物理竞赛中数学习知识

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想走上物竞之路进入清华北大?你还差这些数学知识!

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想走上物竞之路进入清华北大?你还差这些数学知识!近期,很多刚刚入坑物竞的同学们询问这样一个问题:搞物竞需要哪些数学知识?关于这个问题,质心教育黄俏老师写了一篇关于物竞中需要掌握的数学知识的文章,供大家参考。

1参加物竞需要哪些高中知识基础?高中物理竞赛所需要的无论从知识上的广度还是思维上的难度都大于高考。

按照全天高强度学高中物理竞赛的力度来学高考物理的话,一个月就能学完了。

事实上,学习高中物理竞赛,更需要准备的是高中数学知识。

2哪些高中数学知识物竞会用到?物理竞赛需要用到的重要高中数学知识有:函数(包括三角函数、幂函数、对数函数、指数函数等),不等式(包括柯西不等式、均值不等式等),向量,多元线性方程,二次方程。

都是高中高考范围内会学到的,但同学最好在数学老师讲到这些部分之前,提前自学。

这部分翻翻高考数学参考书,稍微做做高考数学题就可以了。

当然质心教育帮大家将矢量和三角函数等内容录成了免费视频方便同学们学习(登录质心官网,点击学习——知识点——数学基础)。

物理竞赛需要的高等数学就比较零散了,初学的时候推荐买一本名字含“微积分”的书(注意不要是“数学分析”的书),重点看里面公式的应用而不是对其存在性、正确性和唯一性的证明,同样质心教育帮大家将单元函数的积分录成了免费视频(登录质心官网,点击学习——知识点——单元函数微积分)。

后续我们还会上线更多的关于数学工具的免费视频。

3高数怎么学?需要掌握哪些知识?新入坑的同学们可以看看高数教材,《高数》建议大家使用李忠老师写的、北京大学出版社出的这本书。

这本《高数》分上、下册,大部分同学只会用到上册,李忠老师是数学学院的老院长,专门为物理系的同学编写了这本教材,可以仔细读一下。

就是这本《高数》这本书使用方法是这个样子的,我们重点要掌握的是其中的概念和简易的运算,特别复杂的运算是可以不用掌握的。

这本书里面特别复杂的概念也都已经去掉了,所以这本书看起来还是挺好的。

我们至少需要掌握其中的极限、单元函数的导数、单元函数的定积分、不定积分(不用掌握特别复杂的方法),泰勒展开以及简易的微分方程(可分离变量的微分方程)就可以了,至于后面的更复杂的东西遇到的时候再看,不遇到的时候就把书放在这儿,把它当工具书来用。

物理竞赛知识点总结初中

物理竞赛知识点总结初中

物理竞赛知识点总结初中1. 运动1.1 物体的运动状态及分析1.2 直线运动与曲线运动1.3 运动图象与运动方程1.4 平抛运动1.5 给定物理量求运动学公式1.6 动力学公式运用2. 力学2.1 力和力的效果2.2 物体的平衡、不平衡条件及平衡法则2.3 物体做直线运动时的受力分析2.4 物体在表面上的受力分析2.5 物体做曲线运动时的受力分析2.6 物体做平抛运动时的受力分析2.7 物体做圆周运动时的受力分析2.8 物体做刚体平移运动及转动运动的受力分析2.9 力的合成、力的分解及合力的计算2.10 力的分解与合成的物理实例2.11 物体受力条件及动力法则3. 动能、功和能量3.1 机械能3.2 动能3.3 动能定理3.4 功3.5 功的形式及功的公式运用3.6 功的定律3.7 功与动能的关系3.8 动能变化与功的关系3.9 力做功与功率3.10 功与能的转化3.11 机械能守恒定律4. 摩擦力4.1 摩擦力成因及分类4.2 滑动摩擦力、静摩擦力与滑动条件4.3 摩擦力与受力分析4.4 摩擦力与斜面运动关系4.5 摩擦力的大小及计算4.6 滑动摩擦力对物体的作用4.7 滑动摩擦力对物体的作用物理实例5. 弹力5.1 弹力的成因及类别5.2 弹簧弹力及弹簧弹力的计算5.3 弹簧弹力与受力分析5.4 悬挂弹簧与受力研究5.5 弹力的物理实例6. 圆周运动6.1 物体做圆周运动时的基本概念6.2 圆周运动与直线运动之间的联系6.3 圆周运动与速度、加速度之间的关系6.4 圆周运动的力学公式6.5 圆周运动与公转运动的联系6.6 圆周运动的物理实例7. 万有引力7.1 万有引力的存在及成因7.2 万有引力之间的相互关系7.3 万有引力的性质与计算7.4 万有引力与物体的相互作用7.5 万有引力与物体的作用物理实例8. 动量和动量守恒定律8.1 动量的性质及计算8.2 动量与受力分析8.3 动量作用及动能相互转化8.4 动量守恒定律8.5 动量守恒定律的应用及物理实例9. 压强9.1 压强的定义及计算9.2 压强之间的相互作用9.3 不同形式的压强及物理实例9.4 压强与流体静力学的联系10. 浮力及浮力平衡定律10.1 浮力的性质及计算10.2 浮力的成因及物理实例10.3 浮力在不同情况下的作用10.4 浮力与物体平衡、不平衡之间的关系10.5 浮力平衡定律的理解及应用11. 热学11.1 热量及相关量的计算11.2 热力学第一定律及其应用11.3 热能、机械能及其转化11.4 热量与功的转化11.5 热力学第二定律及其应用11.6 热传导、热对流及热辐射的特点及影响11.7 热学与机械学的联系及物理实例12. 光学12.1 光线的直线传播12.2 球面镜成像原理及应用12.3 位置镜成像原理及应用12.4 透镜成像原理及应用12.5 光学仪器设备原理及应用12.6 光学现象的物理实例13. 电学13.1 电流、电压与电阻的性质及计算13.2 静电场、电场力及其计算13.3 电流点、电磁感应及磁场力的关系13.4 电学与动学的联系及物理实例14. 高中物理知识点预习14.1 质点直线运动的公式推导14.2 质点作曲线运动时的受力分析14.3 质点做圆周运动时受力分析14.4 热力学与力学的联系14.5 光学现象的进阶应用14.6 电学与磁学的协同效应以上就是初中物理竞赛知识点总结,希望对大家的学习和备赛有所帮助。

第一讲 数学知识

第一讲 数学知识

第一讲 物理竞赛涉及的数学知识要学好物理,必须有扎实的数学基本知识。

数学的运用不仅体现在对某些物理定理、定律及公式的推导过程之中,更多的是体现在对解答疑难物理问题之中。

在很多物理习题中,恰当地运用数学解题方法和技巧,常常可以使问题简单化、条理化。

有的习题看似无从下手,经过数学分析、推导可以出现“柳暗花明”的效果,并且更容易理解。

尤其是在物理竞赛中,数学的运用更广泛。

在数学知识欠缺的情况下,补充适当的数字知识是必要的。

在竞赛中涉及的数学知识主要有:数列、不等式、三角函数、立体几何和解析几何的部分知识。

对这些数学知识,一般只作简单介绍,并不会给出详细的证明,如果想进一步了解,请参阅有关数学书籍。

一、数列(等差数列与等比数列)数列是高中数学中的一个重要课题,也是数学竞赛中经常出现的问题。

数列中最基本的是等差数列与等比数列。

所谓数列,就是按一定次序排列的一列数。

如果数列{a n }的第n 项a n 与项数(下标)n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。

从函数角度看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,…n})的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

1、 等差数列如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d 表示。

等差数列{a n }的通项公式为: a n =a 1+(n -1)d n =1,2,3… (1), 前n 项和公式为:1n n 1(+)(1)S =+22n a a n n na d -= (2)从(1)式可以看出,a n 是n 的一次数函(d≠0)或常数函数(d =0),(n ,a n )排在一条直线上,由(2)式知,S n 是n 的二次函数(d≠0)或一次函数(d =0,a 1≠0),且常数项为0。

高中物理竞赛中的数学知识(超全面)

高中物理竞赛中的数学知识(超全面)

初等数学在物理竞赛中的应用一、函数1.正比例函数0 k kx y ≠=k 为常数2.反比例函数0k xky ≠= k 为常数3.一次函数0b 0 k b kx y ≠≠+= k 、b 为常数 4.二次函数0a ≠++=c bx ax y 2 a 为常数(1)当2abx -=时,函数有极值4a b 4ac y 2-=。

若a>0,函数有极小值;若a<0,函数有极大值。

(2)函数是否存在y=0的x 值,取决于4ac b 2-=∆二、不等式1.不等式的基本性质(略)2.均值不等式n n n a a a n a a ⋅⋅⋅≥+++ 112 a 1 (a i >0)(1) 若n a a +++ 21a 为定值时,当且仅当a 1= a 2=…= a n 时,n n a a a ⋅⋅⋅ 11有最大值(n a a +++ 21a )/n 。

(2) 若n n a a a ⋅⋅⋅ 11为定值时,当且仅当a 1= a 2=…= a n 时, n a a +++ 21a 有最小值n n n a a a ⋅⋅⋅ 11。

3.三角不等式 1sin θ1≤≤- 1cos θ1≤≤-三、三角函数 和差角公式:二倍角公式:升降幂公式:xyo正比例k>0k<0x y o二次k<0k>0xy o 一次函数b xyo二次函数三倍角公式:半角公式:万能公式:四、求极值的方法 1、代数方法 (1)二次函数的极值(2)利用一元二次方程的判别式 (3)利用不等式 (4)配方2、利用三角函数3、利用几何方法4、利用物理方法(1)加速度a =0时,物体的速度有极值;(2)同一直线上运动的两个物体速度相等时,距离有极值; 五、圆锥曲线在平面解析几何中,把圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。

