精品带电粒子在磁场中的运动圆心半径运动时间
带电粒子在有界磁场磁场中的运动
d
αR O
过程模型：匀速圆周运动 规律：牛顿第二定律 + 圆周运动公式 条件：要求时间最短
t
s v
速度 v 不变，欲使穿过磁场时间最短，须使 s 有最 小值，则要求弦最短。
题1 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形 状如图所示，磁场宽度为 d。在垂直B的平面
内的A点，有一个电量为 －q、质量为 m、速
y B
如粒子带正电，则： 如粒子带负电，则：
60º v
60º
O 120º
x
A. 2mv qB
B. 2mvcosθ qB
C. 2mv(1-sinθ) qB
2mv(1-cosθ)
D. qB
M
D
C
θ θ θθ
P
N
θθ
练、 一个质量为m电荷量为q的带电粒子（不计重力）
从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º的
束比荷为q/m=2 ×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射，
其中入射角 α =30º，且不经碰撞而直接从出射孔射出的
离子的速度v大小是 （
C）
αa
A．4×105 m/s B． 2×105 m/s
r
C． 4×106 m/s D． 2×106 m/s O′
O
解： 作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于 r
P
B v0
O
AQ
例、如图，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为
d =1.0×10－2m，A板上有一电子源P，Q点在P点正上方B
板上，在纸面内从P点向Q点发射速度在0～3.2×107m/s范
围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度
B=9.1×10－3T，已知电子质量 m=9.1×10－31kg ，电子电
带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法
带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法湖北省郧西县第二中学王兴青带电粒子在有界、无界磁场中的运动类试题在高考试题中出现的几率几乎为l00％，涉及临界状态的推断、轨迹图象的描绘等。
试题综合性强、分值大、类型多，能力要求高，有较强的选拔功能，故平时学习时应注意思路和方法的总结。
解答此类问题的基本规律是“四找”：找圆心、找半径、找周期或时间、找几何关系。
一、知识点：若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动，如右图所示。
1、轨道半径带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力: F=qvB粒子做匀速圆周运动的向心力:v2F向=mrv2粒子受到的洛伦兹力提供向心力: qvB=mrm v所以轨道半径公式: r=Bq带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径跟粒子的运动速率成正比．速率越大．轨道半径也越大．2、周期由r=Bqm v 和T=v r π2得：T= qB m π2 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T 跟轨道半径r 和运动速度v 无关．二、带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法1、圆心的确定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键。
首先，应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上。
在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有四种情况：(1)已知入射方向和出射方向，通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图l 所示，图中P 为入射点，M 为出射点)(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图2所示，P为入射点，M 为出射点)。
(3)两条弦的中垂线：如图3所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过0、A 、B 三点时，其圆心O ’在OA 、OB 的中垂线的交点上. (4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图4所示，过入射点A 做v 垂线A0．延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交A0于0点，0点即为圆心，求解临界问题常用。
带电粒子在匀强磁场中的运动
即 eUd2＝evB1，代入 v 值得 U2＝B1d
2eU1 m
(3)在 c 中，e 受洛伦兹力作用而做圆周运动，回
转半径 R＝Bm2ve，代入 v 值得 R＝B12
2U1m e
答案：(1)
2eU1 m
(2)B1d
2eU1 m
1 (3)B2
2U1m e
点评：解答此类问题要做到： (1)对带电粒子进行正确的受力分析和运动过程 分析． (2)选取合适的规律，建立方程求解．
[错误解法]由 Bqv0＝mvR02，得 B＝
mqvR0. 则
B
＝
3×10－20×105 10－13× 3×10－1
T≈0.17T.
[错因点评]对公式中有关物理量不甚明了，在套
用公式 Bqv0＝mRv20时，误将 R 的值代为磁场区域半径 之值了．
[正确解答]作进、出磁场点处 速度的垂线 PO、QO 得交点 O，O 点即粒子做圆周运动的圆心．据此
A．增大匀强电场间的加速电压 B．增大磁场的磁感应强度 C．增加周期性变化的电场的频率 D．增大 D 形金属盒的半径 答案：BD
解析：粒子最后射出时的旋转半径为 D 形盒的最 大半径 R，R＝mqBv，Ek＝12mv2＝q22Bm2R2.可见，要增大 粒子的动能，应增大磁感应强度 B 和增大 D 形盒的 半径 R，故正确答案为 B、D.
︵ 作出运动轨迹如图中的PQ.此圆半 径为 PO，记为 r.
