第九章 拉氏变换 PPT
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线性代数-拉普拉斯变换
1/s的拉氏逆 变换为哪 个？？？
(2)L[sgn t]
(sgn
t )e st dt
0
estdt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s)
0
即：L[sgn t] 1 , Re(s) 0； s
(3)L[1]
est dt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L[1] 1 , Re(s) 0. s
2023/9/8
1
第七章 拉普拉斯变换
➢ 7.1 拉普拉斯变换的概念 ➢7.2 拉氏变换的性质 ➢7.3 拉普拉斯逆变换 ➢7.4 拉氏变换的应用及综合举例
2023/9/8
2
第一节 拉普拉斯变换的概念
1．拉普拉斯变换的定义
定义1：设函数f (t)当t 0时有定义，而积分 f (t)estdt，(s为一个复参量) 0
3
3
s
所以
L[u(3t 5)]
L[u(t 5)]
1
e
5 3
s
.
3s
2023/9/8
17
➢ 五、周期函数的拉氏变换
设 f (t),t 0 是[0, )内以T为周期的周期函数，且f (t)在一个周期内
逐段光滑，则
L[
f
(t)]
拉普拉斯变换PPT课件
1 es t
1
0
s 0s
ut 1
s
Res 0
例3 求函数 f (t) ek t 的拉氏变换 k R.
解
ℒ
f (t)
ektest dt e(sk )t dt 1
0
0
sk
ekt 1
sk
Res k
例4 求单位斜坡函数
t
0
t
t 0 t u t 的拉氏变换
t0
解
tn
n! s n 1
例6 求正弦函数 f (t) sin k t (k R) 的拉氏变换
解 ℒ f (t) sin k t estdt 1 sin k t dest
0
s0
1 s
e s t
sin
k
t
0
k
0
est
cos
k
tdt
1 s2
0
est
cos
k
tdt
则
0
1
s2 sin
est cos k k t est dt
t
0
k s2
k
0
k2 s2
e
st
0
sin k tdt
sin k t e
s
t
dt
所以
ℒ
sin k
t
信号与系统课件第9章 拉普拉斯变换
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正
变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频
域分析。 最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
信号 f (t )，乘以衰减因子 e
t
( 为任意实数)后容易满足
绝对可积条件，依傅氏变换定义：
F1 F f (t ) e
t
t j t f ( t )e e d t
令 : j s , 具有频率的量纲 , 称为复频率。
f (t ) e
( j ) t
d t F ( j )
则
F s f t e
s t
dt
2．拉氏逆变换 j t F j f t e dt F s f t e s t dt f t e t 是F j 的傅里叶逆变换 1 t j t f t e F j e d
t
σ t
0
jω
σ σ 0
wenku.baidu.com收敛轴
收敛区 收敛坐标 σ0
拉普拉斯变换l
第九章 拉普拉斯变换
线性动态电路的求解方法
时域分析法(经典法)
基本思路：建立电路的输入-输出方程并寻 求此方程满足给定初始条件的解。
特点：对应方程为线性微分方程。适用于 求解动态电路的暂态响应。
优点：常用三要素法求解一阶电路的暂态 响应。
不足：对于高阶动态电路，其计算相当复 杂。
正弦稳态分析的相量法（频域分析法）
➢积分的结果不再是 t 的函数，而是s的函 数。拉氏 变换是把一个时间域的函数f(t)变换到 s 域内的复变 函数F(s)。
➢变量 s 称为复频率。应用拉氏变换法进行电路分 析称为电路的一种复频域分析方法，又称运算法。
➢ 拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及t=0时f(t)包 含的冲激的情况，从而给计算存在冲激函数电压和 电流的电路带来方便。
➢ 在研究天体问题的过程中，他创造和发展了许多 数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、 拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各 个领域有着广泛的应用。
➢ 十九世纪初，三位数学界的泰斗级人物拉格朗日、 拉普拉斯、勒让德并称为法国的3L。
➢ 从数学和力学的角度严格论证了星云说理论。
➢ 把上帝赶出宇宙的人。
dt
f (t )
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
0
由分部积分法 udv uv vdu
线性动态电路的求解方法
时域分析法(经典法)
基本思路：建立电路的输入-输出方程并寻 求此方程满足给定初始条件的解。
特点：对应方程为线性微分方程。适用于 求解动态电路的暂态响应。
优点：常用三要素法求解一阶电路的暂态 响应。
不足：对于高阶动态电路，其计算相当复 杂。
正弦稳态分析的相量法（频域分析法）
