最优连通子集

合集下载

连通集定义推导

连通集定义推导
连通集是指在一个拓扑空间中，对于任意两点之间，都存在一条连续的路径相连。

简单来说，就是一个集合内的任意两个点都可以通过集合内其他点相互到达。

具体定义如下：
定义：设X是一个拓扑空间，A是X中的一个子集。

如果对于A
中任意两点x,y，都存在一个A中的连续路径从x到y，那么A被称
为连通集。

为了更好地理解连通集的概念，我们可以通过以下推导进行说明： 1. 首先，我们需要了解路径的概念。

在拓扑空间X中，路径是
指从X中的一个点到另一个点的连续映射。

也就是说，如果有两个点
x和y，那么一条路径就是一个函数f:[0,1]→X，满足f(0)=x，f(1)=y，且f在[0,1]上连续。

2. 接下来，我们定义路径的连通性。

如果两个点x和y之间存
在一条路径，那么我们称它们是路径连通的。

3. 现在我们可以定义连通集了。

如果一个集合A中的任意两个
点都是路径连通的，那么我们称A是一个连通集。

4. 进一步地，如果一个集合不是连通的，那么它被称为不连通集。

也就是说，如果存在两个不相交的开集U和V，满足A=U∪V，且A∩U和A∩V都非空，那么A就是不连通的。

通过以上推导，我们可以更深入地理解连通集的定义及其性质。

同时，在实际问题中，连通集也具有广泛的应用，例如在图形学、物理学等领域中都有重要的应用。

拓扑学的基本概念

拓扑学是数学中的一个分支，研究的是对象之间的关系和性质，而不是形状和大小。

它研究的是一种抽象的结构，在这种结构下，对象之间的关系和性质是最重要的。

拓扑学的基本概念有拓扑空间、点集、邻域、基本开集以及连通性等等。

首先，拓扑空间是拓扑学中最基本的概念。

它是一个集合，其中包含了一些特殊的子集，称为开集。

开集是拓扑空间中的一种局部性质，即对于每一个点，有一个邻域包含在开集内。

通过定义开集的集合，我们可以确定一个拓扑空间的性质。

点集是拓扑空间中的元素，它是拓扑学研究的对象之一。

一个点集可以是一个单独的点，也可以是一组点的集合。

不同的点集之间有不同的关系和性质，拓扑学研究的就是这种关系和性质。

邻域是一个点周围的开集，它是描述点的局部性质的一个重要工具。

通过邻域可以确定点的位置和周围环境，从而研究点之间的关系和性质。

基本开集是拓扑空间中的一种开集，它是构成拓扑空间的基础元素。

拓扑空间中的任何开集都可以通过基本开集的有限个操作得到。

基本开集的选取是任意的，不同的选取会得到不同的拓扑。

连通性是拓扑学中的一个重要概念，它描述了一个空间的完整性和连续性。

连通性可以分为强连通和弱连通两种，强连通指的是一个空间中的任意两点都可以通过连续的路径相连，而弱连通则是指空间中的任意两点可以通过一系列的开集相连。

连通性是拓扑学中的一个重要研究方向，它与几何形状和数学模型密切相关。

拓扑学的基本概念不仅仅是数学研究的内容，它还在现实世界中有广泛的应用。

比如，在网络理论中，拓扑学可以用来研究网络的结构和连接方式；在物理学中，拓扑学可以应用于量子力学和凝聚态物理等领域；在生物学中，拓扑学可以帮助我们理解生物分子的结构和功能等等。

总而言之，拓扑学的基本概念是研究对象之间关系和性质的抽象结构，它涉及到拓扑空间、点集、邻域、基本开集以及连通性等多个方面。

拓扑学的应用广泛，不仅仅局限于数学领域，它还可以应用于计算机科学、物理学和生物学等多个领域。

列出连通集

列出连通集连通集是指一个集合内的所有点都可以通过边相连，形成一个连通的子集。

在图论中，连通集是一组互相连接的点。

这些点可以通过边相连，形成一个连通的子集。

连通集在计算机科学中有广泛的应用。

例如，在图像处理中，它们被用来识别对象的形状和轮廓。

在计算机网络中，连通集可以用来描述网络拓扑结构和通信路径。

此外，在机器学习和数据挖掘中，连通集可以用来发现数据中的模式和关系。

下面列出一些常见的连通集：1. 树：树是一种连通集，它是一个没有环的无向图。

树具有很多优秀的特性，例如可以用来进行快速搜索和排序，还可以用来描述程序的执行路径。

2. 连通图：连通图是指一个无向图的每两个不同的顶点都有一条路径相连。

连通图是最简单的连通集之一，它在计算机网络中被广泛应用。

3. 强连通图：强连通图是指一个有向图中的任意两个点都可以互相到达。

强连通图在计算机领域中被用来描述程序的执行流程和状态转移。

4. 无向连通图：无向连通图是指一个无向图的任意两个点都可以互相到达。

无向连通图在计算机网络中被广泛应用，例如用来描述互联网中的节点之间的关系。

5. 有向无环图：有向无环图是指一个有向图中不存在环。

有向无环图在计算机科学中被广泛应用，例如在调度和流程控制中。

6. 集合：集合是指一个无序的元素集合，其中没有重复的元素。

集合在计算机科学中被广泛应用，例如在数据库中用来存储数据。

7. 环：环是指一个有向图或无向图中的一条路径，它从一个点出发，经过若干个点后又回到了原来的点。

环在计算机科学中被广泛应用，例如在调度和流程控制中。

以上是一些常见的连通集，它们在计算机科学中发挥着重要的作用。

在实际应用中，我们可以根据不同的需求选择不同的连通集来解决问题。

无论是树、连通图、强连通图还是集合，都是计算机科学中不可或缺的概念。

度量空间中的自列紧集、紧集、连通集与连续映射

由 d x, r r 和 d r, s r s 得 d s, x d r, s d r, x r s r s 。所
以 x N 。同理可得，若 x N ，则 x M 。所以 M N 。
因为集 A 是连通的，所以集合 A \ M N 不空(若空则 M 、 N 分离集 A )。
自列紧集(列紧闭集)与连续映射 1.度量空间的自列紧子集在连续映射下的象是自列紧集。证明: 设 X、Y 是度量空间， A 是 X 的自列紧子集。
设 f : A Y 是连续映射,象集为 B f X Y 。设yn 是 B 的序列。对任意
正整数 k，设 yk 的某个原象是 xk A X ，这样得到 X 的序列xn 。因为 X 是自
R 的定义是函数值小于 y0 的自变量集合)。同理，对于任意点 s S ，存在邻域
U s, s 使得U s, s A S 。
对任意点 r R ，s S ，设s s 2 ；设 dr inf d r, s s S ，显然 dr 0
(否则，便不存在不包含 S 的点的邻域)， d r, s s d r, s s 0 。
紧集与连续映射 1.度量空间的紧子集在连续映射下的象是紧集。证明:
设 X、Y 是度量空间， A 是 X 的紧子集。设 f : A Y 是连续映射,象集为
B f XY 。
设 B 的一个开覆盖为 G 。任意 S G 是开集，所以对任意 y S ，存在邻域
U y, y S 。对于任意 x f 1 y ( f 1 y 是 y 的原象集)，因为 f : A Y 是连
所以，对任意 r R ，s S 都有 d r, s s dr 4 。对任意 r R ，设r dr 4 。

