山东省临沭第二中学高中数学 11 正切函数的性质与图象导学案新人教A版必修4

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高中数学课时达标检测十一正切函数的性质与图象含解析新人教A版必修

课时达标检测（十一）正切函数的性质与图象一、选择题1．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8答案：D 2．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C3．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( ) A ．x ⎪⎪⎪ x ≤π4＋k π，k ∈Z B ．x ⎪⎪⎪ 2k π<x ≤2k π＋π4，k ∈Z C ．x ⎪⎪⎪ k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z D ．x ⎪⎪⎪ 2k π－π2<x ≤k π＋π4，k ∈Z 答案：C 4．下列图形分别是①y ＝|tan x |，②y ＝tan x ，③y ＝tan(－x )，④y ＝tan |x |在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内的大致图象，那么由a 到d 对应的函数关系式应是( )A ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③答案：D5．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称答案：B二、填空题6．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是________．答案： 37．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．答案：[－1,0)8．若直线x ＝k π2(|k |≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝________. 答案：14或－34三、解答题9．作出函数y ＝tan x ＋|tan x |的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．解：y ＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2tan x ，tan x ≥0，0，tan x <0.其图象如图所示，由图象可知，其定义域是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)；最小正周期T ＝π. 10．若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝1cos 2x＋2tan x ＋1的最值及相应的x 值．解：y ＝1cos 2x＋2tan x ＋1 ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]．故当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取最小值1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取最大值5.11．已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．解：∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1， f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，当tan x ＝－1即x ＝－π4时，f (x )有最小值1，π4时，f(x)有最大值5.当tan x＝1即x＝。

正切函数图象与性质导学案高一上学期数学人教A版

班级：______ 姓名：__________ 【章节】正切函数的图象与性质【学习目标】1.利用正切线画正切函数的图象，正切函数的性质及其应用；2.应用正切函数的性质解决有关三角函数问题．【重点】利用正切线画正切函数的图象，正切函数的性质及其应用．【难点】应用正切函数的性质解决有关三角函数问题．【课时】第1课时（共2课时）一、新知立论 1.正切函数的性质周期性：周期函数，最小正周期是奇偶性：奇函数，即()tan tan x x-=-．2..正切函数的图象正切函数tan y x =，x R ∈且2x k ππ≠+，k Z ∈图象：当()2x k k Z ππ<+∈且无限接近于2k ππ+时，tan x 无限增大，记作tan x →+∞（tan x 趋向于正无穷大）；当()2x k k Z ππ>-+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x 趋向于负无穷大）。

直线2x k ππ=+，k Z ∈为正切函数的定义域：值域：单调性：在开区间内，函数单调递增要点诠释：点,0()2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭是函数tan y x =，x R ∈，且2x k ππ≠+的对称中心，正切函数图象没有对称轴2、不能说正切函数在整个定义域上是增函数．3.正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质 1、定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k Zπωϕπ+≠+∈解得x ．2、值域：(),-∞+∞3、单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围．4、周期：T πω=二、例题精讲题型一：正切函数的定义域问题例1．π()tan 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数的定义域为（） A ．π|π,4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．π|2π,4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．π|π,4x x k k ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．{}|π,x x k k ≠∈Z 变式1．函数1tan y x =-的定义域为（）A ．,,4k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ B ．,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ．,,24k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦ D ．[,),42k k k Z ππππ++∈题型二：正切函数的对称性问题例2．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（） A ．最小正周期为π B ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．图像关于直线12x π=-成轴对称变式2．已知函数()tan 2f x x =，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，对称中心为1,0,2k k Zπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为π，对称中心为1,0,4k k Zπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为2π，对称中心为1,0,2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的最小正周期为2π，对称中心为1,0,4k k Zπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭题型三：正切函数的周期性问题例3．已知函数()tan (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则ω的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 变式3．函数()tan2xf x =是（）A ．周期为π的奇函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数题型四：正切函数的单调性问题例4．函数()ππtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（） A ．312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈ B ．314,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈ C ．31,22k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ，Z k ∈ D ．532,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ，Z k ∈ 变式4．已知函数1π()tan 24f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ (1)求()f x 的定义域和最小正周期； (2)求()f x 的单调区间．三、课堂练习1.函数y = ）A ．,,4k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ B ．,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ．,,24k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦ D ．[,),42k k k Z ππππ++∈2.若直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数tan y x ω=图象的对称中心为（）A ．,0,2k k Z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．(,0),k k Z ∈C ．,0,2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．(,0),k k Z π∈3.若()()tan 3n f n n N π*=∈，则(1)(2)(2019)f f f ++⋯+等于（）ABC ．0D ．4.已知函数1π()3tan()23f x x =-． (1)求()f x 的定义域和值域．(2)讨论()f x 的最小正周期和单调区间． (3)求()f x 的对称中心．。

高中数学正切函数的性质与图象(2)教案新人教A版

高中数学人教A 版精品教案集：正切函数的性质与图象（2）教学目的：知识目标：熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；能力目标：渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。

德育目标：培养认真学习的精神；教学重点：正切函数的图象和性质的运用。

教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题．授课类型：新授课教学模式：讲练结合教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。

