4.3节拉氏变换的基本性质
数学物理方法 拉氏变换
1 c j st (1)利用公式 f (t ) F (s)e ds c j 2 πj
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F ( s ) F1 ( s ) F2 ( s ) Fn ( s )
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
K2 Kn ( s p1 ) F (s) K1 ( s p1 ) s p s p 2 n
令 s = p1 方法2
求极限的方法
N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
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N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
2. 拉氏变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
简写 F (s) L f (t ) ， f (t ) L F (s)
-1
F ( s ) f (t )e st dt 0 1 c j st F ( s ) e d s f (t ) c j 2 πj
s 1
3
d K 21 [( s 1) 2 F ( s )] s 1 d [ s 4 ] 4 s 1 ds ds s
f (t ) 4 4e 3te
t
t
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小结 由F(s)求f(t) 的步骤： n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 N 0 (s) F (s) A D(s)
(2) f (t ) δ ( t )的象函数
1 L[ (t )] s d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s 2 d f ( t ) ' 推广：L[ ] s[ sF ( s) f (0 )] f (0 ) 2 dt 2 ' s F ( s) sf (0 ) f (0 )
拉氏变换详细解读
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
拉氏变换的基本性质.
• 主要内容
•线性（叠加） •原函数的微分与积分 •延时、 S域平移 •尺度变换 •初值、终值、卷积定理
• 重点：拉氏变换的基本性质 • 难点：基本性质公式的推导
一、线性（叠加）
若 f1(t) F1(s) f2(t) F2(s)
则
C1 f1 (t) C2 f2 (t) C1F1 (s) C2F2 (s) 其中：C1,C2为任意常
0
1 t f t est d t F s
s0
s
电容元件的s域模型
iC t C vC t
1 vC (t) C
t
ic ( )d
设LiC (t) IC (s), LvC (t) VC (s)
VC
(s)
1 C
IC (s) s
iC (1) (0 s
)
1 sC
IC (s)
1 s
卷积
定理
f1(t). f2 (t)
F1(s).F2 (s)
1
2j
F1(s) *
F2
(s)
思考题
• 1. 拉氏变换的基本性质及其变换公式？
数
例：
f (t) cos(0t)
1
e e j0t
j0t
F s f (t)es tdt
2
0
e-at 1
sa
F(s)
1 2
s
1 j0
s
1 j0
s2
s 02
f(t)=sin(ot
)
1 2j
e e j0t
j0t
F(s)
1 2j
s
1 j0
s1 j0s20 02二．原函数微分
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1.拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定理一般形式初始条件为0 时一般形式3积分定理初始条件为0 时4延缓定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[ af (t )] aF ( s)L[ f1 (t) f 2 (t)] F1 ( s) F2 (s)df (t )] sF (s) f ( 0)L[dt2d f (t ) 2L[] s F ( s) sf (0) f （0）d n f (t )nnn k ( k 1)k 1sL dt n s F ( s) f (0)f ( k 1 ) (t) d k 1 f (t )dt k 1L[d n f (t )] s n F (s)dt nL[ f (t)dt]F (s) [ f (t )dt]t 0s sL[ f (t)(dt)2]F (s) [ f (t)dt]t 0 [ f (t )(dt)2 ]t 0s2 s2 s共 n个n共 n个nF (s) 1 nL[ f (t)(dt) ] [ f (t )(dt) ]t 0s n k 1 s n k 1共n个L[ f (t )(dt) n ] F( s)s nL[ f ( t T )1(t T )] e Ts F (s)L[ f (t) e at ] F ( s a)lim f (t) lim sF (s)t s 0lim f (t) lim sF (s)t 0 st) f2 ( )d ]t)d ] F1( s) F2 (s) L[ f1(t L[ f1(t) f2 (t0 012．