2.3用公式法解一元二次方程(第1课时)-北师大版九年级数学上册同步练习
推荐K12学习2018届九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程一练习新版北师
《2.3 用公式法求解一元二次方程(一)》练习一、基础过关1．用公式法解方程4x2﹣12x=3所得的解正确的是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2．关于方程x2﹣2=0的理解错误的是（）A．这个方程是一元二次方程B．方程的解是C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D．这个方程可以用公式法求解3．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=04．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定5．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=06．到2013底，我县已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校2011年发放给每个经济困难学生450元，2013年发放的金额为625元．设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．450（1+x）2=625 B．450（1+x）=625C．450（1+2x）=625 D．625（1+x）2=450二、综合训练7．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为．9．根的判别式内容：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程；此时方程的两个根为x1=x2= ．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程．10．如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为．11．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．12．关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b 的值：b= ．三、拓展应用13．小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．14．如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的14．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的16，求道路的宽．15．已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根．16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．17．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）当通道宽a为10米时，花圃的面积= ；（2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3：5？如果可以，试求出此时通道的宽．18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案一、基础过关1．D解：方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，这里a=4，b=﹣12，c=﹣3，∵△=144+48=192，∴x==，故选：D．2．B解：A、这个方程是一元二次方程，正确；B、方程的解是x=±，错误；C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式，正确；D、这个方程可以用公式法求解，正确；故选：B．3．C解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x-1）（x-2）=18，故选C．4．B解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．5．B解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B．6．A．解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则2012年发放给每个经济困难学生450（1+x）元，2013年发放给每个经济困难学生450（1+x）2元，由题意，得：450（1+x）2=625．故选A．二、综合训练7．答案为：0解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．8．答案为：（100-x）（80-x）=7644解：设道路的宽应为x米，由题意有（100-x）（80-x）=7644，故答案为：（100-x）（80-x）=76449．答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．解：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根；此时方程的两个根为x1=x2=﹣．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程无解．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．10．答案为：﹣1或2．解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．11．答案为：x2-35x+34=0．解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20-20×2x-30x+2x•x=532，整理，得：x2-35x+34=0．故答案为：x2-35x+34=0．12．答案为3．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣8＞0，∴b＞2或b＜﹣2，∴b为3，4，5等等，∴b为3（答案不唯一）．故答案为3．三、拓展应用13．解：如方程x2+5x+6=0，（x+2）（x+3）=0，∴x1=﹣2，x2=﹣3，小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．则x==，x=2和x=3，这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致，故小红的结论是错误的．14．解：设道路的宽为x米，则可列方程：x（12-4x）+x（20-4x）+16x2=16×20×12，即：x2+4x-5=0，解得：x1=l，x2=-5（舍去）．答：道路的宽为1米15．解：∵+|b+1|+（c+3）2=0，∴a=1，b=﹣1，c=﹣3，原方程为x2﹣x﹣3=0，这里a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴x=．16．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，得：1+m+m﹣2=0，解得：m=；（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．17．解：（1）由图可知，花圃的面积为：（40-2×10）（60-2×10）=800（平方米）．故答案为：800；（2）根据题意得：60×40-（40-2a）（60-2a）=38×60×40，解得：a1=5，a2=45（舍去）．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米．18．解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形．。
同步练习题：用公式法求解一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程同步练习题 2023-2024学年北师大版九年级数学上册一、选择题1.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A.x2+1=0B.9x2-6x+1=0C.x2-x+2=0D.x2-2x-2=02.把一块长80cm、宽60cm的矩形铁皮，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm的无盖长方体盒子.设小正方形的边长为xcm，则可列出方程为( ）A.x2-70x+825=0B.x2+70x-825=0C.x2-70x-825=0D.x2+70x+825=03.关于x的一元二次方程x2+4x十k=0有两个实数根，则k的取值范围是( )A.k≤-4B.k＜-4C.k≤4D.k＜44.关于x的一元二次方程x2-(k十3)x十k=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.若关于x的一元二次方程x(x+1)十ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为( ).A.-1B.1C.-2或2D.-3或16.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，与其相邻的另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ）A.7mB.8mC.9mD.10m.7.如图，在长为100m、宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化.要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为xm，则可列方程为( ).A.100×80-100x-80x=7644B.(100-x)(80-x)+x2=7644C.(100-x)(80-x)=7644D.100x+80x=3568.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程且有两个相等的实数根，那么下列结论正确的是( ).A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c9.关于x的一元二次方程x2-23x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ).A.m<3B.m>3C.m≤3D.m≥3二、填空题10.方程(2x-1)(x+3)=15的根的判别式的值是________.11.关于x 的一元二次方程x 2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为______.12.关于x 的方程mx 2-2x+3=0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是______.13.关于x 的一元二次方程x 2-kx+1=0有两个相等的实数根，则k=______.14.已知关于x 的方程(k-1)x 2-2kx+k-3=0有两个相等的实数根，则k 的值是____.15.一个软件群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有870条消息，则这个软件群里的好友个数为________.16.某市体委要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空.解：设应邀请x 支球队参加比赛，则每队共打______场比赛，比赛总场数用代数式表示为___________，根据题意，可列出方程为________________，整理得____________，解这个方程，得____________,经检验，符合实际的解为______________,答：应邀请_____支球队参加比赛.三、解答题17.用公式法解下列方程：(1)x 2-2x-1=0; (2)x 2+16=8x; (3)6(x+3)=x(x+3); (4)2x 2-4x-2=0.18.若关于x 的一元二次方程x 2-(2a+1)x+a 2=0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围.19.两个正方形的面积和为106cm 2，它们的周长差是16cm ，求这两个正方形的边长分别为多少厘米.20.当m 取什么值时，关于x 的方程41x 2+(m+2)x+m 2=4, (1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？21.如图，有一块矩形空地，一边靠着20m的墙，另三边由一根长35m的铁丝围成，已知这块矩形空地的面积为125m2，求它的长和宽.22.为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召，某单位准备将院内一块长30m、宽20m 的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草.如图，要使种植花草的面积为532m，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度均相等，且每段小道均为平行四边形)23.如图，在直角墙角AOB(OA⊥O B，且OA，OB长度不限)中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96m2，求这块矩形地面的长.24.如图，利用一面墙（墙EF最长可利用25m)，围成一个矩形花园ABCD，与围墙平行的一边BC上要预留3m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有46m长的围墙的材料.若矩形花园的面积为299m2，则矩形花园的长为多少米？25.如图是一个六边形的风筝骨架示意图，它是由甲、乙两个矩形和丙、丁两个等腰直角三角形组成的，其中甲的长比宽长8dm，甲、乙的面积和比丙、丁的面积和小12dm2，求此六边形的面积.26.一个矩形的周长为56cm.(1)当矩形面积为180cm2时，长和宽分别为多少厘米？(2)能围成面积为200cm2的矩形吗？请说明理由.27.关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根.。
2.3 用公式法求解一元二次方程 同步练习 2021-2022学年北师大版数学九年级上册