易知∠POQ＝60°，则 r＝PQ＝ 3R＝0.3m. 由 Bqv0＝mvr20得 B＝mqvr0.则 B＝3×101－01－3 ×20×0.1305T ＝0.1T.
[正确答案]0.1T
[感悟心语]像这种不太复杂的带电粒子在匀强磁 场中的圆周运动问题，解题要点在于作出带电粒子实 际运动的轨迹．方法有两种：
电荷在磁场中运动的圆心、半径、运动时间的基本求解方法
电荷在磁场中运动的圆心、半径、运动时间的基本求解方法大家知道，当带电粒子进入匀强磁场的速度方向与磁场垂直时，带电粒子做匀速圆周运动。
那么，圆周运动的圆心、半径、以及粒子在磁场中运动的时间都该怎么求呢？下面我们来对这个问题进行总结。
首先来找圆心，常见的有三种不同的情况。
第一种情况，已知粒子运动轨迹上两点的速度方向。
因为速度方向就是轨迹的切线方向，而半径一定与切线垂直，所以做出两速度方向的两条垂线，两垂线的交点就一定是圆心。
第二种情况，已知粒子运动轨迹上一点的速度方向和另一点的位置。
还是要先做出这个速度方向的垂线，这样圆心一定在这条线上。
接着还要找一条线，那就先连接这两点，形成圆的一条弦，接着做出这条弦的中垂线，圆心也一定在这条中垂线上。
两垂线的交点就是圆心。
第三种情况，已知粒子运动轨迹上的三点位置，分别连接两点，得到两条弦，两条弦的中垂线的交点就是圆心。
这就是找圆心时常见的三种情况，解题时要根据具体情况选择方法。
圆心找到以后，半径就很容易确定了。
半径一方面满足公式r=mνqB，另一方面也可以在图中利用几何知识来求。
最后就是粒子运动的时间，关键有两点，先根据公式T=2πm qB求出粒子圆周运动的周期，接着根据几何关系，计算出粒子运动的圆心角θ，然后就可以根据比例关系求时间t 。
再详细说一下圆心角θ的计算。
如图粒子运动的轨迹是一段劣弧，α为弦切角，θ为圆心角，β为偏转角。
圆心角θ就是弦切角α的2倍，也就是θ=2α。
在这个四边形中圆心角θ和β的补角互补，所以θ=β。
如果换一种情况，粒子运动的轨迹是一段优弧，图形跟轨迹是劣弧时几乎完全一样，只是θ和β都换了位置。
这种情况的θ等于2π-2α，但θ和β依然相等。
下面我们来看一个例子，图中是垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=1T，一电子从x轴上与x轴成300角方向以ν=3.2x107m/s速度出发。
已知电子的质量是m=9.0x10-31kg，电荷量大小q=1.6x10-19c。
带电粒子在磁场中的运动
例1：关于回旋加速器中电场和磁场的作用的 叙述，正确的是( CD ) A、电场和磁场都对带电粒子起加速作用 B、电场和磁场是交替地对带电粒子做功的 C、只有电场能对带电粒子起加速作用 D、磁场的作用是使带电粒子在D形盒中做匀速圆 周运动
25
例2：质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析
同位素的重要工具，它的构造原理如图，离子源S
为Ｂ。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿向外的电场。一
质量为ｍ、带电量为＋ｑ的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝ａ的Ｓ点出发，
初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点Ｓ， 则两电极之间的电压Ｕ应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）
【例6】如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子， 从A点正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒 中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后 仍从A点射出，问发生碰撞的最少次数? 并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间t ? 设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒 子的重力。
d
度角，则初速度有什么要求？
B
变化3：若初速度向上与边界成α =60度角，则初速度有什么要求？
9
10
例：两板间（长为L，相距为L）存在匀强磁场，带
负电粒子q、m以速度V0从方形磁场的中间射入，要
求粒子最终飞出磁场区域，则B应满足什么要求？
m
v0
B
L
q
L
11
情境：
q
已知：q、m、 v0、 m d、L、B
2aq
v
B
射出点坐标为（0， 3a ） O/
o
v ax
7
3、穿过矩形磁场区的运动
(完整版)高中物理确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下：一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
高考物理一轮复习课件 第十章 专题强化十八 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外.三角形顶点A
处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子
(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子恰能通过D点，已
知质子的比荷 q＝k，则质子的速度L
3BkL C. 2
√D.B8kL
质子可能的运动轨迹如图所示，由几何关系可得 2nRcos 60°＝L(n＝ 1,2，…)，由洛伦兹力提供向心力，则有 Bqv＝mvR2，联立解得 v＝BmqR ＝BnkL(n＝1,2，…)，所以 A、B、D 正确，C 错误.
