竞赛课件6：动力学特别问题与方法

质点系的牛顿第二定律♠加速度相关关系♠力的加速度效果分配法则♠牛顿第二定律的瞬时性♠非惯性系与惯性力♠规律规律Fa a a 112211n n i i ii i m m m ===++=∑∑ 212s at a s =⇒∝MmTm F F M m=+规律规律加速度与力是瞬时对应的，外力一旦改变，加速度也立即改变，力与加速度的因果对应具有同时性．确定某瞬时质点的加速度，关键在分析该瞬时质点的受力，对制约着对象运动状态的各个力的情况作出准确判断. 示例m 2m 1m 3m i …F 31F 13F 1F iF 2F 3F 21F i 1F 12质点系各质点受系统以外力F 1、F 2、……对质点112131111F F F F a i m ++++= 对各质点21232222F F F F a i m ++++= 123F +F F F F a i i i i ni i i m +++= F 1i F a a a 1122nn i i i m m m =++=∑∑ 示例如图所示，跨过定滑轮的一根绳子，一端系着m=50 kg 的重物，一端握在质量M=60 kg 的人手中．如果人不把绳握死，而是相对地面以g /18的加速度下降，设绳子和滑轮的质量、滑轮轴承处的摩擦均可不计，绳子长度不变，试求重物的加速度与绳子相对于人手的加速度．专题6-例1取人、绳、物组成的系统为研究对象x mgMg a m a 在图所示坐标轴上建立运动方程为mMg mg Ma ma -=+()m M g a a g m -=-617518g g =⋅-215g =绳相对于人的加速度为211518g g -a 绳对人=a m -a =790g =m A g B A E D 如图所示，A 、B 滑块质量分别是m A 和m B ，斜面倾角为α，当A 沿斜面体D 下滑、B 上升时，地板突出部分E 对斜面体D 的水平压力F 为多大（绳子质量及一切摩擦不计）？专题6-例2a x 对A 、B 、D 系统在水平方向有A xF m a =对A 、B 系统分析受力a m B gαx ()sin A B A B m g m g m m a α-=+sin cos A B A A Bm m m g m m F αα-⋅⋅=+得cos x a a α=而返回ααF绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往有相关联系，确定它们的大小关系的一般方法是：设想物系各部分从静止开始匀加速运动同一时间，则由212s at a s =⇒∝可知，加速度与位移大小成正比，确定了相关物体在同一时间内的位移比，便确定了两者加速度大小关系．x2x如图所示，质量为m 的物体静止在倾角为θ的斜面体上，斜面体的质量为M ，斜面体与水平地面间的动摩擦因数为μ．现用水平拉力F 向右拉斜面体，要使物体与斜面体间无相互作用力，水平拉力F 至少要达到多大？专题6-例3m M θF当物体与斜面体间无作用力时，物体的加速度为g考虑临界状况，斜面体至少具有这样的加速度a ：在物体自由下落了斜面体高度h 的时间t 内，斜面体恰右移了h cotθ，由在相同时间内212s at a s =⇒∝cot ,cot a h a g g hθθ≥≥故cot F Mg Ma Mg μθ-=≥对斜面体()cot MgF μθ+≥g a M gF N Fm 1m 2P A Q B α如图所示，A 为固定斜面体，其倾角α=30°，B 为固定在斜面下端与斜面垂直的木板，P 为动滑轮，Q 为定滑轮，两物体的质量分别为m 1=0.4kg 和m 2=0.2 kg ，m 1与斜面间无摩擦，斜面上的绳子与斜面平行，绳不可伸长，绳、滑轮的质量及摩擦不计，求m 2的加速度及各段绳上的张力．