用公式法求解一元二次方程一、选择题1．用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（）A．B．C．D．2．方程x（x﹣1）＝2的两根为（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝2 3．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，84．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+3x+1＝0B．2x2﹣3x+1＝0C．2x2+3x﹣1＝0D．2x2﹣3x﹣1＝0 5．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（）x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x2﹣x0.110.240.390.560.750.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6B．1.6＜x＜1.7C．1.7＜x＜1.8D．1.8＜x＜1.9 6．若a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c的解为（）A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝﹣1或x＝2D．x＝﹣2或x＝0 7．下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（）A．ax2﹣x+2＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣x﹣m＝0D．x2﹣mx﹣1＝0 8．一元二次方程2019x2﹣2020x+2021＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定9．若关于x的方程kx2+2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≠0B．k≤1C．k≥1D．k≤1且k≠0 10．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k≥﹣B．k≥﹣且k≠0C．k＜﹣D．k＞﹣且k≠011．当a+b＝4时，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定12．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+9＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+6x+9＝0D．x2+5x﹣1＝0二、填空题13．已知二次多项式x2﹣ax+a﹣5．（1）当x＝1时，该多项式的值为；（2）若关于x的方程x2﹣ax+a﹣5＝0，有两个不相等的整数根，则正数a的值为．14．若一元二次方程mx+x2+2＝0有两个相等的实数根，则m＝．15．关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有一个实数数根，则k的值是．16．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．17．若关于x的方程x2+6x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值为．三、解答题18．用适当的方法解方程：（1）2x2+3x＝1；（2）（x﹣2）（x+5）＝18；（3）（x﹣1）2＝4；（4）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2．19．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．20．已知a，b，c均为实数，且+|b+1|+（c+2）2＝0，求关于x的方程ax2+bx+c＝0的根．21．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合．上述材料，解决下列问题：（1）M{32，（﹣3）2，﹣32}＝；（2）若min{2x+1，4x﹣3，7}＝2x+1，则整数x的值是；（3）若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，求x的值．。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2-3用公式法求解一元二次方程》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2+x+1＝0D．x2+2x﹣1＝0 2．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1 3．若关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0 4．当k＜﹣时，关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k＝0的根的情况是（）A．两个相等的实根B．两个不相等的实根C．无实根D．无法判断5．若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣4且k≠0B．k≥﹣4C．k＞﹣4 且k≠0D．k＞﹣46．用公式法解方程6x﹣8＝5x2时，a、b、c的值分别是（）A．5、6、﹣8B．5、﹣6、﹣8C．5、﹣6、8D．6、5、﹣8 7．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．2x2﹣7x+8＝0B．16x2+9＝24x C．3x2+x﹣5＝0D．7x2+1＝08．若关于x的方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．8B．﹣16C．16D．﹣329．关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0 10．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣1＝0D．x2+2x+3＝0 11．下面方程中，有两个不等实数根的方程是（）A．x2+x﹣1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣x+＝0D．x2+1＝012．如果关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a B．a且a≠0C．a D．a且a≠013．已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＞0D．m≥014．一元二次方程x2﹣3x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个相等的实数根D．没有实数根15．如果一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，那么关于x的一元二次方程x2+2x ﹣m＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定16．当4c＞b2时，方程x2﹣bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不等实数根B．有两个相等实数根C．没有实数根D．不能确定有无实数根二．填空题17．若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为．18．若实数a，b满足a2+ab﹣b2＝0，则＝．19．当t时，关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解．20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是．21．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，实数k的值为．22．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的整数根，若k为正整数，则k＝．24．方程（x+1）（x﹣2）＝1的根是．25．若关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．三．解答题26．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，求m的取值范围．27．解方程：（1）．（2）4x2﹣12x+5＝0．28．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，求m的取值范围．29．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．30．用适当方法解下列方程（1）3x2﹣2x﹣2＝0（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）231．已知关于x的一元二次方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，求a的值及此时这个方程的根．32．解方程：x2﹣3（2x+1）＝0．33．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．求实数k 的取值范围．34．已知关于x的方程是，说明：不论m取任意实数，原方程一定有实数根．35．解方程：x2﹣6＝4x﹣2x236．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2022的值．参考答案一．选择题1．解：A、Δ＝﹣4＜0，方程没有实数根；B、Δ＝0，方程有两个相等的实数根；C、Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数根；D、Δ＝4+4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根．故选：D．2．解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．3．解：∵关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，∴△≥0且k≠0，则16﹣4k≥0且k≠0，解得：k≤4且k≠0，故选：D．4．解：∵a＝k﹣2，b＝﹣（2k﹣1），c＝k，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×（k﹣2）×k＝4k+1．∵当k＜﹣时，Δ＝4k+1＜0．∴该方程无实数根．故选：C．5．解：当k＝0时，原方程为﹣4x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意；当k≠0时，∵方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣4）2+4k≥0，解得：k≥﹣4且k≠0．综上可知：k的取值范围是k≥﹣4．故选：B．6．解：原方程可化为：5x2﹣6x+8＝0；∴a＝5，b＝﹣6，c＝8；故选C．7．解：A、Δ＝（﹣7）2﹣4×2×8＝49﹣64＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、方程变形为16x2﹣24x+9＝0，Δ＝（﹣24）2﹣4×16×9＝0，方程两个相等的实数根，所以B选项错误；C、Δ＝12﹣4×3×（﹣5）＝1+60＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；D、Δ＝02﹣4×7×1＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．故选：C．8．解：∵方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即82﹣4（﹣m）＝0，解得m＝﹣16，故选：B．9．解：ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，当a＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，解得：x＝，不合题意；故a≠0，则有b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，则m的取值范围是a≤1且a≠0．故选：C．10．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴有不相等的实数根；B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴有相等的实数根；C、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，∴有不相等的实数根；D、∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴没有实数根．故选：D．11．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．B、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．C、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣1＝0，∴方程有两个相等的实数根．D、移项后得，x2＝﹣1∵任何数的平方一定是非负数．∴方程无实根．故错误．故选：A．12．解：当a＝0时，原方程为x﹣1＝0，解得：x＝1；当a≠0时，有Δ＝12﹣4a×（﹣1）＝1+4a≥0，解得：a≥﹣且a≠0．综上可知：若关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为a≥﹣．故选：A．13．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x，即x2﹣2x﹣m＝0有实数根，∴△≥0，即4+4m≥0，∴m≥﹣1．故选：B．14．解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，故选：D．15．解：∵一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，∴m+1＜0且m＜0，∴m＜﹣1，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＝4（m+1）＜0，∴方程没有实数根．故选：C．16．解：∵4c＞b2，∴b2﹣4c＜0，∴方程x2﹣bx+c＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4c＜0，∴方程无实数根，故选：C．二．填空题17．解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，∴有a＝4或b＝4和a＝b两种情况，当a＝4或b＝4时，代入方程可得42﹣6×4+n+1＝0，解得n＝7，此时方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或x＝4，此时三角形的三边为2、4、4，满足条件；当a＝b时，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，解得n＝8，此时方程为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则三角形的三边为3、3、4，满足条件；综上可知n的值为7或8，故答案为：7或8．18．解：a2+ab﹣b2＝0△＝b2+4b2＝5b2．a＝＝b∴＝．故答案是：19．解：∵关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即Δ＝32﹣4×1×t＝9﹣4t≥0，∴t≤．故答案为≤．20．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，∴，解得：k≥﹣且k≠0．故答案为：k≥﹣且k≠0．21．解：∵a＝k﹣1，b＝﹣（2k﹣2），c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k﹣2）2﹣4×（k﹣1）×（﹣3）＝4k2+4k﹣8＝0，解得：k＝1或k＝﹣2，∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k＝﹣2，故答案为﹣2．22．解：∵a＝k，b＝﹣2（k+1），c＝k﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝12k+4＞0，即k＞﹣方程有两个不相等的实数根，则二次项系数不为零k≠0．∴k＞﹣且k≠0故答案为k＞﹣且k≠0．23．解：根据题意得：Δ＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，解得：k＜，∵k为正整数，得到k＝1或2，利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，∴k的值为2．故答案为2．24．解：整理得：x2﹣x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，x＝，x1＝，x2＝，故答案为：x1＝，x2＝．25．解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即62﹣4×4m＝0，解得m＝，故答案为：m＝．三．解答题26．解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得m≥1且m≠2．27．解：（1）两边都乘以（x﹣1），得：2（x﹣2）+x﹣1＝﹣2，解得：x＝1，检验：当x＝1时，最简公分母x﹣1＝0，所以x＝1是原分式方程的增根，则原分式方程无解；（2）∵4x2﹣12x+5＝0，∴（2x﹣1）（2x﹣5）＝0，则2x﹣1＝0或2x﹣5＝0，解得：x1＝，x2＝28．解：∵（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，∴4﹣4（m﹣2）≥0，∴m≤3，又知（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，即m﹣2≠0，解得m≠2，故m≤3且m≠2．29．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．30．解：（1）这里a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28x＝＝＝∴x1＝，x2＝；（2）（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0即（2﹣x）（3x﹣8）＝0∴2﹣x＝0或3x﹣8＝0∴x1＝2，x2＝．31．解：∵方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4（a+3）＝24﹣4a＝0，∴a＝6．把a＝6代入原方程，得x2+6x+9＝（x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣3．∴这个方程的根为﹣3．32．解：∵x2﹣3（2x+1）＝0，∴x2﹣6x﹣3＝0，∵△＝（﹣6）2﹣4×（﹣3）＝48＞0，∴x＝＝3±2，∴x1＝3+2，x2＝3﹣2．33．解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＞0，∴k2﹣2k+1﹣k2+1＞0，整理得，﹣2k+2＞0，解得k＜1．故实数k的取值范围为k＜1．34．解：（1）当m＝﹣2时，是一元一次方程，有一个实根；（2）当m≠﹣2时，Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2+20，∵（m+2）2＞0，∴（m+2）2+20＞0∴方程有两个不等实根；综合上述，m为任意实数时，方程均有实数根．35．解：方程整理得：3x2﹣4x﹣6＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣6，∴△＝16+72＝88，则x1＝，x2＝．36．解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程有一个根为3，所以9+6k+k2﹣1＝0，即k2+6k＝﹣8所以2k2+12k+2022＝2（k2+6k）+2022＝﹣16+2022＝2006．。
