第二章数列带答案

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第二章数列测试题(题目+答案)

第2章数列单元测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 1答案：C 12n n n a a a +++=2．12+与12-，两数的等比中项是（）A ．1B ．1-C ．1±D ．212.答案C 21)1,1x x ===±3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．A ．33B ．72C ．84D ．1893答案：C 本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，又a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84． 4．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )．A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54答案．B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8． 5．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ．－105答案．B 解析：∵{a n }是等差数列， ∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，又由a 1，a 3，a 4成等比数列， ∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8， ∴a 2＝－8＋2＝－6．6．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1B ．－1C ．2D ．216答案．A 解析：∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59·95＝1，∴选A ．7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（） A ．12 B ．10 C ．31log 5+ D ．32log 5+7答案：B 5103132310312103453log log ...log log (...)log ()log (3)10a a a a a a a a +++====8．数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前15项之和等于（）。

数列练习题_附答案

数列练习题_附答案强⼒推荐⼈教版数学⾼中必修5习题第⼆章数列1．{a n }是⾸项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等⽐数列{a n }中，⾸项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都⼤于零的等差数列，公差d ≠0，则( )．A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知⽅程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成⼀个⾸项为41的等差数列，则｜m －n ｜等于( )．A ．1B ．43C ．21D ． 83 5．等⽐数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ).A ．81B ．120C ．168D ．1926．若数列{a n }是等差数列，⾸项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成⽴的最⼤⾃然数n 是( )．A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 0087．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等⽐数列, 则a 2＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ．－108．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等⽐数列，则212b a a 的值是( )．A ．21B ．－21C ．－21或21D ．4110．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．A ．38B ．20C ．10D ．9⼆、填空题11．设f (x )＝221+x ，利⽤课本中推导等差数列前n 项和公式的⽅法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .12．已知等⽐数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝．(2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝．(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .13．在38和227之间插⼊三个数，使这五个数成等⽐数列，则插⼊的三个数的乘积为． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 .15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .16．设平⾯内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平⾏，任意三条直线不过同⼀点．若⽤f (n )表⽰这n 条直线交点的个数，则f (4)＝；当n ＞4时，f (n )＝．三、解答题17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，cb a +也成等差数列.18．设{a n }是公⽐为 q 的等⽐数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为⾸项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，⽐较S n 与b n 的⼤⼩，并说明理由．19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2 S n (n ＝1，2，3…)．求证：数列{nS n }是等⽐数列．第⼆章数列参考答案⼀、选择题1．C解析：由题设，代⼊通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．2．C解析：本题考查等⽐数列的相关概念，及其有关计算能⼒．设等⽐数列{a n }的公⽐为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，⼜a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．3．B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．⼜a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．4．C解析：解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，⽽⽅程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是⼀个⽅程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另⼀个⽅程的两个根．∴167，1615分别为m 或n ，∴｜m －n ｜＝21，故选C ．解法2：设⽅程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ．由等差数列的性质：若＋s ＝p ＋q ，则a ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第⼀项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47，∴m ＝167，n ＝1615，∴｜m －n ｜＝21． 5．B解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9243＝27，∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，∴S 4＝3－13－35＝2240＝120． 6．B解析：解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有⼀正数⼀负数，⼜a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0，∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0，故4 006为S n ＞0的最⼤⾃然数. 选B ．解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，∴S 2 003为S n 中的最⼤值．∵S n 是关于n 的⼆次函数，如草图所⽰，∴2 003到对称轴的距离⽐2 004到对称轴的距离⼩，∴20074在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最⼤⾃然数是4 006．7．B解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，⼜由a 1，a 3，a 4成等⽐数列，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6．(第6题)8．A 解析：∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ??＝59·95＝1，∴选A ． 9．A解析：设d 和q 分别为公差和公⽐，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，∴d ＝－1，q 2＝2，∴212b a a -＝2q d -＝21． 10．C解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，⼜a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，⽽a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴n ＝10．⼆、填空题11．23．解析：∵f (x )＝221+x ，∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222?+＝x x 22221+，∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋x x 22221+?＝x x 222211+?+＝x x 22)22(21++＝22．设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．12．（1）32；（2）4；（3）32．解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．（2）9136)(324222121==+=+q q a a a a ，∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q qS S a a a S a a a a S ，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．13．216．解析：本题考查等⽐数列的性质及计算，由插⼊三个数后成等⽐数列，因⽽中间数必与38，227同号，由等⽐中项的中间数为22738?＝6，∴插⼊的三个数之积为38×227×6＝216． 14．26．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413?＝26． 15．－49．解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10 ＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )＝－49．16．5，21(n ＋1)(n －2)．解析：同⼀平⾯内两条直线若不平⾏则⼀定相交，故每增加⼀条直线⼀定与前⾯已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9，……f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝21(n ＋1)(n －2)．三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满⾜从第2项开始每项与其前⼀项差为常数．证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦满⾜，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．⾸项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列，∴b 2＝a 1＋c1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋cb a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·bc a ＋，∴a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－21．（2）若q ＝1，则S n ＝2n ＋21－)(n n ＝23＋2n n ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝22＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ．若q ＝－21，则S n ＝2n ＋21－)(n n (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4－11－)0)((n n ，故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝nn 2＋S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ，所以1＋1＋n S n ＝n S n 2．故{n S n }是以2为公⽐的等⽐数列．。

第二章极限习题及答案：数列极限

函数、数列以及极限的综合题例已知函数y = f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n <1( n=0,1,2，…)时，该图象是斜率为b n 的线段(其中正常数b 1)，设数列｛x n ｝由f (xj = n(n 二1,2,…)定义.求：(1) 求为、x 2和x n 的表达式；(2) 求f (x)的表达式，并写出其定义域；(3) 证明：y 二f (x)的图像与y =x 的图象没有横坐标大于 1的交点.分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力.(1)由斜率分式求出X 「X 2，同样由斜率公式求出关于召的递推式，然后求出x n ,( 2) 由点斜式求出［心人』段的f (x)的表达式，用极限的方法求出定义域.(3)y = f (x)与y =x 没有交点，只要b 1时f (x) • x ，或0 ：：： b ：：：1时f (x) ：：： x 恒成立，当b1，由于f (X )- X f (X n ) - X n ，只要证 f(X n )-X . 0.f(0) =0，又由f(xj =1，当0乞y 乞1时，函数y 二f(x)的图象是当1辽y 乞2时，函数目二f(x)的图象是斜率为b 的线段，故由f (x 2) - f (X , )1 +,12 1b ，即 X 2 - X 1 得 x^ 1 -x 2 - 论 bb记x 。

=0.由函数y = f(x)的图象中第n 段线段的斜率为b nd ，故得5"讣X n —X n/解：(1)依题意斜率为b 0=1的线段,故由 f(X 1)-f (0)=1 得 X 1「.又由 f (X 2)=2 ,又f (X n) -n, f(X n4)= n -1; •••―八皿由此知数列｛X n -乩｝为等比数列，其首项为1,公比为bn因 b /，得 X n = » (X k -X n 」)k 40 ::: b ：：：1时，n-•:，Xn 也趋向于无穷大. 综上，当b .1时，y = f (x)的定义域为［0占当 0 :：: b ：：：1 时,y 二 f (X)的定义域为［0,：：).K(3)证法1首先证明当b ：：： 1,1 ：：： x —— 时，恒有f(x)・x 成立.b —1K对任意的X • (1, ------- )，存在X n 使X n ：：： X 乞X n 1，此时有b-1f (X )- f(X n ) =b n (X -X n ) X-X n ( n_ 1),f (x) -X f (X n ) - X n .1 1又 f (X n )二 n 1 亠亠亠 n 4 =X n ， b bf(X n )-X n 0,f (X )-X f (X n ) - X n 0,即有f (x) X 成立.其次，当b ：：：1，仿上述证明，可知当 x 1时，恒有f(x) ：：：x 成立.X n -b -11 n_1 7厂 b -1(2)当0乞y 乞1时，从(1)可知y =x ，即当0乞x 乞1时，f (x)二X , 当n < y < n • 1时，即当x^x n 1时，由(1)可知f(x) = n b n (x —X n )(X n 沁 EX n 1,n =1,2,3,).为求函数f(x)的定义域，须对X nb£) b —1(n 二1,2,3，…)进行讨论.当b 1时, lim x n = limn . n ):: 叫)n -1b -1bb —1故函数f (x)的图象与y二x的图象没有横会标大于1的交点.K证法2首先证明当b 1,1 ■：x——时，恒有f(x) .x成立.b-1用数学归纳法证明：(i )由(1 )知当n =1 时，在(1,x2］上，y 二f (x) = 1 • b(x - 1),所以f(x) -x =(x -1)(b -1) 0 成立.(ii)假设n=k时在(x^X k』上恒有f (x) • x成立.可得f (x k k 1 X k 1，在(X k 1，x k 2］上，f (x) - k 1 b k 1(X =X k 1),所以f (x) _x = k 十1+b k41(x_x k也)_x-(b -1)(x -兀.J (k 1-兀.J 0也成立.K由(i)与(i)知，对所有自然数n在(X n,X n』上都即1 ：：：X -时，恒有f (X) X. b-1其次，当b ::: 1，仿上述证明，可知当x ::: 1时，恒有f (x) ：：：x成立.说明：本题不仅考查直线方程、数列、函数、不等式知识，还着重考查综合运用数学知识、思想方法解决问题的能力. 解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力，图象想像能力，本题的(2)用求极限的方法求定义域，反映了高考命题“不拘泥于大纲”的原则，不过从实践上看，与现在中学数学实际有些超前，本题的难度系数为0.02，三人平均不足1分，创了近年高考得分低的记录.命题人设计试卷时为使考生不放弃难题，将本题放在倒数第二题的位置. 本题得分低一方面是试题“超前”，另一方面反映考生能力差，现在中学数学备考主要是“大运用量”的模仿训练，创新精神提倡不够，一遇情境新颖的问题学生就毫无办法. 以后坚持考不等式证明题的方向不会改变，试题难度会适度降低.判断数列极限命题的真假例判断下列命题的真假:0,1,0,1，…J (T),的极限是0和1.2(1) 数列(2) 数列(3) 数列11 1 11,一，2，一3,…，(一1)厂* n：厂的极限是0.2 2 2 21 1 1sin 1,sin , sin , ,sin ，… 的极限不存在.2 3 n0，1 1 1（4）数列1, , 2，…，10000的极限是0.3 3 3分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化趋势. 解：（1）一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假命题.是真命题.（3）随着n 无限增大，数列彳丄［的项无限趋近于0,因此数列$sin 〕？无限趋近于0, 是假命题.（4）有穷数列无极限，是假命题. 说明：（3）中容易认为极限不存在.数列只有10001项，是有穷数列，不存在极限.根据数列的极限确定参数的范围例八「1_a Y 右 lim !2a 丿=0，则a 的取值范围是（）A . a =1B . a < --1 或 a > 1 C . -Uac 1 D . 1 a £ —一或 a>13 33分析 :由 lim a n= 0（a 为常数），知l a v 1，所以由已知可得1-a <1，解这个不等n —jpC2a式就可求得a 的取值范围.所以1—a <2a两边平方，得：（1 -a ）2 :: 4a 2,3a 2 2a-1 0,(3a -1)(a 1) 0,1所以a ：：： -1或a 1.3答案 B（2）随着n 无限增大，数列2nJ的项无限趋近于 0,因此它的极限是（4）容易错误认为是真命题，尽管数列随着n 的增大而逐渐趋近于0,但由于：：1 ,给出4与S n 的关系式，可以利用S h 4^a n ( n-2)，设法求出a .的表达式.1 _a说明：解题过程容易误认为只有0，得a = 1，错选A •解决含有涉及到求字母 2a取值范围的问题时，常常要利用集合的包含关系，充要条件来考虑问题.分析数列求极限已知数列1.9, 1.99, 1.999，…，1.99 99，…(1) 写出它的通项a n ； (2) 计算 I a n - 2 I ；(3) (4) (5) 第几项以后所有的项与第几项以后所有的项与指出这个数列的极限.2的差的绝对值小于 0.01? 2的差的绝对值小于 0.001 ?分析：观察数列的特点，可以通过特殊数归纳总结规律，简化数列通项的一般形式，再求极限.解：(1)可将数列改写为n个——.(2-0.1), (2-0.01) , (2-0.001),…，(2—0.00,01 ),…1于是此数列的通项an =2 - n .1011 (2) 丨a n -2 冃(2 n ) -21 n .1010 1(3)令 |a n 一2卜：0.01 即 -:：:0.01，解得 n • 210故这个数列的第2项以后的所有项与 2的差的绝对值均小于0.01.1(4) 令 |a n -2卜：0.001 即 n <0.001，解得 n 3 10故这个数列的第3项以后的所有项与 2的差的绝对值均小于 0.001.1(5)说明:求数列奇数项和的极限数列<：aj 的前n 项和记为S n ,已知a n =5S n -3( n ・N )，求l i m®1a ?n J 的值.n —■分析：为求a 1 ' a^' - a 2n ^当n —；的极限，应先求出a n 的表达式.从已知条件中当 0 :: q < 1 时,S n ，r )(_q n )，lim 丄=limni -qn—: Sn n r (i r)(i -q )i -q i -q ” , 3 解：由 a i = S 及 a i = 5Sj - 3 = 5a^ - 3，可得 a i -4又 n _ 2 时，a n = S n — S n j ，贝V a n = 5S n —'3 =; a n 丄一'5S n 」一3 、 /i 两式相减，得 a n = a n j =5a n ,a n a nd 4QA数列：a 「是以一为首项，公比为-一的无穷等比数列.4d =i 「= 0,所以｛b n ｝是首项为i + r ，公比为q 的等比数列，从而b n =(i * r)q n_l = n(i r) , lim — = lim nTc s n 1^( i+r)曰是进而可得，数列a!，a 3,a 5, ,a2n“…,是以a^-为首项，公比为4无穷等比数列，于是可求出极限.3 L i2i lim (a i a 3a ?n J 二n -；i 丄 i5 i6说明：这同i999年全国高考文史类试题.对于这类求极限的题目，必须先用数列的性质求出a n 的通项公式，或确定数列的特征再求极限•由于所求数列是一个公式穷等比数列，所以在解题时，可以不必再求极限，而直接代入无穷等比数列求和的公式a i等比数列和的极限q < 1的无已知数列｛an｝满足条件：d ,去=「( r > 0),且｛an a ^^｝是公比为q ( q > 0 )i的等比数列.设b n= a 2n4 'a 2n ( n =i,2，…)，求b n 与lim，其中S n 二b i ■ b 2_b n•解：因为a n i a n 2 _ a n 2a n a n ia n=q ，所以乩b na 2n i a 2n a 2n -4a 2na 2n 」q a 2n qa 2n 4a 2ni=0 ；当q =i 时，S n已知数列｛a n ｝满足条件：耳=1 , a 2 = r ( r . 0),,对任意n N ,有弓匕1= r •设 an反思升华: S -bn - a3n _2 ' a3n 」'a3n ，当q 1时,s _(1r)(1—q n )S n -1 ,lim lim - 0.-q n 匚s n n 忙：(1 . r)(1 _q )1 -q 1 所以lim— j ：S n 1-q1 r 00 ：： q ：：： 1 q _i=d b ?亠亠 b n ，求 lim S -.n —^c。

