1.1.2集合的表示法
高中数学：1.1.2集合的表示方法 (1)_1
1．1．2集合的表示方法1．理解列举法、描述法的定义．2．会用两种方法表示一些简单的集合．1．列举法(1)定义：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法．(2)用列举法表示集合适用的范围仅为集合中元素较少(填“多”或“少”)或有(填“有”或“无”)明显规律．2．描述法(1)定义：把集合中的元素共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法叫做特征性质描述法，简称描述法．它的一般形式是{x∈I|p(x)}，其中“x”是集合元素的代表形式，“I”是“x”的范围，“|p(x)”是集合中元素“x”的共同特征，竖线不可省略．(2)描述法的语言形式有以下三种：文字语言，符号语言，图形语言．1．用列举法表示不超过5的自然数集为________．答案：{0，1，2，3，4，5}2．用描述法表示不超过5的自然数集为________．答案：{x∈N|0≤x≤5}或{x∈Z|0≤x≤5}(答案不唯一)3．用列举法表示集合需要注意什么？解：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)元素不能遗漏．4．用描述法表示集合需要注意什么？解：用描述法表示集合时应注意以下六点：(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表达的元素符号)；(2)说明该集合中元素的性质；(3)不能出现未被说明的字母；(4)多层描述时应当准确使用“且”“或”；(5)所有描述的内容都写在集合符号内；(6)用于描述条件的语句力求简明、准确．用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ； (2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1的解组成的集合B ；(4)15的正约数组成的集合N ． 【解】 (1)因为－2≤x ≤2，x ∈Z ， 所以x ＝－2，－1，0，1，2， 所以A ＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为2和3是方程的根， 所以M ＝{2，3}．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，所以B ＝{(3，2)}．(4)因为15的正约数有1，3，5，15四个数字， 所以N ＝{1，3，5，15}．(1)用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．用列举法表示下列集合：(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |66－x ∈N ；(2)已知M ＝{0，2，3，7}，P ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，a ≠b }，写出集合P ． 解：(1)A ＝{0，3，4，5}． (2)P ＝{0，6，14，21}．用描述法表示集合用描述法表示下列集合：(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解】 (1)函数y ＝－2x 2＋x 的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }．(2)不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}．(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，xy ≥0}．(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N＋}．用描述法表示集合应注意的问题(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等； (2)说明该集合中元素的共同属性； (3)不能出现未被说明的字母；(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)使式子1x（x－1）（x＋1）有意义的实数x的取值范围．解：(1){x|x＝2n，n∈N＋}．(2){x|x＝3n＋2，n∈N}．(3){x|x≠0，且x≠－1，且x≠1}．集合的表示方法的综合应用集合M ＝{x |ax 2－2x ＋2＝0，a ∈R }中只有一个元素，求实数a 的值．【解】 (1)当a ＝0时，方程转化为－2x ＋2＝0，解得x ＝1，此时M ＝{1}，满足条件； (2)当a ≠0时，方程为一元二次方程，由题意得Δ＝4－8a ＝0，即a ＝12，此时方程有两个相等的实数根．综合(1)(2)可知， 当a ＝12或0时，集合M 中只有一个元素．若将本例中“只有一个”改为“有两个”，求实数a 的取值范围．解：因为集合M ＝{x |ax 2－2x ＋2＝0，a ∈R }中有两个元素，则Δ＝(－2)2－8a >0，即a <12．此题容易漏解a ＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当a ＝0时，所给的方程是一个一元一次方程；当a ≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对a 进行分类讨论．1．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－5x －a ＝0}中所有元素之和为________．解析：因为－5∈{x |x 2－ax －5＝0}， 所以(－5)2＋5a －5＝0，即a ＝－4． 所以{x |x 2－5x －a ＝0}＝{x |x 2－5x ＋4＝0} ＝{x |(x －1)(x －4)＝0}＝{1，4}．故集合{x |x 2－5x －a ＝0}中的所有元素之和为5． 答案：52．设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪62＋x ∈N ．(1)试判断元素1，2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B ．解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ．当x ＝2时，62＋2＝32∉N ．所以1∈B ，2∉ B ．(2)因为62＋x ∈N ，x ∈N ，所以2＋x 只能取2，3，6．所以x 只能取0，1，4．所以B ＝{0，1，4}．1．寻找适当的方法来表示集合时，应该“先定元，再定性”．一般情况下，元素个数无限的集合不宜采用列举法，因为不能将元素一一列举出来，而描述法既适合元素个数无限的集合，也适合元素个数有限的集合．2．用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．一定要注意该集合的代表元素是什么，看清楚是数集、点集还是其他形式，还要注意充分利用特征性质求解，两者相互兼顾，缺一不可．1．下列集合的表示方法正确的是()A．{1，2，2}B．{比较大的实数}C．{有理数}D．不等式x2－5＞0的解集为{x2－5＞0}答案：C2．把集合{x|－3≤x≤3，x∈N}用列举法表示，正确的是()A．{1，2，3}B．{0，1，2，3}C．{－2，－1，0，1，2}D ．{－3，－2，－1，0，1，2，3}解析：选B ．满足－3≤x ≤3的自然数有0，1，2，3．3．用列举法表示集合A ＝{y |y ＝x 2－1，－2≤x ≤2，且x ∈Z }是________．解析：因为x ＝－2，－1，0，1，2，所以对应的函数值y ＝3，0，－1，0，3，所以集合A 用列举法表示为{－1，0，3}．答案：{－1，0，3}4．集合A ＝{(1，2)，(0，3)}中共有________个元素．答案：2[A 基础达标]1．已知集合A ＝{x ∈N |x <6}，则下列关系式错误的是( )A ．0∈AB ．1．5∉AC ．－1∉AD ．6∈A解析：选D ．A ＝{x ∈N |x <6}＝{0，1，2，3，4，5}．2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{x |x 2＝1}C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}解析：选B ．{x |x 2＝1}＝{－1，1}，另外三个集合都是{1}，选B ．3．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，52，73，94，…用描述法可表示为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n ＋12n ，n ∈N ＋ B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n ＋3n ，n ∈N ＋ C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n －1n ，n ∈N ＋ D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N ＋ 解析：选D ．