统计学：5方差分析
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统计学：5方差分析
5
48
35
59
2008年8月
统5.2计学单因素方差分析
STATISTICS (第三版)
(例题分析)
1. 提出假设。设不同行业投诉次数均值分别为
m1(零售业)、 m2(旅游业)、m3 (航空公司) 和m4
(家电制造业) ，提出的假设为
▪ H0 ：m1 m2 m3 m4 ▪ H1 ：m1 , m2 , m3 , m4不全相等
组间平方和
=
+
(SST)
(SSE)
(SSA)
7-9
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本原理(误差分解)
1. 误差的大小用均方(mean square)来表示，也 称为方差(variance)
平方和除以相应的自由度 总平方和(SST)的自由度为n-1； 组内平方和(SSE)的自由度为n-k ； 组间平方和(SSA)的自由度为k-1
2. 组间平方和占总平方和的比例记为R2 ,即
R2
组间平方和 总平方和
SSA SST
3. 其平方根R可以用来测量两个变量之间的关系强度
例题分析：R2=1456.609/4164.609=34.976%，表明行 业(分类变量)对投诉次数(数值变量)的影响效应占总效 应的34.976%。尽管并不高，但行业对投诉次数的影 响已经达到了统计上显著的程度。
5章 方差分析
检验或F检验，两个以上样本均数的比较只能用F检验。 2、回归方程的线性假设检验；
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
医学统计学
第五章 方差分析
王老五左脚踩在火炉上，右脚踏在 冰块上，统计学家就冷暖平均值而言,认 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ王老五挺舒服，按理说应该是很舒服 的。
方差分析的用途
1、检验两个或多个样本均数间的差异有无统计学意义； 包括成组设计、配伍设计、拉丁方设计、析因设
计、交叉设计等资料。
注意：两个样本均数的比较可以采用t检验、u
常用的变量变换
1.对数变换
2.平方根变换
轻度偏态、方差不齐 Poisson分布资料
用途
3.倒数变换 4.平方根反正弦变换
两端波动较大的资料 二项分布资料
1.对数变换：即取原始数据 x 的对数 y 作为
新数据来分析
y log x
当数据集中包含零值或太小的数值时：
y log(x k)
2.平方根变换：即取原始数据 x 的平方根 y
乙与丁
1.2450
5.9541
<0.001
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
医学统计学
第五章 方差分析
王老五左脚踩在火炉上，右脚踏在 冰块上，统计学家就冷暖平均值而言,认 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ王老五挺舒服，按理说应该是很舒服 的。
方差分析的用途
1、检验两个或多个样本均数间的差异有无统计学意义； 包括成组设计、配伍设计、拉丁方设计、析因设
计、交叉设计等资料。
注意：两个样本均数的比较可以采用t检验、u
常用的变量变换
1.对数变换
2.平方根变换
轻度偏态、方差不齐 Poisson分布资料
用途
3.倒数变换 4.平方根反正弦变换
两端波动较大的资料 二项分布资料
1.对数变换：即取原始数据 x 的对数 y 作为
新数据来分析
y log x
当数据集中包含零值或太小的数值时：
y log(x k)
2.平方根变换：即取原始数据 x 的平方根 y
乙与丁
1.2450
5.9541
<0.001
统计学方差分析
第5章 方差分析 5.4 有交互作用的双因素方差分析
学 部署重点高校 校
省属普通高校
省属高职学院
基 89 90 80 88 95 88 86 76 76 65 68 78 76 60 60
础 86 94 95 90 85 68 78 88 88 76 80 65 70 66 50
研 究
82
84
76
研 究
78
89
90
86
88
88
85
78
78
80
60
70
50
60
66
90 90 78 88 90 89 98 80 80 82 80 88 56 68 70
第5章 方差分析 5.4 有交互作用的双因素方差分析
Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: 评分
75
68
74
68
90
90
68
58
80
60
70
60
80 98 70 88 96 60 80 68 68 88 64 66 68 70 74
应 86 88 80 86 90 90 98 86 86 88 86 88 90 86 78
用 67 88 85 65 77 87 80 97 97 80 70 80 80 78 60
生统第五章方差分析
⑤-5.3 -4.3 -10.3 -5.3 -6.3 -6.3 -6.3 -6.3
xij xi.
