三角函数模型的简单应用

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三角函数模型的简单应用

三角函数模型的简单应用
一、引言
三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

本文将介
绍三角函数模型在实际问题中的简单应用，包括振动、音乐、天文等方面。

二、振动模型
振动是物理学中常见的现象，三角函数模型可以很好地描述振动的特性。

例如，在弹簧振子中，物体在平衡位置附近偏离并摆动，可以用正弦
函数描述振动的过程。

振动的周期、频率和振幅等因素可以通过三角函数
进行计算和预测。

三、音乐模型
音乐是艺术与科学的结合，三角函数模型在音乐中也有着重要的应用。

音乐的基本要素包括音高、音长和音色等。

三角函数可以帮助我们理解和
创建不同音调的声音，例如正弦函数可以生成纯音，而复杂的乐曲可以通
过多个三角函数的叠加来表示。

四、天文模型
三角函数模型在天文学中也扮演着重要的角色。

例如，我们可以使用
正弦函数来描述地球公转和自转的运动规律。

通过对三角函数模型的运用，我们可以计算出日出、日落以及季节变化等现象，并预测天文事件的发生
时间和位置。

五、结论
三角函数模型的简单应用涵盖了振动、音乐和天文等多个领域。

通过
对三角函数的理解和运用，我们可以更好地理解和解释各种现象，并进行
相关问题的计算和预测。

在实际应用中，对三角函数模型的灵活运用将有
助于我们解决各类问题。

1.6三角函数模型的简单应用

3
y 2 sin(2 x / 3)
例5. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近 y y A sin( x ) b 似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 0 10 14 x 函数 y A sin( x ) b的半个周期 1 1 的图象，所以，A 30 10 10, b 30 10 20 2 2 3 1 2 14 6 . 将x 6, y 10代入上式，解得＝ . 8 4 2
y 2
A

4
T
又T
2
(3) y 2 sin( x ) 2
A点的坐标为(
2sin(2

2

12
O
6
12
x
, 2)
2

12
) 2
sin( ) 1 6 2k , k Z
6 2

一般取：| |≤π 2k , k Z 3 y 2 sin( 2 x 2k )
1. 由图象求振幅A, b
y 2 sinx
y
5 4 向上平移3个单位长度 3 2 sin x 3 2 1
O
5 1 最大值最小值 A 2 2 2 b 5 1 最大值最小值 3 y A sinx b 的A, b
y
最大值最小值 A 2 4 ( 2) 3 2
10
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.

三角函数模型的简单应用

三角函数模型的简单应用一周强化一、知识结构二、重难点知识概述1、用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题，将所发现的规律抽象为恰当的的三角函数模型．2、选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据．3、研究的方法是利用收集到的数据分析分析问题中的数量关系，通过作出散点图，根据散点图进行函数拟合，得到函数模型．4、三角函数模型的应用包括（1）根据图象建立解析式；（2）根据解析式作出图象；（3）根据实际问题处理数据，作出图象进行函数拟合，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．5、建立数学模型解决实际问题，所得的模型一般是近似的，并且得到的解也是近似的，所以需要根据实际背景及问题的条件，注意考虑实际意义，对问题的解进行具体分析．三、例题讲解例1、如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式为：，那么单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间为（）A．2π秒B．π秒C．0.5秒D．1秒分析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式，单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期．解：∵ω=2π，∴．故选D．说明：客观世界中很多物理现象的数量之间存在着三角函数关系，熟练掌握三角函数的图象与性质及有关结论，有助于解决此类问题．例2、如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h=f(t)的关系式；(2)画出函数h=f(t)的图象．解析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力．解：(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．设点A的坐标为(x,y)，则h=y＋0.5．设∠OO1A=θ，则又，即，所以(2)函数的图象如下例3、下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号x1 59 80 117 126 172 225 263 298 356白昼时间y（小时）5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.48.5 5.4(I)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；(Ⅱ)试选用一个形如y=Asin(ωx＋)+t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系．(注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算)(Ⅲ)用(Ⅱ)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．解：（I）画散点图见下面．（II）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y=Asin(ωx＋)＋t，由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即y max=19.4，y min=5.4，由19.4－5.4=14，得A=7；由19.4＋5.4=24.8，得t=12.4；又T=365，∴，例4、在长江汽车渡口，马力不足或装货较重的汽车上岸时，采用沿着坡面斜着成S形的方向向上升，这是为什么？解析：在汽车马力恒定的情况下，行驶单位路程内，垂直上升高度愈大，汽车愈费“力”，当“力”所不及时，就会发生危险．日常经验告诉我们，走S形可减少这种危险．从数学的角度看，如图所示，AB表示笔直向上行走的路线，(AB⊥CA)，α表示它与水平面所成的夹角，CB表示斜着向上所行走的路线，β表示它与水平面所成的夹角，它们所达到的高度都是BD．现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大．在Rt△BAD中，，①在Rt△BCD中，，②比较①与②，因为AB、CB分别是Rt△ABC的直角边和斜边，也就是说AB＜CB，所以，所以sinα＞sinβ．又因为α、β都是锐角，所以α＞β．因此，汽车沿着CB方向斜着向上开要省力．说明：山区修筑的公路，采取盘山而上的方法，也就是这个道理．另外实际问题中也要碰到利用三角函数来比较大小的问题．。

