第七讲谓词逻辑的性质及前束范式

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3.2前束范式谓词推理

2/4/2019
discrete math
前束范式
Logic 一阶逻辑
定义：一个谓词公式，如果它的所有量词均非否定地出现在公式的最前面，且它的辖域作用于整个公式，则称为此为前束范式（prenex normal forms）。即前束范式形如
(Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)B
其中Qi(1≤i≤k)为或， xi为客体变元。 B为不含有量词的公式。
2/4/2019 discrete math
谓词推理例子
Logic 一阶逻辑
证明: (1) x(F(x)G(x)) (2) F(c)G(c) (3) xF(x) (4) F(c) 注意：这个证明是错的. (3)(4)应当在(1)(2)之前， (4)中的c是特定的， (2)中的c是任意的。
2/4/2019 discrete math
2/4/2019
discrete math
前束合取范式
Logic 一阶逻辑
定义：一个谓词公式 A如果具有如下形式，则称为前束合取范式： (Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn)[(A11A12A1k1)( A21A22A2k2)(Am1Am2Amkm)] 其中Qi (1≤i≤n）为或，xi为客体变元，
2/4/2019 discrete math
谓词推理例子
Logic 一阶逻辑
前提: x(F(x)G(x))，xF(x) 结论: xG(x) 证明: (1) xF(x) 前提引入 (2) F(c) EI (1) (3) x(F(x)G(x)) 前提引入 (4) F(c)G(c) UI(3) (5) G(c) (2)(4)假言推理 (6) xG(x) EG(5) 注意证明过程为：“先EI，后UI”

7谓词逻辑

P( x ) Q( x )
,x 是约束出现,受 x 的约束;
在 xR( x ) 中, 的指导变元是x ,辖域是 R( x ) ,x是约束
出现,受 x 的约束.
(3) (xP( x, y ) R( y, z )) yQ( y )
在 xP( x, y) R( y, z ) 中, 的指导变元是x ,辖域是
0 元谓词:不含个体变元的谓词,如:原子命题
谓词 P ( x1 , x2 ,, xn ) 不是命题,真值无法确定,只有当以
n个个体常元代替变元后,才有确定的真值,从而成为命题.
注:命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中仍然可用且含
义不变.
二、量词: 谓词逻辑中表示数量的词.
例:所有的人都是要死的,有些人是要死的两个命题中的个体词和谓词均相同,区别在于“所有的”和“有些”两个量词. 量词可分为:全称量词和存在量词全称量词:对应自然语言中的“一切”、“所有的” 、 “任意的”等,表示对个体域中的所有个体,用符号“ ” 表示.
或改述为:所有的人都是要死的
(3) 不存在最小的数
x( M ( x ) F ( x ))
N ( x ) : x 是数 L( x , y ) : x 小于y
(4) 小李是个好学生
x( N ( x ) y( N ( y ) L( x, y ))) G( x ) : x 是好学生 G (a )

命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案

命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考

答案

说明：红色标注题目可以暂且不做

命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目

一、填空

1、若P，Q，为二命题，Q

P→真值为0 当且仅当。2、命题“对于任意给定的正实数，都存在

比它大的实数”令F(x)：x为实数，y

(

x 则命题的逻辑谓词公式为

。

3、谓词合式公式)(

xP∃

∀的前束范式

→

)

为。

4、将量词辖域中出现的

和指导变元交换为另一变元符号，公式

其余的部分不变，这种方法称为换名规

则。

5、设x是谓词合式公式A的一个客体

变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则

被称为存在量词消去规则，记为ES。

6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则

→

∨

P⌝

∨

⌝的真值

→

∧

⌝

)))

(

)

(

= 。

7．公式P

∧)

(

)

(的主合取范式为

∨

P⌝

∨

∧

。

8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(

→

xP∀

∃在I下真值为

)

。

9. P：你努力，Q：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为

；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为

。

10. 论域D={1，2}，指定谓词P

则公式),(x y

∀真值

x∃

为。

11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。则

wff∧

∨

∧的真值∨

→

∧

)

(

))

((

))

(

为

。

12. R

⌝)

)

