复递增年金和每年支付m次的变额年金
保险精算学公式
《精算技术》公式
第一章
利息理论
1n
n v a i
-=；
()11n
n n v a a i d
-=+=；
()
()11
1n
n
n n i s a i i
+-=+=
；
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=11511000x l x ；
1a i ∞=；
1a d
∞=；
1n
n v a δ
-=
；
()11
n
n
i s δ
+-=
；
()n
n n
a nv Ia i
-=
；
()()()1n
n n n s n Is Ia i i
-=+=；
()n
n
n a Da i
-=；
()()1n
n
n n i s Ds i
+-=
；
()211Ia i i
∞
=+。
第二章
生命表
22x
x x
m q m =
+；
1x x x l l d +=-； x x x d q l =；
()11
2
x x x L l l +=
+； 1
x x x t t T L ϖ--+==
∑
；
x
x x
T e l =
。
第三章 生存年金
生存年金的概念及其种类。
生存年金现值计算公式
x a :x n a
:x n a
|n x a
x a
m x a
m x a
)m ()m x a
x a -12m m -()
|
m n x a x +12m m -n ()|
m n x
a x a -12m m -n ():m x n a +12m m -(1-()
:m x n
a :x n a -12m m
-(1-x a
x
N D :x n a
x N D -)x Ia :)x n Ia
:)x n Ia
)x n a
)x a
:)x n Da
:)x n Da
)x Ia
)x Ia
各种年金之间的关系式：
x a =:x n a +|n x a
|
n x a =n x E x n a +
[经济学]2利息理论——年金
![[经济学]2利息理论——年金](https://img.taocdn.com/s3/m/2a03e7ed2cc58bd63186bd96.png)
贷款本金是B0 ，年实际利率为i
27
等额分期偿还表
时期 付款金额 支付利息 偿还本金 未偿还贷款 余额
0 1 … k
— R … R
— R(1-vn) … R(1-vn-k+1)
— Rvn … Rvn-k+1
Ra｜ ni
Ran ｜ 1i
… Ran k i ｜
…
n
总计
…
R nR
…
R(1-v)
nR Ra｜ ni
4.王强从银行贷款100000元，计划从第七个月开始每月末等额 还款，若银行规定在借款后三年内还清本息，设年实际利率为 16％，求每月需还款额。 5.假设10000元半年后成为12000元，求 (1)i（2）； (2)d（3）； (3)i。 6.某年金第一年收付200元，以后每隔一年增加收付100元，增 加到一次收付1000元时不再增加，并一直保持每年1000元的水 平连续收付。假定年利率12％，求这一年金的现值。
( m) a ｜ ( m) a ｜
1 i
( m)
1 d
( m)
19
变额年金
变额年金是每次收付额不等的年金 常见的有，
每次收付额等差递增或递减 每次收付额等比递增
20
变额递增年金
如果在n年定期内，第一年末收付1单位元，第2年末收付2 单位元，以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现 值以 （Ia) 表示。
复递增年金和每年支付m次的变额年金
付款频率大于计息频率的等差递
增型年金
• 每个计息期内的m次付款额保持不变.若m
次的付款的每次付款额相等,则其和为1单
位付款的倍数.付款的增长发生在每个计
息期期初.增长幅度为1/m,故增长后本付
款期付款总额要比上一次付款期付款额增
长1单位.从计息期看,每个计息期付款总额
成等差数列,但每个计息期内的付款总额
• 若 i k ,则
PV n
• 例3-8投资者拥有一份20年期的期初付 递增年金,该年金在第一年初给付200元, 以后给付今额按10%的复利递增,假设年 实际利率为5%,请计算此项年金在时刻 零时的现值.
• 当 n 时,上述年金变为永续年金.
•
若 出该11 年 ki 金 1的,即现值k；
复Baidu Nhomakorabea增年金和每年支付m 次的变额年金
复递增年金
• 复递增年金,是指付款金额按照某一固定 比例增长的年金.
• 用来分析通货膨胀下的现金流.