由3，52，73，94，即31，52，73，94，从中发现规律，x ＝2n ＋1n，n ∈N ＋，故可用描述法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N ＋． 4．设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ．因为集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }， 所以M 中的元素有：5，6，7，8，共4个．故选B ．5．已知M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }，N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }，则( )A ．M 是有限集，N 是有限集B ．M 是有限集，N 是无限集C ．M 是无限集，N 是无限集D ．M 是无限集，N 是有限集解析：选B ．因为M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }＝{(2，2)，(5，0)}，所以M 为有限集．N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．6．已知集合A ＝{－1，0，1}，集合B ＝{y |y ＝|x |，x ∈A }，则B ＝________．解析：因为|－1|＝1，故B ＝{0，1}．答案：{0，1}7．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则实数m 的值为________．解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3．当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意．所以m ＝－32． 答案：－328．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2，3}，则a －b ＝________．解析：由A ＝{2，3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得， ⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5，b ＝6．故a －b ＝－1． 答案：－19．选择适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于6的有理数；(2)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．解：(1)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x ∈Q |2＜x ＜6}．(2)用描述法表示该集合为{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }；或用列举法表示该集合为{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}．10．含有三个实数的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，b a ，a ，若0∈A 且1∈A ，求a 2 017＋b 2 017的值． 解：由0∈A ，“0不能做分母”可知a ≠0，故a 2≠0，所以b a＝0，即b ＝0．又1∈A ，可知a 2＝1或a ＝1．当a ＝1时，得a 2＝1，由集合元素的互异性，知a ＝1不合题意．当a 2＝1时，得a ＝－1或a ＝1(由集合元素的互异性，舍去)．故a ＝－1，b ＝0，所以a 2 017＋b 2 017的值为－1．[B 能力提升]11．已知集合A ＝{1，2，4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9解析：选D ．集合B 中的元素有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共9个．故选D ．12．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |为( ) A ．{0，3}B ．{1，3}C ．{－1，3}D ．{1，－3}解析：选C ．当x >0，y >0时，m ＝3；当x <0，y <0时，m ＝－1；当x >0，y <0时，m ＝－1；当x <0，y >0时，m ＝－1．故M ＝{－1，3}．13．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ，当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn ，在此定义下，求集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝12，a ∈N ＋，b ∈N ＋}中的元素的个数．解：从定义出发，抓住a ，b 的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键．当a ，b 同奇偶时，根据m ※n ＝m ＋n 将12分拆为两个同奇偶数的和，当a ，b 一奇一偶时，根据m ※n ＝mn 将12分拆为一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可．若a ，b 同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6，6)，这时有2×5＋1＝11(个)；若a ，b 一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4(个)．所以共有11＋4＝15(个)．14.(选做题)设y ＝x 2－ax ＋b ，A ＝{x |y －x ＝0}，B ＝{x |y －ax ＝0}，若A ＝{－3，1}，试用列举法表示集合B ．解：将y ＝x 2－ax ＋b 代入集合A 中的方程并整理得x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0． 因为A ＝{－3，1}，所以方程x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0的两根为－3，1．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋1＝a ＋1，－3×1＝b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3.所以y ＝x 2＋3x －3． 将y ＝x 2＋3x －3，a ＝－3代入集合B 中的方程并整理得x 2＋6x －3＝0， 解得x ＝－3±23，所以B ＝{－3－23，－3＋23}．。
1.1.2集合的表示法
文德信息工程职业学校 2019年9月
1.1.2 集合的表示方法
1.列举法
把集合的元素一一列举出来，元素中间用逗
号隔开，写在花括号“列举法.
例如，由小于5的自然数所组成的集合用列举法
表示为：
{0,1, 2, 3, 4};
自然数集 N为无限集，用列举法表示为：
用列举法表示集合可以明确地看到集合中的每一个元素，而用
提示 描述法表示集合可以很清晰地反映出集合元素的特征性质，因此在
具体的应用中要根据实际情况灵活选用.
作业
P7 第2、3题和4题的（1）、（2）
{0,1, 2, 3, , n, }.
2.描述法 把描述集合元素的特征性质或表示集合中元素的规律写在
花括号内用来表示集合的方法叫做描述法. 例如，由大于 2 的所有实数所组成的集合用描述法表示为： {x | x 2, x R}
花括号内竖线左侧的 x 表示这个集合中的任何一个元素，元素 x 从实数 R 中取值，竖线的右侧写出的是元素的特征性质.
高中数学 1.1.2集合的表示方法 新人教A版必修1
1.列举法
将集合中的元素一一列举出来写在大括号内。
①有限集:
由两个元素0,1构成的集合 24的所有正因数构成的集合
0,1
12, 24}
{1, 2, 3, 4, 6, 8,
不大于100的自然数的全体构成的集合
②无限集:
自然数集:
0,1,2,3, ,10 0
0 ,1 ,2 ,3 ,4 , ,n ,
解:
(1) A={1,2,3,4,5} (2)B={2,3}
例2: 用特征性质描述法表示下列集合 (1){-1,1} (2)大于3的全体偶数构成的集合 (3)在平面α内，线段AB的垂直平分线
解： (1) {x| |x|=1} (2) {x| x>3,且x=2n,n∈N} (3){点P∈平面α|PA=PB}
思考： 1. 0、{0}、{ }、 的关系
2. 1,与 21,2区别在哪儿
3. 数集：x 1 ,x 2 ,x 3 , ,x n ,
点集：( x 1 ,y 1 ) ( x 2 ,y 2 ) ( x 3 ,y 3 ) ( , x n ,y n )
2.特征性质描述法：
如果在集合I中，属于集合A的任意 一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素x都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做 集合A的一个特征性质.
