又 x1x2＞4，则 0＜a≤4.
即实数 a 的取值范围是(0，4]．
利用函数的单调性求参数范围的方法： 解题思路为：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定 义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参． 注意：若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在 此区 间 的任意子集上也是单调的．
由函数的单调性求参数的值(或范围)
已知函数 f(x)＝x2＋x a(a＞0)在(2，＋∞)上递增，求
实数 a 的取值范围． [课堂笔记]
【解】任取 2＜x1＜x2，
由已知条件，得
f(x1)
－
f(x2)
＝
x12＋a x1
－
x22＋a＝ x2
(x1
－
x2)
＋
a×xx2－1xx2 1＝(x1－x2)×x1xx12x－2 a＜0 恒成立，即当 2＜x1＜x2 时，
－21，＋∞.
2．已知 a＞0，函数 f(x)＝x＋ax(x＞0)，证明函数 f(x)在(0， a)
上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数．
【证明】设 x1，x2 是任意两个正数，且 0＜x1＜x2，
则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2＝x1x－1xx2 2(x1x2－a)．
当 0＜x1＜x2＜ a时，0＜x1x2＜a，又 x1－x2＜0，所以 f(x1) －f(x2)＞0， 即 f(x1)＞f(x2)，所以函数 f(x)在(0， a)上是减函数； 当 a≤x1＜x2 时，x1x2＞a，又 x1－x2＜0，所以 f(x1)－f(x2) ＜0，即 f(x1)＜f(x2)，所以函数 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
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函数的基本性质——单调性与最大(小)值
【教学目标】
1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思
2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间
3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性
【教学重难点】
教学重点：函数的单调性的概念。
教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性
【教学过程】
一、复习引入。
1
分别画函数2x y =和3x y =的图象。2
x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2．
2．引入：从函数2x y =
的图象（图1）看到：
图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当
1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。
这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ，
2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。
这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。
1．增函数与减函数。
定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值
21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是
增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。
说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2
x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增
函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。
2．单调性与单调区间。
若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；
（2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，
（3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或)
(1x f ≥
)(2x f ，”即可；
（4）定义的内涵与外延：
内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；
外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。
②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。
例1：如图6是定义在闭区间[－5，5]上的函数
)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以
及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数。
解：函数)(x f y =的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]，其中)(x f y =在区间[－5，－2），[1，3）上是减函数，在区间[－2，1），[3，5]上是增函数。
说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。
例2：证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数。 证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x ＜2x ，则
)(1x f －)(2x f =（31x +2）－（32x +2）=3（1x －2x ），
由1x ＜2x x ，得1x －2x ＜0，于是)(1x f －)(2x f ＜0，即)(1x f ＜)(2x f 。 ∴23)(+=x x f 在R 上是增函数。 例3：证明函数x
x f 1
)(=
在（0，+∞）上是减函数。 证明：设1x ，2x 是（0，+∞）上的任意两个实数，且1x ＜2x ， 则)(1x f －)(2x f =
11x －21x =2
112x x x x -， 由1x ，2x ∈（0，+∞），得1x 2x >0，
又由1x ＜2x ，得2x －1x >0，于是)(1x f －)(2x f >0，即)(1x f >)(2x f ∴x
x f 1
)(=
在（0，+∞）上是减函数。 例4．讨论函数322+-=ax x f(x)在（－2，2）内的单调性。
解：∵
222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴
a x =
∴若2-≤a ，则322+-=ax x f(x)在（－2，2）内是增函数；
若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在（－2，a ）内是减函数，在[a ，2]内是增函数
若2≥a ，则322+-=ax x f(x)在（－2，2）内是减函数。
四、练习。