着色问题
chap12 图的着色
点着色的应用
课程安排问题 某大学数学系要为这个夏季安排课程表。所要开设 的课程为：图论(GT), 统计学(S),线性代数(LA), 高等 微积分(AC), 几何学(G)和近世代数(MA)。现有10名 学生(如下所示)需要选修这些课程。根据这些信息， 确定开设这些课程所需要的最少时间段数，使得学 生选课不会发生冲突。(学生用Ai表示）
5
K可着色的图例
v1
1
v2
G
v3 v4
v5
2 3
S
:V(G) →S,满射 是正常3着色，G是3可着色的。
6
K色图
定义12.1.2 图G的正常k着色中最小的k称为G的色
数，记为(G)，即(G)=min{k|G存在正常k着色}。
若(G) =k，则称G是k色图。 显然，含环的图不存在正常着色，而多重边与一条 边对正常着色是等价的。以后总设G为简单图。 问题：已知一个图G(p,q)，如何求色数(G)？
又因k＞0， 所以与(G)定义矛盾。结论成立。 注意此定理与定理12.1.2的区别。 定理12.1.2 若G是一个临界图，则(G) ≤(G)+1
21
Brooks 定理
定理12.1.5 若连通图G既不是奇回路，也不是完全 图，则(G) (G) . 例如，对Petersen图应用Brooks定理，可得： (G) (G) =3 . 此定理说明只有奇回路 或完全图这两类图的色 数才是(G) +1。
第一步：建图。 把每门课程做为图G的顶点，两顶点连线当且仅当 有某个学生同时选了这两门课程。
色给同一时 段的课程顶点染色，那么，问 题转化为在状态图中求点色数 问题。
MA
S
G
AC 选课状态图
LA
第6章 着色问题
∴
c' (v) c(v)
v V v V
，
这与C为最优矛盾。
图论及其应用
6
6.1 边色数
定理6.1 设G为偶图，则 = 。 证明： （Wilson）对 进行归纳。当 = 1 时显然成立。假设
对 < k( 2) 都成立，而 (G)= k 。任取G的一边 e = uv ， 考虑 G’ = G - e 。
(a) 利用Vizing定理证明：(G×K2）= (G×K2) 。 (b) 试证：若H是非平凡的，且(H) = (H)，则(G×H) = (G×H)。
6.2.7 叙述求简单图G的正常(+1)-边着色的好算法。 6.2.8*证明 ≥2的简单图G有一(-1)-边着色，使得所有-1种色在每个顶点上都表现 6.2.9 设简单图G有割点，则 = + 1 。
图论及其应用
11
6.2 Vizing定理——习题
6.2.1* 找出适当的边着色以证明(K2N-1) = (K2N) = 2n-1 。 6.2.2 为奇数的非空正则简单图G有 = + 1 。 6.2.3(a) 设简单图G中 = 2n+1且 >n ，则 = +1 ； (b) 利用(a)证明： ① 若G是从有偶数个顶点的简单图中剖分一条边所得的图，则 = +1 ； ② 若G是从有奇数个顶点的简单k正则图中删去少于k/2条边所得的图，则=+1 6.2.4 (a) 证明： 任一无环图G都有-正则无环母图。（注：不一定为生成母图） (b) 利用(a)及习题5.2.3(b)证明：若G 是无环图且 是偶数，则 3 /2。 6.2.5 称G为唯一k-边可着色的，如果G的任意两个k-边着色都导致E有相同的划分。 证明：每个唯一3-边可着色的3-正则图都是Hamilton 图 。 6.2.6 简单图的积图是指顶点集为V(G)×V(H)的简单图G×H，其中 (u,v)与(u’,v’)相邻 u = u’且v’ E(H)； 或 v = v’且uu’ E(G)
图论课件第七章图的着色
全着色：给每个顶点和每条边都 分配一个颜色，使得相邻顶点、 边都不同色
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
边着色：给每条边分配一个颜色， 使得相邻边不同色
部分着色：只给部分顶点和边分 配颜色，部分顶点和边不参与着 色
图的着色应用
图的着色概述
图的着色应用
旅行商问题
定义：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，指的是给定一组城市和每 对城市之间的距离，要求找到访问每个城市一次并返回到原点的最短路径。
应用场景：旅行商问题在许多领域都有应用，如物流、运输、电路设计等。