高中数学：第2章数列 §2.1-第1课时

第二章数列§2.1 数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与通项公式1.下列说法中正确的是A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B.数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列C.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D.数列0，2，4，6，…可记为{2n }解析 {1，3，5，7}是一个集合，故选项A 错；数虽相同，但顺序不同，不是相同的数列，故选项B 错；数列0，2，4，6，…可记为{2n －2}，故选项D 错，故选C. ★答案★ C2.已知数列{a n }为1，0，1，0，…，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的有 (1)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]；(2)a n ＝sin 2n π2；(3)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)；(4)a n ＝1－cos n π2；(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n 为奇数），0（n 为偶数）.A.1个B.2个C.3个D.4个解析对于(3)，将n ＝3代入，则a 3＝3≠1，易知(3)不是通项公式.根据三角中的半角公式可知(2)和(4)实质是一样的，都可作为数列{a n }的一个通项公式.数列1，0，1，0，…的通项公式可猜想为a n ＝12＋12×(－1)n ＋1，即为(1)的形式.(5)是分段表示的，也为数列的一个通项公式.故选D.★答案★ D3.在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于 A.11B.12C.13D.14解析观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13. ★答案★ C4.数列1，2，7，10，13，…中的第26项为________.解析 ∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，∴a n ＝3n －2， ∴a 26＝3×26－2＝76＝219. ★答案★ 2195.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项.解析令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110是该数列的第4项.★答案★ 4[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.下列有四个结论，其中叙述正确的有①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式.A.①②B.②③C.③④D.①④解析数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确.★答案★ B2.数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是A.a n＝n－2n B.a n＝n－1nC.a n＝n－1n＋1D.a n＝n－2n＋2解析已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n＝n－1n＋1.★答案★ C3.已知数列12，23，34，…，nn＋1，则0.96是该数列的A.第20项B.第22项C.第24项D.第26项解析由nn＋1＝0.96，解得n＝24.★答案★ C4.已知数列{a n}的通项公式a n＝nn＋1，则a n·a n＋1·a n＋2等于A.n n ＋2B.n n ＋3C.n ＋1n ＋2D.n ＋1n ＋3解析 a n ·a n ＋1·a n ＋2＝n n ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝n n ＋3.故选B. ★答案★ B5.已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是 A.15 B.5C.6D.log 23＋log 31325解析 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132 ＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5. ★答案★ B6.(能力提升)图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为 A.3n －1B.3nC.3n ＋1D.3(n ＋1)解析通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根).★答案★ C二、填空题(每小题5分，共15分)7.在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项.解析令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10⎝⎛⎭⎫n ＝52舍去，即为第10项. ★答案★ 108.若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n ，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________.解析根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项. 因为a n ＝3－2n ，所以a 2n ＝3－22n ＝3－4n ， a 2a 3＝3－223－23＝15. ★答案★ 3－4n159.(能力提升)如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME 7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.解析因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，所以a n ＝n . ★答案★n三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，13，…； (2)53，( )，1715，2624，3735，…； (3)2，1，( )，12，…；(4)32，94，( )，6516，…. 解析 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓912 812 712 ( ) 512 412于是括号内填612，而分子恰为10减序号，故括号内填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差.故括号内填108，通项公式为a n ＝（n ＋1）2＋1（n ＋1）2－1.(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n .(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以括号内应填318，数列的通项公式为a n ＝n ＋12n .11.(12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2 017；(3)2 018是否为数列{a n }中的项？解析 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2. (2)a 2 017＝4×2 017－2＝8 066.(3)令2 018＝4n －2，解得n ＝505∈N *， ∴2 018是数列{a n }的第505项.12.(12分)(能力提升)数列{a n }中，a n ＝n 2n 2＋1.(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内； (3)区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列的项？若有，有几项？解析 (1)a 7＝7272＋1＝4950.(2)证明 ∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1，∴0<a n <1，故数列的各项都在区间(0，1)内.(3)因为13<n 2n 2＋1<23，所以12<n 2<2，又n ∈N *，所以n ＝1，即在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有且只有一项a 1.。

2022年高中数学第二章数列1-1数列的概念与简单表示法练习含解析新人教A版必修

课时训练5　数列的概念与简单表示法一、数列的概念及分类1.下列叙述正确的是( )A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}C.数列0,1,0,1,…是常数列D.数列{n n+1}是递增数列答案:D解析:数列中的项是有序的,故A错;B中通项为{n-1};C中数列为摆动数列,故选D.2.数列5,4,3,m,…是递减数列,则m的取值范围是( )A.(-∞,3)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案:A解析:依据递减数列的定义,只要后面的项比它的前一项小即可,所以m的取值范围是(-∞,3).3.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )A.1,12,13,14,…B.sinπ7,sin2π7,sin3π7,…C.-1,-12,-14,-18,…D.1,√2,√3,…,√21答案:C4.下面的数列中,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?(1)1,2,3,4,5,6,7,…;(2)10,8,6,4,…;(3)1,0,1,0,1,0,…;(4)a,a,a,a,….解:(1)递增数列,因为从第2项起,每一项都大于它的前一项;(2)递减数列,因为从第2项起,每一项都小于它的前一项;(3)摆动数列,因为从第2项起,数列中有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项;(4)常数列.二、数列的通项公式及应用5.(2015河南南阳高二期中,1)已知数列√5,√11,√17,√23,√29,…,则5√5是它的第( )项.A.19B.20C.21D.22答案:C解析:数列√5,√11,√17,√23,√29,…中的各项可变形为√5,√5+6,√5+2×6,√5+3×6,√5+4×6,…,∴通项公式为a n=√5+6(n-1)=√6n-1,令√6n-1 =5√5,得n=21.故选C.6.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).则第7个三角形数是( )A.27B.28C.29D.30答案:B解析:由已知从第二项起,每一项与前一项的差是这一项的项数,即a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,以此规律得a6-a5=6,∴a7-a6=7.∴a7=7+a6=7+6+a5=13+15=28.7.数列{a n}的通项公式a n=则√10-3是此数列的第项.√n+√n+1答案:9√n+1−√n,解析:a n=√n+√n+1令n=9,则a 9=√10−√9=√10-3.∴√10-3是数列中第9项.8.已知数列的通项公式为a n =2n 2-n.(1)求这个数列的第8项,第10项;(2)试问:45是否是{a n }中的项?3是否是{a n }中的项?解:(1)∵a n =2n 2-n ,∴当n=8时,a 8=2×82-8=120;当n=10时,a 10=2×102-10=190.(2)a n =2n 2-n ,令a n =45,则有2n 2-n-45=0,解得n=5或n=-92(舍去),∴45是该数列的第5项.令a n =3,则有2n 2-n-3=0.该方程不存在正整数解,故3不是该数列中的项.9.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数.(1)a ,b ,a ,b ,…;(2)22-12,32-13,42-14,52-15,…;(3)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…;(4)12,2,92,8,252,….解:(1)数列的奇数项为a ,偶数项为b ,因此通项公式可用分段形式来表示,记为a n ={a ,n ,为奇数b ,n ,为偶数也可记为a n =a +b 2+(-1)n+1·a -b 2.(2)这个数列的前4项分别为22-12,32-13,42-14,52-15,其分母都是序号n加上1,分子都是分母的平方减去1,故a n=(n+1)2-1n+1.(3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故a n=(-1)nn(n+1).(4)该数列的项中有的是分数,有的是整数,将各项都统一成分数为12,42,92,162,252,…,观察可知各项分母都是2,分子都是序号的平方,所以a n=n 22.(建议用时:30分钟) 1.数列√2,√5,2√2,√11,…,则2√5是该数列的( )A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项答案:B解析:由a n=√3n-1=2√5,解得n=7.2.数列0,13,12,35,23,…的通项公式为( )A.a n=n-2n B.a n=n-1nC.a n=n-1n+1D.a n=n-2n+2答案:C解析:原数列可变形为02,13,24,35,46,…,∴a n =n -1n +1.3.已知数列的通项公式a n ={3n +1,n ,为奇数2n -2,n ,为偶数则a 2a 3等于( )A.70B.28C.20D.8答案:C解析:由a n ={3n +1,n ,为奇数2n -2,n ,为偶数得a 2a 3=2×10=20.∴选C.4.已知数列{a n }满足:a 1>0,a n +1a n =12,则数列{a n }是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.不确定答案:B解析:由已知数列各项为正,且从第二项起每一项是前一项的12,则数列{a n }是递减数列.5.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为( )A.2B.6C.7D.8答案:C解析:数字为1的有1个,数字为2的有2个,数字为3的有3个,∴按照此规律.当数字为6时,共有1+2+3+4+5+6=21项,当数字为7时,共有1+2+3+4+5+6+7=28项.∴第25项为7.6.已知数列{a n },a n =a n +m (a<0,n ∈N *),满足a 1=2,a 2=4,则a 3= .答案:2解析:∵{2=a +m ,4=a 2+m ,∴{a =-1,m =3,∴a n =(-1)n +3,∴a 3=(-1)3+3=2.7.下列叙述中正确的为 .①数列a n=2是常数列;②数列{(-1)n·1n}是摆动数列;③数列{n2n+1}是递增数列;④若数列{a n}是递增数列,则数列{a n a n+1}也是递增数列.答案:①②③解析:①中每一项均为2,是常数列.②中项的符号由(-1)n调整,是摆动数列.③n2n+1可变形为12+1n,为递增数列.④中若a n=n-3,则a n a n+1=(n-3)(n-2)=n2-5n+6,不是递增数列.8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖　块.答案:4n+2解析:第1个图案有白色地面砖6块,第2个图案有10块,第3个图案有14块,可以看出每个图案较前一个图案多4块白色的地面砖.∴第n个图案有6+4(n-1)=(4n+2)(块).9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)45,12,411,27,…;(2)1,3,6,10,15,…;(3)7,77,777,….分析:(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为45,48,411,414,…,于是它们的分母依次相差3,因而有a n=43n+2.(2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再把各项的分子和分母都乘以2,即1×2 2,2×32,3×42,4×52,5×62,…,因而有a n=n(n+1)2.(3)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999,…,因而有a n=79(10n-1).解:(1)a n=43n+2;(2)a n=n(n+1)2;(3)a n=79(10n-1).10.已知数列{a n}的通项公式a n=n+6n.(1)求a10.(2)5350是否是这个数列中的项?(3)这个数列中有多少整数项?(4)是否有等于序号的项?若有,求出该项;若没有,说明理由.解:(1)a10=10+610= 8 5.(2)令n+6n =5350,得n=100,故5350是这个数列的第100项.(3)∵a n=1+6n,∴当n=1,2,3,6时,a n为整数,故这个数列中有4项是整数项.(4)令n+6n=n得n2-n-6=0,解得n=3或n=-2(舍去),故该数列中有等于序号的项,即a3=3.。