-3 3 1 -1 2.5 -0.5 -3.5 1.5 2.5 -0.5 -3.5 1.5 0.5 1.5 1.5 -3.5 1 2 -4 1
SST=402.2 dft=19
SSt=301.2 dft=4
学习第三章时我们知道，样本方差是总体 方差的无偏估计值。即
S12,S22,Si2,,Sk2都是 2的无偏估计
统计学已证明，各
S
2 i
的合并均方 S e2（以
各处理内的自由度n-1为权的加权平均数）
也是σ2的无偏估计量，且估计的精确度更
高 。 很 容 易 推 证 处 理 内 均 方 MSe 就 是 各
21 .16
MS t
S
2 t
SSt dft
301 .2 4
75 .30
MS e
S
2 e
SSe dfe
101 .0 15
6.73
本研究目的就是想明确5种施肥处理对水
稻产量的效应是否存在显著差异。
三、F检验
（一）EMSe=σ2
方差分析的一个基本假定是要求各处理观 察值所在总体的方差相等。即
1 22 2k 22
处理间均 (xki.1方 x..2)是 (2n2)
的无估 偏计。
第5章方差分析
例题分析（续前）：
上述问题可以归结为一个假设检验问题，即检验 产品包装颜色对产品销售量是否有影响？ 令：µ1、µ2、µ3分别为红、蓝、黄三种颜色的产 品销售量的均值 若µ1、µ2、µ3不完全相等（存在显著差异）则说 明µ1、µ2、µ3来自三个不同的总体，表明包装颜 色对产品销售量有影响。
5.1.2 方差分析及其有关术语 一、方差分析的概念 二、方差分析的有关术语 三、方差分析的种类
一、方差分析的概念
方差分析是检验多个总体均值是否相等的一 种统计分析方法，它是通过检验各总体的均 值是否相等来判断分类型自变量对数值型因 变量是否有显著影响。 表面上方差分析是检验多个总体的均值是否 相等，但本质上它所研究的是分类型自变量 （品质变量）对数值型因变量的影响，如： 它们之间有没有关系，关系的密切程度等。 为了更好地方差分析的含义，我们通过下面 的例子来进行说明。
（续前）
方差分析的优点之二：增加了稳定性 由于方差分析将所有的样本资料结合在一起， 故而增加了分析结论的稳定性。 例如：30个样本，每一个样本中包括10个观 察单位（n=10)。如果采用t检验法，则在两 两检验中，一次只能研究2个样本和20个观察 单位，而在方差分析中，则可以把30个样本 和300个样本观察单位同时放在一起、结合进 行研究。 所以，方差分析是一种实用、有效的分析方 法。
5.1.5 方差分析中的F统计量
第5章方差分析
5.2.3 课堂练习：化肥种类对粮食产量的影响
3. 实例结果及分析 下图给出了各组的均值图。从图可以淸楚地看到不同的施肥类型对应的 不同的亩产量均值。可见，第一组的亩产最低，且与其他两组的亩产均 值相差较大，而第二组和第三组之间的亩产均值差异不大，这个结果和 多歌比较的结果非常一致。
5.3 多因素方差分析
其中，Q表示各部分对应的离差平方和。多因素方差分析比较Ｑ控１、Ｑ控２Ｑ控１Ｑ控２、Ｑ随、 Ｑ总占的比例，以此推断不同因素以及因素之间的交互作用是否给观测变量带来显著影响。
3. 软件使用方法
多因素方差分析仍然采用F检验，其零假设是H0：各因素不同水平下观测变量的均值无显著 差异。SPSS将自动计算F值，并依据F分布表给出相应的概率P值。我们可以根据相伴概率P 值和显著性水平α的大小关系来判断各因素的不同水平对观测变量是否产生了显著性影响。
5.2.3 课堂练习：化肥种类对粮食产量的影响
3. 实例结果及分析 下图给出了多重比较的结果，*表示该组均值差是显著的。因此，从表可 以看出，第一组和第二组、第三组的亩产量均值差是非常明显的，但是 第二组与第三组的亩产量均值差 却不是很明显。另外，还可以得到每组 之间均值差的标准误、置信区间等信息。
5.1.3 方差分析的基本假设
(1) 各样本的独立性。 即各组观察数据，是从相互独立的总体中抽取的。 (2) 要求所有观察值都是从正态总体中抽取且方差相等。 在实际应用中能够严格满足这些假定条件的客观现象是很少的，在社会 经济现象中更是如此。但一般应近似地符合上述要求。水平之间的方差 （也称为组间方差）与水平内部的方差（也称组内方差）之间的比值是 一个服从F分布的统计量：
统计学之方差分析
随机误差
方差分析中考虑了随机误差，即观测值与模型预 测值之间的差异。随机误差反映了实验误差和其 他未被模型考虑的因素。