期末付递增年金
• 各年付款额成等比数列关系.若某期末付 年金各期付款额成等比数列,即各期付款 额为：1 ,(1 r),(1 r)2, ,(1 r)n 1.则该年金 现值为：
PV vv2(1r)v3(1r)2 vn(1r)n1
v[11r (1r)2 (1r)n1]
1i 1i
1i
•
《 金融数学》复习提纲2024秋
《金融数学》复习提纲
（2024版）
利息度量
累积函数()a t 是单位本金在时间t 的累积价值，反映了资金随着时间增长变化的过程。在已知累积函数的情况下，就可以确定资金在任意时点上的价值。在实践中，常用的两种计息方式是单利和复利，单利的累积函数为()1a t it =+，复利的累积函数为()(1)t
a t i =+，其中i 表示年利率。
贴现函数是累积函数的倒数，表示时间t 的单位资金在时间零点的现值，记为1
()a t −。累积函数用于计算资金的终值，贴现函数用于计算资金的现值。复利计息方式下的贴现函数为1()(1)(1)t t
a t i d −−=+=−。
单利的年有效利率随着时间而递减。复利的年有效利率是一个常数，恒等于复利的年利率。如果没有特别说明，本书的利息度量工具都是基于复利的累积函数定义的，包括有效利率、有效贴现率、年名义利率、年名义贴现率和利息力。
有效利率和有效贴现率可以定义在任意长度的时间区间。有效利率等于当期利息与期初本金之比；有效贴现率等于当期利息与期末累积值之比。在实践中，任意时间区间上定义的有效利率通常会表示为年名义利率的形式。
年名义利率也称为年化利率，定义为一个时间区间上的有效利率除以该时间区间的长度，也可以定义为一个时间区间上的有效利率乘以一年包含的区间个数，记为()
m i 。年名义
利率()
m i
表示将一年等分为m 个时间区间后，每个区间的有效利率为()
/m i
m 。
年名义贴现率也称为年化贴现率，定义为一个时间区间上的有效贴现率除以该时间区间的长度，也可以定义为一个时间区间上的有效贴现率乘以一年包含的区间个数，记为()
复递增年金和每年支付m次的变额年金
-
复递增年金
• 复递增年金，是指付款金额按照某一固 定比例增长的年金。
• 用来分析通货膨胀下的现金流。
-
期末付递增年金
• 各年付款额成等比数列关系。若某期末付 年金各期付款额成等比数列，即各期付款
额为：1 ,(1 r),(1 r)2,L ,(1 r)n 1。则该年金 现值为：
•若
，即
时，（1）式发散。
1 k 1 1 i
ki
• 若 i k 时，永续年金的现值不存在的。
-
• 【练习】某期末付永续年金首期付款额 为5000元，以后每期付款额是前一期付 款额的1.05倍。当利率分别为0.04、 0.05和0.08时，计算该永续年金的现值。
-
每年支付m次的变额年金
• 每年支付m次的递增年金 • 每年支付m次的递减年金
• 【例3-9】某项年金在第1年的每月末支 付2000元，在第2年的每月末支付2100 元，在第3年的每月末支付2200元，… 在第10年的每月末支付3000元。假设年 实际利率为5%，计算该年金的现值。
-
• 【练习】某期末付年金每年付款4次，首 次付款为1000元，以后每次付款较前一 次付款增加1000元，共付款5年，年实 际利率为8%。计算第5年年末的年金积 累值。
-
付款频率大于计息频率的等差递
关于国有平台公司健康发展的思考
232
大众商务
国有平台公司作为地方政府投融资平台，可以把银行资金优势、政府信用优势和市场力量、社会资本结合起来，在扩大内需、促进地方经济发展，特别是加强基础设施建设和民生工程建设等方面发挥了积极作用。但随着我国经济的不断发展，国有平台公司问题日趋明显，其生存和发展面临严峻考验。国有平台公司应规范自身制度建设，以在激烈的市场竞争中取得优势。
一、国有平台公司加强经营管理的重要意义
（1）有助于树立公司良好的形象。加强国有平台公司经营管理，不断提升民生工程质量及服务质量，可以更好地维护群众利益、赢得群众拥护、取得群众支持。同时，通过加强经营管理，建立员工培训机制，规范员工行为，能够使员工不断充实和完善自己，提升员工素质和形象，从而树立良好的公司形象。
