奇数跨对称结构作用反对称荷载分析.
力学超定静结构计算
1、超静定结构的特性：与静定结构比较，超静定结构有如下特性：内力超静定，约束有多余，是超静定结构区别于静定结构的基本特点。
2、超静定次数的确定：结构的超静定次数为其多余约束的数目，因此上，结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去掉多余约束的数目。
在超静定结构上去掉多余约束的基本方式，通常有如下几种：（1）断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联接、将一固定端改为固定铰支座，相当于去掉一个约束。
举例（2）断一根弯杆、去掉一个固定端，相当于去掉三个约束。
举例（3）开一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座，相当于去掉两个约束。
举例返回顶部3、几点注意：①由图10-1结构的分析可得出结论：一个无铰闭合框有三个多余约束，其超静定次数等于三。
对于无铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数。
如图10-2所示结构的超静定次数为3×5=15次；对于带铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数－结构中的单铰数（复铰要折算成单铰）如图10-3所示结构的超静定次数为3×5-（1+1+3）=15次。
D点是连接四个刚片的复铰，相当于（4-1）=3个单铰。
②一结构的超静定次数是确定不变的，但去掉多余约束的方式是多种多样的。
如图10-1结构。
③在确定超静定次数时，要将内外多余约束全部去掉。
如图10-4结构外部1次超静定，内部6次超静定，结构的超静定次数是7。
④在支座解除一个约束，用一个相应的约束反力来代替，在结构内部解除约束，用作用力和反作用力一对力来代替。
如图10-1结构所示。
⑤只能去掉多余约束，不能去掉必要的约束，不能将原结构变成瞬变体系或可变体系。
如图10-4结构中A点的水平支杆不能作为多余约束去掉。
如图10-5结构中支杆a,b和链杆c不能作为多余约束去掉，否则就将原结构变成了瞬变体系。
返回顶部1、超静定结构的求解思路：欲求解超静定结构，先选取一个便于计算结构作为基本体系，然后让基本体系与原结构受力一致，变形一致即完全等价，通过这个等价条件去建立求解基本未知量的基本方程。
结构力学对称性应用
对称性应用在工程问题中，有很多结构都具有对称性。
我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。
现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。
而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。
另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。
在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。
在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。
如下图所示：对称性在求解结构内力中的应用：对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。
因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。
据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。
取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。
简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。
2、将未知力及荷载分组。
3、取半结构进行计算。
对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。
在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。
选取半结构的原则:1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处2、按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效偶数跨对称结构: £8-15在用位移法求解超静定结构的时候，同样可以利用对称性简化计算。
分析可 知，在正对称荷载时用位移法求解只有一个基本未知量； 但在反对称荷载时若用 位移法求解将有两个基本未知量， 而用力法求解则只有一个未知量。
第8章3 - 利用对称性与反对称性简化静不定结构的求解
讲 义
F/2
F/2
F/2
F/2
=
+
