2.2 直接证明与间接证明(教师版)—《课时同步君》2017-2018学年高二文科数学人教选修1-2

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【教育专用】2018年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明学案苏教版选修1_2

2.2 直接证明与间接证明第1课时直接证明1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0，2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．2．综合法和分析法1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[思路点拨] 从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析] ∵a 2＋19≥2a 3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c 3，∴⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.[一点通] 综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab .又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc 2＝2c ，同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a . ∵a 、b 、c 不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )，即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ，故1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，又因为a π，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c . 法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c .∵PO ⊥π，a π，∴直线PO ⊥a . 又a ⊥b ，b 平面PAO ，PO ∩b ＝P ， ∴a ⊥平面PAO .又c 平面PAO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题.[例2] 已知a >b >0，求证：（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b.[思路点拨] 本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析] 要证明（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b 成立，只需证（a －b ）24a <a ＋b －2ab <（a －b ）24b 成立，即证（a －b ）24a <(a －b )2<（a －b ）24b 成立．只需证a －b 2a <a －b <a －b 2b 成立．只需证a ＋b 2a <1<a ＋b2b成立，即证a ＋b <2a 且a ＋b >2b ，即b <a .∵a >b >0，∴b <a 成立．∴（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b成立．[一点通] 在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，求证：P ＜Q . 证明：要证P ＜Q ，主要证P 2＜Q 2，只要证2a ＋7＋2a （a ＋7）＜2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4），即证a 2＋7a ＜a 2＋7a ＋12，即证0＜12.因为0＜12成立，所以P ＜Q 成立． 4．已知a 、b 是正实数，求证：a b ＋ba≥ a ＋b . 证明：要证a b ＋ba≥ a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥ab (a ＋b )．即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )，即证a ＋b －ab ≥ab . 也就是要证a ＋b ≥2ab .因为a ，b 为正实数，所以a ＋b ≥2ab 成立，所以a b ＋ba≥ a ＋b .[例3] 已知0<a ≤1，0<b ≤1，0<c ≤1，求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1.[思路点拨] 因为0<a ≤1，0<b ≤1，0<c ≤1，所以要证明1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc ≥1成立，可转化为证明1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc 成立．[精解详析] ∵a >0，b >0，c >0， ∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ，即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0. ∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc ) ＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a ) ＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )，又a ≤1，b ≤1，c ≤1， ∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0，∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立，即证明了1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1.[一点通] (1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ab ＋c＝1，只需证c （b ＋c ）＋a （a ＋b ）（a ＋b ）（b ＋c ）＝1，即a 2＋c 2＋ab ＋bcb 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.下面证明：a 2＋c 2＋ab ＋bcb 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°. ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋c 2＋ab ＋bc a 2＋c 2－ac ＋ab ＋ac ＋bc＝1. 故原等式成立．6．若a ，b ，c 是不全相等的正数．求证：lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c . 证明：要证lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立，即证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )成立，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，∵a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2≥abc >0，(*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立， ∴原不等式成立．1．综合法：由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法：执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P 1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P 2；当由P 1可以推出P 2时，结论得证．一、填空题1．在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝bsin B .又∵A >B ，∴a >b ，∴sin A >sin B 反之，若sin A >sin B ，则a >b ，∴A >B ∴A >B 是sin A >sin B 的充要条件．答案：充要2．设n ∈N ，则n ＋4－n ＋3________n ＋2－n ＋1(判断大小)．解析：要证n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1，只需证n ＋4＋n ＋1<n ＋3＋n ＋2，只需证(n ＋4＋n ＋1)2<(n ＋2＋n ＋3)2，即2n ＋5＋2（n ＋4）（n ＋1）<2n ＋5＋2（n ＋2）（n ＋3）. 只需证（n ＋1）（n ＋4）<（n ＋2）（n ＋3），只需证(n ＋1)(n ＋4)<(n ＋2)(n ＋3)，即n 2＋5n ＋4<n 2＋5n ＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1. 答案：<3．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是____________________．解析：a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b4．若三棱锥S ABC 中，SA ⊥BC ，SB ⊥AC ，则S 在底面ABC 上的射影为△ABC 的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S 在底面ABC 上的射影为点O ， ∴SO ⊥平面ABC ，连接AO ，BO ， ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ， ∴BC ⊥平面SAO ，∴BC ⊥AO .同理可证，AC ⊥BO .∴O 为△ABC 的垂心．答案：垂心5．已知函数f (x )＝10x，a ＞0，b ＞0，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为____________________．解析：由a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝10x在R 上是单调增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥f ()ab ≥f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≥B ≥C . 答案：A ≥B ≥C 二、解答题6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：f (a )＋f (c )＞2f (b )．证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数，所以a ＋c ＞2ac .因为b 2＝ac ，所以ac ＋2(a ＋c )＞b 2＋4b ，即ac ＋2(a ＋c )＋4＞b 2＋4b ＋4，从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2. 因为f (x )＝log 2(x ＋2)是增函数，所以log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2，即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2)．