可知，在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ，即轨迹圆心角为2θ，
电子在磁场中的运动时间t＝22πθ T，故不同速率的电子在磁场中运动时
间都相同，C错误，D正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2.(多选)如图所示，水平放置的挡板上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一
带电粒子a垂直于挡板从板上的小孔O射入磁场，另一带电粒子b垂直于
电子从 a 点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为 ra＝4l ， 由洛伦兹力提供向心力，有 evaB＝mvraa2，
又me ＝k，解得 va＝k4Bl； 电子从 d 点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有 rd2＝l2＋(rd－2l)2，解 得：rd＝54l，由洛伦兹力提供向心力，有 evdB＝mvrdd2，又me ＝k，解得 vd＝5k4Bl， 选项 B 正确.
场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场.之
后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时
间从a、b连线的中点c离开磁场，则
t1为 t2
√A.3
B.2
带电粒子在匀强磁场中的运动
〔思考与讨论〕
◎带电教粒材子在资匀料强分磁场析中做匀速圆周运动的圆半径，与粒
子的速度、磁场的磁感应强度有什么关系？ 点拨： 由演示实验知，粒子做圆周运动的半径与速度、
磁感应强度有关系，分析可知，因洛伦兹力提供向心力，即 qvB＝mrv2，可得：r＝mqBv.
可见，粒子圆周运动的半径与速度大小成正比，与磁感 应强度 B 成反比．
质谱仪可以求出该粒子的比荷(电荷量与质量之比)mq ＝B22Ur2.
(2)回旋加速器 ①工作原理 利用电场对带电粒子的加速作用和磁场对
运a．动磁电场的荷作的用 偏 转 作 用 来 获 得 高 能 粒 子 ， 这 些带电过粒程子在以某回一旋速度加垂速直器磁场的方核向心进入部匀件强磁——场两后，个在D 洛伦形兹盒力作和用其下间做匀的速窄圆缝周运内动完，其成周．期与速率、半径均无
(1)M点与坐标原点O间的距离； (2)粒子从P点运动到M点所用的时间．
解析：(1)带电粒子在匀强电场中做类平抛 运 负OP方动＝l向，＝12上在at1做x2，正初O方Q速＝向2度上3为l＝做零v匀0t1的，速a匀＝直加qmE线速运运动动，，在设y 加 用解得速 的v度时0＝大间小为6qmt为E1l，a；进粒入子磁从场P时点速运度动方到向Q与点x所轴 正方向的夹角为θ，则
解析： 粒子在电场中加速时，只有静电力做功，由动
能定理得 qU＝12mv2，故EEkk12＝qq12UU＝qq12＝12，同时也能求得 v ＝ 2mqU，因为粒子在磁场中运动的轨迹半径 r＝mqBv＝qmB
2mqU＝B1
2mqU，所以有rr12＝
m1 q1 ＝ 1 ，粒子做圆周运 m2 2 q2
动的周期 T＝2qπBm，故TT21＝mm12//qq12＝12.
带电粒子在磁场中的运动时间公式
带电粒子在磁场中的运动时间公式
在磁场中，带电粒子会受到洛伦兹力的作用，这个力会改变粒
子的运动轨迹。
带电粒子在磁场中的运动时间公式可以表示为：T = 2πm / (|q|B)。
其中，T表示带电粒子在磁场中运动一周所需的时间，m是粒子
的质量，q是粒子的电荷，B是磁场的磁感应强度。
这个公式告诉我们，带电粒子在磁场中的运动时间与粒子的质
量和电荷以及磁场的磁感应强度有关。
当磁场的磁感应强度增大时，粒子的运动时间会减小；当粒子的电荷增大时，运动时间也会减小；而当粒子的质量增大时，运动时间会增大。
带电粒子在磁场中的运动时间公式的应用非常广泛。
在物理学
和工程学中，我们可以利用这个公式来设计和控制粒子在磁场中的
运动，从而应用于粒子加速器、磁共振成像等领域。
这个公式也为
我们提供了理论基础，帮助我们更好地理解和研究带电粒子在磁场
中的运动规律。
总之，带电粒子在磁场中的运动时间公式是一个重要的物理公式，它为我们提供了理论基础和实际应用价值，帮助我们更好地理解和控制带电粒子在磁场中的运动。
带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中的运动一、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动1．洛伦兹力的作用效果洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向，不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力不对带电粒子做功，不改变粒子的能量。
2．带电粒子的运动规律沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。
洛伦兹力总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。