专题6-例4m 1沿斜面下降,m 2竖直上升,若m 1下降s , m 2上升2s ,故T 1m 2g 122a a =建立如图坐标分析受力牛顿第二定律方程为1121222sin 2T m g m g m a m a α+-=+对m 1建立方程m 1T 11112sin 2m g T m a α-=1112sin 2T m g m a α=-112212222sin 22m g m a m g m a m a α--=+122122sin 4m g m g a m m α-=+代入题给数据22 1.09m/s a ≈1 1.09NT ≈P T 1T 1T 221.2218N T T ≈=返回M m F a (a)F mM a (b )M m F a (c)F m M a (d)M m a M m F (f)a 问题情景如果引起整体加速度的外力大小为F ，则引起各部分同一加速度的力大小与各部分质量成正比，F 这个力的加速度效果将依质量正比例地分配．123()F m m m a=+++∑ i i F m a =∑123i i F m F m m m ∝+++ MmTm F F M m =+Δm F m m M T b T a 如图所示，质量为M 、m 、m 的木块以线a 、b 相连，质量为Δm 小木块置于中间木块上，施水平力F 拉M 而使系统一起沿水平面运动；若将小木块从中间木块移至质量为M 的木块之上，两细绳上的张力T a 、T b 如何变化？T a 减小T b 不变2b m T F M m m=++∆22a m m T F M m m+∆=++∆22m F M m m =++∆对左木块对左与中两木块产生整体加速度的力是F ，使BCD 产生同样加速度的力是AB 间静摩擦力，最大静摩擦力大小应为4263m mg F F m μ==当F=3μmg/2时，绳上拉力最大2F T =B F D A T C f 如图所示，在光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块,其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连,木块间的最大静摩擦力是μmg .现有用水平拉力F 拉其中一个质量为2m 的木块,使四个木块以同一加速度运动,则轻绳对m 的最大拉力是多少?=3μmg/234mg μ=B A F ∵A 、B 刚好不发生相对滑动而一起沿水平面运动3BA m F F f ∴==F '要使A 、B 仍不发生相对滑动，须满足23ABm F F f '∴=≤2F F '≤由上二式得如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量2m ．现施水平力F 拉B ，A 、B 刚好不发生相对滑动而一起沿水平面运动；若改用水平力拉A ，要使A 、B 不发生相对滑动，求的最大值.F 'F '专题5-例5返回mg F F 2剪断l 2瞬时，F 2力消失，绳l 1上微小形变力立即变化，适应此瞬时物体运动状态——线速度为零，向心加速度为零；1cos mg F θ=则此瞬物体所受合力为sin mg θl 1θl 2F 1此瞬时物体加速度为sin a g θ=故绳l 1拉力大小等于物体重力的法向分力：如图所示，一质量为m 的物体系于长度分别为l 1、l 2的两根细绳上，l 1与竖直成θ角，l 2水平拉直，物体处于平衡状态．现将l 2剪断，求剪断瞬时l 1细绳上的拉力及物体的加速度．B A a F 撤去F 力前：()A B F m m a=+撤去F 力瞬时，A 受力未及改变，故：A a a=撤去F 力瞬时，B 受力少了F ,故：B B Bm a F m a -=B B B m a F a m -=BF a m =-A B B m a a m -=如图所示，质量分别为m A 、m B 的两个物体A 和B ，用弹簧连在一起，放在粗糙的水平面上，在水平拉力F (已知)作用下，两物体做加速度为a 的匀加速直线运动，求在撤去外力F 的时刻，A 、B 两物体的加速度大小分别为多少？如图所示，木块A 、B 的质量分别为m A ＝0.2 kg ，m Ｂ＝0.4 kg ，盘C 的质量m C＝0.6 kg ，现挂于天花板O 处，整个装置处于静止．当用火烧断O 处的细线的瞬间，木块A 的加速度a A 及木块B 对盘C 的压力F BC 各是多少?O A BC 0A a =()ABC B C B C m m m g a a m m ++==+ 212m/sB C a a ∴==方向竖直向下！