1.3.2 函数的最大值、最小值

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人教A版高一数学必修一《1.3.2函数的最大、最小值》精品课件

解析：原函数变为 y＝|x－2| ＋|x＋1|＝
－2x＋1 3 2x－1
x≤－1 －1＜x≤2 x＞2
其图象如下图所示，显然函数值 y≥3，所以函数有最小值 3，无最大值．
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
利用函数单调性求最值 x 求函数 f(x)＝在区间[2,5]上的最大 x－1 值与最小值．
第2课时
函数的最大值、最小值
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1.理解函数的最大(小) 值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的最大值或最小值.
1.利用函数单调性求函数最值．(重点) 2.体会数形结合思想的运用．(难点)
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0 最小值．而对于f(x) 时，y＝0是所有函数值中_______ ＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中最大值． _______
2x＋6 2．函数 f(x)＝ x＋7
x∈[1，2] ，则 f(x) x∈[－1，1] 的最大值、最小值为( ) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
解析：本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值．当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 答案： A
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
[题后感悟] (1)实际问题．要理解题意，建立数学模型转化成数学问题解决． (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键.

函数的最大值与最小值90830

已知a为实数，f ( x) ( x2 4)( x a)
（Ⅰ）求导数 f ( x) ；
（Ⅱ）若 f (1) 0 ，求 f ( x)在[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若 f ( x) 在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。
练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最
r 2

V
(3 V 2
)2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,
而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),
但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).
的最大值为 ,最小值为
。
分析: (1) 由 f ´(x)=3x²+6x－9=0, 得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－5
(2) 区间［－4 , 4 ］端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76
当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：
x -4 (-4,-3) -3 (- 1 (1,4) 4 3,1)
大值和最小值.
答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.
四、实际应用
1.实际问题中的应用. 在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的
最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常注意确定函数的定义域.
在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f (x) 0 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间.

初三数学函数的最大值与最小值知识精讲

初三数学函数的最大值与最小值知识精讲函数的最大值与最小值在经济生活中常常遇到在一定条件下怎样使运费最省、利润最多、容积最大、材料耗费最少等效益问题，这类问题的解决往往归结为求某个函数在自变量允许取值范围内的最大值或最小值，这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用。

1. 一次函数的最大值与最小值一次函数y kx b =+在其定义域（全体实数）内是没有最大值和最小值的，但是如果对自变量x 的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了。

2. 二次函数的最大值与最小值。

①对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。

②求二次函数的最值时，应注意自变量的取值范围。

例（1999天津）已知关于x 的方程x x k 220-+=有实数根x x 12,，且y x x =+1323，试问：y 值是否有最大值或最小值，若有试求出其值，若没有请说明理由。

分析：利用根与系数的关系，将y 变形为用k 的代数式来表示并注意有实根时，其判别式为非负。

解： x x k 220-+=有实数根[]∴-≥∴≤+==∴=+=++-=-=-∴==24012324386122121213231212212k k x x x x ky x x x x x x x x k k y k y k k y ,()()()是关于的一次函数且值随值的增大而减少。

当时，。

最小例（1997陕西）如图所示的抛物线是把y x =-2经过平移而得到的，这时抛物线过原点O 和x 轴正向上一点A ，顶点为P 。

（1）当∠=OPA 90 时，求抛物线的顶点P 的坐标及解析表达式。

（2）求如图所示的抛物线对应的二次函数在1232≤<x 时的最大值和最小值。

yPx O A解：（1） ∆OPA 是等腰直角三角形∴=--+∴-+===∴=--+=-+点的横、纵坐标相等设点的坐标是（），所求解析式为在抛物线上，解得（舍）抛物线的解析式为（）P P a a y x a aO a a a a P y x x x ,()(,)(,)22220000111112（2）当时，最大x y ==-+⨯=112112当时，函数值随的增大而增大。