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。

17第二章数列答案

第二章数列答案第1课时数列的概念及其通项公式1．（１）21，81（2）6465,89 2．53．（１）n a n n )1(-= （２）n a n 2= （3）2n a n =（４）111+-=n n a n 4. 解：(1) n a ＝2n ＋1；(2) n a ＝)12)(12(2+-n n n；(3) n a ＝2)1(1n-+；(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,∴n a ＝n ＋2)1(1n-+；(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……， ∴ n a ＝(－1)1+n n(n ＋1)５．（1）440,80208==a a（2）323是这个数列的第17项６．（1）21-=a 72-=a 103-=a 114-=a 105-=a （2）当4=n 时，取最小的值11-第2课时数列的概念及其通项公式1．C2． 25-3．∵13a =,121n n a a +=+,∴27a =,315a =,431a =,563a =, ∴121n na +=-4．解：(1) 1a ＝0, 2a ＝1, 3a ＝4,4a ＝9, 5a ＝16,∴ n a ＝(n －1)2;(2) 1a ＝1,2a ＝32,3a ＝4221=, 4a ＝52, 5a ＝6231=,∴ n a ＝12+n ;5．（１）n n a 2= （２）3n a n =（3）2)1(2ab b a a nn --++=（４）n a n =（5）)110(31)1(!--=+n n n a6．设n a kn b =+,则31021k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得21k b =⎧⎨=⎩,∴21()n a n n N *=+∈,∴20054011a =,又∵2a ,4a ,6a ,8a ,即为5,9,13,17,…,∴41n b n =+第3课时等差数列的概念和通项公式1.C2.A3.D4. C5.23n -6.87.108.39.由题意知27na n =-,由2752n -=,得29.5n N *=∉,∴52不是该数列中的项.又由2727n k -=+解得7n k N *=+∈,∴27k +是数列{}n a 中的第7k +项.10. (1)445,2171==d a (2) 179=a第4课时等差数列的概念和通项公式1. D2.B3. A4. 245. 26. 3:17.218. 解：∵ {a n }是等差数列∴ 1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2 ∴ d=4a －3a =7－2=5 ∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32 ∴ 3a =2, 9a =329.解：当n ≥2时, （取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2））])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p.10.∵(1)2f =，2()1(1)2f n f n ++=，∴1(1)()2f n f n +-=，∴{}()f n 是以2为首项，12为公差的等差数列，∴13()22f n n =+，∴(101)52f =.第5课时等差数列的概念和通项公式1.B2.C3.B4.D5.B6. 3：4：57. 1,5,11-或11,5,1-或6,5,16-或16,5,6-8.共40项;9．中间三个齿轮的齿数为16，20，2410.(1)每一行与每一列都成等差数列 (2)100,10020200a =第6课时等差数列的前n 项和（1）1. C2. D3. A4.B 5．6(1)84(1,)n n n n N *=⎧⎨->∈⎩6．0 7．6 8. 8769．∵40.8a =，11 2.2a =,∴由1147a a d =+得0.2d =,∴51114010.2a a d =+=∴5152805130293029303010.20.239322a a a a d ⨯⨯+++=+=⨯+⨯=. 10．0,121,1,n n a n n n N*=⎧=⎨->∈⎩ 第7课时等差数列的前n 项和（2）1． D 2. B 3. A 4. 401003- 5. 6 6．247．1650 8．-110 9. 14710． ①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩ 解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩, 又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列,∴1212,,,S S S 中6S 最大.第8课时等差数列的前n 项和（3）1. A2.C3.A4.C5. B6. 113, -227. 208.209．前18、19项和相等且最大；n A 最大值略10. （1）第100行是199个数的和，这些数的和是10000 （2）第ｎ行的值2n第9课时等比数列的概念和通项公式1.A2.D3. A4. C5.B6.12- 7.102.510⨯ 8. 证明略 9. 9，6，4，2或25，－10，4，18 10. 证明略第10课时等比数列的概念和通项公式1.D2.B3. A4. C7.5 8.①②③9. 平均每年至多只能减少8公顷 10．(1)Ａ1Ｂ1=a 5，Ａ2Ｂ2=a 35，Ａ3Ｂ3=a 955 (2) Ａn Ｂn=a n 1)35(5-⋅ 第11课时等比数列的概念和通项公式1. C2. B3. C4. C5.46.81,4096--或7.3,(1)2,(2)nn n=⎧⎨⎩8. 20%9.∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+== 10. 解：（1）a n +1 = S n +1 –S n221)2(81)2(81+-+=+n n a a ,∴8 a n +1 =221)2()2(+-++n n a a , ∴0)2()2(221=+--+n n a a , ∴（a n +1 + a n ）（a n +1 – a n – 4）=0， ∵a n ∈N *，∴a n +1 + a n ≠0， ∴a n +1 – a n – 4=0，即a n +1 – a n = 4， ∴数列{a n }是等差数列. （2）由a n +1 – a n = 4，由题知 B n +1 = 5B n – 4 B n –1 B n +1 – B n = 4（B n – B n –1） b n +1 = 4b n （n ≥2）又已知b 1 = 1，b 2 = 4.故{b n }是首项为1，公比为4的等比数列. a n =4n –1 （n ∈N +）第12课时等比数列的前n 项和(1)1.B2.C3.D4.C5.B6.D7.341128 8.21()12n n -+9.27 10.10,2⎛+ ⎝⎭ 11. 由211128n n a a a a -==,又166n a a +=得, 1,n a a 是方程2661280x x -+=的两根,解这个方程得,1264n a a =⎧⎨=⎩或1642n a a =⎧⎨=⎩,由11n n a a qS q -=-得26q n =⎧⎨=⎩或126q n ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 12.∵等比数列中k S ,2k k S S -,32k k S S -,……仍成等比数列,∴4S ,84S S -,128S S -,……也成等比数列,而17181920a a a a +++则是这个等比数列中的第5项,由42S =,86S =得844S S -=∴这个等比数列即是:2,4,8,16,32,……,∴1718192032a a a a +++=.第13课时等比数列的前n 项和(2)1.A2.B3.C4.A5.C6.35 7. 88.解： ∵211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=)111(82122+-=+⋅=n n n n b n ∴数列{bn}的前n 项和：)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝ 18+n n9.解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11nn a a a n -+--- 10．解：设nn n n a n -+=++=111，则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n )1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n第14课时等比数列的前n 项和(3)1.D2.D3.C4.C5. A6. 31123n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦7. 20468. 12(1)q + 9.【解】∵ ⎩⎨⎧=+=+1854510811d a d a , 解得1a ＝5, d ＝3,∴ n a ＝3n ＋2, n b ＝n a 2＝3×n 2＋2,n S ＝(3×2＋2)＋ (3×22＋2)＋ (3×32＋2)＋……＋(3×n 2＋2)＝3·12)12(2--n ＋2n ＝7·n 2－6.（分组求和法）10. 甲方案的总利润68.161≈S 万元乙方案的总利润56.162≈S 万元甲方案优第15课时数列复习课练习(1)（1）C （2）A （3）B （4）D （5）D （6）－1 （7）120 （8）54 （9）92（10）31nn --（11）① ，不能一次性还清贷款；②617.4万元（1231[1()]23n n a =-;1311(21)()443n n S n -=-+. 第16课时数列复习课练习(2)（1）D .（2）C. （3）C. （4）B.（5）A.（6）C.（7）D.（8）3000.（9）10，11，12. （10）25. （11）提示：利用等差中项的概念.（12）提示:设()f x kx b =+求得()21f x x =-,(1)(2)(3)(4)(5)25f f f f f ++++=.第2章数列数列单元测试1、B2、 B3、 C4、 A5、 120°6、 10，37、 11，178、 12，18 3249、13，10（略）11、解：由⎩⎨⎧=++=,28,44322a a a a 得⎩⎨⎧=+=.24)1(,4211q q a q a 由0>n a 解出⎩⎨⎧==.2,21q a 所以833==+q a a nn .12、（1）a n =-2m=10；（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤≤+-=6n 40n 9n 5n 1n9n S 22n ；（3）m=713、A 14、B 15、D 16、C 17、B 18、123n +- 19、12-n20、5421、2 22、(3)63110f =++=;观察图4,不难发现第n 堆最底层（第一层）的乒乓球数123n a n =++++ (1)2n n +=,第n 堆的乒乓球总数相当于n 堆乒乓球的底层数之和,即123()n f n a a a a =++++222211(1)(1)(2)(123)2226n n n n n n +++=+++++⋅=23、解: ∵10S n =a n 2+5a n +6, ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3. 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2),②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1),即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 , ∴a n －a n －1=5 (n ≥2).当a 1=3时,a 3=13,a 15=73. a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时, a 3=12, a 15=72, 有 a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n －3. 24、（I ）证明：2132,n n n a a a ++=-21112*2112(),1,3,2().n n n n n n n na a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴=∈-{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列。