对C 运用牛顿第二定律：C BC C C m g F m a +=F BC =1.2Nm c g F BC O 处细线断瞬间,A 受弹簧力未及改变,重力不变,故B 、C 间弹力是微小形变力，其发生突变！以适应B 、C 在此瞬间的运动：专题5-例6返回相对于惯性系以加速度a 运动的参考系称非惯性参考系.牛顿运动定律在非惯性参考系中不能适用i F ma =-a小球不受外力而静止小球不受外力而向我加速i F F ma +=∑非()ma m a -=-为了使牛顿定律在非惯性系中具有与惯性系相同的形式，我们可以引入一个虚拟的力叫惯性力使牛顿第二定律形式为可适用于非惯性系．惯性力与物体实际受到的力（按性质命名的力）不同，它是虚构的，没有施力物，不属于哪种性质的力．如图所示，在光滑水平桌面上有一质量为M 的劈形物体，它的斜面倾角为α，在这斜面上放一质量为m 的物体，物体与斜面间摩擦因数为μ．当用方向水平向右的力F 推劈形物体时，μ等于多少时物体间才没有相对运动？专题5-例7m M α取劈形物体M 为参考系，设M 相对地面的加速度为a ，方向向右，在这个参考系中分析m 受力: a F mg ma F 约αφ()tan ==+i F ma mg αϕmg ma F 约αφ在劈参考系中m 静止,合力为零!()tan i F ma mg αϕ==-对整体在水平方向有()F M m a =+()()()()tan tan 则F M m g F M m g αϕαϕ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=⎪+⎩()()()()()tan sin cos cos sin sin cos sin cos M m g F F M m g F M m g F M m g μϕαααααααα+--+++++≤≤M α一质量为M 、斜面倾角为α的三棱柱体，放在粗糙的水平面上，它与水平面间的摩擦因数为μ，若将一质量为m 的光滑质点轻轻地放在斜面上，M 发生运动，试求M 运动的加速度a ．专题5-例8m μ设M 运动的加速度为a ，显然a 的方向水平向右:a 设m 相对于M 的加速度为a 非，a 非的方向与水平成α角向下，即，沿三棱柱体的斜面:设水平面对三棱柱体的摩擦力为F f ，支持力为F N :F f 研究M 、m 构成的系统，在水平方向有(-cos )f F Ma m a a α=-++非在竖直方向有()sin N M m g F ma α+-=非由摩擦定律f NF F μ=取m 为研究对象x mg F nF N F i αsin +cos mg ma ma αα=非sin cos g a a αα+=非()()sin cos M m g ma m a a Ma μαα⎡⎤+-=--⎣⎦非非()()cos sin a M m g a m m μαμα+++=非()()cos sin cos sin sin cos m Mga m M ααμαμααμα---+=(M+m )g212s at =由人两次从同一高度下落，有21222121a t a t ==122a a =第一次，人、重物（绳）加速度相同，由系统牛顿第二定律()()1M m g M m a -=+某人质量M=60 kg ，一重物质量m=50 kg ，分别吊在一个定滑轮的两边．人握住绳子不动，则他落地的时间为t 1，人若沿绳子向上攀爬，则他落地时间．若滑轮、绳子的质量及摩擦可不计，求此人往上爬时相对于绳子的加速度．专题5-例9前、后两次人下落加速度分别设为a 1、a 2,12t 111a g =第二次，人、重物（绳）加速度各为a 2、a ′，由质点系“牛二律”()12a M m g M ma '-=+855a g '=方向竖直向下绳282255g a a a g '=-=-人对0.1g =-人相对绳以0.1g 向上爬关于惯性力，下列说法中正确的是A. 惯性力有反作用力B. 惯性力是由非惯性系中物体施予的C . 同一物体对不同参考系有不同惯性力D. 惯性力与合外力一定平衡惯性力是虚拟的力，没有施力物，也没有反作用力．惯性力Fi =-ma，a为参考系加速度，参考系不同，匀加速不同，惯性力Fi就不同！