高二年级-数学-最大值与最小值

如:求 y 2x 1 在区间[1，3]上的最值．
（2）利用函数的图象如：求 y (x 2)2 3 在区间[1，3]上的最值.
（3）利用函数的导数
新课讲授
利用导数求函数 f (x) 区间 a,b 上最值的步骤:
（1）求 f (x) 在区间(a,b) 上的极值；（2）将第一步中求得的极值与 f (a)、f (b) 比较，
新课讲授
一、最值的概念(最大值与最小值)
如果在函数定义域 I 内存在 x0 ,使得对任意
的 x I ,总有 f (x) f (x0 ) ,则称 f x0 ) 为函数
f (x) 在定义域上的最大值. 如果在函数定义域 I 内存在 x0 ,使得对任意
的 x I ,总有 f (x) f (x0 ) ,则称 f (x0 ) 为函数
在区间 (a，b)，无最大值.
f (x) x3在区间a, b上
有最值，但没有极值
概念辨析
1. 对于函数 f (x) ，如果 f (x) c（ c为常数）对定义
域中的每个自变量 x 均成立，那么 c一定是函数 y f (x)
的最大值吗？
不一定是
如果在函数定义域内存在 x0，对于定义域中的每个
自变量 x 均有 f (x) f (x0 ) 成立，那么 f (x0) 一定是函
在最值，那么最值惟一；
在[a，b]上极小值是 f(x1)，f(x3)，f(x5)，极大值是 f(x2)，f(x4)，f(x6).
在区间[a，b]上的最大值是 f(a)，最小值是 f(x3).
新课讲授
如果函数存在极值，极值只能在区间内取得，如果函数存在最值，则最值可以在端点处取得；
有极值的函数未必有最值，有最值的函数未必有极值.

高中数学必修一课件第一章集合与函数概念 1.3.1.2 函数的单调性与最值

f－32；当
x＝12时，有最大值
1 f2.
答案 C
2．函数 f(x)＝x12在区间12，2上的最大值是
1 A.4
B．－1
C．4
D．－4
( )．
解析由 t＝x2 在12，2上是增函数，易知 f(x)＝x12在12，2上是减函数．
∴f(x)max＝f12＝4. 答案 C
(2)∵f(x)的最小值为 f(2)＝121，
∴f(x)>a
恒成立，只须
f(x)min>a，即
11 a< 2 .
类型三函数最值的实际应用【例 3】某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：
R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400，其中 x 是仪器的月产量． 80 000，x>400.
课堂小结 1．函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是
最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有 f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了．最大 ( 小 ) 值的核心就是不等式 f(x)≤M( 或 f(x)≥M)，故也不能只有(2)．
2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，
则函数f(x)的最值必在
区间端点处取得．
互动探究探究点1 函数f(x)＝x2≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？提示不是．因为对x∈R，找不到使f(x)＝－1成立的实数x. 探究点2 函数最大值或最小值的几何意义是什么？提示函数的最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．

多元函数极值与最值

多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。

而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。

对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。

本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。

1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。

（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。

1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。

1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。

2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。

2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。

它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。

具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。

它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。

具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。

3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。

3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。

使函数的值最大或最小的方法

使函数的值最大或最小的方法在数学中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值。

这些极值点对于问题的解决至关重要。

下面将介绍一些常用的方法，可以帮助我们找到函数的最大值或最小值。

1. 导数法导数法是一种常用的方法，通过求函数的导数来找到函数的极值点。

根据导数的定义，函数在极值点处的导数为零或不存在。

首先，我们需要计算函数的导数。

对于一个一元函数，我们可以使用微积分中的导数计算公式来求导。

然后，我们将导数为零或不存在的点找出来，这些点即为函数的极值点。

通过计算函数在这些点上的值，我们可以确定函数的最大值或最小值。

例如，假设我们需要找到函数f(x) = x^2 - 2x + 1的最小值。

首先，我们计算函数的导数f'(x) = 2x - 2。

然后，我们令f'(x) = 0，解方程得到x = 1。

接下来，我们计算f(x)在x = 1处的值，即f(1) = 0。

因此，函数f(x)的最小值为0。

2. 二分法二分法是一种适用于单调函数的方法，通过不断缩小搜索范围来找到函数的极值。

对于一个闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果f(a) > f(b)，则函数在[a, b]上是单调递减的；如果f(a) < f(b)，则函数在[a, b]上是单调递增的。

首先，我们取区间的中点c = (a + b) / 2。

然后，比较f(a)和f(c)的值。

如果f(a) > f(c)，则函数的极值在[a, c]之间；如果f(a) < f(c)，则函数的极值在[c, b]之间。

通过不断缩小搜索范围，最终可以找到函数的极值点。

例如，我们需要找到函数f(x) = x^2的最大值，在区间[0, 2]上。

我们首先取中点c = (0 + 2) / 2 = 1，计算f(0) = 0和f(1) = 1的值。

由于f(1) > f(0)，我们可以确定函数的极值在区间[1, 2]之间。

然后，我们再次取中点c = (1 + 2) / 2 = 1.5，计算f(1)和f(1.5)的值。

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(1)