假设检验
假设检验
在方差分析中，通常会提出关于自变量对因变量影响的假 设，然后通过统计检验来验证这些假设。
显著性检验
显著性检验用于判断自变量对因变量的影响是否显著。如 果检验结果显著，则说明自变量对因变量的影响不可忽视。
组内方差
组内方差反映了随机误差和其他未被模型考虑的因素对数据变异的影响。组内方差越大， 说明实验误差和其他未被控制的因素对结果的影响越大。
效应大小
效应大小
效应大小用于量化自变量对因变量的 影响程度。效应大小可以帮助我们了 解自变量对因变量的实际意义和重要 性。
效应量指标
效应量指标如Cohen's d和eta squared用于衡量效应大小。这些指 标提供了有关自变量影响大小的量化 信息，有助于我们更好地理解数据和 结果的解释。
数据的方差齐性检验
总结词
在进行方差分析之前，需要检验各组数 据的方差是否齐性，以确保各组数据具 有可比性。
VS
详细描述
方差齐性检验可以通过图形法、统计量和 非参数检验等方法进行。如果数据的方差 不齐，可以考虑采用适当的调整方法或非 参数检验等方法进行分析。
数据的独立性检验
总结词
在进行方差分析之前，需要检验各组数据是 否独立，以确保分析结果的可靠性。
方差分析中考虑了随机误差，即观测值与模型预 测值之间的差异。随机误差反映了实验误差和其 他未被模型考虑的因素。
假设检验
假设检验
在方差分析中，通常会提出关于自变量对因变量影响的假 设，然后通过统计检验来验证这些假设。
显著性检验
显著性检验用于判断自变量对因变量的影响是否显著。如 果检验结果显著，则说明自变量对因变量的影响不可忽视。
组内方差
组内方差反映了随机误差和其他未被模型考虑的因素对数据变异的影响。组内方差越大， 说明实验误差和其他未被控制的因素对结果的影响越大。
效应大小
效应大小
效应大小用于量化自变量对因变量的 影响程度。效应大小可以帮助我们了 解自变量对因变量的实际意义和重要 性。
效应量指标
效应量指标如Cohen's d和eta squared用于衡量效应大小。这些指 标提供了有关自变量影响大小的量化 信息，有助于我们更好地理解数据和 结果的解释。
数据的方差齐性检验
总结词
在进行方差分析之前，需要检验各组数 据的方差是否齐性，以确保各组数据具 有可比性。
VS
详细描述
方差齐性检验可以通过图形法、统计量和 非参数检验等方法进行。如果数据的方差 不齐，可以考虑采用适当的调整方法或非 参数检验等方法进行分析。
数据的独立性检验
总结词
在进行方差分析之前，需要检验各组数据是 否独立，以确保分析结果的可靠性。
统计学第5章 方差分析
水平项误差平方和SSA——所反映的是各水平 之间的差异，即各水平均值与总均值的误差平方 和。
SSA
i 1 j 1 k ni
x i x
2
ni ( xi x ) 2
i 1
k
SSA 5 (11 8.867) 2 6 (9 8.867) 2 4 (6 8.867) 2 55.733
若是不完全相等，我们就会想知道究竟是哪 一个或哪几个均值与其他均值不等，但方差分析 却无法回答这个问题。
此时必须采用另外一种方法——多重比较法
二、多重比较法的概念
多重比较法——是指通过多个总体均值之间 的配对比较，来进一步检验到底哪些均值之间存 在差异。
多重比较法包含种类繁多，如最小显著差异 法、q检验法等。这里我们重点介绍由R.Fisher提 出的最小显著差异法。
三、最小显著差异法的检验步骤
1、提出原假设 H 0：i j，H1：i j 2、计算检验统计量
x x
i
j
1 1 3、计算LSD LSD t / 2 (n k ) MSE ( ) ni n j
4、根据显著性水平α做出决策
若 xi x j LSD，则拒绝原假设； 若 xi x j LSD，则不拒绝原假设。
销售量 红色 玩具的颜色 蓝色 黄色
1 2 3 4 5 6
统计学5 多因素试验资料的方差分析课件
对于交互作用AB H0：因素A与因素B无交互效应 H1：因素A与因素B存在交互效应
（2）选择检验方法，计算检验统计量
析因设计方差分析计算表
（3）确定P值，做出推断结论
F < Fα（ν 1，ν 2）
P > 0.05
不拒绝H0，差异无统计学意义，尚不能 认为多个总体均数不等或不全相等。
F ≥ Fα（ν 1，ν 2）
20
Corrected Total
17.339
19
a. R Squared = .991 (Adjusted R Squared = .990)