((的主合取范式

∧

∨

wff→

为

。

13.设P（x）：x是素数，E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数N (x,y)：x可以整数y。则谓词)))

wff∧

∀的自然语言是

→

∃

)

(

。

14.谓词)),,(

北京工业大学《离散数学》课件-第三章谓词逻辑

所以可以画真值表。
◦ 在谓词演算中，由于谓词公式中可能有命题变元、个体变
元。而论域中的个体可能有无限多个，所以没有办法画真
值表。
27
谓词公式的等价公式
◦ 给定谓词公式、，如果
是永真式，则称与
等价，记作 A B。
◦ 等价于说，如果不论对 A、B作任何同样的赋值， A 与 B
的真值都相等，则 A 与 B 等价。
J(x)：x上过Java课。
解2：U：所有人。
命题函数S(x)：“x是班级中的一名学生。”
43
语句到逻辑表达式的翻译(3)
1.“这个班有学生去过墨西哥。”
U：所有人。
：“ 是班里的学生.”
：“ 去过墨西哥.”
2.“这个班每个人都去过加拿大或墨西哥。”
增加C(x)：“去过加拿大.”
总结：1.常常把表示客体某种性质的谓词称作特性谓词
题的合取，一个存在量化的命题等价于每个量词命题的析取。
• 如果由整数1,2,3组成： xP x P 1 P 2 P 3

xP x P 1 P 2 P 3
• 即使论域是无限的，仍然可以以这种方式考虑量词，但是等
价表达式将是无限长的。
是什么关系？
设
、
是任意的含自由出现个体变元的公式，则：
37
举例说明：

离散数学26 前束范式

2
一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) xG(x) 2) xF(x) xG(x) 解：(1) x F(x) xG(x) x F(x) xG(x) x (F(x) G(x)) (2) x F(x) xG(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))

3
一、前束范式
例：化下列公式为前束范式

1）x F(x) x G(x) 2）x F(x) x G(x) 解：（1）x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x (F(x) G(x)) （2）x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
8
三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]

其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体变元，Aij 是原子公式或其否定。

3.2前束范式谓词推理

Logic 一阶逻辑
(1)∀xF(x)∧┐∃ 解 (1)∀xF(x)∧┐∃xG(x) xF(x)∧┐∃ 换名规则) ⇔ ∀xF(x)∧┐∃yG(y) (换名规则) xF(x)∧∀ 量词否定) ⇔ ∀xF(x)∧∀y┐G(y) (量词否定) ⇔∀x(F(x)∧ (辖域扩张辖域扩张) ⇔∀x(F(x)∧ ∀y┐G(y)) (辖域扩张) ⇔∀x (辖域扩张辖域扩张) ⇔∀x∀y(F(x)∧┐G(y)) (辖域扩张) 或者 xF(x)∧┐∃ ∀xF(x)∧┐∃xG(x) ⇔∀xF(x)∧ xF(x)∧∀ 量词否定) ⇔∀xF(x)∧∀x┐G(x) (量词否定) ⇔∀x(F(x)∧┐G(x)) ⇔∀x(F(x)∧┐G(x)) (量词分配) 量词分配) 由此可知，(1)中公式的前束范式是不唯一的中公式的前束范式是不唯一的。由此可知，(1)中公式的前束范式是不唯一的。
1/11/2011 discrete math
Logic 一阶逻辑
前束范式例子
Logic 一阶逻辑
⇔∀xA(x)→∃y B(y) 或∀xA(x)→∃x B(x) ⇔∀ ∃ ∃ ⇔∃x(A(x)→∃y B(y)) ⇔∃ ∃y (A(x)→B(y)) ∃ ⇔∃x∃ ⇔∃ 即为所求前束范式。即为所求前束范式。 (2)∀xA(x)∨∀x B(x) ∀ ∨ ⇔∀xA(x)∨∀yB(y) (换名 ∨ 换名) ⇔∀ 换名 ⇔∀x(A(x)∨∀yB(y)) ⇔∀ ∀y (A(x)∨B(y)) ∨ ⇔∀x∀ ⇔∀ ∨