于是，集合A可以用它的特征性质p(x)
描述为： { xI P(x)
}
3.Venn图法：
用平面内一条封闭曲线的内部表示集合的方法
A1,2,3,4 B3,4,5,6
A
12 3
34 54 6 5 6
B
B
例1 用列举法表示下列集合
(1)A={x∈N| 0< x ≤5} (2)B={x| x2-5x +6=0}
1.1.2 集合的表示方法之描述法
（2）不等式 2 x 1 0 的解集； （3）所有奇数组成的集合；
x x 2k 1, k Z
（4）由第一象限所有的点组成的集合． x, y x 0, y 0
分析 (1)
用描述法表示集合关键是找出元素的特征性质． 特征性质是“小于 5 的所有整数” ；
.
（2）解不等式就可以得到不等式解集元素的特征性质； （3）特征性质是“元素都能写成 2k 1(k Z) 的形式” ； （4）特征性质是“为第一象限的点” ，即横坐标与纵坐标都为正数．
右侧为元素所具有的特征性质.
问题 小于5的实数所组成的集合中有哪些元素?
当元素为实数 时，可以不标 注取值范围
描述法{x∈R|x<5}
元素无法一一列举但特征明显
巩固知识 典型例题
例3 (1) 用描述法表示下列各集合： 小于 5 的所有整数组成的集合；
x Z | x 5
1 x | x 2
1.1 集合的概念
1.1.2集合的表示方法之描述法
创设情景
兴趣导入
问题 ：小于5的实数所组成的集合中有哪些元素?
元素有无穷多个，特征： (1)集合的元素都是实数； (2)集合的元素都小于5.
元素无法一一列举但特征明显
动脑思考
探索新知
描述法．在一个大括号内画一条竖线，竖线的左侧
为集合的代表元素,并标出元素的取值范围，竖线的
为了简便起见，在使用描述法表示集合时， 可以省略竖线及其左侧的代表元素，用描述性 语言表述集合的特征性质。 例如：所有正奇数组成的集合可以表示为：
{正奇数}
运用知识 强化练习
教材练习1.1.2
2．用描述法表示下列各集合： （1）大于 3 的实数所组成的集合； （2）小于 20 的所有自然数组成的集合；
1.1.2集合的表示方法
条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的 共同特征.
“小于7的所有实数的集合”
｛ x ∈R|x＜7｝
“小于7的所有整数的集合”
｛ x ∈Z|x＜7｝
“不小于7的所有有理数的集合”
｛ x ∈Q|x≥7｝
或｛ x |x＜7｝
注意：“x∈R可以简写成 x”，其他不能省略。
2
描述法
请用描述法表示下列集合：
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
8.下列六种表示方法：
x＝1，
①{x＝1，y＝4}； ②x，y
y＝4
；③{1,4}； ④(1,4)；⑤{(1,4)}；
⑥{x，y|x＝1或y＝4}.
其中，能表示“一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合”
解析
因为A＝{x|3x－7<0，x∈N＋}，所以A＝{1,2}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
{a|a≤－2}
7.已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是__________.
解析
∵1∉{x|2x＋a>0}，
∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
1
2
3
1 2 3 4 5
3.集合{x∈N＋|x<5}的另一种表示法是
A.{0,1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
解析
B.{1,2,3,4}
√
D.{1,2,3,4,5}
高中数学：第1章 1.1 1.1.2 集合的表示方法
1.1.2集合的表示方法学习目标：1.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(重点)2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．列举法把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示集合的方法.思考1：什么类型的集合适合用列举法表示？[提示]①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}．2．集合的特征性质如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．3．描述法思考2：用列举法能表示不等式x－7<3的解集吗？为什么？[提示]不能．由不等式x－7<3，得x<10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．[基础自测]1．思考辨析(1)集合0∈{x|x>1}．()(2)集合{x|x<5，x∈N}中有5个元素．()(3)集合{(1,2)}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合．()[解析](1)×.{x|x>1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．(2)√.集合{x |x <5，x ∈N }表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x |x 2－3x ＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3的解集是( ) 【导学号：60462015】A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．{(－1,2)}D ．{(1，－2)} C [由⎩⎨⎧ x ＋y ＝1x －y ＝－3解得⎩⎨⎧x ＝－1y ＝2，用列举法可表示为{(－1,2)}，故选C.] 3．不等式x －3<2且x ∈N ＋的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [由x －3<2得x <5，又x ∈N ＋所以x ＝1,2,3,4.用列举法表示为{1,2,3,4}，故选B.]4．不等式4x －5<7的解集为________．{x |x <3} [由4x －5<7解得x <3，所以可表示为{x |x <3}．][合 作 探 究·攻 重 难] 用列举法表示集合(1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合．[思路探究] (1)(2)可直接先求相应元素，然后用列举法表示．(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝－23x ＋43→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示. [解] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}． (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4或2，所求集合为{4,2}．(3)方程组⎩⎨⎧ x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫75，25. [规律方法] 使用列举法表示集合时，需要注意以下几点1．用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }．集合的所有元素用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”．2．元素不重复，元素无顺序，所以本题(2)中，{4,4,2}为错误表示．3．对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．4．适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．[跟踪训练]1．用列举法表示下列集合：【导学号：60462016】(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；(3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}.用描述法表示集合(1)小于100的所有非负整数的集合．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合(4)方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合． (5)被5除余3的所有整数组成的集合．(6)不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合．[思路探究] 先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．[解] (1)小于100的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x |0≤x <100，x ∈Z }．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合，用描述法表示为{x ||x |>6}．