➢积分的结果不再是 t 的函数，而是s的函 数。拉氏 变换是把一个时间域的函数f(t)变换到 s 域内的复变 函数F(s)。
➢变量 s 称为复频率。应用拉氏变换法进行电路分 析称为电路的一种复频域分析方法，又称运算法。
➢ 拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及t=0时f(t)包 含的冲激的情况，从而给计算存在冲激函数电压和 电流的电路带来方便。
➢ 在研究天体问题的过程中，他创造和发展了许多 数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、 拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各 个领域有着广泛的应用。
➢ 十九世纪初，三位数学界的泰斗级人物拉格朗日、 拉普拉斯、勒让德并称为法国的3L。
➢ 从数学和力学的角度严格论证了星云说理论。
➢ 把上帝赶出宇宙的人。
dt
f (t )
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
0
由分部积分法 udv uv vdu
第九章拉普拉斯变换
2021/3/11
5
拉普拉斯变换的收敛域与零极点
收敛域：Region of Convergence ( ROC )
一般把使积分 X(s) x(t)estdt 收敛的s值的范
围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。
Im (s)
R{es}a
a
R e(s)
2021/3/11
6
Im {s}
Im {s}
A 1k(k 11)d !dkk s 1 1[s(a1)kX(s)|]sa1
2021/3/11
37
例：已知：
X(s)
s2 s(s1)3
R{es}0
求x(t)
将X(s)进行部分分式展开：
X(s)(sA 11)13(sA 11)22sA 113B s A 1A 2 1d 1(X X ((s s)d )s s(( s1 1 ))3 3)|s |s 1 1 sd s(2 s d | s s 2 1 s) |s 3 1s 2 2|s 12
利用傅立叶反变换：
x(t )et F1{X(j)}
21 X(j)ejtd
2021/3/11
24
x(t )et 21 X(j)ejtd
两边同乘以 e t
x(t)1
X (
j
)e(j)td
2
即可从拉氏变换中恢复x(t)：
电路原理-拉普拉斯变换PPT课件
c
j
F
(
s)e
st
ds
=
1[F(s)]
2π j c j
式中c为正的有限常数。用符号 1[ ]表示对方 括号里的复变函数作拉氏反变换。 (inverse Laplace
transform)
6
二、典型函数的拉普拉斯变换
例1 求单位阶函数 ( t )的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0
R( s )
b1s b0 s2 a1s a0
E(s)
s2
s a1 a1s a0
r(0 )
s2
1 a1s
a0
r(0 )
14
3. 积分定理(integration theorem)
t 0
f
(t
)dt
1 s
f (t)
证明：
d dt
0
由分部积分法 udv uv vdu
由于
estdf (t) est f (t)
f (t )dest
0
0
0
est f (t)
s
f (t)estdt
0
0
lim est f (t) 0
拉普拉斯积分变换 PPT课件
L f (t) sF (s), L f (t) s2F (s), , L f (n) (t) sn F(s)
此性质使我们有可能将 f (t)的微分方程转化为F(s)的 代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。
15
例 求函数 f (t) coskt 的拉氏变换。
解 由于
f (0) 1, f (0) 0, f (t) k 2 cos kt
s
1 ds
s s2 1
1 ln 2
s s
1 1
s
1 ln s 1 2 s 1
22
如果积分
f (t)
0
dt t
存在，在象函数的积分性质公式中取s = 0，则有
f (t) dt
F (s)ds
0t
0
其中
F(s) L f (t)
这一公式，常用来计算某些积分。
23
sin t
例 求积分 0
L (t)
(t) est dt
0
(t) est dt 0
(t) est dt est
t0 1
10
例7 求函数 f (t) e t (t) e tu(t)( 0)
的拉氏变换。
解 L f (t) f (t) estdt 0 e t (t) e tu(t) estdt 0
3
例1
求单位阶跃函数 u(t)
此性质使我们有可能将 f (t)的微分方程转化为F(s)的 代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。
15
例 求函数 f (t) coskt 的拉氏变换。
解 由于
f (0) 1, f (0) 0, f (t) k 2 cos kt
s
1 ds
s s2 1
1 ln 2
s s
1 1
s
1 ln s 1 2 s 1
22
如果积分
f (t)
0
dt t
存在，在象函数的积分性质公式中取s = 0，则有
f (t) dt
F (s)ds
0t
0
其中
F(s) L f (t)