(数学分析习题内容答案)第二章

第二章数列极限习题2．按N -ε定义证明：（1）11lim=+∞→n nn证明因为 n n n n 11111<+=-+，所以0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-+n n n 111. 故11lim =+∞→n n n（2）23123lim 22=-+∞→n n n n 证明因为 n n n n n n n n n n n n n 32525)1(232)12(23223123222222<=<-++<-+=--+)1(>n ，于是0>∀ε，取}3,1max{ε=N ，N n >∀，有 ε<<--+n n n n 32312322. 所以23123lim 22=-+∞→n n n n（3）0!lim =∞→n n n n证明因为n n n n n n n n n n n n n n nn 11211)1(!0!≤⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-==-ΛΛΛ，于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<≤-n n n n10!. 所以0!lim =∞→n n n n（4）sinlim =∞→nn π证明因为n nnπππ≤=-sin0sin，于是0>∀ε，取επ=N ，N n >∀，必有εππ<≤-nn0sin. 所以sinlim =∞→nn π（5）)1(0lim>=∞→a a nnn证明因为1>a ，设)0(1>+=h h a ，于是222)1(2)1(1)1(h n n h h n n nh h a n n n -≥++-++=+=Λ，从而22)1(22)1(0h n hn n n a n a n n n -=-≤=-，所以0>∀ε，取122+=h N ε，N n >∀，有ε<-≤-2)1(20h n a n n . 故0lim =∞→n n a n3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）n n 1lim∞→；（2）n n 3lim ∞→；（3）31limn n ∞→（4）n n 31lim ∞→；（5）n n 21lim ∞→；（6）n n 10lim ∞→；（7）n n 21lim ∞→ 解（1）01lim 1lim 21==∞→∞→n nn n （用例2的结果，21=a ），无穷小数列.（2）13lim =∞→n n ，（用例5的结果，3=a ）（3）01lim3=∞→n n ，（用例2的结果，3=a ），无穷小数列.（4）031lim 31lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→nn n n ，（用例4的结果，31=q ），无穷小数列.（5）021lim 21lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→nn n n ，（用例4的结果，21=q ），无穷小数列. （6）110lim =∞→n n ，（用例5的结果，10=a ）.（7）121lim 21lim==∞→∞→nn nn ,（用例5的结果，21=a ）. 4．证明：若a a n n =∞→lim ，则对任一正整数 k ，有a a k n k =+∞→lim证明因为aa n n =∞→lim ，所以εε<->∀>∃>∀||,,0,0a a N n N n ，于是，当Nk >时，必有N k n >+，从而有ε<-+||a a k n ，因此a a k n k =+∞→lim .5．试用定义1证明：（1）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限；（2）数列}{)1(n n -发散.证明（用定义1证明）数列}{n a 不以 a 为极限（即a a n n ≠∞→lim ）的定义是：00>∃ε，0>∀N ，N n >∃0，0||0ε≥-a a n（1）取210=ε，0>∀N ，取N N n >+=20，有0021)1(212112111ε==++≥++=-+=-N N N N N n ，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限.另证（用定义1’证明）取210=ε，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1中满足2>n 的项（有无穷多个）显然都落在1的邻域)23,21();1(0=εU 之外，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限.（2）数列}{)1(nn-=},6,51,4,31,2,1{Λ，对任何R a ∈，取10=ε，则数列}{)1(n n -中所有满足“n 为偶数，且1+>a n ”的项（有无穷多个），都落在 a 的邻域)1,1();(0+-=a a a U ε之外，故数列}{)1(nn -不以任何数 a 为极限，即数列}{)1(nn -发散.6．证明定理，并应用它证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1. 定理数列}{n a 收敛于 a 充要条件是：}{a a n -为无穷小数列. （即a a n n =∞→lim 的充要条件是0)(lim =-∞→a a n n ）证明（必要性）设aa n n =∞→lim ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，有ε<--=-|0)(|||a a a a n n ，所以 0)(lim =-∞→a a n n .（充分性）设0)(lim =-∞→a a n n ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，有ε<-=--|||0)(|a a a a n n ，所以a a n n =∞→lim .下面证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1. 因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+n n n n )1(1)1(1是无穷小数列，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1. 7．证明：若a a n n =∞→lim ，则||||lim a a n n =∞→. 当且仅当 a 为何值时反之也成立？证明设aa n n =∞→lim ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，ε<-≤-||||||a a a a n n ，所以也有||||lim a a n n =∞→. 但此结论反之不一定成立，例如数列})1{(n -.当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设0||lim =∞→n n a ，于是,0,0>∃>∀N εN n >∀，ε<=||||n n a a ，所以aa n n =∞→lim .8．按N -ε定义证明：（1）0)1(lim =-+∞→n n n ；（2）0321lim3=++++∞→n nn Λ（3）1lim =∞→n n a ，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=为奇数为偶数n n n n n nn a n 2,1证明（1）因为n nn n n 111|1|<++=-+. 于是0>∀ε，取21ε=N ，N n >∀，必有ε<<-+nn n 1|1|，从而0)1(lim =-+∞→n n n .（2）因为n n n n n n n n n n n 12212)1(3212233=+<+=+=++++Λ，于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-++++n n n 103213Λ，所以0321lim 3=++++∞→n n n Λ（3）因为当 n 为偶数时，n n n a n 111|1|=--=-当 n 为奇数时，nnn n nnn n n nn a n 111|1|222<++=-+=-+=-，故不管n 为偶数还是奇数，都有n a n 1|1|<-. 于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-n a n 1|1|，所以 1lim =∞→n n a .习题1．求下列极限：⑴ 根据例2 01lim=∞→an n ，0>a ，可得4131241131lim 32413lim 323323=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n⑵ 0)21(lim 21lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n⑶根据例4 0lim =∞→n n q ，1||<q ，可得313)32(31)32(lim 3)2(3)2(lim 111=+-⋅+-=+-+-+∞→++∞→n nn n n nnn⑷ 211111lim lim )(lim 22=++=++=-+∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n这是因为由例1若aa n n =∞→lim ，则aa n n =∞→lim . 于是由1)11(lim =+∞→n n ，得1111lim ==+∞→n n .⑸ 10)1021(lim =+++∞→n n n n Λ，因为1lim =∞→n n a （0>a ）⑹ 23113113121121121lim 313131212121lim 22=--⋅--⋅=++++++∞→∞→nn n n n n ΛΛ2．设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正数N ，使得当N n >时，有n n b a <.证明由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<. 又因为2lim b a b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2b a b n +>. 于是取},m ax {21N N N =，当N n >时，有nn b b a a <+<2. 3．设}{n a 为无穷小数列，}{n b 为有界数列，证明：}{n n b a 为无穷小数列.证明因为}{n b 为有界数列，所以存在0>M ，使得Λ,2,1,||=≤n M b n. 由}{n a 为无穷小数列，知,0,0>∃>∀N εN n >∀，M a n ε<||. 从而当N n >时，有εε=⋅<⋅=M Mb a b a n n n n ||||||，所以0lim =∞→n n n b a ，即}{n n b a 为无穷小数列.4．求下列极限（1）1111lim 11131212111lim )1(1321211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅∞→∞→∞→n n n n n n n n ΛΛ（2）因为nnn n212112181412128422222222===-+++ΛΛ，而)(12221121∞→→=<<n nnn，于是12lim 21=∞→nn ，从而222lim2222lim 21284==∞→∞→nnn n Λ（3）32323lim 23221229272725253lim 2122321lim 13222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++-+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→-∞→∞→n n n n n n n n n n n ΛΛ（4）当2>n 时，11121<-<n ，n n n n 11121<-<，而11lim 21lim ==∞→∞→n n n n ，所以111lim =-∞→n n n .（5）因为)(,0111)2(1)1(11022222∞→→+=+≤++++<n n n n n n n n Λ，所以 0)2(1)1(11lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n n n Λ（6）因为1112111222222=≤+≤++++++≤+nn n n n n n n nn n Λ，且1111limlim2=+=+∞→∞→nnn n n n ，所以112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n Λ 5．设}{n a 与}{n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明}{n nb a ±是发散数列. 又问}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 是否必为发散数列.证明（用反证法证明）不妨设}{n a 是收敛数列，}{n b 是发散数列. 假设数列}{n n b a +收敛，则n n n n a b a b -+=)(收敛，这与}{n b 是发散数列矛盾，所以，数列}{n n b a +发散.同理可得数列}{n n b a -发散.}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 不一定是发散数列. 例如，若}{n a 是无穷小数列，}{n b 是有界的发散数列. 则}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 是无穷小数列，当然收敛.但是，有下列结果：如果0lim ≠=∞→a a n n ，}{n b 是发散数列，则}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n a a b 一定是发散数列.6．证明以下数列发散：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-1)1(n n n证明设1)1(+-=n n a nn ，则)(,11222∞→→+=n n n a n ，而121212-→--=-n n a n ，由，定理知⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-1)1(n n n发散. （2）{}nn )1(-证明{}nn )1(- 的偶数项组成的数列n a n 22=，发散，所以{}nn)1(-发散.（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧4cos πn 证明设4cosπn a n =，则子列 )(,118∞→→=n a n ，子列 )(,1148∞→-→-=+n a n ，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧4cos πn 发散. 7．判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：（1）若}{12-k a 和}{2k a 都收敛，则}{n a 收敛.解结论不一定成立. 例如，设nn a )1(-=，则12=ka ，112-=-k a 都收敛，但n n a )1(-=发散.注若}{12-k a 和}{2k a 都收敛，且极限相等（即kk k k a a 212lim lim ∞→-∞→=），则}{n a 收敛.（2）若}{23-k a ，}{13-k a 和}{3k a 都收敛，且有相同的极限，则}{n a 收敛.证明设aa a a k k k k k k ===∞→-∞→-∞→31323lim lim lim ，则由数列极限的定义，知0>∀ε，01>∃K ，1K k >∀，ε<--||23a a k ；同样也有02>∃K ，2K k >∀，ε<--||13a a k ；03>∃K ，3K k >∀，ε<-||3a a k . 取}3,3,3m ax {321K K K N =，当N n >时，对任意的自然数 n ，若23-=k n ，则必有1K k >，从而ε<-||a a n；同样若13-=k n ，则必有2K k >，从而也有ε<-||a a n；若k n 3=，则必有3K k >，从而ε<-||a a n . 所以aa n k =∞→lim ，即}{n a 收敛.8．求下列极限：（1）n n k 2124321lim-∞→Λ解因为n n 2126543210-<Λ121)12)(12(12)12)(32(32755533311+=+-----⋅⋅⋅<n n n n n n n Λ而0121lim =+∞→n k ，所以 02124321lim =-∞→n n k Λ 另解因为12254322124321+<-n n n n ΛΛ，设n n S n 2124321-=Λ，1225432+=n n T n Λ，则n n T S <. 于是121+=⋅<n S T S S n n n n ，所以121+<n S n .（2）答案见教材提示. （3）10],)1[(lim <<-+∞→αααn n k解 ]1)11[(]1)11[()1(0-+<-+=-+<n n n n n n ααααα)(,011∞→→==-n n n n αα所以，0])1[(lim =-+∞→ααn n k另解因为01<-α，所以11)1(--<+ααn n ，于是11)1()1(--+=+<+ααααn n n n n ，从而)(,0)1(01∞→→<-+<-n n n n ααα.（4）答案见教材提示. 9．设m a a a Λ,,21为 m 个正数，证明：},,max {lim 2121m n nn n n n a a a a a a ΛΛ=+++∞→证明因为 },,max{},,max{212121m n n nn n n m a a a n a a a a a a ΛΛΛ≤+++≤而1lim =∞→n n n ，所以},,max {lim 2121m n nn n n n a a a a a a ΛΛ=+++∞→10．设aa n n =∞→lim ，证明：（1）a n na n n =∞→][lim；（2）若0,0>>n a a ，则1lim =∞→n n n a .证明（1）因为1][][+<≤n n n na na na ，所以nn n a n na n na ≤<-][1. 由于a n a n na n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→1lim 1lim ，且a a n n =∞→lim ，从而a n na n n =∞→][lim .（2）因为 0lim >=∞→a a n n ，由定理，存在0>N ，使得当N n >时，有a a a n232<<. 于是 n n n na a a 232<<，并且123lim 2lim ==∞→∞→n n n n a a ，所以1lim =∞→n n n a .习题1．利用e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 求下列极限：（1）e n n n n n n n nn nn 11111111lim 1lim 11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→∞→∞→（2）e n n n nn n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→+∞→1111lim 11lim 1（3）e n n n n n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→111111lim 111lim 1（4）en n n nn n n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→⋅∞→∞→2212211lim 211lim 211lim注：此题的求解用到事实（例1）：若aa n n =∞→lim ，且Λ,2,1,0=≥n a n ，则aa n n =∞→lim .（5）nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim 解因为数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11单调增加，且有上界 3，于是 )(,1311111222∞→→<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<n n n n n n n，所以111lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n2．试问下面的解题方法是否正确：求nn 2lim ∞→解不正确. 因为极限nn 2lim ∞→是否存在还不知道（事实上极限nn 2lim ∞→不存在），所以设an n =∞→2lim 是错误的.3．证明下列数列极限存在并求其值：（1）设Λ,2,1,2,211===+n a a a n n证明先证数列}{n a 的有界性，用数学归纳法证明：2是}{n a 的一个上界.221<=a ，假设2<n a ，则22221=⋅<=+n n a a ，所以}{n a 有上界2.其次证明}{n a 单调增加. 02)2(21>+-=-=-+n n n n n n n n a a a a a a a a ，所以n n a a >+1，即}{n a 单调增加. 从而}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a a 221=+的两端取极限，得a a 22=，解之得 a = 0 (舍去) 和 2，所以2lim =∞→n n a .注：}{n a 的单调增加也可以如下证明：122221=>==+n n n n n a a a a a ，所以n n a a >+1.还可以如下得到：121214121214121122++++++++=<=+n na a n n nΛΛ（2）设Λ,2,1,),0(11=+=>=+n a c a c c a n n证明先证数列}{n a 的有界性，用数学归纳法证明：}{n a 的一个上界是 1 + c .c c a +<=11，假设c a n +<1，则c c c c a c a n n +=++<+<+=+1121221，所以}{n a 有上界1 + c .其次证明}{n a 单调增加（用数学归纳法证明）. 21a c c c a =+<=，假设n n a a <-1，于是n n a c a c +<+-1，从而n n a c a c +<+-1，即1+<n n a a . 故}{n a 单调增加. 所以}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a c a +=+21的两端取极限，得a c a +=2，解之得 2411ca +±=. 由于a n > 0 ，所以 a > 0 . 故 2lim =∞→n n a . （3）Λ,2,1),0(!=>=n c n c a nn证明先证}{n a 从某一项以后单调减少. 取自然数 N 使得 N > c ，于是当N n >时，nn n n n n a a N ca n c n c n c n c a <+<+=+=+=++11!1)!1(11，即从第N 项开始}{n a 单调减少.由于}{n a 的各项都大于零，所以}{n a 有下界0. 从而}{n a 极限存在. 设a a n n =∞→lim ，在n n a n c a 11+=+的两端取极限，得a a ⋅=0，故0=a ，即0lim =∞→n n a .4．利用⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11为递增数列的结论，证明⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++nn 111为递增数列. 证明设nn n n n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=12111，要证：Λ,3,2,1=≤-n a a n n ，即因为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为递增数列，所以有111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n ，即1121+⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n n n ，于是nnn n n n a n n n n n n n n n n n n n n a =⎪⎭⎫⎝⎛++<+⋅++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--12112121121111.其中用到事实：1)1()2(1122≤++=+⋅++⋅n n n n n n n .5．