2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。

二、讲解新课：例1：求下列函数的周期：（1）3tan 5y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ 答：T π=。

（2）tan 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 答：3T π=。

说明：函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T πω=．例2：求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。

解：由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ， ∴所求定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且，值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数，在区间()z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。

将tan y x =图象向右平移3π个单位，得到tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将 tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变），就得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的图象。

例3：用图象求函数y =解：由tan 0x 得 tan x ≥利用图象知，所求定义域为(),32k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，三、巩固与练习1．“t an 0x >”是“0x>”的既不充分也不必要条件。

2．与函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ D ） ()2A x π= ()2B x π=- ()4C x π= ()8D x π=3．函数y = (),24k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦． 4．函数2tan tan 1,2y x x x k k Z ππ⎛⎫=++≠+∈ ⎪⎝⎭的值域是 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 5．函数tan cot y x x =-的奇偶性是奇函数，周期是2π．四、小结：本节课学习了以下内容：正切函数的性质。

正切函数的图象与性质学案导学案课件

正切函数的性质与图象班级：组名：姓名：学习目标1、理解任意角的正切的定义，会利用单位圆中有向线段表示正切2、理解正切函数性质，学会正确作出正切函数的简图3、培养类比思维能力，欣赏（中心）对称美的能力学习重点掌握正切函数定义，正切函数图象与性质的简单应用。

学习难点正切函数性质的深刻理解及简单应用。

学习方法自主学习，合作探究自主学习（一）阅读教材（P 42-45）一、正切函数tan y x 的性质1、定义域：____________ _2、周期性：T =_______，由诱导公式___________可得3、奇偶性：由诱导公式tan()tan x x -=-，可得正切函数是________4、单调性：观察教材图1.4-8（Ⅰ）（Ⅱ），由正切的变化规律可以看出，再切函数在-22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数，又由正切函数的周期性可知___________ _________ 5、值域：_________二、利用正切线作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫⎛-2,2ππ的图象 y根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”。

合作学习x2π-2π例1、求函数tan()23y x ππ=+的定义域、周期和单调区间。

练习．求函数tan(2)3y x π=-的定义域、周期和单调区间。

例2利用正切函数的的单调性比较下列各组中两个正切值的大小。

（1） tan138︒与tan143︒ （2）13tan(-4π）与17tan(-5π）总结反思正切函数tan y x =的图像与性质1、定义域：____________ __2、值域：__________________3、周期：4、奇偶性：5、单调递增区间：。

山东省临沭第二中学高中数学 11 等比数列(1)学案新人教A版必修5

山东省临沭第二中学高一数学学科学案课题：等比数列(1)【学习目标】理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式。

【学习重点】等比数列的定义、通项公式的推导。

【学习难点】通项公式的初步应用【自主学习】请阅读教材48---52页的有关内容，完成下列问题1.给出下面4组数列①1,2,4,8，….②1，21，41，81，….③1,20 ,220,320,….④,0198.110000,0198.110000,0198.11000032⨯⨯⨯.0198.110000,0198.11000054⨯⨯ （1）上面的数列①，②，③, ④有什么共同特点？（2）对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2.等比数列的定义是什么？理解什么是公比？公比通常用什么表示？课堂练习：1中四个数列是等比数列吗？如果是，它们的公比分别是多少？。

3.什么是等比中项？4.等比数列的通项公式是什么？5.如何求等比数列的通项公式？课堂练习：数列①，②，③, ④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？【典型例题】例题1.自学课本例1（P50）。

课堂练习：1.习题2.4，A 组：第1题（P53）。

【基础题组】1.在等比数列{}n a 中，81=a ，644=a ，则公比q 为（）A.2B.3C.4D.82.在等比数列{}n a 中，,44=a 则642a a a 等于( )A.4B.8C.32D.643.在2与6之间插入n 个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为 ( ) A.n 3 B.n 31C.13+nD.23+n4.在等比数列}{n a 中，),0(109≠=+a a a a b a a =+2019，则10099a a +的值为（）A ．89a b B.9⎪⎭⎫ ⎝⎛a b C ．910a b D ．10⎪⎭⎫⎝⎛a b5.三个正数c b a ,,成等比数列，且,62=++c b a ,3lg lg lg =++c b a 则这三个正数为6.若数列{}n a 为等比数列，其中93,a a 是方程0432=++kx x 的两根，且,53)(75293=-+a a a a 则实数=k7.已知{}n a 为等比数列，,320,2423=+=a a a求{}n a 的通项公式。

山东省临沭第二中学高中数学 11 等比数列学案新人教A版必修5

山东省临沭第二中学高一数学学科学案课题：等比数列(1)【学习目标】理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式。

【学习重点】等比数列的定义、通项公式的推导。

【学习难点】通项公式的初步应用【自主学习】请阅读教材48---52页的有关内容，完成下列问题1.给出下面4组数列①1,2,4,8，….②1，21，41，81，….③1,20 ,220,320,….④,0198.110000,0198.110000,0198.11000032⨯⨯⨯.0198.110000,0198.11000054⨯⨯（1）上面的数列①，②，③, ④有什么共同特点？（2）对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2.等比数列的定义是什么？理解什么是公比？公比通常用什么表示？课堂练习：1中四个数列是等比数列吗？如果是，它们的公比分别是多少？。