这一公式，常用来计算某些积分。
23
sin t
例 求积分 0
L (t)
(t) est dt
0
(t) est dt 0
(t) est dt est
t0 1
10
例7 求函数 f (t) e t (t) e tu(t)( 0)
的拉氏变换。
解 L f (t) f (t) estdt 0 e t (t) e tu(t) estdt 0
3
例1
求单位阶跃函数 u(t)
第9章 拉普拉斯变换
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的基本公式和性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
ì t< 0 ï 0, 设指数衰减函数j (t ) = ï - b t (b > 0). í ïe , t³ 0 ï î
考虑 f (t ) t ? ( ? , コ),有 f (t )u (t )=f (t ) t 若存在 b > 0, 使 lim e
f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = LL = f ( n −1) (0) = 0
时,
f ( n ) (t ) = s n F ( s ) ℒ δ ( n ) (t ) = s n ℒ
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
∫ u d v = uv | −∫ v du
推论
则
若 ℒ [ f (t )] = F ( s ),
且积分 ∫ s
∞
F ( s ) ds 收敛
∫
+∞ 0
∞ f (t ) dt = ∫ F ( s )ds 0 t
例5 求ℒ 解
t sin t ∫ 0 t dt
∞ ∞ sin t 1 π ]= ∫ ds = arctan s = − arctan s ℒ[ 2 s s t s +1 2
+
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的基本公式和性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
ì t< 0 ï 0, 设指数衰减函数j (t ) = ï - b t (b > 0). í ïe , t³ 0 ï î
考虑 f (t ) t ? ( ? , コ),有 f (t )u (t )=f (t ) t 若存在 b > 0, 使 lim e
f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = LL = f ( n −1) (0) = 0
时,
f ( n ) (t ) = s n F ( s ) ℒ δ ( n ) (t ) = s n ℒ
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
∫ u d v = uv | −∫ v du
推论
则
若 ℒ [ f (t )] = F ( s ),
且积分 ∫ s
∞
F ( s ) ds 收敛
∫
+∞ 0
∞ f (t ) dt = ∫ F ( s )ds 0 t
例5 求ℒ 解
t sin t ∫ 0 t dt
∞ ∞ sin t 1 π ]= ∫ ds = arctan s = − arctan s ℒ[ 2 s s t s +1 2
+
第九章拉普拉斯变换
例2. x(t) ebt
x(t)ebtu(t)ebtu(t)
第九章拉普拉斯变换
19
ebtu(t) 1 , Re[s]b
s b
b
ebtu(t) 1 , Re[s]b sb
j
b
当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
X(s) 1 1 bRe[s]b sb sb
当b 0 时，上述 ROC 无公共部分，表明 X (不s )
（Region of Convergence）对拉氏变换是非常重
要的概念。
第九章拉普拉斯变换
10
3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达 式，只是它们的收敛域不同。
4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才 能和信号建立一一对应的关系。
5. 如果拉氏变换的ROC包含 j 轴，则有
X(j)X(s) sj
对有理函数形式的 X 求( s 反) 变换一般有两种方法, 即部分分式展开法和留数法。
❖ 部分分式展开法：
1. 将 X ( s )展开为部分分式。
2. 根据X ( s ) 的ROC，确定每一项的ROC 。
3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质,
对每一项进行反变换。
第九章拉普拉斯变换
25
例1. X(s)
e s t 产生的响应是:
y(t)H(s)est ，其中 H(s) h(t)estdt
拉普拉斯变换法ppt课件
sLf(t) f (0)
三、L氏变换的重要性质 ❖ L氏变换是线性变换
设 F (t) n A iF i(t) i 1
则 L F ( t) nA iL F i( t) i 1
即 代数多项式的L氏变换等于各项 变换的代数和。
❖ 微分性质
若 L F (t)f(S )
则 L F ' ( t ) s ( S ) F f ( 0 ) s F ( t ) L F ( 0 )
.