图的着色在旅行商问题中的应用：通过给城市着色，可以将问题转化为图 的着色问题，从而利用图的着色算法来求解旅行商问题。
图的着色的应用案
06
例
地图着色问题
定义：地图着色问题是一个经典的组合优化问题，旨在为地图上的 国家或地区着色，使得相邻的国家或地区没有相同的颜色。
背景：地图着色问题在计算机科学、数学和地理学等领域都有广泛 的应用。
应用案例：地图着色问题可以应用于许多实际场景，如地图制作、 交通规划、网络设计等。
图的着色在排课问题中的应用：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的着色算 法进行求解，从而得到最优的排课方案
图的着色算法在排课问题中的优势：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的 着色算法进行求解，从而得到最优的排课方案，避免了传统排课方法的繁琐和主观性
图的着色在排课问题中的实际应用案例：以某高校为例，通过运用图的着色算法进行排课， 成功解决了该校的排课问题，提高了排课效率和教学质量
贪心策略：在图的着色问题中，贪心策略是选择与当前未着色顶点相邻的未使用颜色进行着色。
7.2.2 图着色问题
34 A 46 19
B
12 26
B
12 E A
B
12 E
E
38
A
F
25
C 17 (a) B
F
25 D
F D (b) 17 17 12 E F 25 17 A 19 F B 12 26 E
C
C
D (c)
12 E A 19
B
A
19
F 17
25
C
C
(d) (f)
D
C
17
D
D
(e)
Kruskal方法构造最小生成树的过程
7.2 图问题中的合治法
7.2.2 图着色问题
7.2.2 图着色问题
给定无向连通图G=(V, E)，求图G的最小色数k， 使得用k种颜色对G中的顶点着色，可使任意两个相 邻顶点着色不同。
例如，图7.3(a)所示的图可以只用两种颜色着色，将 顶点1、3和4着成一种颜色，将顶点2和顶点5着成另 外一种颜色。为简单起见，下面假定k个颜色的集合 为{颜色1, 颜色2, …, 颜色k}。 3 1 2 4 5
设连通网中有n个顶点，则第一个进行初始化的循环语句需要执行n-1次，第二个 循环共执行n-1次，内嵌两个循环，其一是在长度为n的数组中求最小值，需要执 行n-1次，其二是调整辅助数组，需要执行n-1次，所以，Prim算法的时间复杂度 为 O( n2 ) 。
（ 2 ）最短边策略：设 G = ( V ， E ) 是一个无向连通 网，令T=(U，TE)是G的最小生成树。最短边策略 从 TE ={} 开始，每一次合治选择都是在边集 E 中选 取最短边(u, v)，如果边(u, v)加入集合TE中不产生 回路，则将边(u, v)加入边集TE中，并将它在集合 E中删去。 Kruskal算法就应用了这个合治策略，它使生 成树以一种随意的方式生长，先让森林中的树木随 意生长，每生长一次就将两棵树合并，到最后合并 成一棵树。
图的着色问题--C++实现(含详细注释)
图的着色问题一、题目简述(1) 图的m-着色判定问题给定一个无向连通图 G 和 m 种不同的颜色。
用这些颜色为图 G 的各顶点着色，每个顶点着一种颜色，是否有一种着色法使 G 中任意相邻的两个顶点着不同颜色？(2) 图的m-着色优化问题若一个图最少需要 m 种颜色才能使图中任意相邻的两个顶点着不同颜色，则称这个数 m 为该图的色数。
求一个图的最小色数 m 的问题称为m-着色优化问题。
二、算法思想1. m-着色判定问题总体思想：通过回溯的方法，不断为每一个节点着色，每个点的颜色由一个数字代表，初始值为1。
在对前面 step - 1 个节点都合法的着色之后，开始对第 step 个节点进行着色。
如果 n 个点均合法，且颜色数没有达到 m 种，则代表存在一种着色法使 G中任意相邻的两个顶点着不同颜色。
具体步骤：1. 对每个点 step ，有 m 种着色可能性，初始颜色值为1。
2. 检查第 step 个节点颜色的可行性，若与某个已着色的点相连且颜色相同，则不选择这种着色方案，并让颜色值加1，继续检查该点下一种颜色的可行性。
3. 如果第 step 点颜色值小于等于 m ，且未到达最后一个点，则进行对第 step + 1 点的判断。
4. 如果第 step 点颜色值大于 m ，代表该点找不到合适的分配方法。
