岩土数值作业1

岩土数值分析一、名词解释：格林函数:又称为点源函数或影响函数,它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条件下所产生的场或影响。

由于任意分布的源所产生的场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林函数一旦求出，就可算出任意源的场。

格林函数法以统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又可以研究无界问题。

它的内容十分丰富，应用极其广泛。

这里主要介绍用格林函数求解拉普拉斯方程的边值问题。

二、简答：1、岩土工程数值分析方法的根本缺陷？这就使得岩土工程数值计算的地质力学模型带来了很大的随意性，从而也使岩土工程中的计算结果定量化问题不能真正的实现。

所以到目前为止，研究计算工程文章很多，但是真正用于实际工程的数值分析方法（例如有限元法等）却很少。

部分原因在与有较多的不成功应用的实例。

对岩土工程数值分析方法缺乏系统的认识和深入的理解，出现问题时不知道在何种情况下属于理论问题或建模问题；在什么情况下属于计算方法问题或本构模型问题；在什么情况下是参数的确定问题或计算本身的问题等。

各种本构模型固有的局限性。

具有多相性土的物理力学性质太复杂，难以准确地用数学模型和本构模型描述。

对比：结构工程：误差来源少；岩土工程：误差来源多结构工程的边界条件、节点处几何模拟，有限元数值分析可用于定量分析；而岩土工程的材料特殊、初始条件、边界条件复杂。

数值分析结果是综合判断的重要依据之一。

2、岩土工程数值分析基本程序？（1）有限元法：直接法：直接建立关于边界未知量的积分方程，通过离散化求得边界未知量，并进而求域内任一点的场函数值间接法：设定一个在域内满足支配方程但包含若干未知系数的解，在边界上强迫其满足边界条件，求得该系数，进而求得边界上及域内各点的场函数值（3）有限差分法：3、为什么边界元法缺乏知名商业软件？边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。

与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。

降低了问题的维数，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。

边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。

三、证明：球应力张量与形状应变、偏应力张量与体积应变是否存在偶和作用？——参照《张量分析（黄克智）》假设物体为各向同性，x 、y 、z 方向为正应力方向（则无剪切应力作用，若x 、y 、z 不是正应力方向，也可通过相应的坐标变换，使x ’、y ’、z ’为正应力方向，故所得结论可推广到所有各向同性体中），则：1[()]1[()]1[()]x x y z yy x z z z x y v E v E v E εσσσεσσσεσσσ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩（1）证明体积变形与偏应力张量之间的耦合关系将上述三式相加，得体积应变：13(12)3[2()]()m x y z x y z x y z x y z v v E Eεεεεσσσσσσσσσ-=++=++-++=++ 即：(12)()m x y z v Eεσσσ-=++微分得：(12)()m x y z v d d d d Eεσσσ-=++ 而()33x y zx y zm d d d d d σσσσσσσ++++==，故3(12)m m v d d Eεσ-=从上式可以看出，在各向同性弹性条件下，体积应变εm 只与d σm 球应力存在耦合关系，而与偏应力无耦合关系。

（2）证明畸变变形与球应力张量之间的耦合关系令：x x m y y m z z me e e εεεεεε⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，则：1[()(12)]1[()(2)]1[s (s )]x x y z m x m y z m x y z e v v E v E v s Eσσσσσσσσσ=-+--=--+-=-+ 微分得：1[s (s )]x x y z de d v d ds E=-+ 因为s s 0x y z s ++=，所以，s s 0x y z d d ds ++=，即s s y z x d ds d +=- 所以，1s x x vde d E+=， 同理可得:1s 1s 1s xx yy zz v de d Ev de d E v de d E +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩从上式可以看出，在各向同性弹性条件下，畸变变形e i 只与相应的偏应力ds i 存在耦合关系，而与球应力无耦合关系。

四、 求对流方程的三种差分方程和截断误差。

0=∂∂+∂∂xa t ζζ初值问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂+∂∂x x x a t ζζζζ0,0解：在t x -平面上作分别平行于x轴和t 轴的两组平行线,2,1,0,2,1,0==±±==n n t j jh x n j τ其中，h 为空间步长，τ为时间步长。

将函数()t x ,ζ展开为泰勒级数形式：()()()+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=333222!31!21i i i i i ii x x x x x x x x x ζζζζζ在节点()j i ,1-处有h x u h x h x h x ii i i i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-≈+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=-ζζζζζζ 3332221!31!21 从而可得向前差分公式）（11h x i i i--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ζζζ同理可利用节点()j i ,1+得到向后差分公式)2(1h x i i iζζζ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+分别在节点()j i ,1-和()j i ,1+处多取一项，则有222121hx h x i i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-≈-ζζζζ222121h x h x i ii i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+≈+ζζζζ联立两式求得中心差分公式）（3211h x i i i-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ζζζ1）向前差分的截断误差将向前差分公式（1）带入对流方程得011=-+-++ha nj n j n j n j ζζτζζ设E 是向前差分格式的截断误差，则依据截断误差的概念可得⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂+∂∂--+-=++h a t h a E n i n j n j n j n j n j ζζζζτζζ11 在上式中，带括号部分为零，其余部分代入下列在节点()n j ,处的带余项的泰勒级数展开式，即()，21h o hh n j n jn j +∂∂+=+ζζζ()，21τζτζζo tn j n j n j +∂∂+=+并注意到()t x ,ζ满足对流方程，从而，可得()h O E +=τ所以，向前差分格式对时间 t 的精度是一阶的，对空间x 的精度也是一阶的。

2）向后差分格式的截断误差将向前差分公式（2）带入对流方程得01-1-=-+-ha n j n j n j n j ζζτζζ设E 是向后差分格式的截断误差，则依据截断误差的概念可得⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂+∂∂--+-=-h a t haE n j nj n j n j n j n j ζζζζτζζ11- 在上式中，带括号部分为零，其余部分代入下列在节点()n j ,处的带余项的泰勒级数展开式，即()，21-h o hh nj n j n j +∂∂+=ζζζ()，21τζτζζo xn i n jn j +∂∂+=- 并注意到()t x ,ζ满足对流方程，从而，可得()h O E +=τ所以，向后差分格式对时间t 的精度是一阶的，对空间x 的精度也是一阶的。

3）中心差分格式的截断误差将中心差分公式（3）带入对流方程得0221-111=-+-+-+ha n j n j n j n jζζτζζ设E 是差分格式（4）的截断误差，则依据截断误差的概念可得⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂+∂∂--+-=-+-+h a t haE n j nj n j n j n j n j ζζζζτζζ221111在上式中，带括号部分为零，其余部分代入下列在节点()n j ,处的带余项的泰勒级数展开式，即()21ττζζO tu n j n jn j+∂∂+=+11 ()21ττζζO tu n j n j n j +∂∂+=- ()，21h o xh n j n j n j +∂∂+=+ζζζ ()，21h o xh n j n j n j +∂∂+=-ζζζ 并注意到ζ满足对流方程，从而，可得()h O E +=τ 所以，该差分格式对时间t 的精度是一阶的，对空间x 的精度是一阶的。