公式：q v B ＝m v 2rr ＝m vqBT ＝2πm qB3．圆心、半径、运动时间的分析思路(1)圆心的确定：带电粒子垂直进入磁场后，一定做圆周运动，其速度方向一定沿圆周的切线方向，因此圆心的位置必是两速度方向垂线的交点，如图(a)所示，或某一速度方向的垂线与圆周上两点连线中垂线的交点，如图(b)所示．(2)运动半径大小的确定：一般先作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，然后利用三角函数求解出半径的大小．(3)运动时间的确定：首先利用周期公式T ＝2πm qB ，求出运动周期T ，然后求出粒子运动的圆弧所对应的圆心角α，其运动时间t ＝α2πT .(4)圆心角的确定：①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向间的夹角φ叫偏向角．偏向角等于圆心角即φ＝α，如图所示．②某段圆弧所对应的圆心角是这段圆弧弦切角的二倍，即α＝2θ.[特别提醒]带电粒子(不计重力)以一定的速度v 进入磁感应强度为B 的匀强磁场时的运动轨迹：(1)当v ∥B 时，带电粒子将做匀速直线运动．(2)当v ⊥B 时，带电粒子将做匀速圆周运动．(3)当带电粒子斜射入磁场时，带电粒子将沿螺旋线运动．4、带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹特点(1)直线边界：进出磁场具有对称性。
(2)平行边界：存在临界条件。
(3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。
【例题1】如图所示，一束电荷量为e 的电子以垂直于磁场方向(磁感应强度为B )并垂直于磁场边界的速度v 射入宽度为d 的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°.求电子的质量和穿越磁场的时间．答案：23dBe 3v 23πd 9v解析：过M 、N 作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O 点，O 点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，过N 作OM 的垂线，垂足为P ，如图所示．由直角三角形OPN 知，电子的轨迹半径r ＝d sin 60°＝233d ①由圆周运动知e v B ＝m v 2r②解①②得m ＝23dBe 3v.电子在无界磁场中运动周期为T ＝2πeB ·23dBe 3v ＝43πd 3v.电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为θ＝60°，故电子在磁场中的运动时间为t ＝16T ＝16×43πd 3v ＝23πd 9v.带电粒子在磁场中的圆周运动问题处理方法(1)定圆心：圆心一定在与速度方向垂直的直线上，也在弦的中垂线上，也是圆的两个半径的交点．(2)求半径的两种方法：一是利用几何关系求半径，二是利用r ＝m v Bq 求半径．(3)求时间：可以利用T ＝2πr v 和t ＝Δl v 求时间，也可以利用t ＝θ2πT 求时间．【例题2】如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过t 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角。
带电粒子 在电磁场中的运动讲解
O
B2 O2
5 5m
在右侧磁场中运动时间
t3
T 6
3qB
O1
则粒子的运动周期为
t t1 t2 t3 2
2mL 7m
qE 3qB
例2、两平面荧光屏互相垂直放置,在两屏内分别取垂
直于两屏交线的直线为x轴和y轴,交点O为原点,如图
所示,在y>0，0<x<a的区域有垂直于纸面向里的匀强
S1 S2
BB
x
荧 光 屏O
dd
解： （1）根据动能的定理得: eU0 =1/2 mv02
v0
2eU 0 m
（2）欲使电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上，
应有 r=mv／eB < d
而eU =1/2 mv2 由此 即可解得 U<B2d2e/2m
（3）电子穿过磁场区域而打到荧光屏上时运动的轨
迹如图所示
带电Байду номын сангаас子在复合电磁场中的运动：若空间中同时 同区域存在重力场、电场、磁场，则使粒子的受力 情况复杂起来；若不同时不同区域存在，则使粒子 的运动情况或过程复杂起来，相应的运动情景及能 量转化更加复杂化，将力学、电磁学知识的转化应 用推向高潮。
该考点为高考命题提供了丰富的情景与素材，为体 现知识的综合与灵活应用提供了广阔的平台，是高 考命题热点之一。
x BB
O
dd
题目
（4）若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为r，穿 过磁场区域打到荧光屏上的位置坐标为x，则由（3）中 的轨迹图可得：
x 2r 2 r2 d 2
注意到
r=mv／eB 和 eU =1/2 mv2
r 1 2emU Be
带电粒子在磁场中的运动 整理