它们的标准方程分别是:1、圆:22020R y y x x =-+-)()( 圆心坐标(x 0,y 0),半径为R2、椭圆:1by a x 2222=+ (a >b >0)中心坐标(0,0),半长轴为a ,半短轴为b ,半焦距22b a c -=,离心率1<=<ace 0,准线方程 c a x 2±=3、双曲线:1by a x 2222=- (a >0 b >0)中心坐标(0,0),实轴长为2a ,虚轴长为2b ,半焦距22b a c +=,离心率1>=ace ,A准线方程 c a x 2±=,渐近线x aby ±=4、抛物线:2px y 2=顶点坐标(0,0),焦点坐标(,02p),离心率e=1,准线方程2p x -=圆锥曲线的一般形式为:0F Ey Dx Cy Bxy Ax 22=+++++ (A 、B 、C 不能同时为0)(1)若04AC B 2<-=∆,对应的曲线为椭圆或圆; (2)若04AC B 2=-=∆,对应的曲线为抛物线; (3)若04AC B 2>-=∆,对应的曲线为双曲线; 圆锥曲线还具有以下光学性质: (1)椭圆:从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后,汇聚于椭圆的另一个焦点; (2)抛物线:从抛物线的焦点发出的光线经过抛物面反射后,变成平行光线;(3)双曲线:从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线面反射后,反向延长线汇聚于双曲线的另一个焦点;高中物理竞赛中的高等数学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律,因此经常遇到的物理量大多数是变量,而要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.考虑到,读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的.所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上不求严格和完整,而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法,可在通过高等数学课程的学习去完成. §1.函数及其图形1.1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y ,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,那么称y 是x 的函数,并记作:y =f (x ),(A .1);其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把y =f (x )也记作y =y (x ).如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,也可以用其它字母作为函数记号,如ϕ(x )、ψ(x )等等.①常见的函数可以用公式来表达,例如()32y f x x ==+,212ax bx +,c x,cos2x π,ln x ,x e 等等.在函数的表达式中,除变量外,还往往包含一些不变的量,如上面出现的13 2 2e π、、、、和a b c 、、等,它们叫做常量;常量有两类:一类如13 2 2e π、、、、等,它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的,这类常量叫做绝对常量;另一类如a 、b 、c 等,它们的数值需要在具体问题中具体给定,这类常量叫做任意常量.在数学中经常用拉丁字母中最前面几个(如a 、b 、c )代表任意常量,最后面几个(x 、y 、z )代表变量.当y =f (x )的具体形式给定后,就可以确定与自变量的任一特定值x 0相对应的函数值f (x 0).例如: (1)若y =f (x )=3+2x ,则当x =-2时y =f (-2)=3+2×(-2)=-1.一般地说,当x =x 0时,y =f (x 0)=3+2x 0.(2)若()cy f x x==,则当0x x =时,00()c f x x =.1.2 函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系,这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的.作图的办法是先在平面上取一直角坐标系,横轴代表自变量x ,纵轴代表因变量(函数值)y =f (x ).这样一来,把坐标为(x ,y )且满足函数关系y =f (x )的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线,它描绘出函数的面貌.图A -1便是上面举的第一个例子y =f (x )=3+2x 的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:(-2,-1)、(-1,1)、(0,3)、(1,5)、(2,7),各点连接成一根直线.图A -2是第二个例子()cy f x x==的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:1(,4)4c 、1(,2)2c 、(1,)c 、(2,)2c 、(4,)4c ,各点连接成双曲线的一支.1.3 物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的.下面举几个例子. (1)匀速直线运动公式:s =s 0+vt .(A .2)此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s 随时间t 变化的规律,在这里t 相当于自变量x ,s 相当于因变量y ,s 是t 的函数.因此记作:s =s (t )=s 0+vt ,(A .3)式中初始位置s 0和速度v 是任意常量,s 0与坐标原点的选择有关,v 对于每个匀速直线运动有一定的值,但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值.图A -3是这个函数的图形,它是一根倾斜的直线.易知它的斜率等于v .(2)匀变速直线运动公式:20012s s v t at =++,(A .4),v =v 0+at .(A .5)两式中s 和v 是因变量,它们都是自变量t 的函数,因此记作:2001()2s s t s v t at ==++,(A .6),v =v (t )=v 0+at ,(A .7)图A -4a 、4b 分别是两个函数的图形,其中一个是抛物线,一个是直线.(A .6)和(A .7)式是匀变速直线运动的普遍公式,式中初始位置s 0、初速v 0和加速度a 都是任意常量,它们的数值要根据讨论的问题来具体化.例如在讨论自由落体问题时,若把坐标原点选择在开始运动的地方,则s 0=0,v 0=0,a =g ≈9.8M /s 2,这时(A .6)和(A .7)式具有如下形式:21()2s s t gt ==,(A .8);v =v (t )=gt .(A .9);这里的g 可看作是绝对常量,式中不再有任意常量了.(3)玻意耳定律:PV =C .(A .10)上式表达了一定质量的气体,在温度不变的条件下,压强P 和体积V 之间的函数关系,式中的C 是任意常量.可以选择V 为自变量,P 为因变量,这样,(A .10)式就可写作:()CP P V V==,(A .11)它的图形和图A -2是一样的,只不过图中的x 、y 应换成V 、P .在(A .10)式中也可以选择P 为自变量,V 为因变量,这样它就应写成:()CV V P P==,(A .12) 由此可见,在一个公式中自变量和因变量往往是相对的. (4)欧姆定律:U IR =.(A .13)当讨论一段导线中的电流I 这样随着外加电压U 而改变的问题时,U 是自变量,I 是因变量,R 是常量.这时,(A .13)式应写作:()UI I U R==,(A .14);即I 与U 成正比. 应当指出,任意常量与变量之间的界限也不是绝对的.例如,当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时,由于通过各元件的电流是一样的,(A .13)式中的电流I 成了常量,而R 是自变量,U 是因变量.于是U =U (R )=IR ,(A .15)即U 与R 成正比.但是当讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时,由于各分支两端具有共同的电压,(A .13)式中的U 就成了常量,而R 为自变量,I 是因变量,于是:()UI I R R==,(A .16)即I 与R 成反比.总之,每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系,但是其中哪个是自变量,哪个是因变量,哪些是常量,有时公式本身反映不出来,需要根据所要讨论的问题来具体分析. §2.导数2.1 极限若当自变量x 无限趋近某一数值x 0(记作x →x 0)时,函数f (x )的数值无限趋近某一确定的数值a ,则a 叫做x →x 0时函数f (x )的极限值,并记作:0lim ()x x f x a →=,(A .17)(A .17)式中的“lim ”是英语“limit (极限)”一词的缩写,(A .17)式读作“当x 趋近x 0时,f (x )的极限值等于a ”.极限是微积分中的一个最基本的概念,它涉及的问题面很广.这里不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义,只通过一个特例来说明它的意义.考虑下面这个函数:232()1x x y f x x --==-,(A .18),这里除x =1外,计算任何其它地方的函数值都是没有困难的.例如当0x =时,(0)2f =,当2x =,(2)8f =,等等.但是若问x =1时函数值f (1)=?,就会发现,这时(A .18)式的分子和分母都等于0,即0(1)0f =!用0去除以0,一般地说是没有意义的.所以表达式(A .18)没有直接给出f (1),但给出了x 无论如何接近1时的函数值来.下表列出了当x 的值从小于1和大于1两方面趋于1时f (x )值的变化情况:从上表看,x →1时f (x )的极限值. 其实计算f (x )值的极限无需这样麻烦,只要将(A .18)式的分子作因式分解:3x 2-x -2=(3x +2)(x -1),并在x ≠1的情况下从分子和分母中将因式(x -1)消去:(32)(1)()3 2 (1)1x x y f x x x x +-===+≠-;即可看出:x 趋于1时,函数f (x )的数值趋于:3×1+2=5.所以根据函数极限的定义,21132lim ()lim51x x x x f x x →→--==-. 2.2 几个物理学中的实例 (1)瞬时速度当一个物体作任意直线运动时,它的位置可用它到某个坐标原点O 的距离s 来描述.在运动过程中s 是随时间t 变化的,也就是说,s 是t 的函数:s =s (t ).函数s (t )表示的是这个物体什么时刻到达什么地方.形象一些说,假如物体是一列火车,则函数s (t )就是它的一张“旅行时刻表”.但是,在实际中往往不满足于一张“时刻表”,还需要知道物体运动快慢的程度,即速度或速率的概念.例如,当车辆驶过繁华的街道或桥梁时,为了安全,对它的速率就要有一定的限制;一个上抛体(如高射炮弹)能够达到怎样的高度,也与它的初始速率有关,等等.为了建立速率的概念,就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况.假设考虑的是从t =t 0到t =t 1的一段时间间隔,则这间隔的大小为:△t =t 1-t 0.根据s 和t 的函数关系s (t )可知,在t 0和t 1=t 0+△t 两个时刻,s 的数值分别为s (t 0)和s (t 1)=s (t 0+△t ),即在t 0到t 1这段时间间隔里s 改变了:△s =s (t 1)-s (t 0)=s (t 0+△t )-s (t 0).在同样大小的时间间隔△t 里,若s 的改变量△s 小,就表明物体运动得慢, 所以就把s ∆与t ∆之比st∆∆叫做这段时间间隔里的平均速率,用v 来表示,则00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆,(A .19),举例说明如下. 对于匀变速直线运动,根据(A .4)式有2000001()2s t s v t at =++和2000001()()()2s t t s v t t a t t +∆=++∆++∆,22200000000000000111[()()]()()()()()12222s v t t a t t s v t at v at t a t s t t s t v v at a t t t t ++∆++∆-+++∆+∆+∆-====++∆∆∆∆;平均速率s v t ∆=∆反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢,除了匀速直线运动的特殊情况外,st∆∆的数值或多或少与t ∆的大小有关;t ∆取得越短,s t ∆∆就越能反映出物体在0t t =时刻运动的快慢;通常就把0t ∆→时st∆∆的极限值叫做物体在t =t 0时刻的瞬时速率v ,即0000()()lim lim t t s t t s t sv t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .20) 对于匀变速直线运动来说,0000001lim lim()2t t s v v at a t v at t ∆→∆→∆==++∆=+∆. 这就是熟悉的匀变速直线运动的速率公式(A .5).(2)瞬时加速度一般地说,瞬时速度或瞬时速率v 也是t 的函数:v =v (t ).但是在许多实际问题中,只有速度和速率的概念还不够,还需要知道速度随时间变化的快慢,即需要建立“加速度”的概念.平均加速度a 和瞬时加速度a 概念的建立与v 和v 的建立类似.在直线运动中,首先取一段时间间隔t 0到t 1,根据瞬时速率v 和时间t 的函数关系v (t )可知,在t =t 0和t =t 1两时刻的瞬时速率分别为v (t 0)和v (t 1)=v (t 0+△t ),因此在t 0到t 1这段时间间隔里v 改变了△v =v (t 0+△t )-v (t 0).通常把v t∆∆叫做这段时间间隔里的平均加速度,记作a ;00()()v t t v t v a t t +∆-∆==∆∆,(A .21) 举例来说,对于匀变速直线运动,根据(A .5)式有000()v t v at =+,000()()v t t v a t t +∆=++∆.所以平均加速度为000000()()[()]()v t t v t v a t t v at v a a t t t+∆-++∆-+∆====∆∆∆(常数). 对于一般的变速运动,a 也是与t ∆有关的,这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢,就需要取vt∆∆在0t ∆→时的极限,这就是物体在t =t 0时刻的瞬时加速度a :0000()()lim lim t t v t t v t va t t∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .22)(3)应用举例水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差,这样才能使水流动.为简单起见,假设水渠是直的,这时可以把x 坐标轴取为逆水渠走向的方向(见图A -5),于是各处渠底的高度h 便是x 的函数:h =h (x ).知道了这个函数,就可以计算任意两点之间的高度差.在修建水渠的时候,人们经常运用“坡度”的概念.譬如说,若逆水渠而上,渠底在100m 的距离内升高了20cm ,人们就说这水渠的坡度是0.221001000m m =,因此所谓坡度,就是指单位长度内的高度差,它的大小反映着高度随长度变化的快慢程度.如果用数学语言来表达,就要取一段水渠,设它的两端的坐标分别为x 0和x 1,于是这段水渠的长度为:△x =x 1-x 0.根据h 和x 的函数关系h (x )可知,在x 0和x 1=x 0+△x 两地h 的数值分别为h (x 0)和h (x 1)=h (x 0+△x ),所以在△x 这段长度内h 改变了:△h =h (x 0+△x )-h (x 0).根据上述坡度的定义,这段水渠的平均坡度为:00()()h x x h x h k x x+∆-∆==∆∆,(A .23) 前面所举例子,△x 采用了100米的数值.实际上在100米的范围内,水渠的坡度可能各处不同.为了更细致地把水渠在各处的坡度反映出来,应当取更小的长度间隔x ∆,x ∆取得越小,hx∆∆就越能精确反映出x =x 0处的坡度.所以在x =x 0处的坡度k 应是0x ∆→时的平均坡度k 的极限值,即0000()()lim lim x x h x x h x hk x x∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .24)2.3 函数的变化率——导数前面举了三个例子,在前两个例子中自变量都是t ,第三个例子中自变量是x .这三个例子都表明,在研究变量与变量之间的函数关系时,除了它们数值上“静态的”对应关系外,往往还需要有“运动”或“变化”的观点,着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢,即函数的“变化率”概念.当变量由一个数值变到另一个数值时,后者减去前者,叫做这个变量的增量.增量,通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示.例如,当自变量x 的数值由x 0变到x 1时,其增量就是△x ≡x 1-x 0.(A .25)与此对应.因变量y 的数值将由y 0=f (x 0)变到y 1=f (x 1),它的增量为△y ≡y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)=f (x 0+△x )-f (x 0).(A .26)应当指出,增量是可正可负的,负增量代表变量减少.增量比00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆,(A .27) 可以叫做函数在x =x 0到x =x 0+△x 这一区间内的平均变化率,它在△x →0时的极限值叫做函数y =f (x )对x 的导数或微商,记作y ′或f ′(x ),0000()()()lim lim x x f x x f x yy f x x x∆→∆→+∆-∆''===∆∆,(A .28)除y '或()f x '外,导数或微商还常常写作dy dx 、df dx 、d dx等其它形式.导数与增量不同,它代表函数在一点的性质,即在该点的变化率.应当指出,函数f (x )的导数f ′(x )本身也是x 的一个函数,因此可以再取它对x 的导数,这叫做函数y =f (x )的二阶导数,记作y ''、()f x ''、22d y dx等;22()()()d y d dy dy f x f x dx dx dx dx '''''====,(A .29) 据此类推,则不难定义出高阶的导数来.有了导数的概念,前面的几个实例中的物理量就可表示为:瞬时速率:ds v dt =,(A .30);瞬时加速度:22dv d sa dt dt==,(A .31);水渠坡度:dh k dx =,(A .32).2.4 导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的.如图A -6所示,为了确定曲线在P 0点的切线,先在曲线上P 0附近选另一点P 1,并设想P 1点沿着曲线向P 0点靠拢.P 0P 1的联线是曲线的一条割线,它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角α来描述.从图上不难看出,P 1点愈靠近P 0点,α角就愈接近一个确定的值α0,当P 1点完全和P 0点重合的时候,割线P 0P 1变成切线P 0T ,α的极限值α0就是切线与横轴的夹角.在解析几何中,把一条直线与横坐标轴夹角的正切tan α叫做这条直线的斜率.斜率为正时表示α是锐角,从左到右直线是上坡的(见图A -7a );斜率为负时表示α是钝角,从左到右直线是下坡的(见图A -7b ).现在来研究图A -6中割线P 0P 1和切线P 0T 的斜率.设P 0和P 1的坐标分别为(x 0,y 0)和(x 0+△x ,y 0+△y ),以割线P 0P 1为斜边作一直角三角形△P 0P 1M ,它的水平边P 0M 的长度为△x ,竖直边MP 1的长度为△y ,因此这条割线的斜率为:10tan MP y P M xα∆==∆. 如果图A -6中的曲线代表函数y =f (x ),则割线P 0P 1的斜率就等于函数在 0x x =附近的增量比yx∆∆,切线0PT 的低斜率0tan α是10P P →时,割线P 0P 1斜率的极限值,即10100tan lim tan lim ()P P P P yf x xαα→→∆'===∆;所以导数的几何意义是切线的斜率. §3.导数的运算在上节里只给出了导数的定义,本节将给出以下一些公式和定理,利用它们可以把常见函数的导数求出来.3.1 基本函数的导数公式(1)y =f (x )=C (常量):00()()()lim lim 0x x f x x f x C C y f x x x ∆→∆→+∆--''====∆∆; (2)y =f (x )=x :000()()()()lim lim lim 1x x x f x x f x x x x x y f x x xx ∆→∆→∆→+∆-+∆-∆''=====∆∆∆; (3)y =f (x )=x 2:22000()()()()limlim lim(2)2x x x f x x f x x x x y f x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆=∆∆; (4)y =f (x )=x 3:33222000()()()()limlim lim[33()]3x x x f x x f x x x x y f x x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆+∆=∆∆; (5)y =f (x )=1x :0()()()lim x f x x f x y f x x ∆→+∆-''===∆011lim x x x x x∆→-+∆=∆ 200()11lim lim ()()x x x x x x x x x x x x x∆→∆→-+∆-===-+∆⋅∆+∆;(6)y =f (x )000()()()limlim x x x f x x f x y f x x ∆→∆→∆→+∆-''====∆limlimx x ∆→∆→===上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式:当ny x =时,1n n dx y nx dx-'==,(n 为任何数),(A .33). 例如:当1n =时,()y f x x ==,1dxy dx '==; 当2n =时,2()y f x x ==,22dx y x dx '==; 当3n =时,3()y f x x ==,323dx y x dx '==; 当1n =-时,11()y f x x x -===,2211()(1)d y x dx x x-'==-=-;当12n =时,12()y f x x ===1212y x -'===利用(A .33)式还可以计算其它幂函数的导数(见表A -2).