（2）有助于提高公司的运作效率。加强国有平台公司经营管理，可以使公司确定科学合理的经营目标及明确的发展方向，完善公司制度，强化工作纪律，使公司员工团结协作，服从并服务于公司，快速解决问题。加强经营管理，对不合理、不规范的公司制度和工作流程进行梳理、修订和完善，可以使各部门加快工作进度，更高效地完成各项工作任务。通过合理设置考核机制，调动公司员工工作热情，提高公司员工的工作效能，保障公司的高效快速发展。
（3）有助于规范公司的财务核算。加强国有平台公司经营管理，以相关会计法规、准则为依据，完善公司财务预算、资金管理、决算管理、债务管理制度，健全财务管理制度体系，规范财务基础管理工作，加强日常监督，完善内控机制，规范公司财务核算，真实、完整地提供会计信息。
利息理论课程标准
利息理论课程标准
课程目标1：掌握度量利息的基本工具，掌握各类不同年金的计算方法，掌握不同收益率的计算方法及收益分配方法，掌握不同债务偿还方式的本金及利息的计算，掌握基本金融工具债券和股票的分析方法，掌握久期和凸度的计算方法，熟悉利率的期限结构。
课程目标2：熟练使用电子表格进行利息、等额年金、变额年金、收益率、债务偿还、利率风险、利率的期限结构的计算和绘图。
课程目标3：能够应用利息度量工具进行基本的现金流分析，计算投资收益率；根据年金的基本知识构造债务偿还表，分析相关债务偿还情况；掌握基本金融工具债券和股票的分析方法；能够运用久期和凸度等方法进行基本的利率风险管理，熟悉利率的期限结构。
三、课程目标与毕业要求的关系
1、课程目标与毕业要求的对应关系
参考《数学学院课程目标达成度评价方法》进行评价。
九、本课程各个课程目标的权重
依据第八部分中的课程目标达成度评价方法，计算得到本课程的各个课程目标的权重
如下:
根据学生的课堂表现、作业、平时测验和期末考试情况及教学督导的反馈，检验学生对本课程涉及的学科素养和学会反思的达成情况，及时对教学中的不足之处进行改进，调整教学指导策略；根据学生的课堂表现、作业、平时测验及期末考试成绩，检验本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况;根据本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况，在本学院教学指导委员会指导下，重新修订本课程大纲，实现持续改进。
十一、推荐教材及分考书目
1教材
1.孟生旺.金融数学（第四版）[M].北京：中国人民大学出版社，2014.
2.参考书目
第三章变额年金1
1 1 1…1
等
额
1 1 1…
年
………
金
111
11
1
17
因此递减年金的现值也可以表示为上述等额年金的现 值之和，即：
(D a ) a a a
n n n 1
1
1vn1vn1 1v
i
i
i
n(vnvn1 v) =
i
na
=
n
i
18
na
(Da) n|
n|
i
递减年金的其他公式：
n a n ( 1 i)n s
d | n n| n
1 d2
(1 1 ) 2 i
在计算上述极限时，
limnvn
n
lni m(1ni)n
0
11
一般递增年金：例
P P＋Q P＋2Q
……
P＋(n-2)Q
0123
……
n-1
设A表示此年金的现值，则
P＋(n-1)Q
n
A P aQ v(Ia )
n
n 1
12
例：某人希望购买一项年金，该项年金在第一年末的付款 为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。 如果年实际利率为5%，这项年金的现价应该是多少？
解：这项年金可以表示为一项等额年金（每年末付款900 元）和100项递增年金的和，即
新利息理论教案第3章
第3章：变额年金
本课程第2章讨论的都是等额支付的年金问题。本章将讨论年金不相等的情况。如果每次支付的金额没有任何变化规律，那么只好分别计算每次付款的现值与终值，然后将其相加求得年金的现值与终值。但某些变额年金仍然是有规律可循的，本节将讨论这方面的年金。
第3.1节：递增年金
本节内容：
3.1.1期末付递增年金
假设第一期末支付1元，第二期末支付2元，…，第n 期末支付n 元，那么这项年金就是按算术级数递增的。 一、年金现值
()
n
Ia
如果用()n
Ia 表示其现值，则有
2323...()
n
n
v v v nv Ia =++++
（1）公式推导过程：
上式两边同乘（1+i ）