故f (a )＋f (c )＞2f (b )． 7．已知a >0，用分析法证明： a 2＋1a 2－2>a ＋1a－2.证明：要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，故只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a ＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(江苏高考改编)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn ＋c ，n ∈N *，其中 c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .第2课时间接证明1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”．2．已知正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2.求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能．问题2：a 、b 、c 不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a 2＋b 2＝c 2吗？提示：都是奇数．若a 、b 、c 都是奇数，则不能满足条件a 2＋b 2＝c 2.1．间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等．2．反证法 (1)反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用下面的框图表示：导致逻辑矛盾“若p 则q ”为真(2)反证法证明命题“若p 则q ”的步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果． ③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．[例1] 已知平面上四点，没有三点共线，求证：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．[思路点拨] 本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾．[精解详析] 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D，考虑△ABC，点D的位置分为在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(如图(1))，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC之外(如图(2))，根据假设∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．综上所述．原结论成立．[一点通] (1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”．1．实数a、b、c不全为0等价于________(填序号)．①a，b，c全不为0；②a，b，c中最多只有一个为0；③a，b，c中只有一个不为0；④a，b，c中至少有一个不为0.解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”．答案：④2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线．解：假设直线BM与A1N共面．则A1D1⊂平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN，又A1D1∥BC，所以BN∥BC.这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，所以(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．[例2] 求证：两条相交直线有且只有一个交点．[思路点拨] “有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”．[精解详析] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[一点通] 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．4．证明方程2x＝3有且仅有一个根．证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是惟一的，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)，则2b1＝3，2b2＝3.两式相除得：2b1－b2＝1.如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这就同b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故2x＝3有且仅有一个根．5．求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．解：已知P∉平面α.求证：过点P和平面α垂直的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P∉平面α，由立体几何知识知：过点P能作出一条直线与平面α垂直，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与平面α垂直．由b⊥α，c⊥α，得b∥c，这与b∩c＝P矛盾，故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直.[例3] 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[思路点拨] 本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能．所以正面证明很复杂，可考虑用反证法．[精解详析] 假设a、b、c、d都不是负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.∵a＋b＝c＋d＝1，∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0.∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1＝(ac－a)＋(ac－c)＋1＝a(c－1)＋c(a－1)＋1.∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0.∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1，即ac＋bd≤1.与ac＋bd>1相矛盾．∴假设不成立．∴a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．[一点通] (1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：6．已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.∵a ，b ，c ∈(0，1)，∴1－a ＞0，1－b ＞0，1－c ＞0， ∴（1－a ）＋b2≥（1－a ）b ＞ 14＝12. 同理（1－b ）＋c 2＞12，（1－c ）＋a 2＞12.三式相加，得（1－a ）＋b 2＋（1－b ）＋c 2＋（1－c ）＋a 2＞32，即32＞32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.7．用反证法证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实数根．证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，所以f (α)<f (β)．这与f (α)＝0＝f (β)矛盾．所以方程f (x )＝0在区间 [a ，b ]上至多只有一个实根．1．反证法证明的适用情形(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题； (3)“否定性”命题；(4)“惟一性”命题； (5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题； (7)涉及“无限”结论的命题． 2．用反证法证明问题的三个注意点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必然罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．一、填空题1．命题“1＋b a ，1＋ab中至多有一个小于2”的反设为__________________．答案：1＋b a ，1＋a b都小于22．(山东高考改编)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________________．解析：至少有一个实根的否定是没有实根．答案：方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根3．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为____________________．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”．答案：a ，b 不全为04．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②. 答案：③①②5．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为______________________．解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x ≠a 且x ≠b ”的否定应为“x ＝a 或x ＝b ”．答案：x ＝a 或x ＝b 二、解答题6．(陕西高考)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0， ∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．7．设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|<12，|f (2)|<12，|f (3)|<12，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12<1＋a ＋b <12，－12<4＋2a ＋b <12，－12<9＋3a ＋b <12.于是有⎩⎪⎨⎪⎧－32<a ＋b <－12， ①－92<2a ＋b <－72， ②－192<3a ＋b <－172. ③由①、②得－4<a <－2，④ 由②、③得－6<a <－4.⑤④、⑤显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确．8．已知P ∉直线a .求证：过点P 和直线a 平行的直线b 有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P ∉直线a ，∴点P 和直线a 确定一个平面α.由平面几何知识知：在平面α内过点P 能作出一条直线与直线a 平行，故直线b 存在． (2)惟一性：假设过点P 还有一条直线c 与a 平行． ∵a ∥b ，a ∥c ，∴b ∥c ，这与直线b 、c 有共点P 矛盾．故假设不存在，因此直线b 惟一．综上所述，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平形.。