数理逻辑-谓词逻辑

2.4 前束范式
每个谓词公式F都可以变换成与它等值的前束范式. 其步骤如下：
① 消去联结词，，； ② 将联结词移至原子谓词公式之前； ③ 利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不
同，并且自由变元与约束变元的符号也不同； ④将x,x移至整个公式最左边； ⑤ 将公式化为前束范式。
一般地，前束范式不是唯一地。
等值式；(3) 量词辖域扩张和收缩的等值式；(4) 量词与联结词，，的等值式；(5) 量词与联结词的重言蕴含式；(6) 两个量词公式间的等值式与重言蕴含式
US规则(全称量词消去规则) UG规则(全称量词附加规则) ES规则(存在量词消去规则) EG规则(存在量词附加规则)等
2.5 谓词逻辑地推理理论
课堂练习
本章小结
本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，
谓词逻辑推理证明
主要概念：谓词个体词量词变元前束范式推理规
则
主要方法：推理规则（US规则 UG规则 ES规则 EG规则）主要公式： (1)命题公式的推广；(2) 量词否定式的
③ 函数为
④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
求在解释I下各公式的真值.
(1) x( F(x)G(x,a))

命题逻辑与谓词逻辑

谓词变元命名式 : 一个n元谓词常被表示成 P(x1, x2, …, xn) 。
a
9
2．量词
? 全称量词 : “(? x)P(x)”表示命题“对个体域中所有的个体 x，谓词 P(x)均为 T”。
? 存在量词 : “(? x)Q(x)”表示命题“在个体域中存在某个个体使谓词 Q(x)为T”。其中“? ”叫存在
T
T
I10
F
T
T
F
I 11
F
T
F
T
I 12
F
T
F
F
I13
F
F
T
T
I14
F
F
T
F
I 15
F
F
F
T
I16
F
F
F
F
a
如对 I6，则有 B(I6)?=?T。因为：对 x?=?1时，存在一个 y?=?1，有 P(x, y)?=?P (1, 1)?=?T。对x?=?2时，存在一个y?=?1，有 P(x, y)?=?P(2, 1)?=?T。所以在 I6解释下，公式 B为真。
f (0) f (1)
1
0
a
19
（c）对每个谓词符号指派一个由 D1到{F，T}的映射（对 P(x)）或D2到{F，T}的映射（对 Q(f(x), a)），如：
P(0) P(1) Q(0, 0) Q(0, 1) Q(1, 0) Q(1, 1)

谓词逻辑的性质及前束范式

第七讲

谓词逻辑的性质及前束范式

1.在命题逻辑中成立的基本等价式（详见第三讲）可以推广到谓词逻辑中：

例如：

幂等律在谓词逻辑中表述为：

x A（x）∧x A（x）x A（x）

蕴涵律在谓词逻辑中表述为：

x（A（x）→B）x（┓A（x）∨B）

2.量词和否定的交换：

┓x A（x）x ┓A（x）

3.量词辖域的扩张和收缩

【这里注意x（A（x）→B）和xA（x）→B 的区别：

比如A（x）: x遵纪守法B：社会和谐

xA（x）→B表述为：只要人人遵纪守法，社会就会和谐

x（A（x）→B）表述为：对于每一人，只要他遵纪守法，社会就会和谐】

以下是等价公式：

（1）x（A（x）∨B）xA（x）∨B

（2）x（A（x）∧B）xA（x）∧B

（3）x（A（x）∨B）xA（x）∨B

（4）x（A（x）∧B）xA（x）∧B

（5）x（A（x）→B）xA（x）→B

该公式看上去难以理解，所以证明如下：

x（A（x）→B）x（┓A（x）∨B）蕴涵律

x┓A（x）∨B

┓xA（x）∨B 否定的交换

xA（x）→B 蕴涵律

（6）x（B→A（x））B→xA（x）

（7）x（A（x）→B）xA（x）→B （证明类似公式（5））

（8）x（B→A（x））B→xA（x）

4.量词和联结词的关系的等值式

xA（x）∧xB（x）x(A（x）∧B（x）)

xA（x）∨xB（x）x(A（x）∨B（x）)