在非惯性系中有加速度的运动物体，其所受惯性力与合外力不平衡α如图，在与水平成角α的静止的劈面上放一根不可伸长的轻绳．绳的一端系在墙上A 点，小物体系在绳子Ｂ点上．某一时刻劈开始以恒定加速度a 1向右运动．求物体还在劈上时所具有的加速度a 2？ABx 1x 21本题涉及相关加速度劈加速度a 1、物体加速度a 2、物体相对劈加速度a 21间矢量关系是2211a a a =+ 121x x = 121a a ∴=a 1a 21a 2矢量三角形是等腰三角形！α由矢量图得122sin2a a α=方向与竖直成2α如图，三角凸轮沿水平运动，其斜边与水平线成α角．杆AB 的A 端依靠在凸轮上，另一端的活塞B 在竖直筒内滑动．如凸轮以匀加速度a 0向右运动，求活塞B 的加速度a B ．设三角形高h 、底边长b 本题属相关加速度问题a 0ABαa Bhb由加速度相关关系0cot B a ba hα==0tan B a a α=方向竖直向上αm 1m 2如图所示，质量为m 2的立方块放在光滑的地面上，质量为m 1的劈（劈角为α），直角边靠在光滑的竖直墙上，斜边压在立方体上，试求劈和立方块的加速度．a 2a 1劈和立方块的加速度设为a 1、a 2：a 1、a 2的关系是12tan a a α=设m 1、m 2间压力为F NF NyNyF 'F NF N则对m 122tan NyF m a α'=α对m 2111Ny m g F m a -=12121cot a m gm m α+=1212tan cot m ga m m αα+=M θ如图所示，已知方木块的质量为m ，楔形体的质量为M ，斜面倾角为θ，滑轮及绳子的质量可忽略，各接触面之间光滑，求楔形体M 的加速度．Ma mMx M情景模拟楔形体和方木块的加速度设为a M、a m ,方木块相对楔形体的加速度a mM ：a mM 和a M 的关系由位移关系mM Ma a =a mM 和a M 、a m 的矢量关系是m mM M a a a =+ a Ma mθ2sin 2Mm a a θ=对方块，以M 为参考系的运动方程为cos M ma θsin cos M Mmg T ma ma θθ-+=系统的“牛二律”方程为mgT2θsin2M m T Ma ma θ=+sin 2(1cos )Mmg M m a θθ+-=a Mα如图所示，在倾角为α的光滑斜面上，放有一个质量为m 2的斜块，斜块上表面水平，在它的上面放有质量为m 1的物块．摩擦不计，求两个物块的加速度．xy 0设斜面对m 2支持力为F 2，m 2对m 1支持力为F 1，m 1、m 2整体受力分析如示：m 1m 2a 2(M +m )gF 2在竖直方向由质点系“牛二律”()()122122cos sin m m g F m m a αα+-=+m 2g情景模拟分离前两者在竖直方向有相同加速度对m 2,在水平方向有222sin cos F m a αα=αα()221221sin sin m m g m m a αα++=12cos a a α=又()2122211sinsin a m m g m m αα++=如图所示，绳子不可伸长，绳和滑轮的质量不计，摩擦不计．重物A 和B 的质量分别为m 1和m 2，求当左边绳的上端剪断后，两重物的加速度．左边上端绳断瞬时，其余绳上力尚未及改变，A 、B 受力如图A B m 1gT 1T 1m 2g1111T m g m a +=2222m g T m a -=T 2B 受力如图A 、B 加速度关系是122a a =122T T =又121212112242244m m m m g gm m m a a m +++==+a 1a 2如图所示，A 为定滑轮，B 为动滑轮，摩擦不计，滑轮及线的质量不计，三物块的质量分别为m 1、m 2、m 3，求：⑴物块m 1的加速度；⑵两根绳的张力T 1和T 2m 1m 2m 3BA设定坐标方向及线上拉力，对m 1、m 2、m 3建立运动方程xm 1g T 1m 2gT 1m 3gT 2T 31111T m g m a -=2222T m g m a -=3233m g T m a -=122T T F F =设三者位移各为s 1、s 2、s 3，m 2与m 3相对滑轮B 的位移设为x 对m 2有x= s 2+s 1对m 3有x= s 3-s 12s 1=s 3-s 23212a a a -=则由上列五式可得231213231231144m m m m m m gm m m m m m a =--++123231312184m m m g m m m m T m m ++=123231322144m m m gm m m m T m m ++=如图所示，一根绳跨过装在天花板上的滑轮，一端接质量为M 的物体，另一端吊一载人的梯子而平衡．人的质量为m ，若滑轮与绳子的质量均不计，绳绝对柔软，不可伸长．问为使滑轮对天花板的反作用力为零，人相对于梯子应按什么规律运动？由“滑轮对天花板的反作用力为零”知绳上张力为零a a g==梯则Mgg对人与梯由质点系“牛二律”()Mg ma M m g =--人2M m a gm-=人a 人则人相对梯的加速度为2M g m=a a a =-人梯人梯()2M m g m g -=--如图所示，离桌边左方l 处放一石块，一根长度为２l 的不可伸长的轻绳将它与另一个相同质量的石块连接起来，搭在轻滑轮上，两石块维持在同一高度，绳既不拉伸也不下垂，然后放下右边石块．问：左边石块先到达桌边碰到滑轮，还是右边石块先碰到桌子？（不计摩擦）l 情景模拟各时刻，绳上张力大小T 总处处相等!左石块加速度Ta m=左右石块水平加速度cos T a mθ=右TTa a 右左<同样时间内左边石块位移大于右边石块，故左边石块先到达桌边如图所示，质量为m 的两个相同的重物，分别固定在轻杆的两端，杆用铰链与轴相连，轴将杆长分为2∶1，维持杆的水平，试求释放时两个物体的加速度及杆对轴的压力．分析释放瞬时杆与两重物系统受力mgmg F Na右a 左由质点系“牛二律”()2N F mg m a a -=-左右由两球位移关系知2a a =右左2F N /3F N /3对左球23N F mg ma -=左13N mg F ma-=右对右球由四式可得9N F mg =25a g=右15a g=左如图所示，一根长度为3l 的轻杆上固定质量分别为m 1和m 2的两个重物，它们之间的距离以及它们分别到杆两端的距离相等．用两根竖直的绳子系在杆的两端，使杆水平放置且保持平衡状态．试求当右边绳子被剪断时刻左边绳子的拉力F T ．分析释放瞬时杆与两重物系统受力m 21m 1gm 2gF T2F TF T对左球1112T m g F m a -=222T m g F m a +=对右球由两球位移关系知2a a =21a 2a 112124T m m gm F m +=如图所示，在以加速度a 行驶的车厢内，有一长为L ，质量为m 的棒AB 靠在光滑的后壁上，棒与车厢底面间的摩擦因数为μ．为了使棒不滑动，棒与竖直平面所成的夹角θ应在什么范围内？．棒不向右滑,受力如图aABθmg F NF 2Ffθma水平方向2f F F ma-=N F mg=竖直方向以车为参考系以A 端为支点,应满足cos cos sin 22L Lma mgL mg θμθθ++sin mgL θ≥由上可得tan 2agθμ≤+棒不向左滑,受力如图F f以A 端为支点,应满足cos sin 22L L ma mg θθ+sin cos mgL mgL θμθ≤+tan 2a g θμ≥-θ范围为12tan 2a a g g θμμ--≤≤+（）（）A两块与水平成角α的光滑斜面构成轻架，架上有如图所示那样放置的两个小球，架可以沿水平面做无摩擦滑动，释放质量为m 1的上球，试问在什么条件下，质量为m 2的下球将沿架子滚上？临界时m 2已不再压右边斜架!两球受力如图m 2m 1ααm 1gα因为是轻架，即无加速度，所以两球对架压力的水平分力应相等,有12sin sin N N F F αα⋅=⋅m 1、m 2在右斜面法线上的加速度应满足12n na a >()221112cos sin 902cos N N m g F m g F m m ααα---即>m 2g 可得12cos 2m m α≤121cos 2m m α>。