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：2.2 直接证明与间接证明2.2.1 pdf版含答案

2 ∴ a2＋b2≥ 2 (a＋b)成立．
当 a＋b>0 时，用分析法证明如下：
2 要证 a2＋b2≥ 2 (a＋b)，
[ ] 2
a＋b
只需证( a2＋b2)2≥ 2
2，
1
即证 a2＋b2≥2(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立，
2 ∴ a2＋b2≥ 2 (a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中
间结论 P；若由 P 可推出 Q，即可得证．
跟踪演练 3 设实数 a，b，c 成等比数列，非零实数 x，y 分别为 a 与 b，b 与 c 的等差中项，
要点一综合法的应用
例 1 在△ABC 中，三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列，
a、b、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．
证明由 A、B、C 成等差数列，有 2B＝A＋C.
①
因为 A、B、C 为△ABC 的内角，所以 A＋B＋C＝π.
②
π
由①②，得 B＝3.
11 1 a＋b≥2 ab>0，
( )1 1 ＋ ∴(a＋b) a b ≥4.
11 又 a＋b＝1，∴a＋b≥4.
1 1 a＋b a＋b b a
ba
·
法三 a＋b＝ a ＋ b ＝1＋a＋b＋1≥2＋2 a b＝4.当且仅当 a＝b 时，取“＝”号．
要点二分析法的应用
2 例 2 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 2 (a＋b)．证明当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0，
规律方法用分析法证明不等式时应注意

直接证明与间接证明市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件

∴a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立．
方法感悟
方法技巧 1．综正当证明问题的环节第一步：分析条件，选择方向．认真分析题目的已知条件(涉及隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择有关的公理、定理、公式、结论，拟定恰当的解题方法
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，重要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的语言．第三步：适宜调节，回想反思．解题后回想解题过程，可对部分环节进行调节，有些语言可做适宜的修饰，反思总结解题方法的选用．
【思维总结】含有根号的式子，应想到用平方法去根号，且在平方时应确保两边为正，同时要有助于再次平方，因此需移项．
变式训练2 已知a>6，
求证： a－3－ a－4< a－5－ a－6.
证明：要证 a－3 － a－4 < a－5 －
a－6，
只需证
1 a－3＋
a－4<
1 a－5＋
a－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
只需证 a－3＋ a－4> a－5＋ a－6，
法三：1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝1＋ba＋ab＋1
≥2＋2 ba·ab＝4，当且仅当 a＝b 时，
取“＝”号．
【思维总结】综正当证明不等式所依赖的重要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中惯用的有下列几个： (1)a2≥0(a∈R)．
(2)(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有 a2＋ b2≥2ab，(a＋2 b)2≥ab，a2＋b2≥a＋2 b2. (3)若 a、b∈(0，＋∞)，则a＋2 b≥ ab，特别地，当 a，b 同号时，有ba＋ab≥2.