2
4
小结：最值的取得点余弦函数的值域
练习：求函数y 2 - cos x 的最大值和最小值，并分别 3
写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合。
解：当cos x 取得最大值1时，y 2 cos x 取得最小值1，此时
3
3
x 2k (k Z),即x 6k (k Z ).
3
当cos x 取得最小值 1时，y 2 cos x 取得最大值3，此时
(k Z)
2
(k ,0) (k Z )
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=sin(x+ )=cosx, xR 2
正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
-4 -3
-2
((00,,111))
3
((22,1,1))
-
(-o122 ,0)
( 2 ,0)
2
((,,--11))
函数
2.函数f(x)=cosx－|cosx|的值域为 ( D )
（A）{0}
(B) [－1,1]
(C) [0,1]
(D) [－2,0]
3.若a=sin46° , b=cos46°, c=cos36°，则a、
b、c的大小关系是 ( )A
(A) c> a > b
(B) a > b> c
(C) a >c> b
减函数；
当 2k
3
x
3
2k
2
时，
23
即4k 4 x 4k 10 时，原函数为

函数的极值与最值知识点总结

函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。

本文将对函数的极值和最值进行详细总结。

1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。

1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。

极大值点和极小值点合称为极值点。

1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。

1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。

这是极值判定的充分条件。

2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。

2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。

但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。

2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。

首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。

从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。

3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。

3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。

首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。

当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。

计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。

函数的极值与最大值最小值

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
函数极值的判定法由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 .
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数不存在的点.
y
3) 函数的最值是函数的全局性质.
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用.
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则值的方法: (1) 求 f ( x)在 (a , b) 内的极值可疑点
x1 , x2 , , xm
(2) 最大值
M max f ( x1 ) , f ( x2 ) ,, f ( xm ) , f (a) , f (b)
最小值
m min f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xm ) , f (a) , f (b)
特别:
• ●当 f ( x) 在 [a , b]内只有一个极值可疑点时, 若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 . • ●当 f ( x) 在 [a , b]上单调时, 最值必在端点处达到.
(证明略)
例如, 容易验证x=0是 y x2 , x ( , ) 的极小值点. 而 x=0不是 y x , x ( , ) 的极值点.
3
例3 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 . 2 x 2 1 2 5 解 1) 求导数 f ( x) x 3 ( x 1) x 3 5 3 3 3x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x) 0 , 得 x1 ; 令 f ( x) , 得 x2 0 5 3) 列表判别

高中数学必修一函数的最大(小)值练习题测试题及答案解析

1.3.1.2函数的最大（小）值双基限时练新人教A 版必修11．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A.13 B ．－12C ．1 D.12解析函数y ＝1x －1在[2,3]上是减函数，∴当x ＝3时，取最小值为12. 答案 D2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1，则函数f (x )的最大值和最小值分别为( )A ．8,6B ．8,8C ．10,6D ．10,8解析当x ∈[1,2]时，f (x )∈[8,10]；当x [－1,1)时，f (x )∈[6,8)，∴f (x )的最大值和最小值分别为10,6.答案 C3．函数y ＝|x ＋1|＋2的最小值是( ) A ．0 B ．－1 C ．2D ．3解析 y ＝|x ＋1|＋2的图象如下：所以最小值为2. 答案 C4．函数f (x )＝x 2＋2x －1，x ∈[－3,2]的最大值、最小值分别为( ) A ．9,0 B ．7,3 C ．2，－2D ．7，－2解析 f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，∴当x ＝－1时，有最小值－2，当x ＝2时，有最大值7.答案 D5．函数f (x )＝2x －1＋x 的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析易知当x ≥12时，函数f (x )为增函数，故值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案 A6．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，若该公司在两地共销售15辆(销售量单位：辆)，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，则利润y ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋4814∴当x ＝9或10时，可获最大利润120万元．答案 C7．函数y ＝1x 在[1，a ]上的最小值为14，则a ＝______.解析 ∵y ＝1x在[1，a ]上是减函数，∴最小值为f (a )＝1a ＝14，∴a ＝4.答案 4 8．函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的值域为________．解析 f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，易知f (x )在[2,5]上为减函数，∴最小值为f (5)＝54，最大值为f (2)＝2，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2 9．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是________．解析 y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，作出图象，由图象知，1≤m ≤2.答案 [1,2]10．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a ，b 的值．解由f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b 的对称轴为x ＝1知，无论f (x )的单调性怎样，f (x )在[2,3]上存在最值的情况有两种：⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧f ＝5，f＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最值； (2)若f (x )是单调函数，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，∵x ∈[－5,5]，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2的图象是抛物线，其对称轴为x ＝－a . 若函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．是单调函数，则有－a ≤－5，或－a ≥5， ∴a ≥5，或a ≤－5.故所求实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 12．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.。