除了幂函数n x 外,物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数.现在只给出这些函数的导数公式(见表A -2)而不推导,解题时可以直接引用.3.2 有关导数运算的几个定理定理一:[()()]d du dvu x v x dx dx dx ±=±,(A .34). 证明:00[()()]lim lim[]x x d u v u v du dvu x v x dx x x x dx dx∆→∆→∆±∆∆∆±==±=±∆∆∆. 定理二:[()()]()()d du dvu x v x v x u x dx dx dx ⋅=+,(A .35).证明:00[()][()]u(x)v(x)v()()[()()]lim lim x x d u x u v x v x u u x v u vu x v x dx x x∆→∆→+∆+∆-∆+∆+∆∆⋅==∆∆ 0lim[()()]()()x u v du dvv x u x v x u x x x dx dx∆→∆∆=+=+∆∆.定理三:2()()()[]()[()]du dv v x u x d u x dx dx dx v x v x -=,(A .36).证明:000()()()[()]()[()]()()()()()[]lim lim lim()[()]()[()]()x x x u x u u x d u x u x u v x v x v u x v x u u x v v x v v x dx v x x v x v v x xv x v v x x ∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆∆-∆+∆===∆+∆∆+∆∆ 20()()()()lim [()]()[()]x u v du dv v x u x v x u x x x dx dx v x v v x v x ∆→∆∆--∆∆==+∆. 定理四:[()]d du dvu v x dx dv dx=⋅,(A .37). 证明:00[()][()]()()[()]lim lim[]x x d u v x x u v x u v v v v v u v x dx x v x ∆→∆→+∆-+∆-∆==⋅∆∆∆00()()lim[]lim[]x x u v v v v v du dvv x dv dx∆→∆→+∆-∆=⋅=⋅∆∆ 例1.求22y x a =±(a 为常量)的导数.解:22202dy dx da x x dx dx dx=±=±=. 例2.求ln x y a =(a 为常量)的导数. 解:ln ln 110dy d x d a dx dx dx x x=-=-=. 例3.求2y ax =(a 为常量)的导数. 解:222022dy da dx x a x a x ax dx dx dx=⋅+⋅=⋅+⋅=. 例4.求2x y x e =的导数. 解:22222(2)xx x x x dy dx de e x x e x e x x e dx dx dx=+=⋅+⋅=+. 例5.求23251x y x -=+的导数.解:2222222(32)(51)(51)(32)6(51)(32)515610(51)(51)(51)d x d x x x dy x x x x x dx dx dx x x x -++--⋅+--⋅++===+++. 例6.求tan y x =的导数.解:2222sin cos cos sin sin cos cos sin (sin )1(tan )()sec cos cos cos cos d x d x x xdy d d x x x x x dx dx x xdx dx dx x x x x -⋅-⋅-======. 例7.求cos()y ax b =+(a 、b 为常量)的导数.解:令v ax b =+,()cos y u v v ==,则(sin )sin()dy du dvv a a ax b dx dv dx=⋅=-⋅=-+.例8.求y =21v x =-,()y u v ==2dy du dv x dx dv dx =⋅=例9.求22ax y x e -=(a 为常量)的导数.解:令v u e =,2v ax =-,则2222222(2)2(1)v ax dy dx du dvu x xu x e ax x ax e dx dx dv dx-=+⋅=+⋅⋅-=- §4.微分和函数的幂级数展开 4.1 微分自变量的微分,就是它的任意一个无限小的增量△x .用dx 代表x 的微分,则dx =△x .(A .38)一函数y =f (x )的导数f ′(x )乘以自变量的微分dx 即为该函数的微分,用dy 或df (x )表示,即dy =df (x )=f ′(x )dx ,(A .39) 所以()dyf x dx'=,(A .40)在之前曾把导数写成dydx的形式,是把它作为一个整体引入的.当时它虽然表面上具有分数的形式,但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分.在引入微分的概念之后,就可把导数看成微分dy 与dx 之商(所谓“微商”),即一个真正的分数了.把导数写成分数形式,常常是很方便的,例如,把上节定理四(A .37)式的左端[()]d u v x dx 简写成du dx,则该式化为du du dv dx dv dx =⋅;此公式从形式上看和分数运算法则一致,很便于记忆.下面看微分的几何意义.图A -8是任一函数y =f (x )的图形,P 0(x 0,y 0)和P 1(x 0+△x ,y 0+△y )是曲线上两个邻近的点,P 0T 是通过P 0的切线.直角三角形△P 0MP 1的水平边0P M x =∆,竖直边1MP y =∆(见图8A -).设0PT 与1MP 的交点为N ,则0tan MNMNNP M xPM ∠==∆,但0tan NP M ∠为切线P 0T 的斜率,它等于x =x 0处的导数f ′(x 0),因此00()tan dy f x x NP M x MN '=∆=∠⋅∆=.所以微分dy 在几何图形上相当于线段MN 的长度,它和增量1y MP ∆=相差1NP 一段长;从上一节计算导数时取极限的过程可以看出,dy 是y ∆中正比于x ∆的那一部分,而1NP 则是正比于(△x )2以及△x 更高幂次的各项之和[例如对于函数y =f (x )=x 3,△y =3x 2△x +3x (△x )2+(△)3,而d y =f ′(x )△x =3x 2△x ].当△x 很小时,(△x )2、(△x )3、…比△x 小得多,1NP 也就比dy 小得多,所以可以把微分dy 叫做增量y ∆中的线性主部.也就是说,若函数在x =x 0的地方像线性函数那样增长,则它的增量就是dy .4.2幂函数的展开已知一个函数f (x )在x =x 0一点的数值f (x 0),如何求得其附近的点x =x 0+△x 处的函数值f (x )=f (x 0+△x )? 若f (x )为x 的幂函数n x ,可以利用牛顿的二项式定理:23000000000(1)(1)(2)()()[1()]()[1()]()[1()()()]2!3!n n nn n x x x n n x n n n x f x x x x x f x f x n x x x x x ∆∆∆-∆--∆==+∆=+=+=++++⋅⋅⋅000(1)(1)()()!nmm n n n m x f x m x =-⋅⋅⋅-+∆=∑,(A .41)此式适用于任何n (整数、非整数、正数、负数等等).若n 为正整数,则上式中的级数在M =n 的地方截断,余下的项自动为0,否则上式为无穷级数.不过当△x <<x 0时,后面的项越来越小,只需保留有限多项就足够精确了.不要以为数学表达式越精确越好.如图A -9中A 、B 两点间的水平距离为l ,若将B 点竖直向上提高一个很小的距离a (a <<l)到达B ′,问AB ′之间的距离比AB 增加了多少?利用勾股定理易得距离的增加量为22l l a l ∆=+-.这是个精确的公式,但没有给出一个鲜明的印象,究竟△l 是随a 怎样变化的?若用二项式定理将它展开,只保留到最低级的非0项,则有12222221[1()1]{[1()]1}[1()1]()222a a a l a a l l l l l l l l l∆=+=+-=++⋅⋅⋅-≈=,即△l 是正比于a平方增长的,属二级小量.这种用幂级数展开来分析主要变化趋势的办法,在物理学里是经常用到的.4.3泰勒展开非幂函数(譬如s in x 、e x )如何作幂级数展开?这要用泰勒(Taylor)展开. 下面用一种不太严格,但简单明了的办法将它导出.假设函数f (x )在x =x 0处的增量△f =f (x )-f (x 0)能够展成△x =x -x 0的幂级数:001()()()mm m f x f x a x x ∞=-=-∑,(A .42)则通过逐项求导可得101()()m m m f x ma x x ∞-='=-∑;当x →x 0时,m >1的项都趋于0,于是有f ′(x 0)=a 1;再次求导,得202()(1)()m m m f x m m a x x ∞-=''=--∑,当x →x 0时,m >2的项都趋于0,于是有f (x 0)=2a 2;如此类推,一般地说,对于M阶导数有()0()!M M fx M a =;于是(A .42)式可以写为:()000()()()()!m m m Mf x f x f x x x m ∞=-=-∑,(A .43).若定义第0阶导数f (0)(x )就是函数f (x )本身,则上式还可进一步简写为:()000()()()!m m m f x f x x x m ∞==-∑,(A .44). 上述(A .43)或(A .44)式称为泰勒展开式,它在物理学中是非常有用的公式. 下面在表A -3中给出几个常见函数在x 0=0或1处的泰勒展开式.表A -3 常见函数的幂级数展开式函数 展开式收敛范围12(1)x ± 234111113113512242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±-±-±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1x ≤ 32(1)x ± 234331311311312242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤52(1)x ± 234553531531112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤ 12(1)x -± 234113135135712242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x <32(1)x -± 234335357357912242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 52(1)x -±2345575795791112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x <1(1)x -±2341x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x < 2(1)x -±23412345x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x < sin x3573!5!7!x x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞ cos x24612!4!6!x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞ tan x 35791217623153152835x x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞x e 23411!2!3!4!x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞ln(1)x + 234234x x x x -+-+⋅⋅⋅11x -<≤ ln(1)x -234()234x x x x -++++⋅⋅⋅11x -≤<§5.积分5.1几个物理中的实例 (1)变速直线运动的路程大家都熟悉匀速直线运动的路程公式.若物体的速率是v ,则它在t a 到t b 一段时间间隔内走过的路程是s =v (t b -t a ),(A .45).对于变速直线运动来说,物体的速率v 是时间的函数:v =v (t ),函数的图形是一条曲线(见图A -10a ),只有在匀速直线运动的特殊情况下,它才是一条直线(参见图A -4b ).对于变速直线运动,(A .45)式已不适用.但是,可以把t =t a 到t =t b 这段时间间隔分割成许多小段,当小段足够短时,在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的.这样一来,物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算,然后把各小段时间里走过的路程都加起来,就得到t a 到t b 这段时间里走过的总路程.设时间间隔(t b -t a )被t =t 1(=t a )、t 2、t 3、…、t n 、t b 分割成n 小段,每小段时间间隔都是△t ,则在t 1、t 2、t 3、…、t n 各时刻速率分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n ).若把各小段时间的速率v 看成是不变的,则按照匀速直线运动的公式,物体在这些小段时间走过的路程分等于v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t .于是,在整个(t b -t a )这段时间里的总路程是1231()()()()()nn i i s v t t v t t v t t v t t v t t ==∆+∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑,(A .46).现在再看看上式的几何意义.在函数v =v (t )的图形中,通过t =t 1、t 2、t 3、…、t n 各点垂线的高度分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n )(见图A -10b ),所以v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t 就分别是图中那些狭长矩形的面积,而1()ni i v t t=∆∑则是所有这些矩形面积的总和,即图中画了斜线的阶梯状图形的面积.在上面的计算中,把各小段时间△t 里的速率v 看做是不变的,实际上在每小段时间里v 多少还是有些变化的,所以上面的计算并不精确.要使计算精确,就需要把小段的数目n 加大,同时所有小段的△t 缩短(见图A -10c ).△t 越短,在各小段里v 就改变得越少,把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况.所以要严格地计算变速运动的路程s ,就应对(A .46)式取n →∞、△t →0的极限,即01lim ()ni t i n s v t t ∆→=→∞=∆∑,(A .47). 当n 越来越大,△t 越来越小的时候,图A -10中的阶梯状图形的面积就越来越接近v (t )曲线下面的面积(图A -10d).所以(A .47)式中的极限值等于(t b -t a )区间内v (t )曲线下的面积.总之,在变速直线运动中,物体在任一段时间间隔(t b -t a )里走过的路程要用(A .47)式来计算,这个极限值的几何意义相当于这区间内v (t )曲线下的面积. (2)变力的功当力与物体移动的方向一致时,在物体由位置s =s a 移到s =s b 的过程中,恒力F 对它所作的功为:A =F (s b -s a )(A .48);若力F 是随位置变化的,即F 是s 的函数:F =F (s ),则不能运用(A .48)式来计算力F 的功.此时,也需要象计算变速运动的路程那样,把(s b -s a )这段距离分割成n 个长度为△s 的小段(见图A -11):并把各小段内力F 的数值近似看成是恒定的,用恒力作功的公式计算出每小段路程△s 上的功,然后加起来取n →∞、△s →0的极限值.具体地说,设力F 在各小段路程内的数值分别为F (s 1)、F (s 2)、F (s 3)、…、F (s n ),则在各小段路程上力F 所作的功分别为F (s 1)△s 、F (s 2)△s 、F (s 3)△s 、…、F (s n )△s ,在(s b -s a )整段路程上力F 的总功A 就近似地等于1()ni i F s s =∆∑;因为实际上在每一小段路程上加F 都是变化的,所以严格地计算,还应取n →∞、△s →0的极值,即01lim ()ni t i n A F s s ∆→=→∞=∆∑,(A .49).同上例,这极限值应是(s b -s a )区间内F (s )下面的面积(见图A -12).5.2定积分以上两个例子表明,许多物理问题中需要计算象(A .47)和(A .49)式中给出的那类极限值.概括起来说,就是要解决如下的数学问题:给定一个函数f (x ),用x =x 1(=a )、x 2、x 3、…、x n 、b 把自变量x 在(b -a )区间内的数值分成n 小段,设每小段的大小为△x ,求n →∞、△x →0时1()ni i f x x =∆∑的极限;通常把这类形式的极限用符号()ba f x dx ⎰来表示,即01()lim ()nbi ax i n f x dx f x x ∆→=→∞=∆∑⎰,(A .50);()baf x dx ⎰叫做x a =到x b =区间内()f x 对x 的定积分,()f x 叫做被积函数,b 和a 分别叫做定积分的上限和下限.用定积分的符号来表示,(A .47)和(A .49)式可分别写为()b at t s v t dt =⎰,(A .51)、()bas s A F s ds =⎰,(A .52).在变速直线运动的路程公式(A .51)里,自变量是t ,被积函数是v (t ),积分的上、下限分别是t b 和t a ;在变力作功的公式(A .52)里,自变量是s ,被积函数是F (s ),积分的上、下限分别是s b 和s a .求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理:若被积函数f (x )是某个函数Ф(x )的导数,即f (x )=Ф′(x ),则在x =a 到x =b 区间内f (x )对x 的定积分等于Ф(x )在这区间内的增量,即()()()ba f x dxb a =Φ-Φ⎰,(A .53).下面来证明上述定理.在a ≤x ≤b 区间内任选一点x i ,首先考虑Ф(x )在x =x i 到x =x i +△x =x i+1区间的增量△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i ):()()i i x x x x ∆Φ∆Φ=⋅∆∆,当0x ∆→时,可用Ф(x )的导数()d x dx Φ'Φ=代替x∆Φ∆;但按照定理的前提,Ф′(x )=f (x ),故△Ф(x i )≈Ф′(x i )△x =f (x i )△x 式中≈表示“近似等于”,若取△x →0的极限,上式就是严格的等式.把a ≤x ≤b 区间分成n -1小段,每段长△x ;上式适用于每小段.根据积分的定义和上式,有:12112100()lim[()()()]lim[()()()]bn n ax x n n f x dx f x x f x x f x x x x x --∆→∆→→∞→∞=∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆Φ+∆Φ+⋅⋅⋅+∆Φ⎰2132110lim{[()()][()()][()()]}()()n n n x n x x x x x x x x -∆→→∞=Φ-Φ+Φ-Φ+⋅⋅⋅+Φ-Φ=Φ-Φ因x 1=a ,xn =b ,于是得(A .53)式,至此定理证毕.下面看看函数Ф(x )在f -x 图(见图A -13)中所表现的几何意义.如前所述,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )=f (x i )△x ,正是宽为△x 、高为()i i i f x x P =的一个矩形(即图13A -中的1i i i x x NP +)的面积.它和曲线段P i P i+1下面的梯形x i x i+1P i+1P i 的面积只是相差一小三角形P i NP i +1的面积.当△x →0时,可认为△Ф(x i )就是梯形x i x i+1P i+1P i 的面积.既然当x 由x i 变到x i+1时,Ф(x )的增量的几何意义是相应区间f -x 曲线下的面积,则Ф(x )本身的几何意义就是从原点O 到x 区间f -x 曲线下面的面积加上一个常量C =Ф(0).例如Ф(x i )的几何意义是图形Ox i P i P 0的面积加C ,Ф(x i +1)的几何意义是图形Ox i+1P i+1P 0的面积加C ,等等.这样,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )就是:(Ox i+1P i+1P 0的面积+C )-(Ox i P i P 0的面积+C )=x i x i+1P i+1P i 的面积,而Ф(b )-Ф(a )的几何意义是:(ObP b P 0的面积+C )-(OaP a P 0的面积+C )=abP b P a 的面积.它相当于定积分()ba f x dx ⎰的值.5.3不定积分及其运算在证明了上述定积分的基本定理之后,就可以着手解决积分的运算问题了.根据上述定理,只要求得函数Ф(x )的表达式,利用(A .53)式立即可以算出定积分()ba f x dx ⎰来,那么,给出了被积函数()f x 的表达式之后,怎样去求Ф(x )的表达式呢?上述定理说明,Ф′(x )=f (x ),所以这就相当于问f (x )是什么函数的导数.由此可见,积分运算是求导的逆运算.如果f (x )是Ф(x )的导数,可以称Ф(x )是f (x )的逆导数或原函数.求f (x )的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数.在上节里讲了一些求导数的公式和定理,常见的函数都可以按照一定的法则把它们的导数求出来.然而求逆导数的问题却不像求导数那样容易,而需要靠判断和试探.例如,知道了Ф(x )=x 3的导数Ф′(x )=3x 2,也就知道了F (x )=3x 2的逆导数是Ф(x )=x 3;这时,如果要问函数f (x )=x 2的逆导数是什么,那么就不难想到,它的逆导数应该是x 3/3;这里要指出一点,即对于一个给定的函数f (x )来说,它的逆导数并不是唯一的.Ф1(x )=x 3/3是f (x )=x 2的逆导数,Ф2(x )=x 3/3+1和Ф3(x )=x 3/3-5也都是它的逆导数,因为Ф1′(x )、Ф2′(x )、Ф3′(x )都等于x 2.一般说来,在函数f (x )的某个逆导数Ф(x )上加一任意常量C ,仍旧是f (x )的逆导数.通常把一个函数f (x )的逆导数的通式Ф(x )+C 叫做它的不定积分,并记作()f x dx ⎰,于是()()f x dx x C =Φ+⎰,(A .54).因在不定积分中包含任意常量,它代表的不是个别函数,而是一组函数.。