课堂练习：1.习题2.4，A 组：第1题（P53）。

山东省临沭第二中学高中数学 10 正弦函数、余弦函数的性质(2)导学案新人教A版必修4

山东省临沭第二中学高一数学学科自学探究学案课题：正弦函数、余弦函数的性质（2）【目标导航】1.正确理解正弦函数、余弦函数的单调性、最大值与最小值的概念；2.会求三角函数的单调区间与最值。

【学习重点】正弦函数、余弦函数的单调性、最值，研究函数的思想方法【学习难点】利用三角函数的周期性来研究它们的单调性及最值。

【问题导学】（带着问题，研读教材，解决问题）[文本研读]复习：问题1：用五点作图法画出正、余弦函数的图象。

在前面我们学习函数时，一般研究函数的哪些性质？问题2：什么是周期函数？新知：（阅读教材P37~ P40，回答问题）问题3：对于周期函数，如果我们把握了它的一个周期内的情况，那么整个函数的情况也就把握了。

因此我们可以先在正弦函数的一个周期的区间上（如⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ）讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域。

画出正弦函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上的图象？由图可知，当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，；当x 由2π增大到23π时，曲线逐渐下降， .由正弦函数的周期性可知，正弦函数的单调性为：正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从增大到；在每一个闭区间上都是减函数，其值从减小到 .问题4：类似地，我们可以画出余弦函数在区间[]ππ,-上的图象？由图可知，当x 由π-增大到0时，曲线曲线逐渐上升，；当x 由0增大到π时，曲线逐渐下降，；由余弦函数的周期性可知，余弦函数的单调性为：余弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从增大到；在每一个闭区间上都是减函数，其值从减小到 .问题5：从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：正弦函数当且仅当=x 时取得最大值1，当且仅当=x 时取得最小值-1；余弦函数当且仅当=x 时取得最大值1，当且仅当=x 时取得最小值-1.[基础题组]下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？（1）R x x y ∈+=,1cos ；（2）R x x y ∈-=,2sin 3.2.不求值比较大小（1）76sin ______72sinππ（2）2cos ____1cos3.下列四个结论中，错误的是（）A. x y cos =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππk k 22,2)(Z k ∈上是减函数 B.x y cos =在区间]0,[π-上是增函数 C. x y cos =在第一象限内是减函数D. x y sin =和x y cos =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π上都是增函数4.下列区间中，函数x y sin =与x y cos =都是增函数的是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ2,235．求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos πx y 的单调递增区间。

高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象教案新人教A版必

正切函数的性质与图像一教材分析：《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展，是对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫。

一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述.但对正切函数，教材先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象. 主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的体现得更加全面. 在此也向学生进一步说明华罗庚先生的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数学的美无处不在，数学无处不美。

为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用《几何画板》自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

二教学目标（一）知识与技能目标：1.在对正切函数已有认知的基础上，理解正切函数的性质。

2.通过已知的性质，利用正切线，得到正切曲线。

3.根据正切曲线，完善正切函数的性质。

（二）过程与方法目标：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．（三）情感态度价值观目标在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三教学重点利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质.四教学难点正切函数的单调性和值域五学法与教法学生已基本掌握正切函数的定义、诱导公式等知识；基本掌握了从代数角度研究函数单调性、奇偶性、周期性的方法.但是由于该课涉及到的知识内容较多，特别是涉及到正切线时，学生会感到困难.我班学生有扎实的知识基础，学习的主动性和积极性也较高，已基本形成自主学习的习惯和能力.有合作学习的经验和氛围.因此学生学法为合作交流，教法为探究与发现式。