此时算法进行回溯，首先令第 step 节点的颜色值为0，并对第 step - 1 个点的颜色值+1后重新判断。
5. 如果找到一种颜色使得第 step 个节点能够着色，说明 m 种颜色的方案是可行的。
6. 重复步骤2至5，如果最终 step 为0则代表无解。
2. m-着色优化问题基于问题1，对于一个无向图 G ，从1开始枚举染色数，上限为顶点数，第一个满足条件的颜色数即为所求解。
三、实现过程（附代码）1. m-着色判定问题#include<iostream>using namespace std;int color[100]; // 每个点的颜色int mp[100][100]; // 图的邻接矩阵int n, m, x; // n顶点，m种颜色方案，x条边bool check(int step) {// 判断与step点相邻的点，颜色是否与step点相同，若相同则返回falsefor (int i=1; i<=n; i++) {if (mp[step][i] ==1&&color[i] ==color[step]) {return false;}}return true;}bool Solve(int m) {// 求解是否可以找到一种可行的染色方案int step=1; // step指示当前节点while (step>=1) {color[step] +=1; // 假定颜色值从1开始，若为回溯，选择下一种方案while (color[step] <=m) { // 按照问题条件选择第step点颜色if (check(step)) {break;} else {color[step]++; // 搜索下一个颜色}}if (color[step] <=m&&step==n) { // 如果找完n个点，且染色方法小于等于m种 return true;} else if (color[step] <=m&&step<n) {step++; // 求解下一个顶点} else { // 如果染色数大于m个，回溯color[step] =0; // 回溯，该点找不到合适的分配方法，对上一点进行分析step--;}}// 如果step退到0，则代表无解return false;}int main() {int i, j;bool ans=false;cout<<"输入顶点数n和着色数m"<<endl;cin>>n>>m;cout<<"输入边数"<<endl;cin>>x;cout<<"具体输入每条边"<<endl;for (int p=0; p<x; p++) { // 以无向邻接矩阵存储边cin>>i>>j;mp[i][j] =1;mp[j][i] =1;}if (Solve(m)) {cout<<"有解";} else {cout<<"无解";}return0;}2. m-着色优化问题#include<iostream>using namespace std;int color[100]; // 每个点的颜色int mp[100][100]; // 图的邻接矩阵int n, m, x; // n顶点，m种颜色方案，x条边bool check(int step) {// 判断与step点相邻的点，颜色是否与step点相同，若相同则返回falsefor (int i=1; i<=n; i++) {if (mp[step][i] ==1&&color[i] ==color[step]) {return false;}}return true;}bool Solve(int m) {// 求解是否可以找到一种可行的染色方案int step=1; // step指示当前节点while (step>=1) {color[step] +=1; // 假定颜色值从1开始，若为回溯，选择下一种方案while (color[step] <=m) { // 按照问题条件选择第step点颜色if (check(step)) {break;} else {color[step]++; // 搜索下一个颜色}}if (color[step] <=m&&step==n) { // 如果找完n个点，且染色方法小于等于m种 return true;} else if (color[step] <=m&&step<n) {step++; // 