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(完整版)高中物理竞赛中的高等数学

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高中物理竞赛中的高等数学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律,因此经常遇到的物理量大多数是变量,而要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.考虑到,读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的.所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上不求严格和完整,而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法,可在通过高等数学课程的学习去完成. §1.函数及其图形1.1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y ,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,那么称y 是x 的函数,并记作:y =f (x ),(A .1);其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把y =f (x )也记作y =y (x ).如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,也可以用其它字母作为函数记号,如ϕ(x )、ψ(x )等等.①常见的函数可以用公式来表达,例如()32y f x x ==+,212ax bx +,c x,cos2x π,ln x ,x e 等等.在函数的表达式中,除变量外,还往往包含一些不变的量,如上面出现的13 2 2e π、、、、和a b c 、、等,它们叫做常量;常量有两类:一类如13 2 2e π、、、、等,它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的,这类常量叫做绝对常量;另一类如a 、b 、c 等,它们的数值需要在具体问题中具体给定,这类常量叫做任意常量.在数学中经常用拉丁字母中最前面几个(如a 、b 、c )代表任意常量,最后面几个(x 、y 、z )代表变量.当y =f (x )的具体形式给定后,就可以确定与自变量的任一特定值x 0相对应的函数值f (x 0).例如: (1)若y =f (x )=3+2x ,则当x =-2时y =f (-2)=3+2×(-2)=-1.一般地说,当x =x 0时,y =f (x 0)=3+2x 0.(2)若()cy f x x==,则当0x x =时,00()c f x x =.1.2 函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系,这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的.作图的办法是先在平面上取一直角坐标系,横轴代表自变量x ,纵轴代表因变量(函数值)y =f (x ).这样一来,把坐标为(x ,y )且满足函数关系y =f (x )的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线,它描绘出函数的面貌.图A -1便是上面举的第一个例子y =f (x )=3+2x 的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:(-2,-1)、(-1,1)、(0,3)、(1,5)、(2,7),各点连接成一根直线.图A -2是第二个例子()cy f x x==的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:1(,4)4c 、1(,2)2c 、(1,)c 、(2,)2c 、(4,)4c ,各点连接成双曲线的一支.1.3 物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的.下面举几个例子. (1)匀速直线运动公式:s =s 0+vt .(A .2)此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s 随时间t 变化的规律,在这里t 相当于自变量x ,s 相当于因变量y ,s 是t 的函数.因此记作:s =s (t )=s 0+vt ,(A .3)式中初始位置s 0和速度v 是任意常量,s 0与坐标原点的选择有关,v 对于每个匀速直线运动有一定的值,但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值.图A -3是这个函数的图形,它是一根倾斜的直线.易知它的斜率等于v .(2)匀变速直线运动公式:20012s s v t at =++,(A .4),v =v 0+at .(A .5)两式中s 和v 是因变量,它们都是自变量t 的函数,因此记作:2001()2s s t s v t at ==++,(A .6),v =v (t )=v 0+at ,(A .7)图A -4a 、4b 分别是两个函数的图形,其中一个是抛物线,一个是直线.(A .6)和(A .7)式是匀变速直线运动的普遍公式,式中初始位置s 0、初速v 0和加速度a 都是任意常量,它们的数值要根据讨论的问题来具体化.例如在讨论自由落体问题时,若把坐标原点选择在开始运动的地方,则s 0=0,v 0=0,a =g ≈9.8M /s 2,这时(A .6)和(A .7)式具有如下形式:21()2s s t gt ==,(A .8);v =v (t )=gt .(A .9);这里的g 可看作是绝对常量,式中不再有任意常量了.(3)玻意耳定律:PV =C .(A .10)上式表达了一定质量的气体,在温度不变的条件下,压强P 和体积V 之间的函数关系,式中的C 是任意常量.可以选择V 为自变量,P 为因变量,这样,(A .10)式就可写作:()CP P V V==,(A .11)它的图形和图A -2是一样的,只不过图中的x 、y 应换成V 、P .在(A .10)式中也可以选择P 为自变量,V 为因变量,这样它就应写成:()CV V P P==,(A .12) 由此可见,在一个公式中自变量和因变量往往是相对的. (4)欧姆定律:U IR =.(A .13)当讨论一段导线中的电流I 这样随着外加电压U 而改变的问题时,U 是自变量,I 是因变量,R 是常量.这时,(A .13)式应写作:()UI I U R==,(A .14);即I 与U 成正比. 应当指出,任意常量与变量之间的界限也不是绝对的.例如,当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时,由于通过各元件的电流是一样的,(A .13)式中的电流I 成了常量,而R 是自变量,U 是因变量.于是U =U (R )=IR ,(A .15)即U 与R 成正比.但是当讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时,由于各分支两端具有共同的电压,(A .13)式中的U 就成了常量,而R 为自变量,I 是因变量,于是:()UI I R R==,(A .16)即I 与R 成反比.总之,每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系,但是其中哪个是自变量,哪个是因变量,哪些是常量,有时公式本身反映不出来,需要根据所要讨论的问题来具体分析. §2.导数2.1 极限若当自变量x 无限趋近某一数值x 0(记作x →x 0)时,函数f (x )的数值无限趋近某一确定的数值a ,则a 叫做x →x 0时函数f (x )的极限值,并记作:0lim ()x x f x a →=,(A .17)(A .17)式中的“lim ”是英语“limit (极限)”一词的缩写,(A .17)式读作“当x 趋近x 0时,f (x )的极限值等于a ”.极限是微积分中的一个最基本的概念,它涉及的问题面很广.这里不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义,只通过一个特例来说明它的意义.考虑下面这个函数:232()1x x y f x x --==-,(A .18),这里除x =1外,计算任何其它地方的函数值都是没有困难的.例如当0x =时,(0)2f =,当2x =,(2)8f =,等等.但是若问x =1时函数值f (1)=?,就会发现,这时(A .18)式的分子和分母都等于0,即0(1)0f =!用0去除以0,一般地说是没有意义的.所以表达式(A .18)没有直接给出f (1),但给出了x 无论如何接近1时的函数值来.下表列出了当x 的值从小于1和大于1两方面趋于1时f (x )值的变化情况:从上表看,x →1时f (x )的极限值. 其实计算f (x )值的极限无需这样麻烦,只要将(A .18)式的分子作因式分解:3x 2-x -2=(3x +2)(x -1),并在x ≠1的情况下从分子和分母中将因式(x -1)消去:(32)(1)()3 2 (1)1x x y f x x x x +-===+≠-;即可看出:x 趋于1时,函数f (x )的数值趋于:3×1+2=5.所以根据函数极限的定义,21132lim ()lim51x x x x f x x →→--==-. 2.2 几个物理学中的实例 (1)瞬时速度当一个物体作任意直线运动时,它的位置可用它到某个坐标原点O 的距离s 来描述.在运动过程中s 是随时间t 变化的,也就是说,s 是t 的函数:s =s (t ).函数s (t )表示的是这个物体什么时刻到达什么地方.形象一些说,假如物体是一列火车,则函数s (t )就是它的一张“旅行时刻表”.但是,在实际中往往不满足于一张“时刻表”,还需要知道物体运动快慢的程度,即速度或速率的概念.例如,当车辆驶过繁华的街道或桥梁时,为了安全,对它的速率就要有一定的限制;一个上抛体(如高射炮弹)能够达到怎样的高度,也与它的初始速率有关,等等.为了建立速率的概念,就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况.假设考虑的是从t =t 0到t =t 1的一段时间间隔,则这间隔的大小为:△t =t 1-t 0.根据s 和t 的函数关系s (t )可知,在t 0和t 1=t 0+△t 两个时刻,s 的数值分别为s (t 0)和s (t 1)=s (t 0+△t ),即在t 0到t 1这段时间间隔里s 改变了:△s =s (t 1)-s (t 0)=s (t 0+△t )-s (t 0).在同样大小的时间间隔△t 里,若s 的改变量△s 小,就表明物体运动得慢, 所以就把s ∆与t ∆之比st∆∆叫做这段时间间隔里的平均速率,用v 来表示,则00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆,(A .19),举例说明如下. 对于匀变速直线运动,根据(A .4)式有2000001()2s t s v t at =++和2000001()()()2s t t s v t t a t t +∆=++∆++∆,22200000000000000111[()()]()()()()()12222s v t t a t t s v t at v at t a t s t t s t v v at a t t t t ++∆++∆-+++∆+∆+∆-====++∆∆∆∆;平均速率s v t ∆=∆反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢,除了匀速直线运动的特殊情况外,st∆∆的数值或多或少与t ∆的大小有关;t ∆取得越短,s t ∆∆就越能反映出物体在0t t =时刻运动的快慢;通常就把0t ∆→时st∆∆的极限值叫做物体在t =t 0时刻的瞬时速率v ,即0000()()lim lim t t s t t s t sv t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .20) 对于匀变速直线运动来说,0000001lim lim()2t t s v v at a t v at t ∆→∆→∆==++∆=+∆. 这就是熟悉的匀变速直线运动的速率公式(A .5).(2)瞬时加速度一般地说,瞬时速度或瞬时速率v 也是t 的函数:v =v (t ).但是在许多实际问题中,只有速度和速率的概念还不够,还需要知道速度随时间变化的快慢,即需要建立“加速度”的概念.平均加速度a 和瞬时加速度a 概念的建立与v 和v 的建立类似.在直线运动中,首先取一段时间间隔t 0到t 1,根据瞬时速率v 和时间t 的函数关系v (t )可知,在t =t 0和t =t 1两时刻的瞬时速率分别为v (t 0)和v (t 1)=v (t 0+△t ),因此在t 0到t 1这段时间间隔里v 改变了△v =v (t 0+△t )-v (t 0).通常把v t∆∆叫做这段时间间隔里的平均加速度,记作a ;00()()v t t v t v a t t +∆-∆==∆∆,(A .21) 举例来说,对于匀变速直线运动,根据(A .5)式有000()v t v at =+,000()()v t t v a t t +∆=++∆.所以平均加速度为000000()()[()]()v t t v t v a t t v at v a a t t t+∆-++∆-+∆====∆∆∆(常数). 对于一般的变速运动,a 也是与t ∆有关的,这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢,就需要取vt∆∆在0t ∆→时的极限,这就是物体在t =t 0时刻的瞬时加速度a :0000()()lim lim t t v t t v t va t t∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .22)(3)应用举例水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差,这样才能使水流动.为简单起见,假设水渠是直的,这时可以把x 坐标轴取为逆水渠走向的方向(见图A -5),于是各处渠底的高度h 便是x 的函数:h =h (x ).知道了这个函数,就可以计算任意两点之间的高度差.在修建水渠的时候,人们经常运用“坡度”的概念.譬如说,若逆水渠而上,渠底在100m 的距离内升高了20cm ,人们就说这水渠的坡度是0.221001000m m =,因此所谓坡度,就是指单位长度内的高度差,它的大小反映着高度随长度变化的快慢程度.如果用数学语言来表达,就要取一段水渠,设它的两端的坐标分别为x 0和x 1,于是这段水渠的长度为:△x =x 1-x 0.根据h 和x 的函数关系h (x )可知,在x 0和x 1=x 0+△x 两地h 的数值分别为h (x 0)和h (x 1)=h (x 0+△x ),所以在△x 这段长度内h 改变了:△h =h (x 0+△x )-h (x 0).根据上述坡度的定义,这段水渠的平均坡度为:00()()h x x h x h k x x+∆-∆==∆∆,(A .23) 前面所举例子,△x 采用了100米的数值.实际上在100米的范围内,水渠的坡度可能各处不同.为了更细致地把水渠在各处的坡度反映出来,应当取更小的长度间隔x ∆,x ∆取得越小,hx∆∆就越能精确反映出x =x 0处的坡度.所以在x =x 0处的坡度k 应是0x ∆→时的平均坡度k 的极限值,即0000()()lim lim x x h x x h x hk x x∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .24)2.3 函数的变化率——导数前面举了三个例子,在前两个例子中自变量都是t ,第三个例子中自变量是x .这三个例子都表明,在研究变量与变量之间的函数关系时,除了它们数值上“静态的”对应关系外,往往还需要有“运动”或“变化”的观点,着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢,即函数的“变化率”概念.当变量由一个数值变到另一个数值时,后者减去前者,叫做这个变量的增量.增量,通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示.例如,当自变量x 的数值由x 0变到x 1时,其增量就是△x ≡x 1-x 0.(A .25)与此对应.因变量y 的数值将由y 0=f (x 0)变到y 1=f (x 1),它的增量为△y ≡y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)=f (x 0+△x )-f (x 0).(A .26)应当指出,增量是可正可负的,负增量代表变量减少.增量比00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆,(A .27) 可以叫做函数在x =x 0到x =x 0+△x 这一区间内的平均变化率,它在△x →0时的极限值叫做函数y =f (x )对x 的导数或微商,记作y ′或f ′(x ),0000()()()lim lim x x f x x f x yy f x x x∆→∆→+∆-∆''===∆∆,(A .28)除y '或()f x '外,导数或微商还常常写作dy dx 、df dx 、d dx等其它形式.导数与增量不同,它代表函数在一点的性质,即在该点的变化率.应当指出,函数f (x )的导数f ′(x )本身也是x 的一个函数,因此可以再取它对x 的导数,这叫做函数y =f (x )的二阶导数,记作y ''、()f x ''、22d y dx等;22()()()d y d dy dy f x f x dx dx dx dx '''''====,(A .29) 据此类推,则不难定义出高阶的导数来.有了导数的概念,前面的几个实例中的物理量就可表示为:瞬时速率:ds v dt =,(A .30);瞬时加速度:22dv d sa dt dt==,(A .31);水渠坡度:dh k dx =,(A .32).2.4 导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的.如图A -6所示,为了确定曲线在P 0点的切线,先在曲线上P 0附近选另一点P 1,并设想P 1点沿着曲线向P 0点靠拢.P 0P 1的联线是曲线的一条割线,它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角α来描述.从图上不难看出,P 1点愈靠近P 0点,α角就愈接近一个确定的值α0,当P 1点完全和P 0点重合的时候,割线P 0P 1变成切线P 0T ,α的极限值α0就是切线与横轴的夹角.在解析几何中,把一条直线与横坐标轴夹角的正切tan α叫做这条直线的斜率.斜率为正时表示α是锐角,从左到右直线是上坡的(见图A -7a );斜率为负时表示α是钝角,从左到右直线是下坡的(见图A -7b ).现在来研究图A -6中割线P 0P 1和切线P 0T 的斜率.设P 0和P 1的坐标分别为(x 0,y 0)和(x 0+△x ,y 0+△y ),以割线P 0P 1为斜边作一直角三角形△P 0P 1M ,它的水平边P 0M 的长度为△x ,竖直边MP 1的长度为△y ,因此这条割线的斜率为:10tan MP y P M xα∆==∆. 如果图A -6中的曲线代表函数y =f (x ),则割线P 0P 1的斜率就等于函数在 0x x =附近的增量比yx∆∆,切线0PT 的低斜率0tan α是10P P →时,割线P 0P 1斜率的极限值,即10100tan lim tan lim ()P P P P yf x xαα→→∆'===∆;所以导数的几何意义是切线的斜率. §3.导数的运算在上节里只给出了导数的定义,本节将给出以下一些公式和定理,利用它们可以把常见函数的导数求出来.3.1 基本函数的导数公式(1)y =f (x )=C (常量):00()()()lim lim 0x x f x x f x C C y f x x x ∆→∆→+∆--''====∆∆; (2)y =f (x )=x :000()()()()lim lim lim 1x x x f x x f x x x x x y f x x xx ∆→∆→∆→+∆-+∆-∆''=====∆∆∆; (3)y =f (x )=x 2:22000()()()()limlim lim(2)2x x x f x x f x x x x y f x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆=∆∆; (4)y =f (x )=x 3:33222000()()()()limlim lim[33()]3x x x f x x f x x x x y f x x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆+∆=∆∆; (5)y =f (x )=1x :0()()()lim x f x x f x y f x x ∆→+∆-''===∆011lim x x x x x∆→-+∆=∆ 200()11lim lim ()()x x x x x x x x x x x x x∆→∆→-+∆-===-+∆⋅∆+∆;(6)y =f (x )000()()()limlim x x x f x x f x y f x x ∆→∆→∆→+∆-''====∆limlimx x ∆→∆→===上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式:当ny x =时,1n n dx y nx dx-'==,(n 为任何数),(A .33). 例如:当1n =时,()y f x x ==,1dxy dx '==; 当2n =时,2()y f x x ==,22dx y x dx '==; 当3n =时,3()y f x x ==,323dx y x dx '==; 当1n =-时,11()y f x x x -===,2211()(1)d y x dx x x-'==-=-;当12n =时,12()y f x x ===1212y x -'===利用(A .33)式还可以计算其它幂函数的导数(见表A -2).除了幂函数n x 外,物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数.现在只给出这些函数的导数公式(见表A -2)而不推导,解题时可以直接引用.3.2 有关导数运算的几个定理定理一:[()()]d du dvu x v x dx dx dx ±=±,(A .34). 证明:00[()()]lim lim[]x x d u v u v du dvu x v x dx x x x dx dx∆→∆→∆±∆∆∆±==±=±∆∆∆. 定理二:[()()]()()d du dvu x v x v x u x dx dx dx ⋅=+,(A .35).证明:00[()][()]u(x)v(x)v()()[()()]lim lim x x d u x u v x v x u u x v u vu x v x dx x x∆→∆→+∆+∆-∆+∆+∆∆⋅==∆∆ 0lim[()()]()()x u v du dvv x u x v x u x x x dx dx∆→∆∆=+=+∆∆.定理三:2()()()[]()[()]du dv v x u x d u x dx dx dx v x v x -=,(A .36).证明:000()()()[()]()[()]()()()()()[]lim lim lim()[()]()[()]()x x x u x u u x d u x u x u v x v x v u x v x u u x v v x v v x dx v x x v x v v x xv x v v x x ∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆∆-∆+∆===∆+∆∆+∆∆ 20()()()()lim [()]()[()]x u v du dv v x u x v x u x x x dx dx v x v v x v x ∆→∆∆--∆∆==+∆. 定理四:[()]d du dvu v x dx dv dx=⋅,(A .37). 证明:00[()][()]()()[()]lim lim[]x x d u v x x u v x u v v v v v u v x dx x v x ∆→∆→+∆-+∆-∆==⋅∆∆∆00()()lim[]lim[]x x u v v v v v du dvv x dv dx∆→∆→+∆-∆=⋅=⋅∆∆ 例1.求22y x a =±(a 为常量)的导数.解:22202dy dx da x x dx dx dx=±=±=. 例2.求ln x y a =(a 为常量)的导数. 解:ln ln 110dy d x d a dx dx dx x x=-=-=. 例3.求2y ax =(a 为常量)的导数. 解:222022dy da dx x a x a x ax dx dx dx=⋅+⋅=⋅+⋅=. 例4.求2x y x e =的导数. 解:22222(2)xx x x x dy dx de e x x e x e x x e dx dx dx=+=⋅+⋅=+. 例5.求23251x y x -=+的导数.解:2222222(32)(51)(51)(32)6(51)(32)515610(51)(51)(51)d x d x x x dy x x x x x dx dx dx x x x -++--⋅+--⋅++===+++. 例6.求tan y x =的导数.解:2222sin cos cos sin sin cos cos sin (sin )1(tan )()sec cos cos cos cos d x d x x xdy d d x x x x x dx dx x xdx dx dx x x x x -⋅-⋅-======. 例7.求cos()y ax b =+(a 、b 为常量)的导数.解:令v ax b =+,()cos y u v v ==,则(sin )sin()dy du dvv a a ax b dx dv dx=⋅=-⋅=-+.例8.求y =解:令21v x =-,()y u v ==2dy du dv x dx dv dx =⋅=例9.求22ax y x e -=(a 为常量)的导数.解:令v u e =,2v ax =-,则2222222(2)2(1)v ax dy dx du dvu x xu x e ax x ax e dx dx dv dx-=+⋅=+⋅⋅-=- §4.微分和函数的幂级数展开 4.1 微分自变量的微分,就是它的任意一个无限小的增量△x .用dx 代表x 的微分,则dx =△x .(A .38)一函数y =f (x )的导数f ′(x )乘以自变量的微分dx 即为该函数的微分,用dy 或df (x )表示,即dy =df (x )=f ′(x )dx ,(A .39) 所以()dyf x dx'=,(A .40)在之前曾把导数写成dydx的形式,是把它作为一个整体引入的.当时它虽然表面上具有分数的形式,但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分.在引入微分的概念之后,就可把导数看成微分dy 与dx 之商(所谓“微商”),即一个真正的分数了.把导数写成分数形式,常常是很方便的,例如,把上节定理四(A .37)式的左端[()]d u v x dx 简写成du dx,则该式化为du du dvdx dv dx =⋅;此公式从形式上看和分数运算法则一致,很便于记忆.下面看微分的几何意义.图A -8是任一函数y =f (x )的图形,P 0(x 0,y 0)和P 1(x 0+△x ,y0+△y )是曲线上两个邻近的点,P 0T 是通过P 0的切线.直角三角形△P 0MP 1的水平边0P M x =∆,竖直边1MP y =∆(见图8A -).设0PT 与1MP 的交点为N ,则0tan MNMNNP M xPM ∠==∆,但0tan NP M ∠为切线P 0T 的斜率,它等于x =x 0处的导数f ′(x 0),因此00()tan dy f x x NP M x MN '=∆=∠⋅∆=.所以微分dy 在几何图形上相当于线段MN 的长度,它和增量1y MP ∆=相差1NP 一段长;从上一节计算导数时取极限的过程可以看出,dy 是y ∆中正比于x ∆的那一部分,而1NP 则是正比于(△x )2以及△x 更高幂次的各项之和[例如对于函数y =f (x )=x 3,△y =3x 2△x +3x (△x )2+(△)3,而d y =f ′(x )△x =3x 2△x ].当△x 很小时,(△x )2、(△x )3、…比△x 小得多,1NP 也就比dy 小得多,所以可以把微分dy 叫做增量y ∆中的线性主部.也就是说,若函数在x =x 0的地方像线性函数那样增长,则它的增量就是dy .4.2幂函数的展开已知一个函数f (x )在x =x 0一点的数值f (x 0),如何求得其附近的点x =x 0+△x 处的函数值f (x )=f (x 0+△x )? 若f (x )为x 的幂函数n x ,可以利用牛顿的二项式定理:23000000000(1)(1)(2)()()[1()]()[1()]()[1()()()]2!3!n n nn n x x x n n x n n n x f x x x x x f x f x n x x x x x ∆∆∆-∆--∆==+∆=+=+=++++⋅⋅⋅000(1)(1)()()!nmm n n n m x f x m x =-⋅⋅⋅-+∆=∑,(A .41)此式适用于任何n (整数、非整数、正数、负数等等).若n 为正整数,则上式中的级数在M =n 的地方截断,余下的项自动为0,否则上式为无穷级数.不过当△x <<x 0时,后面的项越来越小,只需保留有限多项就足够精确了.不要以为数学表达式越精确越好.如图A -9中A 、B 两点间的水平距离为l ,若将B 点竖直向上提高一个很小的距离a (a <<l)到达B ′,问AB ′之间的距离比AB 增加了多少?利用勾股定理易得距离的增加量为22l l a l ∆=+-.这是个精确的公式,但没有给出一个鲜明的印象,究竟△l 是随a 怎样变化的?若用二项式定理将它展开,只保留到最低级的非0项,则有12222221[1()1]{[1()]1}[1()1]()222a a a l a a l l l l l l l l l∆=+=+-=++⋅⋅⋅-≈=,即△l 是正比于a平方增长的,属二级小量.这种用幂级数展开来分析主要变化趋势的办法,在物理学里是经常用到的.4.3泰勒展开非幂函数(譬如s in x 、e x )如何作幂级数展开?这要用泰勒(Taylor)展开. 下面用一种不太严格,但简单明了的办法将它导出.假设函数f (x )在x =x 0处的增量△f =f (x )-f (x 0)能够展成△x =x -x 0的幂级数:001()()()mm m f x f x a x x ∞=-=-∑,(A .42)则通过逐项求导可得101()()m m m f x ma x x ∞-='=-∑;当x →x 0时,m >1的项都趋于0,于是有f ′(x 0)=a 1;再次求导,得202()(1)()m m m f x m m a x x ∞-=''=--∑,当x →x 0时,m >2的项都趋于0,于是有f (x 0)=2a 2;如此类推,一般地说,对于M阶导数有()0()!M M fx M a =;于是(A .42)式可以写为:()000()()()()!m m m Mf x f x f x x x m ∞=-=-∑,(A .43).若定义第0阶导数f (0)(x )就是函数f (x )本身,则上式还可进一步简写为:()000()()()!m m m f x f x x x m ∞==-∑,(A .44). 上述(A .43)或(A .44)式称为泰勒展开式,它在物理学中是非常有用的公式. 下面在表A -3中给出几个常见函数在x 0=0或1处的泰勒展开式.函数 展开式收敛范围12(1)x ± 234111113113512242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±-±-±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1x ≤ 32(1)x ± 234331311311312242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤52(1)x ± 234553531531112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤ 12(1)x -± 234113135135712242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x <32(1)x -± 234335357357912242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 52(1)x -±2345575795791112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x <1(1)x -±2341x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x < 2(1)x -±23412345x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x < sin x3573!5!7!x x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞ cos x24612!4!6!x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞ tan x 35791217623153152835x x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞x e 23411!2!3!4!x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞ln(1)x + 234234x x x x -+-+⋅⋅⋅11x -<≤ ln(1)x -234()234x x x x -++++⋅⋅⋅11x -≤<§55.1几个物理中的实例 (1)变速直线运动的路程大家都熟悉匀速直线运动的路程公式.若物体的速率是v ,则它在t a 到t b 一段时间间隔内走过的路程是s =v (t b -t a ),(A .45).对于变速直线运动来说,物体的速率v 是时间的函数:v =v (t ),函数的图形是一条曲线(见图A -10a ),只有在匀速直线运动的特殊情况下,它才是一条直线(参见图A -4b ).对于变速直线运动,(A .45)式已不适用.但是,可以把t =t a 到t =t b 这段时间间隔分割成许多小段,当小段足够短时,在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的.这样一来,物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算,然后把各小段时间里走过的路程都加起来,就得到t a 到t b 这段时间里走过的总路程.设时间间隔(t b -t a )被t =t 1(=t a )、t 2、t 3、…、t n 、t b 分割成n 小段,每小段时间间隔都是△t ,则在t 1、t 2、t 3、…、t n 各时刻速率分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n ).若把各小段时间的速率v 看成是不变的,则按照匀速直线运动的公式,物体在这些小段时间走过的路程分等于v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t .于是,在整个(t b -t a )这段时间里的总路程是1231()()()()()nn i i s v t t v t t v t t v t t v t t ==∆+∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑,(A .46).现在再看看上式的几何意义.在函数v =v (t )的图形中,通过t =t 1、t 2、t 3、…、t n 各点垂线的高度分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n )(见图A -10b ),所以v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t 就分别是图中那些狭长矩形的面积,而1()ni i v t t=∆∑则是所有这些矩形面积的总和,即图中画了斜线的阶梯状图形的面积.在上面的计算中,把各小段时间△t 里的速率v 看做是不变的,实际上在每小段时间里v 多少还是有些变化的,所以上面的计算并不精确.要使计算精确,就需要把小段的数目n 加大,同时所有小段的△t 缩短(见图A -10c ).△t 越短,在各小段里v 就改变得越少,把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况.所以要严格地计算变速运动的路程s ,就应对(A .46)式取n →∞、△t →0的极限,即01lim ()ni t i n s v t t ∆→=→∞=∆∑,(A .47). 当n 越来越大,△t 越来越小的时候,图A -10中的阶梯状图形的面积就越来越接近v (t )曲线下面的面积(图A -10d).所以(A .47)式中的极限值等于(t b -t a )区间内v (t )曲线下的面积.总之,在变速直线运动中,物体在任一段时间间隔(t b -t a )里走过的路程要用(A .47)式来计算,这个极限值的几何意义相当于这区间内v (t )曲线下的面积. (2)变力的功当力与物体移动的方向一致时,在物体由位置s =s a 移到s =s b 的过程中,恒力F 对它所作的功为:A =F (s b -s a )(A .48);若力F 是随位置变化的,即F 是s 的函数:F =F (s ),则不能运用(A .48)式来计算力F 的功.此时,也需要象计算变速运动的路程那样,把(s b -s a )这段距离分割成n 个长度为△s 的小段(见图A -11):并把各小段内力F 的数值近似看成是恒定的,用恒力作功的公式计算出每小段路程△s 上的功,然后加起来取n →∞、△s →0的极限值.具体地说,设力F 在各小段路程内的数值分别为F (s 1)、F (s 2)、F (s 3)、…、F (s n ),则在各小段路程上力F 所作的功分别为F (s 1)△s 、F (s 2)△s 、F (s 3)△s 、…、F (s n )△s ,在(s b -s a )整段路程上力F 的总功A 就近似地等于1()ni i F s s =∆∑;因为实际上在每一小段路程上加F 都是变化的,所以严格地计算,还应取n →∞、△s →0的极值,即01lim ()ni t i n A F s s ∆→=→∞=∆∑,(A .49).同上例,这极限值应是(s b -s a )区间内F (s )下面的面积(见图A -12).5.2定积分以上两个例子表明,许多物理问题中需要计算象(A .47)和(A .49)式中给出的那类极限值.概括起来说,就是要解决如下的数学问题:给定一个函数f (x ),用x =x 1(=a )、x 2、x 3、…、x n 、b 把自变量x 在(b -a )区间内的数值分成n 小段,设每小段的大小为△x ,求n →∞、△x →0时1()ni i f x x =∆∑的极限;通常把这类形式的极限用符号()ba f x dx ⎰来表示,即01()lim ()nbi ax i n f x dx f x x ∆→=→∞=∆∑⎰,(A .50);()baf x dx ⎰叫做x a =到x b =区间内()f x 对x 的定积分,()f x 叫做被积函数,b 和a 分别叫做定积分的上限和下限.用定积分的符号来表示,(A .47)和(A .49)式可分别写为()b at t s v t dt =⎰,(A .51)、()bas s A F s ds =⎰,(A .52).在变速直线运动的路程公式(A .51)里,自变量是t ,被积函数是v (t ),积分的上、下限分别是t b 和t a ;在变力作功的公式(A .52)里,自变量是s ,被积函数是F (s ),积分的上、下限分别是s b 和s a .求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理:若被积函数f (x )是某个函数Ф(x )的导数,即f (x )=Ф′(x ),则在x =a 到x =b 区间内f (x )对x 的定积分等于Ф(x )在这区间内的增量,即()()()ba f x dxb a =Φ-Φ⎰,(A .53).下面来证明上述定理.在a ≤x ≤b 区间内任选一点x i ,首先考虑Ф(x )在x =x i 到x =x i +△x =x i+1区间的增量△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i ):()()i i x x x x ∆Φ∆Φ=⋅∆∆,当0x ∆→时,可用Ф(x )的导数()d x dx Φ'Φ=代替x∆Φ∆;但按照定理的前提,Ф′(x )=f (x ),故△Ф(x i )≈Ф′(x i )△x =f (x i )△x 式中≈表示“近似等于”,若取△x →0的极限,上式就是严格的等式.把a ≤x ≤b 区间分成n -1小段,每段长△x ;上式适用于每小段.根据积分的定义和上式,有:12112100()lim[()()()]lim[()()()]bn n ax x n n f x dx f x x f x x f x x x x x --∆→∆→→∞→∞=∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆Φ+∆Φ+⋅⋅⋅+∆Φ⎰2132110lim{[()()][()()][()()]}()()n n n x n x x x x x x x x -∆→→∞=Φ-Φ+Φ-Φ+⋅⋅⋅+Φ-Φ=Φ-Φ因x 1=a ,xn =b ,于是得(A .53)式,至此定理证毕.下面看看函数Ф(x )在f -x 图(见图A -13)中所表现的几何意义.如前所述,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )=f (x i )△x ,正是宽为△x 、高为()i i i f x x P =的一个矩形(即图13A -中的1i i i x x NP +)的面积.它和曲线段P i P i+1下面的梯形x i x i+1P i+1P i 的面积只是相差一小三角形P i NP i +1的面积.当△x →0时,可认为△Ф(x i )就是梯形x i x i+1P i+1P i 的面积.既然当x 由x i 变到x i+1时,Ф(x )的增量的几何意义是相应区间f -x 曲线下的面积,则Ф(x )本身的几何意义就是从原点O 到x 区间f -x 曲线下面的面积加上一个常量C =Ф(0).例如Ф(x i )的几何意义是图形Ox i P i P 0的面积加C ,Ф(x i +1)的几何意义是图形Ox i+1P i+1P 0的面积加C ,等等.这样,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )就是:(Ox i+1P i+1P 0的面积+C )-(Ox i P i P 0的面积+C )=x i x i+1P i+1P i 的面积,而Ф(b )-Ф(a )的几何意义是:(ObP b P 0的面积+C )-(OaP a P 0的面积+C )=abP b P a 的面积.它相当于定积分()ba f x dx ⎰的值.5.3不定积分及其运算在证明了上述定积分的基本定理之后,就可以着手解决积分的运算问题了.根据上述定理,只要求得函数Ф(x )的表达式,利用(A .53)式立即可以算出定积分()ba f x dx ⎰来,那么,给出了被积函数()f x 的表达式之后,怎样去求Ф(x )的表达式呢?上述定理说明,Ф′(x )=f (x ),所以这就相当于问f (x )是什么函数的导数.由此可见,积分运算是求导的逆运算.如果f (x )是Ф(x )的导数,可以称Ф(x )是f (x )的逆导数或原函数.求f (x )的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数.在上节里讲了一些求导数的公式和定理,常见的函数都可以按照一定的法则把它们的导数求出来.然而求逆导数的问题却不像求导数那样容易,而需要靠判断和试探.例如,知道了Ф(x )=x 3的导数Ф′(x )=3x 2,也就知道了F (x )=3x 2的逆导数是Ф(x )=x 3;这时,如果要问函数f (x )=x 2的逆导数是什么,那么就不难想到,它的逆导数应该是x 3/3;这里要指出一点,即对于一个给定的函数f (x )来说,它的逆导数并不是唯一的.Ф1(x )=x 3/3是f (x )=x 2的逆导数,Ф2(x )=x 3/3+1和Ф3(x )=x 3/3-5也都是它的逆导数,因为Ф1′(x )、Ф2′(x )、Ф3′(x )都等于x 2.一般说来,在函数f (x )的某个逆导数Ф(x )上加一任意常量C ,仍旧是f (x )的逆导数.通常把一个函数f (x )的逆导数的通式Ф(x )+C 叫做它的不定积分,并记作()f x dx ⎰,于是()()f x dx x C =Φ+⎰,(A .54).因在不定积分中包含任意常量,它代表的不是个别函数,而是一组函数.。