高中数学正切函数的性质与图象学案新人教A版必修

1．4.3 正切函数的性质与图象1．理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作法．2．能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题．基础梳理一、正切函数的性质1．正切函数的定义域和值域：定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域为R ．2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z，k ≠0)，最小正周期是π． 3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称． 4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内都是增函数．练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域为[－1，1]．思考应用1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝π4，x 2＝5π4，x 1<x 2，tan x 1＝tan x 2这与单调性的定义矛盾．对每一个k ∈Z，在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2内，函数单调递增．二、正切函数的图象1．根据正切函数y ＝tan x 的定义和周期，通过平移单位圆中的正切线来作出它在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象．2．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线．3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的简图．其中，三点为：⎝⎛⎭⎫－π4，－1，(0，0)，⎝⎛⎭⎫π4，1.二线为：x ＝－π2，x ＝π2.画图时，注意图象不能与直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)相交．思考应用2．你能求不等式tan x ≥3的解集吗？分析：本题可利用图象直观解决．解析：作正切函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的简图，观察图象，且由正切函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，tan π3＝ 3.∵tan x ≥ 3，即tan x ≥tanπ3，∴在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，不等式tan x ≥3的解集⎣⎡⎭⎫π3，π2，故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z)．自测自评1．函数y ＝tan 2x 的最小正周期是(C) A ．2π B ．π C.π2 D.π4解析：T ＝π2，故选C. 2．下列命题正确的是(C) A ．正切函数在定义域内是增函数 B ．正弦函数在定义域内是增函数 C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数，y ＝cos x 是减函数解析：正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数，可排除A 、B 、D ，故选C.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4的定义域是(D) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z. 4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1．基础提升1．函数y ＝lg tan x 的增区间是(B) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z) D ．(k π，k π＋π)(k ∈Z)解析：由tan x >0，得k π<x <k π＋π2(k ∈Z)．又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2上是增函数．∴函数y ＝lg tan x 的增区间是⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．故选B. 2．tan 600°的值是(D) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 解析：tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240° ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝ 3.3．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω为常数且ω＞0)的图象相交的相邻两点间的距离是(C)A ．π B.2πω C.πωD ．与a 值有关解析：利用图象，直线y ＝a 与函数y ＝tan ωx 的图象相交，相邻两点间的距离就是y ＝tanωx 的一个最小正周期，即为πω.故选C.4．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间为(C) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 5．方程tan x ＝－3(－π<x <π)的解集为(C) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，56π B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π，23πC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，23π D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫23π，53π巩固提高 6．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则(A) A ．f (0)>f (－1)>f (1) B ．f (0)>f (1)>f (－1) C ．f (1)>f (0)>f (－1) D ．f (－1)>f (0)>f (1) 解析：由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z 得 k π－3π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ， ∴f (－1)＜f (0)．又∵f (1)＝tan ⎝⎛⎭⎫1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫1－3π4， ∴1－3π4，－1，0∈⎝⎛⎭⎫－3π4，π4且1－3π4＜－1＜0，∴f (1)＜f (－1)＜f (0)，故选A. 7．函数f (x )＝tan 2xtan x的定义域为(A) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R且x ≠k π＋π2，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R且x ≠k π－π4，k ∈Z 8．利用正切函数图象解不等式． (1)tan x ≥－1； (2)tan 2x ≤－1.分析：本题可先作出y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象，然后由tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，并结合图象的升降(单调性)便可去掉法则“tan ”，从而建立自变量间的关系．解析：(1)因为tan x ≥－1，tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足条件的x 为：－π4≤x ＜π2，由正切函数的图象及周期性可知，满足此不等式的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .(2)在 ⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1.所以不等式tan 2x ≤－1的解集由不等式k π－π2＜2x ≤k π－π4，k ∈Z 确定．解得k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z.所以不等式tan 2x ≤－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z .9．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解析：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1.∵x ∈[－1，3]， ∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43；当x ＝－1时，f (x )max ＝233.(2)函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1的对称轴为x ＝－tan θ， ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴－π2<θ≤－π3或π4≤θ<π2，即θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.1．正切函数单调区间的求法：求y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，再由不等式k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2(k ∈Z)求得x 的范围即可． 2．比较大小问题：比较两个同名函数值的大小，应先保证自变量在同一单调区间内，再利用函数单调性比较大小．如果自变量不在同一单调区间内，则可用介值法比较大小．3．解简单的三角不等式：一般地，求解简单的三角不等式时，既可以用三角函数线，又可以用三角函数的图象，先得到一个周期内的解集，再加上周期的整数倍，即可得所求的解集．。

山东省临沭第二中学高中数学 9 正弦函数、余弦函数的

山东省临沭第二中学高一数学学科自学探究学案课题：正弦函数、余弦函数的性质（1）【目标导航】1.正确理解正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性；2.了解周期函数与最小正周期的意义。

【学习重点】求三角函数的最小正周期及判断函数的奇偶性。

【学习难点】求三角函数的最小正周期及判断函数的奇偶性。

【问题导学】（带着问题，研读教材，解决问题）[文本研读] （阅读教材P34~ P37，回答问题）复习：问题1：试写出诱导公式（一），从公式（一）中能反映出怎样的变化规律？新知：问题2：什么是周期函数和函数的最小正周期？问题3：根据上述定义，可以得出正弦函数是周期函数，；余弦函数是.问题4：如何根据周期函数的定义求例2中几个函数的周期？你能从例2的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？问题5：阅读P36~ P37，自主解决P37思考栏目中的问题，思考并回答下列问题：函数),sin(ϕω+=xAy0),cos(>+=ωϕωxAy的最小正周期是多少？问题6：如何判断函数的奇偶性？正弦函数、余弦函数具有奇偶性吗？如何判断它们的奇偶性？[基础题组]1.求出下列函数的周期2(1)sin ,3y x x R =∈; T = ;1(2)sin 4,2y x x R=∈; T =; 3(3)sin(3),26y x x R π=-∈; T = ;11(4)sin(),243y x x Rπ=+∈;T = ; 2.下列四个函数中为周期函数的是（）A.x y 3=B.x y 3=C.x y sin =D. x y 1=3.函数|sin |log )(21x x f =的最小正周期为（）A.π C.2πB.π2 D.4π4.函数)0(sin >=ωωx y 的最小正周期是2π，则=ω_________.5.函数|2cos |x y =的周期为_________.6.若函数)(x f 是以2π为周期的偶函数，,13=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf 求⎪⎭⎫ ⎝⎛-π617f 的值。