E ① 当v>E/B粒子向哪个方向偏？ B ② 当v<E/B粒子向哪个方向偏？
1.速度选择器只选择速度，与电荷的正负无关；
2.注意电场和磁场的方向搭配。
• 如图所示，为一速度选择器的原理图，K为电 子枪，由枪中沿虚线KS方向射出的电子速率 大小不一，当电子通过方向互相垂直的匀强磁 场和匀强电场时，只有一定速率的电子能沿直 线前进并通过小孔S，设板间电压为300V，板 间距为5cm，垂直纸面的匀强磁场为B=0.06T， 求： （1）磁场的指向是向里还是向外？ （2）速度为多大的电子才能通过小孔？
运动轨迹：匀速圆周运动
二、轨道半径和运动周期
1.轨道半径r
r mv qB
在匀强磁场中做匀速圆周运动的带电粒子，轨 道半径跟运动速率成正比。 2.运动周期T 2 m
T qB
(1)周期跟轨道半径和运动速率均无关 t (2)粒子运动不满一个圆周的运动时间：
m
qB
θ为带电粒子运动所通过的圆弧所对的圆心角
4、回旋加速器
V5
1.磁场偏转
R T 取决于磁场
电场加速
v Ek取决于电场
V4 V2
V1 V3
V0
2.工作条件：合拍
T粒子=T电源
3.获得最大速度、能量取决于
Em
Rm
1 2
mv
2
m
m vm qB
Em
B q Rm 2m
2
2
2
解题关键： 1.粒子每经过一个周期，被 电场加速二次
V4 V0
练习：回旋加速器中磁场的磁感应强度为B，D形盒的
直径为d，用该回旋加速器加速质量为m、电量为q的粒
(完整版)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。
粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。
如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
(完整版)高中物理确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系,成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙,其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下:一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示,直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e）,它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反.先确定圆心,画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=,由图还看出经历时间相差,所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示,在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区,并由N点射出，O点为圆心.当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O’的边线为该圆心角的角平分线,由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时,带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7）,用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
带电粒子在磁场中运动轨迹的确定
M
O
v1 v2
N θ θ
M
O1
2 θ 2 θ
O2
Q1
P
Q2
N
△t=t1 －t2=2Tθ/π=
4m .arccos(LBq ) 2mv Bq
思 考 题
3、如图所示，在xoy平面内有垂直坐标平面且范围足够大 的匀强磁场，磁感应强度为B，一带正电荷量q的粒子，质 量为m，从O点以某一初速度射入磁场，其轨迹与x、y轴的 交点A、B到O点的距离分别为a、b，试求：粒子的初速度。
一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律
1、带电粒子在磁场中（ v⊥B）只受洛仑兹力， 粒子 做 匀速圆周 运动 。 2、轨道半径：R=mv/qB 3、周期：T=2πm/qB
二、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法
1、物理方法：
1、物理方法 例1：如图所示，一束电子（电量为e）以速度v垂 直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中， 穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角 是30o，则电子的质量是多少？穿透磁场的时间又 是多少？ 解： 作出电子运动轨迹如右图所示。 电子的运动半径：r=mv/eB 由几何知识： 电子的运动半径：r=d/sin30o=2d 由上两式可得电子质量:m=2Bed/v 电子穿透磁场的时间为： t=T/12=2πm/12eB=πd/3v