常用函数的拉氏变换和序号拉氏变换E(s) 1 112 1 e Ts13s4 1 s25 1 s361 s n 17 1s a8 1 2( s a)9 as(s a)10 b a(s a)(s b) 11 s 2 212ss2 213( s2 2a)14 s a 2 2(s a)1 z变换表时间函数e(t)δ(t)T (t )(t nT )n 01(t )tt 22t nn!e atte at1 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos tZ 变换 E(z)1zz 1zz 1Tz(z 1) 2T 2 z( z 1)2(z 1)3lim(1)n nzn ( aT)a 0 n! a z ezaTz eTze aT( z e aT ) 2(1 e aT )z( z 1)(z e aT )z zz e aT z e bTzsin Tz2 2z cos T 1z2z( z cos T )2 zcos T 1ze aT sin Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz2 ze aT cos Tz2 2ze aT cos T e 2aTz15 s (1/ T ) ln a a t / T z a23．用表法行拉氏反用表法行拉氏反的关在于将式行部分分式张开，尔后逐表行反。
拉氏变换.doc
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
拉氏变换xin
图象沿t 轴向右平移距离而得。 这个性质表明，时间函数延迟 τ 的拉氏变换等于它的
象函数乘以指数因子 e s 。
28
0, t τ 的拉氏变换。 例 求函数 u (t τ ) 1, t τ
解 由于
f (t ) Mect ,0 t
成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级 的，c为它的增长指数）。
7
则 f (t ) 的拉氏变换
F ( s)
0
f (t ) e st dt
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在
0
sin t 1 dt d s arctan s 0 s2 1 t
0
2
22
d．位移性质 若 L f (t ) F (s) ，则有
L e at f (t ) F (s a)
证
(Re(s a) c)
0
L e f (t ) 其中 Nhomakorabea 0
f (t ) dt F ( s )d s 0 t
F (s) L f (t )
这一公式，常用来计算某些积分。
21
例 求积分
0
sin t dt t
1 L sin t 2 s 1
解 因为
且
所以
0
f (t ) dt F ( s )d s 0 t
1 sinh t L L sinh t ds 2 ds s s s 1 t
1 s 1 ln 2 s 1
拉氏变换
3、积分定理
f(t)先积分再取拉氏变换，由积分定理有：
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) L [ f ( t )dt ] s s
1 f 式中， 0 f t dt在0时刻的初始值。
( 1 ) ( 2 ) F ( s ) f ( 0 ) f (0 ) 2 L [ f ( t )( dt ) ] 2 2 s s s
X ( s)
0 例1、求指数函数 f ( t ) at e
(t 0 ) (t 0 )
的拉氏变换 F( s ) 。
变量置换法
解：由拉氏变换的定义式有：
F ( s ) f ( t )e
0
st
dt e e
0
at st
dt e
0
( a s )t
L [ ( t )] 1
常用函数的Laplace变换见附表-1。
三、拉氏变换的基本定理
1、性线定理
（1）比例性
L[ af ( t )] aF( s )
（2）叠加性
L[ f1 ( t ) f 2 ( t )] F1 ( s ) F2 ( s )
2、微分定理
原函数的导数的拉氏变换为： 一阶导：
例（1）f(t)的拉氏变换为 F ( s ) ，应用终值定理求f(t)的 s( s 5 ) 终值。 1 （2）已知F ( s ) ( s 1 ) ，应用初值定理求 f ( 0 )和f ( 0 ) 的值。
2
5
解：（1）由终值定理有：
lim f (t ) lim s F ( s) lim s
于是：
st st st 0 ( te )dt 0 e dt 0 ste dt
拉氏变换详细解读
φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
4-3拉氏变换法分析电路,系统函数
解：
E2
i L (t )
E − 1 sR1
I L 0 ( s)
sL
I L ( s)
R0
R2
E2 sR2
＋ ＋
＋ E1 －
L
R0
E1 E2 + sR1 sR2 1 I L0 ( s ) = ⋅ 1 1 1 sL + + sL R0 R2 1 E1 E2 ( + ) s R1 R2 = R0 + R2 sL +1 R0 R2