一些常用函数的Laplace变换表
函数，F（t） A t
Ae-at
A (eatebt) ba
Ate-at
L氏变换，f（s） A/s 1/s2
A/(s+a) A/s(s+a)
A/(s+a)(s+b)
A/(Hale Waihona Puke Baidu+a)2
四、L氏变换解线性微分方程
1. 零级静脉输注 速度表达式： dX k0 kX
dt
L(A)0estAdtSA
2. 指数函数 f（t）= e-at
L (e a)t0 e s(te a)tdt0 e (s a)tds t 1a
L(Aeat) A sa
.
3.导函数
F(t) df(t) dt
L dd (tf) t0 estdd (tf)td t0 esd t (tf)
第09章+拉普拉斯变换
设 L f (t) F(s)
则： L f (t)et F(s )
例： 求 et sint 的拉氏变换.
解：由频域位移定理
L
et sint
(s )2 2
sint
s2 2
⑥卷积定理
设 L f1(t) F1(s), L f2(t) F2(s),
0
(t) f (t)dt (t) f (t)dt f (0)
0
③指数函数 et
F(s)
etestdt
o
e(s )tdt 1 e(s )t
o
s
o
1
s
1(t)
1 S
(t)
1
e t
S S1 S S2
S Sn
求系数 K1 时,两边同乘 S S1 ,得:
(S
S1)F (s)
K1
(S S1)K2 S S2
令 S S1 ,得:
(S S1)Kn S Sn
K1 (s s1)F (s) SS1
同理,可求得各系数:
Ki (s si )F (s) ssi
注意：当 f (t)为周期函数时，终值定理不可用。
例9-2-7．设 f t 1 et 1t ，验证初值定理。
则： L f (t)et F(s )
例： 求 et sint 的拉氏变换.
解：由频域位移定理
L
et sint
(s )2 2
sint
s2 2
⑥卷积定理
设 L f1(t) F1(s), L f2(t) F2(s),
0
(t) f (t)dt (t) f (t)dt f (0)
0
③指数函数 et
F(s)
etestdt
o
e(s )tdt 1 e(s )t
o
s
o
1
s
1(t)
1 S
(t)
1
e t
S S1 S S2
S Sn
求系数 K1 时,两边同乘 S S1 ,得:
(S
S1)F (s)
K1
(S S1)K2 S S2
令 S S1 ,得:
(S S1)Kn S Sn
K1 (s s1)F (s) SS1
同理,可求得各系数:
Ki (s si )F (s) ssi
注意：当 f (t)为周期函数时，终值定理不可用。
例9-2-7．设 f t 1 et 1t ，验证初值定理。
第九章1拉普拉斯变换.ppt
Me( c)t 0 (t , Re(s) c)
f (0) sL[ f (t)] sF(s) f (0)
2019/10/16
24
例2 利用性质求f (t) cos kt 的拉氏变换。
例3 利用性质求函数 f (t) tm (m 1为整数） 的拉氏变换。
＝ 1 1 esT
T f (u)esudu
0
得证 #
2019/10/16
16
注：若f (t)为单位脉冲函数时拉氏 变换的扩展定义：
L[ f (t)] f (t)estdt 0
2019/10/16
17
例 6 计算 L[sin kt] （k为实常数）.
