6 第5章 刚体的定轴转动2

∫
第3节 刚体的功和能 三,刚体定轴转动的动能定理
A=
∫ M ⋅ dθ
= E k 2 − E k 1。
P.82, (3-3-5)
第3节 刚体的功和能 四,机械能守恒
当刚体处于重力场中时， 当刚体处于重力场中时，
y
mi
o
yi
x
z
第3节 刚体的功和能 四,机械能守恒
刚体上各质点均具有重力势能， 刚体上各质点均具有重力势能，而且 当刚体处于重力场中时， 当刚体处于重力场中时，
ω
M
外力矩的作用只是使刚体原转动的速度增大或减小， 外力矩的作用只是使刚体原转动的速度增大或减小，不会产生其它 效应。 效应。 当外力矩与刚体原来转动方向不一致时，会产生什么效应？ 当外力矩与刚体原来转动方向不一致时，会产生什么效应？ 为此，我们分析陀螺 一个典型的转动， 为此，我们分析陀螺——一个典型的转动，由此我们将得到一 一个典型的转动 个新的运动——进动。 进动。 个新的运动 进动
ω
M
第5节 刚体转动的进动 一,外力矩对刚体转动的影响
刚体不受外力矩作用时其角动量是守恒的。 刚体不受外力矩作用时其角动量是守恒的。 当刚体受外力矩作用时，其表现如何？ 当刚体受外力矩作用时，其表现如何？ 尤其是刚体原来就在转 刚体受外力矩作用表现如何？ 动，刚体受外力矩作用表现如何？ 显然，如果外力矩方向与刚体原来转动方向共轴， 显然，如果外力矩方向与刚体原来转动方向共轴，
即刚体绕定轴转动的动能等于质心平动的动能加上刚体绕过质心的 平行轴的动能。 平行轴的动能。
第3节 刚体的功和能 二,能
Ek =
1 Cen (J + m l 2 )ω 2 2
1 Cen 2 1 2 = J ω + m v Cen , 2 2
P.81, (3-3-2)
第3节 刚体的功和能 三,刚体定轴转动的动能定理
ω
ω
mg
mg
第5节 刚体转动的进动 二,进动
重力产生一个力矩， 重力产生一个力矩，
ˆ ˆ ˆ ˆ M = r × f = −( r Cen sin α e ρ + r Cen cosα e z ) × mge z = mgr Cen sin α eφ ,
在力矩作用下， 垂直， 在力矩作用下，使 L 有一个增量 dL ，而且与 L 垂直， 从而 L 的大小 ˆ 方向变化， 不变，只是方向改变， 不变，只是方向改变，而且朝 eφ 方向变化， ˆ d L = dL e
L1 = L2 ,
y
1 r × mv 0 = ML2 + mL2 ω , 3
z
ˆ • ω = ωk j r = −Lˆ
x
直线运动也可看作转动。 直线运动也可看作转动。 ˆ ˆ 1
ˆ × mv i = 1 ML2 + mL2 ωk , ˆ − Lj ˆ 0 从这里看到：直线运动也有角动量，即 直线运动也有角动量， 从这里看到： 3 Lmv 0 k = M + m ωL2 k , 3 1 mv 0 = M + m ω L, 3 Lmv 0 3 Lmv 0 ˆ ω= , k。 ω= 1 (M + 3m )L M + m L 3
θi
ω
dθ Ri
ˆ ω
Fi
ˆ θi
∑
i =1 N
ˆ Ri
∑
i =1
o
ri dri
实际上力矩所做的功可以写成
dA =
∑
i =1
2
N
M i ⋅ dθ = M ⋅ dθ ,
i 与质点位置有 关，但dθ、ω与质点 位置无关。 位置无关。
总功
A=
∫ dA = ∫ ∑
1
θ2
N
θ1
M i ⋅ dθ =
i =1
∫
θ2 θ1
ˆ v = v0i
第4节 刚体的角动量 三,刚体的角动量守恒
当
M =0
时，
L = Jω = Const.，
这就是刚体的角动量守恒定律。 这就是刚体的角动量守恒定律。
第5节 刚体转动的进动 一,外力矩对刚体转动的影响
刚体不受外力矩作用时其角动量是守恒的。 刚体不受外力矩作用时其角动量是守恒的。 当刚体受外力矩作用时，其表现如何？ 当刚体受外力矩作用时，其表现如何？ 尤其是刚体原来就在转 刚体受外力矩作用表现如何？ 动，刚体受外力矩作用表现如何？ 显然，如果外力矩方向与刚体原来转动方向共轴， 显然，如果外力矩方向与刚体原来转动方向共轴，
k p
第3节 刚体的功和能 四,机械能守恒
1 1 2 = m Cen v Cen + J Cenω 2 + Mg hCen = Const.。 E=E +E 2 2 P.82, (3-3-7)