VL ( s) iL (0− ) + 并联 I L ( s) = sL s
SL
I L (S ) SL
LiL (0 − ) ＋ －
I L (S )串 ＋V NhomakorabeaL (S )
并 － ＋
iL (0 − ) S
V L (S )
－
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统— 信号与系统—signals and systems
1 2 s vC ( s ) = = E( − ) 1 + RCs s s + 1/ RC
− RCE
⇒ vc (t ) = E − 2 Ee
−
t RC
, (t ≥ 0)
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统— 信号与系统—signals and systems
②
dvR (t ) de(t ) 1 1 ∫ vR (t )dt + vR (t ) = e(t ) ⇒ RC vR (t ) + dt = dt RC
Li ′(0+ ) = vL (0+ ) = E ⇒ i ′(0+ ) = 2
信号与系统4.3拉氏变换的性质
齿波的拉氏变换。
解: 因为 f (t) E t[u(t) u(t T )] T
f (t) E
0
T
f (t) E t (t) E u(t) E t (t T ) E u(t T )
T
T
T
T
=0 E u(t) E T (t T ) E u(t T )
T
T
T
t
E u(t) E (t T ) E u(t T )
T
T2
2
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
E(2 )
[
s2
T
( 2
)2
sT
]e 2
T
T
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。
f (t)
E
…
0
TT
2T
t
2
图4.4 例 4―4图
解: 在例4―3中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即
F (s)
E T
[1
(1 sT )esT s2
]
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
6. 时域积分
若
L[ f (t)] F(s)
则
t f ( )d 1 F(s)
0
s
t
f
( )d
1 F(s) s
1 s
f
(1) (0 )
f (1) (0 )
t
f ( )d t0
0
f ( )d
信号f(t)·u(t)既延时,又展缩时
拉氏变换的基本性质
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。
拉氏变换 (3)
拉氏变换1. 简介拉氏变换（Laplace Transform）是一种用于解决常微分方程（ODE）的数学工具。
它将一个随时间变化的函数转换为一个复数域中的函数，使得常微分方程可以转化为代数方程来求解。
通过拉氏变换，我们可以将时域中的问题转化到频域中，从而简化问题的分析和求解。
拉氏变换的应用非常广泛，在控制系统、通信系统、信号处理等领域中起着重要的作用。
通过拉氏变换，我们可以分析系统的稳定性、阻尼特性、频率响应等性能指标。
2. 定义与性质拉氏变换是对一个函数f(t)的积分变换。
给定一个函数f(t)和复数s，拉氏变换可以用如下公式来表示：L{f(t)} = F(s) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e是自然常数，s是复变量。
拉氏变换有许多重要的性质。
以下是一些常见的性质：•线性性质：即拉氏变换满足线性运算。
对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有 L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + b G(s)。
•积分性质：对于函数f(t)的导数，有L{f’(t)} = sF(s) - f(0)，其中f(0)为f(t)在t=0时的初始值。
类似地，对于f(t)的n阶导数，有 L{f^(n)(t)} = s^n F(s) - s^(n-1) f(0) -s^(n-2) f’(0) - … - f^(n-1)(0)。
•初值定理：初值定理指出，当s趋于无穷大时，拉氏变换是函数f(t)的初始值的一阶逼近。
即lim(s→∞) sF(s) = f(0)。
•终值定理：终值定理指出，当s趋于零时，拉氏变换是函数f(t)的稳态值的一阶逼近。
即lim(s→0) sF(s) =lim(t→∞) f(t)。
3. 拉氏变换的应用3.1. 控制系统在控制系统中，拉氏变换被广泛应用于系统的稳定性分析、阻尼特性分析等。
通过将系统的微分方程转化为拉氏域的代数方程，可以求解系统的传递函数，从而分析系统的频率响应和稳定性。
拉氏变换定义及性质
拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