5.量词和联结词的重言蕴含式

xA（x）∨xB（x）x（A（x）∨B（x））

x（A（x）∧B（x））xA（x）∧x B（x）

后者是不能推出前者的，比如对于第一个公式：

离散数学第2章谓词逻辑

Q(y)：y是古书。 a：这只 b：那些 R(a) ∧ Q(b) ∧ F(a,b)
法2： A(x): x是书柜。B(x)：x是大的。 C(x)：x是红的。 D(y)：y是古老的。 E(y)：y是图书。 F(x,y)：x摆满了y。 a：这只 b：那些 A(a) ∧ B(a) ∧ C(a) ∧ D(b) ∧ E(b) ∧ F(a,b)
9
§1 谓Biblioteka Baidu的概念与表示法
例：武汉位于北京和广州之间。武汉、北京和广州是三个个体，而“…位于…
和…之间”是谓词，它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。
设P：…位于…和…之间， a：武汉，b：北京，c：广州，
则P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。
10
§1 谓词的概念与表示法
注意： 1. 若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词；若谓
写成符号形式： (x) (M(x) → D(x))， M(s) D(s)
35
§3 谓词公式与翻译
例8：用谓词公式写出下式。任给小正数，则存在一个正数，使得当 0<|x-a|<
时有|f(x)-b|< 。此时即称lim f (x)=b。x→a 解：设P(x,y)：x大于y
Q(x,y)：x小于y lim f (x)=b 可表示为：
26
§2 命题函数与量词
注意：（1）论述域不同，由量词确定的表达式也不同。（2）在命题函数中，个体域可以限定，也可不限定。

3.2前束范式谓词推理

2/4/2019 discrete math
谓词逻辑的推理理论
Logic 一阶逻辑
谓词逻辑 Lp 是命题逻辑 Ls 的进一步深化和发展，因此 Ls 的推理理论在 Lp 中几乎可以完全照搬。
在 Lp 中，某些前提和结论可能受到量词的约束，为确立前提和结论之间的内部联系，有必要消去量词和添加量词。正确理解和运用有关量词规则是 Lp 推理理论中的关键。
x(P(x)┑Q(x))，x(Q(x)∨R(x))，x┒R(x) x┒P(x) 证明：① x┒R(x) 前提引入 ② ┒R(c) ①EI ③ x(Q(x)∨R(x)) 前提引入 ④ Q(c)∨R(c) ③ UI ⑤ Q(c) ②④ 析取三段论 ⑥ x(P(x)┑Q(x)) 前提引入 ⑦ P(c)┑Q(c) ⑥ UI ⑧ ┑P(c) ⑤⑦ 拒取式 ⑨ x┒P(x) ⑧ EG 故，原推证成立，证毕。
2/4/2019
discrete math
前束范式例子
Logic 一阶逻辑
前束范式的特点是，所有量词均非否定地出现在公式最前面，且它的辖域一直延伸到公式之末。例如，xyz((P(x,y)Q(y,z)) R(x,y)) 是前束范式。而xP(x)yQ(y)，x(P(x)yQ(x,y)) 不是前束范式。
P(c) for an arbitrary c
Universal instantiation