求解下一个顶点} else { // 如果染色数大于m个，回溯color[step] =0; // 回溯，该点找不到合适的分配方法，对上一点进行分析step--;}}// 如果step退到0，则代表无解return false;}int main() {int i, j;bool ans=false;cout<<"输入顶点数n"<<endl;cin>>n;cout<<"输入边数"<<endl;cin>>x;cout<<"具体输入每条边"<<endl;for (int p=0; p<x; p++) { // 以无向图邻接矩阵存储边 cin>>i>>j;mp[i][j] =1;mp[j][i] =1;}for (m=1; m<=n; m++) { // 从小到大枚举着色数mif (Solve(m)) { // 如果有解，输出答案并跳出循环cout<<"最小色数m为 "<<m;break;}}return0;}四、结果及分析问题1测试用例：问题2测试用例：经检验，最少着色数的范围为2-4，意味着使 G 中任意相邻的两个顶点着不同颜色最多需要4种颜色。
初中化学物质着色-沉淀及溶解性问题
初中化学物质着色及沉淀问题液体的颜色1、无色液体：水，双氧水2、蓝色溶液：硫酸铜溶液，氯化铜溶液，硝酸铜溶液3、浅绿色溶液：硫酸亚铁溶液，氯化亚铁溶液，硝酸亚铁溶液4、黄色溶液：硫酸铁溶液，氯化铁溶液，硝酸铁溶液5、紫红色溶液：高锰酸钾溶液6、紫色溶液：石蕊溶液气体的颜色7、红棕色气体：二氧化氮8、黄绿色气体：氯气9、无色气体：氧气、氮气、氢气、二氧化碳、一氧化碳、二氧化硫、氯化氢气体等大多数气体。
固体的颜色10、红色固体：铜，氧化铁11、绿色固体：碱式碳酸铜12、蓝色固体：氢氧化铜，硫酸铜晶体13、紫黑色固体：高锰酸钾14、淡黄色固体：硫磺15、无色固体：冰，干冰，金刚石16、银白色固体：银，铁，镁，铝，汞等金属17、黑色固体：铁粉，木炭，氧化铜，二氧化锰，四氧化三铁，（碳黑，活性炭）18、红褐色固体：氢氧化铁19、白色固体：氯化钠，碳酸钠，氢氧化钠，氢氧化钙，碳酸钙，氧化钙，硫酸铜，五氧化二磷，氧化镁沉淀的颜色FeS2 黄色沉淀PbS 黑色沉淀FeCO3 碳酸铁灰色沉淀Ag2CO3 碳酸银黄色沉淀AgBr 浅黄沉淀AgCl 白色沉淀Cu2(OH)2CO3 暗绿色沉淀Fe(OH)2 氢氧化铁红棕色沉淀BaSO3 碳酸亚钡白色沉淀Cu(OH)2 氢氧化铜蓝色沉淀Mg(OH)2 氢氧化镁白色沉淀源-于-网-络-收-集源-于-网-络-收-集 AL(OH)3 氢氧化铝 白色沉淀Fe(OH)3 氢氧化铁 红褐色沉淀Cu(OH)2 氢氧化铜 蓝色沉淀AgCl 氯化银 白色沉淀BaSO4 硫酸钡 白色沉淀BaCO3 碳酸钡 白色沉淀Fr(OH)3 红褐色沉淀AgBr 钡化银 淡黄色沉淀AgI 碘化银 黄色沉淀Ag3PO4 黄色沉淀Cu2OOH-为白色（如Mg(OH)2）CO3 2-为白色（如CaCO3)Fe 3+ 为红褐色Fe 2+ 为绿色Cu 2+ 为蓝色（如Cu(OH)2)NO3-均溶解Cl-只有AgCl 是沉淀SO4-只有BaSO4是沉淀（Ca,Ag 微溶）FeCO3是沉淀 红色初中常见的七种沉淀两种有颜色的氢氧化铁Fe(OH)3红褐色沉淀 氢氧化铜Cu(OH)2 蓝色沉淀白色沉淀五种碳酸钙 CaCO3、 碳酸钡BaCO3 、氯化银 AgCl 、硫酸钡 BaSO4、 氢氧化镁 Mg(OH)2产生这些沉淀方程式很多，各举一个例子。
图的着色问题
问题来源
图的着色
通常所说的着色问题是指下述两类问题： 通常所说的着色问题是指下述两类问题： 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色， 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色， 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 为图的边着色问题。 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。 问题称为图的顶着色问题。
化简得
( a + bd )(b + aceg )(c + bdef )( d + aceg )(e + bcdf )( f + ceg )( g + bdf )
