解析几何选择题目巧解

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(完整版)解析几何考点和答题技巧归纳

解析几何考点和答题技巧归纳一、解析几何的难点从解题的两个基本环节看：1、翻译转化：将几何关系恰当转化（准确，简单），变成尽量简单的代数式子（等式 / 不等式），或反之…2、消元求值：对所列出的方程 / 不等式进行变形，化简，消元，计算，最后求出所需的变量的值/范围等等难点：上述两个环节中 ⎩⎪⎨⎪⎧变量、函数/方程/不等式的思想灵活性和技巧性分类讨论综合应用其他的代数几何知不小的计算量二、复习建议分两个阶段，两个层次复习： 1、基础知识复习：落实基本问题的解决，为后面的综合应用做好准备。

这个阶段主要突出各种曲线本身的特性，以及解决解析问题的一般性工作的落实，如： ① 直线和圆：突出平面几何知识的应用（d 和r 的关系！）；抛物线：突出定义在距离转化上的作用，以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处。

② 圆锥曲线的定义、方程、基本量（a 、b 、c 、p ）的几何意义和计算③ 直线和圆锥曲线的位置关系的判断（公共点的个数）④ 弦长、弦中点问题的基本解法⑤ 一般程序性工作的落实：设点、设直线（讨论？形式？）、联立消元、列韦达结论… 中的计算、讨论、验…2、综合复习：重点攻坚翻译转化和消元求值的能力① 引导学生在 “解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式（方程/函数）、不等式的思想② 积累常见的翻译转化, 建立常见问题的解决模式③ 一定量的训练, 提高运算的准确性、速度, 提高书写表达的规范性、严谨性● 具体说明1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式(方程/函数)、不等式的思想建议在例题讲解时，总是在具体计算之前进行“解题路径规划”：① 条件和结论与哪几个变量相关？解决问题需要设哪些变量？② 能根据什么条件列出几个等式和不等式？它们之间独立吗？够用了吗？③ 这些等式/不等式分别含有什么变量？如何消元求解最方便？④ 根据这些等式和不等式，能变形、消元后得到什么形式的结论（能消掉哪些变量？得到两个变量的新等式/不等式？变量的范围？求出变量的值？)好处： ①选择合适的方法；②避免中途迷失[注] 关于消元常用的消元法： ⎩⎪⎨⎪⎧代入消元加减/乘除消元韦达定理整体代入消掉交点坐标点差法弦中点与弦斜率的等量关系 ……换元,消元的能力非常重要2、积累常见翻译转化，建立常见问题的解决模式（1）常见的翻译转化：① 点在曲线上点的坐标满足曲线方程② 直线与二次曲线的交点⎣⎢⎡点坐标满足直线方程点坐标满足曲线方程x 1 + x 2 = …‚ x 1x 2= …y 1 + y 2 = …‚ y 1y 2 = … ③ 两直线AB 和CD 垂直 01AB CD AB CD k k ⎡⋅=⎢⋅=-⎣④ 点A 与B 关于直线l 对称⎩⎨⎧中: AB 的中点l 垂: AB ⊥l ⑤ 直线与曲线相切 ⎣⎡圆: d = r 一般二次曲线: 二次项系数 ≠ 0 且∆ = 0⑥ 点(x 0,y 0)在曲线的一侧/内部/外部代入后 f (x 0,y 0) > 0或f (x 0,y 0) < 0⑦ ABC 为锐角或零角 BA → ∙ BC → > 0⑧ 以AB 为直径的圆过点C⎣⎢⎡CA → ∙ CB → = 0|CA |2 + |CB |2 = |AB |2 ⑨ AD 平分BAC → ⎣⎢⎢⎡AD ⊥x 轴或y 轴时:k BA = − k AC AD 上点到AB 、AC 的距离相等AD →∥(AB → + AC →)⑩ 等式恒成立系数为零或对应项系数成比例○11 A 、B 、C 共线 → ⎣⎢⎢⎡AB →∥BC→k AB = k BC C 满足直线AB 的方程……[注] 关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元：① 如果几何关系与两个交点均有关系，尤其是该关系中，两个交点具有轮换对称性，那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程，然后整体消元如果几何关系仅与一个交点相关, 那么优先尝试“设点代入”（交点坐标代入直线方程和曲线方程）；② 如果几何关系翻译为交点的坐标表示后，与x 1 + x 2, y 1 + y 2相关（如：弦的中点的问题)，还可尝试用 “点差法”（“代点相减” 法）来整体消元，但仍需保证∆ > 0（2）建立常见题型的“模式化”解决方法（不能太过模式化，也不能没有模式化）如：① 求曲线方程： ⎩⎪⎨⎪⎧待定系数法直译法定义法相关点法参数法… 难度较大，上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。

147分学霸分享丨解析几何的解题方法

147分学霸分享丨解析几何的解题方法数学学习有困难的同学，对解析几何有抵触情绪的同学，想要在拉分最明显的题型中拿到高分的同学。

具体经验解析几何是高中数学的重要部分，一般来说，解析几何会在选择填空中出现一到两题，并且会在必做大题中作为压轴题出现。

分值很大，重要性不言而喻，而且难度比较大，想要学好这方面的知识，不是很容易，因此，掌握一定的技巧与方法很重要。

针对高三学生，在学习解析几何的相关内容上，我有一些心得与体会，希望能与大家分享。

大家都知道高考数学卷中解析几何和导数是最不容易的两道大题，最近几年的数学卷趋向基础，只要细心多数同学可以拿到百分之七八十的分数，而想要在数学上力争顶尖的同学就要把握好这两道大题带来的机会。

然而相对于导数需要较强的技巧和想法来讲，解析几何更重要考察的是心里素质。

为什么这样说：第一因为解析几何的题型是有规律可循的，只要接触过类似的题型，拿到其他题的时候一定不会完全没有思路，但要想了解各个题型是需要不怕难题的勇气的。

第二是因为解析几何要求大量的计算，我高三学习解析几何的时候常常一道题写好几张草稿纸，要想完美的完成一道题需要静下心来，需要耐心。

第三是因为这个题型作为压轴题位于试卷的末尾，我在做高考卷的时候也习惯于先做选做题，再回来做导数和解析几何，在考试的最后，时间往往剩下的不多，这往往考察每个同学的定力，能不能不紧张，细心认真的做完自己所有会的步骤。

毋庸置疑，解析几何很花费时间，因此在复习的过程中不能“吝啬”，要肯花精力与时间，数学是对分析能力要求比较高的学科，复习时着重锻炼自己的分析能力，尽量选择整块的时间解决数学问题，否则思路被打断，效率会比较低。

解析几何作为高考的重点，考查项目不仅要求分析，还要求计算能力，大多数人都会觉得解析几何大题中的式子很长，就可能出现心烦意乱，懒得算下去的现象，但其实平时就是一个积累经验与树立信心的过程，越是在平日里认真地、一步步地算，才越有可能在考场上快速地，准确地算出结果。

“设而不求”巧解解析几何题

题的几种途径例说如下院
一尧设而不求袁巧用野曲线和方程冶的关系例员求经过两圆渊曾垣圆冤2 垣渊赠垣员冤圆 = 4 和 x2 + y2 = 1 的交点的直线的方程. 解用渊曾垣圆冤2 垣渊赠垣员冤2 = 4 方程减去 x2 + y2 = 1 方程即为所求的直线方程院2x + y + 1 = 0 注本题若采用常用常规方法解方程组袁求出交点坐标袁
评注本题涉及曲线上的点与焦点的距离袁设出有关点
的坐标但不求出坐标袁借助圆锥曲线的第一尧第二定义及焦
半径公式化繁为简袁缩短解题过程. 三尧设而不求袁巧用野点差法冶野点差法冶是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆
锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候袁利用直线和圆锥曲
线的两个交点袁并把交点代入圆锥曲线的方程袁并作差. 求出
解题技巧与方法
132
JIETI JIQIAO YU FANGFA
野设而不求冶巧解解析几何题
因陆霞渊江苏省金湖中学圆员员远园园冤
解析几何是高中数学的重要内容袁其核心内容是直线和
圆以及圆锥曲线袁其本质是用代数的方法研究图形的几何性
质援在考基础尧考能力尧考素质尧考潜能的考试目标指导下袁每
年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例袁试题往往会
出现计算量较大的情况袁若解题方法不当袁就会使解题过程
繁杂而冗长袁从而直接影响到解题速度和结果的准确性袁如
何避免不必要的运算袁化繁为简袁从而缩短解题过程呢钥可以
采用设而不求这种方法袁野设而不求冶法指利用题设条件袁巧
妙换元袁通过整体替换再消元或换元袁达到运算中以简驭繁
的目的的一种解题方法. 现就利用野设而不求冶巧解解析几何