拓扑学中的连通性

拓扑学中的连通性拓扑学是数学中研究空间形态和结构的一个分支学科，是现代数学中重要的基础理论之一。

在拓扑学中，连通性是一个重要的概念，它描述了一个空间的内部的联系程度以及元素之间的关联性。

本文将介绍拓扑学中连通性的概念、性质以及相关应用。

一、连通性的概念在拓扑学中，连通性是指一个拓扑空间中的点能够通过曲线或路径相连。

具体来说，一个区域是连通的，当且仅当对于任意两个点a和b，存在一条曲线可以把它们连起来，而且这条曲线完全位于这个区域内。

如果一个区域不是连通的，那么它就可以被划分成多个连通的子区域。

二、连通性的性质1. 联通集合的定义：一个拓扑空间中的集合A被称为联通的，当且仅当它不能被表示为两个非空开集的不相交并。

2. 联通性与开集的关系：一个非空集合是联通的，当且仅当它不能被表示为两个非空开集的不相交并。

3. 联通性与路径连通性的关系：如果一个拓扑空间是连通的，那么它也是路径连通的。

即任意两点之间都存在一条路径。

4. 联通集合的性质：如果一个集合在一个拓扑空间中是联通的，那么它的闭包也是联通的。

5. 连通分支：一个拓扑空间中的每个连通子集都被称为这个拓扑空间的一个连通分支。

三、连通性的应用1. 连通性和地理学：在地理学中，拓扑学的连通性概念广泛应用于研究地理区域的整体连通性，比如道路网络、水系网络等。

连通性分析可以帮助人们了解地理区域的交通便捷性和防洪系统的效率等问题。

2. 连通性和电路设计：在电路设计中，连通性是一个重要的指标。

连通性分析可以帮助电路设计师找出电路中的短路问题，确保电路的正常工作和传输效率。

3. 连通性和社交网络：在社交网络中，连通性可以用来研究不同的社交圈子之间的联系。

通过连通性分析，可以了解社交网络中的信息传递路径，推测信息在网络中的传播速度等。

结论拓扑学中的连通性是研究空间形态和结构的重要概念之一。

连通性的性质和应用广泛存在于地理学、电路设计、社交网络等领域。

通过研究连通性，可以帮助人们了解和优化各种系统的连接性，为相关领域的研究和应用提供基础支持。

什么是连通集？

什么是连通集？1. **连通集的基本概念**连通集在数学特别是拓扑学中占有举足轻重的地位。

它描述了一个集合内部，任意两点之间都可以通过该集合内的路径连接起来的性质。

这种特性使得连通集成为研究空间连续性属性的重要工具。

例如，在欧几里得空间中，一个区域如果是连通的，意味着我们可以从该区域的任何一点移动到另一点，而不需要离开这个区域。

这不仅仅是一种几何直觉，更深层地体现了空间内部的一种整体性与和谐。

- **路径连通**: 路径连通是连通集的一种强化形式。

如果空间中任意两点都可以通过一条连续的路径连接，这样的集合称为路径连通集。

这一概念在许多数学分支中都有应用，从复杂的几何形状到高维空间的分析。

- **局部连通**: 一个集合被认为是局部连通的，如果它的任何一点都存在一个连通的邻域。

局部连通性强调了小尺度上的连通性质，为研究连续性提供了更细微的视角。

- **连通分量**: 在一个不完全连通的空间中，可以找到最大的连通子集，这些子集被称为该空间的连通分量。

它们是研究复杂空间结构的重要工具，有助于揭示空间的内在联系。

2. **连通集与现实世界的联系**连通集的概念虽然源于纯数学的研究，但其影响远远超出了数学界。

在物理学、工程学、计算机科学乃至生物学中，连通集的概念都有着广泛的应用。

例如，在网络理论中，一个网络被视为连通的，如果网络中的任意两点都可以通过某种路径连接。

这对于理解和优化信息传输、疾病传播等具有重要意义。

- **网络连通性**: 在计算机网络或社交网络分析中，连通集揭示了网络中信息传播的可能性和效率。

一个高度连通的网络能够更有效地传递信息。

- **生态栖息地的连通性**: 在生态学中，连通集帮助生态学家理解不同生态系统或栖息地之间的相互作用和物种迁徙路径，对于生物多样性保护工作至关重要。

- **城市规划**: 在城市规划和交通工程中，连通集的概念帮助规划者设计更为高效和人性化的交通网络，促进城市空间的合理利用和发展。

连通子集的充要条件

ｓｕｂｓｅｔｓｏｆＸ，ａｎｄｔｈｅｏｎｌｙｓｕｂｓｅｔｏｆｗｈｉｃｈａｒｅｂｏｔｈｏｐｅｎａｎｄｃｌｏｓｅｄｉｎＹａｒｅＹａｎｄｔｈｅｖｏｉｄｓｅｔ．Ｂａｓｅｄ
拓扑学是一门重要的基础性的数学分支学
１预备知识
定义１
是分离的。
科，它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支学科有着广泛的应用。拓扑学有多个研究方向，如代数拓扑学、微分拓扑学、一般拓扑学等。拓扑学的中心任务是研究拓扑不变的性质，而连通性是拓扑空间的几种拓扑不变性质之一，其中连通子集是一个相当重要的集合。尽管连通子集的一些性质在已有的文献中都有阐述，但大多数的文献并没有给出它们的证明。因此，本文将主设Ａ、曰是拓扑空间中的２个子集，如果（ＡｉＢ）ｒＵ（ＢｈＡ）＝【２ｊ，则称子集Ａ和Ｂ显然，定义中的条件等价于（Ａｎ）：和
明了包含多于一点的离散空间是不连通空间。
关
键
词：分离的；连通子集；闭集；开集
文献标识码：Ａ文章编号：１６７４～８４２５（２０１３）１２— ０１３７～０２ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

连通性

连通性定义1 设),(11T X 和),(22T X 为两个拓扑空间，则),(11T X ),(22T X 定义为21X X 上的以1T 2T 为拓扑基的拓扑空间，称为),(11T X 和),(22T X 的不交并空间。

设Λ∈ααα)},{(T X 为一族拓扑空间，则),(αααT X Λ∈ 定义为ααX Λ∈ 上的以Λ∈α αT 为拓扑基的拓扑空间，称为拓扑空间族Λ∈ααα)},{(T X 的不交并空间。

如果不出现混淆，简记),(αααT X Λ∈ 为ααX Λ∈ 。

例1 对任意实数x ，记x R 为平面2R 由子集}|),{(R y y x ∈决定的子空间，则x R x R ∈ 为2R 上另一拓扑空间结构。

定理1 设拓扑空间),(T X 的子集族Λ∈αα}{X 满足ααX X Λ∈= 。

记),(ααT X 为),(T X 的子空间。

则),(T X ),(αααT X Λ∈= 的充要条件是每个αX 都为X 的开集。

证充分性由定义。

假设每个αX 都为X 的开集，则对任何子空间αX 的开集ααT ∈U ，存在X 的开集αV 使得αααX V U =，而αX 为X 的开集，所以αU 为X 的开集。