物理竞赛必备知识点总结

物理竞赛必备知识点总结

物理竞赛必备知识点总结一、力学1. 运动学(1)速度、加速度的定义及其计算方法;(2)匀变速直线运动的相关公式以及应用;(3)平抛运动、倾斜抛体运动的相关公式及其应用。

2. 动力学(1)牛顿三定律及其应用;(2)运动方程的推导和应用;(3)弹簧振子、简谐振动的相关公式及其应用;(4)摩擦力的计算及其应用。

二、热学1. 热力学基本概念(1)热力学系统、热力学平衡和热平衡的含义及其判定方法;(2)内能、热量和做功的关系;(3)理想气体状态方程及其应用。

2. 热力学第一定律(1)热功当量的含义及其计算;(2)绝热过程、等容过程、等压过程、等温过程的基本特征及其应用。

3. 热力学第二定律(1)卡诺循环的原理及其效率;(2)热机和制冷机的效率公式及其应用。

三、电磁学1. 电学基础(1)库仑定律及其应用;(2)电场强度、电势以及电势差的定义及计算方法;(3)电场中带电粒子的运动方程及其应用。

2. 磁学基础(1)洛伦兹力的计算及其应用;(2)电流和磁场的相互作用;(3)安培环路定理、比奥-萨伐特定律及其应用。

3. 电磁感应(1)法拉第电磁感应定律的条件和公式;(2)楞次定律的应用;(3)自感系数和互感系数的计算及其应用。

四、光学1. 几何光学(1)光的直线传播及其应用;(2)折射定律、全反射定律及其应用;(3)薄透镜成像公式、放大倍数计算及其应用。

2. 波动光学(1)双缝干涉、多缝干涉及其应用;(2)多普勒效应的计算和应用;(3)光的偏振和光栅原理及其应用。

五、原子物理1. 光电效应(1)光电效应的基本概念和实验事实;(2)光电发射功函数及其与光强的关系;(3)反光电效应及其应用。

2. 波尔模型(1)原子光谱的特点及其解释;(2)氢原子光谱的解释及其能级计算。

六、现代物理1. 相对论(1)相对论长度收缩及其推导;(2)相对论时间膨胀及其推导;(3)相对论动量和能量的变化及其应用。

2. 量子力学(1)波粒二象性及其实验事实;(2)薛定谔方程的基本概念及其应用;(3)不确定性原理的解释及其应用。

第一讲 初等数学在物理竞赛中的应用

第一讲   初等数学在物理竞赛中的应用

第一讲 初等数学在物理竞赛中的应用一、函数1.正比例函数0 k kx y ≠=k 为常数2.反比例函数0k xky ≠= k 为常数3.一次函数0b 0 k b kx y ≠≠+= k 、b 为常数 4.二次函数0a ≠++=c bx ax y 2 a 为常数(1)当2a b x -=时,函数有极值4ab 4ac y 2-=。

若a>0,函数有极小值;若a<0,函数有极大值。

(2)函数是否存在y=0的x 值,取决于4ac b 2-=∆例题1.质量为M 的均匀板AB 与水平面呈夹角θ斜靠在墙角,B 通过铰链固定在水平地面上,A 端与竖直光滑面接触,如图所示。

现有一质量为m 的小物体(可视为质点)从A 端静止释放,小物体与板之间的动摩擦因数为μ(μ<tanθ)。

求A 端对竖直墙压力的最大值和最小值。

例题2.如图所示,原长L 0为100cm 的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内,弹簧的一端固定在槽的O 端,另一端连接一小球。

这一装置可从水平位置开始绕O 点缓缓地转到竖直位置。

设弹簧的形变总是在其弹性限度内。

试在下述(a )、(b )两种情况下,分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O 点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h 0。

(a )在转动过程中,发现小球距原水平面的高度变化出现极大值,且极大值h m 为40cm 。

(b )在转动过程中,发现小球离原水平的高度不断增大。

例题3.甲、乙两物体相距s ,同时同向运动。

乙在前面作加速度为a 1、初速度为零的匀加速运动;甲在后作加速度为a 2、初速度为v 0的匀加速运动,则( )正比例函数一次函数二次函数a<0A .若a 1=a 2,只能相遇一次B .若a 1>a 2,可能相遇两次C .若a 1<a 2,可能相遇两次D .若a 1>a 2,不可能不相遇例题4.一辆自行车沿水平直路以速度v 匀速前进,车轮半径为R ,与地面之间没有相对滑动。

物理竞赛知识点总结初中

物理竞赛知识点总结初中

物理竞赛知识点总结初中物理竞赛是一项旨在激发学生对物理学的兴趣,提高他们的物理知识和解题能力的竞赛活动。

对于初中生来说,参与物理竞赛不仅能够加深对物理学科的理解,还能培养科学探究和解决问题的能力。

本文将总结初中物理竞赛的主要知识点,帮助学生更好地准备竞赛。

# 力学1. 基本概念:理解质量、密度、体积的概念及其相互关系。

2. 运动的描述:掌握速度、加速度的定义和计算,了解匀速直线运动和匀加速直线运动的特点。

3. 力的作用:熟悉常见的力如重力、摩擦力、弹力、浮力等,理解力的合成与分解。

4. 牛顿运动定律:掌握牛顿的三个运动定律,并能够应用它们解决简单的物理问题。

5. 功、能量和功率:理解功、能量的概念,掌握它们的计算公式,了解功率的定义。

6. 简单机械:了解杠杆、滑轮、斜面等简单机械的工作原理和效率计算。

# 热学1. 温度和热量:理解温度的概念,掌握热量的计算方法。

2. 热传递:熟悉热传导、热对流和热辐射的基本原理。

3. 热膨胀:了解物质在受热时膨胀的现象及其应用。

4. 理想气体定律:掌握理想气体状态方程,并能够应用它解决相关问题。

# 光学1. 光的反射:理解光的反射定律,熟悉平面镜和曲面镜的成像原理。

2. 光的折射:掌握光的折射定律,了解透镜的成像原理和应用。

3. 光的色散:了解光通过棱镜发生色散的现象。

4. 光的干涉和衍射:初步了解光的干涉和衍射现象。

# 电学1. 静电学:理解电荷、库仑定律、电场的概念。

2. 电路基础:掌握欧姆定律、串联和并联电路的特点及计算方法。

3. 电能和电功率:理解电能、电功率的概念,掌握它们的计算公式。

4. 电磁感应:了解法拉第电磁感应定律和楞次定律。

# 现代物理1. 原子结构:了解原子的基本结构,包括电子、质子和中子。

2. 核能:初步认识核裂变和核聚变,了解核能的基本原理。

3. 相对论:简单介绍爱因斯坦的狭义相对论,包括时间膨胀和长度收缩的概念。

# 实验技能1. 基本仪器的使用:学会使用天平、秒表、温度计、电压表、电流表等基本实验仪器。

物理比赛知识点总结

物理比赛知识点总结

物理比赛知识点总结一、理论基础力学1、运动学参照系。

质点运动的位移和路程,速度,加速度。

相对速度。

矢量和标量。

矢量的合成和分解。

匀速及匀速直线运动及其图象。

运动的合成。

抛体运动。

圆周运动。

刚体的平动和绕定轴的转动。

2、牛顿运动定律力学中常见的几种力牛顿第一、二、三运动定律。

惯性参照系的概念。

摩擦力。

弹性力。

胡克定律。

万有引力定律。

均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式(别要求导出)。

开普勒定律。

行星和人造卫星的运动。

3、物体的平衡共点力作用下物体的平衡。

力矩。

刚体的平衡。

重心。

物体平衡的种类。

4、动量冲量。

动量。

动量定理。

动量守恒定律。

反冲运动及火箭。

5、机械能功和功率。

动能和动能定理。

重力势能。

引力势能。

质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式(别要求导出)。

弹簧的弹性势能。

功能原理。

机械能守恒定律。

碰撞。

6、流体静力学静止流体中的压强。

浮力。

7、振动简揩振动。

振幅。

频率和周期。

位相。

振动的图象。

参考圆。

振动的速度和加速度。

由动力学方程确定简谐振动的频率。

阻尼振动。

受迫振动和共振(定性了解)。

8、波和声横波和纵波。

波长、频率和波速的关系。

波的图象。

波的干涉和衍射(定性)。

声波。

声音的响度、音调和音品。

声音的共鸣。

乐音和噪声。

热学1、分子动理论原子和分子的量级。

分子的热运动。

布朗运动。

温度的微观意义。

分子力。

分子的动能和分子间的势能。

物体的内能。

2、热力学第一定律热力学第一定律。

3、气体的性质热力学温标。

理想气体状态方程。

普适气体恒量。

理想气体状态方程的微观解释(定性)。

理想气体的内能。

理想气体的等容、等压、等温柔绝热过程(别要求用微积分运算)。

4、液体的性质流体分子运动的特点。

表面张力系数。

浸润现象和毛细现象(定性)。

5、固体的性质晶体和非晶体。

空间点阵。

固体分子运动的特点。

6、物态变化熔解和凝固。

熔点。

熔解热。

蒸发和凝聚。

饱和汽压。

沸腾和沸点。

汽化热。

临界温度。

固体的升华。

空气的湿度和湿度计。

露点。

初中物理竞赛知识点归纳

初中物理竞赛知识点归纳

初中物理竞赛知识点归纳物理竞赛是测试学生对物理学知识的理解和应用能力的一种考试形式。

参加物理竞赛需要对各种物理学知识点进行深入了解和掌握,并能够在竞赛中准确应用。

本文将对初中物理竞赛中常见的知识点进行归纳,希望能对参加物理竞赛的学生提供一些帮助。

一、力学1. 运动与力- 运动的三个基本规律:牛顿第一定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律;- 力的合成与分解;- 静摩擦力和动摩擦力;- 斜面上的物体。

2. 重力与力的计算- 万有引力定律;- 平衡条件;- 重力的计算方法。

3. 动能、势能和机械能- 动能和势能的概念;- 动能定理;- 弹簧势能;- 机械能守恒定律。

4. 运动学- 位移、速度和加速度的概念和计算方法;- 运动图像的绘制;- 近似计算。

二、光学1. 光的传播和光的本质- 光的传播的直线传播和反射;- 光的本质是电磁波。

2. 光的折射与光的速度- 折射定律;- 光在不同介质中的速度。

3. 镜子和透镜- 平面镜的成像规律;- 凸透镜和凹透镜的成像规律。

4. 光的色散和光的干涉- 小孔衍射;- 干涉条纹及其原理。

三、电学1. 电学基本概念- 电荷、电流、电压、电阻、电功率和电能的基本概念;- 串联和并联电路。

2. 电路中的电流和电压- 欧姆定律;- 电路中电流和电压的计算方法。

3. 电能与电功- 电功的计算;- 电能和电功率的关系。

4. 电阻和电阻的计算- 电阻的概念和计算方法;- 串联和并联电阻的计算方法。

四、其他物理知识点1. 牛顿运动定律在竞赛中的应用- 牛顿第一定律:保持匀速直线运动的物体;- 牛顿第二定律:力和物体质量的关系;- 牛顿第三定律:作用力与反作用力。

2. 热学知识点- 温度和热量的概念;- 热传导;- 热膨胀。

3. 声学知识点- 声音的传播;- 声音的特性;- 声音的干涉和衍射。

以上仅为初中物理竞赛中常见的知识点的一个概述,学生在备战物理竞赛时还需要对每一个知识点进行深入的理解和实际应用训练。

物理竞赛中的数学知识

物理竞赛中的数学知识

物理竞赛中的数学知识一、重要函数1.指数函数2.三角函数3.反三角函数反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x这些函数的统称,各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x 的角。

二、数列、极限1.数列:按一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n项。

数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,a n,a(n+1),… 简记为{an},通项公式:数列的第N项a n 与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。

2. 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。

通项公式a n =a 1+(n-1)d ,前n 项和11(1)22n n a a n n S n na d +-==+ 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示。

通项公式a n =a 1q (n-1),前n 项和11(1)(1)11n n n a a q a q S q q q --==≠-- 所有项和1(1)1n a S q q=<- 3. 求和符号 4. 数列的极限: 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作Aa n n =∞→lim 否则称数列{}n a 发散或nn a ∞→lim 不存在.三、函数的极限:在自变量x 的某变化过程中,对应的函数值f (x )无限接近于常数A ,则称常数A 是函数f (x )当自变量x 在该变化过程中的极限。

物理竞赛之数学基础辅导(共113张PPT)

物理竞赛之数学基础辅导(共113张PPT)
数学 不仅是一种工具,
而且是一种思维模式; 数学 不仅是一种知识, 而且是一种素养;
数学 不仅是一种科学,
而且是一种文化; 能否运用数学观念定量思维是衡量 民族科学文化素质的一个重要标志.


一、高等数学高在哪 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
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对映射
若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射;
引例2, 3
X

则称 f 为单射;
f
Y f (X )

引例2
X
Y
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
引例2
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例1.
海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积 则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射)
组成集合的事物称为元素. 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集
*表示 M 中排除 0 的集 ; M
简称元
不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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三、函数
1. 函数的概念
定义5. 设数集 D R , 则称映射 D 上的函数 , 记为 定义域 为定义在
y f ( x) , x D
自变量
因变量
称为值域 函数图形:
y R f f ( D ) y y f ( x ), x D y

物理竞赛中的数学知识

物理竞赛中的数学知识

物理竞赛中的数学知识一、重要函数 1. 指数函数2. 三角函数3. 反三角函数反正弦Arcsin x ,反余弦Arccos x ,反正切Arctan x ,反余切Arccot x 这些函数的统称,各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x 的角。

二、数列、极限 1. 数列:按一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

数列的一般形式可以写成 a 1,a 2,a 3,…,a n ,a (n+1),… 简记为{an },通项公式:数列的第N 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。

2. 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。

通项公式a n =a 1+(n-1)d ,前n 项和11(1)22n n a a n n S n na d +-==+ 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示。

通项公式a n =a 1q(n-1),前n 项和11(1)(1)11n n n a a q a q S q q q--==≠--所有项和1(1)1n a S q q=<-3. 求和符号4. 数列的极限:设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作A a n n =∞→lim否则称数列{}n a 发散或n n a ∞→lim 不存在.三、函数的极限:在自变量x 的某变化过程中,对应的函数值f (x )无限接近于常数A ,则称常数A 是函数f (x )当自变量x 在该变化过程中的极限。

物理题中的数学知识点总结

物理题中的数学知识点总结

物理题中的数学知识点总结微积分是物理学中最常见的数学工具之一。

微积分的基本概念包括导数和积分,这两个概念在物理学中都有广泛的应用。

在物理学中,导数常常用来描述物体的运动状态,例如加速度。

而积分则可以用来描述物体的位移、速度和加速度之间的关系。

此外,微积分还可以用来解决物理学中的一些优化问题,例如找到某个函数的极值点。

代数是另一个物理学中常用的数学知识点。

代数知识包括各种方程、多项式、矩阵等内容。

在物理学中,代数知识常常用来建立物理学模型,例如通过方程来描述物理学中的各种现象。

此外,代数知识还可以用来解决物理学中的一些方程问题,例如通过代数方程的求解来求解某个物理问题的解。

几何知识在物理学中也有广泛的应用。

几何知识包括平面几何、立体几何、向量几何等内容。

在物理学中,几何知识常常用来描述物理学中的空间关系,例如通过向量几何来描述物体的运动轨迹。

此外,几何知识还可以用来解决物理学中的一些空间问题,例如通过几何图形的分析来解决某个物理学问题。

概率论是物理学中的另一个重要数学知识点。

概率论包括概率分布、随机变量、期望、方差等内容。

在物理学中,概率论通常用来描述物理学中的一些随机现象,例如通过概率分布来描述某个粒子的位置分布。

此外,概率论还可以用来解决物理学中的一些随机问题,例如通过概率计算来得出某个物理学问题的解。

总的来说,数学知识在物理学中有着广泛的应用。

微积分、代数、几何、概率论等数学知识点都在物理学中发挥着不可替代的作用。

通过深入理解这些数学知识点,并熟练掌握它们的应用,可以帮助人们更好地理解和解决物理学中的各种问题。

因此,对于学习物理学的人来说,掌握数学知识是至关重要的。

物理竞赛知识归纳总结

物理竞赛知识归纳总结

物理竞赛知识归纳总结物理竞赛是一个考察学生对物理学知识和解题思路的综合性竞赛。

在这个竞赛中,学生需要掌握基本的物理概念和原理,并能运用所学知识解决实际问题。

以下是一些常见的物理竞赛知识点的归纳总结。

第一部分:力学篇一、力和运动1. 力的性质和特点:大小、方向、作用点;2. 力的合成与分解;3. 牛顿第一定律(惯性定律):物体静止或匀速直线运动时,合外力为零;4. 牛顿第二定律:物体的加速度与合外力成正比,与物体质量成反比;5. 牛顿第三定律:作用力与反作用力大小相等、方向相反、不在同一个物体上。