高中数学人教A版第一章三角函数正切函数的性质与图象导学案新必修_

7
π .
|ω|
( ) π
π
(3)正切函数在－＋kπ，＋kπ (k∈Z)上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调
2
2
减区间.
课时作业
一、选择题
( )π
3
1.函数 y＝tan x＋，x∈R 且 x≠ π＋kπ，k∈Z 的一个对称中心是( )
5
10
A.(0，0)
( ) π
B. ，0 5
( ) 4
( ] π
单调递减区间为－＋kπ，kπ (k∈Z)，周期为 π. 2
反思与感悟 (1)作出函数 y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数 y＝f(x)图象在 x 轴上方的部分；
5
②将函数 y＝f(x)图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折.
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可.
ππ 答案根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间(－， )上的图象.作法如下：
22 (1)作直角坐标系，并在直角坐标系 y 轴的左侧作单位圆. (2)把单位圆的右半圆分成 8 等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点(横坐标是一个周期的 8 等分点，纵坐标是相应的正切线的长度). (4)连线，得到如图①所示的图象.
3
33
2
π
3π
2π)，∴x＝0，，π， .故选 B.
2
2
5.比较大小：tan 1________tan 4.
答案＞
解析由正切函数的图象易知 tan 1＞0，
π tan 4＝tan(4－π)，而 0＜4－π＜1＜，
2
( ) π π

正切函数的性质与图象高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

正切函数的图象有无数个对称中心，包括图象与x轴的交点和渐近线与x轴的交点.正切函数没有对称轴.
观察正切曲线可知，正切函数在区间
,
上单调递增.由正切函数的周期性
可得,正切函数在每一个区间
k,
k
(k
Z)
上都单调递增.
当
x
,
时，
tan
x
在
(,
)
内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值.
①定义域：把“
x
”作为一个整体，令
x
k
(k
Z)
，可得
x
的取值
范围，即得函数的定义域.
②值域： (, ) .
③单调区间：（a）把“x ( 0) ”作为一个整体；（b） A 0(A 0) 时，函数的
单调性与
y
tan
x
x
k
,
k
Z
的单调性相同（反）；
（c）解不等式
k
x
k
(k
Z)
，得出
x
我们可以证明一下吗？
正切函数周期证明：
（1）当
k
是偶函数时，
tan
x
kπ
sin x cos x
kπ kπ
sin cos
x x
tan
x
；
（2）当
k
是奇函数时，
tan
x
kπ
sin x cos x
kπ kπ
sin cos
x x
tan
x
；
综上，有 tan x kπ tan x ，其中 x R ，且 x π mπ,m Z, k Z
tan
9 4
tan

人教A版高中数学选修正切函数的图象与性质导学案新课程新课标

§1.4.3 正切函数的图象与性质1.熟练运用正、余弦函数的图象与性质解题. .42451. 结合正、余弦函数的图象，求下列函数的定义域：（1）x x y cos 1sin -= （2）xx y sin 162-= （3）12sin 2+=x y2. 结合正、余弦函数的图象，求下列函数的值域（1）1cos 2+=x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,3ππx （2）)4sin(π+=x y x 为锐角3.判断下列函数奇偶性（1）)2cos(π+=x y （2）)23sin(x y -=π （3）x x y sin =二、新课导学※ 探索新知问题1. 回忆x y sin =图象的由来，你能通过单位圆的正切线作x y tan =,⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 的图象吗？问题2. 观察x y tan =的图象，类比,sin x y = x y cos =的性质，你能得到x y tan =的一些怎样性质？问题3. 正切函数在定义域内是增函数吗？问题4. 正切函数的对称轴，对称中心是什么？※ 典型例题例1：求)42tan(π-=x y 的定义域及周期变式训练：（1）求)42tan(1π-=x y 的定义域(2)、函数tan()(0)6y ax a π=+≠的周期为（）.A ．2a πB ．2a πC ．a πD ．a π例2、根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围： ①tan 0x >②tan 0x = ③tan 0x <④tan x >变式训练：1、求函数tan ||y x =的定义域与值域，并作图象.例3、求函数tan()26x y π=-的单调区间。