2 次静不定结构
1 次静不定结构
例 8.7 ~ 例 8.12
6
BRY
§8.3 利用对称性与反对称性性和载荷对称性的特点可以简化计算。
力 学
平面结构的对称性
B
结构的几何形状、杆件的截面尺寸、材料的弹性模量等
第 均对称于某一轴线，此轴线称为对称轴。
8 章
若将结构沿对称轴对折，两侧部分的结构将完全重合。
对称载荷与反对称载荷
静 不 定
如果平面结构沿对称轴对折后，其上作用载荷的分布、 大小和方向或转向均完全重合，则称此种载荷为对称结构的
结 对称载荷。
构
如果平面结构沿对称轴对折后，其上作用载荷的分布和
大小相同，但方向或转向相反，则称此种载荷为对称结构的
讲 反对称载荷。
1
义
BRY
结构对称
载荷对称
内力和变形必然对称于对称轴
材 料
结构对称
第
I
8
章 (4) 结构对称、载荷反对称的偶数跨结构
A DB
6 次静不定结构
静
不
FC F
定
结 构
I/2 I/2
A DB
FSC FSC
F
F
C I/2 I/2 A DB
FSC 对原结 构的内力 和变形无 影响，可 略去不计
F
C I/2 AD
讲
3 次静不定结4构
义
(5) 双对称结构及多重对称结构
BRY
结构和载荷均对称于两个相互垂直的轴，称为双对称结
构。
材
q
料
10.6 对称结构计算
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 p 0
三元方程组自动解耦降阶
计算简化
2.荷载分组与未知力分组
当对称的超静 定结构承受非对称 荷载时，在有些情 况下，虽然选取了 对称的基本结构， 但未知力关于对称 轴却不对称。如右 图所示结构,此时可 采用如下两种办法 来处理。
结论:对称结构在正对称荷载作用
下，内力和位移都是正对称的；在 反对荷载作用下，其内力和位移都 是反对称的。
四、利用对称性简化结构计算
依据：对称结构的受力性质。 简化计算常用方法
选取对称的基本结构 将荷载分组或未知力分组求解 取半结构计算
1.选取对称的基本结构
正对称
正对称
反对称
力法的典型方程可简化为
X1
X1
X2
P / 2 X2
求解简化
未知力分组 为使力法方程简 单，还可采取将 未知力分组的方 法：将原有在对 称位置上的两个 多余未知力分解 成一组正对称的 未知力和一组反 对称的未知力。
X1 Y1 Y2
X 2 Y1 Y2
X1 X 2 X1 X 2 Y1 Y2 2 2
23 32
正对称图形 反对称图形
M 1M 3 ds 0 EI M 2M3 ds 0 EI
1 p
2 p
M 1M P ds 0 EI M 2MP ds 0 EI
11 X 1 12 X 2 0 力法典型方程变为 21 X 1 22 X 2 0 33 X 3 3 p 0
1 a a 2 a a a 7a 3 EI 11 a 2 2 2 3 2 2 2 24 1 a Pa3 EI 1P Pa a 2 2 4 1P Pa3 24 6 X1 3 P 11 4 7 7a
解析二 对称结构
目的：降低静不定次数、 目的：降低静不定次数、便于求解静不定问题
EI E1I1 对 称 轴 E1I1 E1I1 EI 对 称 轴 E1I1 E1I1 EI 对 称 轴 E1I1
对称结构：若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部 对称结构：若将结构绕对称轴对折后， 分将完全重合。 分将完全重合。 对称载荷：绕对称轴对折后， 对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作 用点和作用方向将重合，而且每对载荷的数值相等。 用点和作用方向将重合，而且每对载荷的数值相等。 反对称载荷：绕对称轴对折后， 反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数 值相等，作用点重合而作用方向相反。 值相等，作用点重合而作用方向相反。
X2 X3 X1 X3 1 X X2
X2
P
X3 X3 X1 X1 X2
P
P
X2
X2
P
对称轴通过的截面处内力特点和变形特点： 对称轴通过的截面处内力特点和变形特点： 内力特点和变形特点
对称载荷： 对称载荷： 剪力为零， 仅有轴力与弯矩， 剪力为零， 仅有轴力与弯矩，且转角及水平位移为零 反对称载荷： 反对称载荷： 轴力及弯矩为零, 仅有剪力, 轴力及弯矩为零 仅有剪力 且垂直位移为零
对称结构 对称载荷
对称结构 反对称载荷
F2
F2
F2
F2
F1
பைடு நூலகம்F1 F1
F1
qq/2 F F/2 F /2 F/2 FF /2 q/2 q/2
对称结构在对称载荷和反对称载荷作用时的变形和内力特点： 对称结构在对称载荷和反对称载荷作用时的变形和内力特点： 变形、 变形、内力关于对称轴对称 对称载荷 反对称载荷 变形、 变形、内力关于对称轴反对称 对称轴通过的截面处内力和变形特点： 内力和变形特点 对称轴通过的截面处内力和变形特点： P P P
二级建筑师建筑构造