21
(1)123...()n n
i v v nv Ia -+=++++
用第二式减去第一式
231(1...)()n n
n
i v v v v nv Ia -=+++++-
n
n nv a =-
所以：
()
n
Ia n n
nv i
a
-=
（2）公式的另一种推导思路（略） 二、年金终值
()
n
Is
1(1)
(1)()()
n
n n n n
s n
s n i Ia i i Is +--+=+=
=
三、例题
例1、一项20年期的递增年金，在第1年末支付65元，第2年末支付70元，第3年末支付75元，以此类推，最后一次支付发生在第20年末，假设年实际利率为6%，求此项年金在时刻零的现值。
解：最后一次支付的金额应该为65195160+⨯=元。将此年金分解成一项每
年末支付60元的等额年金和一项第1年末支付5，每年递增5元的递增年金。这时：
上述年金的现值为：20
20
51181.70
第三章变额年金(1)
50 eu du
0
0.5
2 50 exp 0.1 t 0.06 t 0
0.5
2.68
25
非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a > 0， 结束时刻为b，计算在0点的现值：
方法一：计算此现金流在时刻 a 的现值，再将此现值从 时刻a贴现到时刻零。
n n
t
n
n
n exp( n) 1 2 exp( t ) 0
n exp( n) exp( n) 1
n
2
2
1 exp( n) n exp( n)
an nv n
v e
11
16
例：一项连续支付的永续年金在时刻 t 的付款比率为 3t， 付款从 0 时刻起并一直延续下去，年实际利率为5％，则 其现值为：
3( Ia ) 3 1
ln(1.05)
2
1260.25
17
3.8、连续支付连续递减年金
连续支付，连续递减。假设某项年金的支付期为 n 年，在 时刻 t 的付款比率为 n t，固定利息力为，则称此年金为 一项连续递减年金，其现值用符号 ( Da )n 表示。 连续递减年金的现值公式：
保险精算学公式
《精算技术》公式
第一章
利息理论
1n
n v a i
-=；
()11n
n n v a a i d
-=+=；
()
()11
1n
n
n n i s a i i
+-=+=
；
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=11511000x l x ；
1a i ∞=；
1a d
∞=；
1n
n v a δ
-=
；
()11
n
n
i s δ
+-=
；
()n
n n
a nv Ia i
-=
；
()()()1n
n n n s n Is Ia i i
-=+=；
()n
n
n a Da i
-=；
()()1n
n
n n i s Ds i
+-=
；
()211Ia i i
∞
=+。
第二章
生命表
22x
x x
m q m =
+；
1x x x l l d +=-； x x x d q l =；
()11
2
x x x L l l +=
+； 1
x x x t t T L ϖ--+==
∑
；
x
x x
T e l =
。
第三章 生存年金
生存年金的概念及其种类。
生存年金现值计算公式
x a :x n a
:x n a
|n x a
x a
m x a
m x a
)m ()m x a
x a -12m m -()
|
m n x a x +12m m -n ()|
m n x
a x a -12m m -n ():m x n a +12m m -(1-()
:m x n
a :x n a -12m m
-(1-x a
x
N D :x n a
x N D -)x Ia :)x n Ia
:)x n Ia
)x n a
)x a
:)x n Da
:)x n Da
)x Ia
)x Ia
各种年金之间的关系式：
x a =:x n a +|n x a
|
n x a =n x E x n a +
浅谈货币时间价值与各类年金
230
大众商务
年金（Annuity)，是一种特殊的现金流，定义为一系列的付款或收款。由年金延伸出的各种计算问题关系生活的方方面面，小到分期付款大到养老金的领取等都涉及年金理论的应用。