三角函数模型的简单应用

正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数（tangent function）是三角函数中的一种，通常用 tan(x)表示，其定义是邻边与对边之比值。
正切函数的性质
正切函数具有周期性、奇偶性、单调性等性质。
正切函数的图象与公式
正切函数的图象
正切函数的图象是一个周期函数，其周期为π（派），即每隔π的角度其函数值重复。
余弦函数的图象与公式
余弦函数的图象
余弦函数的图象是一个连续的曲线，形状类似于波浪。在一个周期内，余弦函数从-1变化到1，再从1变化到-1，如此往复。图象上的每个点都代表一个角度，对应一个余弦值。
余弦函数的公式
余弦函数有一些基本的公式，如和差角公式、积化和差公式等。这些公式是余弦函数应用的基础，可以用于简化复杂的三角函数表达式。
反三角函数的图象与公式
图象
反三角函数的图象是连续的，具有明显的波动形状。它们的形状和大小取决于其参数的取值范围。
公式
反三角函数有多种计算公式，如反正弦公式、反正切公式和反余弦公式等。这些公式可以用于求解三角函数的反函数。
反三角函数的应用场景
三角函数方程的求解
当需要求解三角函数方程时，可以使用反三角函数来找到方程的解。
余弦函数的应用场景
振动分析
余弦函数可以用于描述周期性的振动现象，如机械振动、电磁振荡等。通过对振荡过程进行分析，可以了解系统的动态特性。
信号处理
在通信、声音、图像等信号处理领域，余弦函数经常被用于对信号进行调制和解调。通过对信号进行处理和分析，可以提取出有用的信息。
04
正切函数及其应用
02
正弦函数及其应用
正弦函数的定义与性质

最全三角函数概念模型的简单应用完整版.doc

第一课时： 1.6 三角函数模型的简单应用（一）教学要求：掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；选择合理三角函数模型解决实际问题；培养学生用已有的知识解决实际问题的能力. 教学重点：待定系数法求三角函数解析式. 教学难点：选择合理数学模型解决实际问题. 教学过程：一、复习准备：1. 函数f (x )的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位所得的曲线是1sin 2y x =的图像，试求()y f x =的解析式.2. 函数sin(),(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值是-2，其图象最高点与最低点横坐标差是3π，且图象过点(0,1)，求函数解析式.二、讲授新课：1. 教学典型例题：① 出示例1：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++，试求这段曲线的函数解析式.讨论：如何由图中的几何特征得到曲线的各参量？（由周期、振幅确定A 、b 、ω；再由特殊点确定初相ψ）教师示例 → 小结：观察几何特征，转化为相应的数量关系.② 练习：如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.（i ）试根据图象写出sin()y A t ωϕ=+的解析式.（ii ）在任意一段3100秒的时间内，电流I 既能取得最大值A ，又能取得最小值－A 吗？（答案：1003sin()33I t ππ+；由3350100T =>得不可能） ② 出示例2：作出函数y ＝｜sin x ｜的图象，指出它的奇偶性、周期和单调区间. 讨论：绝对值的几何意义？ → 作简图 → 由图说性质变式：研究y ＝｜cos x ｜、y ＝｜tan x ｜. 小结：数形结合思想研究函数性质. 2. 练习：如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s 厘米和时间t 秒的函数关系为6sin(2)6s t ππ=+.（1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置多少厘米？（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为多少厘米？（3）单摆来回摆动10次所需的时间为多少秒？ 3. 小结：给图求式；给式应用；待定系数法. 三、巩固练习：1. 练习：教材P73 练习1题.2. 作业：书P73 习题1、2题.第二课时： 1.6 三角函数模型的简单应用（二）教学要求：掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；选择合理三角函数模型解决实际问题；培养学生用已有的知识解决实际问题的能力.教学重点：待定系数法求三角函数解析式；用三角函数模型解决实际问题. 教学难点：选择合理数学模型解决实际问题. 教学过程：一、复习准备：1. 函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><最高点D 的坐标是(2,，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x 轴的交点坐标是(4，0)，求此函数的表达式. （答案：4y x π）2. 讨论：如何由图观察得到三角函数的各系数？如何确定初相？（特殊点法）3. 讨论：在现实生活中，哪些现象具有周期性？（温度、白昼、振动、情绪、智力、体力等）二、讲授新课：1. 教学三角函数应用模型：① 出示例：某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记为y =)(t f ，下（i ）根据以上数据求出y =)(t f 的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？教法：从表中读到一些什么数据？ → 依次求各系数 → 应用模型解决问题答案：3sin106ty π=+（0≤t ≤24）； 13（小时）. 小结：读取与分析表中的数据，是一种数学思维能力的训练. 求得模型后，把第（2）问的情景转化为一个简单的三角不等式，再运用整体思想，借助函数的图象或者单位圆可以求解. ② 练习：某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经过长期观察，该函数的图象可以近似地看成sin()y A t b ωϕ=++. 下表是测得的某日各时的浪高数据：2. 练习：某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元. 该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元. （1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式;（2）假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数.3. 小结：三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；而是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题. 三、巩固练习：作业：读《数学周报》第43期第2版文章《三角函数模型应用举例》赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >．将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ．米Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．y 系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：)图(1)图(2)2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >．（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+．由已知：当0x =时1y =．即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）．解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-（舍），2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）．解法三：由解法二知，18k =，所以2(1813)10CD =-=，所以(136)1017BD =-+=．答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．（1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．（2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚．（3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程．解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形E M N H 、矩形M F G N ，使矩形MF G N ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=．B A D E MF2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱112233445A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标；（2）求图（2）中抛物线的函数表达式；（3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，；（2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+．（3）4B ∵点的横坐标为15，B 图(1)图(2)l4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=．由对称性知：224485(m)2A B A B ==。