1.对称结构在正对称荷载作用下,其内力(位移)是正对称的；对称结构在反对称荷载作用下,其内力(位移)是反对称的。
2.梁内力的规定轴力通常以拉力为正、压力为负；轴力图必须标正负号；剪力以使截面所在的隔离体有顺时针转动趋势为正、逆时针为负；剪力图必须标正负号。
3.梁的截面高度愈大，抗弯截面系数就愈大，梁的正应力就愈小。
4.三铰拱是静定拱，水平推力与拱高成反比，愈平缓的拱，支座承受的水平推力愈大，反之愈小。
5.超静定结构在荷载作用下的内力与各杆EI、EA的相对比值有关，而与各杆EI、EA 的绝对值无关。
6.预应力混凝土屋架适用于跨度为18-36米的房屋。
7.弯距图线与剪力图线的关系是下-正、上-负。
8.普通钢筋混凝土的自重为24-25kN/m3。
9.砖砌体的自重为19kN/m3，钢材的自重为78.5kN/m3，木材的自重为4-9kN/m3。
10.粘土砖尺寸为240×115×53；每M3砌体为512块砖。
11.一般上人屋面的活载标准值2.0kN/㎡；不上人0.5 kN/㎡；屋顶花园3.0 kN/㎡（不包括池墙）。
12.住宅中挑出阳台的活载标准值2.5kN/㎡（人员密集3.5），一般比室内大。
13.风压的基本期是50年（离地10M，10min最大风速，平方除1000确定风压Wo），雪压的基本期是50年。
14.荷载设计值大于标准值。
15.短期效应组合和长期效应组合时，不考虑荷载分项系数。
16.承载能力极限应采用荷载效应的基本组合。
17.正常使用极限状态根据不同设计要求分别采用短期效应组合和长期效应组合进行设计。
18.荷载准永久值小于标准值（积灰荷载除外）。
19.刚性和刚弹性方案房屋的横墙厚度不宜小于180mm。
20.一般多层住宅设计不考虑撞击力和龙卷风；必须考虑风载和活荷载。
21.土压力和自重属静荷载（亦指恒载、永久荷载）；风压和积灰是活荷载。
22.积灰属静力荷载；吊车、地震、撞击力属动荷载。
考研结构力学知识点梳理
考研结构⼒学知识点梳理1.瞬变体系：本来是⼏何可变，经微⼩位移后，⼜成为⼏何不变的体系，成为瞬变体系。
瞬变体系⾄少有⼀个多余约束。
2.两根链杆只有同时连接两个相同的刚⽚，才能看成是瞬铰。
3.关于⽆穷远处的瞬铰：（1）每个⽅向都有且只有⼀个⽆穷远点，（即该⽅向各平⾏线的交点），不同⽅向有不同的⽆穷远点。
（2）各个⽅向的⽆穷远点都在同⼀条直线上（⼴义）。
（3）有限点都不在⽆穷线上。
4.结构及和分析中的灵活处理：（1）去⽀座去⼆元体。
体系与⼤地通过三个约束相连时，应去⽀座去⼆元体；体系与⼤地相连的约束多于4个时，考虑将⼤地视为⼀个刚⽚。
（2）需要时，链杆可以看成刚⽚，刚⽚也可以看成链杆，且⼀种形状的刚⽚可以转化成另⼀种形状的刚⽚。
5.关于计算⾃由度：（基本不会考）（1）,则体系中缺乏必要约束，是⼏何常变的。
（2）若，则体系具有保证⼏何不变所需的最少约束，若体系⽆多余约束，则为⼏何不变，若有多余约束，则为⼏何可变。
（3），则体系具有多与约束。
是保证体系为⼏何不变的必要条件，⽽⾮充分条件。
若分析的体系没有与基础相连，应将计算出的W减去3.1.静定结构的⼀般性质：（1）静定结构是⽆多余约束的⼏何不变体系，⽤静⼒平衡条件可以唯⼀的求得全部内⼒和反⼒。
（2）静定结构只在荷载作⽤下产⽣内⼒，其他因素作⽤时，只引起位移和变形。
（3）静定结构的内⼒与杆件的刚度⽆关。
（4）在荷载作⽤下，如果仅靠静定结构的某⼀局部就可以与荷载维持平衡，则只有这部分受⼒，其余部分不受⼒。
（5）当静定结构的⼀个内部⼏何不变部分上的荷载或构造做等效变换时，其余部分的内⼒不变。
（6）静定结构有弹性⽀座或弹性结点时，内⼒与刚性⽀座或刚性节点时⼀样。
解放思想：计算内⼒和位移时，任何因素都可以分别作⽤，分别求解，再线性叠加，以将复杂问题拆解为简单情况处理。
2.叠加院⾥的应⽤条件是：⽤于静定结构内⼒计算时应满⾜⼩变形，⽤于位移计算和超静定结构的内⼒计算时材料还应服从胡克定律，即材料是线弹性的。
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第7章位移法7.1 复习笔记本章重点介绍了位移法的原理以及如何运用位移对超静定结构在各种荷载作用下的内力和位移进行求解。
位移法和力法像一幅对联，是超静定结构分析中的两个基本方法。
力法通过撤除多余约束达到简化计算的目的，而位移法通过添加约束达到此目的。
此外，二者对偶关系总结如下：力法：虚设单位力——求结构柔度——利用变形协调——求解未知约束力——算出结构内力。
位移法：虚设单位位移——求结构刚度——利用受力平衡——求解未知位移——算出结构内力。
两种方法殊途同归，在结构计算中应该综合考虑结构特点和求解目标选取合理的手法，使结构计算更加方便、快捷、准确。
一、位移法的基本概念（见表7-1-1）表7-1-1 位移法的基本概念二、杆件单元的形常数和载常数——位移法的前期工作采用位移法对刚架的等截面杆件进行分析时，杆件端部弯矩受两方面影响：①杆端位移产生的杆端弯矩——形常数；②外荷载产生的固端弯矩——载常数。