这说明Λ∈α αT ⊂T 。

由ααX X Λ∈= 可知Λ∈α αT 为X 的基。

定义2 设),(T X 为拓扑空间。

X 的子集A 称为X 的孤立分支，如果A 为X 的非空真子集并且既开又闭。

例2 设),(αααT X Λ∈ 为不交并空间，则对任何Λ∈α，αX 为X 的孤立分支。

定理2 设),(T X 为拓扑空间，A 为X 的非空真子集。

则以下结论等价。

(1) A 为X 的孤立分支。

(2) c A 为X 的孤立分支。

(3) 存在X 到}1,0{的满映射f 使得)0(1-=f A ，)1(1-=f A c 。

(4) =),(T X ),(1T A ),(2T c A ，其中),(1T A 和),(2T c A 为),(T X 的子空间。

数学上连通的定义

数学上连通的定义数学中的连通，是指数学空间里的任意两点，存在从一点到另一点的连续路径（即路径上的每一点都是相连的）。

连通在数学中有着重要的意义，它是许多概念和定义的基础，如几何、分析、图论等等。

本文将介绍数学上连通的定义和重要性。

首先，需要说明的是什么是数学上的连通度：数学上的连通度是指数学空间中的任意两个点之间，存在从一点到另一点的连续路径（即路径上的每一点都是相连的）。

连通度是一种数学上的连接性，它可以用来建立数学空间中的结构，也可以用来衡量空间中点之间的联系。

国际上通用的连通定义为：如果一个集合是由R^n（n∈N）上的连续函数组成，则它被称为连通的。

在数学上，一个集合是连通的，如果它可以用连续函数来表示，也就是说，如果集合中的每一个点都可以通过连续的函数和另一个点相连，这样的集合就是连通的。

在拓扑学中，连通的概念也很重要。

如果一组点的集合是连通的，那么它就可以划分为不同的子集，这些子集就是连通分量，也就是说，在一个连通分量中，任意两点之间都可以通过路径连接，都属于同一个点簇。

所以，当我们处理拓扑结构时，可以把它划分成不同的连通分量，这样就可以很容易地分析这个结构了。

在图论中，连通性也很重要。

在图论中，一个图是连通的，如果里面的任意两个点之间都可以通过一段路径相连，那么它便是连通的。

连通性可以用来分析图的结构，它是图的基本性质，比如图的最短路径，最佳路径等等，它也可以帮助我们研究图的结构。

最后，我们还可以用连通度来衡量不同集合之间、不同图之间的联系性。

在数学上，一个集合与另一个集合的连通度可以通过计算它们之间的共同路径数来衡量，而两个图之间的连通度则可以通过计算它们之间的共同图结构来衡量。

综上所述，数学上的连通性在拓扑学、几何学、图论、分析学以及其它领域里都有着非常重要的意义，对于理解和处理一些数学系统和结构，连通性都是非常重要的概念。

斯托克斯公式单连通

斯托克斯公式单连通
斯托克斯公式（Stokes' Theorem）是微积分中的一个重要定理，用于计算曲面积分。

它描述了向量场沿着封闭曲线的环路积分与该向量场通过封闭曲面的面积分之间的关系。

斯托克斯公式在物理学、工程学和数学等领域有广泛的应用。

单连通（Simply Connected）是指一个拓扑空间中的一个子集可以通过连续变形收缩到一个点，而不留下任何“洞”。

换句话说，单连通子集没有“孤立”的部分，即它的任何两个不相交的开集都可以连续地变形为整个子集。

斯托克斯公式与单连通的关系在于，当我们应用斯托克斯公式时，通常需要确保所研究的曲面是单连通的。

这是因为斯托克斯公式的一个关键假设是：向量场在曲面上的边界上是有界的。

如果曲面不是单连通的，那么向量场可能在曲面的某些部分是无界的，这可能导致斯托克斯公式无法应用。

例如，考虑一个向量场 F 在一个非单连通区域 D 上的曲面积分。

如果我们尝试应用斯托克斯公式，可能会遇到一个问题：F 在 D 的某些部分可能是无界的，这使得我们无法确定 F 在这些部分的边界上的极限。

因此，在这种情况下，斯托克斯公式可能无法给出正确的结果。

总之，斯托克斯公式与单连通的关系在于，为了确保斯托克斯公式的正确应用，我们需要确保所研究的曲面是单连通的。

图的连通性

有向图中，极大强连通子图=强连通分量
G1的两个强连通分量 G1
V’是连通图G的一个顶点子集。在G中删去V’及与V’ 相关联的边后图不连通，则称V’是G的割顶集。最小割顶集中顶点的个数，记成K(G)，叫做G的连通度。
规定： K(完全图)＝顶点数-1 K(不连通图)＝K(平凡图)＝0
K(G)＝l时，割顶集中的那个顶点叫做割顶。没有割顶的图叫做块，G中成块的极大子图叫做G的块。
LOW(U)值的计算步骤如下：
在算法执行中，对任何顶点U计算LOW(U)值是不断修改的，只有当以U为根的dfs子树和后代的LOW值、dfn值产生后才停止。
图中（7，1）应为（7，7）
如r被选为根，则r 成为割顶当且仅当它有不止一个儿子点。
顶点U的标号函数LOW(U): LOW(U)=min{dfn(),LOW(s),dfn(W)} 其中：S是U的一个儿子，（U，W）是后向边
LOW(U)是U或U的后代所能追溯到的最早（序号小）的祖先结点序号。
顶点U<>r作为图的割顶当且仅当U有一个儿子，使得LOW(S)>=dfn(U),即S和S的后代不会追溯到比U更早的祖先点。
G1 K(G1)=0
G2 K(G2)=1
G3 K(G3)=3
G4 K(G4)=5-1=
威廉王迷宫
前向边（实线部分）后向边（虚线部分） Dfn(x):顶点x被首次访问的次序。 Dfn(x)=I表示x是第I个首次被访问的节点称为深度优先搜索序数。
Dfs树
如U不是根，U成为割顶当且仅当存在U的某一个儿子顶点S，从S或S 的后代点到U的祖先点之间不存在后向边
图的连通性
G1
G2
在无向图中，如果从顶点V到V’有路径，则称V和V’是连通的。在有向图中，如果从顶点V到V’有路径，并且从V’到V有路径，则称V和V’是强连通的。如果对于图中任意两个顶点Vi,Vj,Vi和Vj都是连通的，则称连通图。

拓扑学第五章-连通性

第五章连通性普通几何中的图形“连通”性是一个非常直观的概念，似乎无需给出数学的定义。

然而，对于一些复杂的图形，单凭直观是不行的，例如：例：设2E 的一个子集（曲线）有,A B 两部分构成，其中1{(,sin )(0,1)}A x x x=∈{(0,)11}B y y =-≤≤如右图，细线为A ，粗线为B ，我们很难判断它们是否连通的。

▲有两种描述图形连通的方法： 1）、利用集合是否相交来判定；2）、利用任何亮点是否有图形内的线段相连。

前者称为“连通性”，后者称为“道路连通性”。

在上例中，X 是连通的，但是，不是道路连通的。

§5-1 连通空间先看一个例子：考虑R 上的两个子集(0,1)与[1,2)。

它们是不交的，（即交为空集）。

但是，它们的并为(0,2)却构成了一个“整体”；而(0,1)与(1,2)也是不相交的，但它们的并仍是两个部分。

原因是：(0,1)的一个聚点1，属于[1,2)，而不属于(1,2)。

为此，给出一个“分离”的概念。

定义1 设A 和B 是拓扑空间X 的两个非空子集，如果A B ⋂=∅与A B ⋂=∅，则称A 与B 是分离的。

定义2 称拓扑空间X 是连通的，如果X 不能表示为两个非空分离集合的并。

●显然，连通与下面几种说法是等价的。

① X 不能分解为两个非空不相交开集的并； ② X 不能分解为两个非空不相交闭集的并； ③ X 没有既开又闭的非空真子集； ④ X 中只有X 和∅是既开又闭的。

上述的四种说法与连通是等价的，可以作为习题，有同学们自己去证明。

例1 （1）(,)f R τ是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交。

（2）双曲线不连通，它的两支是互不相交的的非空闭集。

（3）1E 空间是连通的。

结论（3）是明显的。

但是，人们常常里利用已知连通空间论证其它空间的连通性，所以，1E 常常被作为论证一维流形连通的出发点。

因此，有必要去证明一下。

证明的思路：1E 中任何非空真子集不可能既是闭的又是开的，则1E 是连通的。

图中顶点子集的边连通度与最优分级边连通图的构造问题

定义ｌ设Ｓ是图Ｇ中至少含有两个顶点的
６
顶点子集，ｓ的边连通度被定义为使ｓ中的顶则点不属于同一连通分支中所需去掉的最少边数，记
为（，不至引起混淆的情况下记为＾Ｓ）Ｓ）在（．
１引言
在运输和通讯网络中，由于不同地区的战略地位、济发展程度有很大的差异性，种差异性导经这致了不同的地区对网络的连通性有不同的要求，相对发达的地区对网络连通性有更高的要求．如果仅利用图的边连通度或导出子图的边连通度来度量则很难客观地反映出这类差异性．
研究如何构造一个不同的顶点子集有不同边连通度要求的图．文论及的图都是无环但允许有重边本
的无向连通图．
２定义与性质
众所周知图Ｇ一（Ｅ）．中两个不同顶点 “与之间的边连通度２ｕ）定义为使、（，被分属不同连通分支所需去掉的最少边数．面把它推广成顶下点子集的边连通度的概念：
维普资讯
第１期
吴海银等：中顶点子集的边连通度与最优分级边连通圈的构造同题图
２１
ａＳ（）一ｍｉ｛（，）ＶｎａｕＦＪ
∈ Ｓ． ≠ 口．｝
一
对应的正整数序列ｋ，一．一．中 ≥ ２ｋｋ其；ｏ
摘