《三角函数模型的简单应用》讲义

《三角函数模型的简单应用》讲义一、引言在我们的日常生活和学习中，三角函数的应用无处不在。

从物理学中的波动现象到建筑设计中的角度计算，从音乐的旋律到天文学中的星球运动，三角函数都发挥着重要的作用。

通过建立三角函数模型，我们能够更好地理解和解决这些实际问题。

二、三角函数的基础知识首先，让我们回顾一下三角函数的基本概念。

1、正弦函数（sin）：对于一个锐角θ，正弦函数的值等于它的对边与斜边的比值。

2、余弦函数（cos）：余弦函数的值等于它的邻边与斜边的比值。

3、正切函数（tan）：正切函数的值等于它的对边与邻边的比值。

三角函数的周期性质也是非常重要的。

正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。

三、三角函数模型的构建在实际问题中，我们常常需要根据给定的条件构建三角函数模型。

例如，假设一个物体做简谐运动，它的位移 y 与时间 t 的关系可以表示为 y ＝A sin(ωt ＋φ)，其中 A 表示振幅，ω 表示角频率，φ 表示初相位。

又比如，在研究交流电的电压变化时，我们可以用函数 u ＝ U₀sin(ωt) 来描述，其中 U₀是电压的最大值，ω 是角频率。

四、三角函数模型在物理学中的应用1、波动现象在物理学中，声波、光波等都属于波动现象。

以声波为例，声音的强度可以用三角函数来描述。

当一个声源发出声音时，声音的传播可以看作是一种波动，其强度随距离和时间的变化可以通过三角函数模型来计算。

2、单摆运动单摆的运动也是一个典型的可以用三角函数模型描述的物理现象。

单摆的摆动角度与时间的关系可以用正弦函数来表示。

五、三角函数模型在天文学中的应用1、星球的位置和运动在天文学中，星球的位置和运动可以通过建立三角函数模型来预测和研究。

例如，地球绕太阳的公转轨道可以近似看作一个椭圆，而太阳位于椭圆的一个焦点上。

通过三角函数，我们可以计算出地球在不同时间的位置和速度。

2、日月食的预测日月食的发生也可以用三角函数模型来预测。

1.6三角函数模型的简单应用

作业
课本65页练习

例2、画出函数 | sinx | 的图象, y 并观察周期性和奇偶性.
G S P
变式1、画出函数 sin | x | 的图象, y 并观察周期性和奇偶性.
G S P
例3、设地球表面某地正午太阳高度角为 , 为此时 θ δ 太阳直射纬度, 为该地的纬度值, 则这三个量之间的关系是θ 90 0 | δ | .当地夏半年取正值, δ 冬半
0 年取负值.若在北京地区(纬度约为北纬40)的一幢
高为h0的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 两楼的距离应不小于多少.
h0Байду номын сангаас
230 26'
00
230 26' 400 A
B
C
小结
本节课我们学习了正、负角角和零角的概念，要注如果角的终意边在坐标轴上，就认这个角不属为于任何象限，本节课重点是学习的终边相同的角的表示。法判断一个角是第几象限角的方法。数形结合思想、运动化观点的应用变
§ 1.6 三角函数模型的简单应用
引入
如果某种变化着的现象具有周期性, 那么它就可以借助三角函数来描述.
新课
例1、某地一天从 ~ 14时的温度变化曲线 6 近似满足如图函数 Asin(ωs ) b. y
(1)求这一天 ~ 14时的最大温差; 6
(2)求这段曲线的函数解析式.
T/度 30
20
10
o
6