应用柯西收敛准则，证明以下数列}{n a 收敛：（1）n n na 2sin 22sin 21sin 2+++=Λ 证明不妨设m n >，则有n m m m n nm m a a 2sin 2)2sin(2)1sin(||21+++++=-++Λn m m n m m n m m 2121212sin 2)2sin(2)1sin(2121+++≤+++++≤++++ΛΛ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=---+--+ΛΛΛm n m n m m n m 21212112121211211111 m m m 1212211<=⋅=+ 所以，0>∀ε，取ε1=N ，N m n >∀,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛. （2）222131211n a n ++++=Λ 证明不妨设m n >，则有2221)2(1)1(1||n m m a a m n +++++=-Λ n n m m m m )1(1)2)(1(1)1(1-++++++≤Λ m n m n n m m m m 1111112111111<-=--+++-+++-=Λ所以，0>∀ε，取ε1=N ，N m n >∀,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛.6．证明：若单调数列}{n a 含有一个收敛子列，则}{n a 收敛.证明不妨设}{n a 是单调增加数列，}{k n a 是其收敛子列. 于是}{k n a 有界，即存在0>M ，使得Λ,2,1,=≤k M a kn . 对单调增加数列}{n a 中的任一项m a 必有M a a km m ≤≤，即}{n a 单调增加有上界，从而收敛.7．证明：若0>n a ，且1lim1>=+∞→l a a n nn ，则0lim =∞→n n a证明因为1lim 1>=+∞→l a a n n n ，所以存在 r 使得1lim 1>>=+∞→r l a a n n n . 于是由数列极限的保号性定理（），存在0>N ，当N n >时，ra a n n>+1，1+>n nra a . 从而有n N n N N N a r a r ra a 13221--+++>>>>Λ，因此，)(,0011∞→→<<--+n r a a N n N n ，故lim =∞→n n a .8．证明：若}{n a 为递增有界数列，则}sup{lim n n n a a =∞→；若}{n a 为递减有界数列，则}inf{lim n n n a a =∞→. 又问逆命题成立否？证明证明过程参考教材，定理（单调有界定理）.逆命题不一定成立. 例如数列⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数为奇数n n n a n 111，1}sup{lim ==∞→nn n a a ，但}{n a 不单调.9．利用不等式 0),()1(11>>-+>-++a b a b a n a bn n n ，证明：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列，并由此推出⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为有界数列.证明设111+⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a ，由不等式 )()1(11a b a n a b n n n -+>-++，有 1111++++-+->-n n n n n n a b a na b na a b ，于是b a na b na b n n n n +->++11， b na a na b n n n n 1+-+>.在上式中令1111,111-=-+=+=+=n n n b n n n a ，a b >，得 nn n n n n a ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-11111nn nnn n n n n n n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>11111nn n n a n n n n n n n =⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+11111即n n a a >-1，故⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列.而4111111111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++n nn n ，所以⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为有界数列. 10．证明：n n e n 3)11(<+- 证由上题知⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列，于是对任何n m >有， 111111++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>⎪⎭⎫⎝⎛+m n n n ，令∞→m ，取极限得，en n >⎪⎭⎫ ⎝⎛++111 ①又因为nnnn n n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛++⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++113111111111②由①、②得nn n n n e ⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+113111，从而 n n e n e n n 3)11()11(<+-=+-11．给定两正数 a 1 与 b 1 ( a 1 > b 1 )，作出其等差中项2112b a a +=与等比中项112b a b =，一般地令21nn n b a a +=+，Λ,2,1,1==+n b a b n n n证明：nn a ∞→lim 与nn b ∞→lim 皆存在且相等.证明因为11b a >，所以有nnn n n n a a a b a a =+<+=+221，即}{n a 单调减少. 同样可得}{n b 单调增加. 于是有11112b b b a b a a a n n n n n n ≥=≥+=≥++，即}{n a 单调减少有下界，}{n b 单调增加有上界，故n n a ∞→lim 与nn b ∞→lim 皆存在.在n n n b a a +=+12的两端取极限，可得n n n n b a ∞→∞→=lim lim12．设}{n a 为有界数列，记},,sup{1Λ+=n n n a a a ，},,inf{1Λ+=n n n a a a证明：⑴ 对任何正整数n ，n na a ≥；⑵}{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，且对任何正整数n ，m 有m n a a ≥；⑶ 设a 和a 分别是}{n a 和}{n a 的极限，则a a ≥；⑷ }{n a 收敛的充要条件是a a =证 ⑴ 对任何正整数n ，n n n n n n n a a a a a a a =≥≥=++},,inf{},,sup{11ΛΛ⑵ 因为1211},,sup{},,sup{++++=≥=n n n n n na a a a a a ΛΛ，Λ,2,1=n ，所以}{na 为递减有界数列.由1211},,inf{},,inf{++++=≤=n n n n n n a a a a a a ΛΛ，知}{n a 为递增有界数列.对任何正整数n ，m ，因为}{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，所以有m m n m n n a a a a ≥≥≥++.⑶ 因为对任何正整数n ，m 有m n a a ≥，令∞→n 得，mn n a a a ≥=∞→lim ，即m a a ≥，令∞→m 得aa a m m =≥∞→lim ，故a a ≥.⑷ 设}{n a 收敛，a a n n =∞→lim . 则0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，ε<-||a a n，εε+<<-a a a n . 于是有εε+≤<-a a a n ，从而a a a n n ==∞→lim . 同理可得a a a n n ==∞→lim ，所以aa =反之，设a a =. 由a a n n =∞→lim ， a a a n n ==∞→lim ，得0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，有εε+<<-a a a n 及εε+<<-a a a n ，从而εε+<≤≤<-a a a a a n n n总练习题1．求下列数列的极限：（1）n nn n 3lim 3+∞→解当3>n 时，有nn 33<，于是)(,323323333∞→→⋅=⋅<+<=n n n n n n n n n ，所以33lim 3=+∞→n n n n（2）nn e n 5lim∞→解设h e +=1，则当6>n 时，62!6)5()1(!2)1(1)1(hn n n h h n n nh h e n n n --≥++-++=+=ΛΛ，于是)(,0)5)(4)(3)(2)(1(!60655∞→→-----⋅<<n h n n n n n n n e n n ，所以0lim 5=∞→n n e n解法2 用习题7的结论. 设nn e n a 5=，1)1(lim lim 5151>=+=+∞→+∞→e n e e n a a n n n n n n ，从而0lim lim 5==∞→∞→n n n n a e n .解法3 用习题2⑸的结果0))((lim lim 5515==∞→∞→n n n n e ne n解法4 用单调有界定理. 令nn e n a 5=，则51)11(1n e a a n n +=+. 因为e n n <=+∞→1)11(lim 5，所以存在0>N ，当N n >时，e n <+5)11(，从而当N n >时，1)11(151<+=+n e a a n n . 于是从N n >起数列}{n a 递减，且有下界0，因此}{n a 收敛. 设a a n n =∞→lim ，在等式nn a n e a ⋅+=+51)11(1的两端取极限，得a e a ⋅=1，所以0=a .（3）)122(lim n n n n ++-+∞→解 )]1()12[(lim )122(lim +-++-+=++-+∞→∞→n n n n n n n n n011121lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++++=∞→n n n n n2．证明：（1）)1|(|0lim 2<=∞→q q n n n证明当0=q 时，结论成立.当1||0<<q 时，有1||1>q ，令0,1||1>+=h h q ，于是有nn h q )1(1+=，而由牛顿二项式定理，当3>n 时有3!3)2)(1()1(hn n n h n --≥+，从而)(0!3)2)(1()1(03222∞→→--≤+=<n h n n n n h n q n nn，所以lim 2=∞→n n q n另解用习题2⑸的结果)(sgn ))||1((lim lim 22==∞→∞→n nn n n q q n q n（2）)1(,0lg lim≥=∞→ααn nn证明因为0,lg ><x x x ，于是)(,022lg 2lg 021∞→→=<=<-n n n n n n n n αααα，所以0lg lim =∞→αn n n .（3）0!1lim =∞→n n n 证明先证明不等式：nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!. 用数学归纳法证明，当1=n 时，显然不等式成立；假设nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!成立，当 n + 1 时 nn n n n n n n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+>⋅+=+131)1(3)1(!)1()!1(113111331++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=n nn n n n故不等式nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!成立. 由此可得)(,03!10∞→→<<n n n n ，所以0!1lim =∞→n n n另解用数学归纳法证明不等式：n n n≥!3．设aa n n =∞→lim ，证明：（1）a n a a a nn =+++∞→Λ21lim（又问由此等式能否反过来推出a a n n =∞→lim ）证明因为aa n n =∞→lim ，于是有11,0,0N n N >∀>∃>∀ε，2||ε<-a a n . 从而当1N n >时，有n naa a a a n a a a n n -+++=-+++ΛΛ212122||||||||||||12121111εε+≤⋅-+≤-++-+-+-++-+-≤++n A n N n n A na a a a a a n a a a a a a n N N N ΛΛ其中||||||121a a a a a a A N -++-+-=Λ是一个定数. 再由0lim =∞→n A n ，知存在02>N ，使得当2N n >时，2ε<n A . 因此取},m ax {21N N N =，当N n >时，有εεεε=+<+≤-+++22221n A a n a a a n Λ.反过来不一定成立. 例如nn a )1(-=不收敛，但0lim21=+++∞→n a a a nn Λ.练习：设+∞=∞→n n a lim ，证明：+∞=+++∞→n a a a n n Λ21lim(2) 若),2,1(0Λ=>n a n ，则a a a a n n n =∞→Λ21lim证明先证算术平均值—几何平均值—调和平均值不等式：na a a a a a a a a nnn n n+++≤≤+++ΛΛΛ212121111算术平均值—几何平均值不等式：n a a a a a a nnn +++≤ΛΛ2121对任何非负实数1a ，2a 有2)(212121a a a a +≤，其中等号当且仅当21a a =时成立. 由此推出，对4个非负实数1a ，2a ，3a ，4a 有2143212121432121414321)22(])()[()(a a a a a a a a a a a a +⋅+≤=422243214321a a a a a a a a +++=+++≤按此方法继续下去，可推出不等式n a a a a a a nn n +++≤ΛΛ2121对一切kn 2=（Λ,2,1,0=k ）都成立，为证其对一切正整数n 都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即证明：若不等式对某个)2(≥n 成立，则它对1-n 也成立.设非负实数121,,,-n a a a Λ，令)(11121-+++-=n n a a a n a Λ，则有)1(1)1()(12112111211121-+++++++≤-+++⋅----n a a a a a a n n a a a a a a n n n n nn ΛΛΛΛ整理后得)(11)(12111121---+++-≤n n n a a a n a a a ΛΛ，即不等式对1-n 成立，从而对一切正整数n 都成立.几何平均值—调和平均值不等式n nna a a a a a nΛΛ2121111≤+++的证明，可令i i x y 1=，再对i y （n i ,,2,1Λ=）应用平均值不等式.由),2,1(0Λ=>n a n ，知0lim ≥=∞→a a n n . 若0≠a ，则a a n n 11lim=∞→. 由上一小题的结论，有)(,111212121∞→→+++≤≤+++n a na a a a a a a a a nnn n nΛΛΛ而a an a a a a a a n n n n n ==+++=+++∞→∞→111111lim 111lim 2121ΛΛ，所以aa a a n n n =∞→Λ21lim .若0=a ，即0lim =∞→n n a ，则11,0,0N n N >∀>∃>∀ε，ε<na . 从而当1N n >时，有n N n n N n n N N nn a a a a a a a a a a a 11112112121-+⋅≤⋅=εΛΛΛΛεεεε⋅=⋅=⋅=--n n N N nN n n N A a a a a a a 11112121ΛΛ其中1121N N a a a A -=εΛ，是定数，故21lim <=∞→nn A ，于是存在02>N ，使得当2N n >时，2<n A . 因此取},m ax {21N N N =，当N n >时，有εε221<⋅≤n nn A a a a Λ，故0lim 21=∞→n n n a a a Λ4．应用上题的结论证明下列各题：（1）0131211lim=++++∞→n n n Λ证明令n a n 1=，则01lim lim ==∞→∞→n a n n n ，所以0131211lim =++++∞→n n n Λ.（2）)0(1lim >=∞→a a n n证明令a a =1，Λ,3,2,1==n a n ，则1lim =∞→n n a ，从而1lim lim lim 21===∞→∞→∞→n n n n n n n a a a a a Λ（3）1lim =∞→n n n证明令11=a ，Λ,3,2,1=-=n n na n ，则1lim =∞→n n a ，于是1lim lim 13423121lim lim 21===-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n a a a a n nn ΛΛ.（4）!1lim=∞→nn n证明令Λ,2,1,1==n n a n ，则0lim =∞→n n a ，所以1lim 1211lim 3211lim !1lim==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n ΛΛ（5）e n n n n =∞→!lim 证明令Λ,3,2,111111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n n n n a n n n ，则ea n n =∞→lim ，所以en n n n n n n n n n n n n n nn n n =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==-∞→-∞→∞→∞→114321lim 14534232lim !lim !lim另证令Λ,2,1,!==n n n a nn ，则e n a a n n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∞→-∞→11111lim lim . 于是e a a a a a a a a a n nn n n n n n n n n n n n ==⋅⋅⋅==-∞→-∞→∞→∞→112312lim lim lim !lim Λ. （6）1321lim 3=++++∞→n nn n Λ证明因为1lim =∞→n n n ，所以1lim 321lim 3==++++∞→∞→n n nn n n n Λ（7）若)0(lim 1>=+∞→n n n n b a b b，则a b n n n =∞→lim证明n n n n n n n nn n n n n n b b b b bb b b b b b b b b b 112312112312lim lim lim lim ∞→+∞→+∞→∞→⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=ΛΛab b n n n =⋅=+∞→1lim1（8）若d a a n n n =--∞→)(lim 1，则d n a nn =∞→lim证明设10=a⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+=-∞→∞→n a a a a a a n an a n n n n n )()()(lim lim112010Λd a a n a a a a a a n a n n n n n n n =-+=-++-+-+=-∞→-∞→∞→)(lim 0)()()(lim lim1112010Λ5．证明：若}{n a 为递增数列，}{n b 为递减数列，且 0)(lim =-∞→n n n b a ，则n n a ∞→lim 与nn b ∞→lim 都存在且相等.证明因为)(lim =-∞→n n n b a ，所以}{n n b a -有界，于是存在0>M ，使得M b a M n n ≤-≤-. 从而有1b M b M a n n +≤+≤， M a M a b n n -≥-≥1，因此}{n a 为递增有上界数列，}{n b 为递减有下界数列，故n n a ∞→lim 与nn b ∞→lim 都存在. 又因为0)(lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n b a b a ，所以 nn n n b a ∞→∞→=lim lim .6．设数列}{n a 满足：存在正数M ，对一切 n 有M a a a a a a A n n n ≤-+-+-=-||||||12312证明：数列}{n a 与}{n A 都收敛.证明数列}{n A 单调增加有界，故收敛. 由柯西收敛准则，0,0>∃>∀N ε，当N n m >>时，ε<-||n m A A . 于是ε<-=-++-+-≤-+---n m n n m m m m n m A A a a a a a a a a ||||||||1211Λ所以由柯西收敛准则，知数列}{n a 收敛.7．设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>>a a a a σσ21,0,01，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n a a a σ211, Λ,2,1=n ，证明：数列}{n a 收敛，且其极限为σ证明因为σσσ=⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a 211，故数列}{n a 有下界σ.112112121=⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+σσσn n n a a a ，于是n n a a ≤+1，即数列}{n a 单调减少，从而数列}{n a 收敛. 设A a n n =∞→lim ，由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n a a a σ211，得σ+=+212n n n a a a ，两端取极限得，σ+=222A A ，解得σ=A ，所以σ=∞→n n a lim .8．设011>>b a ，记211--+=n n n b a a ，11112----+⋅=n n n n n b a b a b ，Λ,3,2=n . 证明：数列}{n a 与}{n b 的极限都存在且等于11b a .证因为 111121111212111112)(2--------------+⋅-+=++≤+⋅=n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b n n n n n n n n n b b a b a b a b a -+=+⋅-+=--------111111112，所以nn n n a b a b =+≤--211，Λ,3,2=n数列}{n a 是递减的：n nn n n n a a a b a a =+≤+=+221，Λ,2,1=n数列}{n a 有下界：0211≥+=--n n n b a a ，Λ,2,1=n ，所以}{n a 收敛，设a a n n =∞→lim .数列}{n b 是递增的：11111111122---------=+⋅≥+⋅=n n n n n n n n n n b a a ba b a b a b ，Λ,3,2=n数列}{n b 有上界：1a a b n n ≤≤，Λ,2,1=n ，所以}{n b 收敛，设b b n n =∞→lim .令∞→n 在211--+=n n n b a a 的两端取极限，得b a =.211--+=n n n b a a 与11112----+⋅=n n n n n b a b a b 两端分别相乘，得11--=n n n n b a b a ，Λ,3,2=n 所以有11b a b a nn =，Λ,3,2=n ，令∞→n 取极限得11b a ab =，从而11b a a =。