一、年金
年金最早的含义是指一种支付时间和支付金额非常规律的现金流，通俗来讲就是，每年付款一次，每次支付相同金额。现在，年金的含义更广泛应用于一般的情形，如每季付款一次、每月付款一次，或每周付款一次都可以称作年金。同时，支付金额也可以是按照某种特定规律变化。年金在我们的经济生活中非常普遍，如支付房屋的租金、商品的分期付款、分期偿还贷款、发放养老金、银行存储，又或是人人热衷的投资，都属于年金。由此可见，年金与我们的生活联系紧密。
二、货币时间价值在年金上的体现
货币的时间价值，是指由于时间因素的作用而使现在一笔货币资金高于将来某个时期的同等金额的数量差额，或指货币资金随时间的推移所具有的增殖能力。换言之，即同样数量的货币，在今天比在今后某个时期价值更高。如果把一笔货币作为本金，经过一段时间，就会带来利润，使自身得到增殖。比如，现在的1元，按社会利率在未来得到增殖；反过来，未来的1元要按贴现率缩小，才能得到它在现在的价值。货币的时间价值反映的是人们对货币资金的利用效果。货币时间价值有现在值、将来值、等年值三种形式。这几种形式，对应到年金上，也就是我们常说的年金的现值、终值以及一定时间内以每年等额支付的费用。
三、年金的分类
现实中的年金多种多样，我们可以从不同的角度对它们进
行分类。第一，确定年金和风险年金。按照支付时间和支付金额，将两者为事先确定的年金视为确定年金；而两者都不确定则视为风险年金，而现实生活中很多情况下都是风险年金。第二，定期年金和永续年金。支付期限有限的年金则视为定期年金；如果支付期限无限，则为永续年金。某些特殊情形下也可视为永续年金，如没有到期期限的西方债券或是无到期日的优先股。第三，期初付年金和期末付年金。在每个支付周期初支付的年金称为期初付年金；在每个支付周期末支付的年金称为期末付年金。第四，即期年金和延期年金。按照第一次支付时间的时点不同，我们将第一期就开始支付的年金称为即期年金。第五，等额年金和变额年金。等额年金每次付款金额相等，变额年金每次支付金额不等。
保险精算学公式
精算技术公式
第一章 利息理论
1n
n v a i
-=；
()11n
n n v a a i d
-=+=；
()
()11
1n
n
n n i s a i i
+-=+=
；
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=11511000x l x ；
1a i ∞=；
1a d
∞=；
1n
n v a δ
-=
；
()11
n
n
i s δ
+-=
；
()n
n n
a nv Ia i
-=
；
()()()1n
n n n s n Is Ia i i
-=+=
；
()n
n
n a Da i
-=
；
()()1n
n
n n i s Ds i
+-=
；
()211Ia i i
∞
=+;
第二章 生命表
22x
x x
m q m =
+；
1x x x l l d +=-； x x x d q l =；
()11
2
x x x L l l +=
+； 1
x x x t t T L ϖ--+==
∑
；
x
x x
T e l =
;
第三章 生存年金
生存年金的概念及其种类;
生存年金现值计算公式
x a :x n a
:x n a
|n x a
x a
m x a
m x a
)m ()m x a
x a -12m m -()
|
m n x a x +12m m -n ()|
m n x
a x a -12m m -n ():m x n a n +12m m -1-()
:m x n
a :x n a -12m m -1-x a
x
x N D :x n a
x N N D -)x Ia :)x n Ia
:)x n Ia
)x n a
)x a
:)x n Da
:)x n Da
)x Ia
)x Ia
各种年金之间的关系式：
x a =:x n a +|n x a
金融数学课程大纲
《金融数学》课程大纲
教学目的：
通过本课程的学习，让学生掌握利率度量的基本工具，可以计算年金的现值和累积值，熟悉收益率的计算和应用，掌握债务偿还的两种主要方法，可以计算债券的价格和账面值，理解远期、期货、互换和期权的基本概念及其基本定价方法，熟悉久期和凸度的概念及其应用。