拓扑学中的连通性与紧性的研究

拓扑学中的连通性与紧性的研究拓扑学是一门研究空间性质的学科，其中连通性和紧性是其重要概念之一。

本文将介绍拓扑学中的连通性和紧性的基本概念、性质以及相关研究。

一、连通性的概念与性质连通性是拓扑学中研究空间内部连通程度的属性。

给定一个拓扑空间X，如果X中任意两点都可以通过空间内的路径连续地相连，则称X是连通的，否则称X是不连通的。

连通性的概念可以进一步推广，如道路连通性、区域连通性等。

连通性具有以下性质：1. 连通集的补集是不连通的：若A是连通集，则A的补集A'是不连通的。

2. 连通集与连续映射的像：若f:X→Y是连续映射，且X是连通的，则f(X)也是连通的。

3. 连通集的闭包与内部：连通集的闭包和内部仍然是连通的。

二、紧性的概念与性质紧性是拓扑学中研究空间紧凑性的概念。

给定一个拓扑空间X，如果X中的任意开覆盖都存在有限子覆盖，则称X是紧的。

紧性具有以下性质：1. 紧集的闭子集是紧的：若A是紧集，B是A的闭子集，则B也是紧的。

2. 局部有限的连续映射的像是局部有限集：若f:X→Y是局部有限的连续映射，且X是紧的，则f(X)是Y中的局部有限集。

3. 连续映射下的紧性：若f:X→Y是连续映射，且X是紧的，则f(X)是Y中的紧集。

三、连通性与紧性的关系在拓扑学中，连通性与紧性有一定的关联。

有以下定理可以描述连通性与紧性的关系：定理1：连通紧致集合是连通性与紧性的结合。

证明：假设A是连通紧致集合，我们可以证明A是连通的且紧的。

首先，假设A不连通，则存在开集U、V，满足A⊆U∪V、U∩V=∅且U∩A≠∅、V∩A≠∅。

由于A是紧的，故存在有限子覆盖U1、V1、U2、V2、...、Un、Vn。

如果我们选择U1、U2、...、Un这些开集，则A⊆U1∪U2∪...∪Un，而U1∪U2∪...∪Un∪V1∪V2∪...∪Vn是U∪V的一个开覆盖，矛盾于A的连通性。