二、运动学1. 位移、速度、加速度的定义和关系;2. 直线运动和曲线运动的离散化表示法;3. 物体匀速直线运动的位移和速度公式;4. 加速度恒定的直线运动的位移、速度和加速度公式;5. 等加速度运动的位移-时间、速度-时间和速度-位移公式;6. 自由落体运动的位移、速度和时间的关系;7. 两个物体自由落体的相对运动。

第二部分:热学篇一、温度和热量1. 温度的测量:摄氏度和开尔文温标;2. 物体的热平衡和热传递;3. 密度和浮力的基本概念;4. 浮力和密度的关系;5. 比热容的概念和计算。

二、热力学定律1. 热力学第一定律:热功和内能的关系;2. 热力学第二定律:热机效率和热力学不可能性原理。

第三部分:电磁篇一、电学基础1. 电荷的性质:正电荷和负电荷;2. 电流、电压和电阻的定义和关系;3. 欧姆定律:电流和电压的关系;4. 串联和并联电路的等效电阻;5. 理想电源和非理想电源的特点。

二、电磁感应1. 法拉第电磁感应定律:感应电动势和感应电流的产生;2. 楞次定律:感应电流的方向。

三、电磁波1. 电磁波的基本概念和特性;2. 电磁波的传播速度和频率之间的关系。

第四部分:光学篇一、光的本质1. 光的传播方式:直线传播和反射传播;2. 光的起源和传播介质;3. 光的快慢损失现象。

二、光的折射和色散1. 光的折射定律:折射角和入射角之间的关系;2. 光的全反射现象;3. 光的色散现象。

物理竞赛必学知识点总结

物理竞赛必学知识点总结

物理竞赛必学知识点总结一、基础知识1. 物理学的基本概念物理学是研究非生物性质的基本科学,旨在解释自然界的各种现象和规律。

其基本概念包括质量、力、能量、运动及相互作用等。

2. 物理学的基本原理物理学的基本原理主要包括牛顿力学、电磁学、光学、热学、原子物理学等。

掌握这些基本原理对物理竞赛至关重要。

3. 基本计算方法物理竞赛中常涉及到各种物理量的计算,包括速度、加速度、力、功率等的计算方法。

4. 仪器使用物理实验和竞赛中需要用到各种物理仪器,如显微镜、望远镜、天平、电子秤、示波器等,掌握这些仪器的使用方法对解答实验题目至关重要。

二、力学1. 牛顿运动三定律物理竞赛中经常出现的物体受力运动问题,需要用到牛顿运动三定律,即物体的惯性、作用力与反作用力、力与加速度的关系等。

2. 力的分解与合成考题中经常会涉及到不同方向的力的合成与分解,需要根据题目情况灵活运用。

3. 力矩力矩是物体受力偏转的物理量,解答力矩计算题需要掌握静力学的知识和力矩的计算方法。

4. 动力学与动能定理物体在运动中受到的外力会使其加速,动力学定理和动能定理是解答动力学问题的重要原理。

5. 弹性力弹性力是指物体变形或位移后会产生的恢复力,掌握弹簧力、胡克定律等内容对解答弹性力问题至关重要。

1. 热力学基本定律热学是研究热现象及其相互转化的科学,掌握热力学基本定律对解答热学问题至关重要。

2. 热力学循环热力学循环包括卡诺循环、斯特林循环、布雷顿循环等,了解热力学循环的特点和计算方法是物理竞赛必备知识。

3. 热传导和传热定律热传导和传热定律是热学的重要内容,掌握热传导的计算方法和传热定律对解答热学问题有很大的帮助。

四、光学1. 光学基本原理光学是研究光和其它电磁波的传播、反射、折射和干涉等现象的科学,了解光的波动性和粒子性、光的折射定律、反射定律等是物理竞赛必备知识。

2. 光的干涉和衍射光的干涉和衍射是光学的重要内容,包括双缝干涉、单缝衍射、多普勒效应等,这些内容常出现在物理竞赛题目中。

高中物理竞赛中的高等数学

高中物理竞赛中的高等数学

高中物理竞赛中的高等数学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律,因此经常遇到的物理量大多数是变量,而要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.考虑到,读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的.所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上不求严格和完整,而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法,可在通过高等数学课程的学习去完成.§1.函数及其图形1.1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y ,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,那么称y 是x 的函数,并记作:y =f (x ),(A .1);其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把y =f (x )也记作y =y (x ).如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,也可以用其它字母作为函数记号,如ϕ(x )、ψ(x )等等.①常见的函数可以用公式来表达,例如()32y f x x ==+,212ax bx +,cx,cos2x π,ln x ,x e 等等. 在函数的表达式中,除变量外,还往往包含一些不变的量,如上面出现的13 2 2e π、、、、和a b c 、、等,它们叫做常量;常量有两类:一类如13 2 2e π、、、、等,它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的,这类常量叫做绝对常量;另一类如a 、b 、c 等,它们的数值需要在具体问题中具体给定,这类常量叫做任意常量.在数学中经常用拉丁字母中最前面几个(如a 、b 、c )代表任意常量,最后面几个(x 、y 、z )代表变量.当y =f (x )的具体形式给定后,就可以确定与自变量的任一特定值x 0相对应的函数值f (x 0).例如: (1)若y =f (x )=3+2x ,则当x =-2时y =f (-2)=3+2×(-2)=-1.一般地说,当x =x 0时,y =f (x 0)=3+2x 0.(2)若()cy f x x ==,则当0x x =时,00()c f x x =.1.2 函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系,这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的.作图的办法是先在平面上取一直角坐标系,横轴代表自变量x ,纵轴代表因变量(函数值)y =f (x ).这样一来,把坐标为(x ,y )且满足函数关系y =f (x )的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线,它描绘出函数的面貌.图A -1便是上面举的第一个例子y =f (x )=3+2x 的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:(-2,-1)、(-1,1)、(0,3)、(1,5)、(2,7),各点连接成一根直线.图A -2是第二个例子()cy f x x==的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:1(,4)4c 、1(,2)2c 、(1,)c 、(2,)2c 、(4,)4c ,各点连接成双曲线的一支.1.3 物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的.下面举几个例子. (1)匀速直线运动公式:s =s 0+vt .(A .2)此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s 随时间t 变化的规律,在这里t 相当于自变量x ,s 相当于因变量y ,s 是t 的函数.因此记作:s =s (t )=s 0+vt ,(A .3)式中初始位置s 0和速度v 是任意常量,s 0与坐标原点的选择有关,v 对于每个匀速直线运动有一定的值,但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值.图A -3是这个函数的图形,它是一根倾斜的直线.易知它的斜率等于v .(2)匀变速直线运动公式:20012s s v t at =++,(A .4),v =v 0+at .(A .5)两式中s 和v 是因变量,它们都是自变量t 的函数,因此记作:2001()2s s t s v t at ==++,(A .6),v =v (t )=v 0+at ,(A .7)图A -4a 、4b 分别是两个函数的图形,其中一个是抛物线,一个是直线.(A .6)和(A .7)式是匀变速直线运动的普遍公式,式中初始位置s 0、初速v 0和加速度a 都是任意常量,它们的数值要根据讨论的问题来具体化.例如在讨论自由落体问题时,若把坐标原点选择在开始运动的地方,则s 0=0,v 0=0,a =g ≈9.8M /s 2,这时(A .6)和(A .7)式具有如下形式:21()2s s t gt ==,(A .8);v =v (t )=gt .(A .9);这里的g 可看作是绝对常量,式中不再有任意常量了. (3)玻意耳定律:PV =C .(A .10)上式表达了一定质量的气体,在温度不变的条件下,压强P 和体积V 之间的函数关系,式中的C 是任意常量.可以选择V 为自变量,P 为因变量,这样,(A .10)式就可写作:()CP P V V==,(A .11)它的图形和图A -2是一样的,只不过图中的x 、y 应换成V 、P .在(A .10)式中也可以选择P 为自变量,V 为因变量,这样它就应写成:()CV V P P==,(A .12) 由此可见,在一个公式中自变量和因变量往往是相对的. (4)欧姆定律:U IR =.(A .13)当讨论一段导线中的电流I 这样随着外加电压U 而改变的问题时,U 是自变量,I 是因变量,R 是常量.这时,(A .13)式应写作:()UI I U R==,(A .14);即I 与U 成正比. 应当指出,任意常量与变量之间的界限也不是绝对的.例如,当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时,由于通过各元件的电流是一样的,(A .13)式中的电流I 成了常量,而R 是自变量,U 是因变量.于是U =U (R )=IR ,(A .15)即U 与R 成正比.但是当讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时,由于各分支两端具有共同的电压,(A .13)式中的U 就成了常量,而R 为自变量,I 是因变量,于是:()U I I R R==,(A .16)即I 与R 成反比.总之,每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系,但是其中哪个是自变量,哪个是因变量,哪些是常量,有时公式本身反映不出来,需要根据所要讨论的问题来具体分析. §2.导数2.1 极限若当自变量x 无限趋近某一数值x 0(记作x →x 0)时,函数f (x )的数值无限趋近某一确定的数值a ,则a 叫做x →x 0时函数f (x )的极限值,并记作:0lim ()x x f x a →=,(A .17)(A .17)式中的“lim ”是英语“limit (极限)”一词的缩写,(A .17)式读作“当x 趋近x 0时,f (x )的极限值等于a ”.极限是微积分中的一个最基本的概念,它涉及的问题面很广.这里不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义,只通过一个特例来说明它的意义.考虑下面这个函数:232()1x x y f x x --==-,(A .18),这里除x =1外,计算任何其它地方的函数值都是没有困难的.例如当0x =时,(0)2f =,当2x =,(2)8f =,等等.但是若问x =1时函数值f (1)=?,就会发现,这时(A .18)式的分子和分母都等于0,即0(1)0f =!用0去除以0,一般地说是没有意义的.所以表达式(A .18)没有直接给出f (1),但给出了x 无论如何接近1时的函数值来.下表列出了当x 的值从小于1和大于1两方面趋于1时f (x )值的变化情况:表A -1 x 与f (x )的变化值x232x x --1x -232()1x x f x x --=- 0.9 -0.47 -0.1 4.70.99 -0.0497 -0.01 4.97 0.999 -0.004997 -0.001 4.997 0.9999 -0.0004997 -0.0001 4.9997 1.1 0.53 0.1 5.3 1.01 0.503 0.01 5.03 1.001 0.005003 0.001 5.003 1.00010.000500030.00015.0003从上表看,x 值无论从哪边趋近1时,分子分母的比值都趋于一个确定的数值5,这便是x →1时f (x )的极限值. 其实计算f (x )值的极限无需这样麻烦,只要将(A .18)式的分子作因式分解:3x 2-x -2=(3x +2)(x -1),并在x ≠1的情况下从分子和分母中将因式(x -1)消去:(32)(1)()3 2 (1)1x x y f x x x x +-===+≠-;即可看出:x 趋于1时,函数f (x )的数值趋于:3×1+2=5.所以根据函数极限的定义,21132lim ()lim 51x x x x f x x →→--==-. 2.2 几个物理学中的实例 (1)瞬时速度当一个物体作任意直线运动时,它的位置可用它到某个坐标原点O 的距离s 来描述.在运动过程中s 是随时间t 变化的,也就是说,s 是t 的函数:s =s (t ).函数s (t )表示的是这个物体什么时刻到达什么地方.形象一些说,假如物体是一列火车,则函数s (t )就是它的一张“旅行时刻表”.但是,在实际中往往不满足于一张“时刻表”,还需要知道物体运动快慢的程度,即速度或速率的概念.例如,当车辆驶过繁华的街道或桥梁时,为了安全,对它的速率就要有一定的限制;一个上抛体(如高射炮弹)能够达到怎样的高度,也与它的初始速率有关,等等.为了建立速率的概念,就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况.假设考虑的是从t =t 0到t =t 1的一段时间间隔,则这间隔的大小为:△t =t 1-t 0.根据s 和t 的函数关系s (t )可知,在t 0和t 1=t 0+△t 两个时刻,s 的数值分别为s (t 0)和s (t 1)=s (t 0+△t ),即在t 0到t 1这段时间间隔里s 改变了:△s =s (t 1)-s (t 0)=s (t 0+△t )-s (t 0).在同样大小的时间间隔△t 里,若s 的改变量△s 小,就表明物体运动得慢, 所以就把s ∆与t ∆之比st∆∆叫做这段时间间隔里的平均速率,用v 来表示,则00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆,(A .19),举例说明如下. 对于匀变速直线运动,根据(A .4)式有2000001()2s t s v t at =++和2000001()()()2s t t s v t t a t t +∆=++∆++∆,22200000000000000111[()()]()()()()()12222s v t t a t t s v t at v at t a t s t t s t v v at a t t t t ++∆++∆-+++∆+∆+∆-====++∆∆∆∆;平均速率s v t ∆=∆反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢,除了匀速直线运动的特殊情况外,st∆∆的数值或多或少与t ∆的大小有关;t ∆取得越短,s t ∆∆就越能反映出物体在0t t =时刻运动的快慢;通常就把0t ∆→时st∆∆的极限值叫做物体在t =t 0时刻的瞬时速率v ,即0000()()lim lim t t s t t s t sv t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .20) 对于匀变速直线运动来说,0000001lim lim()2t t s v v at a t v at t ∆→∆→∆==++∆=+∆. 这就是熟悉的匀变速直线运动的速率公式(A .5). (2)瞬时加速度一般地说,瞬时速度或瞬时速率v 也是t 的函数:v =v (t ).但是在许多实际问题中,只有速度和速率的概念还不够,还需要知道速度随时间变化的快慢,即需要建立“加速度”的概念.平均加速度a 和瞬时加速度a 概念的建立与v 和v 的建立类似.在直线运动中,首先取一段时间间隔t 0到t 1,根据瞬时速率v 和时间t 的函数关系v (t )可知,在t =t 0和t =t 1两时刻的瞬时速率分别为v (t 0)和v (t 1)=v(t 0+△t ),因此在t 0到t 1这段时间间隔里v 改变了△v =v (t 0+△t )-v (t 0).通常把v t∆∆叫做这段时间间隔里的平均加速度,记作a ;00()()v t t v t v a t t +∆-∆==∆∆,(A .21) 举例来说,对于匀变速直线运动,根据(A .5)式有000()v t v at =+,000()()v t t v a t t +∆=++∆.所以平均加速度为000000()()[()]()v t t v t v a t t v at v a a t t t+∆-++∆-+∆====∆∆∆(常数).对于一般的变速运动,a 也是与t ∆有关的,这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢,就需要取v t∆∆在0t ∆→时的极限,这就是物体在t =t 0时刻的瞬时加速度a :0000()()limlim t t v t t v t va t t∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .22)(3)应用举例水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差,这样才能使水流动.为简单起见,假设水渠是直的,这时可以把x 坐标轴取为逆水渠走向的方向(见图A -5),于是各处渠底的高度h 便是x 的函数:h =h (x ).知道了这个函数,就可以计算任意两点之间的高度差.在修建水渠的时候,人们经常运用“坡度”的概念.譬如说,若逆水渠而上,渠底在100m 的距离内升高了20cm ,人们就说这水渠的坡度是0.221001000m m =,因此所谓坡度,就是指单位长度内的高度差,它的大小反映着高度随长度变化的快慢程度.如果用数学语言来表达,就要取一段水渠,设它的两端的坐标分别为x 0和x 1,于是这段水渠的长度为:△x =x 1-x 0.根据h 和x 的函数关系h (x )可知,在x 0和x 1=x 0+△x 两地h 的数值分别为h (x 0)和h (x 1)=h (x 0+△x ),所以在△x 这段长度内h 改变了:△h =h (x 0+△x )-h (x 0).根据上述坡度的定义,这段水渠的平均坡度为:00()()h x x h x h k x x+∆-∆==∆∆,(A .23) 前面所举例子,△x 采用了100米的数值.实际上在100米的范围内,水渠的坡度可能各处不同.为了更细致地把水渠在各处的坡度反映出来,应当取更小的长度间隔x ∆,x ∆取得越小,hx∆∆就越能精确反映出x =x 0处的坡度.所以在x =x 0处的坡度k 应是0x ∆→时的平均坡度k 的极限值,即0000()()lim lim x x h x x h x hk x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .24)2.3 函数的变化率——导数前面举了三个例子,在前两个例子中自变量都是t ,第三个例子中自变量是x .这三个例子都表明,在研究变量与变量之间的函数关系时,除了它们数值上“静态的”对应关系外,往往还需要有“运动”或“变化”的观点,着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢,即函数的“变化率”概念.当变量由一个数值变到另一个数值时,后者减去前者,叫做这个变量的增量.增量,通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示.例如,当自变量x 的数值由x 0变到x 1时,其增量就是△x ≡x 1-x 0.(A .25)与此对应.因变量y 的数值将由y 0=f (x 0)变到y 1=f (x 1),它的增量为△y ≡y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)=f (x 0+△x )-f (x 0).(A .26)应当指出,增量是可正可负的,负增量代表变量减少.增量比00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆,(A .27)可以叫做函数在x =x 0到x =x 0+△x 这一区间内的平均变化率,它在△x →0时的极限值叫做函数y =f (x )对x 的导数或微商,记作y ′或f ′(x ),0000()()()lim lim x x f x x f x yy f x x x ∆→∆→+∆-∆''===∆∆,(A .28)除y '或()f x '外,导数或微商还常常写作dy dx 、df dx 、ddx等其它形式.导数与增量不同,它代表函数在一点的性质,即在该点的变化率.应当指出,函数f (x )的导数f ′(x )本身也是x 的一个函数,因此可以再取它对x 的导数,这叫做函数y =f (x )的二阶导数,记作y ''、()f x ''、22d y dx 等;22()()()d y d dy dy f x f x dx dx dx dx '''''====,(A .29) 据此类推,则不难定义出高阶的导数来.有了导数的概念,前面的几个实例中的物理量就可表示为:瞬时速率:ds v dt =,(A .30);瞬时加速度:22dv d sa dt dt==,(A .31);水渠坡度:dh k dx =,(A .32).2.4 导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的.如图A -6所示,为了确定曲线在P 0点的切线,先在曲线上P 0附近选另一点P 1,并设想P 1点沿着曲线向P 0点靠拢.P 0P 1的联线是曲线的一条割线,它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角α来描述.从图上不难看出,P 1点愈靠近P 0点,α角就愈接近一个确定的值α0,当P 1点完全和P 0点重合的时候,割线P 0P 1变成切线P 0T ,α的极限值α0就是切线与横轴的夹角.在解析几何中,把一条直线与横坐标轴夹角的正切tan α叫做这条直线的斜率.斜率为正时表示α是锐角,从左到右直线是上坡的(见图A -7a );斜率为负时表示α是钝角,从左到右直线是下坡的(见图A -7b ).现在来研究图A -6中割线P 0P 1和切线P 0T 的斜率.设P 0和P 1的坐标分别为(x 0,y 0)和(x 0+△x ,y 0+△y ),以割线P 0P 1为斜边作一直角三角形△P 0P 1M ,它的水平边P 0M 的长度为△x ,竖直边MP 1的长度为△y ,因此这条割线的斜率为:10tan MP y P M xα∆==∆.如果图A -6中的曲线代表函数y =f (x ),则割线P 0P 1的斜率就等于函数在 0x x =附近的增量比yx∆∆,切线0PT 的低斜率0tan α是10P P →时,割线P 0P 1斜率的极限值,即10100tan lim tan lim ()P P P P yf x x αα→→∆'===∆;所以导数的几何意义是切线的斜率.§3.导数的运算在上节里只给出了导数的定义,本节将给出以下一些公式和定理,利用它们可以把常见函数的导数求出来.3.1 基本函数的导数公式(1)y =f (x )=C (常量):00()()()lim lim 0x x f x x f x C Cy f x xx ∆→∆→+∆--''====∆∆; (2)y =f (x )=x :000()()()()lim lim lim 1x x x f x x f x x x x x y f x x xx ∆→∆→∆→+∆-+∆-∆''=====∆∆∆; (3)y =f (x )=x 2:22000()()()()lim lim lim(2)2x x x f x x f x x x x y f x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆=∆∆;(4)y =f (x )=x 3:33222000()()()()lim lim lim[33()]3x x x f x x f x x x x y f x x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆+∆=∆∆; (5)y =f (x )=1x :0()()()lim x f x x f x y f x x ∆→+∆-''===∆011lim x x x x x∆→-+∆=∆ 200()11lim lim ()()x x x x x x x x x x x x x∆→∆→-+∆-===-+∆⋅∆+∆; (6)y =f (x )=x :000()()()lim lim lim[]x x x f x x f x x x x x x x x x xy f x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆-+∆+''====⋅∆∆∆+∆+ 220()()11limlim()2x x x x x x x x x x x x x∆→∆→+∆-===∆+∆++∆+上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式:当ny x =时,1n n dx y nx dx-'==,(n 为任何数),(A .33). 