怎样解决高考中解析几何的问题有什么套路吗

怎样解决高考中解析几何的问题有什么套路吗和立体几何一样，运用好这两招，你可以解决100%高考难度的解析几何题目！接下来，我利用两个例题来说明如何用好这两招，成为解析几何的学霸–数学140+，竞赛拿大奖。

在我们开始解题之前，我先介绍一下本质教育数学哲学的第一招-翻译和第三招-盯住目标：所谓翻译，实际上就是指把中文翻译为数学语言，例如初中大家就知道的用字母代表未知数（代数的基本思想）从而把中文翻译为函数，方程，或不等式，又如几何中通常我们需要做的-画张图，再如概率论中找出概率问题的1) 随机试验，进而找出2) 样本点（例如一个组合或者平面上的一个点（ x,y ）等等）, 3)用样本点定义事件（样本点的集合），4)从而通过概率的古典定义或几何定义“翻译”该事件发生的概率。

数学家们发明这些数学语言是有道理的，因为不像中文或者英文，这些数学语言是没有歧义的，非常方便使用者进行逻辑推理。

因此我希望同学们记住这一个结论：从今天起，当你看到数学问题的时候，你应该“讨厌”中文，把它们翻译为数学语言。

事实上，解析几何的核心就是“翻译”二字。

笛卡尔先生创立直角坐标系的初衷就是把几何图形“翻译”为曲线方程，而解方程是有固定步骤的不动脑筋的事情，因此，他就可以解决任何的几何问题了。

当然，要记住，解析几何的翻译作用是双向的，既然代数里面的方程可以帮到几何的解题，几何中的定理也可以帮到代数，例如利用几何中的公理“两点之间线段最短以及其衍生定理三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”来帮助我们解决代数中的最值问题，就是“翻译”这一招的一种运用。

因此很多教科书上讲的所谓的“数形结合”实际上就是本质教育数学哲学第一招“翻译”的一种特殊情况罢了。

在高中阶段，这3者之间的互相翻译，同学们要非常熟悉：那什么是第三招-盯住目标呢？任何解题的过程都是在已知（前提）和未知（结论）之间构建一个桥梁。

我们把未知或者题目要证明的结论统称为目标(purpose)。

解析几何解答题技巧

解析几何解答题技巧
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。

在解析几何的解答题中，需要注意以下几点技巧：
1. 建立坐标系：根据题目的具体情况，选择适当的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或参数方程。

坐标系的建立有助于将几何问题转化为代数问题，便于进一步求解。

2. 设点坐标：根据题目要求，设出未知点的坐标。

设点坐标时需要注意，所设的坐标应尽量满足题目的条件，便于求解。

3. 列出方程：根据题目的已知条件和设定的坐标，列出所需的方程。

列方程时需要注意，方程应尽可能简单，便于求解。

4. 解方程：根据所列的方程，解出未知数的值。

解方程时需要注意，解方程的方法应尽可能简单，便于计算。

5. 验证答案：解出答案后，需要进行验证，确保答案符合题目的条件和已知条件。

验证答案时需要注意，答案应尽可能准确，避免出现误差。

6. 总结答案：最后需要对答案进行总结，写出完整的答案。

总结答案时需要注意，答案应尽可能清晰，便于阅读和理解。

总之，在解析几何的解答题中，需要注意建立坐标系、设点坐标、列出方程、解方程、验证答案和总结答案等技巧。

同时还需要注意计算准确、思路清晰、表达简洁等要求。

解答解析几何问题的几个“妙招”

解题宝典仔细研究可以发现，解析几何问题通常具有以下几个特点：（1）解题过程中的运算量较大；（2）选择题和填空题侧重于考查抛物线、椭圆、双曲线的定义和几何性质，解答题侧重于考查直线与椭圆、抛物线、双曲线的位置关系；（3）可从代数和几何两个角度入手，寻找解题的思路.在解答解析几何问题时，我们要抓住解析几何问题的特点，选用一些技巧来简化运算，提升解题的效率.一、巧用定义在解答与圆锥曲线定义有关的问题时，要将问题中的动点、定点、定直线与圆锥曲线上的点、焦点、准线等关联起来，根据圆锥曲线的定义来建立关于动点的关系式，求得各个参数a 、b 、c 、p 、r 的值，便可求得动点的轨迹方程或焦半径的长.例1.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为-3的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若 AF 1·AF 2=0，a =3-1，则F 2的坐标为.解：因为 AF 1·AF 2=0，所以AF 1⊥AF 2，因为k AF 2=-3，所以∠AF 1F 2=π6，则AF 1=3c ，AF 2=c ，由双曲线的定义得AF 1-AF 2=3c -c =2a ，则c =3=2，所以F 2已知条件中涉及了双曲线的两个焦半径AF 1、AF 2，于是联想到双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹，据此建立关于AF 1、AF 2的关系式，即可解题.运用圆锥曲线的定义来解题，能快速建立起焦点弦、参数之间的联系，起到简化运算的效果.二、数形结合在解答解析几何问题时，根据题意画出相应的曲线、直线，并将数量关系转化为几何关系，这样把数形结合起来，可使问题变得更加直观，便于分析.运用数形结合法解题，关键是画出相应的平面几何图形，灵活运用平面几何知识，如三角形、圆、平行四边形、梯形的性质来求解.例2.（2021年高考数学上海卷，第11题）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0），若第一象限内的点A ，B 在抛物线C 上，焦点为F ，且|AF |=2，|BF |=4，|AB |=3，则直线AB 的斜率为______.解：如图所示，过点A ,B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，作AM ⊥BQ ,垂足为M ，根据抛物线的定义可知|AP |=|MQ |=|AF |=2，|BQ |=|BF |=4，则|BM |=2，在Rt△AMB 中,由|AB |=3可得|AM |=|AB |2-|BM |2=5,所以直线AB 的斜率k =tan ∠ABM =|AM ||BM |=根据题目中所给的条件，作出相应的平面几何图形，将题目中的数量关系转化为几何关系，便可将数形结合起来，通过合理添加辅助线，构造出直角三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理就能求得直线AB 的斜率.三、设而不求设而不求是指设出相关的参数，但不求出参数的具体值，得到直线的方程、曲线的方程、点的坐标等，将其代入题设中进行运算，最后通过消元求得问题的答案.利用设而不求法解答解析几何问题，只需设出相关的参数，根据题意建立关系式，合理进行整体代换、消元即可.例3.（2021年福建省福州市高考数学调研试卷）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点.正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在椭圆C 上.（1）求C 的离心率；（2）若a=2，直线l 过点（1，0）且x 轴不重合，与椭圆C 交于M ，N 两点（M 在x 轴上方），直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，试判断k 1k 2是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.解：（1）略；（2）当a =2时，b =，所以椭圆C 的方程为x 2+3y 2=4，设直线l 的方程为x =my +1，m ≠0，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则y 2<0<y 1，由题意可得ìíîx =my +1,x 2+3y 2=4,消去x 可得(m 2+3)y 2+2my -3=0，得y 1+y 2=-2m m 2+3，y 1y 2=-3m 2+3，林毓琴41解题宝典N k OM 42。