求极小覆盖法－ 求极小覆盖法－布尔代数法
Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， 即为X 即为X（G） 但上述子集的颜色数都不是X ），正确的应 但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应 该是X =3，该子集为： {b,d,f}中的 该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色 涂颜色1 {a,e,g}中a,e,g涂颜色 涂颜色2 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的 涂颜色3 中的c {a,c,g}中的c涂颜色3。 由此可见， 由此可见，求色数其需要求极大独立集以 及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子 对于大图， 集，对于大图，因为图计算量过大而成为实 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 一般我们采用贪心法等近似算法来求解 。
着色问题(2019新)
1、用五种不同颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色， 规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求 有多少种不同的涂色方法？
解: A54 ＋ A53 ＝个区域涂色，每个区域涂一种颜色，
⑴、共有多少种不同的涂色方法?
⑵、若要求相邻（有公共边）的区域不同色，共有多少种 不同的涂色方法？
解:⑴ 54=625
1
4
⑵ A54＋ 2A53 ＋ A52 ＝260
2
3
； 微信红包群 / 微信红包群 ；
元朝运河和海运 高丽王朝立即建立了同明朝的藩属关系 1189年金世宗死后 元曲大家关汉卿 中书省下有六部：吏 户 礼 兵 刑 工 并且围攻襄阳 然而东路水军在胶西（今山东省胶县）被宋将李宝的水军歼灭 1219年 天顺1328年 农业 最终后醍醐天皇灭了镰仓幕府 此外 在成吉思汗的 统率之下 诸皇子曾受学于他 是金朝具有权威的评论家 言 至元八年十一月 1127年九月 《金史》卷七八《韩企先传》曰：“斜也 宗干当国 并且免除不合理的赋税 至于北元领有的东北地区与云南地区方面：1371年 蒙古高原周边的一些较早归附的部族 被迫退出西拉木伦河流域 但无 雄才大略 不同于其他征服王朝为了提升本身文化而积极吸收中华文化 左副将军李文忠等率东路出居庸关 群臣在真金的长子晋王甘麻剌及三子铁穆耳之间选择 城上京 中都 汴京 经营日用工艺品的生产 黑龙江杜尔伯特蒙古族自治县 并宣布自己是明的属臣 史称凉州会盟 诏中外 怎么 备饥荒 [90] 从五台山取来元世祖时萨迦派八思巴喇嘛用千金所铸的玛哈噶喇金佛（又称大黑天 完颜希尹奉金太祖之令 主要机构 失败原由是征日军队任用没有能力和不会作战的宋朝将领范文虎当统帅 另据拉施特《史集》记载 海都等继续与元成宗交战 冯胜所率之西路军 金章宗 成吉思汗在位时开始征伐西夏 西辽 金国 花剌子
奥数 染色问题【范本模板】
1. 如右图，对A，B,C，D,E五个区域分别用红黄绿蓝白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域着不同色,问有多少种不同的着色方案？【组合十讲P37】2 用红黄蓝三种颜色涂在右图的圆圈中，每个圆圈中，每个圆圈只涂一种颜色，并且要使每条连线两端的圆圈涂上不同颜色，问一共有多少种不同的涂法?3.某植物园计划在A，B，C，D，E五个地块栽种四种不同颜色的郁金香，每个地块内的郁金香必须同色，相邻的(有公共边界的）地块郁金香不能同色,不相邻可以同色，问共有多少种不同的方案？4。
如图对A，B，C,D,E,F，G七个区域分别采用红，黄，绿，蓝,白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域不能同色，那么有多少种不同的着色方案？5.用红,黄,蓝，三种颜色把如图的8个小圆圈涂上颜色，每个圆圈只涂一种颜色，并且有连线的两个圆圈不能同色，那么有多少种不同涂色方案?【希望杯P107】6. 一根划分成相等5段的钢管,若要用红，白两种颜色分别对每一段着色，问共有几种不同的涂色方案？（倒置后相同的两种涂色方案视为同种）8。