课程简介：
本课程的主要教学内容包括：利率、贴现率、利息力和累积函数等利率度量的基本工具，等额年金和变额年金的现值和累积值的计算，币值加权收益率和时间加权收益率的概念、计算及其应用，债务偿还的两种主要方法（分期偿还法和偿债基金法），债券价格和账面值的计算，远期、期货、互换和期权的基本概念及其基本的定价方法，久期和凸度的概念及其在利率风险管理中的应用。
教学进度和教学内容：
第一讲利息度量
累积函数和实际利率的概念，单利和复利的累积函数，实际贴现率及其与实际利率的关系。必读文献：（1）Chris Ruckman,Joe Francis, Financial Mathematics, BPP Professional Education. 2005.Chapter 1. （2）孟生旺，《金融数学》，中国人民大学出版社，2009年版，1-17页。
第二讲利息度量和等额年金
名义利率的概念及其与实际利率的关系，利息力的概念及其与实际利率和名义利率的关系，等额年金的含义及其现值的计算。
必读文献：（1）Chris Ruckman,Joe Francis, Financial Mathematics, BPP Professional Education. 2005.Chapter 1. （2）孟生旺，《金融数学》，中国人民大学出版社，2009年版，18-44页。
保险精算生存年金课件讲解
对（x）的每年给付1元，一年给付m次的期首付终身生存年
金 (k=，0,其1,2精,…算…现)上值收以付ax(1m/m)表，示直，到这被一保年险金人在死每亡个为x止。mk
ax(m)
1 m
k 0
k Ex
m
1 m
k 0
k
m k px
m
20
近似公式
对（x）的每年1单位元，每次1/m的期首付的终身生存年金精算现值
第六章 生存年金
1
生存年金产品
生存年金是以年金方式在被保险人生存期内的一系列给付， 保险费通常采取在投保时一次性缴付的趸缴方式或者在一 定时期内的均衡缴付的方式。
生存年金形式：
即期年金（immediate annuities） 延期年金(deferred annuities) 定期确定的生存年金 指数化年金 联合生存年金
期末付的年金现值
n
(Da) x:n
(n - k) k k px
k 1
28
等比例变额生存年金
实践中，某些给付确定型养老金计划和社会养老保险的收付额等
比例递增，这种等比例递增的年金精算现值有一个简化计算公式。
如果对(x)的n年定期期首付生存年金，给付额在年龄x，x+1，…，
x+n-1上分别为b，b(1+g)，b(1+g)2，…，b(1+g)n-1，其精算现值为
第四章-变额年金
1
6(0 I(4)0 a)(4 0)1 5
6
05i0 (4)0
s(4)5
160(I0(4)s0)(4) 5
16050i(40 )
2237.207元 7
2021/4/9
44
八、连续变额年金
❖ 1、连续均匀递增年金
(Ia) n
ntvtdt
0
a n
nv n
s n
(Is) n
n
2021/4/9
45
❖ 或：
2021/4/9
42
已知：n=5 m=4 i=4%
❖ 解：i(4)=0.039414
❖ 1)
40(0Ia 0 )(4) 5
a 5v5 4005i0(4)
527.99元 03
s 5
4
0(0Is0)(4) 5
4005i(04)
642.73元 81
2021/4/9
43
❖ 2）
1 1 m 2 16
1838.37元 11 a (4)5v5
2021/4/9
20
两边同乘(1+r)v，得：
(1r)va (1r)v2(1r)2v3 (1r)nvn 1
两式相减得：
[1 (1 r)v ]a v (1 r)n v n 1
irav[1(1r)n]
1i
1i
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• 【练习】某期末付年金每年付款4次，首 次付款为1000元，以后每次付款较前一 次付款增加1000元，共付款5年，年实 际利率为8%。计算第5年年末的年金积 累值。
每年支付m次的递减年金
(D a )n
(m )
n an i
(m )
(D s)n
(m )
n (1 i ) s n
n
i
(m )
(i r )
• 若