高中数学解析几何解题技巧

高中数学解析几何解题技巧解析几何是高中数学中的一大难点，也是考试中的重点内容之一。

掌握解析几何的解题技巧，不仅可以提高解题效率，还能够在考试中获得更好的成绩。

本文将从直线、圆和曲线三个方面介绍解析几何的解题技巧，并通过具体题目的分析来说明每个考点。

一、直线的解析几何解题技巧直线是解析几何中最基础的图形，其解题技巧主要包括确定直线的方程和求直线的性质。

在确定直线的方程时，常用的方法有点斜式和两点式。

例如，已知直线过点A(1,2)且斜率为3，求直线的方程。

根据点斜式的公式y-y₁ = k(x-x₁)，代入已知条件，可以得到直线的方程为y-2=3(x-1)。

在求直线的性质时，常用的方法有平行和垂直关系的判断。

例如，已知直线l₁的方程为y=2x+1，直线l₂与l₁平行且过点(2,3)，求l₂的方程。

根据平行关系的性质可知，l₂的斜率与l₁的斜率相等，因此l₂的方程为y=2x+b。

代入过点(2,3)的条件，可以解得b=-1，所以l₂的方程为y=2x-1。

二、圆的解析几何解题技巧圆是解析几何中的另一个重要图形，其解题技巧主要包括确定圆的方程和求圆的性质。

在确定圆的方程时，常用的方法有标准式和一般式。

例如，已知圆心为(2,-3)且经过点(1,2)，求圆的方程。

根据标准式的公式(x-a)²+(y-b)²=r²，代入已知条件，可以得到圆的方程为(x-2)²+(y+3)²=18。

在求圆的性质时，常用的方法有判断点与圆的位置关系和求切线的斜率。

例如，已知圆的方程为(x-2)²+(y+3)²=18，点P(4,-1)在圆上，求点P处切线的斜率。

根据点与圆的位置关系的性质可知，点P处切线的斜率等于圆的斜率，即-(x-2)/(y+3)。

代入点P的坐标，可以求得点P处切线的斜率为-2/4=-1/2。

三、曲线的解析几何解题技巧曲线是解析几何中的较为复杂的图形，其解题技巧主要包括确定曲线的方程和求曲线的性质。

数学新高考二卷解析几何题答题技巧

数学新高考二卷解析几何题答题技巧数学新高考二卷解析几何题答题技巧引言在数学新高考二卷中，解析几何题占据了相当的比重。

解析几何作为数学的重要分支和应用工具，在高考中占据了相当的重要性。

本文将介绍一些针对解析几何题的答题技巧，帮助考生高效解题。

技巧一：熟悉基本公式和定理•需要熟练掌握点、线、面之间的距离公式和斜率公式，这是解析几何题解答的基础。

•熟悉三角形、四边形等图形的周长和面积公式，能够快速运用并进行变形。

技巧二：画图解题•解析几何题通常需要通过画图来帮助理解和分析。

画图可以更直观地看出问题中的条件和求解思路。

•细心观察图形中给出的线段、角度等信息，合理选择参考点和坐标系，有助于简化计算。

技巧三：几何性质的灵活运用•利用几何性质来解析几何题是解题的关键。

比如利用垂直角、对称性、相似三角形、共线等性质来辅助求解。

•注意总结并熟悉一些常见的几何性质和定理，如垂心、重心、外心等，能够快速应用于解题过程中。

技巧四：建立方程求解•对于一些解析几何题目，可以通过建立方程解决问题。

这要求我们善于将几何条件转化为方程，并利用方程进行进一步的推导。

•熟悉直线、圆等几何图形的方程表达式，并掌握解方程的方法，能够帮助快速解决相关问题。

技巧五：几何题与代数题互相转化•高考数学考题中的解析几何与代数题经常有联系，可以通过将几何问题转化为代数问题或者将代数问题图像化的方式来解决。

•将几何问题转化为代数问题可以通过引入变量、利用直线的斜率等方式进行，能够帮助快速解决相关问题。

结论解析几何作为数学的一部分，在高考中占有重要地位。

熟悉基本公式和定理，善于画图、灵活运用几何性质，掌握建立方程和几何与代数互相转化的技巧，将会有助于考生在解析几何题上取得更好的成绩。

通过不断练习和积累，相信考生们能够更加熟练地运用这些技巧，提高解题效率。

技巧六：分类讨论•在解析几何题中，有时候问题较为复杂，无法直接得到结论。

这时候可以采用分类讨论的方法，将问题进行分情况讨论，找到每种情况下的解决方法。

高中解析几何解题技巧

高中解析几何解题技巧高中解析几何是研究图形的性质和变换的一门学科。

解析几何的题目涉及到图形的坐标、距离、角度和斜率等概念。

在解析几何的解题过程中，掌握一些技巧可以帮助我们更快、更准确地解答问题。

下面是一些高中解析几何解题的技巧：1. 研究坐标系在解析几何中，坐标系是非常重要的工具。

掌握直角坐标系和极坐标系的基本知识，并熟悉平面直角坐标系和空间直角坐标系的表示方法。

了解如何在坐标系中表示点、线、平面和曲线等图形，对于解析几何的解题非常有帮助。

2. 理解图形的性质在解析几何中，图形的性质是解题的关键。

掌握各种图形的定义，如点、线、角和多边形等，以及它们的性质和特点。

了解图形的性质可以帮助我们更好地理解题目，找到解题的线索。

3. 利用距离公式和斜率公式距离公式和斜率公式是解析几何中常用的工具。

熟悉并掌握这些公式的使用方法，可以在解题过程中快速计算出距离和斜率，从而解答问题。

4. 运用平移、旋转和镜像变换解析几何中的变换是解题的常用方法。

掌握平移、旋转和镜像变换的基本概念和性质，并学会运用它们解决与图形变换相关的问题。

5. 运用直线与圆的性质直线和圆在解析几何中经常出现，掌握它们的性质可以帮助我们解答与直线和圆相关的问题。

熟悉直线的方程和圆的方程，了解直线和圆的交点、切点等特殊情况，可以在解题中发挥重要作用。

6. 注重图形的对称性图形的对称性是解析几何中需要注意的重要因素。

注意观察图形的对称性，利用对称性可以推导出一些结果，简化解题的过程。

7. 解题步骤要清晰在解析几何的解题过程中，步骤要清晰。

首先要仔细阅读题目，理解问题的要求。

然后确定解题的思路，并进行必要的分析和计算。

最后要进行答案的检查，确保解答的正确性。

以上是一些高中解析几何解题的技巧。

通过掌握这些技巧，我们可以在高中解析几何的学习中更好地理解、应用和解答问题。

希望对你有帮助！。

解析几何解答题的答题策略和技巧

解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。

要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。

确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。

选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。

笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。

建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。

这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。

求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。

这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。

验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。

几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。

这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。

技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。

利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。

利用这些对称性可以简化问题。

使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。

保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。

复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。

特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。

圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。

双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。

抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。

椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。

通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。

记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。

解析几何解题技巧

高三数学（人教版）第二轮专题辅导讲座第五讲解析几何新题型的解题技巧【命题趋向】解析几何例命题趋势：1．解析几何的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考．2．直线与二次曲线的普遍方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现．3．考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，属中档题．4．有关直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生平面几何知识与代数知识的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高．【考点透视】一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 3．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质． 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用．【例题解析】考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.例1．（20XX 年安徽卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．4考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D.考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例2．（20XX 年全国卷II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（） A ．2 3 B ．6 C ．4 3 D ．12 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的应用.解答过程：由椭圆方程x 23＋y 2＝1知),,,A B C ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭2ABC AB C ∆∴∴=故选C.例3．（20XX 年四川卷）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆2212516x y +=的方程知225, 5.a a =∴=∴12345677277535.2a PF P F P F P F P F P F P F a ⨯++++++==⨯=⨯= 故填35.考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝ac ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);(2) 双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).结合有关知识来解题.例4．（20XX 年福建卷）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A ．(1,2] B ．(1,2) C ．[2,)+∞ D ．(2,)+∞ 考查意图: 本题主要考查双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞)的有关知识.解答过程： 2.c e a ∴==例5．（20XX 年广东卷）已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（）A.2 B.332 C. 2 D.4考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ．考点4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6．(20XX 年山东卷)已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P (4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-∴-+= ()()122222222122284160,8414416232.k x k x k k y y x x k k ∴-++=+⎛⎫∴+=+=⨯=+≥ ⎪⎝⎭故填32.考点5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例7．已知P 是椭圆22x y 14+=上的点，12F ,F 是椭圆的两个焦点，且12F PF 60∠=︒，求12F PF ∆的面积.解答过程：依题意得：12PF PF 2a 4+==，在12F PF ∆中由余弦定理得2221212PF PF 2PF PF cos60=+-⋅︒＝2121212(PF PF )2PF PF 2PF PF cos 60+-⋅-⋅︒，解之得：124PF PF 3⋅=，则12F PF ∆的面积为121PF PF sin 602⋅︒小结：（1）圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重；（2）求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理非常重要. 例8．已知动点P 到两个定点A(5,0)-、B(5,0)的距离之差为|PA ||PB |8-=，（1）求点P 的轨迹方程；（2）对于x 轴上的点M ，若满足2|PA ||PB ||PM |⋅=，则称点M 为点P 对应的“比例点”，求证：对任意一个确定的点P ，它总有两个比例点. 解答过程：（1）因为A(5,0)-、B(5,0)且|PA ||PB |8-=，所以，点P 的轨迹是以A,B 为两焦点，实轴长为8的双曲线的右支，且a 4,c 5==，则b 3=，则点P 的轨迹方程是：22x y 1,(x 4)169-=≥（2）设111P(x ,y )(x 4)≥，M(m,0)，双曲线的离心率5e 4=，因为2|PA ||PB ||PM |⋅=，由焦半径公式和距离公式得：22111155(x 4)(x 4)(x m)y 44+-=-+＝2211x (x m)9(1)16-+-，整理得：21m 2mx 70-+=，因22114x 284(x 7)0∆=-=->，则方程有两个不等实根，即对于点P 它总对应两个比例点.