Sig. .000 .000 .000 .332 .236
正交设计资料的方差分析
• 正交设计 • 正交设计表 • 分析步骤
正交设计
• 正交设计是利用一套规格化的正交表，将各个试 验因素、各水平之间的组合进行均匀搭配，合理 安排，是一种高效的、多因素试验设计方法。
• N 代表实验次数； • m 代表各因素水平； • k代表最高容许安排的试验因素及其效应数。
• 例如，L8(27)， L16(215)
正交设计表
L8(27)正交表
列
号
试验号 1 2 3 4 5 6 7
1
1111111
2
1112222
3
1221122
4
1222211
（2）选择检验方法，计算检验统计量
析因设计方差分析计算表
（3）确定P值，做出推断结论
F < Fα（ν 1，ν 2）
P > 0.05
不拒绝H0，差异无统计学意义，尚不能 认为多个总体均数不等或不全相等。
F ≥ Fα（ν 1，ν 2）
20
Corrected Total
17.339
19
a. R Squared = .991 (Adjusted R Squared = .990)
Sig. .000 .000 .000 .332 .236
正交设计资料的方差分析
• 正交设计 • 正交设计表 • 分析步骤
正交设计
• 正交设计是利用一套规格化的正交表，将各个试 验因素、各水平之间的组合进行均匀搭配，合理 安排，是一种高效的、多因素试验设计方法。
• N 代表实验次数； • m 代表各因素水平； • k代表最高容许安排的试验因素及其效应数。
• 例如，L8(27)， L16(215)
正交设计表
L8(27)正交表
列
号
试验号 1 2 3 4 5 6 7
1
1111111
2
1112222
3
1221122
4
1222211
管理统计学-第5章 方差分析
5.1.1 基本概念（待续）
• 因素：影响实验结果的条件，常用大写字母A、B、C、… 等表示
– 单因素实验：当研究中只考察一个因素 – 双因素（多因素）实验：同时研究两个或两个以上的因素
• 因素水平/水平：因素所处的某种特定状态或数量等级， 用代表该因素的字母加添足标表示，如A1、A2、…，B1、 B2、…
注：*表示在0.05水平上显著
例5.3 服务质量分析
•为了对几个行业的服务质量进行评价
– 在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的样本 – 记录了一年中消费者对总共23家服务企业投诉的次数
•试分析这四个行业的服务质量是否有显著差异？(＝0.05)
消费者对四个行业的投诉次数 观察值 (j) 1 2 3 4 5
• 不同的水平对结果有影响
– 组间方差中包含随机误差和系统误差 – 组间方差大于组内方差，二者比值就会大于1 – 当这个比值大到某种程度时，不同水平之间存在着显 著差异
例5.1 单因素四水平的试验
• 某饮料生产企业研制出一种新型饮料
– 饮料的颜色：橘黄色、粉色、绿色和无色透明 – 饮料的营养含量、味道、价格、包装相同 – 收集该饮料的销售情况的超级市场地理位置相似、经营规模相仿
表5-2 单因素方差总体Xij构成表
Xij的构成
μi （各方案的总体均值）
μ 总体均值 i=(μi－μ) 主效应
第5章 方差分析
构造检验的统计量(F 分布与拒绝域)
拒绝H0 不能拒绝H0
0
F
F(k-1,kn-k)
F 分布
F分布的取值范围是（0，+∞），其
平均值μ F =1。 用f(F)表示F分布的概率密度函数， 则其分布函数 F(Fα )为： F F ( F ) P ( F F ) f ( F ) d F 因而F分布右尾从Fα 到+∞的概率为：
0 .0 5 ( d f1 , d f 2 )
0 .0 1 ( d f1 , d f 2 )
若F F 0 . 0 5 ( d f 1 , d f 2 ) ，即P＞0.05，不能否定H0。
若 F 0 . 0 5 ( d f 1 , d f 2 ) F F 0 . 0 1 ( d f 1 , d f 2 ) ，即 0.01＜P≤0.05，否定H0，接受HA； 若 F F 0 . 0 1 ( d f , d f ) ，即P≤0.01，否定H0，接受HA。
12007.26 11793.96 213.3