函数的最大值和最小值(教案与课后反思

函数的最大值和最小值一、教学目标：1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念。

2. 让学生掌握求函数最大值和最小值的方法。

3. 培养学生解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 函数的最大值和最小值的定义。

2. 求函数最大值和最小值的方法。

3. 实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的最大值和最小值的定义，求最大值和最小值的方法。

2. 教学难点：如何运用方法求解实际问题中的最大值和最小值。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。

2. 利用案例分析，让学生理解最大值和最小值在实际问题中的应用。

3. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。

五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的例子，如购物时如何选择最划算的商品，引出函数的最大值和最小值的概念。

2. 讲解概念：详细讲解函数的最大值和最小值的定义，让学生明确最大值和最小值的意义。

3. 方法讲解：讲解求函数最大值和最小值的方法，并通过示例进行演示。

4. 案例分析：分析实际问题中的最大值和最小值，让学生了解最大值和最小值在生活中的应用。

5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学方法解决实际问题。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调最大值和最小值的概念及求解方法。

7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

课后反思：本节课通过生活中的例子引入最大值和最小值的概念，让学生容易理解。

在讲解方法时，结合示例进行演示，有助于学生掌握。

在案例分析和小组讨论环节，学生能够积极参与，运用所学知识解决实际问题。

但部分学生在理解最大值和最小值的应用时仍有一定难度，需要在今后的教学中加强引导和练习。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课后访谈等方式，了解学生对函数最大值和最小值概念的理解程度。

2. 评估学生在实际问题中运用最大值和最小值方法的能力。

3. 根据学生的表现，调整教学策略，以提高教学质量。

七、教学拓展：1. 引导学生关注其他类型的函数（如二次函数、指数函数等）的最大值和最小值问题。

高一数学必修一函数的最大(小)值

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答案：y＝f(x)在x＝－1.5处取得最小值，即ymin＝－2，在 x＝3处取得最大值，即ymax＝3.
点评：用图象法求最值的一般步骤是
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跟踪训练
1．函数f(x)的图象如下图所示，则最大值、最小值分别为 ()
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点评：1.解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学问题解决．
2．分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关栏
键．
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接
3．对分段函数求最大(小)值时，要分别求出函数在各段
上的最大(小)值，然后比较，最大(小)的一个即为函数的最大
(小)值．

跟踪训练
栏目
首选方法．
链
接

跟踪训练
2．求函数f(x)＝
在区间[2,5]上的最大值与最小值．栏
目链接

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题型三实际问题中的最值
例3 A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地
建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站距城
____3____．
栏目
3．函数y＝x2－2x＋4的最小值为___3____ .
链接
4．函数f(x)＝ (x∈R)的最大值是____1____，最小值是 __不__存__在__.

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题型一利用函数的图象求函数的最值例1 函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象如下图所示，求它的最大值、最小值．
2．若函数f(x)满足：对定义域中的任意x都有f(x)≥f(2)，能说函数f(x)的最小值是f(2)吗？
栏
解析：由最小值的定义可知函数f(x)的最小值是f(2)．但取目

高中数学必修一(人教版)3.2.1.2函数的最大(小)值

＝
x＋2，0≤x≤4， 10－x，x>4，
所以函数f(x)的图象如图中
的实线部分，解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y
＝6，故两图象交点为(4,6)．观察图象知，两图象
的交点即为f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)图象的
最高点，即f(x)的最大值为6.
答案：6
状元随笔根据 min{a，b}可得到 f(x)为分段函数，画图象可求．
综上可得，g(t)＝t12，＋01≤，tt≤<01，， t2－2t＋2，t>1.
状元随笔解答此类题目，画图是必不可少的，最好画出轴在区间左侧、轴在区间内、轴在区间右侧等情况，必要时还要画出轴在区间中点的左侧和右侧两种情况．
跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)＝－x2＋2x＋4，则当 x∈[－2,2]时， f(x)的最小值为( )
反思与感悟：在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论：
a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max， a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.
方法归纳
图象法求最值的一般步骤
题型二利用单调性求函数的最值——师生共研例1 已知函数f(x)＝x－2 1(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
解析：∀x1，x2∈[2,6]，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－2 1－x2－2 1＝2[xx21－－11－x2x－1－11] ＝x12－x12－xx2－1 1. 由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