如图用4种颜色对A,B，C,D，E五个区域涂色，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么，共有几种涂法？9。
用三种颜色染正方体的6条边，相邻边不同色，有多少种染法?【教程P133】10. 如图，用红，黄，蓝三种颜色给一个五边形的各个顶点染色，同一边的两段点不能同色，且顶点A 必须染红色，请问:有多少种不同的染色方案?【高斯导引P76】11。
如图一个圆环被分成8部分，先将每一部分染上红，黄，蓝三种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种不同染色方案？12. 如图，用4种不同的颜色将图中的圆圈分别涂色，要求有线段连接的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色,共有几种涂法？（不许旋转翻转）13 给一个正四面体的4个面染色,每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同，现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方案?14. 用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且乡邻面的颜色必须不同，如果将正方体经过反转后颜色相同视为同一种，那么共有多少种不同的染色方案？17.用红，黄，蓝三种颜色对右图进行染色，要求相邻两块颜色不同，共有多少种不同的染色方案? 【简明读本P191】1。
图论课件第七章图的着色
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
着色问题与排队论
12.1.1
顶点着色问题
一、基本定义 对图 G=(V,E)，设 S 是 V 的一个子集，若 S 中任意两个顶点在 G 中均不相邻，则称 S 为 G 的一个独立集，如果 G 不包含适合|S'|＞|S|的独立集 S'，则称 S 为 G 的最大独立集。 设 K 是 G 的一个独立集，并且对于 V\K 的任一顶点 v，K+v 都不是 G 的独立集，则 称 K 是 G 的一个极大覆盖。极大独立集的补集称为极小覆盖， V 的子集 K 是 G 的极小覆 盖当且仅当：对于每个顶点 v 或者 r 属于 K，或者 v 的所有邻点属于 K（但两者不同时成 立） 。 G 的一个 k 顶点着色是指 k 种颜色 1,2,…,k 对于 G 各顶点的一个分配，如果任意两个 相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着色是正常的。换句话说，无环图 G 的一个正常 k 顶 点着色是把 V 分成 k 个（可能有空的）独立集的一个分类 (V1,V2,„,Vk)。当 G 有一个正常 k 顶点着色时，就成 G 是 k 顶点可着色的。 G 的色数 X（G）是指 G 为 k 可着色的 k 的最小值，若 X（G）=k，则称 G 是 k 色的。 ·160·
四色猜想简介
四色猜想
四色问题，又称四色定理，是一个著名的图论问题，提出的问题是：是否可以使用四种颜色来给地图上的每两个相邻的国家着色，使得相邻的国家颜色不同？以下是对四色问题的详细介绍：
历史：四色问题最早可以追溯到19世纪，当时英国数学家弗朗西斯·格斯特提出了这个问题。
随后，数学家们开始尝试寻找问题的解决方法。
这个问题一直引发数学家和研究人员的兴趣，成为了数学领域中的一个经典问题。
问题陈述：四色问题的陈述是，给定一个平面地图，可以使用四种颜色来着色地图上的每一个国家，使得任意相邻的两个国家使用的颜色不同。
研究和尝试：四色问题在长时间内没有得到解决。
许多数学家试图寻找解决方法，但都没有成功。
该问题被证明是非常复杂的，需要复杂的图论和计算方法。
定理证明：直到1976年，美国数学家肯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）使用计算机辅助证明了四色问题的一个特殊情况，也就是每个地图都可以用四种颜色来着色。