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为{(x ，y )|xy <0}．(4)方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合，用描述法表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝0. (5)被5除余3的所有整数组成的集合为{x |x ＝5k ＋3，k ∈Z }．(6)解不等式3x －6≤2x ＋7得x ≤13，所以不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合为{x |x ≤13}．[规律方法] 利用描述法表示集合应关注五点1．写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}．2．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }．3．不能出现未被说明的字母．4．在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}．5．在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．[跟踪训练]2．已知A ＝{x |3－2x >0}，则有( )【导学号：60462017】A ．3∈AB ．1∈AC ．32∈AD ．0∉AB [A ＝{x |3－2x >0}＝{x |x <32}，∴1∈A .]3．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________． [答案] {x |x ＝2n ，n ∈N ＋，且n ≤6}列举法与描述法的灵活应用 [1．集合{x ||x |<2，x ∈Z }用列举法如何表示？提示：{－1,0,1}．2．集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}与集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．提示：集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}中的元素是直线y ＝x ＋1上所有的点；集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素是直线y ＝2x ＋1上所有的点，它们的公共元素是两直线的交点，由⎩⎨⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．3．设集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，集合A 中的元素是什么？提示：集合A 中的元素是方程ax 2＋x ＋1＝0的解．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合．[思路探究] 明确集合A 的含义→对实数k 加以讨论→求出实数k 的值→用集合表示[解](1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．母题探究：(变条件)若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．[解]集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．[规律方法]识别集合含义的两个步骤1．一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．2．二看条件：既看代表元素满足什么条件(公共特性)．[跟踪训练]4．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合．(2)大于1且小于7的有理数．(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解](1)方程x(x2－2x－3)＝0的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3)，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．(2)由于大于1且小于7的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|1<x<7}．(3)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．[当堂达标·固双基]1．用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为()A ．{x |2<x <5，x ∈N }B ．A ＝{2,3,4,5}C ．{2<x <5}D ．{3,4}D [大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}．]2．下列集合表示的内容中，不同于另外三个的是( )【导学号：60462018】A ．{x |x ＝1}B ．{y |(y －1)2＝0}C ．{x |x －1＝0}D ．{x ＝1}D [选项A 、B 、C 都表示用描述法表示集合，集合中的元素是1，而选项D 中元素为等式x ＝1.]3．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示B ＝________. {4,9,16} [由题意知，A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，∴B ＝{4,9,16}．]4．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，则集合A 用列举法表示为________．{－1,4} [∵4∈A ，∴16－12＋a ＝0，∴a ＝－4，∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1,4}．]5．用适当的方法表示下列集合：【导学号：60462019】(1)方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集； (2)所有的正方形；(3)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[解] (1)解方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}． (2)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}，简写为{正方形}．(3)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．。
1.1.1.2集合的表示
2
素之积为_________.
3.已知f(x)=x2-ax+b(a,b∈R),A={x∈R|f(x)-x=0},B={x∈R|
f(x)-ax=0},若A={1,-3},试用列举法表示集合B.
【解题指南】1.转化为一元二次方程有两个相等根的问题，但
要注意a=0的验证.
2.先求出a的值，再通过解方程 x2 19 x a 0，求出集合
a＝－3， b＝－3.
所以f(x)＝x2＋3x－3.f(x)－ax＝0，亦即x2＋6x－3＝0.
所以B＝{x∈R|x2＋6x－3＝0}＝ －3－2 3，－3＋2 3 .
【规律总结】集合的两种表示法的应用要明确的三点
提醒:用描述法时要注意不能出现未被说明的字母,并且要准确 使用“且”与“或”等.
(2)如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征?用集合怎样 表示? 提示:①x∈R且x<5,用集合表示为{x∈R|x<5}, ②x∈R且|x|<2,用集合表示为{x∈R||x|<2}.
探究2:根据描述法的定义,当集合中的元素具备什么特征时使 用描述法表示集合? 提示:当集合中的元素间具有共同特征并且能够描述出来时,一 般会使用描述法表示集合.
(3)在(1),(2)的基础上,思考在什么情况下适宜用列举法表示 集合? 提示:①集合中的元素较少,能够一一列举出来时,适合用列举 法;②集合中的元素较多或无限多,但呈现一定的规律性时,也 可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.
【探究总结】 1.对列举法中“{ }”的说明 “{ }”表示“所有”“一切”“整体”的含义,所描述的内容 都写在“{ }”内,使用时要注意不能重复表述,如{整数}表示 所有整数组成的集合,而不能写成{整数集}.
1.1.2 集合的表示方法
表示 方法
列举 法
定义
表达 形式
把集合中的所有
元素一一列举出 来,并置于花括 号“{ }”内的
如{1,2, 3,4,5}
方法
适用 对象
①元素个数 不多;②元素 个数多但有 规律
表现 重点
集合 外延
特点
直观、 明了
用集合中元 描述 素的共同特
法 征表示集合 的方法
{x|P(x)}
元素的特征 清晰
集合 内涵
④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示.
正确的是( C )
(A)①和④ (B)②和③
(C)②
(D)以上语句都不对
解析:①错误,③由集合中元素的互异性知错误,④集合是无限集,不能列举, 故错误,只有②正确.