函数的最大值和最小值例子

函数的最大值和最小值例子1.引言1.1 概述在数学中，函数的最大值和最小值是非常重要的概念。

函数是一种对应关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。

函数的最大值和最小值分别指的是函数在定义域范围内取得的最大和最小的输出值。

最大值和最小值在很多实际问题中都有着重要的应用。

例如，在经济学中，我们经常需要找到某个函数表示的利润、成本或效益的最大值或最小值。

在物理学中，我们可能需要找到某个函数描述的物理量的最大或最小值，比如速度、加速度等。

要找到函数的最大值和最小值，需要使用微积分的一些基本概念和方法。

其中，一阶导数和二阶导数对于确定函数的极值点非常重要。

通过求解导数为零的方程，我们可以确定可能的最大值和最小值的位置。

然后，通过求解二阶导数的符号，我们可以确定这些极值点是最大值还是最小值。

在本文的正文部分，我们将介绍一些函数的最大值和最小值的例子，并详细说明如何求解这些极值点。

通过这些例子，读者将更加深入地理解函数的最大值和最小值的概念，以及如何在实际问题中应用它们。

总之，函数的最大值和最小值是数学中非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。

通过研究函数的极值点，我们可以更好地理解函数的特性，并在实际问题中做出准确的判断和决策。

下面，我们将详细介绍函数的最大值和最小值的例子，以帮助读者更好地掌握这个概念。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以写成如下形式：文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分包括概述、文章结构和目的三个小节。

在概述中，我们可以简要介绍函数的最大值和最小值的概念以及其在数学和实际问题中的重要性。

在文章结构中，我们将展示本文的整体结构，为读者提供一个全局的认知。

在目的部分，我们将明确说明本文旨在通过例子来介绍函数的最大值和最小值的求解方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

正文部分分为函数的最大值和函数的最小值两个小节。

在函数的最大值小节中，我们将通过具体的例子来介绍最大值的概念，并阐述求解最大值的方法，如导数法和二次函数法。

初三数学最值问题模型

初三数学最值问题模型数学中的最值问题是非常经典的数学问题之一，初三学生也需要掌握这一基本知识。

下面，我将为大家介绍初三数学中的最值问题模型。

一、最大值问题最大值问题是指，在所有条件下使某一问题要求的数值最大的数，即为该问题的最大值。

初三数学中最大值问题多表现为以下几种：1.1 一次函数最大值问题一次函数可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。

最大值问题就是要让y最大。

解题步骤：（1）求出y的表达式，设最大值点为(x0,y0)（2）化简y的表达式，得出x0的值（3）将x0的值带入y的表达式，得出y0的值（4）最大值为(y0, x0)1.2 二次函数最大值问题二次函数一般可以写成 y = ax^2 + bx + c 的形式。

指数为 2 的函数图像是一个抛物线，有一个最值点。

求二次函数的最大值就是求最值点。

解题步骤：（1）求出函数的导函数（2）将函数的导函数等于 0，求得所有的极值点（3）求出函数在每个极值点的函数值（4）最大值就是所有函数值中最大的一个1.3 正比例函数最大值问题正比例函数可以表示为 y = kx ，其中k为比例常数。

最大值问题就是要让y最大。

解题步骤：（1）求出y的表达式，设最大值点为(x0,y0)（2）化简y的表达式，得出x0的值（3）将x0的值带入y的表达式，得出y0的值（4）最大值为(y0, x0)1.4 平方差最大值问题平方差最大值问题是指，已知两个实数a和b，在满足a+b=k（k为常数）的条件下，使（a-b）的平方最大。

该问题也可以通过求导的方法解决。

二、最小值问题最小值问题与最大值问题非常相似，只是将最大值的条件改为最小值。

2.1 一次函数最小值问题解题步骤与一次函数最大值问题类似。

2.2 二次函数最小值问题解题步骤与二次函数最大值问题类似。

2.3 反比例函数最小值问题反比例函数可以表示为 y = k/x ，其中k为比例常数。

最小值问题就是要让y最小。