函数的单调性与极值课件82097

当 x(1,1)时，f(x)0 当 x (1 ,) (, 1 )时， f(x)0。
所以 f (x) 的单调增加区间是 (,1和) (1,；) 单
调递减区间是 (1,1)
例3 确定函数 f(x)3x53 3x23的单调区间。
52
解 f (x)的定义域是 (,)
时，f(0)0，所以 f (x)在 (,内) 单调减少。
例2 求函数 f(x)x33x的单调区间。
解 f (x)的定义域是 (,)
f(x ) 3 x 2 3 3 (x 1 )x ( 1 )
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令 f(x)0，得 x1,x1， 它们将定义域 (,) 分成三个区间 (,1) (1, 1) (1,)
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(x)4x
令 L(x)0，得驻点 x4。 因为 L(4)10，所以 x4是函数 L(x)
的唯一极大值点，于是 L(4)（5万元）是最大值， 即每年生产400台时，总利润最大，最大利润为5万元。
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方盒的容积为：
x
vx(a2x)2,x(0,a)
2
a
v (a 2 x )a ( 6 x ),
令
v 0，得
x1

a, 6
x2

a（舍去）。又
2
v(a) 4a0
6
所以函数
v在
x

a 6
处取得唯一极大值，此极大值就是
最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方
一点M向工厂修一条公路，已知铁路与公路每公里运 费之比为3：5，问M 选在离C多少公里处，才能使从 A到C的运费最少？
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解 设 MCx, 则 B M b x ,A M a 2 (b x)2
设铁路、公路上每公里运费分别为 3k,5k,从A到
C需要的总运费为 y，则
y 5 ka 2 (b x )2 3 k(0 x x b )
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函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和 极小致点统称为极值点。 注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个 极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。
y
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o
a
b
x
2 极值存在的必要条件和充分条件
定理2（极值的必要条件） 如果函数 f ( x在) 点
x 0 处可导，且在点
( x 0 ,x 0 ) ( x 0 ,x 0 )( 0 )内可导。
（1）如果在 (x0 ,x0)内 f(x)0，在 (x0,x0 )
内 f(x)0，则函数 f ( x)在点 x 0处取极大值 f ( x0；)
（2）如果在 (x0 ,x0)内 f(x)0，在 (x0,x0 )
1
形铁皮边长的 6 时，所做的方盒容积最大。
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例10 制作一个容积为 V的圆柱形密闭容器， 怎样设计才能使所用材料最省？
解 如图，设容器的底面半径为 r，高为 h，
则表面积为 S2r22rh
由已知 Vr2h
得
h

V
r 2
故 所以
S2r22V,r(0, )
r
4
例12工厂生产某产品，当年产量为x（单位：百
台）时，总成本（单位：万元）为C(x)=3+x，其销
售收入（单位：万元）为 R(x)5x0.5x,2问年产量x为 多少时，总利润L最大？
解 利润为
L ( x ) R ( x ) C ( x ) 4 x 0 . 5 x 2 3 ( x 0 )
y 5k(bx) 3k a2 (bx)2
令 y 0，得
x1b4 3a,x2
b3a（舍去）。因为
4
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x 1是在区间[0, b]上的唯一驻点，而实际问题中存在
最小值，因而
x1

b

3 4
a是最小值点，因此，M选在
离C点距离为
b 3 a(km处) 时总运费最省。
函数的单调性与极值
一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最值
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一、函数的单调性
从几何图形上来分析 y

o
a
b
x
如果曲线 y f(x)在 (a,b) 内所有切线的倾斜角
都是锐角，即斜率 tanf(x)0时，那么曲线在
(a,b) 是上升的 。
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y