因此，A必须是连通的。

其次，假设A不紧，则存在A的一个开覆盖，无有限子覆盖。

《点集拓扑讲义》第四章-连通性-学习笔记

本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用.这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间.本节重点：掌握连通与不连通的定义;掌握如何证明一个集合的连通与否;掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性.我们先通过直观的方式考察一个例子. 在实数空间R中的两个区间（0,1 ）和］1, 2）,尽管它们互不相交，但它们的并（0, 1）U［I , 2） = （0, 2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0, 1 ）和（1, 2）,它们的并（0, 1）U（1, 2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0, I ）有一个凝聚点1在］1, 2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中.我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形.定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果则称子集A和B是隔离的.明显地，定义中的条件等价于「二 J和- - - J同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点.应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0, 1 ）和（1, 2）是隔离的，而子集（0，l ）和［1，2）不是隔离的.又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的.定义4.1.2 设X是一个拓扑空间•如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=AJ B,则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间.显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间.定理4.1.1 设X是一个拓扑空间.则下列条件等价：（I ）X是一个不连通空间；（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A H 和A J B= X成立；（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A H 和A J B= X成立；（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集.证明条件（I ）蕴涵（2）:设（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A J B= X,显然A H ，并且这时我们有B =Br\X =Br\（AuB） = （B nZ）u（5 = B因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求.条件（2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A=_和B=「，因此A、B也是开集，所以A 和B也满足条件（3）中的要求.条件（3）蕴涵（4）.如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所以A B是开集，则由和B二匸易见A和B都是X中的闭集，因此A、B 是X中既开又闭的真（：A B M0, A U B=X ••• A B M X）子集，所以条件（4）成立.条件（4）蕴涵（I ）.设X中有一个既开又闭的非空真子集 A.令•则A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A U B=X易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）.因此（I ）成立.例4.1.1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间.这是因为对于任何一个无理数r €R-Q，集合（-X，r ）n Q=（-^，r] HQ是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集.定理4.1.2 实数空间R是一个连通空间.证明我们用反证法来证明这个定理.假设实数空间R是不连通空间.则根据定理4.1.1 ,在R中有两个非空闭集A 和B使得A H 和A U B= R成立.任意选取a€A和b€ B,不失一般性可设a v b.令」=A H [a,b]，和J =B H [a,b].于是」和J是R中的两个非空闭集分别包含a和b,并且使得」n J =二和」U J =[a，b]成立.集合」有上界b,故有上确界，设为=.由于」是一个闭集，所以匚€」，并且因此可见匚v b，因为]二b将导致b€」nF,而这与」nF =二矛盾.因此（1 , b] — F .由于J 疋一个闭集，所以「€ 一 .这又导致]€」n 一，也与」n 一 =二矛盾.定义4.1.3 设丫是拓扑空间X的一个子集.如果丫作为X的子空间是一个连通空间，则称丫是X的一个连通子集；否则，称丫是X的一个不连通子集.拓扑空间X的子集丫是否是连通的，按照定义只与子空间丫的拓扑有关(即丫的连通与否与X的连通与否没有关系.)•因此，如果/ --—丄，则丫是X 的连通子集当且仅当丫是Z的连通子集•这一点后面要经常用到.定理4.1.3 设丫是拓扑空间X的一个子集，A, B_Y.贝U A和B是子空间丫中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集.因此，丫是X的一个不连通子集，当且仅当存在丫中的两个非空隔离子集A和B使得A U B= Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A U B= Y.证明用分别表示A在丫，X中的闭包.因为(P J(A)nfl)u(C Y(S) n& = ((C£(A)nK)n^)u(©(B)nY)nA)=(6 ⑷n(?n fl)) u © (B) n(?n 血)=(C x⑷冲)u (0 (5)n &因此根据隔离子集的定义可见定理成立.定理4.1.4 设丫是拓扑空间X中的一个连通子集.如果X中有隔离子集A和B使得YCAUB贝U或者YCA,或者丫匚B.证明如果A和B是X中的隔离子集使得丫CAUB则((占cK) c £ eV) u ((占 c?) c / eV) c (_AnYnB)u(Br\YnA)F 0((.4 n5)u(^nl) = 0这说明A AY和B AY也是隔离子集.然而(A A Y)U( B A Y) = ( A U B)A Y= Y因此根据定理4.1.3，集合A AY和B AY中必有一个是空集.如果A A 丫二二，据上式立即可见Y —B,如果B A 丫=二，同理可见Y—A.定理4.1.5 设丫是拓扑空间X的一个连通子集，Z_X满足条件二二.则Z也是X的一个连通子集.证明假设Z是X中的一个不连通子集•根据定理 4.1.3，在X中有非空隔离子集A和B使得Z=A U B,因此Y_AUB由于丫是连通的，根据定理4.1.4 ,或者Y_A. 丄二二’I 匚」二口二二匸J或者Y_B,同理，二一门.这两种情形都与假设矛盾.定理4.1.6 设是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果"匚贝U -■-是X的一个连通子集.证明设A和B是X中的两个隔离子集，使得- ■ J - , = AU B.任意选取x€…汀：「，不失一般性，设x€ A.对于每一个丫€ r ,由于连通，根据定理4.1.4 ,或者二-」或者;由于x€「AA ,所以；一一―.根据定理4.1.3，这就证明了「是连通的.定理4.1.7 设丫是拓扑空间X中的一个子集.如果对于任意x, y€Y存Y Y在X中的一个连通子集 r使得x, y€：-Y,则丫是X中的一个连通子集.证明如果丫=二，显然丫是连通的.下设丫工二,任意选取a€ Y,容易验证丫=七；「I并且a€ 冷‘二.应用定理4.1.6，可见丫是连通的.我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§ 2. 2）.所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质.事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质.因为同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质•拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质.因为拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质.以下定理4.1.8指出，连通性(即一个拓扑空间是连通的这一性质)是一个在连续映射下保持不变的性质•因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质.定理4.1.8 设f:X -Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则 f (X)是Y的一个连通子集.证明如果f (X)是丫的一个不连通子集，则存在丫的非空隔离子集A 和B使得f (X)= A U B.于是「' (A)和」(B)是X的非空子集，并且(厂(& n 7^)c旷S n广1@)) u屮(Q门厂(劝三于"((He 牙)u(£c7)) = 0所以「' (A)和「•(B)是X的非空隔离子集.此外，1 (A)U「(B)^ 1 (A U B) = 1 (f(X))=X这说明X不连通.与定理假设矛盾.拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n>0个拓扑空间X屁•益都具有性质P，蕴涵着积空间心严XX:也具有性质p.例如，容易直接证明，如果拓扑空间丄丄「-為都是离散空间（平庸空间），则积空间紅吟心X•:也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质.根据定理3. 2. 9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p是一个拓扑不变性质.为了证明性质p是一个有限可积性质，我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间.定理 4.1.9 -J--'是n个连通空间. 则积空间亠二I；也是连通空间.证明根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明.首先我们指出：如果'■" 1 ‘1两个点有一个坐标相同，则■'〕二有一个连通子集同时包含x和y不失一般性，设定义映射k:「‘一使得对于任何有一"1 < .由于X吐是取常值；的映射,为恒同映射，它们都是连续映射，其中-.Jl j分别是到第1和第2个坐标空间的投射•因此，k是一个连续映射•根据定理 4.1.8 , k（'；Q是连通的•此外易见，上（為）屮JX為,因此它同时包含x和y.现在来证明：中任何两个点"mybwJEXixx：同时属于二的某一个连通子集.这是因为这时若令-. ■•_：,则根据前段结论，可见有二■ j的一个连通子集4同时包含x和z, 也有二■- j 的一个连通子集I同时包含y和z.由于z€，因此根据定理4.1.6，是连通的，它同时包含x 和y.于是应用定理4.1.7可见「•、是一个连通空间.因为n维欧氏空间丁是n个实数空间R的笛卡儿积，而实数空间R又是一个连通空间，所以应用这个定理可见，n维欧氏空间J是一个连通空间.作业:P116 3. 5. 6. 8. 14.本节重点：掌握实数空间R中的连通子集的“形状”掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集掌握常见的几种空间的同胚与否的事实让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a，b€ E, a v b,则有［a , b］={x € R|a<x< b} - E读者熟知，实数集合R中的区间共有以下9类：（-x，x），（a，x），［a，7，（-车a），（- ^，a］（a，b），（a，b］，［a，b），［a，b］因为，一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果E_ R 是一个区间，可视E有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E,而将E归入以上9类之一在定理4. 1. 2中我们证明了实数空间R是一个连通空间•因为区间（a， %），（—X，&）和（a，b）都同胚于R （请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间也都是连通的；由于血 8）=血8）,（-8,a）C［a.b） c［a9bl（a^ C @上］U［爲切c 丽根据定理4. 1. 5可见区间［a，^），（— ^，a］，［a，b），（a，b］和［a，b］都是连通的.另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点•如果E 不是一个区间，则----- -‘ ? -■■■ ■■--,也就是说，存在a<c<b,使得m ；从而，若令A= （— X， c） A E, B=（c，x）PE则可见A和B都是E的非空开集，并且有A U B=E和A A B=J ,因此E不连通.综合以上两个方面，我们已经证明了:定理421 设E是实数空间R的一个子集.E是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E是一个区间.定理422 设X是一个连通空间，f:X -R是一个连续映射.则f(X)是R 中的一个区间.因此，如果x, y€ X,则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t (即当f(x) < f(y)时，f(x) < t < f(y);当f(y) < f(x)时，f(y) < t < f(x)),存在z €X 使得f(z)=t .证明这个定理的第一段是定理4. 1. 8和定理421的明显推论.以下证明第二段.设x，y€ X.如果f (x )= f (y)，则没有什么要证明的.现在设f (x)工f (y)，并且不失一般性，设f (x) v f (y).由于f (X)是一个区间，所以［f (x)，f (y) ］_ f (X).因此对于任何t，f(x) < t < f(y)，有t € f(X)，所以存在z€ X,使得f (z) =t.根据定理4.2.2，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理.定理4.2.3 ［介值定理］设f:［a，b］-R是从闭区间［a，b］到实数空间R的一个连续映射.则对于f (a)与f (b)之间的任何一个实数r，存在z€ ［a，b］使得f(z)=r .定理4.2.4［不动点定理］设f:［0，1］0，1 ］是一个连续映射.则存在z€ ［0，1］使得f(z)=z证明如同数学分析中的证法那样，只需构造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可证得.容易证明欧氏平面卅中的单位圆周是连通的. 