《2.3 用公式法求解一元二次方程》课时同步训练 2020-2021年北师大版数学九年级上册
《2.3 用公式法求解一元二次方程》课时同步训练2020-2021年数学北师大版九（上）一．选择题（共10小题）1．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（）A．B．C．D．2．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b（）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，83．用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（）A．B．C．D．4．方程x（x﹣1）＝2的两根为（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝2 5．已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（）A．3B．2C．1D．06．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1B．m≤﹣1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤﹣1且m≠0 7．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a≥1且a≠0 8．定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．有一个实根D．没有实根9．将4个数a、b、c、d排成2行、2列．两边各加一条竖线，记成，并规定，例如：＝8×5﹣9×3＝13＝﹣1的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个相等的实数根10．问题：已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．解：设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝2y．把x＝2y代入已知方程，得（2y）2+2y ﹣3＝0，化简，得所求方程为4y2+2y﹣3＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．应用：已知方程4x2﹣x﹣15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数（）A．4y2+y﹣15＝0B．4y2+y+15＝0C．15y2+y﹣4＝0D．15y2﹣y﹣4＝0二．填空题（共8小题）11．方程4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）＝5的解为．12．李伟同学在解关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为．13．将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为．14．已知x＝（b2﹣4c≥0），则式子x2+bx+c的值是．15．关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝．16．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，则m＝．17．关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围．18．定义比如，4⊗2＝22⊗（x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解．三．解答题（共6小题）19．用公式法解方程：（1）4x2﹣4x+1＝0；（2）3x2﹣2x+1＝0；（3）3x（x﹣3）＝2（x﹣1）（x+1）．20．用公式法解方程：（1）x2+2x﹣2＝0；（2）2x（x+2）＝3﹣x；（3）x2﹣8x+8＝17x2．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根．22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．23．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．24．对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△得值；（2）如果关于x的方程x△（a△x）＝有两个相等的实数根，求实数a的值．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：∵a＝1，b＝﹣6，∴△＝（﹣4）2﹣4×4×1＝32＞0，则x＝＝＝3±2，故选：D．2．解：∵3x2﹣3x＝8，∴3x8﹣4x﹣8＝7，则a＝3，b＝﹣4，故选：B．3．解：这里a＝3，b＝5，∵△＝25﹣12＝13，∴x＝，故选：A．4．解：方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝4，a＝1，b＝﹣1△＝6+8＝9＞7∴x＝解得x1＝﹣1，x4＝2．故选D．5．解：设常数项为c，由题意可知：△＝4﹣4×8c＝4﹣12c≥0，∴c≤，故选：D．6．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣3＝0有实数根，∴，解得：m≥﹣2且m≠0．故选：C．7．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+6＝0有实数根，∴，∴a≤4且a≠0，故选：C．8．解：∵x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k4﹣1）＝4k3+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．9．解：∵方程＝﹣1，∴3x4﹣6x＝﹣1，∴7x2﹣6x+7＝0，∴△＝（﹣6）4﹣4×3×7＞0，∴方程＝﹣1两个不相等的实数根，故选：A．10．解：设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，将x＝﹣y代入方程4x2﹣x﹣15＝5，得：4×（﹣y）2﹣（﹣y）﹣15＝8，化简，得：4y2+y﹣15＝4，故选：A．二．填空题（共8小题）11．解：∵4（x+1）5﹣（2x+5）（2x﹣5）＝5，∴4（x2+2x+7）﹣（4x2﹣25）﹣3＝0，∴4x2+8x+4﹣7x2+25﹣5＝6，∴8x+24＝0，∴3x＝﹣24，∴x＝﹣3，故答案为：x＝﹣3．12．解：由题意得：x2+3x+m＝7的解为x1＝1，x8＝﹣4，可得m＝﹣4，方程为x2﹣3x﹣4＝7，分解因式得：（x﹣4）（x+1）＝6，解得：x1＝4，x7＝﹣1．故答案为：x1＝3，x2＝﹣1．13．解：3x2＝2（x+2），3x6＝5x+10，3x5﹣5x﹣10＝0，故答案为：3x2﹣5x﹣10＝3．14．解：∵x＝（b2﹣4c≥6），∴x2+bx+c＝（）2+b•+c＝++＝＝0，故答案为：0．15．解：∵ax2﹣bx﹣c＝0，∴△＝b5+4ac，∵对于任意实数b，b2≥8，ac＞0，∴b2+7ac＞0，∴一元二次方程ax2+bx+c＝6有两个不相等的实数根．∴x＝．故答案为：．16．解：∵方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，∴△＝（﹣7）2﹣4×7×（﹣m）＝1+4m＝6，解得：m＝﹣．17．解：根据题意得m﹣1≠0且△＝（﹣7）2﹣4（m﹣2）×3＞0，解得m＜且m≠1．故答案为m＜且m≠1．18．解：（1）当x2﹣（x+1）≤8时，方程变为kx2﹣1＝7．∵方程变为kx2﹣1＝3有两个不等实数根，∴△＞0，即△＝4k＞6．∴方程的解为x＝±．又∵x2﹣（x+6）≤1，∴﹣1≤x≤4，∴﹣1≤﹣＜≤2．（2）当x2﹣（x+1）＞5时，x＞2或x＜﹣1，∴方程变为k（x+6）﹣1＝0．因为k≠4时，此方程是一元一次方程方程﹣1，与题意不符；当k≠8时方程不存在，不符合题意．综上，k≥．故答案为：k≥．三．解答题（共6小题）19．解：（1）∵4x2﹣6x+1＝0，∴（4x﹣1）2＝3，则2x﹣1＝8，解得x1＝x2＝2.5；（2）∵3x7﹣2x+1＝7，∴a＝3，b＝﹣2，则△＝（﹣4）2﹣4×5×1＝﹣8＜5，∴该方程无实数根；（3）整理为一般式，得：x2﹣9x+2＝0，∵a＝1，b＝﹣5，∴△＝（﹣9）2﹣8×1×2＝73＞7，则x＝＝，即x4＝，x6＝．20．解：（1）∵a＝1，b＝2，∴△＝b5﹣4ac＝4+2＝12＞0，∴x＝＝﹣7±，即x1＝﹣8+，x2＝﹣7﹣；（2）方程化为2x3+5x﹣3＝2，∴a＝2，b＝5，∴△＝b6﹣4ac＝56+4×2×5＝49＞0，∴方程有两个不等的实数根∴x＝＝，∴x1＝，x2＝﹣3；（3）方程化为4x2+x﹣1＝3，∴a＝2，b＝1，∴△＝b7﹣4ac＝17﹣4×2×（﹣4）＝9＞0，∴方程有两个不等的实数根∴x＝＝，∴x1＝﹣1，x8＝．21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+4﹣k＝0有两个不相等的实数根．∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（7﹣k）＞0，解得k＞0．（2）由（1）知，实数k的取值范围为k＞6，故取k＝1，则x2﹣5x＝0，即x（x﹣2）＝4，解得，x1＝0，x7＝2．22．解：（1）△＝4﹣4（k﹣8）＝12﹣4k＞0，∴k＜3．（2）由（1）可知：k＝2，∴此时方程为：x2+2x＝0，∴x（x+2）＝2，∴x＝0或x＝﹣2．23．解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣8x+1＝0有两个实数根，∴，解得：k≤2且k≠7．（2）当k＝2时，方程为：x2﹣2x+1＝0，即（x﹣6）2＝0，解得：x2＝x2＝1．24．解：（1）﹣2△＝﹣2×++4；（2）∵a△x＝ax+x，∴x△（a△x）＝x（ax+x）+ax+x，∴关于x的方程x△（a△x）＝化为x（ax+x）+ax+x＝﹣，整理得（a+1）x2+（a+1）x+＝0，∵方程有两个相等的实数根，∴a+1≠6且△＝（a+1）2﹣5（a+1）×＝0，即a的值为0．。
北师大版初三数学上册精编课时练《2.3用公式法求解一元二次方程第1课时公式法》(附答案)
北师大版初三数学上册精编同步练习（附解析）3 第1课时 公式法知识点 1 一元二次方程的求根公式1．用公式法解－x 2＋3x ＝1时，需先求出a ，b ，c 的值，则a ，b ，c 依次为() A ．－1，3，－1 B ．1，－3，－1C ．－1，－3，－1D ．－1，3，12．用公式法解方程3x 2＋4＝12x ，下列代入公式正确的是( )A ．x ＝12± 122－3×42×3B ．x ＝－12± 122－4×3×42C ．x ＝－（－12）± 122＋4×3×42D ．x ＝－（－12）± （－12）2－4×3×42×3知识点 2 用公式法解一元二次方程3．方程x 2＋3x －14＝0的解是( )A ．x ＝3±652B ．x ＝－3±652C ．x ＝3±232D ．x ＝－3±2324．2017·都匀期末方程2x 2－4x ＋1＝0的根是( )A ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2B ．x 1＝2＋2 2，x 2＝2－2 2C．x1＝1＋22，x2＝1－22D．x1＝2＋2，x2＝2－ 25．用公式法解方程：(1)x2－2x＝1；(2)4x2－3＝12x.知识点 3 一元二次方程根的判别式6．2017·广元方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．两根异号7．2017·安顺若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( )A．0 B．－1C．2 D．－38．2017·长春若关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是________．9．2017·潍坊若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．10．已知关于x的方程x2＋2 kx－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k≥0 B．k＞0C．k≥－1 D．k＞－111．2017·锦州关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断12．已知三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是( )A．14 B．12C．12或14 D．以上都不对13．2017·通辽若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )图2－3－114．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步．经过计算，你的结论是：长比宽多( )A．12步 B．24步C．36步 D．48步15．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为( )A ．x ＝－2B ．x 1＝－2，x 2＝3C ．x 1＝－1＋32，x 2＝－1－32D ．x 1＝－1＋52，x 2＝－1－5216．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m 的值．17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0.(1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)为m 选取一个合适的整数值，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．