人教版高中数学选修2-2教学案2.2直接证明与间接证明(教师版)

直接证明与间接证明__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ (1)了解直接证明的一种基本方法──综合法、分析法； (2) 了解间接证明的一种基本方法──反证法；(3)了解综合法、分析法、反证法的思考过程与特点，会用综合法、分析法、反证法证明数学问题. 类型一、直接证明：一. 综合法1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法3.框图表示：(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论) 二.分析法1.定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.2. 思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法3.框图表示：(用Q 表示要证明的结论，P n 表示充分条件)4.分析法的书写格式：，经（；（①直接证明困难；②需分成很多类进行讨论．③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； ④结论为 “唯一”类命题；（4）关键在于归缪矛盾：a 、与已知条件矛盾；b 、与公理、定理、定义矛盾；c 、自相矛盾。

要证：⋯⋯ 只要证：⋯⋯ 只需证：⋯⋯ ⋯⋯显然成立上述各步均可逆所以,结论成立题型一综合法：例1 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：c b a ac c b b a lg lg lg lg lg lg++>+++++例2 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列， a ， b ，c转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．练习：1、在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ，C 成等差数列， ,,a b c 成等比数列，求证△ABC 为等边三角形.分析：将 A ， B ， C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C ； A ， B ， C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =π； a ， b ，c 成等比数列，转化为符号语言就是2b ac =．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．证明：由 A ， B ， C 成等差数列，有 2B=A + C ． ① 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A + B + C=π． ⑧由①② ，得B=3π. 由a ， b ，c 成等比数列，有2b ac =. 由余弦定理及③，可得再由④，得22a c ac ac +-=. 因此a c =. 从而A=C.由②③⑤，得 A=B=C=3π. 所以△ABC 为等边三角形．解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．2、已知,,+∈R b a 求证.ab b a b a b a ≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

课时跟踪检测(三十九) 直接证明和间接证明

数学
质量铸就品牌品质赢得未≥c，又∵a≠c， 1 ∴a>c. (3)证明：由 f(c)＝0，得 ac＋b＋1＝0， ∴b＝－1－ac. 又 a>0，c>0，∴b<－1. 二次函数 f(x)的图像的对称轴方程为 b x1＋x2 x2＋x2 1 x＝－＝ < ＝x2＝a， 2a 2 2 b 1 即－ <a. 2a 又 a>0，∴b>－2，∴－2<b<－1.
数学
质量铸就品牌品质赢得未来
课时跟踪检测(三十九) 直接证明和间接证明结束
a＋c＝2b， 2 3．解析：由已知条件，可得x ＝ab， ② y2＝bc. ③ x2 a＝ b ，由②③得 2 y c＝ . b
①
x2 y2 代入①，得 b ＋ b ＝2b，
即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列．答案：B
数学
质量铸就品牌品质赢得未来
课时跟踪检测(三十九) 直接证明和间接证明结束
12．解：(1)证明：∵f(x)的图像与x轴有两个不同的交点， ∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2， ∵f(c)＝0， ∴x1＝c是f(x)＝0的根， c 又x1x2＝a， 11 ∴x2＝aa≠c， 1 ∴a是f(x)＝0的一个根． 1 1 (2)假设a<c，又a>0，由0<x<c时，f(x)>0， 1 1 知fa>0与fa＝0矛盾，
数学
质量铸就品牌品质赢得未来
课时跟踪检测(三十九) 直接证明和间接证明结束
4．解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0，故选A. 答案：A