2.(2018·福建三明三地三校联考)已知集合M={x∈Z|-2<x≤1},则M的元素个
数为( B )
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/172021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月17日星期五2021/9/172021/9/172021/9/17 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/172021/9/17September 17, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/172021/9/172021/9/172021/9/17
必修一第一章--1.1.2-集合的表示方法
1． 集合的表示方法课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法 把集合的所有元素都______出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个__________．于是，集合A 可以用它的特征性质p (x )描述为____________，它表示集合A 是由集合I 中具有性质p (x )的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法．；一、选择题 1．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为( ) A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5} 2．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y ) C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合、 3．将集合⎩⎪⎨⎪⎧ x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是( )A ．{2,3}B ．{(2,3)}C ．{x ＝2，y ＝3}D ．(2,3) 4．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1}B ．{1} C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0} 5．已知集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}，则有( ) A ．－1∈A B ．0∈A ∈A D ．2∈A 6．集合{x |x ＝a |a |＋|b |b －c |c |，a ，b ，c ∈R }的列举法表示应该是( ) — A ．{－3，－1,1,3}B ．{1,3}C ．{－1,1,3}D ．{－题 号 1 2 3 4 5 6答 案 ~二、填空题7．用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，86－x∈N }＝____________.8．下列可以作为方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集的是__________(填序号)． (1){x ＝1，y ＝2}； (2){1,2}；- (3){(1,2)}； (4){(x ，y )|x ＝1或y ＝2}；(5){(x ，y )|x ＝1且y ＝2}；(6){(x ，y )|(x －1)2＋(y －2)2＝0}．9．已知a ∈Z ，A ＝{(x ，y )|ax －y ≤3}且(2,1)∈A ，(1，－4)∉A ，则满足条件的a 的值为________．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；③不等式x －2>6的解的集合；④大于且不大于6的自然数的全体构成的集合．！！11．用描述法表示下列集合：(1)所有正偶数组成的集合；(2)方程x 2＋2＝0的解的集合；(3)不等式4x －6<5的解集；(4)函数y ＝2x ＋3的图象上的点集．…能力提升12．已知集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是( ) A ．x 0∈N B ．x 0∉N！ C ．x 0∈N 或x 0∉N D ．不能确定13．对于a ，b ∈N ＋，现规定：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b a 与b 的奇偶性相同a ×b a 与b 的奇偶性不同.集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝36，a ，b ∈N ＋}(1)用列举法表示a ，b 奇偶性不同时的集合M ；(2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素。
1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法教材知识检索考点知识清单 1．列举法将集合中的元素____，写在____表示集合的方法． 2．描述法描述法的一般形式为 ，其意义是表示由集合I 中具r 有性质____的所有元素构成的集合．要点核心解读1.集合常用的表示方法有列举法、描述法(1)列举法，把集会中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，叫列举法，例，如，A={指南针：，造纸，火药，印刷｝.列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示这榉的集合较为方便，而且使人一目了然．(2)描述法，把集合中元素的公共 属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做描述法 ，它的一般形式为)},(|{x P x 竖线前面的x 表示集合中元素的一般形式，而后面的P(x)表示集合元素x 的公共属性，例如,n {z n A ∈=}.8<n 在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时,可省去竖线及左边的部分，例如由所有圆组成的集合，可表示为{圆}．如表示由直线y=x 上所有的点构成的集合，可用下列三种方法： ①文学语言形式：直线y=x 上所有的点构成的集合； ②符号语言形式：};|),{(x y y x =③图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线x y =（图略）．2．对集合表示法的理解(1)列举法可以看清集合的元贰描述法可以看清集合元素的特征．(2)两种表示法里的“{ }”都有“全体”“集合”的含义，因此，{全体整数}中的“全体”二字是多余的，应改为{ 整数}．(3)除了用列举法和描述法来表示集合，还可以利用图形表示集合，也可以通过集合的运算来表示集合，例如 }2,1{=A ⋅}3,2{3．选择适当的方法表示集合的规律集合的常用表示方法：列举法和描述法，在集合的运算中经常用到，在具体解题中：要根据题目的特点，选用适当的方法表示集合．(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法．(2 )对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素（只有这个集合才有）的共同特征描述出来，即采用描述法．(3)有些集合既可用列举法，又可用描述法．典例分类剖析考点1集合的表示方法[例1]用适当的方法表示下列集合： (1)所有非负偶数组成的集合；(2)所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；9)3(2-x 的一次因式组成的集合；(4)方程0)5)(2)(1(2=---x x x 的解组成的集合； (5)直角坐标系内第三象限的点组成的集合． [解析] };,8,6,4,2,0{},2|){1( 或N n n x x ∈=};3,3){3(};19,17,13,11,7,5,3){2(+-x x⋅<<-}0,0|),){(5(};5,5,2,1){4(y x y x[点拨]这里(1)中第二种表示法及(2)、(3)、(4)为列举法，而(1)中第一种表示法和(5)为描述法．实数的集合、点的集合是集合的两种重要形式，通过本例，读者要学会熟练地写出一定条件下的这两种形式的集合，为今后的学习奠定基础．母题迁徙1．分别用自然语言、图形语言、集合语言表示“直线y=x 上所有点构成的集合”． 考点2 列举法与描述法的转换[例2] (1)已知集合},16|{z xN x M ∈+∈=求M ； (2)已知集合},|16{N x z xC ∈∈+=求C ． [解析] 集合M 、C 中元素的形式不一致，要正确认识。