18．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC 三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．1．A .2．D ．3．B4．C [5．解：(1)x 2－2x －1＝0，x ＝2±（－2）2－4×1×（－1）2×1＝1±2， ∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(2)4x 2－12x －3＝0，x ＝12±（－12）2－4×4×（－3）2×4＝12±8 38＝3±2 32， ∴x 1＝32＋3，x 2＝32－ 3. 6．B7．D .8．49．k ≤1且k ≠010．A11．A ．12．B13．A 14．A15．D16．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，∴2m －1＝±4，∴m ＝52或m ＝－32. 17．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即[－2(m ＋1)]2－4m 2＞0，解得m ＞－12.(2)∵m ＞－12，∴可取m ＝0，此时方程为x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.(答案不唯一)18．解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由：∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c )×(－1)2＋2b ×(－1)＋(a －c )＝0，∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∴△ABC 是等腰三角形．(2)△ABC 是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0，∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0，即a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形．(3)当△ABC 是等边三角形时，(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0可整理为2ax 2＋2ax ＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1.。
2020-2021学年度北师大版数学九年级上册同步练习：2.3用公式法求解一元二次方程
2020-2021学年度北师大版数学九年级上册同步练习：2.3用公式法求解一元二次方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ）A ．a 4=-，b 5=，c 3=B ．a 4=-，b 5=-，c 3=C ．a 4=，b 5=，c 3=D ．a 4=，b 5=-，c 3=-2．以为根的一元二次方程可能是（ ） A ．x 2+bx+c=0 B ．x 2+bx ﹣c=0 C ．x 2﹣bx+c=0 D ．x 2﹣bx ﹣c=0 3．方程2x 2-6x+3=0较小的根为p ，方程2x 2-2x-1=0较大的根为q ，则p+q 等于( ) A ．3B ．2C ．1D ．4．下列方程适合用求根公式法解的是（ ）A ．（x ﹣3）2=2B ．325x 2﹣326x+1=0C ．x 2﹣100x+2500=0D ．2x 2+3x ﹣1=05．用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ）A ．x 1、2B ．x 1、2C ．x 1、2D ．x 1、26．方程2x 2﹣3=0的两根是（ ）A ．B ．C ．D ．7．解一元二次方程x 2﹣2x ﹣5=0，结果正确的是（ ）A ．x 1=﹣，x 2=﹣1B ．x 1，x 2=1C ．x 1=7，x 2=5D ．x 1x 2=18．关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=的根的情况是（ ）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定9．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．310．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二、填空题11．一元二次方程ax2﹣2x+4=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为_____．12．如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，那么k的值为_____．13．如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是．14．方程2x2﹣3x﹣4=0的根的情况是_____．15．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为_____．16．若m＞n＞0，m2+n2=4mn，则22m nmn的值等于_____．三、解答题17．用公式法解方程：①4x2﹣x+1=0；②x2x﹣3=0．18．先阅读，再填空解题：①方程x2﹣x﹣6=0的根是x1=3，x2=﹣2，则x1+x2=1，x1x2=﹣6；②方程2x2﹣7x+3=0的根是x1=12，x2=3，则x1+x2=72，x1x2=32．根据以上①②你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a、b、c为常数，b2﹣4ac≥0）有两根x1、x2，那么x1+x2、x1x2与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并说明理由．利用公式法求出方程的根即可．19．阅读并回答问题．求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根（用配方法）．解：ax 2+bx+c=0，∵a≠0，∴x 2+b a x+c a=0，第一步 移项得：x 2+b a x=﹣c a，第二步 两边同时加上（2b a ）2，得x 2+b a x+（ ）2=﹣c a +（2b a ）2，第三步整理得：（x+2b a ）2=2244b ac a -直接开方得x+2b a∴，∴x 1=2b a -+，x 2=2b a-，第五步 上述解题过程是否有错误？若有，说明在第几步，指明产生错误的原因，写出正确的过程；若没有，请说明上述解题过程所用的方法．20．已知关于x 的方程（m+1）x 2+2mx+（m ﹣3）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）m 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根．参考答案1．B【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．【详解】∵-4x2+3=5x∴-4x2-5x+3=0，或4x2+5x-3=0∴a=-4，b=-5，c=3或a=4，b=5，c=-3．故选B．【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．2．D【解析】【分析】根据求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项进行对比．【详解】根据求根公式可得，-b是一次项系数，二次项系数是1或-1，常数项是-c或c．所以，符合题意的只有D选项．故选：D．【点睛】考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．3．B【解析】试题分析：2x2－6x＋3＝0，这里a＝2，b＝－6，c＝3，∵△＝36－24＝12，∴x，即p 2x 2－2x －1＝0，这里a ＝2，b ＝－2，c ＝－1，∵△＝4＋8＝12，∴x ，即q ＝12；则p ＋q 12＝2． 故选：B ．点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a ，b ，c ，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解． 4．D【解析】【分析】根据方程的特点及各方法的优缺点解答．【详解】A 选项：此方程适合直接开平方法求解；B 选项：此方程适合因式分解法求解；C 选项：此方程适合因式分解法求解；D 选项：此方程适合公式法求解；故选：D ．【点睛】考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 5．D【解析】∵3x 2+4=12x ，∴3x2-12x+4=0，∴a=3，b=-12，c=4，∴x=，故选D.6．B【解析】【分析】利用求根公式解方程.【详解】方程：﹣3=0中∴故选：B.【点睛】考查用公式法解一元二次方程，利用求根公式解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．7．B【解析】【分析】用配方法解方程，求出方程的解即可．【详解】方程两边同加上1，得x2-2x-5+1=1，即x2-2x+1=6，配方得（x-1）2=6，开方得∴x1，x2=1故选：B.【点睛】查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的是配方法．8．A【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.【详解】()2x k 3x k 0-++=， △=[-(k+3)]2-4k=k 2+6k+9-4k=(k+1)2+8，∵(k+1)2≥0，∴(k+1)2+8>0，即△>0，∴方程有两个不相等实数根，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．9．B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，∴△=22=4×1×(m −2)≥0，解得：m ≤3，又∵m 为正整数，∴m=1或2或3，（1）当m=1时，原方程为x 2+2x-1=0，此时方程的两根均不为整数，故m=1不符合要求；（2）当m=2时，原方程为x2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求；（3）当m=3时，原方程为x2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求；∴ m=2或m=3符合题意，∴m的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5.故选B.【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若方程有两个实数根，则△=b2−4ac≥0”是解答本题的关键.10．B【解析】试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.考点：一元二次方程根的判别式．11．a＜14且a≠0．【解析】【分析】由于方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可知△＞0，即4-16a＞0，解即可．【详解】：∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4-16a＞0，解得a＜14，∵ax2-2x+4=0是一元二次方程，∴a≠0，故答案是：a＜14且a≠0．【点睛】考查了根的判别式，解题的关键是注意△＞0⇔方程有两个不相等的实数根．12．±6．【解析】【分析】若一元二次方程有两相等根，则根的判别式△=b2-4ac=0，建立关于k的等式，求出k的值．【详解】∵方程有两相等的实数根，∴△=b2-4ac=k2-36=0，解得k=±6．故答案是：±6．【点睛】考查了一元二次方程根的判别式的应用，不是很难，解题的关键是根据根的情况列出有关k 的方程．13．c＞9【分析】根据关于x的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（-6）2-4c＜0，再解不等式即可．【详解】∵关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根，∴△=（-6）2-4c＜0，即36-4c＜0，解得：c＞9．故答案为c＞9．14．方程有两个不相等的实数根．【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】∵△=（-3）2-4×2×（-4）=41＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故答案是：方程有两个不相等的实数根．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．15．【解析】【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．【详解】方程x2-12x+31=0，变形得：x2-12x=-31，配方得：x2-12x+36=5，即（x-6）2=5，开方得：解得：当则方程x2-12x+31=0的根为故答案是：【点睛】考查了解一元二次方程-公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．16．．【解析】【分析】根据已知条件求得，；然后将所求的代数式转化为含有m+n、m-n的形式的代数式，并将，代入求值即可．【详解】∵m＞n＞0，m2+n2=4mn，∴（m+n）2=6mn，（m-n）2=2mn，∴∴22m n mn -=()()m n m n mn +-==故答案是：【点睛】考查了完全平方公式的运用,解题关键是根据已知条件将m+n 、m-n 用所求代数式的分母mn 表示的形式.17．（1）x 1=12，x 2=12；（2）x 1=2，x 2=2； 【解析】【分析】分别找出各方程中a ，b ，c 的值，计算判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【详解】①4x 2﹣x+1=0中的a=4，b=﹣，c=1，∵△=32﹣16=16，∴；（2）这里a=1，b=，c=﹣3，∵△=2+12=14，∴． 【点睛】考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．18．∴x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a ，理由见解析． 【解析】【分析】分别根据公式法求得方程的解，再求x 1+x 2、x 1x 2的值.【详解】猜想方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2，满足x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a．∵b 2﹣4ac≥0，∴x 12x =， ∴x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a． 【点睛】 考查解一元二次方程：注：（1）公式法与配方法不能混淆，求根公式是由一元二次方程的一般式用配方法推导出来的．（2）用公式法解方程时，先化为一般形式，再利用公式求解．（3）求解过程中，要先判断b 2-4ac 的符号．19．有错误，在第四步，错误的原因是在开方时对b 2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论．正确步骤见解析.【解析】【分析】①检查原题中的解题过程是否有误：在第四步时，在开方时对b 2-4ac 的值是否是非负数没有进行讨论；②更正：分类讨论b 2-4ac≥0和b 2-4ac ＜0时，原方程的根是什么．【详解】解：有错误，在第四步．错误的原因是在开方时对b 2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论．正确步骤为：（x+2b a ）2=2244b ac a- ， ①当b 2﹣4ac≥0时，x+2b ax+2b a，∴x 1x 2． ②当b 2﹣4ac ＜0时，原方程无解．【点睛】考查解一元二次方程：注：（1）公式法与配方法不能混淆，求根公式是由一元二次方程的一般式用配方法推导出来的．（2）用公式法解方程时，先化为一般形式，再利用公式求解．（3）求解过程中，要先判断b2-4ac的符号．20．(1)当m≥﹣32时，方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根；(2) m=﹣32, x1=x2=﹣3【解析】【分析】（1）根据题意，分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况分析讨论即可；（2）由题意可知，此时原方程是一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求出m的值，并将所得的m的值代入原方程，再解所得方程即可.【详解】（1）关于x的方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根，分两种情况讨论如下：①当m+1=0即m=﹣1时，原方程是一元一次方程，此时方程为﹣2x﹣4=0，必有实数根；②当m+1≠0时，此时原方程是一元二次方程，∵此时原方程有实数根，∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）=8m+12≥0，解得：m≥﹣32且m≠﹣1；综上可知，当m≥﹣32时，方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根；（2）∵关于x的方程（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）=8m+12=0，解得：m=﹣32，将m=﹣32代入原方程可得：﹣12x2﹣3x﹣92=0，两边同时乘以﹣2得：x2+6x+9=0，解得x1=x2=﹣3．【点睛】本题的解题要点有以下两点：（1）解第1小题时需分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，不要忽略了其中任何一种；（2）熟知若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）有两个相等的实数根，则△=b2-4ac=0.。