※ 动手试试1、tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数2、下列各式正确的是（）.A ．1317tan()tan()45ππ-<- B ．1317tan()tan()45ππ->- C ．1317tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定3、函数y = ）.A ．|22,2x k x k k ππππ⎧⎫≤<+∈⎨⎬⎩⎭B ．|22,2x k x k k ππππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭ {}C.|22,|2,2x k x k k x x k k Z ππππππ⎧⎫≤<+∈⋃=+∈⎨⎬⎩⎭D ．|222x k x k πππ⎧≤<+⎨⎩且}2,x k k Zππ≠+∈4、直线y a =(a 为常数)与正切曲线tan (y x ωω=为常数，且0)ω>相交的两相邻点间的距离为（）.A ．πB ．2πω C ．πω D ．与a 值有关三、小结反思（1）作正切曲线简图的方法：“三点两线”法，即)1,4(),1,4(),0,0(ππ-- 和直线2π-=x 及2π=x ，然后根据周期性左右两边扩展. （2）正切函数的定义域是},2|{z k k x x ∈+≠ππ，所以它的递增区间为z k k k ∈+-),2,2(ππππ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、函数x y π3tan =的最小正周期是（）A 、31B 、32C 、π6D 、π32、函数)4tan(x y -=π的定义域是（）A 、{R x x ∈|且4π-≠x }B 、{R x x ∈|且43π≠x }C 、{R x x ∈|且z k k x ∈-≠,4ππ}D 、{R x x ∈|且z k k x ∈+≠,43ππ}3、下列函数不等式中正确的是（）.A ．43tan tan 77ππ> B ．23tan tan 55ππ<C ． 1315tan()tan()78ππ-<-D ．1312tan()tan()45ππ-<-4、在下列函数中，同时满足：①在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是（）. A ．tan y x = B ．cos y x =C ．tan 2xy = D ．tan y x =-5、函数οοο310cos ,136sin ,224tan 的大小关系是（用不等号连接）： .6、画出|tan |x y =的图象，并指出定义域、值域、最小正周期、单调区间.7、确定函数)23tan(x y -=π的奇偶性和单调区间.8、若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈6,0πα,试比较 tan(sin ).tan(tan ),tan(cos )ααα的大小.。

高中数学 11 正切函数的性质与图象导学案新人教A版必修4 学案

某某省某某第二中学高一数学学科自学探究学案课题：正切函数的性质与图象【目标导航】1.正确理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等有关性质；2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图像。

【学习重点】正切函数的性质与图象。

【学习难点】利用正切线研究正切函数的单调性及值域。

【问题导学】（带着问题，研读教材，解决问题）[文本研读] （阅读教材P42~ P45，回答问题）复习：问题1：在前面的学习中，我们是如何作出正弦函数、余弦函数图象的？从哪些方面研究了正弦函数、余弦函数的性质？新知：问题2：你能类比研究正、余弦函数的方法研究正切函数的周期性吗？问题3：你能类比研究正、余弦函数的方法研究正切函数的奇偶性吗？问题4：你如何研究正切函数的单调性？能不能说正切函数在定义域上是增函数？为什么？问题5：正切函数在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππk k 2,2，Z k ∈内有没有最大值与最小值？它的值域是什么？问题6：如何利用正切线画出正切函数的图象？进而你能从正切函数的图象出发，讨论它的性质吗？[基础题组]1.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4tan πx y 的定义域是（） A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≠R x x x ,4|π C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x ,4|ππ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠R x x x ,4|π D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x ,43|ππ 2.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠=Z k k x x y ,2tan ππ在定义域上的单调性为（） A.在整个定义域上为增函数B.在整个定义域上为减函数C. 在每一个开区间)(2,2Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ上为增函数D.在每一个开区间)(22,22Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ上为减函数3.与函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan πx y 的图象不相交的一条直线是（） A.2π=x B.2π-=x C.4π=x D.8π=x4.下列各式中正确的是（） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ517tan 413tan C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ517tan 413tan B.⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ517tan 413tan 定 ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≤≤-=0,44tan 1x x x y ππ的值域是（）A.[]1,1-B.]()[∞+-∞-,11,C.](1,∞-D.)[∞+-,16.函数x y tan 1-=的定义域是 .7.函数x x x f tan 1tan )(-=是函数。

高中数学正切函数的图象与性质、余切函数的图象性质教案新人教A版必修1

第三十五教时教材：（续）正切函数的图象与性质、余切函数的图象性质（《教学与测试》60课）目的：巩固正切函数的图象与性质，使学生能逐步养成熟练技巧，同时介绍余切函数的图象与性质。

过程：一、复习正切函数的图象与性质（略）二、处理《教学与测试》P125第60课例一、用图象解不等式3tan ≥x解：利用图象知，所求解为z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2,3ππππ 亦可利用单位圆求解。

例二、求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

解：由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ， ∴ 所求定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数。

在区间()z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。

例三、作出函数()π2,0,tan 1tan 2∈+=x xx y 且23,2ππ≠x 的简图。

解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈==+=23,2,sin 2,232,0,sin sec tan tan 1tan 2x x x x x x x x y三、余切函数的图象及其性质（要求学生了解）⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2tan 2tan cot ππx x x y ——即将x y tan =的图象，向左平移2π个单位，再以x 轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象。

定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且值域：R ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-∈πππ,2时0<y周期：π=T 奇偶性：奇函数单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减。

二、求下列函数的定义域1、1tan cot -=x xy 2、x x y csc cot ⋅=解：1、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒+≠≠+≠+≤<⇒+≠≠≠-≥z k k k k k k x k x k x k x k k x k x x x ,2,44,242201tan 0cot ππππππππππππππππππ 2、{}⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇒≠≤≤≠≥≥轴括第一象限或第四象限包或y k x x x k x x x ππ0csc 0cot 0csc 0cotz k k k k k x ∈-⋃+∈∴)2,22[]22,2(ππππππ四、作业：《教学与测试》 P126练习，全部中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