1 2 SS t Ti C n 1 2 2 2 (123 .6 103 .2 111 .4 ) C 4 11897 .90 11793 .96 103 .94
SS e SS T SS t 213 .30 103 .94 109 .36
医学统计学：第五章-方差分析
2930.4211 22
MS F
P
1838.4555 133.2010
13.80 P<0.01
34
计算步骤
3． 确定 P 值，并做出统计推断
以 v1 3 和 v2 22 查附表 4 F 界值表，得
F0.01(3,22) 4.82 ， P 0.01，按 0.05
检验水准拒绝 H0 ，接受 H1 ，可认为 4 个
k
SS总＝i1
ni
(
j＝1
xij
x)2＝x2－（x）2 / n
总＝n 1
其中， n ni ， ni 为各组的样本含量，
xij 为第 i 个组第 j 个观察值。
12
2.组间变异、自由度
组间变异为各组样本均数( xi )与总均数( x )
差值的平方和，SS 组间反映了各组均数间的
变异程度：
组间变异＝①随机误差+②处理因素效应 ：
7
7
5515.3665
SS组内 SS 总 - SS 组间 8 4 4.75 8 765 5 1.35 6 6 5
2 9 3.40 2 1 1
32
计算步骤
总 n－1 26－1 25 组间 k 1 4 1 3
组内 n k 26 4 22
MS组间 SS组间 / 组间＝5515 .3665 / 3 1838.4555
14章-5 方差分析
用 i （ i = l , 2 ， … ，k）表示 k 个不同的处 理分组； 第 i 组的样本容量：ni， 总样本容量：n＝ n1+n2+n3 + …+nk； 用 Xij表示第 i 组的每个观察值（ j = 1 , 2 ， … ni) X i ：第 i 组的均值； X ：总均值
分配到各处理或对照组，减少了个 体间差异对研究结果的影响，比成 组设计更容易检验出处理因素间的 差别，提高了研究效率。
双因素方差分析的意义
把主要研究因素安排于数据表的上方，把区组因素安 排在数据表的左侧。 随机区组设计总变异： 处理组间变异 (1) (1) 与 (3) 比较 区组间变异 (2) 误差变异 (3) （2）与（3）比较 可以回答处理组间差别、区组间差别有无显著意义。 由于组内变异分成了区组间变异和误差变异，这样就 提高了检验效率。
组间均方：组间离差平方和的大小；
与自由度有关。
(3)组内变异
含义：每一组内个体与该组均数不同，
且各个体的观察值间亦不同。
内容：随机误差（含个体差异和测量误
差， 故组内变异又称误差变异。）
大小:用组内均方MS组内来表示。
SSe：处理组内每个观察值之间的差异来
源于同一总体内的个体变异，用组内离 差平方和 表示：
2.计算检验统计量
3.确定P值
分配到各处理或对照组，减少了个 体间差异对研究结果的影响，比成 组设计更容易检验出处理因素间的 差别，提高了研究效率。
双因素方差分析的意义
把主要研究因素安排于数据表的上方，把区组因素安 排在数据表的左侧。 随机区组设计总变异： 处理组间变异 (1) (1) 与 (3) 比较 区组间变异 (2) 误差变异 (3) （2）与（3）比较 可以回答处理组间差别、区组间差别有无显著意义。 由于组内变异分成了区组间变异和误差变异，这样就 提高了检验效率。
组间均方：组间离差平方和的大小；
与自由度有关。
(3)组内变异
含义：每一组内个体与该组均数不同，
且各个体的观察值间亦不同。
内容：随机误差（含个体差异和测量误
差， 故组内变异又称误差变异。）
大小:用组内均方MS组内来表示。
SSe：处理组内每个观察值之间的差异来
源于同一总体内的个体变异，用组内离 差平方和 表示：
2.计算检验统计量
3.确定P值
第 五 章 方差分析
医学统计学及其软件包
第 五 章 方差分析
上海第二医科大学 生物统计教研室
第一节 概论
方差分析（Analysis of Variance, 简记为：ANOVA) 的应用范围很广， 本章的方差分析主要用于检验计量 资料中两个或两个以上均数间差别 显著性的方法。
以一个实例说明方差分析的基 本思想和原理。
随机单位组设计方差分析
欲比较因素Ⅰ的K个水平的各变量均值, 同时控制另一个因素的作用。试验设计时,先 将受试对象按其它控制因素性质相同或相近者 组成单位组,每个单位组有K个受试对象,分别 随机分配至因素Ⅰ的K个水平上。这时每个水 平的受试对象不仅数量相同, 而且性质亦相同 或相近,就能缩小误差,提高实验效率。这样的 设计可将单位组亦看作一个因素,就成为二个 因素的设计