《三角函数模型的简单应用》讲义

《三角函数模型的简单应用》讲义一、引入在我们的日常生活和学习中，三角函数无处不在。

从物理学中的波动现象，到建筑设计中的结构计算，甚至是音乐中的音符频率，都能看到三角函数的身影。

那么，如何将三角函数的知识运用到实际问题中，建立有效的数学模型来解决这些问题呢？这就是我们今天要探讨的主题——三角函数模型的简单应用。

二、三角函数的基础知识回顾首先，让我们简要回顾一下三角函数的基本概念。

我们最常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

正弦函数sinθ 表示直角三角形中对边与斜边的比值；余弦函数cosθ 表示邻边与斜边的比值；正切函数tanθ 则是对边与邻边的比值。

它们的周期性质也非常重要。

正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。

此外，三角函数的一些基本公式，如两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等，也是我们解决问题时经常会用到的工具。

三、三角函数模型在实际生活中的应用1、潮汐现象在海洋学中，潮汐的涨落可以用三角函数模型来描述。

假设某地的潮汐高度 h 与时间 t 之间的关系可以近似表示为 h ＝A sin(ωt＋φ) ＋k ，其中A 表示潮差（即高潮和低潮之间的高度差），ω 表示角频率，φ 表示初相位，k 表示平均海平面高度。

通过对当地潮汐数据的观测和分析，可以确定这些参数的值，从而准确预测潮汐的变化。

2、交流电在电学中，交流电的电压或电流随时间的变化通常也可以用三角函数来表示。

例如，正弦交流电的电压 u 可以表示为 u ＝ U₀ sin(ωt ＋φ₀) ，其中 U₀是电压的最大值（也称为峰值），ω 是角频率，φ₀是初相位。

3、物体的简谐运动一个物体在直线上做往复运动，如果它所受的力与位移成正比，并且方向相反，那么这个物体就做简谐运动。

比如弹簧振子的运动，其位移 x 与时间 t 的关系可以表示为 x ＝A sin(ωt ＋φ) ，其中 A 是振幅，ω 是角频率，φ 是初相位。

三角函数模型的简单应用

cm.
解析 T＝ 2πg＝1，∴ l
gl ＝2π，∴l＝4gπ2.
解析答案
4.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同) 时开始计时. (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
∴φ＝2kπ＋34π，k∈Z，取 φ＝34π， ∴y＝10sinπ8x＋34π＋20 (6≤x≤14).
反思与感悟解析答案
跟踪训练 2 下图表示电流 I 与时间 t 的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)|φ|<π2 在同一周期内的图象. (1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；解由题图知，A＝300，t1＝－3100，t2＝1150， ∵T＝2(t2－t1)＝21150＋3100＝510，∴ω＝2Tπ＝100π. 由 ωt1＋φ＝0 知 φ＝－ωt1＝π3， ∴I＝300sin100πt＋π3.
D.y＝12＋3sin1π2t＋π2，t∈[0,24]
解析答案
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123 4
1.方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( C )
A.没有根
B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根
D.有无穷多个根
答案
123 4
2.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( C )
.
答案
类型二三角函数模型在物理中的应用例2 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b. (1)求这一天6～14时的最大温差；解由图可知：这段时间的最大温差是20℃；

三角函数模型的简单应用

小结提高
1.已知函数y=Asin(ω x+φ ) +b的图象，如何求其解析式？ 2 1 1 ③b f ( x )max f ( x )min ①A f ( x )max f ( x )min ②
2
T
2
④求将图像上的已知点(最低点、最高点、平衡点、图象与坐标轴的交点等) 的坐标满与已求出的A、b、ω 的值代入函数解析式可求得
17：00
6.250 23：00 3.754
(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港. 2.5 sin x 5 5.5 6
sin
由计算器可得 MODE SHIFT MODE sin-1

6
x 0.2
2
=
0.2
0.20135792≈0.2014
y 8 6
y 2.5sin

6
x5
4
2 O 2 4 6
P
y 5.5 0.3 x 2
8
10
x
p 思考：右图中， 8 y = 2.5 sin x 6 设点P(x0，y0)， 6 P 有人认为，由于 4 y=-0.3x+6.1 P点是两个图象的 2 o x 2 4 6 8 10 12 交点，说明在x0 时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了，你认为对吗？
y
三角应用题的一般步骤是：
①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型． ③求解：利用三角形，求得数学模型的解． ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．即解三角应用题的基本思路

三角函数三角函数模型的简单应

三角函数三角函数模型的简单应用xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•引言•三角函数的图形表示•三角函数的模型建立•三角函数模型的简单应用•三角函数模型的复杂应用•如何进一步掌握三角函数模型的应用01引言正弦函数（sine function）定义为直角三角形中对着直角边一侧的边（垂直于直角边的边）的长度除以斜边的长度，记作sin(x)。

余弦函数（cosine function）定义为直角三角形中对着斜边一侧的边（水平线）的长度除以斜边的长度，记作cos(x)。

正切函数（tangent function）定义为直角三角形中对着对边一侧的边（垂直于斜边的边）的长度除以对着直角边一侧的边（垂直于直角边的边）的长度，记作tan(x)。

周期性01三角函数具有周期性，即对于任意的实数k，都有sin(x+2kπ)=sin(x)，cos(x+2kπ)=cos(x)，tan(x+2kπ)=tan(x)。