例如:当1n =时,()y f x x ==,1dxy dx '==; 当2n =时,2()y f x x ==,22dx y x dx '==; 当3n =时,3()y f x x ==,323dx y x dx '==; 当1n =-时,11()y f x x x -===,2211()(1)d y x dx x x-'==-=-;当12n =时,12()y f x x x ===,121122d x y x dx x-'===;等等.利用(A .33)式还可以计算其它幂函数的导数(见表A -2).除了幂函数n x 外,物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数.现在只给出这些函数的导数公式(见表A -2)而不推导,解题时可以直接引用.3.2 有关导数运算的几个定理 定理一:[()()]d du dvu x v x dx dx dx ±=±,(A .34). 证明:00[()()]lim lim[]x x d u v u v du dvu x v x dx x x x dx dx∆→∆→∆±∆∆∆±==±=±∆∆∆. 定理二:[()()]()()d du dvu x v x v x u x dx dx dx ⋅=+,(A .35).证明:00[()][()]u(x)v(x)v()()[()()]lim lim x x d u x u v x v x u u x v u vu x v x dx x x∆→∆→+∆+∆-∆+∆+∆∆⋅==∆∆ 0lim[()()]()()x u v du dvv x u x v x u x x x dx dx ∆→∆∆=+=+∆∆.表A -2基本导数公式函数y =f (x )导数y ′=f ′(x )函数y =f (x ) 导数y ′=f ′(x )c (任意常量) 012n =- ,121x x -=3321212()x x --=- x n (n为任意常量)nx n -132n =-,3321()x x -=5523232()x x --=-n =1, x1…… ……n =2, x 2 2x sin xcos xn =3, x 33x 2 cos xsin x - 1n =-,11x x -=221(1)x x --=-ln x 1x2n =-,221x x -=332(2)x x --=-x ex e12n =,121x x=121212x x -= …… ……定理三:2()()()[]()[()]du dv v x u x d u x dx dx dx v x v x -=,(A .36).证明:000()()()[()]()[()]()()()()()[]lim lim lim ()[()]()[()]()x x x u x u u x d u x u x u v x v x v u x v x u u x v v x v v x dx v x x v x v v x xv x v v x x ∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆∆-∆+∆===∆+∆∆+∆∆20()()()()lim [()]()[()]x u v du dv v x u x v x u x x x dx dx v x v v x v x ∆→∆∆--∆∆==+∆. 定理四:[()]d du dvu v x dx dv dx=⋅,(A .37). 证明:00[()][()]()()[()]lim lim[]x x d u v x x u v x u v v v v v u v x dx x v x ∆→∆→+∆-+∆-∆==⋅∆∆∆00()()lim[]lim[]x x u v v v v v du dvv x dv dx∆→∆→+∆-∆=⋅=⋅∆∆ 例1.求22y x a =±(a 为常量)的导数.解:22202dy dx da x x dx dx dx=±=±=. 例2.求ln x y a =(a 为常量)的导数. 解:ln ln 110dy d x d a dx dx dx x x=-=-=. 例3.求2y ax =(a 为常量)的导数. 解:222022dy da dx x a x a x ax dx dx dx=⋅+⋅=⋅+⋅=. 例4.求2x y x e =的导数. 解:22222(2)xx x x x dy dx de e x x e x e x x e dx dx dx=+=⋅+⋅=+. 例5.求23251x y x -=+的导数.解:2222222(32)(51)(51)(32)6(51)(32)515610(51)(51)(51)d x d x x x dy x x x x x dx dx dx x x x -++--⋅+--⋅++===+++. 例6.求tan y x =的导数. 解:2222sin cos cos sin sin cos cos sin (sin )1(tan )()sec cos cos cos cos d x d xxxdy d d x x x x x dx dx x x dxdx dx xx x x-⋅-⋅-======. 例7.求cos()y ax b =+(a 、b 为常量)的导数.解:令v ax b =+,()cos y u v v ==,则(sin )sin()dy du dv v a a ax b dx dv dx=⋅=-⋅=-+. 例8.求21y x =-的导数.解:令21v x =-,()y u v v ==,则21221dy du dv x x dx dv dx vx =⋅=⋅=-.例9.求22ax y x e -=(a 为常量)的导数.解:令v u e =,2v ax =-,则2222222(2)2(1)v ax dy dx du dvu x xu x e ax x ax e dx dx dv dx-=+⋅=+⋅⋅-=-§4.微分和函数的幂级数展开 4.1 微分自变量的微分,就是它的任意一个无限小的增量△x .用dx 代表x 的微分,则dx =△x .(A .38) 一函数y =f (x )的导数f ′(x )乘以自变量的微分dx 即为该函数的微分,用dy 或df (x )表示,即dy =df (x )=f ′(x )dx ,(A .39) 所以()dyf x dx'=,(A .40) 在之前曾把导数写成dydx的形式,是把它作为一个整体引入的.当时它虽然表面上具有分数的形式,但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分.在引入微分的概念之后,就可把导数看成微分dy 与dx 之商(所谓“微商”),即一个真正的分数了.把导数写成分数形式,常常是很方便的,例如,把上节定理四(A .37)式的左端[()]d u v x dx 简写成du dx,则该式化为du du dvdx dv dx =⋅;此公式从形式上看和分数运算法则一致,很便于记忆. 下面看微分的几何意义.图A -8是任一函数y =f (x )的图形,P 0(x 0,y 0)和P 1(x 0+△x ,y 0+△y )是曲线上两个邻近的点,P 0T 是通过P 0的切线.直角三角形△P 0MP 1的水平边0P M x =∆,竖直边1MP y =∆(见图8A -).设0PT 与1MP 的交点为N ,则0tan MNMNNP M xPM∠==∆,但0tan NP M ∠为切线P 0T 的斜率,它等于x =x 0处的导数f ′(x 0),因此00()tan dy f x x NP M x MN '=∆=∠⋅∆=.所以微分dy 在几何图形上相当于线段MN 的长度,它和增量1y MP ∆=相差1NP 一段长;从上一节计算导数时取极限的过程可以看出,dy 是y ∆中正比于x ∆的那一部分,而1NP 则是正比于(△x )2以及△x 更高幂次的各项之和[例如对于函数y =f (x )=x 3,△y =3x 2△x +3x (△x )2+(△)3,而d y =f ′(x )△x =3x 2△x ].当△x 很小时,(△x )2、(△x )3、…比△x小得多,1NP 也就比dy 小得多,所以可以把微分dy 叫做增量y ∆中的线性主部.也就是说,若函数在x =x 0的地方像线性函数那样增长,则它的增量就是dy .4.2幂函数的展开已知一个函数f (x )在x =x 0一点的数值f (x 0),如何求得其附近的点x =x 0+△x 处的函数值f (x )=f (x 0+△x )? 若f (x )为x 的幂函数n x ,可以利用牛顿的二项式定理:23000000000(1)(1)(2)()()[1()]()[1()]()[1()()()]2!3!n n nn n x x x n n x n n n x f x x x x x f x f x n x x x x x ∆∆∆-∆--∆==+∆=+=+=++++⋅⋅⋅000(1)(1)()()!nmm n n n m x f x m x =-⋅⋅⋅-+∆=∑,(A .41)此式适用于任何n (整数、非整数、正数、负数等等).若n 为正整数,则上式中的级数在M =n 的地方截断,余下的项自动为0,否则上式为无穷级数.不过当△x <<x 0时,后面的项越来越小,只需保留有限多项就足够精确了.不要以为数学表达式越精确越好.如图A -9中A 、B 两点间的水平距离为l ,若将B 点竖直向上提高一个很小的距离a (a <<l)到达B ′,问AB ′之间的距离比AB 增加了多少?利用勾股定理易得距离的增加量为22l l a l ∆=+-.这是个精确的公式,但没有给出一个鲜明的印象,究竟△l 是随a 怎样变化的?若用二项式定理将它展开,只保留到最低级的非0项,则有12222221[1()1]{[1()]1}[1()1]()222a a a l a a l l l l l ll l l∆=+-=+-=++⋅⋅⋅-≈=,即△l 是正比于a 平方增长的,属二级小量.这种用幂级数展开来分析主要变化趋势的办法,在物理学里是经常用到的.4.3泰勒展开非幂函数(譬如s in x 、e x )如何作幂级数展开?这要用泰勒(Taylor)展开. 下面用一种不太严格,但简单明了的办法将它导出.假设函数f (x )在x =x 0处的增量△f =f (x )-f (x 0)能够展成△x =x -x 0的幂级数:001()()()mm m f x f x a x x ∞=-=-∑,(A .42)则通过逐项求导可得101()()m m m f x ma x x ∞-='=-∑;当x →x 0时,m >1的项都趋于0,于是有f ′(x 0)=a 1;再次求导,得202()(1)()m m m f x m m a x x ∞-=''=--∑,当x →x 0时,m >2的项都趋于0,于是有f (x 0)=2a 2;如此类推,一般地说,对于M 阶导数有()0()!M M f x M a =;于是(A .42)式可以写为:()000()()()()!m m m Mf x f x f x x x m ∞=-=-∑,(A .43).若定义第0阶导数f (0)(x )就是函数f (x )本身,则上式还可进一步简写为:()000()()()!m m m f x f x x x m ∞==-∑,(A .44). 上述(A .43)或(A .44)式称为泰勒展开式,它在物理学中是非常有用的公式. 下面在表A -3中给出几个常见函数在x 0=0或1处的泰勒展开式.表A -3 常见函数的幂级数展开式函数展开式收敛范围12(1)x ± 234111113113512242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±-±-±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1x ≤ 32(1)x ± 234331311311312242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤ 52(1)x ± 234553531531112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤ 12(1)x -± 234113135135712242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 32(1)x -± 234335357357912242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 52(1)x -±2345575795791112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 1(1)x -±2341x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x <2(1)x -±23412345x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x < sin x3573!5!7!x x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞ cos x24612!4!6!x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞ tan x 35791217623153152835x x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞ xe 23411!2!3!4!x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞ln(1)x + 234234x x x x -+-+⋅⋅⋅11x -<≤ ln(1)x -234()234x x x x -++++⋅⋅⋅11x -≤<§5.积分5.1几个物理中的实例 (1)变速直线运动的路程大家都熟悉匀速直线运动的路程公式.若物体的速率是v ,则它在t a 到t b 一段时间间隔内走过的路程是s =v (t b -t a ),(A .45).对于变速直线运动来说,物体的速率v 是时间的函数:v =v (t ),函数的图形是一条曲线(见图A -10a ),只有在匀速直线运动的特殊情况下,它才是一条直线(参见图A -4b ).对于变速直线运动,(A .45)式已不适用.但是,可以把t =t a 到t =t b 这段时间间隔分割成许多小段,当小段足够短时,在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的.这样一来,物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算,然后把各小段时间里走过的路程都加起来,就得到t a 到t b 这段时间里走过的总路程.设时间间隔(t b -t a )被t =t 1(=t a )、t 2、t 3、…、t n 、t b 分割成n 小段,每小段时间间隔都是△t ,则在t 1、t 2、t 3、…、t n 各时刻速率分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n ).若把各小段时间的速率v 看成是不变的,则按照匀速直线运动的公式,物体在这些小段时间走过的路程分等于v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t .于是,在整个(t b -t a )这段时间里的总路程是1231()()()()()nn i i s v t t v t t v t t v t t v t t ==∆+∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑,(A .46).现在再看看上式的几何意义.在函数v =v (t )的图形中,通过t =t 1、t 2、t 3、…、t n 各点垂线的高度分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n )(见图A -10b ),所以v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t 就分别是图中那些狭长矩形的面积,而1()ni i v t t =∆∑则是所有这些矩形面积的总和,即图中画了斜线的阶梯状图形的面积.在上面的计算中,把各小段时间△t 里的速率v 看做是不变的,实际上在每小段时间里v 多少还是有些变化的,所以上面的计算并不精确.要使计算精确,就需要把小段的数目n 加大,同时所有小段的△t 缩短(见图A -10c ).△t越短,在各小段里v 就改变得越少,把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况.所以要严格地计算变速运动的路程s ,就应对(A .46)式取n →∞、△t →0的极限,即01lim ()ni t i n s v t t ∆→=→∞=∆∑,(A .47). 当n 越来越大,△t 越来越小的时候,图A -10中的阶梯状图形的面积就越来越接近v (t )曲线下面的面积(图A -10d).所以(A .47)式中的极限值等于(t b -t a )区间内v (t )曲线下的面积.总之,在变速直线运动中,物体在任一段时间间隔(t b -t a )里走过的路程要用(A .47)式来计算,这个极限值的几何意义相当于这区间内v (t )曲线下的面积. (2)变力的功当力与物体移动的方向一致时,在物体由位置s =s a 移到s =s b 的过程中,恒力F 对它所作的功为:A =F (s b -s a )(A .48);若力F 是随位置变化的,即F 是s 的函数:F =F (s ),则不能运用(A .48)式来计算力F 的功.此时,也需要象计算变速运动的路程那样,把(s b -s a )这段距离分割成n 个长度为△s 的小段(见图A -11):并把各小段内力F 的数值近似看成是恒定的,用恒力作功的公式计算出每小段路程△s 上的功,然后加起来取n →∞、△s →0的极限值.具体地说,设力F 在各小段路程内的数值分别为F (s 1)、F (s 2)、F (s 3)、…、F (s n ),则在各小段路程上力F 所作的功分别为F (s 1)△s 、F (s 2)△s 、F (s 3)△s 、…、F (s n )△s ,在(s b -s a )整段路程上力F 的总功A 就近似地等于1()ni i F s s =∆∑;因为实际上在每一小段路程上加F 都是变化的,所以严格地计算,还应取n →∞、△s →0的极值,即01lim ()ni t i n A F s s ∆→=→∞=∆∑,(A .49).同上例,这极限值应是(s b -s a )区间内F (s )下面的面积(见图A -12).5.2定积分以上两个例子表明,许多物理问题中需要计算象(A .47)和(A .49)式中给出的那类极限值.概括起来说,就是要解决如下的数学问题:给定一个函数f (x ),用x =x 1(=a )、x 2、x 3、…、x n 、b 把自变量x 在(b -a )区间内的数值分成n 小段,设每小段的大小为△x ,求n →∞、△x →0时1()ni i f x x =∆∑的极限;通常把这类形式的极限用符号()ba f x dx ⎰来表示,即01()lim ()nbi ax i n f x dx f x x ∆→=→∞=∆∑⎰,(A .50);()baf x dx ⎰叫做x a =到x b =区间内()f x 对x 的定积分,()f x 叫做被积函数,b 和a 分别叫做定积分的上限和下限.用定积分的符号来表示,(A .47)和(A .49)式可分别写为()bat t s v t dt =⎰,(A .51)、()bas s A F s ds =⎰,(A .52).在变速直线运动的路程公式(A .51)里,自变量是t ,被积函数是v (t ),积分的上、下限分别是t b 和t a ;在变力作功的公式(A .52)里,自变量是s ,被积函数是F (s ),积分的上、下限分别是s b 和s a .求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理:若被积函数f (x )是某个函数Ф(x )的导数,即f (x )=Ф′(x ),则在x =a 到x =b 区间内f (x )对x 的定积分等于Ф(x )在这区间内的增量,即()()()ba f x dxb a =Φ-Φ⎰,(A .53).下面来证明上述定理.在a ≤x ≤b 区间内任选一点x i ,首先考虑Ф(x )在x =x i 到x =x i +△x =x i+1区间的增量△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i ):()()i i x x x x ∆Φ∆Φ=⋅∆∆,当0x ∆→时,可用Ф(x )的导数()d x dx Φ'Φ=代替x ∆Φ∆;但按照定理的前提,Ф′(x )=f (x ),故△Ф(x i )≈Ф′(x i )△x =f (x i )△x 式中≈表示“近似等于”,若取△x →0的极限,上式就是严格的等式.把a ≤x ≤b 区间分成n -1小段,每段长△x ;上式适用于每小段.根据积分的定义和上式,有:12112100()lim[()()()]lim[()()()]bn n ax x n n f x dx f x x f x x f x x x x x --∆→∆→→∞→∞=∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆Φ+∆Φ+⋅⋅⋅+∆Φ⎰2132110lim{[()()][()()][()()]}()()n n n x n x x x x x x x x -∆→→∞=Φ-Φ+Φ-Φ+⋅⋅⋅+Φ-Φ=Φ-Φ因x 1=a ,xn =b ,于是得(A .53)式,至此定理证毕.下面看看函数Ф(x )在f -x 图(见图A -13)中所表现的几何意义.如前所述,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )=f (x i )△x ,正是宽为△x 、高为()i i i f x x P =的一个矩形(即图13A -中的1i i i x x NP +)的面积.它和曲线段P i P i+1下面的梯形x i x i+1P i+1P i 的面积只是相差一小三角形P i NP i +1的面积.当△x →0时,可认为△Ф(x i )就是梯形x i x i+1P i+1P i 的面积.既然当x 由x i 变到x i+1时,Ф(x )的增量的几何意义是相应区间f -x 曲线下的面积,则Ф(x )本身的几何意义就是从原点O 到x 区间f -x 曲线下面的面积加上一个常量C =Ф(0).例如Ф(x i )的几何意义是图形Ox i P i P 0的面积加C ,Ф(x i +1)的几何意义是图形Ox i+1P i+1P 0的面积加C ,等等.这样,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )就是:(Ox i+1P i+1P 0的面积+C )-(Ox i P i P 0的面积+C )=x i x i+1P i+1P i 的面积,而Ф(b )-Ф(a )的几何意义是:(ObP b P 0的面积+C )-(OaP a P 0的面积+C )=abP b P a 的面积.它相当于定积分()ba f x dx ⎰的值.5.3不定积分及其运算在证明了上述定积分的基本定理之后,就可以着手解决积分的运算问题了.根据上述定理,只要求得函数Ф(x )的表达式,利用(A .53)式立即可以算出定积分()ba f x dx ⎰来,那么,给出了被积函数()f x 的表达式之后,怎样去求Ф(x )的表达式呢?上述定理说明,Ф′(x )=f (x ),所以这就相当于问f (x )是什么函数的导数.由此可见,积分运算是求导的逆运算.如果f (x )是Ф(x )的导数,可以称Ф(x )是f (x )的逆导数或原函数.求f (x )的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数.在上节里讲了一些求导数的公式和定理,常见的函数都可以按照一定的法则把它们的导数求出来.然而求逆导数的问题却不像求导数那样容易,而需要靠判断和试探.例如,知道了Ф(x )=x 3的导数Ф′(x )=3x 2,也就知道了F (x )=3x 2的逆导数是Ф(x )=x 3;这时,如果要问函数f (x )=x 2的逆导数是什么,那么就不难想到,它的逆导数应该是x 3/3;这里要指出一点,即对于一个给定的函数f (x )来说,它的逆导数并不是唯一的.Ф1(x )=x 3/3是f (x )=x 2的逆导数,Ф2(x )=x 3/3+1和Ф3(x )=x 3/3-5也都是它的逆导数,因为Ф1′(x )、Ф2′(x )、Ф3′(x )都等于x 2.一般说来,在函数f (x )。