比较结果为三种剂量两两之间的差异都 有统计学意义。
───────────────────────
雌激素剂量(μ g/100g)
─────────────────
大白鼠种系 0.2
0.4
0.8
───────────────────────
A
106
116
145
B
42
68
115
C
70
111
133
D
42
63
87
───────────────────────
第 五 章 方差分析
上海第二医科大学 生物统计教研室
第一节 概论
方差分析（Analysis of Variance, 简记为：ANOVA) 的应用范围很广， 本章的方差分析主要用于检验计量 资料中两个或两个以上均数间差别 显著性的方法。
以一个实例说明方差分析的基 本思想和原理。
随机单位组设计方差分析
欲比较因素Ⅰ的K个水平的各变量均值, 同时控制另一个因素的作用。试验设计时,先 将受试对象按其它控制因素性质相同或相近者 组成单位组,每个单位组有K个受试对象,分别 随机分配至因素Ⅰ的K个水平上。这时每个水 平的受试对象不仅数量相同, 而且性质亦相同 或相近,就能缩小误差,提高实验效率。这样的 设计可将单位组亦看作一个因素,就成为二个 因素的设计
比较结果为三种剂量两两之间的差异都 有统计学意义。
───────────────────────
雌激素剂量(μ g/100g)
─────────────────
大白鼠种系 0.2
0.4
0.8
───────────────────────
A
106
116
145
B
42
68
115
C
70
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第5章 方差分析-正式课件
6
第一节 方差分析概述
（三）、 混合模型(mixed model) 在多因素试验中，若既包括固定效应的试验因素，又包
括随机效应的试验因素，则该试验属于混合模型。混合模型 在试验研究中经常采用。
【例1】某地区4个不同杂交组合的猪及其亲本，分布于5个猪场进行育肥 试验。这里猪品种的效应是固定的，而试验场所(猪场)效应是随机的。 【例2】随机采用三个蛋鸡品系研究三种饲料的饲喂效应的试验。这里蛋 鸡品系效应是随机的，而饲料效应是固定的。
12
第2节多样本的正态性检验和方差齐性检验
程序5-2 例5-1资料方差齐性检验的SAS程序
DATA EX5_2;
DO GROUP=1 TO 3;
DO N=1 TO源自文库12;
INPUT X@@;
OUTPUT;
END;
END;
CARDS;
30 27 35 35 29 33 32 36 26 41 33 31
15
第2节 均衡数据的方差分析
—普通方差分析
1、 ANOVA过程调用格式
PROC ANOVA 选项；
※※※
CLASS 变量名列表；
※※※
MODEL 因变量名列表=效应／选项； ※※※
MEANS 效应列表／选项；
TEST [H=效应列表] E=误差项；
在上述语句中，PROC ANOVA、CLASS和MODEL语句是必 需语句，其余语句则为可选择性语句。
第一节 方差分析概述
（三）、 混合模型(mixed model) 在多因素试验中，若既包括固定效应的试验因素，又包
括随机效应的试验因素，则该试验属于混合模型。混合模型 在试验研究中经常采用。
【例1】某地区4个不同杂交组合的猪及其亲本，分布于5个猪场进行育肥 试验。这里猪品种的效应是固定的，而试验场所(猪场)效应是随机的。 【例2】随机采用三个蛋鸡品系研究三种饲料的饲喂效应的试验。这里蛋 鸡品系效应是随机的，而饲料效应是固定的。
12
第2节多样本的正态性检验和方差齐性检验
程序5-2 例5-1资料方差齐性检验的SAS程序
DATA EX5_2;
DO GROUP=1 TO 3;
DO N=1 TO源自文库12;
INPUT X@@;
OUTPUT;
END;
END;
CARDS;
30 27 35 35 29 33 32 36 26 41 33 31
15
第2节 均衡数据的方差分析
—普通方差分析
1、 ANOVA过程调用格式
PROC ANOVA 选项；
※※※
CLASS 变量名列表；
※※※
MODEL 因变量名列表=效应／选项； ※※※