课时跟踪检测(五十三) 直接证明和间接证明

课时跟踪检测（五十三）直接证明和间接证明一保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·徐州模拟)若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是________．解析：因为P2＝2a＋7＋2a·a＋7＝2a＋7＋2a2＋7a，Q2＝2a＋7＋2a＋3·a＋4＝2a＋7＋2a2＋7a＋12，所以P2<Q2，所以P<Q.答案：P<Q2．(2016·江阴调研)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是________(填序号)．解析：①中，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2与已知条件a＋b>2矛盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，①正确；②中，若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2成立，故②不能推出：“a，b中至少有一个大于1”．答案：①3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)________0(填“>”“<”或“＝”)．解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.答案：<4．(2016·吕四中学检测)若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则在a＋b,2ab，a2＋b2和2ab中最大的是________．解析：因为0<a<1,0<b<1，且a≠b，所以a＋b>2ab，a2＋b2>2ab，a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)>0，所以a＋b最大．答案：a＋b5．如果a a＋b b＞a b＋b a，则a，b应满足的条件是__________．解析：a a＋b b＞a b＋b a，即(a－b)2(a＋b)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b6．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设____________________．解析：“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”．答案：x ≠－1且x ≠17．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，②1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xyz ，③又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8.8．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a|＋|b||a ＋b |≤ 2.证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：EC ∥平面PAD ；(2)求证：平面EAC ⊥平面PBC .证明：(1)作线段AB 的中点F ，连结EF ，CF (图略)，则AF ＝CD ，AF ∥CD ， ∴四边形ADCF 是平行四边形，则CF ∥AD .又EF ∥AP ，且CF ∩EF ＝F ，∴平面CFE ∥平面PAD .又EC ⊂平面CEF ，∴EC ∥平面PAD .(2)∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC ⊥AC .∵四边形ABCD 是直角梯形，且AB ＝2AD ＝2CD ＝2，∴AC ＝2，BC ＝ 2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AC ⊥BC ，∵PC ∩BC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n ＜16. 证明：(1)由已知可得，当n ∈N *时，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，两边取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为1a n＝2＋(n －1)×3＝3n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1.(2)由(1)知a n ＝13n －1，故b n ＝a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13×⎝⎛⎭⎫12－15＋13×⎝⎛⎭⎫15－18＋…＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝16－13·13n ＋2. 因为13n ＋2＞0，所以T n ＜16. 2．(2016·无锡一中检测)数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，a 1＝8，b 1＝16，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1＜27. 解：(1)因为a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，所以2b n ＝a n ＋a n ＋1.①因为b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，所以a 2n ＋1＝b n b n ＋1.因为数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，所以a n ＋1＝b n b n ＋1.②于是当n ≥2时，a n ＝b n －1b n .③将②③代入①式，可得2b n ＝b n －1＋b n ＋1. 因为a 1＝8，b 1＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×16＝8＋a 2，a 22＝16b 2，解得b 2＝36，所以数列{b n }是首项为4，公差为2的等差数列，所以b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n ＋2，于是b n ＝4(n ＋1)2.则a n ＝b n －1b n ＝4n 2·4(n ＋1)2＝4n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝8，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有a n ＝4n (n ＋1)．(2)证明：由(1)可知a n ＝4n (n ＋1)，因为1a n －1＝14n 2＋4n －1，14n 2＋4n －1＜14n 2＋4n －3＝1(2n －1)(2n ＋3)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3. 当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1＜17＋123＋14⎝⎛⎭⎫15－19＋⎝⎛⎭⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3＜17＋123＋14×⎝⎛⎭⎫15＋17＜17＋235＋335＝27. 当n ＝1时，17＜27，当n ＝2时，17＋123＜17＋17＝27，综上所述，对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1＜27.。

人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明课程设计

人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明课程设计一、前言本课程设计旨在帮助高中数学教师更好地教授人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明课程，通过本课程设计，希望能帮助学生更好地理解并掌握课程中的知识点。

二、教学目标1. 知识与技能1.了解直接证明和间接证明的概念和方法；2.掌握直接证明和间接证明的常用技巧；3.熟悉求解几何问题的方法。

2. 过程与方法1.积极思考，在教师的指导下独立完成课程设计要求；2.能够熟练使用直接证明和间接证明的方法求解几何问题；3.可以在实际生活中运用所学知识。

3. 情感态度与价值观1.培养学生科学求证、敢于思考、勇于探究的精神；2.培养学生良好的学习习惯和态度。

三、教学内容及安排第1课时：直接证明课堂内容1.直接证明的概念；2.直接证明的一般方法；3.直接证明的经典例题。

课后作业1.熟记直接证明的方法；2.完成直接证明的练习。

第2课时：间接证明课堂内容1.间接证明的概念；2.间接证明的一般方法；3.间接证明的经典例题。

课后作业1.熟记间接证明的方法；2.完成间接证明的练习。

第3-4课时：综合应用课堂内容1.综合应用的基本思路；2.综合应用的例题分析。

课后作业1.完成综合应用的练习。

四、教学方法1.讲授法：通过讲解、演示等方式传授知识；2.体验法：让学生通过实际操作提高技能；3.案例法：让学生通过分析具体问题，掌握解决问题的方法。

五、教学评价教学评价将采用以下几种方式：1.课堂表现：评价学生的听讲、思考、提问等表现；2.平时作业：评价学生对知识的掌握程度；3.课程综合应用：评价学生将所学知识应用于实际情境中的能力。