2.5.1 拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间t为自变量的实变函数，它的定义域是，，那么的的拉普拉斯变换定义为是复变数，（σ、ω均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称为的象函数，而称为的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。
1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图所示，它表示在时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为当，则。
所以：（）2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则由欧拉公式，有所以）同理）4.单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
其幅值和作用时间的乘积等于1，即。
如图所示。
单位脉冲函数的数学表达式为其拉氏变换式为此处因为时，，故积分限变为。
2.5.3 拉氏变换的主要定理根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。
1.叠加定理拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性。
（1）齐次性设，则（）式中——常数。
（2）叠加性设,，则（）两者结合起来，就有这说明拉氏变换是线性变换。
2.微分定理设则式中——函数在时刻的值，即初始值。
同样，可得的各阶导数的拉氏变换是（）式中,，…——原函数各阶导数在时刻的值。
拉氏变换
D(S)=0的根有三种情况： 一、不等实根
Kj Kn K1 K2 N (S ) F (S ) D( S ) S S1 S S 2 S Sj S Sn
Kn的系数如何确定？
方法一：
(S S j ) Kn K1 K2 N (S ) (S S j ) (S S j ) K j (S S j ) D( S ) S S1 S S2 (S Sn ) K j (S S j ) N (S ) D( S )
L f t F S ,
L f t F S ,
L[ f (t t0 ) 1(t t0 )] F ( S )e St0
5、初值定理与终值定理
f (0 ) lim f (t ) lim SF ( S )
t 0 S
f (t ) 3e 2t 7e 3t
2、当D(s)=0有m个相同实根p1时
k1m k1m 1 k11 N ( s) F (s) 2 m D( s) s p1 ( s p1 ) ( s p1 )
N (s) 其中：k11 (s p1 ) D(s)
其中： k 2 (s 3) 所以:
4s 5 ( s 2) 2 ( s 3)
s 3
4s 5 ( s 2) 2
7
s 3
7 3 7 F (s) 2 s 2 ( s 2) s3
f (t ) 7e 2t 3te 2t 7e 3t
3、当D(s)=0有共轭复根 p1, 2 j 时
k1 k2 F ( s) s ( j ) s ( j ) f (t ) 2 | k1 | et cos( t 1 )
第四章 拉氏变换
e − ( s + a )t ∞
s+a
1 = 0 s+a
3. 幂函数
L
t n ⋅ de− st Q t ⋅ e dt = −s ∞ ∞ ∞ 1 − st n n [t n] = t n ⋅ e−stdt = t ⋅ e−st − (− ) ⋅ e dt = 0 + n 0 s −s 0 0 s 即 [t n] = n [t n − 1]
L
= sF ( s ) − f (0− ) − at 的象函数。 例： 已知 f ( t ) = e u( t ) 求 f ′(t ) 的象函数。 − at 解法1： 解法 ： Q f ′( t ) = δ ( t ) − ae u( t ) ′( t )] = L[δ ( t ) − ae − at u( t )] 线性特性 1 − a ⋅ 1 Q L[ f s+a s 即 L[ f ′( t )] = s+a 解法2： 解法 ： QL[ f (t )] = 1 ∴L[ f ′( t )] = sF ( s ) − f (0− ) = s ⋅ 1 − 0 s+a s+a n 推广： 推广： d f ( t ) n n −1 L[ n ] = s F ( s ) − s ⋅ f (0− ) dt ( n −1) n− 2 (0− ) s − ⋅ f ′( 0 − ) − L − f
Li L ( 0 − ) – +
–
V L ( s ) = sLI L ( s ) − Li L ( 0 − )
+
VL(s)
1 t i (τ )dτ Q vC ( t ) = C −∞ C 1 t i (τ )dτ ] = 1 [ IC ( s ) ∴VC ( s ) = [ C C −∞ C s
积分变换第6讲拉氏变换的性质
s
d
t
0
f (t) e-std t t
L
f (t) t
即
L
f
(t) t
F(s)d s
s
一般地,有L
f (t) t n
d 1s
sd s
s
s
F(s)d s
n次
12
例4 求函数
积分变换
第6讲
1
拉氏变换的性质