MEANS 效应列表／选项；
TEST [H=效应列表] E=误差项；
在上述语句中，PROC ANOVA、CLASS和MODEL语句是必 需语句，其余语句则为可选择性语句。
统计学教案习题05方差分析
第五章
方差分析
一、教学大纲要求
（一）掌握内容 1．方差分析基本思想
（1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。 （2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。 （3） 方差分析的应用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析
（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。 （二）熟悉内容
多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容
两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
二、教学内容精要
(一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想
方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。
2．分析三种变异
（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组
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7 - 12
2008年8月
统5.2计学单因素方差分析
STATISTICS (第三版)
(one-way analysis of variance)
1. 只考虑一个分类型自变量对数值型因变量的 影响
2. 分析步骤
提出假设 构造检验统计量 做出决策
7 - 13
2008年8月
统5.2计学单因素方差分析
f(X)
m1 m2 m3 ……= mk
X
7-6
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
若备择假设成立，即H1 ：mi (i=1,2,k)不全相等
自变量对因变量有显著影响
至少有一个总体的均值是不同的 3个样本分别来自均值不同的3个正态总体
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
1. 正态性(normality)。每个总体都应服从正态分布， 即对于因子的每一个水平，其观测值是来自正态 分布总体的简单随机样本
2. 方差齐性(homogeneity variance)。各个总体的方 差必须相同，对于分类变量的k个水平，有 12=22=…=k2
f(X)
X
m1 m2 m3
7-7
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本原理(误差分解)
1. 总误差——总平方和（SST)
▪ 反映全部观测数据的误差大小的平方和， ▪ 反映全部观测值的离散程度
2. 组内误差——组内平方和（SSE) ▪ 由于抽样的随机性造成的误差 ▪ 反映每个样本内数据之间的离散程度
3. 独立性(independence)。每个样本数据是来自因 子各水平的独立样本(该假定不满足对结果影响较 大)
7-5
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
如果原假设成立，即H0 ：m1=m2=……=mk
自变量对因变量没有显著影响
每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一正态总体
组间平方和
=
+
(SST)
(SSE)
(SSA)
7-9
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本原理(误差分解)
1. 误差的大小用均方(mean square)来表示，也 称为方差(variance)
平方和除以相应的自由度 总平方和(SST)的自由度为n-1； 组内平方和(SSE)的自由度为n-k ； 组间平方和(SSA)的自由度为k-1