六、教学资源本课程设计所需资源如下：1.人教版高中选修1-22.2教材；2.带有直接证明和间接证明例题的教案；3.练习册和试卷。

七、教学反思本课程设计要注重培养学生的实践能力和创新意识，让学生能够独立思考和解决问题。

同时，要注重理论与实践相结合，让学生掌握课程所涉及的知识和技能。

学案导学与随堂笔记苏教数学选修22全套备课精选同步练习：第2章 22直接证明与间接证明1

§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 直接证明课时目标 1.结合已学过的数学实例了解直接证明的两种基本方法：分析法、综合法.2.了解分析法和综合法的思考过程、特点．1．直接证明(1)定义：直接从原命题的________逐步推得命题成立的证明，通常称为直接证明．(2)一般形式：⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A ⇒B ⇒C …⇒本题结论． (3)两种基本方法：__________和__________．2．综合法(1)定义：从__________出发，以已知的________________为依据，逐步________，直至推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法． (2)推证过程：已知条件⇒…⇒…⇒结论(3)特点：条理清晰，宜于表述．3．分析法(1)定义：从________________出发，追溯导致结论成立的条件，逐步________，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法．(2)推理过程：结论⇐…⇐…⇐已知条件(3)特点：方向较为明确，利于寻找解题思路．一、填空题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的________条件．2．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ac ，则S 、P 的大小关系为________．3．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a 、b 、c 的大小关系为__________． 4．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3的形状是__________三角形．5．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足__________条件．6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．7．设a 、b 、u 都是正实数且a 、b 满足1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是____________．8．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．二、解答题9．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c＝3a ＋b ＋c.能力提升11. 如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)12．已知函数f (x )＝1＋x 2，若a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.分析法的思路是执果索因，综合法的思路是由因导果．在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程，有时要分析和综合结合起来交替使用，从两边向中间靠拢．答案知识梳理1．(1)条件 (3)综合法分析法2．(1)已知条件定义、公理、定理下推3．(1)问题的结论上溯作业设计1．充分2．S ≥P解析 ∵S －P ＝a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca＝12≥0， ∴S ≥P .3．b >a >c解析利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， ∴0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b >a >c . 4．正5．b 2＋c 2<a 26．a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a .7．(0,16]解析 u ≤(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b 恒成立，而(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥10＋6＝16，当且仅当b a ＝9a b 且1a ＋9b＝1时，上式取“＝”．此时a ＝4，b ＝12.∴0<u ≤16.8．a <b解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显6<7，故a <b .9．证明方法一分析法要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．方法二综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab . 注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10．证明要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3， ∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 11．AC ⊥BD解析从结论出发，找一个使A 1C ⊥B 1D 1成立的充分条件．因而可以是：AC ⊥BD 或四边形ABCD 为正方形．12．证明原不等式即|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b |，要证此不等式成立，即证1＋a 2＋1＋b 2－21＋a 2·1＋b 2 <a 2＋b 2－2ab .即1＋ab <1＋a 2·1＋b 2. 当1＋ab <0时不等式恒成立，当1＋ab ≥0时，即要证1＋a 2b 2＋2ab <(1＋a 2)(1＋b 2)，即2ab <a 2＋b 2，由a ≠b 知此式成立，而上述各步都可逆，因此命题得证．。

2020-2021学年高二数学苏教版选修1-2第二章2.2 直接证明与间接证明同步课时作业(含解析)