i k
，则
n 1 i
PV nv
• 【例3-7】投资者拥有一项10年期期末 付的递增年金，第一年末付1000元，此 后的给付金额按复利5%递增，假设年实 际利率为11.3%，请计算这项年金时刻0 的现值
期初付递增年金
• 假设一项期初付年金各期付款额成 等比数列，即各期付款额依次 为：1 , (1 r ) , (1 r ) , , (1 r ) 。则该 年金现值为：
复递增年金和每年支付m 次的变额年金
复递增年金
• 复递增年金，是指付款金额按照某一固 定比例增长的年金。 • 用来分析通货膨胀下的现金流。
期末付递增年金
• 各年付款额成等比数列关系。若某期末付 年金各期付款额成等比数列，即各期付款 额为： , (1 r ) , (1 r ) , , (1 r ) 。则该年金 1 现值为：
(D a )n
(m )
n an d
(m )
( D ) n s
(m )
n (1 i ) s n
n
d
(m )
• 【例3-8】投资者拥有一份20年期的期 初付递增年金，该年金在第一年初给付 200元，以后给付今额按10%的复利递 增，假设年实际利率为5%，请计算此项 年金在时刻零时的现值。
• 当 n
时，上述年金变为永续年金。
• 若 1 k ，即 时，V(0)存在，可 1 k i 以计算出该年金的现值； 1 i
• 若 ，即
1 k 1 i 1
时，（1）式发散。
k i
• 若i
k
时，永续年金的现值不存在的。
• 【练习】某期末付永续年金首期付款额 为5000元，以后每期付款额是前一期付 款额的1.05倍。当利率分别为0.04、 0.05和0.08时，计算该永续年金的现值。
每年支付m次的变额年金
• 每年支付m次的递增年金 • 每年支付m次的递减年金
付款频率大于计息频率的等差递 增型年金
• 每个计息期内的m次付款额保持不变。若 m次的付款的每次付款额相等,则其和为1 单位付款的倍数。付款的增长发生在每个 计息期期初。增长幅度为1/m，故增长后 本付款期付款总额要比上一次付款期付款 额增长1单位。从计息期看，每个计息期 付款总额成等差数列，但每个计息期内的 付款总额却保持不变，这种变化年金的现 值用符号表示 ( Ia ) ，且有
(m ) n
iv i an nv i
(m )
a n (1 i ) n v i
(m )
( Is ) n
(m )
( Ia ) n (1 i )
(m ) n
n sn i
(m )
• 【例3-9】某项年金在第1年的每月末支 付2000元，在第2年的每月末支付2100 元，在第3年的每月末支付2200元，… 在第10年的每月末支付3000元。假设年 实际利率为5%，计算该年金的现值。
(m ) n
( Ia ) n
(m )
1 m n m
1 m
2 m
(v v v )
n 1 1 m
2 m
1
1 m
(v
n
v
1
2 m
v )
2
(v
v
n 1
2 m
v )
v ( Ia ) n
(m )
1 m n m
1
1 m
(v
n
v v
1
2 n 1
P V 1 v (1 r ) v (1 r ) v
2 2
n 1
(1 r )
n 1
•
1 [ v (1 r )] 1 v (1 r )
n
1 (
1 r
1 i ir
)
n
(i r )
（1）
1 i
• 若
i kபைடு நூலகம்
，则
PV n
2 n 1
P V v v (1 r ) v (1 r ) v (1 r )
2 3 2 n
n 1
v [1
1 r 1 i
(
n
1 r 1 i
) (
2
1 r 1 i
)
n 1
]
•
1 r 1 1 i ir
（1）
v
n 1
)
1 n 1
1 v m (1 v ) n v v m (1 v ) 1 v n iv [ ] 1 1 (m ) m m i 1 vm 1 vm
1 v ( Ia ) n
(m )
n
1 v n iv
n
n 1
nv
(m ) n
n
iv i
2 m
v )
2
2 m
2
1 m
(v
v
2
2 m
v )
3
1 m
n
2 m
(v
v
n 1
)
iv ( Ia ) n
(m )
1 m
1
2
(v m v m v v
1 n n
1
1 m
v
1
2 m
v )
n n
n m
n
1 m
(v
v
n
2 m