思 考 题 2、如图所示，虚线MN是一垂直 M 纸面的平面与纸面的交线，在平 面右侧的半空间存在一磁感应强 O 度为B、方向垂直纸面向外的匀 强磁场。O是MN上的一点，从O点 可以向磁场区域发射电荷量为+q、 P 质量为m、速率为v的粒子，粒子 射入磁场时的速度可在纸面内各 N 个方向，已知先后射入的两 个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离 为L，不计重力和粒子间的相互作用。 （1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径； （2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔。
带电粒子在磁场中的运动精品文档
⑴这个结论与离子带何种电荷、电荷多少都无关。
⑵若速度小于这一速度，电场力将大于洛伦兹力，带电粒子向电场力
方向偏转，电场力做正功，动能将增大，洛伦兹力也将增大，粒子的轨迹
既不是抛物线，也不是圆，而是一条复杂曲线；若大于这一速度，将向洛
伦兹力方向偏转，电场力将做负功，动能将减小，洛伦兹力也将减小，轨
迹是一条复杂曲线。
(3)带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的
大小和方向．
【解析】(1)参见图3-3-5，带电质点从P1到P2，由 平抛运动规律，得
h 1 gt2
①
2
v0
2h t
②
vy gt
③
求出v
v
2 0
v
2 y
2
gh
④
方 向 与 x轴 负 方 向 成 45角
2 带 电 质 点 从 P2到 P3， 重 力 与 电 场 力 平 衡 ， 洛 伦 兹 力
带电粒子在组合场中的运动问题，解题的关 键是正确地画出粒子的运动轨迹图．解题时将其 在匀强电场中的运动分解为沿着电场方向的匀加 速直线运动，垂直于电场方向的匀速直线运 动．在磁场中运动的核心问题还是“定圆心，求 半径，画轨迹”．
【例3】(2019·全国大纲卷)如图3-3-4， 与水平面成45°角的平面MN将空间分成 Ⅰ和Ⅱ两个区域．一质量为m、电荷量为 q(q>0) 的 粒 子 以 速 度 v0 从 平 面 MN 上 的 P0 点水平向右射入Ⅰ区．粒子在Ⅰ区运动
理解复合场中的几个特殊物理模型的原理
3、电磁流量计
如图所示，一圆形导管 直径为d，用非磁性材料制 成，其中有可以导电的液体
向左流动。
原理：
经典：带电粒子在匀强磁场中的运动规律
N
r
x
O
vM
12
解：做两条速度的延长线交于M点，过
M点做角平分线交y轴N点，以N为 圆心以r为半径做圆，切于两速度线， 切点分别为O、P
y
30º
v
P
质点圆周运动半径： r mv/qB
L
根据几何关系： rL/3
由上式解得： B3mv/qL
r
N
r
x
O
vM
13
小结：
一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律 二.确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法
y
30º
v
L
v
x
O
11
例3
如图所示，一匀强磁场， 磁场方向垂直于xy平面，在xy 平面上磁场分布在以O为圆心
y
30º
v
P
的一个圆形区域内，一个质量
是m，带电量是q的带电粒子，
由原点O开始运动，初速度为v， L
r
方向沿x轴正方向，后来经过y 轴上的p点，此时速度方向和y 轴夹角为30º，p到O点的距离 是L，不计重力，求B的大小
度为B、宽度为d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入 射方向的夹角是30°，则电子的质量是多少？穿过磁场的时间又是 多少？
解：电子运动轨迹如右图所示。
r mv eB
r
d s in 300
m2Bed/v 电子穿过磁场的时间为：
300 m d
t3600T6eB3v
v
d
f洛
30°
v
f洛
30°
洛伦兹力做向心力：qvB m2v/r
半径： r mv qB
周期： T 2r 2m
v qB
时间：
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§X３.３带电粒子在磁场中的运动(一)【学习目标】洛伦兹力、圆周运动、圆心、半径、运动时间【自主学习】一、基础知识:1、洛仑兹力叫洛仑兹力。
通电导线所受到的安培力实际上是作用在运动电荷上的洛仑兹力的。
2、洛仑兹力的方向用左手定则判定。
应用左手定则要注意：(１）判定负电荷运动所受洛仑兹力的方向，应使四指指向电荷运动的方向。
（2)洛仑兹力的方向总是既垂直于又垂直于,即总是垂直于所决定的平面。
但在这个平面内电荷运动方向和磁场方向却不一定垂直,当电荷运动方向与磁场方向不垂直时,应用左手定则不可能使四指指向电荷运动方向的同时让磁感线垂直穿入手心，这时只要磁感线从手心穿入即可。
３、洛仑兹力的大小f＝，其中θ是带电粒子的运动方向与磁场方向的夹角。
(1）当θ=90°,即v的方向与B的方向垂直时,ｆ＝,这种情况下洛仑兹力。
(２)当θ=0°,即v的方向与B的方向平行时,f=最小。
（3)当ｖ=0，即电荷与磁场无相对运动时，f= ，表明了一个重要结论:磁场只对相对于磁场运动的电荷有作用力,而对相对磁场静止的电荷没有作用力。