第二章数列极限习题解答

第2章数列极限§2.1 数列极限的概念一基本内容一、数列极限的定义lim 0,0,n n n a A N n N a A εε→∞=⇔∀>∃>∍>⇒-<“”．在用-N ε定义证明极限时有两种方法． 1 分析法由不等式n a a ε-<寻找n 与ε的关系，从而求N 的方法称为分析法． 2 综合法由n a a -经放大得到n 的简易表达式，从而求出N 的方法称为综合法．二、数列发散的定义0000lim 0, 0, , n n n a a N n N a a εε→∞≠⇔∃>∀>∃>∍-≥“”．数列{}n a 发散, lim n n a a a →∞⇔∀≠00, 0, (, )a U a εε⇔∀∃>∍“外有{}n a 的无穷多项”．三、无穷小数列数列{}n a 称为无穷小lim 0n n a →∞⇔=．性质(1) 无穷小的和差仍是无穷小； (2) 无穷小的积仍是无穷小； (3) 无穷小与有界量的积仍是无穷小；(4) lim ()n n n a a a a →∞=⇔-为无穷小．二习题解答1 设1(1)nn a n+-=，1,2,,0n a == ．(1) 对下列ε分别求出极限定义中相应的N ，10.1ε=，20.01ε=，30.001ε=；(2) 对123,,εεε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0？应该怎样做才对？(3) 对给定的ε，是否只能找到一个N ？解：(1) 因为1(1)20nn a a nn+--=-≤，所以2n ε>时，n a a ε-<，故10.1ε=时，20N =；20.01ε=时，200N =；30.001ε=时，2000N =．(2) 对123,,εεε可找到相应的N ，这不能证明n a 趋于0．必须是0ε∀>，2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，0n a ε-<，才能证明n a 的极限为0．(3) 因为l i m 00,0,0n n n a N n N a εε→∞=⇔∀>∃>∍>⇒-<“”，而1n N >+时，亦有0n a ε-<，故N 的选取不唯一．2 按-N ε定义证明． (1) lim 11n n n →∞=+．证：因为11111n n n n -=<++，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时， 11n n ε-<+，故lim11n n n →∞=+． (2) 2233lim212n n n n →∞+=-．证：因为222223323212124232n n n n n n n n n n+++-=<<--+-，所以0ε∀>，3n >取1m ax 3,N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，当n N >时，2233212n n n ε+-<-，故2233lim 212n n n n →∞+=-． (3) !lim0nn n n→∞=．证：因为!12310nn n nn n n nn ⋅⋅⋅⋅-=<⋅⋅⋅⋅ ，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，!0nn nε-<，故!lim0nn n n→∞=．(4) lim sin0n nπ→∞=．证：因为sin 0sin n n n πππ-=<，所以0ε∀>，取N πε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N>时，sin0nπε-<，故lim sin0n nπ→∞=．(5) lim0nn n a→∞=(1)a >．证：设1a h =+，则10a h >⇒>，且当2n >时，21(1)(1)2nna h n n h =+>-，于是2222440(1)(2)nnn n aan hn n hnh-=<=<-+-，所以0ε∀>，取24m ax 2,N h ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，当n N >时，0nn aε-<，故lim0nn n a→∞=．3 指出哪些是无穷小数列？ (1)l i n →∞解：因为1lim 0(0)n nαα→∞=>，所以lim0n →∞=．故是无穷小数列．(2)l i n →∞解：因为lim 1(1)n a →∞=>，所以lim 1n →=．故非无穷小数列．(3) 31limn n→∞．解：因为1lim 0(0)n nαα→∞=>，所以31lim 0n n →∞=．故31n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小数列． (4) 1lim3nn →∞．解：因为lim 0(||1)n n q q →∞=<，所以1lim03nn →∞=．故13n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小数列． (5)limn →∞．解：因为lim 0(||1)n n q q →∞=<，所以lim0n →∞=．故⎧⎫是无穷小数列．(6)lim n →∞解：因为lim 1(1)n a →∞=>，所以lim 1n →∞=．故非无穷小数列．4 证明：若lim n n a a →∞=，则k N +∀∈，lim n k n a a +→∞=．证：因为lim n n a a →∞=，所以0ε∀>，0N ∃>，n n N a a ε∍>⇒-<“”，于是当n N >时，k N +∀∈，n k a a ε+-<，故lim n k n a a +→∞=．5 用定义证明(1) 数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不以1为极限．证：取012ε=，则2N ∀>，取01n N =+，则11112N n N ->>+，故数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不以1为极限．(2) 数列{}(1)nn-发散．证：a R ∀∈，0a =时，取01ε=，则2N ∀>，取02n N =，则(1)021n n N --=>，当0a ≠时，取01ε=，则||N a ∀>，取02n N =，则(1)2||1n n a N a N --≥->>，故数列{}(1)nn -发散．6 证明数列{}n a 收敛于n a a a ⇔-为无穷小数列，并用此结论证明(1)lim 11nn n →∞⎧⎫-+=⎨⎬⎩⎭．证：()⇒设{}n a 收敛于a ，则lim n n a a →∞=，即0,0,n N n N a a εε∀>∃>∍>⇒-<“”，于是lim 0n n a a →∞-=，即n a a -为无穷小数列．()⇐设n a a -为无穷小数列，则lim 0n n a a →∞-=，于是0,0,()0n N n N a a εε∀>∃>∍>⇒--<“”，即lim n n a a →∞=．因为(1)111nnn -+-=，而1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小数列，所以(1)lim 11n n n →∞⎧⎫-+=⎨⎬⎩⎭．7 证明若lim n n a a →∞=，则lim n n a a →∞=，举例说明反不成立．证：因为lim n n a a →∞=，所以0ε∀>，0N ∃>，n n N a a ε∍>⇒-<“”，此时亦有||||n n a a a a ε-<-<，故lim n n a a →∞=．反之不成立，例如：(1)n n a =-，lim 1n n a →∞=，但lim n n a →∞不存在．8 用-N ε语言证明．(1)l i 10n →∞=．证：因为0-=<，所以0ε∀>，取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n N >时，0ε<，故lim0n →∞-=．(2) 312lim0n nn→∞+++= ．证：因为33212(1)1022nn n n n nnnn+++++-=<=，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n N >时，3120n n ε+++-< ，故312lim 0n n n →∞+++= ． (3) l i m 1n n a →∞=，其中1, n n n n a n n -⎧⎪⎪=⎩为偶数为奇数．证：当2n k =时，1111n n a nn--=-=；当21n k =+时，111n a nn-=-==<，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n N >时，1n a ε-<，故lim 1n n a →∞=．9 设,1n n a ∀≥-，lim 0n n a →∞=，用-N ε语言证明lim 1n →=．1n a =≤．证：因为lim 0n n a →∞=，所以0ε∀>，0N ∃>，n n N a ε∍>⇒<“”，1n a =，于是n N >1ε<，故lim1n →．10 利用上题结果求极限．(1))l i n n →∞．解：n -==，所以3322n-=)22999222n nn nn=<=，故)3lim2nn→∞-=．(2)l i)n→∞．解：=，所以1122-==12n=<，故1lim2n→∞=．(3)l in→∞解：因为==，所以11=-=<<1n=<．故lim1n→∞=．(4))l in→∞提示：．解：==，-=4n<=故lim0n→∞=．§2.2 收敛数列的性质一基本内容一、收敛数列的一般性质性质1 (唯一性) 若数列{}na收敛，则极限唯一．性质2 (有界性) 若数列{}na收敛，则必有界．性质3 (保号性) 若数列{}na收敛，且lim0nna A→∞=>，则0,0nN n N a∃>∍>⇒>“”．性质3'(保号性) 如果limnna A→∞=，又,0nn a∀>，则0A≥．性质4 (有序性) 设lim,nna A→∞=lim,nnb B→∞=(1) 若A B>，则0,n nN n N a b∃>∍>⇒>“”；(2) 若0,n nN n N a b∃>∍>⇒>“”，则A B≥．性质5 (夹逼性) 设lim limn nn na b l→∞→∞==，且数列{}n c满足0,n n nN n N a c b∃>∍>⇒≤≤“”，则{}n c 收敛，且lim n n c l →∞=．二、收敛数列的四则运算定理1 若{},{}n n a b 收敛，则{}, {}, {}, (lim 0)n n n n n n n n n n a a b a b a b b b →∞⎧⎫+-⋅≠⎨⎬⎩⎭也收敛，且(1) lim{}lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞+=+；(2) lim{}lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞-=-；(3) lim{}lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅；(4) lim limlim nn n n nnn a a b b →∞→∞→∞=．三、数列与其子列的关系数列{}k n 是自然数集的一个无穷子集，且严格单调上升，则数列12,,,,k n n n a a a 称为数{}n a 列的子列，记作{}kna ．定理2 数列{}n a 收敛{}n a ⇔的任一个子列都收敛，且极限相同．二习题解答1 求下列极限． (1) 32331lim423n n n n n →∞++++．解：323323311311limlim2342344n n n n n nn n nn→∞→∞++++==++++．(2) 212lim n n n→∞+．解：221212limlim 0n n n nnn →∞→∞+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． (3) 11(2)3lim(2)3nn n n n ++→∞-+-+．解：111121(2)31333limlim(2)33213nn n n n n n n +++→∞→∞-⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭==-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭．(4))l i n n →∞．解：)1limlimlim2n n n n →∞→∞→===．(5)l i 20n →∞+．解：lim lim limlim n n n n →∞→∞→→∞+++=++ 10=．(6) 22111222l i m 111333nn n →∞++++++．解：2211122111112222lim lim 211111133333113n n n n nn →∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭+++-==⎛⎫+++- ⎪⎝⎭-．2 设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，且a b <，证明0,n n N n N a b ∃>∍>⇒<“”．证：因为lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，且a b <，所以取2b a ε-=，则110,2n b a N n N a a -∃>∍>⇒-<“”， 220,2n b a N n N b b -∃>∍>⇒-<“”，取12max{,}N N N =，则n N >时，2n n a b a b +<<，故结论成立．3 设{}n a 为无穷小数列,{}n b 有界,证明{}n n a b 为无穷小数列．证：因为{}n b 有界，所以0,,n M n b M ∃>∍∀≤“”，又{}n a 为无穷小数列，所以0,0,n N n N a Mεε∀>∃>∍>⇒<“”，于是n N >时，n n a b M Mεε<⋅=，故{}n n a b 为无穷小数列．4 求下列极限． (1) 111l i m 1223(1)n n n →∞⎛⎫+++⎪⋅⋅+⎝⎭ ．解：111lim 1223(1)n n n →∞⎛⎫+++⎪⋅⋅+⎝⎭ 11111lim 12231n n n →∞⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭1lim 111n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭． (2)lim n →∞⋅ ．解：lim n →∞⋅ 2111222lim 22nn +++→∞== ．(3) 21321l i m 222nn n →∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭ ．解：设21321222n n n S -=+++ ，则13212122n n n S --=+++ ．于是 212222112222n n nn S --=++++- 1112112122123122212nn n nn n ----=+⋅-=---，所以21321lim 3222nn n →∞-⎛⎫+++= ⎪⎝⎭． (4)l i n →解：因为=而2n ≥1≤=，又lim 1n →∞=，所以lim 1n →∞=．(5) 222111l i m (1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ ．解：因为2222211111(2)(1)(2)n n n nn n n++≤+++≤+ ，而21lim0(2)n n n →∞+=，21lim0n n n→∞+=，所以222111lim 0(1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ ． (6)l i m n →∞⎛⎫++．解：≤+++≤，而limlim1n n →∞→∞==，lim lim 1n n →∞→∞==，所以lim 1n →∞⎛⎫+++= ⎝． (7)l i m n →∞⎛⎫++⎝．解：同上得lim 1n →∞⎛⎫++= ． (8)l i n n→∞．解：因为11n n++≤<=lim1n n→∞=．(9)l i n →解：lim1n →=，lim1n →∞，所以lim 1n →∞．5 设{}n a 与{}n b 一个是收敛数列，一个发散数列，证明{}n n a b ±是发散数列．又问{}n n a b ⋅和(0)n n n a b b ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭是否必为发散数列．证：不妨设数列{}n a 发散，数列{}n b 收敛，假设数列{}n n a b ±收敛，则{}{}n n n n a b b a ±= 收敛，但{}n a 发散，矛盾，故{}n n a b ±发散．此结论对{}n n a b ⋅和(0)n n n a b b ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭不成立，例如1n a n =，n b =0n n a b =→，0n n a b =→．6 证明下列数列发散．(1) (1)1n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭．证：因为n 为奇数时，lim (1)11nn nn →∞-=-+，n 为偶数时，lim (1)11nn n n →∞-=+，所以(1)1nn n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭发散． (2) {}(1)nn -．证：因为n 为奇数时，{}(1)nn -发散，所以{}(1)nn -发散．(3) cos4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭．证：因为8n k =时，lim coslim cos 214n k n k ππ→∞→∞==，84n k =+时，lim coslim cos(21)14n k n k ππ→∞→∞=+=-，所以cos4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭发散．7 判断下列结论是否成立(若成立，给出证明；若不成立，举出反例) ． (1) 若{}21k a -和{}2k a 都收敛，则{}n a 收敛；(2) 若{}{}{}32313,,k k k a a a --都收敛,且极限相同,则{}n a 收敛．解：(1)结论不成立，例如：(1)n n a =-，(2) 结论成立．实因：{}{}{}32313,,k k k a a a --都收敛，且极限相同，不妨设32313lim lim lim k k k n n n a a a a --→∞→∞→∞===，则113222313330,0,0,0,k k k K k K a a K k K a a K k K a a εεεε--⎧∃>∍>⇒-<⎪∀>∃>∍>⇒-<⎨⎪∃>∍>⇒-<⎩“”“”“”，取123max{,,}N K K K =，则n N >时，n a a ε-<，故{}n a 收敛．8 求下列极限． (1) 1321l i m 242n n n →∞-⋅⋅⋅．解：因为1n =时，12≤，假设n k =时结论成立，即13210242n n-<⋅⋅⋅< ，则1n k =+时，132121242(1)2(1)k k k k ++⋅⋅⋅<++2(1)k =+=<<，所以13210242n n-<⋅⋅⋅< 1321lim0242n n n→∞-⋅⋅⋅= ． (2) 1!lim!np n p n =→∞∑．解：因为1!!(2)(2)!(1)!!2(1)!!np n p n n n n n n =<<--+-+<-+∑，所以1!211!np p n n=<<+∑，故1!lim1!np n p n =→∞=∑．(3) l i m (1)n n n αα→∞⎡⎤+-⎣⎦，01α<<．解：因为10α-<，所以11(1)n n αα--+<，从而111(1)(1)(1)(1)n n n nn nn ααααα---+=++<+=+，于是10(1)n n n ααα-<+-<，而1lim 0n n α-→∞=，所以lim (1)0n n n αα→∞⎡⎤+-=⎣⎦． (4) 22lim (1)(1)(1)nn ααα→∞+++ ，1α<．解：因为22(1)(1)(1)nααα+++22(1)(1)(1)(1)1nααααα-+++=- 1211n αα+-=-，所以221lim (1)(1)(1)1nn αααα→∞+++=- ．9 设12,,,m a a a 为m 个正数，证明{}12limm ax ,,,m n a a a →= ．证：设{}12max ,,,m a a a M = ，则M ≤，而lim 1n →∞=，所以{}12lim m ax ,,,m n M a a a →∞== ．10 设lim n n a a →∞=，证明(1) []limn n na a n→∞=．证：因为1[]n n n na na na -<≤，所以[]1n n n na a a n n-<≤，而lim n n a a →∞=，1lim n n a a n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故[]lim n n na a n →∞=． (2) 若0a >，0n a >，则lim 1n →=．证：因为lim 0n n a a →∞=>，所以取2a ε=，则0,2n a N n N a a ∃>∍>⇒-<“”，从而322n a a a <<lim 1n →∞=．§2.3 数列极限存在的条件一基本内容一、单调有界定理定义1 数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀≥，数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀≤．数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀>(严格单调上升)，数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀<(严格单调下降)．定理1 单调有界数列必有极限．推论如果lim n n a a →∞=且{}n a 单调上升，则, n n a a ∀≤；如果lim n n a a →∞=且{}n a 单调下降，则, n n a a ∀≥．二、柯西收敛准则数列{}n a 收敛0, 0, ,m n N m n N a a εε⇔∀>∃>∍>⇒-<“”．> 0, 0, n+p n N p n N a a εε⇔∀∃>∍∀⇒-<“, >”．数列{}n a 发散0000>0, >0, >, , - 0n +p n N n N p a a εε⇔∃∀∃∃∍≥0“”．二习题解答1 利用1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭求下列极限．(1) 1l i m 1nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：1111lim 1lim 1n nn n n n e--→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(2) 11l i m 1n n n +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解：1111lim 1lim 1lim 1n nn n n e n n n +→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (3) 1l i m 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭．解：11111lim 1lim 1lim 1111nn n n n e n n n +-→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(4) 1l i m 12nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解：12211lim 1lim 122n nn n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(5) 21l i m 1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解：212211lim 1lim 11nnnn n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (6) 211lim 1nn nn →∞⎛⎫++⎪⎝⎭，提示：21111n n n +<-．解：因为211111111nnnn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤++≤+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以211lim 1nn e n n →∞⎛⎫++= ⎪⎝⎭．2 试问下面的解题方法是否正确？求lim 2n n →∞．解：设2n n a =及lim n n a a →∞=，由于12n n a a -=，两边取极限()n →∞得2a a =，所以0a =．解：给出的解题方法错误．实因在{}n a 的极限存在时，才能设lim n n a a →∞=，而lim 2nn →∞发散，所以出现了错误的结论．3 证明下列数列极限存在，并求其值． (1)设1a =1n a +=1,2,n = ．解：因为12a =<，假设n k =时2k a <，则1n k =+时，12k a +==从而,2n n a ∀<．