振幅和相位02三角函数的振幅和相位可以用来描述一个正弦波形的特征。

例如，振幅为A的正弦波可以表示为sin(Ax)，相位为θ的正弦波可以表示为sin(Ax+θ)。

象限符号03正弦、余弦、正切等函数的符号根据输入角度的象限不同而不同。

例如，第一象限的正弦值为正，第二象限的余弦值为正，第三象限的正切值为正。

三角函数的应用三角函数在信号处理中有着广泛的应用，例如模拟信号的频谱分析和数字信号处理中的滤波器设计。

信号处理物理工程数学三角函数在物理中有广泛的应用，例如交流电的电压和电流计算、简谐振动等。

三角函数在工程中有广泛的应用，例如测量学中的坐标转换、结构设计中的稳定性分析等。

三角函数在数学中有广泛的应用，例如微积分、线性代数等。

02三角函数的图形表示正弦函数的图形表示定义域正弦函数的定义域为所有实数，即$-∞$到$+∞$。

周期性正弦函数是周期性的，周期为$2π$，即$y=sin(x+2kπ)，k∈Z$。

相位平移正弦函数的相位平移不影响其形状，平移后的函数表达式为$y=sin(x+φ)，φ$为任意常数。

三角函数模型的简单应用课件

(2)设转第 1 圈时，第 t0 分钟时距地面 60.5 米，由 60.5＝40.5－
40cos π6t0，得 cosπ6t0＝－12，所以π6t0＝23π或π6t0＝43π，解得 t0＝4
或 t0＝8. 所以 t＝8(分钟)时，第 2 次距地面 60.5 米，故第 4 次距离地面
60.5 米时，用了 12＋8＝20(分钟)．
[思路探索] (1)依题意可知应建立余弦型函数模型解题，由摩天轮的转动周期是 12 分钟，振幅是 40，当 t＝0 时，y＝0.5，可求得函数解析式；(2)将 y＝60.5 代入(1)中求出的函数解析式，即可求出第 1 个周期内满足题意的时间，再加上周期即可．
解 (1)由已知可设 y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为 12 分钟可知，当 t＝6 时，摩天轮第 1 次到达最高点，即此函数第 1 次取得最大值，所以 6ω＝π，即 ω＝π6. 所以 y＝40.5－40cos π6t(t≥0)．
类型三构建函数模型解题【例 3】如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要 12 分钟，其中圆心 O 距离地面 40.5 米，半径为 40 米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式； (2)当你第 4 次距离地面 60.5 米时，用了多长时间？
(1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？

高中数学必修四-三角函数模型的应用

三角函数模型的应用知识集结知识元三角函数在生活中的应用知识讲解1．三角函数模型的应用【知识点的知识】1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．2．解三角函数应用题的一般步骤：（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；（4）作出结论．【解题方法点拨】1、方法与技巧：（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．2、注意：（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．（2）解决应用问题要注重检验．（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．例题精讲三角函数在生活中的应用例1.如图所示，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过tmin后，点P的高度（单位：m），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续___min．例2.一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为___秒。

例3.'如图是半径为lm的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一定点P，按逆时针方向以角速度rad/s（每秒绕圆心转动rad）作圆周运动，已知点P的初始位置为P0，且∠xOP0=，设点P的纵坐标y是转动时间t（单位：s）的函数记为y=f（t）．（1）求f（0），f（）的值，并写出函数y=f（t）的解析式；（2）选用恰当的方法作出函数f（t），0≤t≤6的简图；（3）试比较f（），f（），f（）的大小（直接给出大小关系，不用说明理由）．'当堂练习单选题练习1.某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=A sinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（）A．17 B．16 C．5 D．4练习2.一个大风车的半径为6m，12min旋转一周，它的最低点P0离地面2m，风车翼片的一个端点P 从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间m（nin）之间的函数关系式是（）A．h（t）=-6sin t+6 B．h（t）=-6cos t+6C．h（t）=-6sin t+8 D．h（t）=-6cos t+8练习3.海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为4米，安全间隙（船底与海底距离）为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以0.3米/时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择y=A sin（ωx+φ）+K（A>0，ω>0）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（要考虑船只驶出港口需要一定时间）（）A．5：00至5：30 B．5：30至6：00C．6：00至6：30 D．6：30至7：00练习4.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=A sin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A．B． C．D．练习5.某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f（t）．下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=A sinωt+b的图象．一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水程度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（）小时（忽略进出港所需的时间）．A．6 B．12 C．16 D．18练习6.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（，），当秒针从P0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y=sin（）B．C．y=sin（-）D．y=sin（-）练习7.已知函数f（x）=sin x+cos x-a在区间[0，2π]上恰有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3=（）A．B．C．D．练习8.动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为A0（，），12秒旋转一周，则动点A的纵坐标y关于时间t（单位：秒）的函数解析式为（）A．B．C．D．练习9.如图，一个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转一周，它的最低点P0离地面2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的一个点P从P1开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．解答题练习1.'海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：（1）若用函数f（t）=A sin（ωt+φ）+h（A>0，ω>0，|φ|<）来近似描述这个港口的水深和时间之间的对应关系，根据表中数据确定函数表达式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？'练习2.'如图是一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m，缆车每60s 转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为hm。