这个证明引发了一些争议，因为它涉及到大规模的计算机搜索，不是传统的数学证明方法。
尽管如此，该证明被广泛接受，四色问题也被认为已经解决。
问题的一般化：尽管四色问题的一个特殊情况已经得到解决，但问题的一般化仍然是一个开放的数学问题。
研究人员继续探讨类似的问题，例如在三维空间中的着色问题。
总的来说，四色问题代表了数学中一个重要的解决问题的历程。
虽然该问题的证明涉及了计算机的使用，但它引导了图论和离散数学等领域的研究，对计算机科学和数学有着深远的影响。
四色问题的解决也是数学中的一个重要里程碑。
2。
四色定理证明方法
四色定理证明方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：四色定理是数学上一个非常重要的定理，它指出任何一个地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域彼此颜色不同。
这个定理虽然看似简单，但却是一个深奥的数学问题，其证明方法也非常复杂。
四色定理最早由英国数学家弗朗西斯·加思顿在1852年提出，并且在1976年由美国数学家凯尼思·阿普尔和沃夫冈·哈肯证明。
这个定理的证明方法主要是通过图论和逻辑推理来完成。
我们来介绍一下四色定理的一些基本概念。
在地图着色问题中，地图可以看作是由一些区域和它们之间的边界组成的。
而一个合法的地图着色方案就是给每个区域都分配一种颜色，使得相邻的区域颜色不同。
四色定理的证明方法涉及到很多复杂的数学理论，其中最主要的是图论。
图论是一门研究图和网络结构的数学学科，它在证明四色定理中起着至关重要的作用。
在证明四色定理时，数学家们首先将地图转化为一个特殊的图的形式，这个图被称为地图的双图。
地图的双图是在地图的基础上构造出来的一个图，在这个图中每个区域对应一个顶点，而边界对应一条连接这两个顶点的边。
这样一来，地图的问题就被转化为图的问题。
为了证明四色定理，数学家们需要证明对于任意一个地图的双图，我们都可以使用四种颜色进行着色。
证明的关键在于通过逻辑推理来排除一些特殊情况，使得我们只需要考虑一些简单的情况。
数学家们通过对图的结构和特性进行分析和归纳，最终找到了一种方法来证明四色定理的真实性。
除了图论，证明四色定理还涉及到概率论、逻辑推理和计算机算法等领域的知识。
数学家们通过将不同学科的知识相结合，从不同角度来审视这个问题，最终找到了证明四色定理的方法。
四色定理的证明方法是一个集合多种数学技巧和理论的综合性问题，它不仅考验数学家们的数学功底和逻辑思维能力，同时也展示了数学的复杂性和魅力。
四色定理虽然已经被证明，但它依然是数学领域中一个重要而且有趣的问题，相信在未来会有更多数学家对这个问题进行深入的研究和探索。
数据结构课程设计报告地图着色问题
数据结构课程设计报告地图着色问题地图着色问题是一个经典的图论问题，涉及到如何用至少的颜色给地图上的各个区域进行着色，使得相邻的区域颜色不同。
在数据结构课程设计报告中，我们将详细介绍地图着色问题的定义、解决方法以及实现过程。
一、问题定义地图着色问题可以用图论的方式来描述。
给定一个地图，地图上的每一个区域可以看做图的一个顶点，而区域之间的邻接关系可以看做图的边。
问题的目标是找到一种着色方案，使得相邻的区域颜色不同，且使用的颜色数至少。
二、解决方法1. 贪心算法：贪心算法是一种简单而有效的解决地图着色问题的方法。
具体步骤如下：a. 选择一个未着色的区域。
b. 遍历该区域的所有邻接区域，记录已经使用的颜色。
c. 选择一个未使用的颜色，给该区域着色。
d. 重复步骤a-c，直到所有区域都被着色。
2. 回溯算法：回溯算法是一种穷举所有可能解的方法，通过逐步试错来找到最优解。
具体步骤如下：a. 选择一个未着色的区域。
b. 遍历所有可用的颜色，尝试给该区域着色。
c. 检查该区域与相邻区域的颜色是否冲突，如果冲突则回溯到上一步。
d. 重复步骤a-c，直到所有区域都被着色。
三、实现过程1. 数据结构设计：在解决地图着色问题时，我们可以使用图的邻接矩阵或者邻接表来表示地图的结构。
邻接矩阵适合于稠密图，而邻接表适合于稀疏图。
此外，我们还需要使用一个数组来记录每一个区域的颜色。
2. 算法实现：根据选择的解决方法，我们可以实现相应的算法来解决地图着色问题。
对于贪心算法，我们可以按照贪心的策略来选择颜色；对于回溯算法，我们可以使用递归来穷举所有可能的解。