1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法教材知识检索考点知识清单1．列举法将集合中的元素____，写在____表示集合的方法．2．描述法描述法的一般形式为 ，其意义是表示由集合I 中具r 有性质____的所有元素构成的集合．要点核心解读1.集合常用的表示方法有列举法、描述法(1)列举法，把集会中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，叫列举法，例，如，A={指南针：，造纸，火药，印刷｝.列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示这榉的集合较为方便，而且使人一目了然．(2)描述法，把集合中元素的公共 属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做描述法 ，它的一般形式为)},(|{x P x 竖线前面的x 表示集合中元素的一般形式，而后面的P(x)表示集合元素x 的公共属性，例如,n {z n A ∈=}.8<n 在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时,可省去竖线及左边的部分，例如由所有圆组成的集合，可表示为{圆}．如表示由直线y=x 上所有的点构成的集合，可用下列三种方法：①文学语言形式：直线y=x 上所有的点构成的集合；②符号语言形式：};|),{(x y y x =③图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线x y =（图略）．2．对集合表示法的理解(1)列举法可以看清集合的元贰描述法可以看清集合元素的特征．(2)两种表示法里的“{ }”都有“全体”“集合”的含义，因此，{全体整数}中的“全体”二字是多余的，应改为{ 整数}．(3)除了用列举法和描述法来表示集合，还可以利用图形表示集合，也可以通过集合的运算来表示集合，例如 }2,1{=A ⋅}3,2{3．选择适当的方法表示集合的规律集合的常用表示方法：列举法和描述法，在集合的运算中经常用到，在具体解题中：要根据题目的特点，选用适当的方法表示集合．(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法．(2 )对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素（只有这个集合才有）的共同特征描述出来，即采用描述法．(3)有些集合既可用列举法，又可用描述法．典例分类剖析考点1集合的表示方法[例1]用适当的方法表示下列集合：(1)所有非负偶数组成的集合；(2)所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；9)3(2-x 的一次因式组成的集合；(4)方程0)5)(2)(1(2=---x x x 的解组成的集合；(5)直角坐标系内第三象限的点组成的集合．[解析] };,8,6,4,2,0{},2|){1( 或N n n x x ∈=};3,3){3(};19,17,13,11,7,5,3){2(+-x x⋅<<-}0,0|),){(5(};5,5,2,1){4(y x y x[点拨]这里(1)中第二种表示法及(2)、(3)、(4)为列举法，而(1)中第一种表示法和(5)为描述法．实数的集合、点的集合是集合的两种重要形式，通过本例，读者要学会熟练地写出一定条件下的这两种形式的集合，为今后的学习奠定基础．母题迁徙1．分别用自然语言、图形语言、集合语言表示“直线y=x 上所有点构成的集合”． 考点2 列举法与描述法的转换[例2] (1)已知集合},16|{z x N x M ∈+∈=求M ； (2)已知集合},|16{N x z xC ∈∈+=求C ． [解析] 集合M 、C 中元素的形式不一致，要正确认识。
1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法一、学习目标：1、理解列举法和特征性质描述法的实质，能运用它们表示集合.2、体验用集合语言表示文字的过程，尝试用集合语言表示集合.二、重点难点：1、集合的表示法2、对集合的特征性质的理解3、运用特征性质描述法正确的表示集合三、基础知识探究：1、列举法定义：__________________________________________试分析以下集合可否用列举法来表示，并探究列举法表示集合的适用范围及注意问题。
（1）由1~20中的所有质数组成的集合；=的所有实数根组成的集合；（2）方程2x x（3）不大于200的正偶数构成的集合；（4）自然数构成的集合；列举法的使用范围：①_____________________________________________；②_____________________________________________；2、描述法P示例，回答下列内容并探究描述法表示集合时的注意问题。
阅读课本6（1）特征性质：______________________________________________________________ ____________________________________________。
（2）特征性质的描述法：_______________________________________________________ 3、集合的表示方法的变换试分别用列举法和描述法表示下列集合，并探究两种表示方法之间的转换关系，比较优缺点。
x-=的所有实数根组成的集合；（1）方程220（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
四、典型例题剖析例1、用列举法表示下列集合（1）{}|05A x N x =∈<≤ （2）{}2|560B x x x =-+=【跟踪训练】用列举法表示下列集合：（1）大于2小于15的偶数全体；（2）平方等于16的实数全体；（3）比2大3的实数全体；（4）方程24x =的解集；（5）大于0小于5的整数的全体；（6）我国现有直辖市的全体。
高一数学 1.1.2《集合的表示方法》新人教A版必修1
1.1.2集合的表示方法教学目标：掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的问题. 教学重点、难点：用列举法、描述法表示一个集合.教学过程：一、复习引入：1．回忆集合的概念2．集合中元素有那些性质？3．空集、有限集和无限集的概念二、讲述新课：集合的表示方法1、大写的字母表示集合2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法. 例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24} 注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}（3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.3、特征性质描述法：在集合I 中，属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：{x ∈I | p (x ) }例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）注意区别：实数集，{实数集}.4、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合.例1：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是.集合}1|),{(2+=x y y x 是点集，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是数集。
人教版中职数学基础模块上册：1.1.2集合的表示方法(课件)
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
注意：3、无限集有时也可用列举法表示。例如，自 然数N可表示为
我们知道，自然数集用字母N表示，那么小于100 的自然数的全体组成的集合除了用自然语言表示外， 还可以用什么方式表示呢？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
{0,1,2,3，…，n，…}; 4、由一个元素组成的集合。例如，a与{a}是完全不 同的，a是与集合{a}的一个元素，{a}表示一个集合.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例1： 用举例法表示下列集合： （1）大于3且小于10的奇数的全体组成的集合； （2）一元二次方程x2-5x+6=0的解集。 解： （1）{5,7,9}；
世上无难事，只要肯登攀。
感谢观看
列举法：当集合的元素不多时，我们常常把集合的 所有元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分 隔），并写在大括号内，这种表示集合的方法称为 列举法；
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
{x丨x是两个整数的商} 或
1.1.2 集合的表示方法
【解答】解：A={x∈Z||x|≤2}={﹣2，﹣1，0，1，2}， B={y|y=x2+1，x∈A}={5，2，1} B 的元素个数是 3 故选 C．
4．已知集合 A＝{x|51－2x∈N，x∈N}，则用列举法表示为________．
解析：根据题意，5－x 应该是 12 的因数，故其可能的取值为 1,2,3,4,6,12，从而可得到 对应 x 的值为 4,3,2,1，－1，－7.因为 x∈N，所以 x 的值为 4,3,2,1.