这是因为如果定义映射f:R —f使得对于任意t €尺有f(t)=(cos2 n t,si n2 n t) €「，则易于验证f 是一个连续映射，并且f(R) =〕•因此〕是连通空间R在一个连续映射下的象，所以它是连通的.设点…八厂；.1「称为点x的对径点•映射r f使得任何x€「',有r(x)=-x，称为对径映射•对径映射是一个连续映射，因为它是欧氏平面丁到自身的反射I :口一在单位圆周上的限制•其中，映射I 定义为对于任何"产卞，有I (x)= -x，容易验证(请读者自行验证)是一个连续映射.定理4.2.5[Borsuk-Ulam 定理] 设f:「—R是一个连续映射.则在二中存在一对对径点x和-x，使得f(x)=f(-x).证明(略)我们已经知道n维欧氏空间T是连通空间，下面进一步指出：定理426 n> 1维欧氏空间〔的子集丁-{0}是一个连通子集，其中0= (0，0,…，0)€ 7 .证明我们只证明n = 2的情形.根据定理4. 1. 9, 丁中的子集(-%, 0) 乂尺和(0,x)XR都是连通的.由于C[0L®)X5-{0} c [0®)xR =(O p®)xfi 所以根据定理4. 1. 5, Rn中的子集A=[0, ^) XR-{0}是连通的；同理，子集B=(- %, 0]XR-{0}是连通的.由于A H 以及A U B=T -{0}，因此根据定理4.1 . 6可见，「-{0}是连通的.一般情形的证明类似，请读者自行补证.定理426可以得到进一步的改善(参见习题第4题)定理427 欧氏平面】和实数空间R不同胚.证明假设丁与R同胚，并且设f:〔-R是一个同胚•因此对于连续映射我们有J ■'•但根据定理426 , ? -{0}是连通的,而根据定理421 , R-{f(0)}是不连通的•这与定理4. 1. 8矛盾.定理427给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例.定理424，定理425和定理427尽管简单但确有意思，特别是这几个定理都有高维“版本”，我们分别陈述如下：定理4.2.8[Brouwer不动点定理] 设f :丄.-'是一个连续映射，其中「是n维球体.则存在z€丄■使得f (z) =z.定理4.2.9[Borsuk —Ulam定理] 设f：」一厂是一个连续映射，其中n》m 则存在x€『使得f (x) =f (-x ).定理4210 如果n^ m则欧氏空间T和不同胚.这些定理的证明 (除去我们已经证明过的情形)一般都需要代数拓扑知识，例如同调论或同伦论，请参阅有关的专门书籍.作业：P121 4.本节重点:掌握连通分支的定义（即连通”类”的分法）;掌握连通分支的性质（定理431）.从前面两节中的内容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理- 些问题带来很大的方便.这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集（即连通分支）.定义431 设X是一个拓扑空间，x, y€ X.如果X中有一个连通子集同时包含x和y，我们则称点x和y是连通的.（注意：是点连通）根据定义可见，如果x, y, z都是拓扑空间X中的点，贝U（1）x和x连通（因为每一个单点集都是连通子集）；（2）如果x和y连通，则y和x也连通；（显然）（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通.（这是因为，这时存在X中的连通子集A和B使得x，y€A和y，z€ B.从而由于y€ A PB 可见A UB连通，并且x，z€ A U B.因此x和z连通.）以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系.定义432 设X是一个拓扑空间.对于X中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支.如果丫是拓扑空间X的一个子集.丫作为X的子空间的每一个连通分支称为X 的子集丫的一个连通分支.拓扑空间X M二的每一个连通分支都不是空集；X的不同的连通分支无交；以及X的所有连通分支之并便是X本身•此外，x, y€X属于X的同一个连通分支当且仅当x和y连通.拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个连通分支当且仅当A 有一个连通子集同时包含点x和y.定理431 设X是一个拓扑空间，C是拓扑空间X的一个连通分支.则（1）如果Y是X的一个连通子集，并且Y G C M乳【一f ;（2）C是一 -个连通子集；（3）C是一一个闭集.本定理中的条件（1）和（2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X的一个最大的连通子集.证明（1）任意选取x € Y G C•对于任何y €Y由于x和y连通，故y € C•这证明Y_C.Y （2）对于任何x，y€ C,根据定义可见，存在X的一个连通子集「匸使得x，y€ r- .显然「匸G C M二，故根据（1）,匚—C.应用定理4. 1. 7可知, C 是连通的.（3）因为C连通，根据定理4. 1. 5，「连通.显然，一I 一■'.所以根据（1），•「二 = .从而C是一个闭集.但是，一般说来连通分支可以不是开集.例如考虑有理数集Q （作为实数空间R的子空间）.设x，y€ Q x M y.不失一般性，设x v y.如果Q的一个子集E同时包含x和y，令A=（- X，r）GE和B=（r，）G E,其中r是任何一个无理数，x v r v y .此时易见A和B都是Q的非空开集，并且E= A U B.因此E不连通.以上论述说明E中任何一个包含着多于两个点的集合都是不连通的，也就是说，Q的连通分支都是单点集•然而易见Q中的每一个单点集都不是开集.记住这个事实：任一个集合A都可以由含于它内部的所有连通分支的并而成(且这些连通分支互不相交).即使是离散空间，它的每一个点自成连通分支这个结论也成立.作业：P123 1 . 3. 4. 8.本节重点：掌握局部连通的定义与性质(定理441-443);掌握连通与局部连通的关系引进新的概念之前，我们先来考察一个例子.例 4.4.1 在欧氏平面丄中令S={(x,sin(1/x))|x € (0,1]}.T={0} X[-1,1],其中S被称作拓扑学家的正弦曲线，它是区间(0, 1]在一个连续映射下的象，因此是连通的.此外，也容易验证J S U T,因此S UT也是连通的.尽管如此，倘若我们查看〕中的点，容易发现它们明显地分为两类：S中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个连通的邻域，而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的. 我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来.定义441 设X是一个拓扑空间，x€ X.如果x的每一个邻域U中都包含着x 的某一个连通的邻域V,则称拓扑空间X在点x处是局部连通的.如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间.回到例441中所定义的拓扑空间1.容易证明，［在其属于S的每一个点处是局部连通的，而在其属于T的每一个点处都不是局部连通的.也因此，尽管〔是一个连通空间，但它却不是一个局部连通的空间.局部连通的拓扑空间也不必是连通的.例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于两个点的离散空间却不是连通空间.又例如，n维欧氏空间丁的任何一个开子空间都是局部连通的（这是因为每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间厂，因而是连通的），特别，欧氏空间J本身是局部连通的.另一方面，欧氏空间丁中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的（请读者自己证明）.此外根据定义立即可见：拓扑空间X在点x€X处是局部连通的当且仅当x 的所有连通邻域构成点x处的一个邻域基，定理4.4.1 设X是一个拓扑空间.则以下条件等价：（1）X是一个局部连通空间；（2）X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集；（3）X有一个基，它的每一个元素都是连通的.证明（1）蕴涵（2）.设C是X的一个连通分支，「-- -「.如果x€ C, 由于U是x的一个邻域，所以当（1）成立时x有一个连通邻域V包含于U•又由于V GC包含着点x,所以不是空集，根据定理4. 3. 1可见-/ .因此C€二.这证明C 是属于它的任何一个点x的邻域，因此C是一个开集.条件(2)蕴涵(3).若(2)成立，则X的所有开集的所有连通分支(它们都是开集)构成的集族，由于每一个集合是它的所有连通分支之并，恰是X 的一个基.条件(3)蕴涵⑴.显然.我们常用到定理441的一个推论：局部连通空间的每一个连通分支都是开集.定理442 设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的.又设f:X -Y 是一个连续开映射.则f (X)是一个局部连通空间.证明根据定理4.4.1，可设B是X的一个基，其中的每一个元素都是连通的.对于每一个B€ B，集合f(B)是连通的，并且由于f是一个开映射，f (B) 是丫中的一个开集，因此也是f(X)的一个开集.这证明集族B1={f (B)|B € B}} 是一个由f (X)的连通开集构成的族.我们指出B1是f(X)的一个基，这是因为，如果U是f(X)中的一个开集，贝U ' ( U)是X中的一个开集，因此码匚肌厂⑺“戶/(广如))=如他是B1中某些元素之并.于是根据定理441可知f (X)是局部连通的.根据定理442易见，拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质.定理443 设是n》l个局部连通空间.则积空间免-二二'：也是局部连通空间.证明(略)应用这些定理，有些事情说起来就会简单得多.例如，实数空间R由于所有的开区间构成它的一个基，所以它是局部连通的；n维欧氏空间J是n个R 的积空间，所以它也是局部连通的.当然这些事情我们早就知道了.作业：P127 123.较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些•我们先定义“道路”.定义4.5.1 设X是一个拓扑空间•从单位闭区间[0,1] -X的每一个连续映射f:[0 , 1] -X叫做X中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f的起点和终点•当x = f (0)和y = f (1)时，称f是X中从x到y的一条道路•起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点(也是它的终点)称为闭路的基点.如果f是X中的一条道路，则道路f的象集f([0 ,1])称为X中的一条曲线或弧，并且这时道路f的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终占八、、・或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念.定义4.5.2 设X是一个拓扑空间•如果对于任何x，y，存在着X中的一条从x到y的道路(或曲线)，我们则称X是一个道路连通空间.X中的一个子集丫称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间.(Y是否道路连通与X是否道路连通没有关系)实数空间R是道路连通的.这是因为如果x ,y€ R,则连续映射f:[0 ,1] -R 定义为对于任何t € [0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一条以x为起点以y 为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的.定理4.5.1 如果拓扑空间X是一个道路连通空间，则X必然是一个连通空间.证明对于任何x, y€ X,由于X道路连通，故存在从x到y的一条道路f：[0，I] -X这时曲线f ([0,1])，作为连通空间[0,1]在连续映射下的象，是X中的一个连通子集，并且我们有x，y€ f ([0，1]) •因此根据定理4.1.7 可见X是一个连通空间.连通空间可以不是道路连通的•我们已经指出例4. 4. I中的〕是一个连通空间•不难证明(留作习题，见习题第3题)它不是道路连通的.道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了.定理4.5.2 设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，f:X -Y是一个连续映射.则f (X)是道路连通的.证明设'r| " . . ' I 1 .… 由于X是道路连通的,故X中有从二到二的一条道路g: [0，1] -X.易见，映射h: [0，1] -f(X)，定义为对于任意t € [0，1]有h (t) =f ：g (t)，是f (X)中从「到l的一条道路•这证明f (X )是道路连通的.根据定理4.5.2可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质.定理4.5.3 设-、一_•-=是n 》l 个道路连通空间.则积空间证明我们只需要对n = 2的情形加以证明.设■ ■'： ' ■- - - 对于i=l , 2,由于…是道路连通空间,故在…中有从［到I 的一条道路，：：［0 , 1］一…•定义映射f : ［0 , 1］— X 皿，使得对于任何t € ［0 , l ］有f (t )=(.容易验证 (应用定理327 )f 是连续的，并且有f(0)=x,f(1)=y •这也就是说f 是■: ■ j 中从x 到y 的一条道路.这证明二「X 是一个道路连通空间.作为定理4.5.3的一个直接的推论立即可见：n 维欧氏空间T 是一个道路连通空间.(这个结论也容易直接验证.)为了今后的需要我们证明以下引理，定理4.5.4［粘结引理］设A 和B 是拓扑空间X 中的两个开集(闭集)，并且有X = A U B.又设Y 是一个拓扑空间，< :A —Y 和I : B —Y 是两个连续映射，满足条件： /1 Zi Li定义映射f:X —Y 使得对于任何x € X ,MW xeZf (x 「J-二也是道路连通空间.则f是一个连续映射.证明首先注意，由于-3 ，映射f的定义是确切的.因为当x€A PB 时, 有加心⑴.其次，我们有：对于丫的任何一个子集Z有厂⑵忧(Z)皿(Z)这是由于厂c厂「「门-现在设U是Y的一个开集•由于】「1都连续，所以1—1 I分别是A和B的开集•然而A和B都是X的开集，所以仙啟) 也都是X的开集•因此厂二「亠-：是X的一个开集•这便证明了f是一个连续映射.当A和B都是X的闭集时，证明是完全类似的.我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念.定义4.5.3 设X是一个拓扑空间，x, y€ X.如果X中有一条从x到y 的道路，我们则称点x和y是道路连通的.(注意：是“点”道路连通)根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，贝U(1)x和x道路连通；(因为取常值的映射f: [0 ，1] -X(它必然是连续的)便是一条从x到x的道路•)(2)如果x和y连通，则y和x也连通；(设f:[0 ，1] -X是X中从x到y的一条道路•定义映射j : [0,1] -X,使得对于任何t € [0,1]有j (t )= f (1 -1) •容易验证j是一条从y到x的道路.)(3)如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通.(设】：：[0，1] -X分别是X中从x到y和从y到z的道路•定义映射f:[0，1] -X使得对于任何t € [0，l]，fE fe[0,l/2]恥T)£E[H2」]。