例7 求单位脉冲函数 (t)的拉氏变换。
tn
s
s
s
2019/10/16
30
证： F(s)ds
[
f (t)estdt]ds
s
s0
f (t)[
estds]dt
0
s
0
f
(t
)
[
1e t
st
]
|s
dt
f (t)estdt 0t
L[ f (t)] t
2019/10/16
13
例5
求周期性三角波f (t)
f (0) sL[ f (t)] sF(s) f (0)
2019/10/16
24
例2 利用性质求f (t) cos kt 的拉氏变换。
例3 利用性质求函数 f (t) tm (m 1为整数） 的拉氏变换。
＝ 1 1 esT
T f (u)esudu
0
得证 #
2019/10/16
16
注：若f (t)为单位脉冲函数时拉氏 变换的扩展定义：
L[ f (t)] f (t)estdt 0
2019/10/16
17
例 6 计算 L[sin kt] （k为实常数）.
例7 求单位脉冲函数 (t)的拉氏变换。
tn
s
s
s
2019/10/16
30
证： F(s)ds
[
f (t)estdt]ds
s
s0
f (t)[
estds]dt
0
s
0
f
(t
)
[
1e t
st
]
|s
dt
f (t)estdt 0t
L[ f (t)] t
2019/10/16
13
例5
求周期性三角波f (t)
第九章 拉普拉斯变换 信号与系统
L {Ai /(s ai )}
1
Ai eait u(t )
Ai eait u(t )
Re{s} ai Re{s} ai
Ai lim [( s ai ) X ( s )]
s ai
例：
X ( s)
1 X ( s) ( s 1)(s 2)
( s) 1
单边实指数和复指数线性组合而成的信号，它 们的拉氏变换一定是有理函数，其收敛域是每 一项复指数分量相应的收敛域的交集。
D(s) bm s m bm1s m1 b1s b0 X ( s) N (s) an s n an1s n1 a1s a0
部分分式展开的第一步是把分母 N(s)进行因式分解， 然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。
1
X ( s)e st ds
所有实信号x(t)可以表示成复指数信号est的加权。
百度文库
• 拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的 像函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。 • 拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于 j 虚轴的一条自下而上的直线。
Im
s平面
×
×
j
Re
L{ (t )} (t )e st dt 1
X ( s) 1
4 1 1 1 3 s 1 3 s 2 ( s 1) 2 , Re{s} 2 ( s 1)(s 2)
第九章--拉氏变换
1 推论: L dt dt f t dt n F s . 0 0 0 s
t t t n次
例10 求函数 f (t ) 0 t sin2tdt 的拉氏变换 解: 由拉氏变换积分性质有
t
1 F ( s ) L[ f ( t )] L[ t sin2tdt] L[t sin2t ] 0 s
at
(5)积分性质
t 1 设L[f(t)]=F(s), 则 L f t dt F s 0 s
证明： 设g(t ) f (t ) d t ,
0
t
则g(t ) f (t )且g(0) 0
由微分性质有 L[ g(t )] sL[ g(t )] g(0), t 1 即L[ f ( t ) d t ] F ( s ) 0 s
L f (t )
0
f (t )e st dt
f (t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个
积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点
假如包括，我们把积分下限记为0 ；
L f (t ) f (t )e st dt,
0
假如不包括，我们把积分下限记为0，于是得出 了不同的拉氏变换。记
st
解: L f (t ) e e
kt 0
第九章 拉普拉斯变换
σ 0t
≤e
(σ 1 σ 0 ) T
∫
T ∞
x (t ) e
dt < ∞
∴σ 1
也在收敛域内. 也在收敛域内.
19
双边信号的ROC如果存在, ROC如果存在 6. 双边信号的ROC如果存在,一定是 S 平面内平 轴的带形区域. 行于 jω 轴的带形区域.
20
21
例9.6
x (t ) = {
T 0 T
∫
∞
0
e
at
e dt =
st
∫
∞
0
e
( s + a )t
1 dt = s+a
Re[ s ] > a 时收敛
当a
> 0 时,x (t ) 的傅里叶变换存在
∞ at jω t 0
X ( jω ) = ∫ e e
显然, 显然,在
1 dt = a + jω
(a > 0)
a > 0 时,使拉氏变换收敛的区域 ( Re[ s ] > a 包括了 σ = 0 即轴 jω ).