2020-2021学年高二数学苏教版选修1-2同步课时作业2.2直接证明与间接证明1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度2.关于综合法和分析法的说法错误的是( )A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.分析法又叫逆推证法或执果索因法D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法3.用反证法证明命题：“若,,a b N ab ∈能被3整除，那么,a b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．,a b 都能被3整除B ．,a b 都不能被3整除C ．,a b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除4.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件5.分析法又称执果索因法.若用分析法证明：“设a b c >>，且0a b c ++=，求证”索的因应是( )A.0a b ->B.0a c ->C.()()0a b a c -->D.()()0a b a c --<6.)2a <≥能用的最适合的方法是( )A.综合法B.分析法C.间接证明法D.合情推理法7.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳以下三个步骤：①9090180A B C C ++=︒+︒+>︒，这与三角形内角和为180︒相矛盾，90A B ==︒不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角,,A B C 中有两个直角，不妨设90A B ==︒.正确顺序的序号为( )A.①②③B.①③②C.②③①D.③①②8.命题“任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的证明：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=-+=-=”应用了( )A.分析法B.综合法C.综合法、分析法结合使用D.间接证法 9.分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.设,,,(0,)a b c d ∈+∞，若a d b c +=+且||||a d b c -<-，则有( )A.ad bc =B.ad bc <C.ad bc >D.ad bc ≥11.若,a b 应满足的条件是_____________.12.使用反证法证明“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是_________________.13.凸函数的性质定理：如果函数()f x 在区间D 上是凸函数，则对于区间D 的任意12,,,n x x x ⋅⋅⋅，有1212()()()n n f x f x f x x x x f n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.已知函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在ABC △中，sin sin sin A B C ++的最大值为___________.14.用反证法证明命题“,,a b R ab ∈可以被5整除，那么a b 、中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_________________.15.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱垂直于底面，满足_________时，1BD AC ⊥.(写上一个条件即可)答案以及解析1.答案：B解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”.故选：B.2.答案：D解析：根据综合法的定义可得，综合法是由因导果法，是顺推证法；根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是逆推证法，它们都是直接证法.故选D.3.答案：B解析：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立.“,a b 中至少有一个能被3整除”的反面是：“,a b 都不能被3整除”，故应假设,a b 都不能被3整除.故选B4.答案：A解析： —般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后.把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.故选A.5.答案：C解析：由a b c >>，且0a b c ++=可得b a c =--，0a >，0c <.<，只要证22()3a c ac a ---<，即证2220a ac a c -+->，即证()()()0a a c a c a c -++->，即证()()0a a c b a c -+->，即证()()0a c a b -->，故求证”索的因应是()()0a c a b -->，故选C.6.答案：B的大小，221a =-+221a =-+的大小.......以上证明不等式所用的方法是最适合的方法，该方法是分析法，故选B.7.答案：D解析：根据反证法的步骤，应该是先提出假设，在推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.故选D.8.答案：B解析：综合法是由已知入手，利用基本定理进行的推理证明；分析法是从要证明的结论入手寻找思路.结合证明过程，可知是综合法.9.答案：A解析：∵分析法是逆向逐步找寻这个结论成立需要具备的充分条件，∴分析法是从要证得结论发出，寻求使它成立的充分条件，故选A.10.答案：C解析：∵222222||||()()22a d b c a d b c a d ad b c bc -<-⇔-<-⇔+-<+-.又22()()a d b c a d b c +=+⇔+=+，∴44ad bc ad bc -<-⇔>.11.答案：0,0a b a b ≠≥≥且解析：a b ⇔>⇔>2(0a b ⇔-⇔>，只需0,0a b a b ≠≥≥且.12.答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析：该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.13. 解析：∵()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，且,,(0,)A B C ∈π，∴()()()333f A f B f C A B C f f ++++π⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=sin sin sin A B C ++. 14.答案：b a 、都不能被5整除解析：至少有一个的反面为一个都没有，所以应假设a b 、都不能被5整除.15.答案：AC BD ⊥解析：要证1BD AC ⊥，只需证BD ⊥平面1AAC . 因为1AA BD ⊥，只要再添加条件AC BD ⊥，即可证明BD ⊥平面1AAC ，从而有1BD AC ⊥.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。