三角函数模型的简单应用

解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
π 则以 Ox 为始边， OB 为终边的角为 θ－，故点 B 的坐标为 2 π π (4.8cos(θ－ )， 4.8sin(θ－ ))， 2 2 π ∴ h＝5.6＋ 4.8sin(θ－ )． 2
π (2)点 A 在圆上转动的角速度是， 30 π 故 t 秒转过的弧度数为 t， 30 π π ∴ h＝5.6＋ 4.8sin( t－ )， t∈ [0，＋∞ )． 30 2 到达最高点时， h＝ 10.4 m. π π π π π 由 sin( t－ )＝ 1 得 t－＝，∴ t＝ 30. 30 2 30 2 2 ∴缆车 A 点到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：
时刻水深（米）时刻水深（米）时刻水深（米）
0:00 3:00 6:00
5.0 7.5 5.0
5
18:00 21:00 24:00
5.0 2.5 5.0
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）。
跟踪训练 2.
如图为一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8 m，圆上最低点
与地面的距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，
以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h. (1)求h与θ间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达 OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车A点到达最高点时用的最少时间是多少？
压为 110 3伏． 2π 1 (2)T＝＝秒，即电压重复出现一次的时间间隔为 0.02 秒． 100π 50

三角函数模型的简单应用

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水深
14
从数据和图象可以得出：
A=2.5，h=5，T=12， 0
由
T 2
y
2.51s2i,n得x

65，
6
时刻 0.00 水深
1：00 2： 00
3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00
h 15tan[900 (230 23026)] 15tan 43034 14.26
3层以上
8
A南楼北C
返回
9
返回太阳高度角的定义北半球
南半球
• 如图，设地球表面某地纬度值为，
• 正午太阳高度角为，
此时太阳直射纬度为
• 那么这三个量之间的关
系是 90 | |
y/cm
2A
E
0.4
0.8 1.2
x/s
O
B
D
F
C
3
例题２
如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满
足函数 y Asinx b
• （１）求这一天6～14时的最大温度。 • （２）写出这段曲线的函数解析式。 T/oC
30
注意—— 一般的，所求
出的函数模型只能近似地
20
刻画这天某个时段的温度
变化情况，因此要特别注
10
意自变量的变化范围。
o
6 8 10 12 14 t/h
4
3、下图是函数y Asinx (A 0, 0,| | )
的图象，试确定函数表达式

三角函数模型的实际应用

三角函数模型的实际应用三角函数模型有广泛的应用，下面介绍几类实际应用：一、航海航空三角函数模型在航海航空方面的应用非常重要，利用它可以测量地球的大地测量和定位，在航空运输中提供权威的航行资料，例如绘制路线图、求解航行距离和航行时间等。

二、地图编绘地图编绘工作中也常用三角函数，在建立地图坐标系之前，可以用三角函数求出两点之间的距离或者方位角，在行使凹凸修正等工作中极为重要。

三、极坐标三角函数模型也常用在极坐标系中，假设有一个极坐标点(ρ ˆθ)，那么根据三角函数关系可以将其转换为直角坐标系的表示形式。

从而使可以用直角坐标形式来表示任意的极坐标点，并在其表示形式与直角坐标有关的几何图形中，可以将其绘制出来。

四、机械加工三角函数在机械加工中也有着广泛的用途，例如，利用三角算法，可以得出从一个极坐标到另一个极坐标的机械变换路径；用三角函数实现的抛物面及弧线的切削；在利用摄像机的3D 扫描时，也可以通过三角函数，将摄像机扫描的原始数据，转换成机械加工的参数数据。

五、摄影测量三角函数模型在摄影测量中也有深远的影响，可以进行空间坐标系的转换，从而使摄影测量与地理空间坐标系统融汇贯通。

比如，可以用三角函数模型实现从一幅空间摄影影像到另外一个空间坐标系的世界坐标系之间的重映射。

六、信息存储处理三角函数主要应用于信息存储处理，可以转换地理坐标或者其它形式的数据，将其存储在数据库中，实现进一步的统计分析或者与其它信息数据的结合，从而实现连接存储的数值信息。

七、数字信号处理三角函数在数字信号处理中具有重要作用，可以利用这种模型进行信号的压缩和数字图像的提取和处理，并利用三角算法对多边形进行着色，从而实现信号和图形的处理。

总之，三角函数模型在日常生活中具有很重要的应用，能够有效地解决一些复杂的实际问题，它是一门研究几何形状和距离的重要工具，其求解能力令人感到惊叹。

三角函数模型的简单应用

三角函数模型的简单应用---潮汐问题用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题。

对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。

这是我们所熟悉的温州市区著名景点---江心屿（图1），江心屿上面有座峙庙---江心峙（图2），旁边这位人物是我们温州南宋时期著名状元诗人---王十朋（图3）。

他在江心峙中题了一副非常知名对联。

上联是：云朝朝朝朝朝朝朝朝散；下联是：朝长长长长长长长长消。

在这里，诗人王十朋巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面，当然他对瓯江潮水的描述也是感性的。