12
若 X(s) 是有理函数
∏ (s β ) N (s) X (s) = =M D(s) ∏ (s α )
i i i i
零点, 分子多项式的根称为零点 分子多项式的根称为零点,分母多项式的根 称为极点 极点. 称为极点. 平面上, 将 X(s) 的全部零点和极点表示在 S 平面上, 就构成了零极点图. 就构成了零极点图.零极点图及其收敛域可以表 零极点图 示一个 X(s) ,最多与真实的 X(s) 相差一个因子 因此,零极点图是拉氏变换的图示方法. M .因此,零极点图是拉氏变换的图示方法.
≤e
(σ 1 σ 0 ) T
∫
T ∞
x (t ) e
dt < ∞
∴σ 1
也在收敛域内. 也在收敛域内.
19
双边信号的ROC如果存在, ROC如果存在 6. 双边信号的ROC如果存在,一定是 S 平面内平 轴的带形区域. 行于 jω 轴的带形区域.
20
21
例9.6
x (t ) = {
T 0 T
∫
∞
0
e
at
e dt =
st
∫
∞
0
e
( s + a )t
1 dt = s+a
Re[ s ] > a 时收敛
当a
> 0 时,x (t ) 的傅里叶变换存在
∞ at jω t 0
X ( jω ) = ∫ e e
显然, 显然,在
1 dt = a + jω
(a > 0)
a > 0 时,使拉氏变换收敛的区域 ( Re[ s ] > a 包括了 σ = 0 即轴 jω ).
12
若 X(s) 是有理函数
∏ (s β ) N (s) X (s) = =M D(s) ∏ (s α )
i i i i
零点, 分子多项式的根称为零点 分子多项式的根称为零点,分母多项式的根 称为极点 极点. 称为极点. 平面上, 将 X(s) 的全部零点和极点表示在 S 平面上, 就构成了零极点图. 就构成了零极点图.零极点图及其收敛域可以表 零极点图 示一个 X(s) ,最多与真实的 X(s) 相差一个因子 因此,零极点图是拉氏变换的图示方法. M .因此,零极点图是拉氏变换的图示方法.
第九章 拉普拉斯变换分解
例
1 X (s ) (s 1)(s 2)
求其可能有的所有的收敛域
Im s平面 Im s平面 Re
× × -2 -1
× × -2 -1
Re
1 X (s ) (s 1)(s 2)
Imபைடு நூலகம்s平面
Im
s平面
Re × × -2 -1 Re
× × -2 -1
1 X (s ) (s 1)(s 2)
Im
S-plane
R
Im
Re Im
L Re
R
L Re
性质7：如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，那么它的 ROC是被极点所界定或延伸到无限远。
性质8： 如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，若 x(t) 是右边信号，则其ROC在s平面上位于最右边极 点的右边；若x(t) 是左边信号，则其ROC在s平面上 位于最左边极点的左边。
能应用拉氏变换分析具体电路。
9.0 引言 Introduction
连续时间对应的复频域是用直角坐标 s j 表示的复数平面，简称为S平面或 连续时间复频域（s域）.
• S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 e st , 整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。
S平面
j 0
第九章 拉普拉斯变换 The Laplace Transform
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3°f (t)是指数级函数(增长速度不超过指数函数)
即存在常数M > 0及c > 0使
| f(t)|≤Mect (0≤t <+∞)
c称为 f(t)的增长指数
则f (t)的拉氏变换 F(s) f(t)estdt 0
在半平面Re(s)＞c 一定存在，F(s)是解析函数。
三、关于拉氏变换的积分下限问题
f (t)在t=0附近有界时, f(0)与f (t)的Laplace变换无关
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
引言
Fourier变换的限制:
绝对可积
指数衰减函数et (>0)
在整个数轴上有定义
单位阶跃函数u(t)
演变为拉氏变换
L [f( t) ] F [f( t)e tu ( t) ]f ( t)e ( j) w tdt 0
§9.1 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换的定义
设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积分
f
(t)estdt
0
在s的某一域内收敛(s是一个复参量) ，则由此积
分决定的函数可写为 F(s) f(t)estdt 0
称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)或象
函数，记为F(s)=L[f(t)].