又1,n n n a a +∀=>，所以{}n a，于是由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，对等式1n a +=两边取极限得a =2a =，0a =(舍去)，故lim 2n n a →∞=．(2) 设1a =(0)c >，1n a +=1,2,n = ．解：因为12a =<，假设n k =时2k a <，则1n k =+时，1k a +=<2=从而,2n n a ∀<．又2,021(21)14n n n a a c ∀<<+-<+，于是2,n n n a a c ∀-<，所以1,n n n a a +∀=，即{}n a ．由单调有界定理知{}n a 收敛，设lim n n a a →∞=，对等式1n a +=两边取极限得a =，解之得2a =，2a =舍去)，故lim 2n n a →∞=(3) 设!nn ca n =(0)c >，1,2,n = ．解：当[]n c >时，()[]110123[][]1123[]nc n cca c c nc n+<=<⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，而[]11lim0123[]c n cc n+→∞⋅=⋅⋅⋅⋅ ，故lim0!nn cn →∞=．4 利用11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递增数列的结论，证明111nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递增数列．证：因为11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，所以2111,1121n n n n n ++⎛⎫⎛⎫∀+>+ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，于是11111111111nn n n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111121n n n +-⎛⎫⎛⎫<++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭11111111221n n n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121(1)(3)12(2)n n n n n +++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭1221431244n n n n n n +++⎛⎫=+⋅ ⎪+++⎝⎭1112n n +⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭，故111nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭．5 应用柯西收敛准则，证明下列数列{}n a 收敛． (1) 2s i n 1s i n 2s i n 222n nn a =+++．证：因为12sin(1)sin(2)sin()222n n n pn n n p +++++++++12111111111222222n n n pn p nn++++⎛⎫≤+++=-<<⎪⎝⎭ ，所以0ε∀>，取1max 1,N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，0p ∀>，12sin(1)sin(2)sin()222n n n pn n n p ε+++++++++< ，故由柯西收敛准则知{}n a 收敛．(2) 222111123n a n=++++．证：因为222111(1)(2)()n n n p ++++++111(1)(1)(2)(1)()n n n n n p n p <+++++++-+111n n pn<-<+，所以0ε∀>，取1N ε=，当n N >时，0p ∀>，222111(1)(2)()n n n p ε+++<+++ ，故由柯西收敛准则知{}n a 收敛．6 证明：若单调数列{}n a 含有一个收敛子列，则{}n a 收敛．证：不妨设{}n a ，且有收敛子列{}kna ，记lim kn n aa →∞=，则{}kn a，且,kn k a a ∀≤．于是,kk n k a a a ∀≤≤，即{}n a 有上界，故由单调有界定理知结论成立．7 证明：若0n a >，且1lim 1n n n a r a →∞+=>，则lim 0n n a →∞=．证：因为0n a >，且1lim1n n n a r a →∞+=>，所以取012r ε-=，则110,2n n a r N n N r a +-∃>∍>⇒-<“”．即121n na a r +<+．因为改变数列的有限项不改变数列的敛散性，所以不妨设120,1n na n a r +∀><+，于是11211121201n nn n n n a a a a a a a a a r ----⎛⎫<=⋅⋅⋅⋅< ⎪+⎝⎭，而112li m 01n n a r -→∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭，故由夹逼性定理知lim 0n n a →∞=．8 证明：若{}n a 为递增(递减)有界数列，则{}lim sup n n n a a →∞=，{}()inf n a ．(1)n >又问逆命题是否成立．证：设{}n a ，因为{}n a 有界，从而有上确界，设{}sup n a a =，则,n n a a ∀≤，且0,0,N N a a εε∀>∃>∍>-“”，由单调性知n N >时，N n a a a a a εε-<≤≤<+，即n a a ε-<，故{}lim sup n n n a a a →∞==．同理可证{}n a 时，{}lim inf n n n a a →∞=．9 利用不等式11(1)()n n n b a n a b a ++->+-，(0)b a >>，证明111n n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递减数列，并由此推出11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为有界数列．证：当0b a >>时，1n ∀≥有1111()()n n n n n n bab a b abab a ++---=-++++ ()(1)nb a n a >-+，于是1122(1)(1)()n nn n n b n bn a b a a aaa ++++⎛⎫>+-+=- ⎪⎝⎭．取111a n =++，11b n=+，则422(1)(1)(1)(2)2n b n n n n aan n n +++-=-++3232441144n n n n n n+++=>++，从而12n n ba++>，即()()1211111n n nn +++>++，故()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭．而121111(11)4nn n n +⎛⎫⎛⎫+<+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有界．10 证明：13, 1nn e n n ⎛⎫∀-+< ⎪⎝⎭．证：因为()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，且()11lim 1n ne n +→∞+=，又()11nn ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，且()1lim 1nn e n→∞+=，所以()()11111nn e nn++<<+，于是 ()()()1111111nn ne n nn +-+<+-+()3111nen n n n=+<<．故结论成立．11 给定两个正数11,a b 11()a b <，令11,2n nn n a b a b +++==(1,2,)n = ，证明lim n n a →∞、lim n n b →∞存在且相等．证：因为11,2n nn n a b n a b +++∀=≥=，所以1,{}22n nn nn n n a b a a n a a a +++∀=≤=⇒ 且有上界1b ；1,{}n n n n b b b +∀=≥=⇒ 且有下界1a ，故由单调有界定理知lim n n a →∞、lim n n b →∞存在．设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，在等式12n nn a b a ++=两边取极限得2a b a +=，从而a b =，故结论成立．12 设{}n a 为有界数列，记{}1sup ,,n n n a a a += ，{}1inf ,,n n n a a a += ，证明 (1) {}n a 为递减有界数列，{}n a 为递增有界数列，且,,n m m n a a ∀≤．证：因为{}{}1121,sup ,,sup ,,n n n n n n n a a a a a a ++++∀=≥= ，所以{}n a ，而{}{}1121,inf ,,inf ,,n n n n n n n a a a a a a ++++∀=≤= ，所以{}n a ，于是当m n >时，n n m a a a ≤≤；当m n =时，n n m a a a ≤=；当m n <时，n m m a a a ≤≤．故结论成立．(2) 设lim , lim n n n n a a a a →∞→∞==，则a a ≤．证：在不等式n m a a ≤两边取极限即知结论成立．(3) {}n a 收敛a a ⇔=．证：()⇒设lim n n a →∞，则0,0N ε∀>∃>，2n n N a a ε∍>⇒-<“”，即,22n n N a a a εε∀>-<<+，从而2n a a ε≤+，2n a a ε≥-，于是022a a a a εεε⎛⎫≤-≤+--= ⎪⎝⎭，故由ε的任意性知a a=．总练习题21 求下列数列的极限．(1)l i n→解：因为3<=lim1n→∞=，所以由夹逼性定理知lim3n→=．(2)5l i mnnne→∞．解：因为5555016 0(11)n n nn n n n n n n ne C C C C <<=<++++5(1)(2)(3)(4)(5)6!nn n n n n n=-----，而5lim0(1)(2)(3)(4)(5)6!nnn n n n n n→∞=-----，所以由夹逼性定理知5lim0nnne→∞=．(3)l in→∞．解：limn→∞lim limn n→∞→∞=-lim lim0n n→→=-=．2 证明：(1) 2l i m0nnn q→∞=(1)q<．证：当0q=，结论显然成立，当0q≠时，由1q<知11q>，令11hq=+，则3331(1)(1)(2)6nnnhh C h n n nq=+>=--，于是2236(1)(2)n nn qn n n h<--．而2223366(1)(2)(1)(2)nn nn qn n n h n n n h-<<----，又236lim0(1)(2)nnn n n h→∞=--，所以2lim0nnn q→∞=．(2)lnlim0nnnα→∞=(1)α≥．证：因为2222ln22n nn nnαααααα<<=，而22lim0nnα→∞=，所以lnlim0nnnα→∞=．(3)l i0n→∞=．证：因为0<=111111223(1)n n nn n++++⋅⋅-<=，所以0<<且lim0n→∞=，故结论成立．3 设limnna a→∞=，证明(1) 12lim nna a aan→∞+++=，又问此等式能否反过来推出limnna a→∞=．证：因为limnna a→∞=，所以10,0Nε∀>∃>，12nn N a aε∍>⇒-<“”，固定1N，设112NM a a a a a a=-+-++-，则1n N>时，6n>12122na a a n N M M a nnn n εε+++--≤+⋅<+ ．而lim0n M n→∞=，所以就上述2,0N ε∃>，22M n N n ε∍>⇒<“”，取12max{,}N N N =，则n N >时，1222na a a a nεεε+++-<+= ，故12limnn a a a a n→∞+++= ．反之不成立，例如(1)n n a =-，12lim0nn a a a n→∞+++= ，但{}n a 发散．(2) 若,0n n a ∀>，则lim n a →∞．证：因为lim n n a a →∞=，所以当0a =时，由平均不等式得120na a a n+++≤，从而lim 0n a →∞=．当0a ≠时，11limn na a→∞=，则121111limnn a a a na→∞+++=，于是12lim111n nna a a a →∞=+++ ，而1212111nna a a nna a a +++≤+++，所以lim n a →∞=．4 应用上题结论证明下列各题．(1) 1112limn n n→∞+++= ．证：因为1lim0n n→∞=，所以1112lim0n n n→∞+++= ．(2)l i 1n →∞=(0)a >．证：设1a a =，1,1n n a ∀>=，则lim 1n n a →∞=，于是limlim1lim n n x →→∞→∞==．(3) lim 1n →∞=．证：设11a =，1,1n n n a n ∀>=-，则lim 1n n a →∞=，于是limlim 1n n →∞→==．(4)l i 0n →=．证：设1n a n=，则lim 0n n a →∞=，于是limlim0n n →∞→∞==．(5) limn e →=．证：因为1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以(1)lim nn n n e n →∞+=，于是由3(2)题的结论得lim n e →∞．limn e →∞=，从而limlim lim1n n n n e n →→∞→∞==+．(6)1lim1n n→∞++= ．证：因为lim 1n →∞=，所以lim1n n→∞=．(7) 若1limn n nb a b +→∞=，(0)n b >，则lim n a →∞=．证：设11a b =，11,n n n b n a b -∀>=，则1lim limn n n n n b a a b →∞→∞-==，于是limlimn n a →∞→==．5 证明：若{}n a 为递增数列，为{}n b 递减数列，且lim ()0n n n a b →∞-=，则lim n n a →∞与lim n n b →∞都存在且相等．证：因为{}n a ，{}n b ，所以数列{}n n a b - ．又lim ()0n n n a b →∞-=，于是sup{}0n n a b -=，从而sup{}0n n n n n n a b a b a b -≤-=⇒≤．由此知{}n a 有上界1b ，{}n b 有下界1a ，故lim n n a →∞与lim n n b →∞都存在．设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，则lim lim lim ()lim n n n n n n n n n a a a a b b b →∞→∞→∞→∞==--==，综上可知结论成立．6 利用单调有界数列必有极限的证明下列极限收敛，并求其极限． (1) 116, n a a +==(1,2,,n = ．解：因为165a =>，假设n k =时，5k a >，则1n k =+时，1 5k a +=>=，所以{}n a 有下界5．又1, n n n a a +∀=<，所以{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式1n a +=a =，解之得5a =，故lim 5n n a →∞=为所求．(2) 115, n a a +==(1,2,,n = ．解：因为156a =<，假设n k =时，6k a <，则1n k =+时，1 6n a +=,所以{}n a 有上界．又1 ,n n n a a +∀==>，从而{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式1n a +=两边取极限得a =，解之得 6a =，故lim 6n n a →∞=为所求．(3) 112, n a a +==(1,2,,n = ．解：因为1122a +=<，假设n k =时，12k a +<，则1n k =+时，1 2k a +=<=，所以{}n a 有上界．又1 ,n n a +∀==>n a ==>，所以{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式1n a +=a =12a +=，故1lim 2n n a →∞+=为所求．(4) 11144, 23n n n a a a a +⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭(1,2,,n = ．解：因为141a =>，假设n k =时，1k a >，则1n k =+时，114141123213k k k a a a +⎛⎫⎛⎫=+>+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．所以{}n a 有下界．又14141 2323n n n n n n n a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()11122n n n n a a a a =+<+=，所以{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式114 23n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭两边取极限得1423a a a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，解之得1a =，故lim 1n n a →∞=为所求．(5) 11313, 1n n n a a a a +-==+(1,2,,n = ．解：因为131a =>，假设n k =时，1k a >，则1n k =+时，131122111k k k k k k a a a a a a +-++-==>++．所以{}n a 有下界．又21313121111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +---+-==+-=++++2(1)1n n n n a a a a -=-<+，所以{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式131 1n n n a a a +-=+取极限得31 1a a a -=+，解之得1a =，故 lim 1n n a →∞=为所求．7 设数列{}n a 满足0M ∃>，对一切n ∀，21321n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤ ，证明数列{}n a 与{}n A 都收敛．证：因为n ∀，21321n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤ ，所以{}n A 有上界，又{}n A ，故由单调有界定理知{}n A 收敛．于是，由柯西收敛准则知，0,0N ε∀>∃>，,n p n n N A A p ε+∍>⇒-<∀“”，即12n n n p A A A ε++++++<L ．从而nN>时，21321()()()n p n n n n n n p n p a a a a a a a a +++++++--=-+-++-21321n n n n n p n p a a a a a a ε++++++-≤-+-++-< ，故由柯西收敛准则知{}n a 收敛．8 设0a >,0σ>,112a a a σ⎛⎫=+⎪⎝⎭,112n n n a a a σ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,1,2,n = ．证明数列{}n a ．解：因为112a a a σ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭假设n k =时，k a >，则当1n k =+时 112k k k a a a σ+⎛⎫=+> ⎪⎝⎭所以{}n a 有下界．又11122n n n n a a a a σ+⎛⎫⎛=+<+ ⎪ ⎝⎝⎭ (()1122nn n n a a a a <+<+=，所以{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式112n n n a a a σ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边取极限得12a a aσ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解之得a = 故lim n n a →∞=为所求．9 设110a b >>，记112n n n a b a --+=，11112n n n n n a b b a b ----=+，2,3,n = ．证明数列{}n a 与{}n b ．证：因为11111122n n n n n n n n a b a b a b a b ------+=≥=+，所以,n n n a b ∀≥．于是n ∀，122n nn nn n a b a a a a +++=≤=，又 n ∀，12221111n nn n n nnnnna b b b a b a b b b +==≥=+++ ，从而{}n a 且有下界1b ，{}n b 且有上界1a ，故{}n a ，{}n b 收敛．设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，在等式112n n n a b a --+=，11112n n n n n a b b a b ----=+两边取极限得2a b a +=，2abb a b=+，从而得a b =．又111111111122n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b --------+=⋅===+ ，所以11ab a b =，故lim lim n n n n a b →∞→∞==．10 按柯西收敛准则叙述数列{}n a 发散的充分必要条件，并用它证明下列数列{}n a 是发散的．(1) (1)n n a n =-； (2) sin2n n a π=．解：{}n a 发散0000,0,,N n m N ε⇔∃>∀>∃>，00n m a a ε∍->“”． (1) 取01ε=，则0N ∀>，取001,3n N m N =+=+，于是00,n m N >，且00041n m a a ε-=>=，故{}(1)n n -发散．(2) 取01ε=，则0N ∀>，取002,2n N m N ππ=+=-，于是00,n m N >，且00021n m a a ε-=>=，故sin 2n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭发散．11 设lim n n b b →∞=，lim n n a a →∞=，记{}m ax ,n n n S a b =，{}m in ,n n n T a b =，1,2,n =L ．证明 (1) {}lim max , n n S a b →∞=； (2) {}lim min , n n T a b →∞=．提示：参考第一章总练习题1．证：(1) 因为{}()m ax ,2n n n n n n n a b a b S a b -++==，所以{}()lim m ax , 2n n a b a b S a b →∞-++==．(2) 因为{}()m in ,2n n n n n n n a b a b T a b --+==，所以{}()lim m in , 2n n a b a b S a b →∞--+==．12 证明下列不等式． (1) k n ∀<，k N ∈，111112121112!3!nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1121111!k k n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．证：因为k n ∀<，122111111nn nn n n C C C n n n n ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭ 1221111knnnkC C C nnn >++++21(1)1(1)(1)112!!kn n n n n k n n n k n---+=+⋅+⋅++ ，所以()()()()111112121112!3!nnnn n +>+-+--+L()()()1112111!k k n n n-+---L ． (2) 证明：()()11111n n e n n++<<+．证：因为()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，且()11lim 1n ne n +→∞+=，所以()111n e n+<+．又()11nn ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，且()1lim 1nne n →∞+=，所以()11ne n +<．故()()11111nn e nn++<<+．(3) e e⋅<<．。