学高中数学三角函数三角函数的图象与性质正切函数的性质与图象教师用书教案新人教A版必修

１．４．３正切函数的性质与图象学习目标核心素养１．能画出正切函数的图象．（重点）２．掌握正切函数的性质．（重点、难点）３．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．（易混点）１．通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养.２．通过对正切函数性质的应用，提升学生数学运算素养.正切函数的图象与性质解析式y＝tan x图象定义域错误!值域R周期π奇偶性奇函数对称中心错误!，k∈Z单调性在开区间错误!，k∈Z内都是增函数[提示] 不是，在错误!中，当k为偶数时，在函数图象上，当k为奇数时，不在函数图象上．１．函数f（x）＝tan错误!的单调增区间为（）Ａ．错误!，k∈ZＢ．错误!，k∈ZＣ．错误!，k∈ZＤ．错误!，k∈ZC[令kπ—错误!＜x＋错误!＜kπ＋错误!（k∈Z）得kπ—错误!＜x＜kπ＋错误!（k∈Z），故单调增区间为错误!（k∈Z）．]２．函数y＝tan错误!的定义域为．错误![因为２x—错误!≠kπ＋错误!，k∈Z，所以x≠错误!＋错误!，k∈Z，所以函数y＝tan错误!的定义域为错误!.]３．函数y＝tan ３x的最小正周期是．错误![函数y＝tan ３x的最小正周期是错误!.]４．函数y＝tan错误!的对称中心是．错误!（k∈Z）[令x—错误!＝错误!（k∈Z）得x＝错误!＋错误!（k∈Z），∴对称中心为错误!（k∈Z）．]有关正切函数的定义域、值域问题【例１】Ａ．（—１,１）Ｂ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）Ｃ．（—∞，１）Ｄ．（—１，＋∞）（２）求下列函数的定义域：１y＝错误!；２y＝lg（错误!—tan x）．思路点拨：（１）错误!→错误!（２）１中注意分母不为零且y＝tan x本身的定义域；２中注意对数大于零⇒从而得到定义域．（１）B[当—错误!＜x＜0时，—１＜tan x＜0，∴错误!＜—１；当0＜x＜错误!时，0＜tan x＜１，∴错误!＞１．即当x∈错误!∪错误!时，函数y＝错误!的值域是（—∞，—１）∪（１，＋∞）．]（２）[解] １要使函数y＝错误!有意义，需使错误!所以函数的定义域为错误!.２因为错误!—tan x＞0，所以tan x＜错误!.又因为tan x＝错误!时，x＝错误!＋kπ（k∈Z），根据正切函数图象，得kπ—错误!＜x＜kπ＋错误!（k∈Z），所以函数的定义域是错误!.１．求正切函数定义域的方法（１）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x有意义，即x≠错误!＋kπ，k∈Z.（２）求正切型函数y＝A tan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋错误!，k∈Z，解得x.２．解形如tan x＞a的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．错误!１．求函数y＝错误!＋lg（１—tan x）的定义域．[解] 要使函数y＝错误!＋lg（１—tan x）有意义，则错误!即—１≤tan x＜１．当x∈错误!上满足上述不等式的x的取值范围是错误!.又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为错误!.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性的周期为．（２）已知函数y＝tan错误!，则该函数图象的对称中心坐标为．（３）判断下列函数的奇偶性：１y＝３x tan ２x—２x４；２y＝cos错误!＋tan x.思路点拨：（１）形如y＝A tan（ωx＋φ）（Aω≠0）的周期T＝错误!，也可以用定义法求周期．（２）形如y＝A tan（ωx＋φ）（Aω≠0）的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝错误!，k∈Z求出．（３）先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f（—x）与f（x）的关系．（１）错误!（２）错误!（k∈Z）[（１）法一：（定义法）∵tan错误!＝tan错误!，即tan错误!＝tan错误!，∴f（x）＝tan错误!的周期是错误!.法二：（公式法）f（x）＝tan错误!的周期T＝错误!.（２）由x—错误!＝错误!（k∈Z）得x＝错误!＋错误!（k∈Z），所以图象的对称中心坐标为错误!，k∈Z.]（３）[解] １定义域为错误!，关于原点对称，又f（—x）＝３（—x）tan ２（—x）—２（—x）４＝３x tan ２x—２x４＝f（x），所以它是偶函数．２定义域为错误!，关于原点对称，y＝cos错误!＋tan x＝sin x＋tan x，又f（—x）＝sin（—x）＋tan（—x）＝—sin x—tan x＝—f（x），所以它是奇函数．１．函数f（x）＝A tan（ωx＋φ）周期的求解方法．（１）定义法．（２）公式法：对于函数f（x）＝A tan（ωx＋φ）的最小正周期T＝错误!.（３）观察法（或图象法）：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．２．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f（—x）与f（x）的关系．提醒：y＝tan x，x≠kπ＋错误!（k∈Z）的对称中心坐标为错误!，k∈Z.错误!２．判断下列函数的奇偶性：（１）f（x）＝错误!；（２）f（x）＝tan错误!＋tan错误!.[解] （１）由错误!得f（x）的定义域为错误!，不关于原点对称，所以函数f（x）既不是偶函数，也不是奇函数．（２）函数定义域为错误!，关于原点对称，又f（—x）＝tan错误!＋tan错误!＝—tan错误!—tan错误!＝—f（x），所以函数是奇函数.