3. 若原假设不成立，组间均方会大于组内均方， 它们之间的比值就会大于1
4. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水 平之间存在着显著差异，即自变量对因变量有 影响
7 - 11
2008年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
5.2 单因素方差分析
检验步骤 关系有多强？ 哪些均值之间有显著差异？
2. （形式上）检验多个总体均值是否相等 ▪ 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等
3. （本质上）研究分类型自变量对数值型因变量的影响 ▪ 一个或多个分类型自变量 ▪ 一个数值型因变量
4. 有单因素方差分析和双因素方差分析
涉及一个分类变量
7-4
涉及两个分类变量
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
统计学
ST管AT理IST者ICS层次水平的不同是否会导致评分的显著差异？ (第三版)
一家管理咨询公司为 高、中、初级管 理者提供人力资 源讲座。听完讲 座后随机抽取不 同层次管理者大 满意度评分，取 0.05 的 显 著 性 水 平，检验管理者 层次水平的不同 是否会导致评分 的显著差异？
高级 7 7 8 7 9
统计学
STATISTICS (第三版)
第ຫໍສະໝຸດ Baidu5 章 方差分析
5.1 方差分析的基本原理 5.2 单因素方差分析 5.3 双因素方差分析
7-1
2008年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
方差分析的基本思想和原理 单因素方差分析 多重比较 双因素方差分析的方法
7-2
2008年8月
2. 组内方差 MSE SSE
nk
3.
组间方差
MSA SSA k 1
7 - 10
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本原理(误差分解)
1. 判断原假设是否成立，就是判断组间方差与组 内方差是否有显著差异
2. 若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就 应该很接近，它们的比值就会接近1
3. 组间误差——组间平方和（SSA)
▪ 不同的水平（处理）影响所造成的误差 ▪ 反映不同水平样本之间数据的差异
7-8
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本原理(误差分解)
误差平方和的分解及其关系 总误差 = 随机误差 + 处理误差
总平方和
组内平方和
i1 j1
k
组间平方和 SSA ni (xi x)2 i 1
组内平方和 SSE k
ni
(xij xi )2
7 - 15
i1 j1
2008年8月
统5.2计学单因素方差分析
2008年8月
统5.2计学单因素方差分析
STATISTICS (第三版)
构造检验的统计量F
1. 计算各样本均值
ni
xij
xi
j 1
ni
k
2. 计算全部观测值的均值
ni xi
3. 计算各误差平方和
x i1 n
n n1 n2 ...... nk
总平方和
k ni
SST
(xij x)2
中级 8 9 8 10 9 10 8
初级 5 6 5 7 4 8
7-3
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
ST(A第什T三IS么版TIC)是S 方差分析(ANOVA)?(analysis of variance)
1. 方差分析的基本原理是在20世纪20年代由英国统计学家 Ronald A.Fisher在进行实验设计时为解释实验数据而首先 引入的
STATISTICS (第三版)
提出假设
1. 一般提法
▪ H0 ：m1 = m2 =…= mk
• 自变量对因变量没有显著影响
▪ H1 ：m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
• 自变量对因变量有显著影响
2. 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总 体的均值不相等，并不意味着所有的均值 都不相等
7 - 14