4、洛仑兹力作用效果特点由于洛仑兹力总是垂直于电荷运动方向，因此洛仑兹力总是功。
它只能改变运动电荷的速度（即动量的方向)，不能改变运动电荷的速度（或动能)。
5、带电粒子在磁场中运动（不计其它作用)(１）若v//Ｂ，带电粒子以速度v做运动(此情况下洛伦兹力Ｆ=0) （２）若v⊥Ｂ,带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做运动。
①向心力由洛伦兹力提供: =m Rv 2②轨道半径公式:R= = 。
③周期:T= = ,频率:f ＝T1= 。
角频率：==ωrv。
说明:T 、F 和ω的两个特点：①T 、f 和ω的大小与轨道半径（R ）和运动速率(v)无关，只与 和 有关；②比荷(mq)相同的带电粒子,在同样的匀强磁场中,T 、f 和ω相同。
二、重点、疑点：1、洛伦兹力公式F ＝qvB 是如何推导的?直导线长Ｌ,电流为I,导体中运动电荷数为ｎ,截面积为S,电荷的电量为q ，运动速度为v,则安培力F ′=ＩＬB ＝ｎF所以洛仑兹力F=nILBn F =' 因为Ｉ=NqSv(Ｎ为单位体积内的电荷数） 所以F=nLBNqSv ⋅式中n=NSL 故F=qv Ｂ。
2、如何确立带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间? (1)圆心的确定。
因为洛伦兹力f 指向圆心,根据f ⊥v ，画出粒子运动轨迹上任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的f 的方向,其延长线的交点即为圆心。
（2）半径的确定和计算。
圆心找到以后，自然就有了半径(一般是利用粒子入、出磁场时的半径）。
半径的计算一般是利用几何知识,常用解三角形的方法及圆心角等于圆弧上弦切角的两倍等知识。
(3）在磁场中运动时间的确定。
利用圆心角与弦 切角的关系，或者是四边形内角和等于360°计算出圆 心角θ的大小，由公式t ＝360θ×T 可求出运动时间。
有时也用弧长与线速度的比。
如图所示，还应注意到：①速度的偏向角ϕ等于弧AB所对的圆心角θ。
②偏向角ϕ与弦切角α的关系为:ϕ＜180°，ϕ＝２α；ϕ>1８0°，ϕ=36０°－2α;（4）注意圆周运动中有关对称规律如从同一直线边界射入的粒子,再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等;在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子，必沿径向射出。
3、电场和磁场对电荷作用的区别如何？(1)电荷在电场中一定要受到电场力的作用,而电荷在磁场中不一定受磁场力作用。
只有相对于磁场运动且运动方向与磁场不平行的电荷才受磁场力的作用,而相对磁场静止的电荷或虽运动但运动方向与磁场方向平行的电荷则不受磁场力作用.(2）电场对电荷作用力的大小仅决定于场强E和电荷量q，即F＝qE,而磁场对电荷的作用力大小不仅与磁感应强度B和电荷量q有关，还与电荷运动速度的大小v及速度方向与磁场方向的夹角θ有关,即,F=qvBｓｉnθ．（3）电荷所受电场力的方向总是沿着电场线的切线(与电场方向相同或相反)，而电荷所受磁场力的方向总是既垂直于磁场方向，又垂直于运动方向(即垂直于磁场方向和运动方向所决定的平面)．(4)电荷在电场中运动时,电场力要对运动电荷做功(电荷在等势面）运动除外),而电荷在磁场中运动时，磁场力一定不会对电荷做功。
【典型例题】例１、图中MN表示真空室中垂直于纸面的平板,它的一侧有匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度大小为B。
一带电粒子从平板上狭缝O处以垂直于平板的初速v射入磁场区域,最后到达平板上的Ｐ点。
已知B、v以及P到O的距离ｌ,不计重力，求此粒子的电荷e与质量m之比。
例2、一个负离子，质量为ｍ，电量为ｑ,以速率v垂直于屏S经小孔Ｏ射入有匀强磁场的真空室中,磁感应强度B的方向与离子运动方向垂直，并垂直于纸面向里，如图所示。
如果离子进入磁场后经过时间t到达P点,则直线ＯP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系式如何？例３、如图,在某装置中有一匀强磁场,磁感应强度为Ｂ，方向垂直于Ｏxy所在的纸面向外。
某时刻在x=l0、y＝0处，一质子沿y轴的负方向进入磁场;同一时刻，在ｘ＝-l0、y=０处,一个α粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直。
不考虑质子与α粒子的相互作用。
设质子的质量为m,电荷量为ｅ。
（１）如果质子经过坐标原点O,它的速度为多大?（2）如果α粒子与质子经最短时间在坐标原点相遇，α粒子的速度应为何值?方向如何?【针对训练】1、在图所示的各图中,匀强磁场的磁感应强度均为B，带电粒子的速率均为ｖ、带电量均为q。
试求出图中带电粒子所受洛仑兹力的大小，并标出洛仑兹力的方向。
（）２、每时每刻都有大量带电的宇宙射线向地球射来,地球磁场可以有效地改变这些宇宙射线中大多数带电粒子的运动方向,使它们不能到达地面,这对地球上的生命有十分重要的意义。
