陕西专升本高数真题模拟+解答

陕西专升本高数真题+解答
陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）
高等数学
注意事项：
全卷共10页，满分150分。

考试时间150分钟。

其中试题3页，用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上，答在试卷上的答案无效。

一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选好的答案填在答题纸上题号所在的位置上。

1. 0x =是函数11()12
x
f x =
+的 【 B 】
A. 可去间断点
B. 跳跃间断点
C. 振荡间断点
D. 连续点 2．设函数0()(1)x
f x t dt =-⎰, 则()f x 有 【 D 】
A. 极大值
12 B. 极大值12- C. 极小值12 D. 极小值12
- 3. 设函数)(x f 的导函数为sin x , 则)(x f 有一个原函数为
【 A 】
A. 1sin x -
B. 1sin x +
C. 1cos x -
D. 1cos x + 4.
不
定
积
分
2(1)x
xe dx x =+⎰
【 A 】
A. 1x e C x ++
B. 1x
e C x -++ C. 2(1)x e C x ++ D. 2
(1)x e C x -++ 5. 无穷级数1
51
(1)n p n n +∞
=-∑ 【 B 】
A. 当15p >
时, 为条件收敛 B. 当1
5p >时, 为绝对收敛 C. 当105p <≤时, 为绝对收敛 D. 当1
05p <≤时, 为发散的
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。

将答案填在答题
纸上题号所在的位置。

6. 设函数22,3
()1,3x x x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩
, 则((1))f f =
3-.
7. 极限520
1sin
lim
sin x x x x
→=0.
8. 已知0a >，当0x →时, 1ax e ax --与1cos x -是等价无穷小, 则常数
a =
1.
9. 321()x d f t dt dx
-=⎰233(2)x f x -.
10. 微分方程0y y ''+=的通解为y =
12cos sin y C x C x
=+.
三、计算题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 计算题要有计算
过程.
11．求极限2
20
ln(1sin )lim
1
x x x e →+-.
解：2
222
0ln(1sin )sin lim
lim 11
x x x x x
x e →→+==- 12．设参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩
确定了函数()y y x =，求22d y
dx .
解：因为sin sin (1cos )1cos dy
dy a t t
dt dx dx a t t dt
===
-- (4分) 因此 22222
1cos (1cos )sin 11
()(1cos )(1cos )(1cos )d y d dy t t t dx dx dt dx t a t a t dt
---=⋅=⋅=--- (8分)
13. 求函数23()(10)(5)f x x x =+-的单调区间和极值.
解：12
3
3325(1)
()(5)(10)(5)335
x f x x x x x -+'=-++⋅-=- (3分)
当1x <-时，()0f x '>; 当15x -<<时，()0f x '<;当5x >时, ()0f x '>. 因此
()f x 的单调增区间为(,1],[5,)-∞-+∞;单调减区间为[1,5]-; (6分)
()f x 在1x =-处取得极大值2
3
(1)96f -=⨯, 在5x =处取得极小值(5)0f = (8分)
14. 求不定积分2
3
2
(ln )1x x x dx x +
+⎰. 解：2
3
2
(ln )1x x x dx x
++⎰ 4
211ln (1)41xdx dx x =
+-+⎰⎰ (2分) 4311
ln arctan 44x x x dx x x =-+-⎰ (6分)
4411
ln arctan 416x x x x x C =-+-+ (8分)
15. 设函数((),)z f xy xy ϕ=, 其中f 具有二阶连续偏导数, ϕ二阶可导, 求
z
x
∂∂和2z x y ∂∂∂. 解：
12()z
f xy y f y x
ϕ∂'=⋅⋅+⋅∂ (4分) 211121(())()(()()z
f xy x f x xy y f xy xy xy x y
ϕϕϕϕ∂'''''=⋅+⋅+⋅+∂∂
21222
(())f xy x f x y f ϕ'+⋅+⋅+
(8分)
16. 求空间曲线2
1
z x xyz ⎧=⎨=⎩在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程.
解：曲线方程x t =，3
1y t
=
，2
z t =，1t =对应点为(1,1,1) (2分) 因为 1dx dt =；43dy dt t -=；2dz t dt
= 因此 1|1t dx dt ==；1|3t dy dt ==-；1|2t dz
dt == (4分)
所求切线方程为
111
132
x y z ---==
- (6分) 法平面方程为 (1)3(1)2(1)0x y z ---+-=
即 320x y z -+= (8分)
17. 计算二重积分223D
I x y dxdy =+⎰⎰, 其中积分区域22:9D x y +≤.
解：法一 223
22
33
D
I x y dxdy d r rdr πθ=+=⎰⎰⎰
⎰ (4分)
2
53
33
3
30032722|984
r dr r πππ==⋅=⎰ (8分) 法二：1
2
3
2
2
2
2
333
20
44D
D I x y dxdy x y dxdy d r rdr π
θ=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
833
30
3272|984
r ππ=⋅=
18. 计算对坐标的曲线积分232
()(2)L
x xy dx y xy dy -+-⎰
Ñ, 其中L 是四个顶点分别为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.
解：设23(,)P x y x xy =-，2(,)2Q x y y xy =-，L 所围区域为D ，且
D ：02x ≤≤，02y ≤≤
由格林公式，得
232
()(2)()L
D
Q P
x xy dx y xy dy dxdy x y
∂∂-+-=-∂∂⎰⎰⎰Ñ (4分)
2
2
20
(23)dx y xy dy =-+⎰⎰ (6分)
2
2
232
00
()|(48)8y xy dx x dx =-+=-+=⎰⎰ (8分)
19. 将函数2()4x
f x x +=
+展开为麦克劳林级数. 解：22
()144x f x x x
+==-++ (2分)。