今天我们将从数学的视角理性地研究有关瓯江潮水涨落的一些实际问题。

问题若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？一．水深情况。

如图所示，下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：发现水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。

水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。

发现，水深变化并不市杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律，为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律，画图：大家可以发现如果我们用平滑的曲线将上面所描各点连起来，得到的图象形状跟三角函数模型很象求解析式我们就得到了一个近似刻画水深与时间关系的三角函数模型，需要一个检验过程有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，有了水深关于时间的函数模型以后，作为船长考虑的问题还没有结束，因为船只在进出港时，每艘船只的吃水深度是不一样，下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题：问题探究2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？只有当“实际水深吃水深度+安全间隙”时，船只才可以进去或离开港口。

三角函数模型的简单应用

1.6
三角函数模型的简单应用
第二课时
探究一：建立三角函数模型求临界值
【背景材料】如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ ，δ 为此时太阳直射纬度，φ 为该地的纬度值.当地夏半年δ 取正值，冬半年δ 取负值. 如果在北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h0的楼房北 φ -δ 面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全 θ φ 太阳光年不被前面的楼房遮 δ 挡，两楼的距离不应小于多少？
思考1：图中θ 、 δ 、φ 这三个角之间的关系是什么？
θ=90°－∣φ－δ∣.
φ -δ
φ δ
θ
太阳光
思考2：当太阳高度角为θ 时，设高为 h0的楼房在地面上的投影长为h，那么 θ 、h0、h三者满足什么关系？
h=h0 tanθ.
思考3：根据地理知识，北京地区一年中,正午太阳直射什么纬度位置时,物体的影子最短或影子最长？
2.在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活的运用三角函数的图象和性质进行解答.
作业: P65习题1.6A组：1，2，3.
太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长.
思考4：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的临界距离 h 应是图中哪两点 M A B C -23°26´ 0 ° 23 ° 26 ´ 之间的距离？ 40°
15 6
乙船在北偏东60°的B处，并以每小时10海里的速度向正北方向行使，若甲船沿北偏东 θ 角方向直线航行，并与乙船在C处相遇，求甲船的航速. C
北
5 3 p v= ， q （ 0 ，） p 3 sin( - q) A 3