本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏变换 的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在 这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉 氏变换存在定理中的条件, 并且把这些函数的增 长指数都统一地取为c. 在证明性质时不再重述这 些条件
2
1. 线性性质
若a,b是常数
f1(t)
f(t)
E
E
OT
T
t
2
O
Tt
f2(t) E
2
O
TT
t
2
24
由前图可知, f(t)=f1(t)+f2(t), 所以
L [ f (t)] L [ f1 (t )] L [ f2 (t)]
EL
si n
2
T
t u(t )
EL
2
sin
T
t
-
T 2
2s2 (s2 k 2 )2
-
s2
1
k
2
2s2 - s2 - k 2 (s2 k 2 )2
s2 - k2 (s2 k 2 )2
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中，直接计算（12.1）称（(Laplace)0<时，（P 作（例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。
解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰ 2020][0p a e p a dt e pa pt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，∞=-=-+=→→1(lim )0()0(lim )0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆。
上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。
例12.4 求指数函数()atf t e =（a 为常数）的拉氏变换。
解：()001[]at at pt p a tL e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即)(1][a p a p e L at >-=类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。
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在原点处不
包含冲激.于是
df st lim e dt 0 即lim sF ( s) f (0 ) 0 s 0 dt s
f (0 ) f (0 ) f (0 ) lim sF ( s)
s
LT
LT
snT
利用时移特性
F1 ( s)
利用无穷递减等比 a 级数求和 s 1 - q
1
f (t nT ) F1 ( s) e SnT
n 0 n 0
F1 ( s) 1 e ST
例1：求全波整流周期信号的拉氏变换（习题4-20）
f (t )
1
0
f 0 (t )
e
st 0
F ( s)
f (t )e at
F ( s a)
拉氏变换的基本性质（2） 1 s F 尺度变换 f (at) a a
初值定理
t 0
lim f (t ) f (0 ) lim SF ( s)
s
终值 定理
lim f (t ) f () lim SF ( s )
f (t ) f (t ) se st dt 0 0
lime st f (t ) f (o ) sF ( s )
t
f (t )是指数阶函数 lim e st f (t ) 0
t
df (t ) L[ ] sF ( s ) f (0 )可以推广到高阶 dt (见p194,4-29和4－30式）
T sin(t ) 0 t 2
T
2
0 t为其它值时
T 解 : f (t ) sin(t ) [u (t ) u (t )] 2
T ＝sin( t) u(t)-sin( t) u(t- ) 2
利用 sin( B) sin cos cos sin 2 和T T sin (t ) sin t 2 T T f (t ) sin tu (t ) sin( (t )u (t ) 2 2 T T L[ f (t )] L[sin tu (t ) sin (t )u (t )] 2 2 T s 2 (1 e 2 ) 2 s
2.时域积分特性 若 f (t ) F (s) 则
F ( s) F ( s) f ( )d 拉 : f ( )d 且 f ( )d s s s 0
t t 0
付 : f (t ) F ( j ), 则
求:
t
1 f ( )d F ( j ) F (0) ( ) j
0 n 0
St
dt
f (nT )e
n 0
nsT
抽样信号的拉氏变换可表示为S域级数
(二). 时域微ห้องสมุดไป่ตู้积分特性
df 1.若f (t ) F ( s ),则 sF ( s ) f (0 ) Re s 0 dt dn f n n 1 n2 ' n 1 和 n s F ( s ) s f (0 ) s f (0 ) f (0 ) dt s n F ( s ) s n r 1 f ( r ) (0 )
为什么微分的变换式里与f (0 )有关?