给定一个包含n个点m条边的有向无环图

给定一个包含n个点m条边的有向无环图一、重要概念1. 图、简单图、图的同构、度序列与图序列、补图与自补图、两个图的联图、两个图的积图、偶图图：一个图是一个有序对<V, E>，记为G=(V, E)，其中：1) V是一个有限的非空集合，称为顶点集合，其元素称为顶点或点。

用|V|表示顶点数；2) E是由V中的点组成的无序对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对在E中可以重复出现多次。

用|E|表示边数注：图G 的顶点集记为V(G)，边集记为E(G)。

图G 的顶点数(或阶数)和边数可分别用符号n(G)和m(G)表示简单图：无环无重边的图称为简单图。

（除此之外全部都是复合图）注：点集与边集均为有限集合的图称为有限图。

只有一个顶点而无边的图称为平凡图。

边集为空的图称为空图图的同构：设有两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：设u1↔u2, v1↔v2，u1, v1∈V1，u2, v2∈V2；u1v1∈E1当且仅当u2v2∈E2，且u1v1与u2v2 的重数相同。

称G1与G2同构，记为G1≌G2 图的度序列：一个图G的各个点的度d1, d2,…, dn构成的非负整数组(d1, d2,…, dn)称为G的度序列注：非负整数组(d1, d2,…., dn)是图的度序列的充分必要条件是：∑di 为偶数。

度序列的判定问题为重点！图的图序列：一个非负数组如果是某简单图的度序列，称它为可图序列，简称图序列补图：对于一个简单图G=(V, E)，令集合E1={uv|u≠v, u, v ∈V}，则图H=(V，E1\E)称为G的补图自补图：若简单图G与其补图同构，则称G为自补图注：自补图的性质（1）若n阶图G是自补的，即那么有联图：设G1，G2是两个不相交的图，作G1+G2，并且将G1中每个顶点和G2中的每个顶点连接，这样得到的新图称为G1与G2的联图。

连通性

局部连通的拓扑空间也不必是连通的。例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于一个点的离散空间却不是连通空间。又例如，n维欧氏空间的任何一个开子空间都是局部连通的(这是因为每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间，因而是连通的)，特别地，欧氏空间本身是局部连通的。另一方面，欧氏空间中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的。
图2 （2）快速并集算法：相比上面的算法，并集运算计算量少，查找运算计算量大，算是算法的改进。根本就是：每个节点都沿着树上移，找到各自的根节点(root)。具体程序如图3所示。图3
（3）快速并集的加权算法：图4 上面的算法，我们并不能保证每一种情况，它的速度都比快速查找有实质性的提高。这个是修改版，它使用一个额外的数组sz完成维护的目的，为每个对象用id[i]==i来表示，这样可以组织树的增长。图4描述了快速并集加权算法，连接两棵树的时候，较小的数的根要附属到较大的数的根下面。这样节点与根的距离短，多以查找效率要高。
由此，能够等价描述E的内涵有下面3点：1）若X不能表示为两个非空不交的开集的并，则，拓扑空间X是连通的。2）若当X分成两个非空子集A、B时，并且满足A∪B时，有A交B的闭包非空，或B交A的闭包非空，则称拓扑空间X是连通的。3）若X中既开又闭的子集只有X与空集，则称，拓扑空间X是连通的。
性质
（1）实数集的子集是连通的，当且仅当它是一个区间；（2）连通性由同胚保持，从而是空间的拓扑性质；（3）设Ω是X的一族子集，它们的并是整个空间X，每个Ω中的个体连通，且两两不分离（即任意两个集合的闭包有非空交），则称为‘X连通’；（4）若X、Y连通，则乘积空间X×Y连通。
其可应用如下：（1）整数代表网络节点，对代表网络连通，因此网络可以判断p和q之间是否应经连通。（2）电网。（3）更甚至与程序中定义的两个等价变量。

拓扑空间定义

拓扑空间定义拓扑空间定义拓扑学是数学中的一个分支，主要研究集合的连通性和结构。

在拓扑学中，最基本的概念就是拓扑空间。

拓扑空间是一种数学结构，它描述了一个集合中元素之间的联系，以及这些联系所形成的几何形状。

一、集合和子集在介绍拓扑空间之前，我们需要先了解一些基本概念。

首先是集合。

在数学中，集合是由一组无序元素组成的对象。

例如，{1,2,3}就是一个集合，其中包含了三个元素1、2、3。

除了集合本身外，我们还可以定义其子集。

子集是指一个集合中包含的元素所组成的另一个集合。

例如，在{1,2,3}这个集合中，{1,2}就是它的一个子集。

二、距离和度量在介绍拓扑空间之前，我们还需要了解两个重要概念：距离和度量。

距离指两个点之间的物理距离或其他类型的差异度量。

例如，在二维平面上，两个点(x1,y1)和(x2,y2)之间的欧几里德距离可以表示为：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)度量是一种函数，它将两个元素映射到一个非负实数上。