小结：（1）应用圆锥曲线定义时，要注意其限制条件，在椭圆中，2a 2c >；在双曲线中2a 2c <且注意差的绝对值12||PF ||PF ||2a -=，若无绝对值，则曲线为双曲线的一支；（2）焦半径公式在计算中非常方便，但双曲线的焦半径不要求记忆，可以利用定义进行转化；（3）求解对应点的个数，通常转化为方程解的个数，这时，判别式就非常重要.例9．已知椭圆2222x y E :1(a b 0)a b+=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求：（1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程.解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )，则221122x y 1ab+=，222222x y 1a b+=，二式相减得：21212AB21212y y (x x )b kx x (y y )a-+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--，所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =，则c e a==（2）椭圆E的右准线为2a x 2c c ===，双曲线的离心率11e e==设P(x,y)是双曲线上任一点，则：|PM ||x 2c |==-两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去；当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：例10．(20XX 年山东卷）双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==，且3821-=+λλ时，求Q 点的坐标.考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b -=,由椭圆22184x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，∴对于双曲线:2C c =，又y =为双曲线C 的一条渐近线∴b a= 解得 221,3a b ==，∴双曲线C 的方程为2213y x -=（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零.设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k-.1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y kk λ∴--=+.111111114444()44x k k x k k y y λλλλ⎧=--⎧⎪-=+⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎪⎩11(,)A x y 在双曲线C 上， ∴2121111616()10k λλλ+--=.∴222211161632160.3k k λλλ++--=∴2221116(16)32160.3k k λλ-++-=同理有：2222216(16)32160.3k k λλ-++-=若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根.122328163k λλ∴+==--,24k ∴=，此时0,2k ∆>∴=±.∴所求Q 的坐标为(2,0)±.解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.1PQ QA λ=， Q ∴分PA 的比为1λ.由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ⎧⎧-==-+⎪⎪+⎪⎪→⎨⎨+⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.12PQ QA QB λλ==， 111222444(,4)(,)(,)x y x y k kkλλ∴--=+=+.11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，224y λ=-，又1283λλ+=-， 121123y y ∴+=,即12123()2y y y y +=.将4y kx =+代入2213y x -=得222(3)244830k y y k --+-=.230k -≠，否则l 与渐近线平行.212122224483,33k y y y y k k -∴+==--.222244833233k k k -∴⨯=⨯--.2k ∴=± (2,0)Q ∴±.解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k-1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y k kλ∴--=+.∴1114444k kx x k λ-==-++.同理 1244kx λ=-+. 1212448443kx kx λλ+=--=-++.即 2121225()80k x x k x x +++=.（*）又22413y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得22(3)8190k x kx ---=.当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -≠. 由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩代入（*）式得 24,2k k ==±.∴所求Q 点的坐标为(2,0)±.例11．已知，椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，过其右焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A 、B 两点，若椭圆上存在一点C ，使OA OB OC +=，（1）求椭圆的离心率；（2）若|AB |15=，求这个椭圆的方程.解答过程：（1）设椭圆方程为2222x y 1,(a b 0)ab+=>>，焦距为2c ，则直线AB 的方程为y x c =-，设1122A(x ,y ),B(x ,y )，由2222x y 1ab y xc ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：22222222(a b )x 2a cx a c a b 0+-+-=，则212222a c x x a b +=+，21212222b c y y x x 2c a b+=+-=-+，因OA OB OC +=，则2222222a c 2b c C(,)a b a b -++，又点C 在椭圆上，则22222222224a c 4b c 1(a b )(a b )+=++，整理得：2224c a b =+＝222a (a c )+-，即222a 5c =，所以c e a ==C BA oy x（2）|AB ||AF ||BF |=+＝12(a ex )(a ex )-+-＝122a e(x x )-+＝222c 2a c 2a a a b -⋅+ ＝3a152=，则a 10=，c =2b 60=，椭圆方程为22x y 110060+=.小结：（1）利用向量，可将较复杂的A 、B 、C 三点之间的关系用较简单的形式给出来；（2）焦点弦的长度的计算，一般都分割成两段，用定义或焦半径来求解；（3）计算复杂是解析几何的通性，要细心. 考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在xC(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA 2BC =，求当AOB ∆的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+，由222x 3y t my x 1⎧+=⎨=+⎩得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )，则1224m y y 2m 3+=+…………① 又CA 2BC =，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………②由①②得：128m y 2m 3=+，224m y 2m 3-=+，则AOB 1221m S |y y |6||22m 3∆=-=+＝632|m ||m |+当23m 2=，即m =AOB ∆面积取最大值，此时2122222t 32m y y 2m 3(2m 3)-==-++，即t 10=，所以，直线方程为x 10+=，椭圆方程为222x 3y 10+=.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例13．已知PA (x y)=，PB (x y)=，且|PA ||PB |6+=，求|2x 3y 12|--的最大值和最小值.解答过程：设P(x,y)，A(，，因为|PA ||PB |6+=，且|AB |6=，所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆，椭圆方程为22x y 194+=，令x 3cos ,y 2sin =θ=θ，则|2x 3y 12|--＝|)12|4πθ+-，当cos()14πθ+=-时，|2x 3y 12|--取最大值12+当cos()14πθ+=时，|2x 3y 12|--取最小值12-小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.例14．（20XX 年福建卷）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点.（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ，∴圆心M 在直线12x =-上.设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =3,2解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根. 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.21212124210,0,2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<< ∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA |,|OB |,|OF |成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FP ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.解答过程：（1）因|OA |,|OB |,|OF |成等比数列，故22|OB |a |OA |c |OF |==，即2aA(,0)c ，直线l ：a y (x c)b =--，由2a y (x c)a ab b P(,)bc c y x a ⎧=--⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩，故：22ab a ab b abPA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c=-==-，则：222a b PA OP PA FP c⋅=-=⋅，即PA OP PA FP ⋅=⋅；（或PA (OP FP)PA (PF PO)PA OF 0⋅-=⋅-=⋅=，即PA OP PA FP ⋅=⋅）（2）由44422222222222222a y (x c)a a a c (b )x 2cx (a b )0bb b b b x a y a b ⎧=--⎪⇒-+-+=⎨⎪-=⎩，由4222212422a c (ab )bx x 0a b b -+=<-得：4422222b a b c a a e 2e >⇒=->⇒>⇒> （或由DF DO k k >⇒a b b a->-⇒22222b c a a e 2e =->⇒>⇒>小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.例16．已知a (x,0)=，b (1,y)=，(a 3b)(a 3b)+⊥-，（1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；（2）若直线y kx m(m 0)=+≠与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=，试求m 的取值范围.解答过程：（1）a3b +＝(x,0)y)(x =+，a 3b -＝(x,0)3(1,y)(x 3,3y)-=--，因(a 3b)(a 3b)+⊥-，故(a 3b)(a 3b)0+⋅-=，PQCBA xy O即22(x (x x 3y 30⋅=--=，故P 点的轨迹方程为22x y 13-=. （2）由22y kx m x 3y 3=+⎧⎨-=⎩得：222(13k )x 6kmx 3m 30----=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y )则22222(6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0∆=----=+->，1226km x x 13k +=-，1202x x 3km x 213k +==-，002my kx m 13k =+=-，即A 、B 的中点为223km m(,)13k 13k--，则线段AB 的垂直平分线为：22m 13kmy ()(x )13k k 13k -=----，将D(0,1)-的坐标代入，化简得：24m 3k 1=-，则由222m 13k 04m 3k 1⎧+->⎪⎨=-⎪⎩得：2m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>，又24m 3k 11=->-，所以1m 4>-，故m 的取值范围是1(,0)(4,)4-+∞.小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0⋅=，|BC |2|AC |=，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ ∠的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =？请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222x y 14b +=，不妨设C 在x 轴上方，由椭圆的对称性，|BC |2|AC |2|OC ||AC ||OC |==⇒=，又AC BC 0⋅=AC OC ⇒⊥，即ΔOCA 为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b 3=，即，椭圆方程为22x 3y 144+=；（2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =，即AB//PQ ，由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1k 2(1)3--==--，若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+，由22222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044y k(x 1)1⎧+=⎪⇒+--+--=⎨⎪=-+⎩，由C(1,1)得x 1=是方程222(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根，由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k --=⋅=+，以k -代k 得2Q 23k 6k 1x 13k+-=+，故P Q P Q PQ P Q P Q y y k(x x )2k 1k x x x x 3-+-===--，故AB//PQ ，即总存在实数λ，使得PQ λAB =.评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例18．设G 、M 分别是ABC ∆的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且GM AB =λ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OP OQ 0⋅=？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)33，因为GM AB =λ，所以GM//AB ，则xM(,0)3，由M 为ABC ∆的外心，则|MA ||MC |==整理得：2222x y 1(x 0)3a a+=≠；（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-，由2222y k(x a)x y 1(x 0)3aa =-⎧⎪⎨+=≠⎪⎩得：22222(13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=，设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则21226k a x x 13k +=+，221223a (k 1)x x 13k -=+，22212121212y y k (x a )(x a )k [x x a (x x )a ]=--=-++＝2222k a 13k-+，由OP OQ 0⋅=得：1212x x y y 0+=，即2222223a (k 1)2k a 013k 13k--+=++，解之得k = 又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)，故存在直线m ，其方程为y a)=-.小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 【专题训练与高考预测】一、选择题1．如果双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是1y x 3=±，那么双曲线方程是（）A ．22x y 1369-= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-=2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线2222x y 12m 3n-=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（）A.x y =B. y =C. x =D. y =3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)ab+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，且12FMF 60∠=︒，则椭圆的离心率为（）A.124．二次曲线22x y 14m+=，当m [2,1]∈--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（）A. B. C. D.5．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（）A.(B.C.[D.6．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（）A. 22x y 1(y 0)34+=≠ B.22x y 1(y 0)43+=≠ C. 22x y 1(x 0)34-=≠ D.22x y 1(x 0)43-=≠ 二、填空题7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若021=⋅PF PF21tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 ______________ . 8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，点A 的坐标是______________ .9．P 是椭圆22x y 143+=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k ⋅=，则k 的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题：①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=；②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292； ③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4=-；④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP ||OQ |+等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题11．已知两点，B(0)，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ⋅=，（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设直线m 过点A ，斜率为k ，当0k 1<<时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m k 的值及此时点C 的坐标. 12．如图，1F (3,0)-，2F (3,0)是双曲线C 的两焦点，直线4x 3=是双曲线C 的右准线，12A ,A 是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点，（1）求双曲线C 的方程；（2）求证：12FM F N ⋅是定值. 13．已知OFQ ∆的面积为S ，且OF FQ 1⋅=系，（1）若1S 2=，|OF |2=，求直线FQ 的方程；（2）设|OF |c(c 2)=≥，3S c 4=，若以O 为中心，F 求当|OQ |取得最小值时的椭圆方程.14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 上，且满足HP PM 0⋅=，3PM MQ 2=-，（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点0E(x ,0)，使得ABE ∆为等边三角形，求0x 的值.15．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量与OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列，（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ．【参考答案】一. 1．C .提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)33+-=λ，将点代入求出λ即可.2．D .因为双曲线的焦点在x轴上，故椭圆焦点为，双曲线焦点为，由22223m 5n 2m 3n -=+得|m |n |=，所以，双曲线的渐近线为y == .3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d =，12|FF |=，1212|FF |c 2c e a 2a |MF ||MF |===+. 4.C .1>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算. 5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=⋅PF PF ，∴21PF ⊥ .又21tan 21=∠F PF ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF解得：25()93,cc e aa === ．选D ． 8．解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P（x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0， x 2+2y 2=1234021x x x =+，31222021-=⋅x x x ，则20202021221212363234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-．∴||13144212x x x -⋅+=，即202363223144x -⋅⋅=． ∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．9．1；22212k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =⋅=+-=- .10．②④.三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-，PA (2x,y)=--，PB (2x,y)=---，22PA PB x 2y ⋅=-+，因为2PA PB 2PQ ⋅=，所以222x 2y 2x -+=，即动点P 的轨迹方程为：22y x 2-=；（2）设直线m ：y k(x k 1)=-<<，依题意，点C在与直线m 平行，且与m设此直线为1m :y kx b =+2b 2+=，……①把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222(k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=，则22224k b 4(k 1)(b 2)0∆=---=，即22b 2k 2+=，…………②由①②得：k =b =此时，由方程组22y y x 2⎧⎪⇒⎨⎪-=⎩. 12．解：（1）依题意得：c 3=，2a 4c 3=，所以a 2=，2b 5=，所求双曲线C 的方程为22x y 145-=；（2）设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A (2,0)-，2A (2,0)，100A P (x 2,y )=+，200A P (x 2,y )=-，1110A M (,y )3=，222A N (,y )3=-，因为1A P 与1A M 共线，故01010(x 2)y y 3+=，01010y y 3(x 2)=+，同理：0202y y 3(x 2)=--，则1113FM (,y )3=，225F N (,y )3=-，所以12FM F N ⋅＝1265y y 9-+＝202020y 6599(x 4)---＝20205(x 4)206541099(x 4)-⨯--=-- . 13．解：（1）因为|OF |2=，则F(2,0)，OF (2,0)=，设00Q(x ,y )，则00FQ (x 2,y )=-，0OF FQ 2(x 2)1⋅=-=，解得05x 2=，由0011S |OF ||y ||y |22=⋅==，得01y 2=±，故51Q(,)22±，所以，PQ 所在直线方程为y x 2=-或y x 2=-+；（2）设00Q(x ,y )，因为|OF |c(c 2)=≥，则00FQ (x c,y )=-，由0OF FQ c(x c)1⋅=-=得：01x c c=+，又013S c |y |c 24==，则03y 2=±，13Q(c ,)c 2+±，2219|OQ |(c )c 4=++，易知，当c 2=时，|OQ |最小，此时53Q(,)22±，设椭圆方程为2222x y 1,(a b 0)a b +=>>，则2222a b 425914a4b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得22a 10b 6⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以，椭圆方程为22x y 1106+= . 14．解：（1）设M(x,y)，由3PM MQ 2=-得：y P(0,)2-，xQ(,0)3，由HP PM 0⋅=得：y 3y (3,)(x,)022-=，即2y 4x =，由点Q 在x 轴的正半轴上，故x 0>，即动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线，除去原点；（2）设m :y k(x 1)(k 0)=+≠，代入2y 4x =得：2222k x 2(k 2)x k 0+-+=…………①设11A(x ,y )，22B(x ,y )，则12x ,x 是方程①的两个实根，则21222(k 2)x x k-+=-，12x x 1=，所以线段AB 的中点为222k 2(,)k k -，线段AB 的垂直平分线方程为22212k y (x )kkk--=--，令y 0=，022x 1k=+，得22E(1,0)k+，因为ABE ∆为正三角形，则点E 到直线AB|AB |，又|AB|=，=k =011x 3= . 15．解：（1）∵ab yc x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-= .∵OM ab k AB 与,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2，∴b=c,故22=e .（2）设1122121212,,,2,2,FQr F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈ .16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得 (1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=， )0,2(=-= . 所以 )1(2x +=⋅ . 122-+=⋅y x ， )1(2x -=⋅ . 于是， ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列等价于⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 ⎩⎨⎧>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。