练习：已知集合 A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中 a∈R．
（1）1 是 A 中的一个元素，用列举法表示 A；
【解答】解：（1）∵1 是 A 的元素，∴1 是方程 ax2+2x+1=0 的一个根，
（2）若 A 中有且仅有一个元素，求实∴a数+2+1a=0的，组即 a成=﹣的3，集合 B；
（3）若 A 中至多有一个元素，试求 此a时的A取={x值|﹣范3x2围+2x．+1=0}．
解：(1)用列举法表示为{3，－3}，用描述法表示为{x|x2－9＝0}．集合中有 2 个元素， 是有限集．
(2)用列举法表示为{1,3,5,7,9}，用描述法表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋且 1≤k≤5}．集合 中有 5 个元素，是有限集．
(3)用描述法表示为{x|x>5}．集合中有无数个元素，是无限集． (4)用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．抛物线上的点有无数个，因此该集合是无限集． (5)方程 x2＋x＋1＝0 无实数解，故该方程的解集为∅，是有限集．
（3）若 A≠∅ ，求实数 a 的取值范围．
（2）当 a=0 时，A={x|ax2﹣3x+2=0}={x|﹣3x+2=0}={ }．满足条件．只有一个 元素， 当 a≠0 时，若 A 是只有一个元素的集合，判别式△=9﹣8a=0，解得 a= ，此时
1.1.2集合的表示方法
p(x)表示该集 合中的元素x 所具有的性 质
例如：book中的字母的集合表示为： ｛x|x是 book中的字母｝
有时用venn(韦恩)图表示更形象直观。
例如：book中的字母的集合表示为：
例1、求由方程x2-1=0 的实数解构成的集合。
b，o，k
解：(1)列举法：{-1,1}或{1，-1}。
(2)描述法：{x|x2-1=0，x∈R}
或{X|X为方程x2-1=0的实数解}
例2、若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x2=0的解作为元素构成集合A，请用最 简形式写出集合A
