复递增年金和每年支付m次的变额年金

• 【练习】某期末付年金每年付款4次，首 次付款为1000元，以后每次付款较前一 次付款增加1000元，共付款5年，年实 际利率为8%。计算第5年年末的年金积 累值。
每年支付m次的递减年金
(D a )n
(m )

n an i
(m )
(D s)n
(m )

n (1 i ) s n
n
i
(m )
(i r )
• 若
i k
，则
n 1 i
PV nv
• 【例3-7】投资者拥有一项10年期期末 付的递增年金，第一年末付1000元，此 后的给付金额按复利5%递增，假设年实 际利率为11.3%，请计算这项年金时刻0 的现值
期初付递增年金
• 假设一项期初付年金各期付款额成 等比数列，即各期付款额依次 为：1 , (1 r ) , (1 r ) , , (1 r ) 。则该 年金现值为：
复递增年金和每年支付m 次的变额年金
复递增年金
• 复递增年金，是指付款金额按照某一固 定比例增长的年金。 • 用来分析通货膨胀下的现金流。
期末付递增年金
• 各年付款额成等比数列关系。若某期末付 年金各期付款额成等比数列，即各期付款 额为： , (1 r ) , (1 r ) , , (1 r ) 。则该年金 1 现值为：
(D a )n
(m )

n an d
(m )
( D ) n s
(m )

n (1 i ) s n
n
d
(m )
• 【例3-8】投资者拥有一份20年期的期 初付递增年金，该年金在第一年初给付 200元，以后给付今额按10%的复利递 增，假设年实际利率为5%，请计算此项 年金在时刻零时的现值。
• 当 n
时，上述年金变为永续年金。
• 若 1 k ，即 时，V(0)存在，可 1 k i 以计算出该年金的现值； 1 i
• 若 ，即
1 k 1 i 1
时，（1）式发散。
k i
• 若i
k
时，永续年金的现值不存在的。
• 【练习】某期末付永续年金首期付款额 为5000元，以后每期付款额是前一期付 款额的1.05倍。当利率分别为0.04、 0.05和0.08时，计算该永续年金的现值。
每年支付m次的变额年金
• 每年支付m次的递增年金 • 每年支付m次的递减年金
付款频率大于计息频率的等差递 增型年金
• 每个计息期内的m次付款额保持不变。若 m次的付款的每次付款额相等,则其和为1 单位付款的倍数。付款的增长发生在每个 计息期期初。增长幅度为1/m，故增长后 本付款期付款总额要比上一次付款期付款 额增长1单位。从计息期看，每个计息期 付款总额成等差数列，但每个计息期内的 付款总额却保持不变，这种变化年金的现 值用符号表示 ( Ia ) ，且有
(m ) n

iv i an nv i
(m )
a n (1 i ) n v i
(m )
( Is ) n
(m )
( Ia ) n (1 i )
(m ) n
n sn i
(m )
• 【例3-9】某项年金在第1年的每月末支 付2000元，在第2年的每月末支付2100 元，在第3年的每月末支付2200元，… 在第10年的每月末支付3000元。假设年 实际利率为5%，计算该年金的现值。
(m ) n
( Ia ) n
(m )

1 m n m
1 m
2 m
(v v v )
n 1 1 m
2 m
1
1 m
(v
n
v
1
2 m
v )
2
(v
v
n 1
2 m
v )
v ( Ia ) n
(m )

1 m n m
1
1 m
(v
n
v v
1
2 n 1
P V 1 v (1 r ) v (1 r ) v
2 2
n 1
(1 r )
n 1
•

1 [ v (1 r )] 1 v (1 r )
n
1 (
1 r
1 i ir
)
n
(i r )
（1）
1 i
• 若
i kபைடு நூலகம்
，则
PV n
2 n 1
P V v v (1 r ) v (1 r ) v (1 r )
2 3 2 n
n 1
v [1
1 r 1 i
(
n
1 r 1 i
) (
2
1 r 1 i
)
n 1
]
•

1 r 1 1 i ir
（1）
v
n 1
)
1 n 1
1 v m (1 v ) n v v m (1 v ) 1 v n iv [ ] 1 1 (m ) m m i 1 vm 1 vm
1 v ( Ia ) n
(m )
n

1 v n iv
n
n 1
nv
(m ) n
n
iv i
2 m
v )
2
2 m
2
1 m
(v
v
2
2 m
v )
3
1 m
n
2 m
(v
v
n 1
)
iv ( Ia ) n
(m )

1 m
1
2
(v m v m v v
1 n n
1
1 m
v
1
2 m
v )
n n
n m
n
1 m
(v
v
n
2 m