k k
第4节 刚体的角动量 一,刚体的角动量
由刚体定轴转动定律
M = Jβ
得
M=J dω dt d( Jω ) = dt
ˆ ˆ dL = dL eφ = L sin α dφ eφ ,
Cen ˆ M = mgr sin α eφ
φ
由角动量定律得
dL dφ ˆ eφ = L sin α = dt dt ˆ = L sin αω Prec eφ ,
mgr Cen sin α = L sin αω Prec , mgr Cen sin α , ω Prec = L sin α mgr Cen sin α ˆ eφ 。 ω Prec = L sin α
ω
M
外力矩的作用只是使刚体原转动的速度增大或减小， 外力矩的作用只是使刚体原转动的速度增大或减小，不会产生其它 效应。 效应。 当外力矩与刚体原来转动方向不一致时， 当外力矩与刚体原来转动方向不一致时，
第5节 刚体转动的进动 一,外力矩对刚体转动的影响
刚体不受外力矩作用时其角动量是守恒的。 刚体不受外力矩作用时其角动量是守恒的。 当刚体受外力矩作用时，其表现如何？ 当刚体受外力矩作用时，其表现如何？ 尤其是刚体原来就在转 刚体受外力矩作用表现如何？ 动，刚体受外力矩作用表现如何？ 显然，如果外力矩方向与刚体原来转动方向共轴， 显然，如果外力矩方向与刚体原来转动方向共轴，
F
•ω
mg
v
的均匀直棒一端挂于一水平轴上， 【例题5-6】长为 、质量为 的均匀直棒一端挂于一水平轴上，起 例题 】长为L、质量为M的均匀直棒一端挂于一水平轴上 初垂直静止，一质量为m的子弹以速度 的子弹以速度v 初垂直静止，一质量为 的子弹以速度 0水平击中棒的下端并嵌入 棒中。求棒被子弹击中后开始与子弹一起运动时的角速度。 棒中。求棒被子弹击中后开始与子弹一起运动时的角速度。 【解】 如图所示，直棒所受的两个力都不产生力矩， 如图所示，直棒所受的两个力都不产生力矩， 所以角动量守恒。 所以角动量守恒。
与质点力学类似， 与质点力学类似，外力矩对刚体所做功等于刚体转动动能的增 加,
A=
∫
M ⋅ dθ =
∫
Jdω ⋅ dθ dt2 dθ = J dω ⋅ = J dω ⋅ω 1 dt
∫
∫
1 2 1 J dω 2 = J (ω 22 − ω 12 ) = 2 1 2 1 1 = Jω 22 − Jω 12 = E k 2 − E k 1。 2 2
由
M=J dω dt
得
M dt = dL,
∫ ∫
2
2
Mdt =
1
∫ dL,
1
2
2
1
Mdt = L2 − L1
= ( Jω ) 2 − ( Jω )1
= ( r × p ) 2 − ( r × p )1 ,
为冲量矩。这就是角动量定理。 其中∫ Mdt 为冲量矩。这就是角动量定理。
1
第4节 刚体的角动量 二,刚体的角动量定理
=
dL , dt
于是
L = Jω，
这是动量矩的另一表达式，由于是转动惯量与角速度的乘积， 这是动量矩的另一表达式，由于是转动惯量与角速度的乘积， 所以 又叫角动量。 又叫角动量。
第4节 刚体的角动量 一,刚体的角动量
L = Jω，
P.83, (3-4-1)
第4节 刚体的角动量 二,刚体的角动量定理
E =
p
∑ m gh = Mg∑
i i i =1 i =1
N
N
m i hi M
N
= Mg
∑
i =1
N
mi yi = Mg M
∑
i =1
m i ri ⋅ ˆ j M
N
y
mi
= Mg
∑
i =1
N
m i ri ⋅ ˆ j
∑
j =1
N
= Mg
∑
i =1
m i ri
mj
∑m
j =1
N
j ⋅ˆ
j
o
yi
x
z
j = Mg r Cen ⋅ ˆ = Mg y Cen = Mg hCen ,
ω
ˆ ω
Fi
则刚体转动的总动能为
Ek =
∑ 1 1 =∑ mRω =∑ Jω 2 2
Eki
i
i 2 i 2 i i i
2
1 = Jω 2 。 2
θi
ˆ Ri
ˆ θi
αi
o
ri
ˆ Ri
利用平行轴定理， 利用平行轴定理，上式还可以写成
Ek = 1 Cen (J + m l 2 )ω 2 2 1 Cen 2 1 = J ω + m (l ω )2 2 2 1 Cen 2 1 2 = J ω + m v Cen , 2 2
∫