九年级上册(北师大版)数学课时练习：2.3用公式法求解一元二次方程(有答案)-精选文档
2.3用公式法求解一元二次方程一．填空题（共10小题）1．若a2+ab﹣b2=0且ab≠0，则的值为．2．方程x2﹣6x﹣4=0的两根为x1= ，x2= ，x1+x2= ，x1•x2= ．3．已知a＞b＞0，且++=0，则= ．4．已知+|n﹣1|=0，则方程x2+mx+n=0的根是．5．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．6．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．7．方程x2+2ax+a﹣4=0恒有相异两实根，若方程x2+2ax+k=0也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则k的取值范围是．8．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是．9．关于x的方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．10．x，y为实数，且满足，则y的最大值是二．选择题（共12小题）11．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（）A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣312．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（）A．y= B．y= C．y= D．y=13．关于x的一元二次方程的两根应为（）A． B．， C． D．14．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣3＜a＜﹣4 D．4＜a＜515．一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（）A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，016．若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，则这个方程的两根为（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不确定17．关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根只有整数根的一切有理数r的值有（）个．A．1 B．2 C．3 D．不能确定18．若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠019．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x﹣n的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限20．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣121．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④22．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1三．解答题（共7小题）23．（用公式法解一元二次方程）（1）2x﹣1=﹣2x2．（2）．（3）2（x﹣1）2﹣（x+1）（1﹣x）=（x+2）2．24．解方程x2=﹣3x+2时，有一位同学解答如下：解：∵a=1，b=3，c=2，b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1，∴x===即：x1=﹣2，x2=﹣1请你分析以上解答有无错误，如有错误，请写出正确的解题过程．25．已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）26．已知关于x的方程mx2+x+1=0，试按要求解答下列问题：（1）当该方程有一根为1时，试确定m的值；（2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围．27．已知关于x的方程 x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0．（1）若此方程的一个根为﹣1，求m的值；（2）求证：无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．28．已知三整数a，b，c之和为13，且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值．29．m为任意实数，试说明关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根..参考答案一．填空题1．．2．6，﹣4．3．．4．2±5．0或16．6．1＜m＜5．7．a﹣4＜k＜a2．8．m=4．9．m＜且m≠0．10．．二．选择题11．B．12．C．13．B．14．A．15．C．16．C．17．B．18．B．19．C．20．D．21．C．22．C．三．解答题23．解：（1）2x2+2x﹣1=0，△=22﹣4×2×（﹣1）=12，x==所以x 1=，x 2=；（2）3x 2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×3×1=0，x=所以x 1=x 2=； （3）2x 2﹣4x+2﹣1+x 2=x 2+4x+4，2x 2﹣8x ﹣3=0，△=（﹣8）2﹣4×2×（﹣3）=4×22，x==所以x 1=，x 2=．24．解：解答有错误，正确的解法是：方程整理得：x 2+3x ﹣2=0，这里a=1，b=3，c=﹣2，∵△=9+8=17，∴x=，解得：x 1=，x 2=． 25．（1）证明：原方程可变形为x 2﹣5x+4﹣k 2=0．∵△=（﹣5）2﹣4×1×（4﹣k 2）=4k 2+9＞0，∴不论k 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为x 2﹣5x+4﹣k 2=0．∵方程有整数解，∴x=为整数， ∴k 取0，2，﹣2时，方程有整数解．26．解：（1）将x=1代入方程得：m+1+1=0，解得：m=﹣2；（2）由方程有两个不相等的实数根，得到△=b 2﹣4ac=1﹣4m ＞0，且m ≠0，解得：m ＜且m ≠0．27．（1）解：把x=﹣1代入x 2﹣5x ﹣m 2﹣2m ﹣7=0得1+5﹣m 2﹣2m ﹣7=0，解得m 1=m 2=﹣1，即m的值为1；（2）证明：△=（﹣5）2﹣4（﹣m2﹣2m﹣7）=4（m+1）2+49，∵4（m+1）2≥0∴△＞0，∴方程都有两个不相等的实数根．28．解：设=x，则b=ax，c=ax2，由a+b+c=13化为a（x2+x+1）=13．∵a≠0，∴x2+x+1﹣=0 ①又因为a，b，c为整数，则方程①的解必为有理数．即△=1﹣4（1﹣）=﹣3≥0，解得1≤a≤，且为有理数．故1≤a≤16当a=1时，方程①化为x2+x﹣12=0．解得x1=﹣4，x2=3，故a min=1，b=﹣4，c=16；a min=1，b=3，c=9．当a=16时，方程①化为x2+x+=0．解得x1=，x2=．故a max=16，b=﹣12，c=9；a max=16，b=﹣4，c=1．29．解：△=[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×[﹣3（m+3）]=m2+10m+37=（m+5）2+12，∵（m+5）2≥0，∴（m+5）2+12＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．。
北师大版数学九年级上册2.3用公式法求解一元二次方程同步练习题及
北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程 2.3用公式法求解一元二次方程同步练习题1.一元二次方程 x2＋2 2x－6＝ 0 的根是 ( )A．x1＝x2＝2 B ．x1＝0，x2＝2 2C．x1＝2， x2＝－32D．x1＝2，x2＝3 22. 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a ≠0) 有实数根，则 b2－4ac 知足的条件是 ( ) A．b2－4ac＝0 B ．b2－4ac＞0 C．b2－4ac＜0 D ．b2－4ac≥03.直角三角形两条直角边之和为 7，面积为 6，则斜边长为 ( )A.37B．5 C.38D． 74.方程x2－4x＝0中，b2－4ac的值为()A．－ 16B． 16C．4D．－ 45.方程 x2＋x－1＝0 的一个根是 ( )A．1－5 B. 1－ 5C ．－ 1＋5 D.－1＋ 52 26.一元二次方程 x2＋2x＋1＝0 的根的状况是 ( )A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根7.已知命题“对于 x 的一元二次方程 x2＋bx＋1＝0，当 b<0 时，必有实数解”，能说明这个命题是假命题的反例是 ( )A．b＝－1 B ．b＝2 C．b＝－ 2 D ．b＝08.以下选项中，能使对于 x 的一元二次方程 ax2－4x＋c＝ 0 必定有实数根的是 ( ) A．a＞0 B ．a＝0 C．c＞0 D ．c＝09.a，b，c 为常数，且 (a －c) 2＞a2＋c2，则对于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的状况是( )A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．有一根为 010.对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a ≠0) ，当 b2－4ac>0 时，方程有的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有的实数根；当b2－4ac<0时，方程____实数根．我们把叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0( a≠0)的根的鉴别式，往常用希腊字母“ ”来表示．11.方程 x2－x－12＝0 的解为．212.一个正方形的边长减少 3 cm后，它的面积比原面积的一半还少 1 cm，则本来的边长为 ____．13.一小球以15m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h( m) 与时间 t( s) 知足关系 h＝15t －5t 2，则小球经过 ____s 达到 10 m 高．14.若对于x的一元二次方程x2－4x－m＝0 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．15.若实数范围内定义一种运算“ * ”，使 a*b ＝(a ＋1) 2－ab，则方程 (x ＋2)*5 ＝0 的解为．16.一元二次方程 2x2－3x－1＝0 中，a＝____，b＝____，c＝____，b2－4ac＝ ____，方程的解为 x1＝， x2＝．17.用公式法解方程：(1)2x 2－3x＋1＝0；(2) x2－23x＋3＝0.18.解方程2x2＋4 3x＝2 2. 有一位同学解答以下：这里 a＝2，b＝4 3，c＝2 2，∴ b2－4ac＝(4 3) 2－4×2×2 2＝32.∴x＝－b± b2－4ac －4 3±326±2，2a＝2＝－2∴x1＝－ 6＋2，x2＝－ 6－2.请你剖析以上解答有无错误，若有错误，指犯错误的地方，并写出正确的结果．19.已知对于x 的一元二次方程ax2＋bx＋ 1＝0(a ≠0) 有两个相等的实数根，求ab2（a－2）2＋b2－4的值．2 220.已知对于x的方程x－2(m＋1)x＋m＝0.(1)当 m取何值时，方程没有实数根；(2)为 m选用一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．21.如图，在宽为 20 米，长为 30 米的矩形地面上修筑两条相同宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551 平方米，则修筑的路宽应为多少米？22. 某新建火车站站前广场需要绿化的面积为2 2 46 000 m，施工队在绿化了22 000 m后，将每日的工作量增添为本来的 1.5 倍，结果提早 4 天达成了该项绿化工程．(1)该项绿化工程原计划每日达成多少平方米？(2)该项绿化工程中有一块长 20 m，宽 8 m的矩形空地，计划在此中修筑两块相同的2矩形绿地，它们的面积之和为56 m，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道( 以下图 ) ，问人行通道的宽度是多少米？参照答案：1---9 CDBBD BADB10. 两个不相等两个相等没有b2－4ac11. x 1＝4，x 2＝－ 312. 10cm13. 1 或 214. m ＞－ 415. x 1＝ －1＋ 5 －1－ 5，x 2＝2 216. 2 －3 －1 17 3＋ 173－ 174 43±1 117. (1) ∵Δ＝ 9－4×2×1＝1，∴ x ＝4 ，∴ x 1＝1，x 2＝2(2) ∵Δ＝ 12－4×3＝0，∴ x 1＝x 2＝ 318. 有错误，错误的原由是没有将方程化为一般形式，c 应为－ 2 2，结果是 x ＝－ 6±2 22 ab2 ab2 b219. ∵b －4a ＝0，∴原式＝ a2－4a ＋4＋b2－4＝ a2 ＝ a ＝42 2 120. (1) ∵Δ＝ [ －2(m ＋1)] －4m<0，∴m<－2(2) 取 m ＝0，代入解得 x 1＝0，x 2 ＝221. 设道路宽为 x 米，由题意得 (30 －x) ·(20 － x) ＝551，解得 x 1 ＝1，x 2＝49( 舍去 ) ．答：修筑的道路的宽应为 1 米22. (1) 设该项绿化工程原计划每日达成 x m 2，依据题意得 46 000 －22 000 － 46 000 －22 000 ＝4，解得 x ＝2 000 ，x 1.5x经查验， x＝2 000 是原方程的解，答：该绿化项目原计划每日达成 2 000 平方米(2)设人行通道的宽度为 x m，依据题意得 (20 －3x)(8 －2x) ＝56，26解得 x1＝2 或 x2＝3 ( 不合题意，舍去 ) ．答：人行通道的宽为 2 米。