2
函数 f (x)x3x32 1的图形如图
2
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y 1
1 2
0
1
x
函数在驻点处二阶导数存在时，还可以用函数的 二阶导数判定函数是否有极值。 定理4（极值的第二充分条件） 设函数 f (x在) 点 x 0 处有二阶导数，且 f(x0)0， f(x0)0，则 （1）如果 f(x0)0，则 f ( x)在 x 0 取得极大值； （2）如果 f(x0)0，则 f ( x)在 x 0取得极小值。
内 f(x)0，则函数 f ( x)在点 x处0 取极小值 f ( x0 ；)
（3）如果 f (x)在 (x0 ,x0和) (x0,x0 )内不变
号，则 f ( x)在 x 0处无极值。
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定理3即：设 f ( x)在点 x 0的某一空心邻域内可导， 当 x有小增大经过 x 0时，如果 f (x)由正变负， 则 x 0是极大值点；如果 f (x由) 负变正， 则 x 0 是 极小值点；如果 f (x) 不变号，则 x 0不是极值点。
oa
b
x
同样，当 tanf(x)0时，曲线在 (a,b)内是下降。
可见，函数的单调性可以用导数的符号来判定。 我们有如下定理：
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定理1 设函数 y f(x)在 a,b上 连续，在区间
(a, b) 内可导，
（1）如果在 (a, b)内 f(x)0，则 上单调增加；
（2）如果在 (a, b)内 f(x)0，则 上单调减少。
大值或最小值。 例7 求函数 f(x)2x33x2 1x2 4 在区间
3,4上的最大值与最小值。
解 f( x ) 6 x 2 6 x 1 6 2 ( x 2 )x (1 )
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令 f(x)0， 得驻点 : x12,x21.
f ( 2 ) 2 ,f ( 4 1 ) 3 ,f ( 3 ) 1 ,f ( 3 4 ) 132
3

x1
3x
令 f(x)0，得驻点 x 1，而 x0时 f (x不) 存在。
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因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：
x (,0) 0
f (x)
f (x)
不存在
极大值
1
(0,1)
1
0
极小值
1
2
(1,)

由表可知， f ( x)在 x0处取得极大值 f (0) ，1 f ( x) 在 x 1处取得极小值 f ( x) 1。
S4r2 rV 2 2(2rr3 2V)
h r
令 S 0，
得驻点
r3
V
2
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S有唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因
此求得的驻点为最小值点，此时
h

V
r2
2r
所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。
例11 一工厂A与铁路的垂直距离为 ak，m垂足 B到火车站C的铁路长为 bk(m ba，) 要在BC段上选
(1,) ，单调减少区间为 (0,1) 。
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二、函数的极值
1 定义 设函数 f (x)在点 x 0 的某邻域内有定义， （1）如果对该领域内的任意点 x(xx)，都有 f(x)f(x0)，则称 f ( x0 ) 是 f ( x)的极大值，称 x 0是 f (x) 的极大值点。 （2）如果对该领域内的任意点 x(xx)，都有 f(x)f(x0) ，则称 f ( x0 )是 f ( x)的极小值，称 x 0 是 f (x) 的极小值点。
由定理4 可知，x11,x21都是 f ( x)的极小值点， f(1)f(1)1为函数 f ( x) 的极小值。
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三、函数的最值
函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性 概念。
1 闭区间[a，b]上的连续函数 f (x) 可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函
数值相比较，其中最大的就是函数 f (x在) a,b上 的 最大值，最小的就是函数 f (x)在 a,b上的最小值。
仍是单调增加（或单调减少）的。 考察函数 f (x) x3
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例1 判定函数 f(x)arctxaxn的单调性。
解 f (x) 的定义域是 (,)。
f(x) 1 1x2 0
1x2
1x2
在区间 (,0)和 (0,)都有 f(x)0，只有当
x 0
x
取得极值，则
0
f (x0) 0。
使 f(x0)0的点 x 0称为函数 f ( x)得驻点。
定理2指出：可导函数的极值点必定是驻点。 反过来，驻点不一定是极值点。
考察函数 f (x) x3
另一方面，函数不可导的点也可能是极值点。
考察函数 f(x)x, x0
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定理3（极值的第一充分条件） 设函数 f ( x) 在点 x 0 连续，且在点 x 0的某一空心邻域
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2
f(x)x3
1
x 3
x1
3x
令 f(x)0，得 x 1，又 x0 处导数不存在，
x 1 ，x0 这两点将 (,)分成三个区间，