2013.5 海淀高三二模数学(理科)完美word版

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2013.5一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3- 3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ== ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为A.32B. 36C. 42D.487.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为11D.2+8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若34a =，则m 可以取3个不同的值 B.若m ={}n a 是周期为3的数列C.T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 将正确答案填在填在题中横线上. 9.在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为____________.10.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从大到小．．．．排列为___________. 11.直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30 ，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为____________.12.在ABC ∆中，30,45,A B a ∠=∠== ，则_____;b =C _____.AB S ∆=13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是______________.14.在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离， 记点P 的轨迹为曲线W . (I) 给出下列三个结论： ① 曲线W 关于原点对称； ② 曲线W 关于直线y x =对称；③ 曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是___________;(Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为_____________________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数cos2()1π)4x f x x =--.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； (Ⅱ) 求函数()f x 的单调递增区间.福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%.(I) 假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（II）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p的取值范围.如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠= ，30CAB ∠= ，2BC =，4AD =. 把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置,如图2所示,使得点P 在平面ABC上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ,点,E F 分别为线段,PA AB 的中点．(I) 求证：平面//EFH 平面PBC ； (II)求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值； (III)在棱PA 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明理由.已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （I ）当0a =时,求函数()S t 的单调区间 ；（II ）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点.（I ） 求椭圆M 的方程；（II ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求AOB ∆（O 为原点）面积的最大值.设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”(Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值； (Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.22221212a a a a a a a a ------海淀区高三年级第二学期期末练习数学(理)参考答案一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 两空的题，第一空3分，第二空2分，共30分）9． 2；10． c b a >>；11. ；12． 2；13． [0,1]；14． ②③;2三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为πsin()04x -≠所以ππ,4x k -≠Z k ∈ ……………………2分 所以函数的定义域为π{|π+,4x x k ≠Z}k ∈ ……………………4分（II ）因为22cos sin ()1sin cos x xf x x x-=-- ……………………6分= 1+(cos sin )x x +π= 1)4x + ……………………8分 又sin y x =的单调递增区间为 ππ(2π,2π)22k k -+ ，Z k ∈令 πππ2π2π242k x k -<+<+ 解3ππ2π2π44k x k -<<+ ………………11分 又ππ+,4x k ≠所以()f x 的单调递增区间为3ππ(2π,2π)44k k -+， Z k ∈ ………………13分16. 解：（I ）设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-= …………………4分(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ则ξ可以取5,0,45,145-- …………………6分 ξ的分布列为…………………8分所以ξ的期望为550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯2.590%145p =-- …………………11分 所以当 1.61450p ->时，即8725p < …………………12分 所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分 17.解：（I ）因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上所以PH ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AC …………………1分因为在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠= ，30CAB ∠= ，2BC =，4AD = ,所以4AC =，60CAB ∠= ，所以ADC ∆是等边三角形，所以H 是AC 中点， …………………2分所以//HE PC …………………3分 同理可证//EF PB ,又,HE EF E CP PB P ==所以//EFH PBC 平面PBC …………………5分 （II ）在平面ABC 内过H 作AC 的垂线如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，P，B ………6分因为(0,E -，(0,HE =-设平面PHB 的法向量为(,,)n x y z =因为HB =，HP =所以有00HB n HP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z +==⎪⎩，令x =则3,y =- 所以3,0)n =-…………………8分cos ,||||n HE n HE n HE ⋅<>===⋅…………………10分所以直线HE 与平面PHB…………………11分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………12分因为在直角三角形PHA 中，122EH PE EA PA ====， …………………13分 在直角三角形PHB 中，点4,PB =122EF PB == 所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分18.解: (I) 因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ …………………2分 当0a =，1()||e 2t S t t =，其中0t ≠ 当0t >时，1()e 2t S t t =，1'()(1)e 2t S t t =+， 所以'()0S t >，所以()S t 在(0,)+∞上递增， …………………4分 当0t <时，1()e 2t S t t =-，1'()(1)e 2t S t t =-+， 令1'()(1)e 02t S t t =-+>， 解得1t <-，所以()S t 在(,1)-∞-上递增 令1'()(1)e 02t S t t =-+<， 解得1t >-，所以()S t 在(1,0)-上递减 ……………7分 综上，()S t 的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞-()S t 的单调递减区间为(1,0)-（II ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ 当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2t S t a t =- 因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2t S t t a =---，令'()0S t =，得1t a =- …………………8分 当12a -≥时，即3a ≥时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,2)t ∈成立，()S t 单调递增 所以当2t =时，()S t 取得最大值21(2)(2)e 2S a =- 令21(2)e e 2a -≥ ，解得 22ea ≥+ ，所以3a ≥ …………………10分 当12a -<时，即3a <时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增 1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a ∈-成立，()S t 单调递减 所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11(1)e 2a S a --= 令11(1)e e 2a S a --=≥ ，解得ln 22a ≥+ 所以ln 223a +≤< …………………12分 综上所述，ln 22a +≤ …………………13分19.解:(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2， 一内角为60 的菱形的四个顶点,所以1a b ==,椭圆M 的方程为2213x y += …………………4分 (II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 的垂直平分线通过点1(0,)2-， 显然直线AB 有斜率， 当直线AB 的斜率为0时,则AB 的垂直平分线为y 轴,则1212,x x y y =-=所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ∆===2211(3)322x x +-≤=，所以AOB S ∆≤1||x =AOB S ∆………………6分 当直线AB 的斜率不为0时,则设AB 的方程为y kx t =+ 所以2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330k x kt t +++-= 当224(933)0k t ∆=+->, 即2231k t +> ①方程有两个不同的解 又122631kt x x k -+=+，1223231x x kt k +-=+ …………………9分 所以122231y y t k +=+，又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314k t += ② 代入①，得到04t << …………………10分又原点到直线的距离为d =12|||AB x x =-=所以1=||||2AOB S AB d ∆=化简得到AOB S ∆ …………………12分因为04t <<，所以当2t =时，即k =时，AOB S ∆综上，AOB ∆ …………………14分 20.（I ）解：法1： 42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行 法2：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列 法3：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果首先操作第三列，则22221212a a a a a a a a----- 则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以 12a ≤或52a ≥ 当12a ≤时，则接下来只能操作第一行， 22221212a a a a a a a a ------此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a ---,必有2220a -≥，解得0,1a =- 当52a ≥时，则接下来操作第二行 22221212a a a a a a a a ------ 此时第4列和为负，不符合题意. …………………6分 ② 如果首先操作第一行22221212a a a a a a a a ----- 则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数，所以此时必须有2220a -≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =-经检验，0a =或1a =-符合要求综上：0,1a =- …………………9分 （III ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数.证明如下：记数表中第i 行第j 列的实数为ij c （1,2,,;1,2,,i m j n == ），各行的数字之和分别为12,,,m a a a ，各列的数字之和分别为12,,,n b b b ，12m A a a a =+++ ，12n B b b b =+++ ，数表中m n ⨯个实数之和为S ，则S A B ==。