1．由杆端位移求杆端内力——形常数（见表7-1-2）表7-1-2 由杆端位移求杆端内力——形常数图7-1-12．由荷载求固端内力——载常数荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力，称为固端弯矩和固端剪力。
由于它们是只与荷载形式有关的常数，所以又称载常数，不同支座形式下杆件的固端弯矩和剪力值见表7-1-3。
表7-1-3 等截面杆件的固端弯矩和剪力三、位移法解无侧移刚架（见表7-1-4）表7-1-4 位移法解无侧移刚架四、位移法解有侧移刚架（表7-1-5）表7-1-5 位移法解有侧移刚架图7-1-2五、位移法的基本体系（见表7-1-6）表7-1-6 位移法的基本体系图7-1-3图7-1-4图7-1-5图7-1-6六、位移法解对称结构（见表7-1-7）表7-1-7 位移法解对称结构。
(15)对称性的利用
2P
3FP 14
M AB
FP L 11FP L 3FP ( ) 2 14 2 28
（左侧受拉）
M BA
3FP L L 3FP ( ) 2 14 28
（右侧受拉）
弯矩图见图(d)。
B C B ` 3 P /2 FL 8
A 1 FL 8 1 P /2
A `
(d)
力法利用对称性需要且仅需要(1)取对称的基 本结构；(2)使多余力具有正对称或（和）反 对称性。这两条必须同时满足。而不需要考虑 荷载是否具有对称或反对称性。
解：将梁中间改为铰接，
加多余未知力X1得基本体 系如图（B）所示。 建立力法典型方程： 11 X1 1P 0 求系数和自由项：
11
1 1 2 1 1 2 2L ( 1 L ) ( 1 L ) EI 2 3 EI 2 3 3EI
FP L 1 FP L2 1 1 1 p ( L ) EI 2 4 2 16 EI
q=6kN/m
C x1` x2`
B
C` x1` x2`
A
(b)
计算系数和自由项：
2 1 2 18 11 ( 3 3 3) EI 2 3 EI
2 1 2 1 78 22 ( 3 3 ) (6 4 6) EI 2 3 2 EI EI 1P 1 1 3 243 ( 27 3 3) EI 3 4 4 EI
A`
A L/2 L/2
A`
(a)
(荷载下的内 解： 力计算：
C C` x1 x1
B
B`
B
C C` x1 x1=1
B`
A
A`
A L
结构力学第20次课 结构的对称性 2012- 5-17
结构力学第20次课 力法6-5 位移法7-6结构的对称性 foxscarlet12012-5-17 《结构力学》第20次课 第6章力法6-5P225与第7章位移法7-6P302内容6-5 7-6 对称性利用1 对称性（1）结构的对称性：对称结构是指几何形状、支座情况、刚度都关于某轴对称。
（2）荷载的对称性： 对称荷载 反对称荷载 任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载两部分。
2 取对称的基本体系计算： 不论在何种外因作用下，对称结构应考虑采用对称的基本体系计算。
沿对称轴将梁切开，三对多余未知力中，弯矩X 1和轴力X 2是 未知力，剪力X 3是 未知力。
对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是对称的；反对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是反对称的。
如果荷载对称，M P 对称，Δ3P =0，X 3=0， 未知力为零；如果荷载反对称，M P 反对称，Δ1P =0， Δ2P =0， X 1= X 2 =0， 未知力为零。
3 取等代结构计算对称结构的变形特点，针对切开对称轴处是刚结点。
注意，如果对称轴上是铰结点有所不同。
（1）对称结构在对称荷载作用下位于对称轴上的截面，水平位移和转角为零，只有竖向位移。
（2）对称结构在反对称荷载作用下位于对称轴上的截面，竖向位移为零，水平位移和转角不为零。
① 奇数跨（无中柱）对称结构在对称荷载作用下的等代结构 §7-6 对称结构的计算奇数跨刚架受对称荷载A. 奇数跨结构（无中柱对称结构）F PF P(1) 对称荷载F P半边结构对称轴截面内力结构与荷载3 取等代结构计算1扩展练习 奇数跨结构受对称荷载作用llqllAB例2. 图示结构EI = 常数。
对称性只有竖向荷载作用1X 3=3X 2X 1X 2=【例题】利用对称性计算图示结构,绘制弯矩图。
（EI=常l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/2l/2l/2l/2（a ）ldbFPFP4 无弯矩状态判定对称结构正对称荷载。
有限元中对称与反对称问题总结
对称与反对称问题总结一、什么是对称或者反对称约束？1、对称边界条件在结构分析中是指：不能发生对称面外（out-of-plane）的移动（translations）和对称面内（in-plane）的旋转（rotations）。
这句话可以理解为：在结构中施加对称条件为指向边界的位移和绕边界的转动被固定。