北师大版数学九年级上册：2.3.1 公式法 同步练习(含答案)
2.3.1 公式法一、选择题1.用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是()A.a=3,b=2,c=3B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=-3D.a=3,b=-2,c=32.用公式法解方程x2-4x=2,其中b2-4ac的值是()A.16B.24C.8D.43.一元二次方程2x2-x-1=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断4.[2020·黔西南州] 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是()A.m<2B.m≤2C.m<2且m≠1D.m≤2且m≠15.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是()A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根二、填空题6.已知一元二次方程x2-3x-a=0,当a=-6时,方程的根的情况为;若方程有两个相等的实数根,则a=.7.一元二次方程3x2=4-2x的解是.,且b2-4ac=0,则此方程的另一个根8.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是12是.9.(1)关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是;(2)若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0无实数根,则k的取值范围是.10.在实数范围内定义一种运算“*”,使a*b=(a+1)2-ab,则方程(x+2)*5=0的解为.三、解答题11.不解方程,判断下列方程的根的情况:=0; (2)16x2-24x+9=0;(1)2x2-3x-32(3)x2-4√2x+9=0; (4)3x2+10=2x2+8x.12.用公式法解下列方程:(1)x2-5x+4=0;(2)x2+3x=0;(3)2x2-3x+9=0;8(4)2x2-3√3x+3=0;(5)0.3y2+y=0.8;(6)6x2-11x+4=2x-2;(7)(3x+2)(x+3)=x+14.13.已知关于x的一元二次方程mx2-(m-2)x-2=0(m≠0).(1)求证:方程一定有实数根;(2)若此方程有两个不相等的整数根,求整数m的值.14.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC的三边长.(1)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.15.[分类讨论题] 已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)试说明无论k取何值,这个方程一定有实数根;(2)已知等腰三角形ABC的一边a为1,若另两边b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长.详解详析1.D2.B [解析] 方程x 2-4x=2可化为x 2-4x-2=0.∵a=1,b=-4,c=-2,∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=16+8=24.故选B .3.A [解析] ∵b 2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9>0,∴该一元二次方程有两个不相等的实数根.故选A .4.D [解析] ∵关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+2x+1=0有实数根,∴{m -1≠0,Δ=22-4×1×(m -1)≥0,解得m ≤2且m ≠1.故选D .5.A [解析] ∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1,∴(-1)2-4+c=0,解得c=3,故原方程中c=5,则b 2-4ac=16-4×1×5=-4<0,所以原方程的根的情况是没有实数根.故选A .6.无实数根 -947.x 1=-1+√133,x 2=-1-√133[解析] 3x 2=4-2x ,3x 2+2x-4=0,则b 2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0,故x=-2±√526,则x 1=-1+√133,x 2=-1-√133.故答案为x 1=-1+√133,x 2=-1-√133. 8.12 [解析] ∵b 2-4ac=0,∴一元二次方程有两个相等的实数根,∴此方程的另一个根为12.9.(1)0 (2)k<-1[解析] (1)一元二次方程x 2-2x-m=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=4+4m>0,∴m>-1.故答案为0.(2)由题意可知Δ=4+4k<0,∴k<-1.故答案为k<-1.10.x 1=-1+√52,x 2=-1-√5211.解:(1)2x 2-3x-32=0,∵Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×2×-32=21>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)16x 2-24x+9=0,∵Δ=b 2-4ac=(-24)2-4×16×9=0,∴方程有两个相等的实数根.(3)x 2-4√2x+9=0,∵Δ=b 2-4ac=(-4√2)2-4×1×9=-4<0,∴方程没有实数根.(4)3x 2+10=2x 2+8x ,即x 2-8x+10=0,∵Δ=b 2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0,∴方程有两个不相等的实数根.12.解:(1)∵a=1,b=-5,c=4,∴Δ=b 2-4ac=(-5)2-4×1×4=9>0,∴x=5±√92=5±32,∴x 1=1,x 2=4. (2)∵a=1,b=3,c=0,∴Δ=b 2-4ac=32-4×1×0=9>0,∴x=-3±√92×1,∴x 1=0,x 2=-3.(3)∵a=2,b=-3,c=98,∴Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×2×98=9-9=0, ∴x=-(-3)±√02×2,∴x 1=x 2=34. (4)∵a=2,b=-3√3,c=3,∴Δ=b 2-4ac=(-3√3)2-4×2×3=3>0,∴x=3√3±√32×2=3√3±√34, ∴x 1=√3,x 2=√32.(5)移项,得0.3y 2+y-0.8=0.∵a=0.3,b=1,c=-0.8,∴Δ=b 2-4ac=12-4×0.3×(-0.8)=1.96>0,∴y=-1±√1.962×0.3=-1±1.40.6, ∴y 1=23,y 2=-4.(6)原方程可化为6x 2-13x+6=0.∵a=6,b=-13,c=6,∴Δ=b 2-4ac=(-13)2-4×6×6=25>0,∴x=13±√252×6=13±512, ∴x 1=32,x 2=23.(7)原方程可化为3x 2+10x-8=0,∵a=3,b=10,c=-8,∴Δ=b 2-4ac=102-4×3×(-8)=196>0,∴x=-10±√1966, 即x=-5±73,∴x 1=23,x 2=-4.13.解:(1)证明:∵m ≠0,Δ=[-(m-2)]2-4m ×(-2)=m 2-4m+4+8m=m 2+4m+4=(m+2)2≥0, ∴方程一定有实数根.(2)由(1)易得x=m -2±(m+2)2m ,∴x 1=1,x 2=-2m , 当整数m 取±1,±2时,x 2为整数.∵方程有两个不相等的整数根,∴-2m ≠1,∴m ≠-2,∴整数m 的值为-1,1,2.14.解:(1)△ABC 是直角三角形.理由:∵原方程有两个相等的实数根,∴(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,∴4b2-4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.(2)∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c.∵(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,∴2ax2+2ax=0,而a≠0,∴x2+x=0,解得x1=0,x2=-1.15.[解析] (1)整理根的判别式,得到它是非负数即可.(2)分b=c,b=a两种情况.解:(1)∵Δ=[-(k+2)]2-8k=(k-2)2≥0,∴无论k取何值,这个方程一定有实数根.(2)①若b=c,则Δ=0,即(k-2)2=0,∴k=2,∴方程可化为x2-4x+4=0,∴x1=x2=2,则b=c=2,∴△ABC的周长为5;②若b=a=1(或c=a=1),则1是方程x2-(k+2)x+2k=0的一个根.把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0,得1-(k+2)+2k=0,解得k=1,∴原方程可化为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,∴a=b=1,c=2(或a=c=1,b=2),此时不满足三角形的三边关系,舍去.综上所述,△ABC的周长为5.。
2022年北师大版九上第二章《一元二次方程》同步练习6(2.3)
第二章 一元二次方程周周测62.3 用公式法求解一元二次方程1．方程x 2－4x ＝0中，b 2－4ac 的值为( )A ．－16B ．16C ．4D ．－42．方程x 2＋x －1＝0的一个根是( )A ．1－ 5 B.1－52 C ．－1＋ 5 D.－1＋523．下列关于x 的方程有实数根的是( )A ．x 2＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．x 2－x ＋1＝0D ．x 2－x －1＝04. 一元二次方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定5. 若关于x 的一元二次方程x 2＋2(k －1)x ＋k 2－1＝0有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k≥1B ．k ＞1C ．k ＜1D ．k≤16. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＜5B ．k ＜5，且k≠1C ．k≤5，且k≠1D ．k ＞57. a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．有一根为08. 用求根公式法解得某方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根互为相反数，则( )A．b＝0 B．c＝0 C．b2－4ac＝0 D．b＋c＝09. 若关于x的一元二次方程x2－2x－k＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx－k的大致图象是( )A B C D10．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是________．11．若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为__________．12. 已知等腰三角形的一腰长x满足方程x2－12x＋31＝0，其周长为20，则腰长x的值为________．13. 已知一元二次方程(m－3)x2＋2mx＋m＋1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根．14. 如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长10 m)，另三边用木栏围成，中间隔有一道木栏，木栏的总长为23 m.(1)请你设计一个鸡场，使该鸡场的面积达到40 m2；(2)你能设计一个面积为50 m2的鸡场吗？请说明理由．15. 已知一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．答案：1---9 BADBD BBAB10. 011. x 1＝－1＋52，x 2＝－1－5212. 6＋ 513. (1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝4m 2－4(m－3)(m ＋1)＞0，解得m ＞－32，∴m ＞－32且m≠3. (2)当m 在取值范围内取最小正偶数，即m ＝2时，方程是－x 2＋4x ＋3＝0，解得x 1＝2＋7，x 2＝2－7.14. (1)设鸡场的宽为x m ，则另一边长为(23－3x)m ，依题意得x(23－3x)＝40，解得x 1＝5，x 2＝83，当x ＝5时，23－3x ＝8<10；当x ＝83时，23－3x ＝15>10，不符合题意，舍去．∴鸡场的宽为5 m ，就能使该鸡场的面积达到40 m 2.(2)不能，理由：依题意得x(23－3x)＝50，整理得3x 2－23x ＋50＝0，∵b 2－4ac ＝529－600＝－71<0，∴该方程无解，∴不能设计出面积为50 m 2的鸡场．15. (1)证明：∵Δ＝b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋k)＝1>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵方程有两个不相等的实数根，∴AB＝AC 不成立，∴要使△ABC 是等腰三角形，则AB 与AC 其中一条边与BC 相等，即方程必有一根为5，∴52－5(2k ＋1)＋k 2＋k ＝0，解得k ＝4或k ＝5，经检验k ＝4或k ＝5符合题意，则k 的值为4或5.第三章检测题一、选择题(每小题3分，共30分)1．事件A ：打开电视，它正在播广告；事件B ：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C ：在标准大气压下，温度低于0 ℃P (A )、P (B )、P (C )，则P (A )、P (B )、P (C )的大小关系正确的是( B )A ．P (C )＜P (A )＝P (B ) B ．P (C )＜P (A )＜P (B )C ．P (C )＜P (B )＜P (A )D ．P (A )＜P (B )＜P (C )2．从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是( B )A ．0 B.13 C.23 D ．1 3．如图，2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B ，在余下的7个点中任取一点C ，使△ABC 为直角三角形的概率是(D )A.12B.25C.37D.474．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，问抽取的两个球数字之和大于6的概率是( C )A.12B.712C.58D.345．掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为( A )A.118B.136C.112D.1156．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是( D )A.14B.34C.13D.12,第6题图) ,第7题图)7．如图所示的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是( C )A.1925B.1025C.625D.5258．有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a 的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为b 的值，则点(a ，b )在第二象限的概率是( B ) A.16 B.13 C.12 D.23 9．从长为10 cm ，7 cm ，5 cm ，3 cm 的四条线段中任选三条能够组成三角形的概率是( C )A.14B.13C.12D.3410．