2022年高中数学第二章数列2等差数列第2课时练习含解析人教版必修

第2课时一、选择题1．等差数列{a n}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝( )A．64 B．30C．31 D．15[答案]　D[解析]　解法一：∵，∴，∴，∴a11＝a1＋10d＝15.解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝15.2．如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( ) A．14B．21C．28D．35[答案]　C[解析]　∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.3．已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )A．a1＋a101>0B．a2＋a100<0C．a3＋a100≤0D．a51＝0[答案]　D[解析]　由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.4．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( ) A．－1B．1C．3D．7[答案]　B[解析]　∵{a n}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.5．在a和b之间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为( )A．　B．C．D．[答案]　C[解析]　∵a1＝a，a n＋2＝b，∴公差d＝＝.6．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( )A．120 B．105C．90 D．75[答案]　B[解析]　∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，∵d>0，∴d＝3.则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.二、填空题7．等差数列{a n}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝__________.[答案]　18[分析]　利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出2a1＋11d的值．[解析]　解法1：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18.解法2：根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.8．已知等差数列{a n}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝__________.[答案]　15[解析]　∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋)(a3＋a15)＝×6＝15.三、解答题9．已知等差数列{a n}的公差d>0，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{a n}的通项公式．[解析]　由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝－4，又∵a3a7＝－12，∴a3、a7是方程x2＋4x－12＝0的两根．又∵d>0，∴a3＝－6，a7＝2.∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2.∴a n＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12.10．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．[解析]　设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得，(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94⇒2a2＋10d2＝47.①又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18⇒8d2＝18⇒d＝±代入①得a＝±，故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.一、选择题1．设数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{a n＋b n}的第37项为( )A．0B．37C．100D．－37[答案]　C[解析]　∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，∴{a n＋b n}也是等差数列．又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴{a n＋b n}的公差为0，∴数列{a n＋b n}的第37项为100.2．数列{a n}中，a2＝2，a6＝0且数列{}是等差数列，则a4等于( )A．　B．C．D．[答案]　A[解析]　令b n＝，则b2＝＝，b6＝＝1，由条件知{b n}是等差数列，∴b6－b2＝(6－2)d＝4d＝，∴d＝，∴b4＝b2＋2d＝＋2×＝，∵b4＝，∴a4＝.3．等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根[答案]　A[解析]　∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．4．下列命题中正确的个数是( )(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；(4)若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列．A．4个B．3个C．2个D．1个[答案]　B[解析]　对于(1)取a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错．对于(2)，a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，(2)正确；对于(3)，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2B．∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正确；对于(4)，a＝b＝c≠0⇒＝＝，(4)正确，综上选B．二、填空题5．若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.[答案]　[解析]　设两个等差数列的公差分别为d1，d2，由已知，得即解得＝，即＝＝.6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．[答案]　15[解析]　设△ABC的三边长为a－4，a，a＋4(a>4)，则＝－，解得a＝10，三边长分别为6,10,14.所以S△ABC＝×6×10×＝15.三、解答题7．在△ABC中，三边a、b、c成等差数列，、、也成等差数列，求证△ABC为正三角形．[证明]　∵＋＝2，平方得a＋c＋2＝4b，又∵a＋c＝2b，∴＝b，故(－)2＝0，∴a＝b＝C．故△ABC为正三角形．8．设数列{a n}是等差数列，b n＝()a n又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项a n.[解析]　∵b1b2b3＝，又b n＝()a n，∴()a1·()a2·()a3＝.∴()a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3，又{a n}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，∴b1b3＝，b1＋b3＝，∴或，即或，∴a n＝2n－3或a n＝－2n＋5.。

2-2第1课时____等差数列的定义及通项公式

该数列有什么规律呢？
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2．(1)鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22,22.5,23,23.5,24,24.5，…； (2)某月星期日的日期为2,9,16,23,30； (3)一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度(单位：cm)，为 89,83,77,71,65,59,53,47. 上面几个数列有什么共同的特点？
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方法二：∵an＝am＋(n－m)d， ∴d＝ann－－mam， ∴d＝a88－－5a5＝5－311＝－2， a10＝a8＋2d＝5＋2×(－2)＝1.
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在等差数列{an}中， (1)已知 a1＝6，d＝3，求 a8； (2)已知 a4＝10，a10＝4，求 a7 和 d； (3)已知 a2＝12，an＝－20，d＝－2，求 n； (4)已知 a7＝12，d＝－2，求 a1.
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利用等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d， an＝am＋(n－m)d及其变形公式求解．
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第二章数列
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[解题过程] (1)∵a1＝6，d＝3，∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3. ∴a8＝3×8＋3＝27. (2)∵a4＝10，a10＝4，∴d＝a1100－－a44＝－66＝－1， ∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14， ∴a7＝－7＋14＝7. (3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14， ∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，∴n＝18. (4)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝12，∴a1＝225.
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高中数学人教A版必修5第二章数列本章复习与测试(有答案)

10. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（）A.21B.20C.19D. 18 11. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,1==++a S S S m n m n ，那么=10a （）A.1B.9C.10D.55 12. 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n - 二、填空题13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++=_______________. 14. 在等比数列{}n a 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式=n a _____________.15. 设数列{}n a 中，1211++==+n a a a n n ，，则通项=n a _____________.16. 设{}n a 为公比1>q 的等比数列，若ɑ2019和ɑ2020是方程03842=+-x x 的两根，则 ɑ2020+ɑ2021 =_____________. 三、解答题17. 已知{}n a 为等比数列，320,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式.18. 已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅰ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式.19. 已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求na 及n S ；（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若1a 与5a 的等差中项为18，n b 满足n n b a 2log 2=，求数列{}n b 的前n 项和．21. 成等差数列的三个正数之和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 中的543,,b b b .（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅰ）数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+45n S 是等比数列．参考答案：二、填空题13. ___24____. 14. )(4*1N n n ∈-. 15. )(22*2N n n n ∈++. 16.______18______.三、解答题17.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则.2,23432q q a a qq a a ====.32022,32042=+∴=+q q a a 即.3131+=+q q解之得3=q 或.31=q当3=q 时，)(32*333N n q a a n n n ∈⨯==--；当31=q 时，)(32)31(2*3333N n q a a n n n n ∈=⨯==---. 18.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d .因为366,0a a =-=,所以.102,2,633136-=-===-=d a a d a a d 从而所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .因为24,832121-=++=-=a a a b b ,所以824q -=-.即q =3.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--. 19. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d..13,2626756=∴=+=a a a a由⎩⎨⎧=+==+=135721613d a a d a a 解得.231==d a ，12)1(1+=-+=∴n d n a a n ，.22)(21n n a a n S n n +=+=（Ⅱ）12+=n a n ，)1(412+=-∴n n a n ，⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=11141)1(41n n n n b n .n n b b b T +++=∴ 21=)1113121211(41+-++-+-n n =)111(41+-n =4(1)nn +.所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)nn + .20. 解：（Ⅰ）q p S a +-==211，23)2()44(122-=+--+-=-=p q p q p S S a ， 25)44()69(233-=+--+-=-=p q p q p S S a ，由3122a a a +=得,25246-++-=-p q p p.0=∴q（Ⅱ）根据题意，5132a a a +=所以1a 与5a 的等差中项为183=a .由（Ⅰ）知.4,1825=∴=-p p 从而.8,10,221===d a a.68)1(1-=-+=∴n d n a a n.34log ,68log 222-=-==∴n b n b a n n n故.16216812)2(213434---⨯=⨯=⋅==n n n n n b因此，数列}{n b 是等比数列，首项21=b ，公比.16=q所以数列{}n b 的前n 项和qq b T n n --=1)1(121. 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+，依题意，得15, 5.a d a a d a -+++==解得所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或（舍去）故{}n b 的10,5743==-=b d b ，公比2=q . 由22311152,52,.4b b b b =⋅=⋅=即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅. （Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列.22.解: （Ⅰ）因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图象上.所以得n n S b r =+,11a S b r ==+,b b r b r b S S a -=+-+=-=22122)()(，2323233)()(b b r b r b S S a -=+-+=-=，{}n a 为等比数列,3122a a a =∴.从而).1()()1(222-⋅+=-b b r b b b.1,10r b b b b +=-∴≠>且又解得1r =-.（Ⅱ）当2=b 时，由（Ⅰ）知，12-=n n S .当2≥n 时，.22)12(22)12()12(11111-----=-=-=---=-=n n n n n n n n n S S a111=-=b a 满足上式，所以其通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.所以111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 234123412222n n n T ++=++++，………………（1） 3451212341222222n n n n n T +++=+++++……（2））（）（21-,得: 23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-+=+--12311422n n n +++=--. 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-.。

2022年高中数学第二章数列4-1等比数列练习含解析新人教A版必修

课时训练11　等比数列一、等比数列中基本量的运算1.已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=14,则公比q 等于( )A .-12B .-2C .2D .12答案:D解析:a 5a 2=a 1q 4a 1q =q 3=142=18,∴q=12.2.已知等比数列{a n }中,a 1=32,公比q=-12,则a 6等于( )A.1B.-1C.2D.12答案:B解析:由题知a 6=a 1q 5=32×(-12)5=-1,故选B .3.(2015福建宁德五校联考,7)已知等比数列{a n }中,a2+a 3a 1+a 2=2,a 4=8,则a 6=( )A.31B.32C.63D.64答案:B解析:设等比数列{a n }的公比为q ,由a 2+a 3a 1+a 2=2,a 4=8,得{q (a 1+a 2)a 1+a 2=2,a 1q 3=8,解得{a 1=1,q =2.所以a 6=a 1q 5=25=32.故选B .4.(2015山东潍坊四县联考,3)已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于(　)A.-4B.-6C.-8D.-10答案:B解析:∵等差数列{a n}的公差为2,a1,a3,a4成等比数列,∴(a1+4)2=a1(a1+6),∴a1=-8,∴a2=-6.故选B.5.(2015江西吉安联考,2)已知等比数列{a n}的公比q=-13,则a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8等于( )A.-3B.-13C.3 D.13答案:A解析:∵等比数列{a n}的公比q=-13,∴a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8=a1+a3+a5+a7(a1+a3+a5+a7)q=1q=-3.故选A.二、等比中项及应用6.2+√3和2-√3的等比中项是 .答案:±1解析:设A为等比中项,则A2=(2+√3)(2-√3)=1,∴A=±1.7.已知等比数列{a n}的各项均为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{a n}的通项公式a n= .答案:3n-1解析:由题意,知(a+1)2=2a+5,∴a2=4.∵{a n}的各项均为正数,∴a+1>0且2a+5>0.∴a=2.∴a+1=3.∴q=a+11=3.∴a n=3n-1.三、等比数列的判定8.给出下列数列:①2,2,4,8,16,32,…;②在数列{a n}中,a2a1=2,a4a3=2;③常数列c,c,c,c,….其中等比数列的个数为 . 答案:0解析:①不是等比数列,因为a2a1≠a3a2;②不一定是等比数列,因为不知道a3a2的值,即使a3a2=2,数列{a n}也未必是等比数列;③不一定是等比数列,当c=0时,数列不是等比数列.故填0.9.设{a n}是公比为q的等比数列,设q≠1,证明数列{a n+1}不是等比数列.证明:假设{a n+1}是等比数列,则对任意的k∈N*,(a k+1+1)2=(a k+1)(a k+2+1),a k+12+2a k+1+1=a k a k+2+a k+a k+2+1,a12q2k+2a1q k=a1q k-1·a1q k+1+a1q k-1+a1q k+1,因为a1≠0,所以2q k=q k-1+q k+1.因为q≠0,所以q2-2q+1=0,解得q=1,这与已知矛盾.所以假设不成立,故{a n+1}不是等比数列.(建议用时:30分钟)1.已知在等比数列{a n}中,a1+a3=10,a4+a6=54,则该等比数列的公比为( ) A.1 4B.12C.2D.8答案:B解析:因为(a 1+a 3)q 3=a 4+a 6,所以q 3=a 4+a 6a 1+a 3=5410=18,即q=12,选B.2.若等比数列的首项为98,末项为13,公比为23,则这个数列的项数为( )A.3B.4C.5D.6答案:B解析:∵a 1=98,a n =13,q=23,∴98×(23)n -1=13,则n=4.3.已知等比数列{a n }中,a 1=3,8a n 2=a n+1·a n+2,则a 3=( )A.48B.12C.6D.2答案:B解析:设数列{a n }的公比为q ,则由8a n 2=a n+1a n+2,得8a 12=a 2a 3,即8a 12=a 12q 3,∴q=2.∴a 3=a 1q 2=3×4=12.4.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么( )A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9答案:B解析:∵-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,∴b 2=(-1)×(-9)=9.又∵a 2=-1×b=-b ,∴b=-3.又b 2=ac ,∴a 与c 同号.∴ac=9.5.已知1既是a 2与b 2的等比中项,又是1a 与1b 的等差中项,则a +ba 2+b 2的值是( )A .1或12B .1或-12C.1或13D.1或-13答案:D解析:由题意得,a2b2=(ab)2=1,1a +1b=2,∴{ab=1, a+b=2或{ab=-1,a+b=-2.又a+ba2+b2=a+b(a+b)2-2ab,∴其值为1或-13.6.设a1=2,数列{1+2a n}是公比为2的等比数列,则a6等于 .答案:79.5解析:∵1+2a n=(1+2a1)×2n-1,∴1+2a6=5×25,∴a6=5×32-12=79.5.7.已知等差数列{a n}的公差d≠0,它的第1,5,17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是 .答案:3解析:由已知a52=a1·a17,∴(a1+4d)2=a1(a1+16d).∴a1=2d.∴公比q=a5a1=a1+4da1=6d2d=3.8.某林场的树木每年以25%的增长率增长,则第10年末的树木总量是今年的倍.答案:1.259解析:设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为a n,则a n+1=a n+a n×25%=1.25a n.则an+1a n=1.25.则数列{a n}是公比q=1.25的等比数列.则a10=a1q9=1.259m.所以a10a1=1.259.9.等比数列的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.解:由题意知{a1+a1q+a1q2=168, ①a1q·(1-q)(1+q+q2)=42,②②÷①得q(1-q)=42168,∴q=12.∴a1=168×47=96.又∵a6=a1q5,∴a6=96×125=3,∴a5,a7的等比中项a6=3.10.已知数列{a n}满足a1=78,且a n+1=12a n+13,n∈N*.(1)求证:{a n-23}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明:∵a n+1=12a n+13,∴a n+1-23=12a n+13−23=12(a n-23).∴an+1-23an-23=12.∴{a n-23}是首项为524,公比为12的等比数列.(2)解:∵a n-23=524×(12)n-1,∴a n=5×(12)n-1+23.24。