第七讲谓词逻辑的性质及前束范式

第七讲

谓词逻辑的性质及前束范式

1.在命题逻辑中成立的基本等价式（详见第三讲）可以推广到谓词逻辑中：例如：

幂等律在谓词逻辑中表述为：

∃x A（x）∧∃x A（x）⇔∃x A（x）

蕴涵律在谓词逻辑中表述为：

∀x（ A（x）→B）⇔∀x（┓A（x）∨B）

2.量词和否定的交换：

┓∀x A（x）⇔∃x ┓A（x）

┓∃x A（x）⇔∀x ┓A（x）

3.量词辖域的扩张和收缩

【这里注意∀x（A（x）→B）和∀xA（x）→B 的区别：

比如A（x）: x遵纪守法 B：社会和谐

∀xA（x）→B表述为：只要人人遵纪守法，社会就会和谐

∀x（A（x）→B）表述为：对于每一人，只要他遵纪守法，社会就会和谐】以下是等价公式：

（1）∀x（A（x）∨B）⇔∀xA（x）∨B

（2）∀x（A（x）∧B）⇔∀xA（x）∧B

（3）∃x（A（x）∨B）⇔∃xA（x）∨B

（4）∃x（A（x）∧B）⇔∃xA（x）∧B

（5）∀x（A（x）→B）⇔∃xA（x）→B

该公式看上去难以理解，所以证明如下：

∀x（A（x）→B）⇔∀x（┓A（x）∨B）蕴涵律

⇔∀x┓A（x）∨B

⇔┓∃xA（x）∨B 否定的交换

⇔∃xA（x）→B 蕴涵律

（6）∀x（B→A（x））⇔ B→∀xA（x）

（7）∃x（A（x）→B）⇔∀xA（x）→B （证明类似公式（5））

（8）∃x（B→A（x））⇔ B→∃xA（x）

4.量词和联结词的关系的等值式

∀xA（x）∧∀xB（x）⇔∀x(A（x）∧B（x）)

∃xA（x）∨∃xB（x）⇔∃x(A（x）∨B（x）)

5.量词和联结词的重言蕴含式

离散数学数理逻辑

9
定义4 合式公式是如下定义的一个符号串 (1) 原子公式是合式公式； (2) 若A, B是合式公式，则如下符号串(¬A), (A∨B), (A∧B), (A→B), (A↔B), (A∨ B)也是合式公式； (3) 若A是合式公式，则∀xA, ∃xA是合式公式； (4) 所有合式公式(谓词公式)都是有限次使用 (1)(2)(3)得到的符号串。例：(1) ∃x (P(f (x))∧Q(x, f (a))); (2) ∀x (P(x)∧Q(x, a)). 两个符号串都是公式。
7
7.3 谓词公式的翻译与解释定义1 字母表如下： (1) 个体常项：a,b,c,… (2) 个体变项：x,y,z,… 个体词∈D (3) 函数符号：f ( ),g( ),… (4) 谓词符号：P( ),Q( ),… (5) 量词符号：∀,∃ (6) 逻辑符号：¬,∨,∧,→,↔,∨ (7) 括号与逗号：(, ), ， • 注意函数与谓词的区别
4
7.2 命题函数与量词 • 对于个体词具有数量的概念。如所有的人都要死的。有的人活百岁以上。定义：“任意x ”称全称量词，记∀x。定义 “存在一个x ”称存在量词，记∃x。 • 对上面的例子，可设 F(x): x 要死的。 G(x): x 活百岁以上。 ∀xF(x). ∃xG(x).
5
这两个命题的真值都为T.
19
例1 (1) ∃x (P(f (x))∧Q(x, f (a)))的一个解释 I： D = {2, 3}

离散数学(谓词逻辑)课后总结

第二章谓词逻辑

2—1基本概念

例题１. 所有的自然数都是整数。

设N(x)：x是自然数。I(x)：x是整数。此命题可以写成∀x(N(x)→I(x))

例题２. 有些自然数是偶数。

设E(x)：x是偶数。此命题可以写成∃x(N(x)∧E(x))

例题3. 每个人都有一个生母。

设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写成：∀x(P(x)→∃y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化

例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。

其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x，

谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数，

则此命题可以表示为：∀x(O(x)→E(g(x)))

例题2 小王的父亲是个医生。

设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a))。

例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。

设h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:∀x∀y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))

命题的符号表达式与论域有关系

两个公式：一般地，设论域为{a1,a2,....,an}，则有

(1). ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)

(2). ∃xB(x)⇔B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)

1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。

表达式∀x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因∀x(N(x)→I(x))⇔(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an))

第七讲 谓词逻辑的性质及前束范式

3.2前束范式谓词推理

7谓词逻辑

命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案

北京工业大学《离散数学》课件-第三章 谓词逻辑

离散数学26 前束范式

3.2前束范式谓词推理

数理逻辑-谓词逻辑

命题逻辑与谓词逻辑

谓词逻辑的性质及前束范式

离散数学第2章 谓词逻辑

3.2前束范式谓词推理

第七讲谓词逻辑的性质及前束范式

离散数学 数 理 逻 辑

离散数学(谓词逻辑)课后总结

第七讲谓词逻辑的性质及前束范式

北京工业大学《离散数学》课件-第三章谓词逻辑

离散数学第2章谓词逻辑

离散数学数理逻辑