0
s
L1 1estdt 1
0
s
(Res > 0)
例2 求出指数函数f (t) = e kt 的拉氏变换
解: L f(t) e kte sd tt e (s k )td t 1
0
0
sk
(Res > Rek)
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解: 根据定义有
显然L+[d(t)]=0
d d 而 0 (t)e sd t t (t)e sd t te st =1.
0
t 0
例5 求函数f(t)=etd(t)etu(t)的laplace变换.
解: L[f(t)] f(t)estdt 0
d [ et (t)etu (t)e]sd t t 0
了不同的拉氏变换。记
L
f(t)
0
f(t)esd t t
00f(t)esd t tR f(t)
例4 求单位脉冲函数d(t)的laplace变换.
解: L[d(t)] d(t)estdt d(t)estdt
0
0
00d(t)estd t L[d(t)] [Re(s) > ]
d (t)e (s )td t e (s )td(tRes > Re)
0
0
e(s)t
e(s)t
s
t0 s
0 s
四、常用函数的拉氏变换公式
(1) L[u(t)]1,(Rs)e>(0) s
(2) L [ek]t1,(R s)> eR (ke ))( sk
d (3 ) L [(t) ]1(R s)> e)(
(4) L sikn ts2 kk2,(R s)> e0)( (5) L co ks ts2 sk2,(R s)> e0)(
§9.2 拉氏变换的性质
(1) 线性性质
设a、为常数, 且 L [f( t) 有 ] F ( s )L [ ,g ( t) ] G ( s )
则 L α f 1 ( t ) β f 2 ( 有 t ) α F 1 ( s ) β F 2 ( s ).
a a
证明：L f(a)tf(a)e tstdt 0
令
at，Lf(a)t
f(
s
)ea
0
0
Ased t t
Aae tesd t t
0
0
A(1 1 )
s sa
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的lapຫໍສະໝຸດ Baiduace变换
解:
L[f(t)]
s
ikntsed t t
0
1(ejktejkt)estdt
0 2j
1[ 1 1 ] 2j sjk sjk
s2
k k2
例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换
解: L[f(t)] cokstsed t t 0
1(ejk t ejk)testdt
02
1[ 1 1 ] 2 sjk s jk
s2
s
k2
(2) 相似性质(a为正实数) 设L[f(t)]=F(s), 则当a为正实数时
Lf at 1F s
L(sk in )t
sikntsed t t
0
s2e skt2(ssikn tkcok)st0
k
s2k2
[Re>(s0)]
同理可得
s L[ck o]tss2k2
[Re>0 (s])
二、拉氏变换的存在定理
拉氏变换存在定理: 设函数f (t)满足下列条件：
1°当t＜0时，f (t)=0； 2°f (t)在t≥0的任一有限区间上分段连续，间断点 的个数是有限个，且都是第一类间断点；
例1: 求常数A的Laplace变换.
解: L[f(t)] f(t)estdt Aestdt
0
0
A estdt A/s 0
例2: 求函数f(t)=A(1eat)的Laplace变换.
解:
L [f(t) ]
A (1eat)esd t t
0
Ased t t Aae tesd t t
又称 f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换(简称为拉氏逆
变换)或象原函数，即f(t)=L1[F(s)]
例1 分别求出单位阶跃函数u(t),符号函数sgnt,以 及f(t)=1的拉氏变换
解: 由拉氏变换的定义有
Lu(t) 1estdt 1 est 1 (Res > 0)
0
s 0 s
Lsgtn )(1estdt 1 (Res > 0)
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问
Lf(t) f(t)esd t t 0
f (t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个 积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点
假如包括，我们把积分下限记为0 ；
L f(t)0
f(t)esd t ,t
假如不包括，我们把积分下限记为0，于是得出
双边拉氏变换:
L [f(t) ]
f(t)e(jw )td
t
傅氏变换:
L[f(t)]
f(t)ejwdt t
傅氏变换与拉氏变换的关系
当t 0 f (t) 0
双边拉氏变换
s j
t
0
单边拉氏变换
s j
0 t
傅氏变换
s j
t
L[f(t)]F[f(t)u(t)et]
(sj)