这个实数表示了这两个元素之间的“距离”。

例如，在实数集合上，我们可以定义度量函数d(x,y) = |x-y|，它表示了x和y之间的绝对值差。

三、拓扑空间现在我们来介绍拓扑空间。

拓扑空间是一个集合X，以及它的子集所组成的一种结构T。

这些子集被称为开集，它们满足以下三个条件：1. 空集和整个集合X都是开集；2. 有限个开集的交集仍然是开集；3. 任意多个开集的并集仍然是开集。

这些条件保证了在拓扑空间中存在一些基本的连通性和结构。

四、拓扑拓扑指的是一个空间中元素之间的联系。

具体来说，就是指一个点周围邻域内其他点与该点之间的关系。

邻域可以看作是该点周围一定范围内的所有点组成的区域。

在拓扑学中，我们通常使用开球、闭球等概念来描述邻域。

例如，在二维平面上，一个点(x,y)的开球可以表示为：B(x,y,r) = {(a,b)|sqrt((a-x)^2 + (b-y)^2) < r}其中，r表示开球的半径。

[原创]《点集拓扑学》§4.5道路连通空间

§4.5 道路连通空间较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些．我们先定义“道路”．定义4.5.1 设X是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X的每一个连续映射f:[0，1]→X叫做X中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f 的起点和终点．当x＝f（0）和y＝f（1）时，称f是X中从x到y的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点．如果f是X中的一条道路，则道路f的象集f([0，l])称为X中的一条曲线或弧，并且这时道路f的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终点．或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念．定义4.5.2 设X是一个拓扑空间．如果对于任何x，y，存在着X中的一条从x到y的道路（或曲线），我们则称X是一个道路连通空间．X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间．(Y是否道路连通与X是否道路连通没有关系)实数空间R是道路连通的．这是因为如果x，y∈R，则连续映射f:[0，1]→R 定义为对于任何t∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一条以x为起点以y 为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的．定理4.5.1 如果拓扑空间X是一个道路连通空间，则X必然是一个连通空间．证明对于任何x，y∈X，由于X道路连通，故存在从x到y的一条道路f:[0，l]→X这时曲线f（[0,1]），作为连通空间[0，l]在连续映射下的象，是X中的一个连通子集，并且我们有x，y∈f（[0，1]）．因此根据定理4.1.7可见X是一个连通空间．连通空间可以不是道路连通的．我们已经指出例4．4．l中的是一个连通空间．不难证明（留作习题，见习题第3题）它不是道路连通的．道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了．定理4.5.2 设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，f:X→Y是一个连续映射．则 f（X）是道路连通的．证明设．由于X是道路连通的，故X中有从到的一条道路g：[0，1]→X．易见，映射h：[0，1]→f(X)，定义为对于任意t∈[0，1]有h（t）=f g（t），是f（X）中从到的一条道路．这证明f（X）是道路连通的．根据定理4.5.2可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质.定理 4.5.3设是n≥1个道路连通空间．则积空间也是道路连通空间．证明我们只需要对n＝2的情形加以证明．设对于i=l，2，由于是道路连通空间，故在中有从到的一条道路：[0，1]→．定义映射f：[0，1]→，使得对于任何t∈[0，l]有f（t）＝（)．容易验证（应用定理3．2.7）f是连续的，并且有f(0)=x,f(1)=y．这也就是说f是中从x到y的一条道路．这证明是一个道路连通空间．作为定理4.5.3的一个直接的推论立即可见：n维欧氏空间是一个道路连通空间．（这个结论也容易直接验证．）为了今后的需要我们证明以下引理，定理4.5.4[粘结引理] 设A和B是拓扑空间X中的两个开集（闭集），并且有X＝A∪B．又设Y是一个拓扑空间，：A→Y和：B→Y是两个连续映射，满足条件：定义映射f:X→Y使得对于任何x∈X，f（x）＝则f是一个连续映射．证明首先注意，由于，映射f的定义是确切的．因为当x∈A∩B时，有．其次，我们有：对于Y的任何一个子集Z有这是由于现在设U是Y的一个开集．由于都连续，所以分别是A和B的开集．然而A和B都是X的开集，所以也都是X的开集．因此是X的一个开集．这便证明了f是一个连续映射．当A和B都是X的闭集时，证明是完全类似的．我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念．定义4.5.3 设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一条从x到y的道路，我们则称点x和y是道路连通的．(注意:是“点”道路连通)根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则（1）x和x道路连通；（因为取常值的映射f: [0，1]→X（它必然是连续的）便是一条从x到x的道路．）（2）如果x和y连通，则y和x也连通；(设f:[0，1]→X是X中从x到y 的一条道路．定义映射j：[0，l]→X，使得对于任何t∈[0，l]有j（t）＝f（1－t）．容易验证j是一条从y到x的道路．)（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（设：[0，1]→X分别是X中从x到y和从y到z的道路．定义映射f:[0，1]→X使得对于任何t∈[0，l]，应用粘结引理立即可见f是连续的，此外我们有f（0）＝（0）=x和f(1)= (1)=z．因此f是从x到z的一条道路．）以上结论归结为：拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系．定义4.5.4 设X是一个拓扑空间．对于X中的点的道路连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个道路连通分支．如果Y是拓扑空间X的一个子集．Y作为X的子空间的每一个道路连通分支称为X的子集Y的一个道路连通分支．拓扑空间X的每一个道路连通分支都不是空集；X的不同的道路连通分支无交；以及X的所有道路连通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X属于X的同一个道路连通分支当且仅当x和y道路连通．拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个道路连通分支的充分必要条件是A中有一条从x到y的道路．根据定义易见，拓扑空间中每一个道路连通分支都是一个道路连通子集；根据定理4.5.1，它也是一个连通子集；又根据定理4．3．l，它必然包含在某一个连通分支之中．作为定理4.5.l在某种特定情形下的一个逆命题，我们有下述定理：定理4.5.5 n维欧氏空间的任何一个连通开集都是道路连通的．证明首先我们注意n维欧氏空间中的任何一个球形邻域都是道路连通的，这是因为它同胚于n维欧氏空间本身．其次证明n维欧氏空间的任何一个开集的任何一个道路连通分支都是一个开集：设U是的一个开集，C是U的一个道路连通分支．设x∈C．因为U是一个包含x的开集，所以也包含着以x为中心的某一个球形邻域B（x，ε）．由于球形邻域B(x,ε)是道路连通的，并且B（x，ε）∩C包含着x，故非空,这导致B（x，ε）C．所以C是一个开集．最后,设V是的一个连通开集．如果V，则没有什么要证明的．下设V．V是它的所有道路连通分支的无交并，根据前一段中的结论，每一个道路连通分支都是开集．因此如果V有多于一个道路连通分支，易见这时V可以表示为两个无交的非空开集之并，因此V是不连通的，这与假设矛盾．因此V只可能有一个道路连通分支，也就是说V是道路连通的．推论 4.5.6 n维欧氏空间中任何开集的每一个道路连通分支同时也是它的一个连通分支．证明由于n维欧氏空间是一个局部连通空间，根据定理4．4．1，它的任何开集的任何连通分支都是开集.根据定理4.5.5，的任何开集的任何连通分支都是道路连通的，因此包含于这个开集的某一个道路连通分支之中．另一方面．任何一个集合的道路连通分支，由于它是连通的，因此包含于这个集合的某一个连通分支之中，本推论的结论成立．通过引进局部道路连通的概念，定理4.5.5和推论4.5.6的结论可以得到推广．（参见习题5．）作业:P132 1. 2.本章总结：（1）有关连通、局部连通、道路连通均为某个集合的概念，与这个集合的母空间是否连通、局部连通、道路连通无关．（2）掌握连通、局部连通、道路连通这三者之间的关系．（3）记住中的哪些子集是连通、局部连通、道路连通的．（4）连通、局部连通、道路连通分支是一个分类原则，即每个集合都是若干个某某分支的并，任两个不同的分支无交，每个分支非空．若两个分支有交，则必是同一个分支．（5）连通是本章的重点．（6）掌握证明连通、不连通及道路连通的方法．特别注意反证法．（7）掌握连通性、局部连通性、道路连通是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的．。