例如，若对称面的法向为X，如果你在对称面上的节点上施加了对称边界条件，那么：1）不能发生对称面外的移动导致节点处的UX（法向位移）为0。
2）不能发生对称面内的旋转导致ROTZ，ROTY（绕两个切线方向的转角）也为0。
2、反对称边界条件在结构分析中是指：不能发生对称面内（in-plane）的移动（translations）和对称面外（out-of-plane）的旋转（rotations）。
这句话可以理解为：在结构中施加反对称条件为平行边界的位移和绕垂直边界的转动被固定。
例如，若对称面的法向为X，如果你在对称面上的节点上施加了反对称边界条件，那么：1）不能发生对称面的移动导致节点处的UY，UZ（切向位移）为0。
2）不能发生对称面外的旋转导致ROTX（绕法线方向的转角）也为0。
建立对称约束的目的就是为了建模方便和减少计算量，这样就可以大大节省计算机的资源，从而更加细化网格，得到比研究整个模型更精确的结果！注意：模态分析的时候应用对称约束会漏掉对称模态！二、HM中的对称约束和反对称约束这个功能在ansys中对应的为Symmetry或者unsymmetry。
HM中不能施加对称约束，但是可以直接对对称面上的节点施加单点约束就行，施加面外位移约束和面内转动约束。
即对垂直于对称面的方向施加位移约束，另外两个方向施加转动约束。
对于对称，对称面的法向移动和对称面内的转动全约束。
比如对称面是yz平面，在HM 中：dof1＝0 dof5＝0 dof6＝0。
反对称和对称正好相反，其意思对于同一个对称面，反对称和对称所约束的自由度正好相反。
7.6_对称结构的简化计算
FP/2 FP/2 FP/2 X3 FP/2 X1=1
MP图 (反对称)
Δ1P
X3 X1=0 X2=0
（对称）
M1
图
X2=1
M M M 1M P ds 0 Δ2 P 2 P ds 0 EI EI
可知，对称未知力X1=0，X2=0， 只需用式（c）计算反对称未知力X3。
FP/2
EI2 A
EI2 B
EI2 A
EI2 B
对称荷载
FP X2 X1 X1 X2
反对称荷载
FP/2 X3 X3 FP/2
FP/2 X2
X1 X1
FP/2
X2
X3
(X3=0) 基本体系1
基本体系
(X1 =X2 =0) 基本体系2
11 X 1 12 X 2 Δ1 P 0 21 X 1 22 X 2 Δ2 P 0
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11 X1 1P 0
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c: 分别作出 M 1 、MP图，仍然利用静定刚架的对称性
3kN
X1
3kN
4m
FX=？对称 FY 反对称
X1=1 反对称
3m 3kN
3 3 3 X1=1
3
3
6m X1 X1=1
3
3m
3m
X1=1作用下 FXP=？对称
FP l 4 FP l 4 FP l 4
FP/4
FP l 4
FP/2
FP
FP l 4
FP l 4
1/4结构M图
1/2结构M图
原结构M图
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7.6 对称结构的简化计算
EI2 A
基本结构
δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + ∆1 P = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆2 P = 0 δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ∆3 P = 0
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对称轴Ⅰ 对称轴Ⅰ EI1 EI2 对 称 轴 EI1 EI2 EI2 EI1 EI1 EI3 EI1 EI1 EI2 对称轴Ⅱ 对称轴Ⅱ
对称轴两边的力大小相等， 对称荷载 -- 对称轴两边的力大小相等，将结构绕对称轴对 折后其作用位置 方向均相同的力 作用位置和 均相同的力； 折后其作用位置和方向均相同的力； 对称轴两边的力大小相等， 反对称荷载 -- 对称轴两边的力大小相等，将结构绕对称轴 作用位置相同但 的力。 对折后其作用位置相同 方向相反的力 对折后其作用位置相同但方向相反的力。
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选择基本体系，如图示。 选择基本体系，如图示。 力法方程为: δ 力法方程为:
11
X
1
+ ∆
1 p
= 0
作单位弯矩图和荷载弯矩图 计算系数和自由项
1 1 l l 2 l l l 7l 3 δ 11 = ( × × × × + ×l× ) = EI 2 2 2 3 2 2 2 24 EI 3 1 1 pl l Pl ∆1 p = ( × ×l× ) = EI 2 2 2 8 EI
EI＝常数 ＝ X3 X3 X1 X2 X1 X2
X3 X3