答：A={3，2，-1}
例3、求不等式x-3>2的解集。 解：由x-3>2得x>5，所以不等式x3>2的解集为 {x|x>5，x∈R}
例4、求方程x2+1=0的所有实数解的集合。
解：方程x2+1=0没有实数解，所以
{x|x2+1=0，x∈R}=。
思考：直线y=x上的点集如何表示？
解：A={(x,y) | y=x }
课堂小结：
集合的表示:列举法和描述法。
集合的表示方法
1、列举法 就是将集合中的元素一一列举出来并放 在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开；
2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母的集合表示为：
｛ｂ是否属于 这个集合的方法。其一般形式为：
{ x | p(x) } X为该集合的 代表元素
1.1.2集合的表示法概论
集合的常用表示： 列举法 与 描述法
列举法： 将集合中的元素一一列举出来， 用一个大括号括起来表示集合的方法。
描述法： 将集合元素满足的特征性质或者条件用
形式x P 写出来表示集合的方法。
Thank you！
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解：
(1)所有大于 3 且小于 10 的奇数构成的 集合为{5，7，9}；
用符号 或填空：
1 N, 4 N, 0.5 N,3 N *, 0N ;
1 Z, 2 Z , 0.5 Z , 1 Z , 3 Z;
3
1 Q, 3 Q, 0.5 Q, 2 Q, 2 Q;
3
R,
5
R,
3 R*, 1 R,
3
2 R.
§1.2 集合的表示法
怎样表示由1，2，3，4，5这5个正整数全体构成的集合？
集合、元素的基本概念
集合： 一些能够确定的对象的全体 元素： 构成集合的每个对象 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集． 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集．
空 集：不含任何元素的集合叫做空集.记作
集合的三大特征：
确定性 互异性 无序性
常用数集的专用符号
N: 非负整数集(或自然数集)(全体非负整数集合) N*或N+ 正整数集 (非负整数集N内排除0的集合) Z: 整数集 (全体整数的集合) Q: 有理数集 (全体有理数的集合) R: 实数集 (全体实数的集合)
解：（1） a a 2,且aZ
（2）x x 2 3,且 xR 或 x x 5,且 xR
（3） x 是直角三角形
注：当所元以素，都（是2实）数也时可，以也写可成以省略 x R
反之，省略 xx xR2时，3也或默认x元x素5都是实数。
1.1.2集合的表示法
3.大于－1且小于1的整数的集合；
解：｛0｝
二、描述法
用确定条件表示某些对象是否属 于这个集合的方法，叫描述法
例如：大于5的一切实数的集合： 用描述法可表示为： x x 5, x R
描述法表示集合的基本方法是：
（1）在花括号的左端写上小写字母如 x 等，并用一条竖线隔开 （2）再在竖线后面写出确定 x 的条件
（1）大于2且小于15的偶数组成的集合 解：｛4，6，8，10，12，14｝ 2 （2）方程 x 3x 4 0 的解集 解：｛4，－1｝ （3）正奇数组成的集合 解：｛1，3，5，7，┅ ｝
练
习
用列举法表示下列集合 2 1.方程 x 2x 1 0 的解的集合
解：｛－1｝
2.大于0且小于10的奇数的集合；
课堂小结 集合的表示方法 一．列举法； 二．描述法； 三. 图示法。
谢 谢 大 家！
练
习
用描述法表示下列集合 1、不等式x－3＞2的解集； 解: ｛ x | x>5 ｝
2、不等式2x+1<5的解集；
解:｛ x | x<2 ｝
3、所有奇数的集合 解: ｛n | n 2k 1, k Z ｝
4、正整数的平方组成的集合 2 x x k ,k N 解:
｛ x | 确定对象 x 的条件 ｝
元素名称 分隔号 确定元素的条件
例3、用描述法表示下列集合 （1）不等式 4 x 3 0 的解集； 3 解: ｛ x | x 4｝
（2）所有偶数的集合 是偶数 2k , k z ｝ 解: ｛ n | n n
（3）直角坐标平面第一象限内的坐 标的集合 （ x ， y ） ｛ 解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ | X>0，y>0 ｝
1.1.2集合的表示方法
当集合中元素不多时，我们常常把集合的元素一一列举出来， 写在大括号内表示这个集合，这种表示集合的方法称为例举法。
三、师生互动、提炼知识
解决问题 集合的表示方法-列举法
2.举例
（1）由1,2,3,4,5,6组成的集合，可以表示为
1,2,3,4,5,6
（2）中国古代四大发明组成的集合，可以表示为
5,7,9
（2）方程x-2=0的解的全体组成的集合；
2
（3）一次函数y=-x+1的图像与两坐标轴所有交点组成的集合。
（ 1,0），（0,1）
三、师生互动、提炼知识
解决问题 集合的表示方法-性质描述法
1.概念
一般地，若集合A中元素的特征性质用p表示，则属于集合A的 元素都具有p，不属于集合A的元素都不具有p.这时，集合A可以表
A （ x, y) y x
（4）所有偶数组成的集合.
A xR x 2n, nZ
三、师生互动、提炼知识 解决问题 集合的表示方法-性质描述法
一般地
当x的取值集合是实数时：
A x R x 6
A x x 6
A xR x 2n,nZ
A x x 2n, nZ
四、演练反馈
题组练习
题组一
指南针，造纸术，印刷 术，火药
（3）方程x2=9组成的集合，可以表示为
3,3
三、师生互动、提炼知识
解决问题 集合的表示方法-列举法
3.区别
0与 0
0表示一个集合，0是 0集合的一个元素。
三、师生互动、提炼知识
解决问题 集合的表示方法-列举法
4.例1 用列举法表示下列集合
（1）大于3且小于10的所有奇数组成的集合；
示为 A xU p
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读题
回答
记
笔记
读题
分析
练习
小结
板书设计
投影
1.1.2集合的表示法
一、集合的列举法
例1：
二、集合的描述法
例2：
课后记
所以方程 的解集{-2}。
（3）因为方程 的解是
所以方程 的解是{2，3}。
单元素集合：由一个元素构成的集合叫单元素集合。
二、描述法
把集合中所有元素具有的共同性质描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫集合的描述法。
如：方程 的解集，可表示为
。
如果从上下文能明显看出所讨论集合的元素是实数时，那么 可以省略不写，即上述方程的解集也可以写成
讲练结合
教具
投影仪
时
间
阶段与
目标
教学内容
教法
与
手段
学生
活动
5’
10’
10’
10
5’
引入
新课
例题
巩固练习
小结
作业
复习引入——（1）集合、元素的概念；
（2）这些 都表示什么集合。
我们怎样表示集合呢？这是我们这节课所研ห้องสมุดไป่ตู้的主要问题。
一、举法法
把集合的元素一一列举出来写在大括号内，这种表示集合的方法叫集合的列举法。
课题
1.1.2集合的表示法
课型
新授课
授课时间
1节课
教学目标
知识目标：学会集合的两种表示法，并能选择适当的方法表示集合。
能力目标：会用集合的两种表示法表示集合。
思想目标：培养学生对数学知识抽象表示的思维及能力，使之具有表述问题的数学思想。
教学重点
集合的两种表示法及应用
教学难点
学会用描述法表示集合
教学方法
注意：点集的代表元素必须表示成（x，y）.
（2）分析：偶数2，4，6，8，…观察这些数，它们可以写成 …
正偶数集合{x|x=2n，n∈N*}；
奇数集合{x|x=2n+1，n∈N}；
偶数集合{x|x=2n，n∈Z}.
练习：P 6 A
小结：（1）集合的两种表示法；（2）用描述法表示集合.
作业：练习册
投影
小结：用描述法表示集合的一般形式是{x|x的共有性质}，大括号内竖线左边为集合中元素的表示符号，竖线右边为集合中元素具有的共同性质。有时也可以不写竖线及左边部分。
例2：用描点法表示下列集合：
（1）函数y=2x图象上所有的点（x，y）组成的集合；
（2）所有正偶数组成的集合。
解：（1）函数 图象上所有的点 组成的集合用描述法表示为 ；
如：（1）北京市的世界文化遗产组成的集合，可表示为：
{北京故宫，颐和园，长城，天坛，周口店北京人遗址}
（2）小于5的所有正整数组成的集合，可表示为：
{1，2，3，4}
注意：集合中的元素具有无序性。如{4，3，2，1}等.
例1：用列举法表示下列集合：
（1）方程 的解集；
（2）方程 的解集。
解：（1）因为方程 的解是 ，