虽然 : L[ f (t )] L[ f (t )u (t )] d d 但L[ [ f (t )u (t )] 不一定和L[ f (t )]相等。 dt dt
设：f1 (t ) e u(t )
f1 (t )
at
f 2 (t )
1...t 0
r 0 n 1
证明:
L[ f ' (t )] 令:u e st
0
df (t ) st e dt e st df (t ) dt 0 dv df (t ) v f (t ) du se st dt
L[ f ' (t )] e st
t s 0
f1 (t ) * f 2 (t )
卷积 定理
F1 (s).F2 (s)
1 F1 ( s) * F2 ( s) 2j
f1 (t ). f 2 (t )
P200.表4.2 拉氏变换的性质
4.时域平移 f (t ) f (t t 0 ) 2.对t微分 3.对t积分 重点讨论 7.初值 t 0 8.终值 t0 (一).时域平移特性和应用 1.时移性 设 f (t ) F (s)
f 2 (t )
e ...t 0
at
df1 df1 a at (t ) ae u (t ) L[ ] 1 sF1 ( s) dt dt sa
df 2 at 2 (t ) ae u (t ) dt df 2 a s L[ ] 2 1 sF2 (s) f (0 ) dt sa sa
n 0
L[ T (t )]
0
(t nt )e
n 0
St
dt
1 ST 1 e f s (t ) f (t ) T (t ) [ f (nT ) (t nT )]
n0
L[ f S (t )] F (nT ) (t nT )e
df 3 f (t ) 2 f ( ) d u (t ) dt f (0 ) 2,
0
t
f ( ) d 0
解:
0
F ( s ) sF ( s ) f (0 ) 3F ( s) 2[ s s
f ( )d
1 ] s
2s 1 1 3 F ( s) 2 s 3s 2 s 1 s 2 t 2 t f (t ) [e 3e ]u (t )
*几点说明 a.要注意初值f(t) 为t= 0 时刻的值,而不是 f(t)在t= 0 时刻的值,无论拉氏变换F(s)是
采用 0 系统还是采用 0 系统,所求得的初值 总是 f (0 ) b.若F(s)是有理代数式,则F(s)必须是真分式 即F(s)分子的阶次应低于分母的阶次,若不是 真分式,则应用长除法,使F(s)中出现真分式,而 初值 f (0 )等于真分式 F 0(s) 逆变换 f 0(t ). c.物理解释: s ( j ) 相当于接入信 号的突变高频分量.所以可以给出相应的初值
lim [ f (0 ) f (0 )] (t )e dt 0 f (0 ) f (0 )
st s 0
即 lim sF (s) f (0 ) f (0 ) f (0 )
s
f (0 ) lim sF (s)
s
*几点说明 a.如果所处理的函数为有始函数 即 f (t ) 0 t 0 则f (0 ), f ' (0 ), f ( n1) (0 ) 都为零.那么
df d n f (t ) n L[ ] sF ( s) L[ ] s F ( s) n dt dt
但若f(t)在t=0有跃变,应嵌入一个冲激.
设f (t ) sin t
sin(0t ) u(t )
t
0
0 t0
sin[0 (t t0 )] u(t )
t
sin(0t ) u(t t0 )
t
0 t0
0
sin[0 (t t0 )] u(t t0 )
t
t0
3.时移特性的应用p250.4-2 (1)
1. f (t )
这里还要说明一个基本问题,即不要把单边拉氏 变换理解为只能用于因果信号. 如在利用微分和 积分定理求非因果信号的单边拉氏变换时,这样 理解，可能会得出错误的结果,如
f 2( t )
t 0
1
若误认为 2 ( t ) f
t 0
0
结果就错了 .
c.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 0 系统.而且采用 0 系统, 对解决实际问题较为方便.
T 2
T
t
(1 e ) 2 2 S
T 2
1 1 e
S T 2
1 0
t
T 2
2 T
2 T sin( t ) [u (t ) u (t )] T 2
LT
信号加窗 第一周期
(1 e ) 2 2 S
T 2
抽样信号的拉氏变换
抽样序列
T (t ) (t nT )
T
*单边周期函数的拉氏变换定理:若接通的 周期函数f(t)的第一个周期的拉氏变换为F1 ( s) 则函数f(t)的拉氏变换为(习题4-19)
F1 ( s ) F (s) sT 0 1 e
例：周期信号的拉氏变换
f1 (t ) F1 ( s)
LT
第一周期的拉氏变换
f1 (t nT ) e
初始条件自动包含在变换式中，一步 求出系统的全响应。
三.初值和终值定理 1.初值定理 df 若f(t) 及其导数 dt 可以进行拉氏变换 且 f (t ) F (s) 则 lim f (t ) f (0 ) lim sF ( s )
t 0 s
证明:利用时域微分特性 df df st L[ ] e dt sF ( s ) f (0 ) 0 dt dt
第4.3节 拉氏变换的基本性质(1)
线性 微分 积分 时移 频移
k f (t)
i 1 i i