假设有一个带正电的宇宙射线粒子正垂直于地面向赤道射来,（如图,地球由西向东转，虚线表示地球自转轴，上方为地理北极）,在地球磁场的作用下,它将（)Ａ、向东偏转Ｂ、向南偏转Ｃ、向西偏转 D 、向北偏转3、如图所示,光滑半圆形轨道与光滑斜面轨道在Ｂ处与圆弧相连,带正电小球从A 静止起释放，且能沿轨道前进，并恰能通过圆弧的最高点C 。
现将整个轨道置于水平向外的匀强磁场中,使球仍能恰好通过圆环最高点Ｃ，释放高度Ｈ′与原释放高度H 的关系是（ )A 、H ′＝HB 、H ′<HC 、H ′>ＨD 、不能确定４、图为云室中某粒子穿过铅板Ｐ前后的轨迹。
室中匀强磁场的方向与轨迹所在平面垂直(图中垂直于纸面向里）。
由此可知此粒子（ )A 、一定带正电B 、一定带负电C 、不带电Ｄ、可能带正电，也可能带负电5、质子(H 11)和α粒子(He 42）从静止开始经相同的电势差加速后垂直进入同一匀强磁场做圆周运动，则这两粒子的动能之比E k1:E k2＝ ，轨道半径之比r １:ｒ2=,周期之比T 1：T 2＝ 。
6、如图所示，一电子以速度1.0×10７m/s 与x 轴成３0°的方向从原点出发,在垂直纸面向里 的匀强磁场中运动，磁感应强度Ｂ=1T ，那么圆运动的半径为 m ，经过时间 s ，第一 次经过x 轴。
（电子质量ｍ＝9.1×１0-31kg)7、如图所示，在y ＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xO ｙ平面并指向纸面外，磁感应强度为B 。
一带正电的粒子以速度ｖ0从O 点射入磁场,入射方向在xOy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ。
若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ,求该粒子的电荷量和质量之比mq。
× × × × × × × × × ×× × × × × 30°v y【能力训练】1、如图所示,在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上,有两个质量和电量均相同的正、负离子，从O 点以相同的速度射入磁场中,射入方向均与边界成θ角。
若不计重力，关于正、负离子在磁场中的运动,下列说法正确的是（ )Ａ、运动的轨道半径不相同B 、重新回到边界的速度大小和方向都相同Ｃ、重新回到边界的位置与O 点距离不相同ﻩﻩﻩD 、运动的时间相同2、如图,在x ＞0、y>0的空间中有恒定的匀强磁场,磁感强度的方向垂直于xOy 平面向里，大小为B 。
现有一质量为ｍ电量为q 的带电粒子，在x 轴上到原点的距离为x 0的P 点，以平行于y 轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y 轴的方向射出此磁场。
不计重力的影响。
由这些条件可知( ）Ａ、不能确定粒子通过y 轴时的位置Ｂ、不能确定粒子速度的大小Ｃ、不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间 D 、以上三个判断都不对3、K －介子衰变的方程为K －−→−0π+π-,其中K -介子和-π介子带负的基元电荷,0π是介子不带电。
一个K －介子沿垂直磁场的方向射入匀强磁场中，其轨迹为圆弧AP ，衰变后产生的-π介子的轨迹为圆弧ＰB,轨迹在P 点相切，它们的半径-K R 与-πR 之比为2:1。
0π介子的轨迹未画出,由此可知-π的动量大小与0π的动量大小之比为( ）A 、１:１Ｂ、１:2 C 、1：3 Ｄ、1:６４、如图所示，α粒子和质子从匀强磁场中同一点出发，沿着与磁感应强度垂直的方向以相同的速率开始反向运动。
若磁场足够大，则它们再相遇时所走过的路程之比是(不计重力）（ )A、1:1Ｂ、1：2C、2:1D、４:1５、一个质量为m、带电量为q的粒子，以速度v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，粒子经过一段时间，受到的冲量大小为mｖ,不计重力，则这段时间可能为( ）A、2πｍ/(qＢ) ﻩB、πｍ/（qB）C、πm/(3qB)ﻩﻩＤ、７πm/(3qＢ)６、如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为Ｂ,磁场方向垂直于纸面向里。
许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域。
不计重力,不计粒子间的相互影响。
下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中R＝ｍｖ/Bq。
哪个图是正确的？A BC D7、如图所示,匀强磁场中有一圆形的空腔管道,虚线表示中心轴线,在管的一端沿轴线方向入射一束带电粒子流，其中有质子、氘核和α粒子，如果它们以相同动能入射,已知质子能够沿轴线通过管道,那么还能够通过管道的粒子是；如果它们经相同的电势差加速后入射,已知氘核能够沿轴线通过管道，那么还能够沿轴线通过的粒子是。
８、如图所示一电子以速度ｖ垂直射入磁感应强度为B，宽度为d的匀强磁场中,穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向夹角3０°，则电子的质量是。