如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0)，A 2(2，0)，B 1(0，1)，B 2(0，2)，分别以A 1，A 2，B 1，B 2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是( D )A.34B.13C.23D.12二、填空题(每小题3分，共18分)11．一个布袋中装有3个红球和4个白球，这些除颜色外其他都相同．从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为__47__． 12．一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2 000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，则水库里有__460__尾鲫鱼．13．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为40%，估计袋中白球有__4__个．14．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次能打开锁的概率是__12__． 15．袋中装有4个完全相同的球，分别标有1，2，3，4，从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余3个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于30的概率为__12__． 16．一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有颜色不同，其中一个无盖．突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是__16__． 三、解答题(共72分)17．(10分)小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．解：画树状图：P (都是蓝色)＝26＝1318．(10分)在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，，再随机摸取一张纸牌．(1)计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；(2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．解：(1)14(2)这个游戏公平，理由如下 ：两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B )有8个，P (B )＝816＝12，两次摸出纸牌上数字之和为奇数与和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平19．(10分)甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为－7，－1，3.乙袋中的三张卡片所标的数值为－2，1，，用x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出卡片上的数值，把x 、y 分别作为点A 的横坐标和纵坐标．(1)用适当的方法写出点A (x ，y )的所有情况；(2)求点A 落在第三象限的概率．解：(1)列表：－7 －1 3－2 (－7，－2) (－1，－2) (3，－2)1(－7，1) (－1，1) (3，1) 6(－7，6) (－1，6) (3，6) 可知，点A 共有9种情况 (2)由(1)知点A 的坐标共有9种等可能的情况，点A 落在第三象限(事件A )共有(－7，－2)，(－1，－2)两种情况，∴P (A )＝2920．(10分)分别把带有指针的圆形转盘A 、B 分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字(如图所示)．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．(1)试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；(2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．解：(1)共有12种情况，积为奇数的情况有6种，所以欢欢胜的概率是612＝12(2)由(1)得乐乐胜的概率为1－12＝12，两人获胜的概率相同，所以游戏公平 21．(10分)现有一项资助贫困生的公益活动由你来主持，每位参与者交赞助费5元．活动规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成6个相等的扇形，参与者转动这两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字(若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一数字为止)．若指针最后所得的数字之和为12，则获一等奖，奖金20元；数字之和为9，则获二等奖，奖金10元；数字之和为7，则获三等奖，奖金5元；其余的均不得奖．此次活动所集到的资助费除支付获奖人员的奖金外，其余全部用于资助贫困生的学习和生活．(1)分别求出此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；(2)若此项活动有2 000人参加，活动结束后至少有多少赞助费用于资助贫困生．解：(1)P (一等奖)＝136；P (二等奖)＝19；P (三等奖)＝16 (2)(136×20＋19×10＋16×5)×2 000＝5 000，5×2 000－5 000＝5 000，即活动结束后至少有5 000元用于资助贫困生22．(10分)甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物(里面的东西只有颜色不同)，将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．(1)下列事件是必然事件的是( A )A ．乙抽到一件礼物B ．乙恰好抽到自己带来的礼物C ．乙没有抽到自己带来的礼物D ．只有乙抽到自己带来的礼物(2)甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物(记为事件A )，请列出事件A 的所有可能的结果，并求事件A 的概率．解：(2)依题意可画树状图：(直接列举出6种可能结果也可)符合题意的只有两种情况：①乙丙甲，②丙甲乙，∴P (A )＝26＝1323．(12分)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．(1)先从袋中摸出1个球放回，混合均匀后再摸出1个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；(2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．解：(1)①画树状图得：∵共有16种等可能的结果，第一次摸到绿球，第二次摸到红球的有4种情况，∴第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率为：416＝14；②∵两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率为：816＝12 (2)23。
最新北师大九年级上《2.3用公式法求解一元二次方程》分课时同步练习(有答案)
3 用公式法求解一元二次方程第1课时公式法与根的判别式1．用公式法解方程－x2＋3x＝1时，需先确定a，b，c的值，则a，b，c的值依次为( )A．－1，3，－1 B．1，3，－1 C．－1，－3，－1 D．－1，3，12．用公式法解方程x2＋5x－5＝0，下列代入公式正确的是( )A．x1，2＝－5±52－4×1×52B．x1，2＝5±52－4×1×（－5）2C．x1，2＝－5±52－4×1×（－5）2D．x1，2＝－1±12－4×5×（－5）2×53．一元二次方程x2－2x＝0的根的判别式的值为( )A．4 B．2 C．0 D．－44．已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断5．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．6．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0没有实数根，则k的取值范围是( )A．k＞－1 B．k＞－1且k≠0C．k＞1 D．k＜－17．若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )8．若|b－1|＋a－4＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．9.已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．10．一元二次方程x 2＋3 2x ＋4＝0的根是( )A ．x 1＝x 2＝ 2B ．x 1＝2，x 2＝－2 2C ．x 1＝－2，x 2＝－2 2D ．x 1＝－2，x 2＝22 11．若在实数范围内定义一种运算“﹡”，使a ﹡b ＝()a ＋12－ab ，则方程()x ＋2﹡5＝0的解为________．12．用公式法解下列方程：(1)2x 2＝9x －8； (2)2y (y －1)＋3＝(y ＋1)2.13．已知关于x的一元二次方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.(1)试说明无论k取何值，这个方程一定有实数根；(2)已知等腰三角形ABC的一边a＝1，若另两边b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．14．已知关于x的一元二次方程mx2－(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m＞0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值．(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)．若y是关于m 的函数，且y＝7x1－mx2，求这个函数的表达式；并求当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤3m.1．A 2.C3．A4．B5．解：(1)∵b 2－4ac ＝(2m )2－4×1×(m 2－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0，解得m 1＝－2，m 2＝－4.6．D .7．A.8．k <4且k ≠09．解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由如下：把x ＝－1代入原方程，得a ＋c －2b ＋a －c ＝0，所以a ＝b ，即△ABC 是等腰三角形．(2)△ABC 是直角三角形．理由如下：因为方程有两个相等的实数根，所以(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0，所以b 2－a 2＋c 2＝0，即a 2＝b 2＋c 2，所以△ABC 是直角三角形．10．C11．x ＝－1±5212．解：(1)移项，得2x 2－9x ＋8＝0.∵a ＝2，b ＝－9，c ＝8，∴b 2－4ac ＝(－9)2－4×2×8＝17，∴x 1＝9＋174，x 2＝9－174. (2)由原方程，得2y 2－2y ＋3＝y 2＋2y ＋1，即y 2－4y ＋2＝0，∴a ＝1，b ＝－4，c ＝2，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×2＝8＞0.∴y ＝4±82，∴y 1＝2＋2，y 2＝2－ 2. 13．解：(1)∵Δ＝(k ＋2)2－8k ＝(k －2)2≥0，∴无论k 取何值，这个方程一定有实数根．(2)①若b ＝c ，则Δ＝0，即(k －2)2＝0，∴k ＝2，∴原方程可化为x 2－4x ＋4＝0，∴x 1＝x 2＝2，∴b ＝c ＝2，∴△ABC 的周长为5；②若b ＝a ＝1或(c ＝a ＝1)，∵另两边b ，c 恰好是方程x 2－(k ＋2)x ＋2k ＝0的两个根，∴1－(k ＋2)＋2k ＝0，∴k ＝1，∴原方程可化为x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2，∴c ＝2.∵a ＋b ＝c ，∴不满足三角形三边的关系，舍去．综上所述，△ABC 的周长为5.14．解：(1)证明：Δ＝(3m ＋2)2－4m ·(2m ＋2)＝m 2＋4m ＋4＝(m ＋2)2.∵m ＞0，∴(m ＋2)2＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．∵x ＝3m ＋2±（m ＋2）2m，∴方程有一个根为1，∴方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值1.(2)∵x ＝3m ＋2±（m ＋2）2m， ∴x 1＝1，x 2＝2＋2m. ∴y ＝7x 1－mx 2＝7－m (2＋2m)＝－2m ＋5. 当y ≤3m 时，即－2m ＋5≤3m ，∴m ≥1.第2课时 公式法的实际应用1．当x ＝－b ＋b 2－4ac 2a(a ≠0，b 2－4ac ＞0)时，代数式ax 2＋bx ＋c 的值是( )A ．0 B.－b －b 2－4ac 2a C ．－b a D.c a2．直角三角形两直角边长的和为7，面积为6，则斜边长为________．3．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图2所示，它的长为8 m ，宽为5 m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m 2，求花边的宽．图24．如图3，将边长为2 cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A ′B ′C ′.若两个三角形重叠部分的面积为1 cm 2，则它移动的距离AA ′＝________．图35．如图4，一长为32 m、宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540 m2，求道路的宽．图46．如图5，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的14.若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的16，求道路的宽．图57．在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，且整体图案成轴对称图形．下面是小华与小芳的设计方案．图6(1)你认为小华所设计的花园的形状是________，整个设计图案共有________条对称轴；(2)请你帮助小芳计算出道路的宽度．8．将一块长18米、宽15米的矩形荒地修建成一个花园，所占的面积为原来荒地面积的三分之二．方案1：如图7①，花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路；方案2：如图7②，花园中每个角的扇形都相同．以上两种方案是否都符合条件？若符合，请计算出图①中小路的宽和图②中扇形的半径(精确到0.1米)；若不符合，请说明理由．图79．如图8，某公司计划用32 m长的材料沿墙建造长方形仓库，仓库的一边靠墙，已知墙长16 m，设长方形的宽AB为x m.(1)用含x的代数式表示长方形的长BC.(2)能否建造成面积为120 m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．(3)能否建造成面积为160 m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．图810．如图9，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 2 cm/s 的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0<t<8)，则当t＝________时，S1＝2S2.图911．