三角函数模型的简单应用_知识讲解_基础

三角函数模型的简单应用【学习目标】1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题；2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．【要点梳理】要点一：三角函数模型的建立程序要点二：解答三角函数应用题的一般步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论．（1）审题三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．（2）建模根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．（3）解模利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果．（4）结论将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．要点诠释：实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．【典型例题】类型一：三角函数周期性的应用例1．国际大都市上海继东方明珠电视塔、金茂大厦之后，黄浦江畔的又一座景观性、标志性、文化游乐性建筑是座落于虹口区北外滩汇山码头的“上海梦幻世界摩天轮城”，占地3.46公顷总投资超过20亿元人民币，内有世界最大的摩天轮.其中摩天轮中心O 距离地面200米高，直径170米.摩天轮上将安装36个太空舱，可同时容纳1100多人一览上海风光.(如图)，摩天轮沿逆时针方向做匀速转动，每8分钟转一圈，若摩天轮的轮周上的点P 的起始位置在最低点处(即时刻0t 分钟时的位置).已知在时刻t 分钟时点P 距离地面的高度()f t .(Ⅰ)求20分钟时，点P 距离地面的高度； (Ⅱ)求()f t 的函数解析式.【思路点拨】由周期8T =，可求出距地面的高度，然后求出三角函数中的参数A ，h ，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f （t ）．【答案】（1）285（2）()85cos200,(0)4f t t t π=-+≥【解析】设过摩天轮的中心O 与地面垂直的直线为l ，l 垂直于地面于点H ，PQ l ⊥于点Q ， (1)∵旋转的周期8T =，∴20分钟后点P 在最高点，距地面高度是285米. (2)t 分钟时4HOP t π∠=，∴()20085cos 85cos200,(0).4f t HOP t t π=-∠=-+≥∴()85cos200,(0).4f t t t π=-+≥【总结升华】实际问题的解决要求我们在阅读材料时读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，将问题数学化，自行假设与设计一些已知条件，提出解决方案，从而最终解决问题．举一反三：【高清课堂：三角函数模型的简单应用394861 例1】【变式1】如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，），角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（）【答案】C类型二：三角函数模型在气象学中的应用例2．（2015秋江西模拟）根据市气象站对春季某一天气温变化的数据统计显示，气温变化的分布与地面曲线sin()12y A x b πφ=++拟合（0≤x ＜24，单位为小时，y 表示气温，单位为摄氏度，||φπ<，A ＞0），现已知这天气温为4至12摄氏度，并得知在凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高．（1）求这条曲线的函数表达式；（2）这天气温不低于10摄氏度的时间有多长？【思路点拨】（1）根据气温为4至12摄氏度，我们可以求得振幅A ，利用凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高，可求得周期及φ的值，从而求得函数表达式；（2）利用（1）中求出的函数表达式，我们可建立表达式74sin()8101212x ππ-+≥，解之即可．【答案】（1）74sin()81212y x ππ=-+；（2）8小时【解析】（1）b =(4+12)÷2=8，A =12－8=4，1122ππφ⨯+=-，712πφ=-，所以这条曲线的函数表达式为：74sin()81212y x ππ=-+．（2）令y ≥10，则74sin()8101212x ππ-+≥， ∴71sin()12122x ππ-≥，0≤x ＜24．∴771712121212x ππππ-≤-<， ∴75612126x ππππ≤-≤， ∴9≤x ≤17， ∴17－9=8．故这天气温不低于10摄氏度的时间有8小时．【总结升华】本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查三角不等式的求解，解题的关键是从实际问题中抽象出函数的模型，求出相应的参数．举一反三：【变式1】估计某一天的白昼时间的小时数D （t ）可由下式计算：2()sin (79)122365k y D t t π⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦，其中t 表示某天的序号、t=0表示1月1日，以此类推，常数k 与某地所处的纬度有关．（1）如在波士顿，k=6，试画出函数D （t ）在0≤t ≤365时的图象．（2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？（3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？【答案】(1)略 (2) 6月20日 12月20日 (3) 243天【解析】（1）k=6时，2()3sin (79)12365D t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦．先用五点法画出2()3sin (79)365f t t π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的简图如图，由2(79)0t π-=和2(79)2t ππ-=，得t=79和t=444，列出下表：若t=0，3(0)3sin (79) 2.9365f π⎡⎤=-≈-⎢⎥⎣⎦． ∵()f x 的周期为365，∴(365) 2.9f ≈-．将()y f t =，t ∈[0，365]的图象向上平移12个单位长度，得到()y D t =，0≤t ≤365的图象，如图所示．（2）白昼时间最长的一天，即D （t ）取得最大值的一天，此时t=170，对应的是6月20日（闰年除外），类似地，t=353时D （t ）取最小值，即12月20日白昼最短．（3）D （t ）＞10.5，即23sin (79)1210.5365t π⎡⎤-+>⎢⎥⎣⎦，21sin (79)3652t π⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦，t ∈[0，365]．∴292＞t ＞49，292－49=243．约有243天的白昼时间超过10.5小时．类型三：三角函数模型在物理学中的应用例 3.一个单摆，如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为αrad ，α与时间t 满足关系式1()sin 222t t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）当4t π=时，α的值是多少？并指出小球的具体位置；（2）单摆摆动的频率是多少？（3）小球偏离铅垂线方向的最大摆角是多少？【思路点拨】（1）根据已知条件中的函数解析式，把4t π=代入，即可求出摆角．（2）由1f T=可求出频率．（3）求最大摆角，先求出sin 22t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1，然后求角．【答案】（1）0（2）1π（3）12rad 【解析】（1）当4t π=时，11sin 2sin 042422πππαπ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这时小球恰好在平衡位置；（2）因为单摆摆动的周期22T ππ==，所以频率11f T π==；（3）令t=0，得sin 22t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1．故()t α有最大值12rad ，即小球偏离铅垂线方向的最大摆角是12rad ．举一反三：【变式1】（2015 哈尔滨三模）单摆从某点开始来回摆动，它相对于平衡位置O 的位移S （厘米）和时间t （秒）的函数关系为：sin()S A t ωφ=+（A ＞0，ω＞0，02πφ<<），已知单摆每分钟摆动4次，它到平衡位置的最大位移为6厘米，摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米．求：（1）S 和t 的函数关系式；（2）第2.5秒时单摆的位移．【答案】（1）6sin()306S t ππ=+；（2）【解析】（1）单摆每分钟摆动4次，函数的周期为：225s 60πω⋅=，解得30πω=，它到平衡位置的最大位移为6厘米，A =6，摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米，说明函数的图象经过（0，3）， ∴36sin(0)30πφ=⨯+，(0)2πφ<<，∴6πφ=．S 和t 的函数关系式：6sin()306S t ππ=+．（2）第2.5秒时单摆的位移6sin(2.5)63062S ππ=⨯+=⨯=第2.5秒时单摆的位移为：例4.交流电的电压E （单位：伏）与时间t （单位：秒）的关系可用1006E t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭来表示，求：（1）开始时的电压；（2）电压值重复出现一次的时间间隔；（3）电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．【答案】（1）（2）0.02（3）1300【解析】（1）当t=0时，6E π==（伏），即开始时的电压为伏；（2）2110050T ππ==（秒），即电压重复出现一次的时间间隔为0.02秒；（3）电压的最大值为10062t πππ+=，即1300t =秒时第一次取得这个最大值．。

三角函数模型的简单应用

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三角函数模型的简单应用

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《三角函数模型的简单应用》讲义

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