正切函数单调性的应用[探究问题]１．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋错误!（k∈Z）隔开，所以它的单调区间只在错误!（k∈Z）内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x１＝错误!，x２＝错误!π，x１<x２，但tan x１＝tan x２.２．如果让你比较tan错误!与tan错误!的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例３】（１）不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：１tan 错误!与tan错误!；２tan错误!与tan错误!.（２）求函数y＝３tan错误!的单调区间．思路点拨：（１）错误!→错误!（２）错误!→→错误![解] （１）１因为tan错误!＝tan错误!，tan错误!＝tan错误!，又0＜错误!＜错误!＜错误!，y＝tan x在错误!内单调递增，所以tan错误!＜tan错误!，即tan错误!＜tan错误!.２因为tan错误!＝—tan错误!，tan错误!＝—tan错误!，又0＜错误!＜错误!＜错误!，y＝tan x在错误!内单调递增，所以tan错误!＞tan错误!，所以—tan错误!＜—tan错误!，即tan错误!＜tan错误!.（２）y＝３tan错误!＝—３tan错误!，由—错误!＋kπ＜２x—错误!＜错误!＋kπ，k∈Z得，—错误!＋错误!π＜x＜错误!＋错误!π，k∈Z，所以y＝３tan错误!的减区间为错误!，k∈Z.１．将本例（２）中的函数改为“y＝３tan错误!”，结果又如何？[解] 由kπ—错误!<错误!x—错误!<kπ＋错误!（k∈Z），得２kπ—错误!<x<２kπ＋错误!π（k∈Z），∴函数y＝３tan错误!的单调递增区间是错误!（k∈Z）．２．将本例（２）中函数改为“y＝lg tan错误!”，结果又如何？[解] 因为函数y＝lg x在（0，＋∞）上为增函数，所以函数y＝lg tan x的单调递增区间就是函数y＝tan x（tan x＞0）的单调递增区间，令kπ＜２x—错误!＜kπ＋错误!（k∈Z），得错误!＋错误!＜x＜错误!＋错误!（k∈Z），故y＝lg tan错误!的增区间为错误!，k∈Z.１．求函数y＝A tan（ωx＋φ）（A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数）的单调区间的方法．（１）若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ—错误!＜ωx＋φ＜kπ＋错误!，k∈Z，解得x的范围即可．（２）若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan（ωx＋φ）转化为y＝A tan[—（—ωx—φ）]＝—A tan （—ωx—φ），即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．２．运用正切函数单调性比较大小的步骤．（１）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．（２）运用单调性比较大小关系．提醒：y＝A tan（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）只有增区间；y＝A tan（ωx＋φ）（A＜0，ω＞0）只有减区间．１．正切函数的图象正切函数有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋错误!，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝—错误!，x＝错误!，然后描出三个点（0,0），错误!，错误!，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．２．正切函数的性质（１）正切函数y＝tan x的定义域是错误!，值域是R.（２）正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝A tan（ωx＋φ）（Aω≠0）的周期为T＝错误!.（３）正切函数在错误!（k∈Z）上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．１．下列说法正确的是（）Ａ．正切函数的定义域和值域都是RＢ．正切函数在其定义域内是单调增函数Ｃ．函数y＝|tan x|与y＝tan x的周期都是πＤ．函数y＝tan|x|的最小正周期是错误!C[y＝tan x的定义域为错误!，所以A错；由正切函数图象可知B错；画出y＝tan x，y＝|tan x|和y＝tan|x|的图象可知C正确，D错误，因为y＝tan|x|不是周期函数．]２．在下列函数中同时满足：１在错误!上递增；２以２π为周期；３是奇函数的是（）Ａ．y＝tan xＢ．y＝cos xＣ．y＝tan错误!Ｄ．y＝—tan xC[A，D的周期为π，B中函数在错误!上递减，故选Ｃ．]３．函数y＝|tan x|在错误!上的单调减区间为．错误!和错误![如图，观察图象可知，y＝|tan x|在错误!上的单调减区间为错误!和错误!.]４．求函数y＝tan错误!的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] １由错误!—错误!≠kπ＋错误!，k∈Z，得x≠２kπ＋错误!，k∈Z，∴函数的定义域为错误!.２T＝错误!＝２π，∴函数的最小正周期为２π.３由kπ—错误!＜错误!—错误!＜kπ＋错误!，k∈Z，得２kπ—错误!＜x＜２kπ＋错误!，k∈Z，∴函数的单调递增区间为错误!，k∈Z.４由错误!—错误!＝错误!，k∈Z，得x＝kπ＋错误!，k∈Z，∴函数图象的对称中心是错误!，k∈Z.。

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