解答解析几何问题的几个措施

解题宝典解析几何问题的运算量较大，解法灵活，常以解答题的形式出现在各类试题中.为了提升解题的效率，我们需熟练掌握一些解答解析几何问题的常用措施.下面结合实例，来谈一谈解答此类问题的三个措施.一、利用平面几何知识解析几何和平面几何之间联系紧密.因此，在解答解析几何问题时，我们可以先明确圆锥曲线的几何特征，根据题意绘制出几何图形，将问题转化为平面几何问题，灵活运用直线、圆、三角形的性质以及相关定理来解题.例1.设圆满足：（1）截y 轴所得弦长为2；（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长为3：1.求圆心到直线l :x -2y =0的距离最小的圆的方程.解：设所求圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2，根据条件（1）（2）易得r 2=a 2+1，r 2=2b 2，消去r 得2b 2-a 2=1.由此可见，圆心(a ,b )在双曲线2y 2-x 2=1上.设l '的方程为x -2y =c ，当直线l '与双曲线2y 2-x 2=1相切时，圆的半径最小.由l '与2y 2-x 2=1相切可得c =±1，所以圆的圆心为(1，1)或（-1，-1），r 2=2.故所求圆方程为(x -1)2+(y -1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2.解答本题的关键是运用平面几何中关于切线的一个重要结论：与曲线的切线平行的直线到曲线的距离最短.利用平面几何知识解答解析几何问题，能将复杂的问题简单化，抽象的问题形象化.二、利用参数方程我们知道，每条曲线都有与之相应的参数方程.在解答解析几何中的动点、动直线问题时，可根据曲线的参数方程来设出相应的动点、动直线，将其代入题目条件中进行运算、推理，便能快速求得问题的答案.例2.如图1，已知椭圆x 224+y 216=1，直线l :x 12+y 8=1，P 是l 上的一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.解：由题设知点Q 不在原点，设P ，R ，Q 的坐标分别为（x P ,y P ），(x R ,y R )，(x ,y )，其中x ,y 不同时为零.OP 与x 轴正方向的夹角为θ（θ为参数）.则x P =|OP |cos θ，y P =|OP |sin θ，x R =|OR |cos θ，y R =|OR |sin θ，x =|OQ |cos θ，y =|OQ |sin θ.由|OQ |·|OP |=|OR |2可得ìíîïïïïx P =|OP ||OQ |x ，y P =|OP ||OQ |y ，ìíîïïïïx 2R =|OR ||OQ |x 2，y 2R =|OR ||OQ |y 2，又点P 在直线l 上、点R 在椭圆上，则x P 12+y P 8=1,x 2R 24+y 2R 16=1.将x P 、y P 、x 2、y 2R 分别代入上面两式，化简整理得点Q 的轨迹方程为(x -1)252+(y -1)253=1（其中x ，y不同时为零）.在运用参数方程解题时，要选择恰当的参数，这样便可以借助参数来建立各个量之间的联系，然后合理消去参数，问题便能顺利获解.三、设而不求有些解析几何问题中的点的坐标、直线的方程不方便或者不易求出，此时，我们可以采用设而不求的方法来解题.首先设出点的坐标或者直线的方程，然后将其代入题目条件中进行求解.例3.如图2，已知点A （a ，0）(a >0)和直线l :x =-1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于C ，求点C 的的轨迹方程.解：设B （-1，b ）(b ∈R)，则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =-bx .设动点C (x ，y )，则0≤x <a .由OC 平分∠AOB 可得|y |=，(1)又点C 在直线AB 上，则y =-b 1+a(x -a )，(2)由（1）（2）得(1-a )x 2-2ax +(1+a )y 2=0(0≤x <a )，该式即为点C 的轨迹方程.我们直接根据题意设出B 点的坐标，然后将其代入题设中求解，消去参数b ，便能求得点C 的轨迹方程.虽然解析几何问题较为复杂，但是我们只要根据解题需求选择恰当的措施，如利用平面几何知识、参数方程，设而不求等，便能有效地简化问题，优化解题的方案.（作者单位：甘肃省酒泉市瓜州县第一中学）图2图139。

解析几何大题的答题规范与技巧

解析几何大题的答题规范与技巧以吾真心换尔信心一、过点(x 0，y 0)的直线可以设为)(00x x k y y -=-或)(00y y m x x -=-选择的依据是斜率不存在的直线(0x x =)是否满足题意有关!举例：1、过点(1，0)的直线与椭圆1222=+y x 相交A ，B 两点，求三角形AOB 面积的最大值。

2、过点P(0，1)的直线与抛物线x y 22=相交于A ，B 两点，且3=，求直线方程。

二、对于没有确定条件（如斜率、定点）已知的情况下，可以设直线为b kx y +=或b my x +=。

举例：与圆122=+y x 相切，且与椭圆1222=+y x 相交于A ，B 两点，求三角形AOB 面积的最大值。

三、在未知椭圆焦点位置的情况下，可以设椭圆方程为122=+ny mx (0,>n m ) 举例：求过点A(1，2)，B(2，1)的椭圆的标准方程。

四、当直线或曲线方程中含有参数时，要分离参数，判断是否过定点。

⎩⎨⎧==⇒=+0),(0),(0),(),(y x g y x f y x bg y x af ，此方程组的解为坐标的点就是定点。

举例：1、求证圆)(1)(222R a a y a x ∈+=+-过定点，并求出此定点。

2、当实数a ，b ，c 成等差数列时，求证：直线ax+by+c=0过定点。

五、中点坐标(2,22121y y x x ++ )，三角形重心坐标(2,2321321y y y x x x ++++ )。

六、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：||14)(1||2212212a k x x x x k AB ∆⨯+=-++=；七、求三角形的面积常用ah S 21=，或分割法。

八、关于两直线AB 、AC 垂直时有以下的理解：1、斜率之积为—1；2、向量之积为0；3、勾股定理；4、点A 在以BC 为直径的圆周上。

九、直线与圆锥曲线相交或相切时韦达定理的常见应用1、求中点坐标；2、求弦长；3、已知一个交点求另一交点；4、相切时求切点坐标。

快速解决解析几何题目的技巧

快速解决解析几何题目的技巧解析几何是高中数学中的一个重要分支，它运用代数和几何的知识来解决平面和空间中的几何问题。

对于许多学生来说，解析几何是一个相对较难的主题。

然而，如果我们掌握一些技巧和方法，就能够更快速地解决解析几何题目。

本文将介绍一些有效的技巧，帮助大家快速解决解析几何题目。

一、画图是必要的在解析几何题目中，画图是必不可少的一步。

通过画图，我们可以更好地理解题目，把抽象的问题转化为具体的几何图形。

在画图时，我们需要按照题目的要求合理规划图形的大小和比例，保证画出的图形能准确地反映出题目的几何特征。

画图的同时，我们要注重细节，标注出各个角、边、点的关系，以便后续的解题过程。

二、理清问题的关键信息解析几何题目通常会给出一些关键信息，我们需要仔细阅读题目，理清这些关键信息。

这些关键信息有时会出现在题目的开头、中间或末尾，我们需要将其整理出来，在解题时用到。

理清问题的关键信息可以帮助我们更快地确定解题的方向和方法，减少解题过程中的迷惑。

三、利用几何性质和定理解析几何题目中，有许多几何性质和定理可以用来解决问题。

熟悉并合理运用这些几何性质和定理，可以大大提高解题的效率。

例如，对于平面几何问题，我们可以利用平行线与交线的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质等来解决问题。

对于立体几何问题，我们可以利用立体的体积、表面积、空间几何关系等来解题。

因此，我们需要熟悉并灵活运用这些几何性质和定理，以便更快地解决解析几何题目。

四、代数与几何的结合解析几何是代数和几何知识的结合，因此我们可以通过代数的方法来解决一些几何问题。

例如，可以通过设置未知数，建立方程组来解决问题。

代数方法常常能够简化解题过程，帮助我们更快地求解问题。

在运用代数方法解决几何问题时，我们需要根据题目的要求设定合理的未知数，建立准确的方程，并通过方程组的解来得出问题的答案。

五、巧用试错法在遇到复杂的解析几何题目时，我们可以尝试使用试错法来解决。

解析几何法巧解三角形的范围问题

解析几何法巧解三角形的范围问题在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。

对此，一般情况下的解题思路，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。

在这里，我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。

一、“题设条件中的不等式关系”之运用事物都是一分为二的。

对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。

在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节.例1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线右支上，点M（m，0）到直线AP的距离为1.（1）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；（2）当时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程.分析：对于（1），已知直线AP的斜率k的取值范围，要求m的取值范围，首先需要导出k与m的关系式；对于（2），则要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线；三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺.解：（1）由已知设直线AP的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0∵点M到直线AP的距离为1∴①∵∴，解得或∴所求m的取值范围为.（2）根据已知条件设双曲线方程为当时，点M的坐标为（）.∵A(1,0)，，∵点M到直线AP的距离为1，∴△APQ的内切圆半径r＝1，∴∠PAM＝45°。