如图10所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以2 cm/s的速度移动．(1)如果P，Q两点同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8 cm2?(2)点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形APQB的面积等于△ABC面积的14？若存在，求出运动的时间；若不存在，请说明理由．图1012．如图11，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P 从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度运动；同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度运动，设运动的时间为t s，有一点到终点运动即停止．问是否存在这样的时刻，使S△DPQ＝28 cm2？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1113．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图12，以a2和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝a2，则AD的长就是所求方程的解．(1)请用含字母a，b的代数式表示AD的长；(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．图121．A . 2．53．解：设花边的宽为x m ，则地毯中央长方形图案的长为(8－2x)m ，宽为(5－2x)m .根据题意列方程，得(8－2x)(5－2x)＝18，解得x 1＝1，x 2＝5.5(不符合题意，舍去)． 答：花边的宽为1 m . 4．1 cm5．解：利用平移，原图可转化为下图，设道路的宽为x m ．根据题意，得(20－x )(32－x )＝540.整理，得x 2－52x ＋100＝0. 解得x 1＝50(舍去)，x 2＝2. 答：道路的宽为2 m.6．解：设道路的宽为x 米，则可列方程x (12－4x )＋x (20－4x )＋16x 2＝16×20×12，即x 2＋4x －5＝0，解得x 1＝1，x 2＝－5(舍去)． 答：道路的宽为1米． 7．解：(1)菱形 2(2)依题意得(16－2x )(12－2x )＝12×16×12，解得x 1＝2，x 2＝12(不合题意，舍去)．所以，道路的宽度为2米．8．解：设图①中小路的宽度为x 米．根据题意，得 18x ＋15x －x 2＝18×15×13，解得x 1＝3，x 2＝30(不合题意，舍去)． 故方案1符合条件，小路的宽为3米． 设图②中扇形的半径为y 米．根据题意，得πy 2＝18×15×13，解得y 1≈5.4，y 2≈－5.4(不合题意，舍去)． 故方案2符合条件，扇形的半径约为5.4米． 9．解：(1)依题意得BC ＝(32－2x )m. (2)能．由题意知x (32－2x )＝120， 化简整理得(x －6)(x －10)＝0， 解得x 1＝6，x 2＝10.经检验，x 1＝6，x 2＝10都是原方程的解，但x 1＝6不符合题意，舍去，所以，能建造成面积为120 m 2的长方形仓库，此时长为12米，宽为10米．(3)不能．理由：由题意知x (32－2x )＝160，化简整理得x 2－16x ＋80＝0，此时Δ＝162－4×1×80＝－64＜0，此方程实数无解．所以不能建造成面积为160 m 2的长方形仓库．10．611．解：(1)设x s 后，可使△PCQ 的面积为8 cm 2. 由题意，得12(6－x )·2x ＝8，解得x ＝2或x ＝4，故2 s 或4 s 后，△PCQ 的面积为8 cm 2.(2)不存在．理由：设y s 时，四边形APQB 的面积等于△ABC 面积的14，则△PCQ 的面积是△ABC 的面积的34.由题意得12(6－y )·2y ＝34×12×6×8，整理，得y 2－6y ＋18＝0.由于Δ＝36－4×18＝－36＜0，方程无解，故不存在使四边形APQB 的面积等于△ABC 面积的14的时刻．12．解：存在，t ＝2或4.理由如下：依题意知S矩形ABCD－S △ADP－S △PBQ －S △DCQ ＝12×6－12×12t －12(6－t )·2t －12×6×(12－2t )＝28，解得t ＝2或4.故存在这样的时刻，使S △DPQ ＝28 cm 2. 13．解：(1)∵∠C ＝90°，BC ＝a2，AC ＝b ，∴AB ＝b 2＋a 24，∴AD ＝b 2＋a 24－a2＝4b 2＋a 2－a 2.(2)用求根公式求得：x 1＝－4b 2＋a 2－a2，x 2＝4b 2＋a 2－a 2.。
北师大版数学九年级上册 2.3用公式法求解一元二次方程 同步习题
北师大版数学九上册 2.3用公式法求解一元二次方程同步习题及答案[预习自测]1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是用法推导出来的。
2. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是。
[知识点1]用公式法解一元二次方程1. 用公式法解方程-x2+3x=1时，先求出a，b，c的值，则a，b，c依次为（）A.-1，3，-1B. 1，-3，-1C. -1，-3，-1D. 1，3，-12. 方程x2-x-1=0的一个根是（）A.1-√5B.1−√52C. -1+√5 D.−1+√523.方程x（x-1）=2的两根为（）A.x1=0，x2=1B. x1=0，x2=-1C. x1=2，x2=1D. x1=2，x2=-14.解方程x2+3x-2=0[提高训练]1212C．x1=√2，x2=-3√2D．x1=-√2，x2=3√26.一元二次方程（x+1）（x-3）=5的解是（）A．x1=1，x2=-3 B．x1=4，x2=-2C．x1=-1，x2=3 D．x1=-4，x2=2210．解下列方程：（1）x2-6x+4=0 （2）2x2-3x-1=011．根据如图所示的程序计算：（1）选取一个你喜欢的x 的值，输入计算，试求输出的y 值是多少？（2）是否存在这样的x 的值，输入计算后始终在内循环计算而输不出y 的值？如果存在，请求出x 的值；如果不存在，请说明理由．11.解：（1）x=1，则x 2×2-4=-2＜0再输入则x 2×2-4=4（2）当y=x ，且y ＜0时，输入x 计算后始终输不出y 的值．此时x=2x 2-42x 2-x-4=0，x 1，2=1±√334∵1+√334＞0，1−√334＜0∴x=1−√334为所求的x 的值，输入计算后始终输不出y 的值．12．关于x的一元二次方程为（m-1）x2-2mx+m+1=0。
（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？13．（1）解下列方程：①x2-2x-2=0；②2x2+3x-1=0；③2x2-4x+1=0；④x2+6x+3=0；（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式。
北师大版九年级上册2.3用公式法解一元二次方程同步训练 ()
2019-2019学年数学北师大版九年级上册2.3用公式法解一元二次方程同步训练一、选择题1.用公式法解方程x2-23x时，a ，b ，c的值依次是（）A. 0，-2，-3B. 1，3，-2C. 1，-3，-2D. 1，-2，-32.用公式法解方程（2）2=6（2）-4时，b2-4的值为（）A. 52B. 32C. 20D. -123.方程2+31用公式法求解，先确定a ，b ，c的值，正确的是（）A. 1，3，1B. 1，3，1C. 1，3，1D. 1，3，14.如果一元二次方程20（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A. b2-4≥0B. b2-4≤0C. b2-4＞0D. b2-4＜05.方程x2-32=0的最小一个根的倒数是（）A. 1B. 2C.D. 46.方程（1）（2）=1的根是（）A. x1=1，x2=2B. x11，x22C. x1=0，x2=3D. 以上都不对7.已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0较大的实数根，则对a的值估计正确的是（）A. 0＜a＜1B. 1＜a＜2C. 2＜a＜3D. 3＜a＜4二、填空题8.一元二次方程x2-32=0的解是9.写出方程x21=0的一个正根10.当时，代数式x2-812的值是-4．11.利用解一元二次方程的方法，在实数范围内分解因式x2﹣2x﹣1．12.已知k＞0，且关于x的方程32+121=0有两个相等的实数根，那么k的值等于．13.如果关于x的一元二次方程x2+22=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为14.关于x的方程32+122=0有实数根，则k的取值范围是．三、解答题15.用公式法解方程：（1）；（2）（3）（4）16.已知关于x的方程x(x－k)＝2－k的一个根为2．（1）求k的值；（2）求方程2y(2k－y)＝1的解．17.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-87=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长18.已知关于x的方程x2+（2m﹣1）4=0有两个相等的实数根，求m的值．19.已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）20.定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆2，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣0的根的情况．答案解析部分一、选择题1.【答案】B【考点】公式法解一元二次方程【解析】【解答】整理得：x2+32=0，这里1，3，2．故选B．【分析】方程整理为一般形式，找出a ， b ，c的值即可2.【答案】C【考点】公式法解一元二次方程【解析】【解答】∵（2）2=6（2）-4∴x2-24=0∴1，2，4∴b2-4 =4+16=20．故选C．【分析】此题考查了公式法解一元一次方程，解此题时首先把方程化简为一般形式，然后找a、b、c ，最后求出判别式的值3.【答案】A【考点】解一元二次方程-公式法【解析】【解答】将2+31整理为一般形式得：2+31=0，可得出1，3，1．故选A【分析】将一元二次方程整理为一般形式，找出二次项系数a ，一次项系数b及常数项c即可．4.【答案】A【考点】解一元二次方程-公式法【解析】【解答】若一元二次方程20（a≠0）能用公式法求解，则b2-4≥0；故选A．【分析】若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于0，由此可判断出正确的选项．5.【答案】A【考点】一元二次方程的求根公式及应用【解析】【解答】解：x2-32=0，（1）（2）=0，1=0或2=0，x1=1或x2=2，所以方程x2-32=0的最小一个根的倒数是1，故答案为：A．【分析】观察方程右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解，再求出方程的解中较小一个根的倒数。
2.3《用公式法求解一元二次方程第1课时》北师大版九年级上册教学课件
配方，得 x2 b x + ( b )2 ( b )2 + c 0， a 2a 2a a
(x
+
b )2 2a
b2 4ac 4a 2
0
.
移项，得
( x + b )2 b2 4ac . 能直接开方吗？
2a
4a 2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)， 请用配方法解此方程.
分析：
(1) ①找对应系数：
(2) ①化一般形式：4x2-4x+1=0；
a=1，b= -7，c= -18； ②找对应系数：a=4，b= -4，c=1；
②判断 b2 - 4ac≥0；
③判断 b2 - 4ac≥0；
③代入求根公式即可. ④代入求根公式即可.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
次 方
进一步发展演绎推理能力.
程
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾 谁来试一试？
用配方法解方程：2x2 - 4x - 6 = 0.
我是这样解的
解：方程两边都除以 2，得 x2 - 2x - 3 = 0. 移项，得 x2 -2x = 3. 配方，得 x2 - 2x + 1 = 3 + 1，
=
1. 2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
议一议
(1) 你能解一元二次方程 x2 -2x + 3 = 0 吗？
分析：∵a = 1，b = -2，c = 3， ∴ b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×3= -8 < 0.
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北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第1课时）同步练习
1． 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是：
x ＝ （其中b 2－4ac 0 ）
2．方程3x 2－5x －2＝0的两个根是(
) A ．x 1＝1，x 2＝23 B ．x 1＝2，x 2＝－13
C ．x 1＝1，x 2＝－1
D ．x 1＝－2，x 2＝－13 3．关于的方程x (x ＋6)＝16的解为(
) A ．x 1＝2，x 2＝2 B ．x 1＝8，x 2＝－4 C ．x 1＝－8，x 2＝2 D ．x 1＝8，x 2＝－2
4．[2013·福州]下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A ．x 2＋3＝0
B ．x 2＋2x ＝0
C ．(x ＋1)2＝0
D ．(x ＋3)(x －1)＝0
5．若实数范围内定义一种运算“*”，使a *b ＝＝(a ＋1)2－ab ，则方程(x ＋2)*5＝0的解为(
) A ．x ＝－2 B ．x 1＝－2，x 2＝3
C ．x 1＝－1＋32，x 2＝－1－32
D ．x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52 6．若x 1＝－1是关于x 的方程x 2＋mx －5＝0的一个根，则方程的另一个根x 2＝__________．
7．若12
x 2＋1与4x 2－3x －5互为相反数，则x 的值为___________． 8． 用公式法解方程：
⑴ x 2－5x ＋2＝0 ⑵ x 2＝6x ＋1
⑶ 2x 2－3x ＝0 ⑷ 3x 2＋6x ＝5
9．用适当方法解下列方程：
⑴(3x＋1)2－9＝0 ⑵x2＋4x－2＝0
⑶2x2－33x＋3＝0；⑷(3x＋2)(x＋3)＝x＋14
10．如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 m2，道路的宽应为多少m?
11．在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围
．．．．镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少?
12．如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止;动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动．何时点P和点Q之间的距离是10 cm?
答案
1．x ＝－b ±b 2
－4ac
2a (b 2－4ac ≥0)
2．B
3．C
4．C
5．B
6．5
7．x 1＝43，x 2＝-23；
8．（1）x 1＝5＋172，x 2＝5－172；
（2）x 1＝3＋10，x 2＝3－10； （3）x 1＝0，x 2＝32；
（4）x 1＝－3＋26，x 2＝－3－26；
9．（1）x 1＝23，x 2＝－43；
（2）x 1＝－2＋6，x 2＝－2－6；
（3）x 1＝23，x 2＝3；
（4）x 1＝23，x 2＝－4；
10．道路的宽应为1m ；
11．金色纸边的宽应该是5cm ；
12．运动到85s 或245
s 时，点P 和点Q 之间的距离是10 cm ．。