数学物理竞赛知识点总结

数学物理竞赛知识点总结

数学物理竞赛知识点总结一、数学竞赛知识点总结1. 不等式(1) 已知不等式性质(2) 不等式的计算(3) 不等式的应用(如证明、应用)2. 函数(1) 函数的性质(2) 函数的运算(如复合函数、反函数)(3) 函数的图像与性质(如一次函数、二次函数、三角函数)3. 数列(1) 等差数列和等比数列的性质(2) 数列的求和(3) 数列的应用(如证明、应用)4. 极限(1) 极限的概念及性质(2) 极限的运算规则(3) 极限的应用(如证明、变量法)5. 微分与积分(1) 微分的概念及性质(2) 积分的概念及性质(3) 微分与积分的应用(如证明、变量法)6. 组合与排列(1) 组合与排列的概念及性质(2) 组合与排列的公式与计算(3) 组合与排列的应用(如证明、变量法)7. 概率(1) 概率的概念及性质(2) 概率的计算公式(3) 概率的应用(如证明、变量法)8. 数论(1) 数论的基本概念(2) 数论的性质与定理(3) 数论的应用(如证明、变量法)9. 平面几何(1) 平面几何的基本概念(2) 平面几何的性质与定理(3) 平面几何的应用(如证明、变量法)10. 空间几何(1) 空间几何的基本概念(2) 空间几何的性质与定理(3) 空间几何的应用(如证明、变量法)11. 解析几何(1) 解析几何的基本概念(2) 解析几何的性质与定理(3) 解析几何的应用(如证明、变量法)12. 复变函数(1) 复变函数的基本概念(2) 复变函数的性质与定理(3) 复变函数的应用(如证明、变量法)13. 加速度表达式(1) 加速度表达式的概念及性质(2) 加速度表达式的计算规则(3) 加速度表达式的应用(如证明、变量法)14. 群论(1) 群论的基本概念(2) 群论的性质与定理(3) 群论的应用(如证明、变量法)15. 常数(1) 常数的概念及性质(2) 常数的计算规则(3) 常数的应用(如证明、变量法)二、物理竞赛知识点总结1. 运动学(1) 位移、速度、加速度的等物理量的概念及性质(2) 运动图象的绘制及分析(3) 运动规律的应用2. 动力学(1) 牛顿定律的表述及应用(2) 动量、动能、功率的概念及计算(3) 动力学定律的应用3. 静力学(1) 物体的平衡条件(2) 施力与受力的关系(3) 静力学的应用(如证明、变量法)4. 物态方程(1) 理想气体状态方程的概念及性质(2) 理想气体状态方程的计算及应用(3) 理想气体状态方程的变化规律5. 热力学(1) 热力学的基本概念(2) 热力学的性质与定理(3) 热力学的应用(如证明、变量法)6. 电学(1) 电荷、电场、电势的概念及性质(2) 电路、电流、电阻的计算(3) 电学的应用(如证明、变量法)7. 光学(1) 几何光学与波动光学的基本概念(2) 光学现象的分析与计算(3) 光学的应用(如证明、变量法)8. 声学(1) 声波的基本概念(2) 声学现象的分析与计算(3) 声学的应用(如证明、变量法)9. 原子物理(1) 原子结构的基本概念(2) 原子核的结构及性质(3) 原子物理的应用(如证明、变量法)10. 核物理(1) 核反应的基本概念(2) 放射性物质的性质及应用(3) 核物理的应用(如证明、变量法)11. 量子物理(1) 量子力学的基本概念(2) 量子物理的性质与定理(3) 量子物理的应用(如证明、变量法)12. 统计物理(1) 统计物理的基本概念(2) 统计物理的性质与定理(3) 统计物理的应用(如证明、变量法)13. 电磁学(1) 电场、磁场、电磁感应的基本概念(2) 电磁学现象的应用与计算(3) 电磁学的应用(如证明、变量法)14. 物理实验(1) 实验的设计及操作(2) 实验结果的分析及应用(3) 实验的应用(如证明、变量法)15. 分子物理(1) 分子结构的基本概念(2) 分子物理的性质及应用(3) 分子物理的应用(如证明、变量法)总结:数学物理竞赛知识点包括数学和物理两个方面,内容涉及不等式、函数、数列、极限、微分与积分、组合与排列、概率、数论、平面几何、空间几何、解析几何、复变函数、加速度表达式、群论、常数等数学知识,运动学、动力学、静力学、物态方程、热力学、电学、光学、声学、原子物理、核物理、量子物理、统计物理、电磁学、物理实验、分子物理等物理知识。

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物理竞赛中的数学知识一、重要函数1.指数函数2.三角函数1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx3.反三角函数反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x这些函数的统称,各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

二、数列、极限1.数列:按一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。

数列的一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,…,a n ,a (n+1),… 简记为{an },通项公式:数列的第N 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。

2. 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。

通项公式a n =a 1+(n-1)d ,前n 项和11(1)22n n a a n n S n na d +-==+ 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。

通项公式a n =a 1q (n-1),前n 项和11(1)(1)11nn n a a q a q S q q q--==≠-- 所有项和1(1)1n a S q q=<-3. 求和符号4. 数列的极限:设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作A a n n =∞→lim否则称数列{}n a 发散或n n a ∞→lim 不存在.三、函数的极限:在自变量x 的某变化过程中,对应的函数值f (x )无限接近于常数A ,则称常数A 是函数f (x )当自变量x 在该变化过程中的极限。

设f (x )在x>a (a >0)有定义,对任意ε>0,总存在X >0,当x>X 时,恒有| f (x )-A |<ε,则称常数A 是函数f (x )当x →+∞时的极限。

记为+∞→x lim f (x )=A ,或f (x ) → A (x →+∞)。

运算法则lim x x →[f (x )± g (x )]=0lim x x →f (x ) ±0lim x x →g (x )lim x x →[f (x ) ⋅ g (x )]=0lim x x →f (x ) ⋅0lim x x →g (x ))(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x xx x x →→→=,其中0lim x x →g (x )≠ 0.四、无穷小量与无穷大量1.若0)(lim 0=→x f x x ,则称)(x f 是0x x →时的无穷小量。

(若,)(lim 0∞=→x g x x 则称)(x f 是0x x →时的无穷大量)。

或:若0lim x x →α(x )=0 ,则称α(x )当x → x 0时为无穷小。

在自变量某变化过程中,|f (x )|无限增大,则称f (x )在自变量该变化过程中为无穷大。

记为 lim ().f x =∞2.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量;无穷大量的倒数是无穷小量。

3.无穷小量的运算性质(i )有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。

(ii )无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。

(iii )有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。

4.无穷小的比较定义:设0lim →x α (x )=0,0lim →x β (x )=0,1)若)()(lim0x x x αβ→=0,则称当x → x 0时β (x )是比α (x )高阶无穷小。

2)若)()(lim0x x x αβ→=∞,则称当x → x 0时β (x )是比α (x )低阶无穷小。

3)若)()(lim0x x x αβ→=C (C ≠0),则称当x → x 0时β (x )与α (x )是同阶无穷小,4)若)()(lim0x x x αβ→=1,则称当x → x 0时β (x )与α (x )是等价无穷小。

5.常用的等价无穷小为:当x →0时: sin x ~x ,tan x ~x ,arcsin x ~x ,arctan x ~x ,1-cos x ~221x , 11-+n x ~x n1。

等价无穷小可代换五、二项式定理1. 阶乘: n!=1×2×3×……×n2. 组合数:从m 个不同元素中取出n (n ≤m )个元素的所有组合的个数,叫做从m 个不同元素中取出n 个元素的组合数3. 二项式定理即六、常用三角函数公式sin (π+α)=-sin α cos (π+α)=-cos α tan (π+α)=tan α sin (π/2+α)=cos α cos (π/2+α)=—sin α tan (π/2+α)=-cot αsin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ sin()sin cos cos sin A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=- 22tan tan 21tan AA A=- 1cos sin22A A -= 1cos cos 22A A += 1cos sin tan 21cos 1cos A A A A A-==++ 和差化积公式sin sin 2sincos 22a b a b a b +-+=⋅ sin sin 2cos sin22a b a ba b +--=⋅ cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=⋅ cos cos 2sin sin22a b a ba b +--=-⋅ ()sin tan tan cos cos a b a b a b++=⋅积化和差公式()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦()()1sin cos sin sin 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦ ()()1cos sin sin sin 2a b a b a b =+--⎡⎤⎣⎦万能公式22tan2sin 1tan 2aa a=+ 221tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 22tan2tan 1tan 2aa a=-典型物理问题数列极限等应用1. 蚂蚁离开巢穴沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反比,当蚂蚁爬到距巢中心距离L 1=1m 的A 点处时,速度是V 1=2cm/s 。

试问蚂蚁继续由A 点到距巢中心L 2=2m 的B 点需要多长时间?2.m1m2m3a1a2a3常见近似处理1.人在岸上以v0速度匀速运动,如图位置时,船的速度是多少?2.如图所示,顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动,其下端由凹轮M推动,凸轮绕O轴以匀角速度ω转动.在图示的瞬时,OA=r,凸轮轮缘与A接触,法线n与OA之间的夹角为α,试求此瞬时顶杆AB的速度.(第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题)3.三个芭蕾舞演员同时从边长为L的正三角形顶点A,B,C出发,速率都是v,运动方向始终保持着A朝着B,B朝着C,C朝着A。

经过多少时间三人相遇?每人经过多少路程?4.如图所示,半径为R2的匀质圆柱体置于水平放置的、半径为R1的圆柱上,母线互相垂直,设两圆柱间动摩擦因数足够大,不会发生相对滑动,试问稳定平衡时,R1与R2应满足什么条件?5.一只狐狸以不变的速度1υ沿着直线AB 逃跑,一只猎犬以不变的速率2υ追击,其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处,猎犬在D 处,FD ⊥AB ,且FD=L ,如图14—1所示,求猎犬的加速度的大小.解析:猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变,故猎犬做匀速率曲线运动,根据向心加速度r ra ,22υ=为猎犬所在处的曲率半径,因为r 不断变化,故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化,题目要求猎犬在D 处的加速度大小,由于2υ大小不变,如果求出D 点的曲率半径,此时猎犬的加速度大小也就求得了.猎犬做匀速率曲线运动,其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t ∆内,猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧,设其半径为R ,则加速度 =a R22υ其方向与速度方向垂直,如图14—1—甲所示.在t ∆时间内,设狐狸与猎犬分别 到达D F ''与,猎犬的速度方向转过的角度为=α2υt ∆/R而狐狸跑过的距离是:1υt ∆≈L α 因而2υt ∆/R ≈1υt ∆/L ,R=L 2υ/1υ所以猎犬的加速度大小为=a R22υ=1υ2υ/L6.如图所示,半径为R ,质量为m 的圆形绳圈,以角速率ω绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时,绳中的张力为多大?解析 取绳上一小段来研究,当此段弧长对应的圆心角θ∆很小时,有近似关系式.sin θθ∆≈∆若取绳圈上很短的一小段绳AB=L ∆为研究对象,设这段绳所对应的圆心角为θ∆,这段绳两端所受的张力分别为A T 和B T (方向见图14—3—甲),因为绳圈匀速转动,无切向加速度,所以A T 和B T 的大小相等,均等于T . A T 和B T 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力,设这段绳子的质量为m ∆,根据牛顿第二定律有:R m T 22sin 2ωθ∆=∆;因为L ∆段很短,它所对应的圆心角θ∆很小所以22sin θθ∆=∆将此近似关系和πθπθ22∆=⋅∆⋅=∆m R m R m 代入上式得绳中的张力为πω22Rm T =7. 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC ,光滑小球从顶点A 处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C 处所需时间,恰好等于小球从顶点A 处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C 处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB 与水平轨道BC 的交接处B 有极小的圆弧,可确保小球无碰撞的拐弯,且拐弯时间可忽略不计.在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道,每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成,交接处都有极小圆弧(作用同上),轨道均从A 点出发到C 点终止,且不越出该直角三角形的边界,试求小球在各条轨道中,由静止出发自由地从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值.解析 直角三角形AB 、BC 、CA 三边的长分别记为1l 、2l 、3l ,如图14—4—甲所示,小球从A 到B 的时间 记为1T ,再从B 到C 的时间为2T ,而从A 直接沿斜边到C所经历的时间记为3T ,由题意知321T T T =+,可得1l :2l :3l =3:4:5, 由此能得1T 与2T 的关系. 因为21121121T gT l gT l ==所以21212T T l l = 因为1l :2l =3:4,所以 1232T T =小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中,经各垂直线段所需时间之和为11T t =,经各水平段所需时间之和记为2t ,则从A 到C 所经时间总和为21t T t +=,最短的2t 对应t 的下限min t ,最长的2t 对应t 的上限.m ax t小球在各水平段内的运动分别为匀速运动,同一水平段路程放在低处运动速度大,所需时间短,因此,所有水平段均处在最低位置(即与BC 重合)时2t 最短,其值即为2T ,故min t =.35121T T T =+2t 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置,实现它的方案是垂直段每下降小量1l ∆,便接一段水平小量2l ∆,这两个小量之间恒有αcot 12l l ∆=∆,角α即为∠ACB ,水平段到达斜边边界后,再下降一小量并接一相应的水平量,如此继续下去,构成如图所示的微齿形轨道,由于1l ∆、2l ∆均为小量,小球在其中的运动可处理为匀速率运动,分别所经的时间小量)(1i t ∆与)(2i t ∆之间有如下关联:αcot )()(1212=∆∆=∆∆l l i t i t于是作为)(2i t ∆之和的2t 上限与作为)(1i t ∆之和的1T 之比也为.cot α故2t 的上限必为1T αcot ,即得:.37cot 111max T T T t =+=α这样:max t min t =7:5求导与微分一、导数的概念1.导数定义设y=f(x)在x 0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量x ∆,函数值有一相应改变量)()(00x f x x f y -∆+=∆,若极限x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000 存在,则称此极限值为函数y=f(x)在x 0点的导数,此时称y=f(x)在x 0点可导,用⎥⎦⎤⎢⎣⎡===''000)(,,)(x x dx x df x x dyx dyx x y x f 或或或表示.若)(x f y =在集合D 内处处可导(这时称f(x)在D 内可导),则对任意D x ∈0,相应的导数)(0x f '将随0x 的变化而变化,因此它是x 的函数,称其为y=f(x)的导函数,记作⎪⎭⎫⎝⎛''dx x df dxdy y x f )(,,)(或或或. 2.导数的几何意义若函数f(x)在点x 0处可导,则)(0x f '就是曲线y=f(x)在点(x 0,y 0)处切线的斜率,此时切线方程为))((000x x x f y y -'=-.当)(0x f '=0,曲线y=f(x)在点(x 0,y 0)处的切线平行于x 轴,切线方程为)(00x f y y ==. 若f(x)在点x 0处连续,又当0x x →时∞→')(x f ,此时曲线y=f(x)在点(x 0,y 0)处的切线垂直于x 轴,切线方程为x=x 0.1.几个基本初等函数的导数 ⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-2.导数的四则运算 (1))(])([x u c x u c '⋅='⋅; (2))()(])()([x v x u x v x u '+'='±;(3))()()()()]()([x v x u x v x u x v x u '⋅+'⋅'=⋅;(4))()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡二、微分1.微分的概念设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义,若在其中给0x 一改变量x ∆,相应的函数值的改变量y ∆可以表示为).0()(0)()(00→∆∆+∆=-∆+=∆x x x A x f x x f y其中A 与x ∆无关,则称)(x f 在0x 点可微,且称A x ∆为)(x f 在0x 点的微分,记为.0x A x x dfx x dy∆====x A ∆是函数改变量y ∆的线性主部.)(x f y =在0x 可微的充要条件是)(x f 在0x 可导,且)(00x x f x x dy∆'==.当x x f=)(时,可得x dx ∆=,因此.)(,)(00dx x f dy dx x f x x dy'='==由此可以看出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.(2)微分的几何意义 当x 由0x 变到x x ∆+0时,函数纵坐标的改变量为y ∆,此时过0x 点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.当dy <y ∆时,切线在曲线下方,曲线为凹弧. 当dy >y ∆时,切线在曲线上方,曲线为凸弧. 2.微分运算法则 设)(),(x v x u 可微,则)()()()()()()().()()()()]()([).()()]()([.0)(),())((2x v x dv x u x du x v x v x u dx du x v x dv x u x v x u d x du x du x v x u d c d x cdu x cu d -=+=⋅±=±==三、不定积分1.不定积分概念【定义】(原函数) 若对区间I 上的每一点x ,都有,)()()()(dx x f x dF x f x F =='或则称F (x )是函数f(x)在该区间上的一个原函数.原函数的特性 若函数f(x)有一个原函数F(x ),则它就有无穷多个原函数,且这无穷多个原函数可表示为F (x )+C 的形式,其中C 是任意常数.【定义】(不定积分) 函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分,记作⎰dx x f )(.若F(x)是f(x)的一个原函数,则⎰+=)()()(是任意常数C Cx F dx x f2.不定积分的性质(1)积分运算与微分运算互为逆运算.()()⎰⎰⎰⎰+=+='==.)()()()(,)()()()(C x F x dF C x F dx x F dx x f dx x f d x f dx x f dxd 或或(2)⎰⎰≠=)0()()(k dxx f k dx x kf 常数(3)⎰⎰⎰±=±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f3.基本积分公式kdx kx c =+⎰ 11x x dx c μμμ+=++⎰cos sin xdx x c =+⎰ sin cos xdx x c =-+⎰四、定积分【定义】(定积分) 函数)(x f 在区间[a,b ]上的定积分定义为∑⎰=→∆∆==ni iix baxf dx x f I 1)(lim)(ξ,【定理】(牛顿-莱布尼茨公式) 若函数)(x f 在区间[a,b ]上连续,)(x F 是)(x f 在[a,b ]上的一个原函数,则)()()()(a F b F abx F dx x f ba-==⎰.上述公式也称为微积分基本定理,是计算定积分的基本公式.常见应用1.一石砌堤,堤身在基石上,高为h,宽为b,如图所示。

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