解答解析几何问题的技巧

ìíîïïïïx =2,y,(t 为参数)设点N 的坐标为(2)，点M 的坐标为(1-,1).于是 BM ∙BN =(2-)(1)+(1)=(t-2+32.又0<t <2，则32≤(t2+32<2，可得 BM ∙ BN ∈[32,2).故选C.解法四：因为点C (2,0),A (0,2)，所以向量CA =(-2,2)，所以与向量 CA 同向的单位向量s= CA || CA =122⋅(-2,2)=.设 CN =ts)，则CM =(t +2)s =(-1-,1+)，故N (2-),M (1,1).可得BM ∙BN =(2-)(1)+(1)=t 2-2t +2=(t 2+32.又因为0<t <2，则BM ∙ BN ∈[32,2).故选C.该解法灵活运用了平面向量中的一个结论“任何一个非零向量均可用与之共线的单位向量进行线性表示”.由于点M 、N 均在边AC 上，所以向量 CN ,CM能够用与向量CA 同向的单位向量来表示，可引入参数，便可顺利得出点M 、N 的坐标，运用参数法解题.通过上述分析可以发现，解答平面向量的数量积问题，可以从多方面进行考虑，最直接的方式是运用坐标系法，将问题转化为向量的坐标运算问题求解；而运用参数法，可巧妙地将动点M 、N 的坐标表示出来，将问题转化为含参的函数最值问题来求解.在解答平面向量的数量积问题时，要灵活运用数形结合思想以及转化思想，这样能有效地提升解题的效率.(作者单位：江苏省江安高级中学）解析几何是高中数学中的重要知识模块，也是高考必考的内容.解析几何问题对同学们的综合分析以及运算能力有较高的要求，许多同学经常一看到解析几何问题，就心生怯意.其实，解析几何问题并没有我们想象中的那么难，只要熟悉常见的题型，掌握一些常用的解题途径，就能顺利破解难题.本文主要介绍三种解答解析几何问题的技巧，希望对大家能有所帮助.一、采用定义法定义法是运用圆锥曲线的定义来解题的方法.该方法主要适用于解答动点的轨迹问题、距离问题、最值问题、离心率问题、曲线的方程等.在运用定义法解答解析几何问题时，要将“动点与定点之间的距离”与圆锥曲线的定义关联起来，建立关系式，从而顺利解题.例1.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右两焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆相交于P ,Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若||PF 1=2+2，||PF 2=2-2，求椭圆的标准方程.(2)若||PF 1=|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义可知：2a =||PF 1+||PF 2=()2+2+()2-2=4,∴a =2.设椭圆的半焦距为c ，∴||PF 2⊥||PF 1，可知∆PF 1F 2为直角三角形.∴2c =||F 1F 2=||PF 12+||PF 22=()2+22+()2-22=23,即c =3，∴b =a 2+c 2=1.∴椭圆的标准方程为：x 24+y 2=1.(2)连接QF 1，由椭圆的定义可知||PF 1+||PF 2=石晓鹏392a ,∴||QF 1=4a -2||PF 1，||QF 1+||QF 2=2a .由||PF 1=|PQ |可得||QF 1=4a -2||PF 1,由PQ ⊥PF 1，||PF 1=|PQ |可得||QF 1=2|PF 1|.∴4a -2||PF 1=2|PF 1|，∴||PF 1=2()2-2a ,∴||PF 2=2a -||PF 1=2a -2()2-2a =2()2-1a .由PF 2⊥2|22=||F 1F 22=(2c )2，∴e =c a =6-3.解答本题，主要运用了椭圆的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹，建立关系式2a =||PF 1+||PF 2，再根据椭圆方程中a 、b 、c 之间的关系以及点、线段之间的位置关系求得椭圆的标准方程、离心率.二、数形结合数形结合是解答解析几何问题的重要方法，将数形结合起来，能使抽象的解析几何问题直观化.运用数形结合法解答解析几何问题，通常需根据曲线的方程画出图形，利用圆锥曲线的几何意义建立几何关系，再通过代数运算求得问题的答案.例2.已知椭圆C 的中心与椭圆上的3点恰好构成正方形，则椭圆C 的离心率为.解：设椭圆的方程x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)，绘制如图1的图形，由正方形的性质可知椭圆长半轴的长等于正方形的对角线长，则点(a 2,a2)为椭圆上的一点，可得14+a 24b 2=1，化简得a 2=3b 2=3()a 2-c 2，则2a 2=3c 2，即e =,故D 为正确选项.根据已知条件，我们无法快速建立关系式，于是绘制出相应的图形，采用数形结合法来解题，通过分析图形，根据正方形的特征，便可明确正方形的对角线与椭圆的长半轴之间的联系，在椭圆上找到一点(a 2,a 2)，从而建立a 、c 之间的关系，运用离心率公式得出正确的选项.通过数形结合，可将问题中的数量关系通过图形直观地呈现出来，这样能有效地提升解题的效率.三、设而不求设而不求是指设出相应的参数，并将其代入题设中进行求解，最后通过消参求得问题的答案.该方法常用于求解一些较为复杂的解析几何问题，尤其是含参问题、运算繁琐的问题.在解题时，一般可将与较多变量有关联的量用参数表示出来，然后将其代入题设中，再进行整体代换、消参，使问题得解.例3.已知椭圆的方程为x 24+y 22=1，经过原点O 的直线与椭圆交P ,A 两点，P 点在第一象限，如图2，过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，延长AC 交椭圆于点B ，若直线PA 的斜率为k ,试证：对于任意k >0，都有PA ⊥PB .解：联立直线PA 的方程：y =kx 与椭圆的方程x 24+y 22=1，可得x =±21+2k 2,设μ=21+2k 2.则P ()μ,μk ,A ()-μ,-μk ,于是C (μ,0),故直线AB 的斜率为0+μk μ+μ=k2,其方程为y =k 2(x -μ),将其代入椭圆的方程可得：()k 2+2x 2+μ2k 2-2μk 2x -8=0,解得：x =μ()3k 2+2k 2+2或x =-μ(舍去)，所以B (μ()3k 2+2k 2+2,μk 3k 2+2),则直线PB 的斜率为k 1=μk 3k 2+2-μk μ()3k 2+2k 2+2-μ=k 3-k (k 2+2)3k 2+2-(k 2+2)=-1k ,可得k 1k =-1,故PA ⊥PB .本题较为复杂，题目中涉及的变量、数量关系较多，于是引入参数μ，分别设出P 、A 的坐标以及AB 的直线方程，将其代入题设中，通过解方程求得点B 的坐标以及PB 的斜率，最后运用斜率公式证明PA ⊥PB .运用设而不求法解题，可将问题变得简单，回避了繁琐的运算以及复杂的求解过程.总之，定义法、数形结合法比较常用，其适用范围较广，而运用设而不求法，能简化解题的过程.因此在解答解析几何问题时，同学们要学会灵活运用圆锥曲线的定义,借助图形,通过引入参数来解题，以提升解题的效率.（作者单位：甘肃省庄浪县第二中学）图1图240。

高考丨搞定解析几何，这些运算技巧超实用，建议收藏

高考丨搞定解析几何，这些运算技巧超实用，建议收藏我们都知道，数学在高考中是重点，也是难点。

而在数学当中，解析几何可谓是重中之重，让很多考生伤透了脑筋，特别是大题，很多同学都被复杂的图形给吓到了。

今天就总结几点关于几何题的解题思路以及答题要点与模版，希望能帮助广大考生，一定要用心看完哦。

一、空间感可以练出来我们初中几何都是平面图，而到了高中，就接触立体图形了，这是一次艰难的飞跃，很多初中几何学得好的同学都折在这了。

但凡事需要一个过程啊，没有空间感，咱们就建立空间感。

同学们可以自制一些空间几何模型，反复观察练习，这有益于建立空间观念，是个好办法。

也可选择对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。

二、基础知识要记牢要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式，要及时不断地复习前面学过的内容。

这是因为几何的知识点前后联系紧密，前面内容是后面内容的基础，后面内容既巩固了前面的内容，又延伸了前面内容。

在解题中，要注意书写规范，①如用平行四边形ABCD表示平面时，可以写成平面AC，但不可以把平面两字省略掉；②要写出解题根据，不论对于计算题还是证明题都应该如此，不能想当然或全凭直观；③对于文字证明题，要写已知和求证，要画图；用定理时，必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚，自己心中有数而不把它写出来是不行的。

④要学会用图帮助解决问题；要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法。

三、积累解决问题的方法、提高分析的能力要注意积累解决问题的方法。

如将立体几何问题转化为平面问题，又如将求点到平面距离的问题，或转化为求直线到平面距离的问题，再继而转化为求点到平面距离的问题；或转化为体积的问题。

不断提高分析问题、解决问题的水平，加深对理论的认识水平，养成良好逻辑思维能力，几何题目便不在话下。

四、“转化”思想解立体几何的问题，要运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，什么是变量、两者之间存在的联系，这是非常关键的。