Happy暑假我的作业君(版)高二理数第章直接证明与间接证明

第2章 2．2 直接证明与间接证明1．综合法（1）综合法的的定义：一般地，从命题的已知条件出发,利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．（2）综合法的思维框图：用P 表示已知条件，1iQ i =（，2，3，...，n）为定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为：11223...n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论） 2．分析法（1）分析法的定义：一般地,从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件,逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等）,或由已知证明成立,从而确定所证的命题成立的一种证明方法,叫做分析法．（2）分析法的思维框图用123iP i =（，，，）表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，Q 所要证明的结论,则用分析法证明可用框图表示为:11223...Q P P P P P ⇐→⇐→⇐→→得到一个明显成立的条件（结论) (逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）3．反证法证题（1）反证法定义:一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立,然后利用公理,已知的定义、定理,命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法．（2）反证法的一般步骤:（1)反设:假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾;（2）结论：因为推理正确,产生矛盾的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立．1、你知道综合法与分析法之间的关系吗？2、使用分析法、反证法需要注意那些方面？1．【2017河南洛阳期末】用反证法证明“*∈,如果a、b能被2017,a b N整除，那么,a b中至少有一个能被2017整除”时,假设的内容是（）A．a不能被2017整除B．b不能被2017整除C．,a b都不能被2017整除D．,a b中至多有一个能被2017整除2．【2017安徽太和中学期中】设A、B、C为锐角ABC的三个内角，N A B=+，则（)=++，cos2cosM A B Csin sin sinA．M N<B．M N=C ． M N >D ． M 、N 大小不确定3．【2017甘肃高台一中期中】要证222210a b a b +--≤，只要证（ )A ． 22210ab a b --≤B ．4422102a b a b ++--≤C ．222102a b a b +⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭D ． ()()22110ab --≥4．【2017安徽合肥一中期中】若,0x y >且2x y +>，则1y x+和1x y+的值满足( ） A ． 1yx+和1x y +中至少有一个小于2 B ．1yx+和1x y +都小于2C ．1yx+和1x y +都大于2 D ．不确定5．【2017山西晋中榆社中学期中】现有3个命题：1p ：函数()lg 2f x x x =--有2个零点．2p ：面值为3分和5分的邮票可支付任何(7,)n n x N >∈分的邮资．3p ：若2a b c d +=+=， 4ac bd +>，则a 、b 、、d 中至少有1个为负数．那么，这3个命题中，真命题的个数是（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 36．【2017河南南阳期中】甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时，回答如下：甲说：丙没有考满分;乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话．事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．甲或乙 7．【2017河南郑州一中期中】设0x >，0y >， 1x yA x y+=++，11x y B x y=+++，则A 与B 关系（ )A ． AB < B ． A B >C ． A B =D ． ,A B 大小与,x y 有关8．【2017山西太原期中】利用反证法证明：“若220x y +=，则0x y ==”时,假设为（）A ． x , y 都不为0B ． x y ≠且x ， y 都不为0C ．x y ≠且x ， y 不都为D ． x ， y 不都为09．【2017福建漳州质检】甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名; 乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是__________．10．【2017江苏江阴四校联考】用反证法证明命题“若11,0,x y 2,,x yx y y x++>+>且则中至少有一个小于2”时，假设的内容应该是____．11．【2017吉黑八校联考】（1）当1x >时，求证：221122x x x x +>+>；（2)若e a <,用反证法证明：函数()2e x f x x ax =-(0x >）无零点．12．【2017河北武邑中学期中】设集合{|1}M x x =<，在集合M 中定义一种运算“”，使得*1a ba b ab+=+．（1）证明： ()()****a b c a b c =;（2)证明:若,a M b M ∈∈，则*a b M ∈．乐一乐古寺有多少僧人———-中学生数学趣题巧解巍巍古寺在云中，不知寺内多少僧。

(教师用书)高中数学 2.2.1 直接证明同步备课课件苏教版选修2-2

【自主解答】
△ABC 中，A＋B＋C＝π，
由 A、B、C 成等差数列，得 2B＝A＋C， π 因此，B＝， 3 由 a，b，c 成等比数列，得 b2＝ac，又 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此 a＝c. 从而△ABC 是等边三角形．
2．2
直接证明与间接证明 2．2.1 直接证明
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
2．过程与方法多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力，以及培养他们的分析问题和解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣． ●重点难点重点：了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法，了解分析法和综合法的思考过程、特点，会证明一些数学命题．难点：根据问题的特点，结合综合法、分析法的思考过程、特点，选择适当的方法进行数学命题证明．
分析法
【问题导思】证明不等式： 3＋2 2＜2＋ 7成立，可用下面的方法进行．要证明 3＋2 2＜2＋ 7，由于 3＋2 2＞0，2＋ 7＞0，只需证明( 3＋2 2)2＜(2＋ 7)2，展开得 11＋4 6＜11＋4 7，只需证明 6＜7，显然 6＜7 成立． ∴ 3＋2 2＜2＋ 7成立．请回答：上述证明过程从哪里开始？证明思路是什么？
●教学流程设计
演示结束
课标解读
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤(重点)． 2．会用综合法、分析法证明一些数学问题(重点、难点)． 3．综合法、分析法的格式区别(易混点).