谈谈解答解析几何问题的三个办法

解析几何是高中数学中的重要模块，解析几何问题的分值在高考试卷中占比较大.解析几何问题的常见命题形式有：求曲线的方程、求曲线中线段的最值、求参数的取值范围、判断点的存在性等.解析几何问题对同学们的逻辑思维和运算能力有较高的要求.下面介绍三个解答解析几何问题的技巧，以帮助同学们简化问题，提高解题的效率.一、巧用参数法有些解析几何问题较为复杂，涉及了较多的变量，为了便于解题，我们可引入合适的参数，设出相关点的坐标、直线的斜率、方程、曲线的方程等，然后将其代入题设中进行运算、推理，再通过恒等变换，消去参数或求得参数的值，便可求得问题的答案.例1.已知过椭圆C ：x 29+y 2=1左焦点F 1的直线交椭圆于M ,N 两点，设∠F 2F 1M =α(0≤α≤π).当α的值为何时，|MN |为椭圆C 的半长轴、半短轴长的等差中项？解：设过F 1的直线参数方程为：{x =-22+t cos α，y =t sin α，将其代入椭圆方程中可得()1+8sin 2αt 2-()42cos αt-1=0.则t 1+t 2=,t 1t 2=-11+8sin 2α，所以||MN =||t 1-t 2=()t 1+t 22-4t 1t 2=61+8sin 2α=2，可得sin 2α=14，解得α=π6或5π6.要求得|MN |，需知晓直线的方程，于是引入参数t 、α，设出直线MN 的参数方程，然后将其与椭圆的方程联立，构建一元二次方程，根据韦达定理和弦长公式求得|MN |，再根据等差中项的性质建立关系，求得α的值.运用参数法解题，只需引入参数，根据题意建立关系式，这样能有效地降低解题的难度.二、妙用射影性质射影性质是图形经过任何射影对应(变换)都不变的性质.若遇到涉及多条共线线段或平行线段的解析几何问题，我们可以巧妙利用射影性质来解题.首先根据题意画出相应的图形，然后在x 轴或y 轴上画出各条线段的射影，如此便可将问题中线段的长度、数量问题转化为x 轴或y 轴上的点或线段问题，进而简化运算.例2.已知椭圆的方程为x 224+y 216=1，点P 是直线l ：x 12+y 8=1上的任意一点，OP 的延长线交椭圆于点R ，点Q 在OP 上，且||OQ ∙||OP =|OR |2，求点Q 的轨迹方程.解：设P (x p ,y p )，Q (x ,y )，R (x R ,y R )在x 轴上的射影分别为P 0,Q 0,R 0，由||OQ ∙||OP =|OR |2可得x ∙x P =x 2R ，①当点P 不在y 轴上时，设OP :y =kx ，由ìíîïïy =kx ，x 224+y 216=1，可得x 2R =483k 2+2，②由ìíîïïy =kx ，x 12+y 8=1，可得x P =243k +2，③由①②③可得：(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0).当点P 在y 轴上时，Q 点的坐标为(0,2)，满足上式.所以点Q 的轨迹方程为(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0)，该方程表示的是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).找到P 、Q 、R 在x 轴上的射影，利用射影性质得到x ∙x P =x 2R ，然后通过联立方程求得x 、x P 、x 2R ，建立关系式，即可通过消元求得点Q 的轨迹方程.巧妙利用射影性质来解题，能有效简化运算，提升解题的效率.高双云图1思路探寻47探索探索与与研研究究三、建立极坐标系对于一些与线段长度有关的问题，我们可以结合图形的特征，建立极坐标系，通过极坐标运算来求得问题的答案.一般地，可将直角坐标系的原点看作极坐标系的原点，将直角坐标系的x 轴看作极坐标系的极轴，把线段用极坐标表示出来，这样便可将问题简化.以例2为例.图2解：以原点O 为极点，以Ox 轴的正半轴为极轴，建立如图2所示的极坐标系.则椭圆的极坐标方程为：ρ2=482+sin 2θ,直线l 的极坐标方程为：ρ=242cos θ+3sin θ，设P (ρP ,θ),Q (ρ,θ),R (ρR ,θ),因为||OQ ∙||OP =|OR |2，所以ρ∙ρP =ρ2R .即24ρ2cos θ+3sin θ=482+sin 2θ，可得ρ2()2+sin 2θ=4ρcos θ+6ρsin θ，而x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得2x 2+3y 2-4x -6y =0(其中x ,y 不同为零),所以点Q 的轨迹是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).建立极坐标系后，分别求出椭圆的极坐标方程和直线的极坐标方程，再根据极坐标方程表示出点P 、Q 、R 的坐标，并根据几何关系||OQ ∙||OP =|OR |2建立关系式，最后将其转化为标准方程即可.运用极坐标法解题，需熟练地将极坐标方程与普通方程进行互化.可见，利用参数法、射影性质、极坐标系法，都能巧妙地简化运算，提升解题的效率.相比较而言，参数法的适用范围较广，另外两个技巧具有一定的限制.同学们在解题时，可根据解题需求，引入参数、画出射影、建立极坐标系，这样便可让解题变得更加高效.本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点自筹课题“新课标下提升高中生数学学习力的实践研究”（课题编号：B-b/2020/02/158）阶段研究成果.（作者单位：江苏省泰兴中学）在教学中，细心的教师会发现，教材中的很多习题具有一定的代表性和探究性，且其解法非常巧妙.对于此类习题，教师可以将其作为重要的教学资源，在课堂教学中引导学生对其进行深入的探究、挖掘，以便学生掌握同一类题目的通性通法，帮助他们提升学习的效率.本文主要对人教A 版选择性必修第二册《一元函数的导数及其应用》的一道课后习题进行了探究.一、对习题及其解法的探究人教A 版选择性必修第二册第99页的第12题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（1）e x >1+x ,x ≠0；（2）ln x <x <e x ,x >0.证明:（1）设f (x )=e x -1-x ,∴f ′(x )=e x-1，∴f ′(x )=e x -1=0,∴x =0，∵f ′(x )>0,∴x >0,f ′(x )<0,∴x <0，∴函数f (x )在(0,+∞)为单调递增，在(-∞,0)为单调递减，∴函数在x =0处取得最小值，∴f (x )>f (0)=0，∴f (x )=e x -1-x >0,即e x >1+x .事实上，这个结论经常出现在很多试题中，不少教师在教学中也将该结论列为常用结论，并要求学生加以记忆.于是，笔者引导学生对该结论的背景和几何意义进行推导和探究.引理：（泰勒公式）若函数f (x )在包含x 0的某个区间[a ,b ]上具有n 阶导数，且在开区间(a ,b )上具有n +1阶导数，则对于闭区间[a ,b ]上的任意一点x =x 0，有f (x )=f (x 0)+f '(x 0)1!(x -x 0)+f ''(x 0)2!(x -x 0)2+f '''(x 0)3!(x -x 0)3+⋯+f n (x 0)n !(x -x 0)n +R n (x ).其中，f n (x 0)表示函数f (x )在x 0处的n 阶导数，上式称为函数f (x )在x =x 0处的泰勒公式，R n (x )称为泰勒公式的余项.特别地，当x 0=0时，若f (x )在x =0处n 阶连续可导，则称f (x )=周建韩丹娜48。

解析几何法巧解三角形的范围问题

b
n+1+c
n+1=
b
n+c 2
n
+a1，
所以b n+1+c n+1-2a1=
1（b 2
n+c
n-2a1）=…=
21n（b 1+c 1-2a1）=0援
所以bn+cn=2a1援淤
因为bn+1-cn+1=- 12（bn-cn），所以{bn-cn}是以b1-c1为首
蓸蔀项，-
1 2
为公比的等比数列，bn-cn=（b1-c1） -
2
2
姨3 援解法2院如图1，以A B的中点为
原点O，直线A B为x轴建立平面直角坐标系，则 A（-1，0），B（1，0）.
y C
A
B
-2 -1 O 1 x
设C（x，y）（y屹0），据题意，a=姨 3 b，
求得点 C 的轨迹方程为（x +2）2+
图1
y2=3，S=
1 2
|A B||y|=|y|，易知x=-2时S取到最大值姨
a1|yn|，故{Sn}为递增数列援
例4 （2016年咸阳市二模·理
16）如图5，在吟A BC中，O是外接圆
的圆心，若OB·OC=- 1 ，A = 仔，则
2
3
B
吟A BC周长的最大值为_____援
解法1院设吟A BC外接圆的半径
A 仔 O3
a= 姨 3 C 图5
为R.由OB·OC=R2cos
b1>c
1，b 1+c 1=2a1，an+1=an，b n+1=
an+c n 2