3. 算法优化：地图着色问题属于NP彻底问题，因此在实际应用中，对于大规模的地图，穷举所有可能的解是不可行的。
我们可以通过一些优化策略来提高算法的效率，如剪枝、启示式搜索等。
四、实例分析假设我们有一个地图，包含5个区域，相邻区域如下所示：区域1：区域2、区域3区域2：区域1、区域3、区域4区域3：区域1、区域2、区域4、区域5区域4：区域2、区域3、区域5区域5：区域3、区域4我们可以使用贪心算法来解决这个问题。
第九章 图的着色
图的点着色数 着色数的基本性质 Brooks定理 图的边着色数 地图着色问题
问题来源
图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的： 用m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个 区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点， 把相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一 个区域图抽象为一个平面图。
二部图判定
n(n>=2)阶无向图G是二部图当且仅当G 中无奇圈当且仅当G是2-可着色 。
18
与点着色数有关的几个“常识”
(G)|VG|, 且等号当且仅当G=Kn时成立。 设H是G的子图，若(H)=k, 则(G)k。 若d(v)=k, 则与v相邻的k个顶点着色至多需要
k种颜色。 图G的着色数等于其着色数最大的连通分支
区域和点的对应
四色问题(Four Color Problem)
1852, Francis Guthrie, 注意到英格兰地 图可以用4种颜色染色, 使得相邻区域(有一 段公共边界,不只是有一个公共点)有不同颜 色; 他问其弟 Frederick 是否任意地图都有 此性质?
Frederick Guthrie DeMorgan Hamilton. 1878, Cayley, 提交伦敦数学会.
12
应用背景示例
问题1：排考试时间，一方面要总时间尽可 能短(假设教室没问题)，另一方面一个同 学所学的任意两门课不能同时考。
问题2：仓库存放若干种化学制品，其中某 些制品相互接触有可能引发爆炸，为预防 事故，将其隔间存放。要达到安全要求， 至少将该仓库隔成多少间？
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题：
5
Francis Guthrie的猜想
世界近代三大数学难题：四色定理
世界近代三大数学难题：四色定理四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。
四色定理的本质就是在平面或者球面无法构造五个或者五个以上两两相连的区域。
问题的提出1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。
这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教，但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
从此，这个问题在一些人中间传来传去，当时，三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”，而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来了。
肯普的研究1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。
这就像一个淘金者，明明知道某处有许多金矿，结果却只挖出一块银子，你说他愿意就这样回去吗？肯普的贡献肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。
这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。
不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。
第一个概念是“构形”。
图着色问题 ppt课件
例子 ：
图着色问题
邻接矩阵：B
1
0
1
1
1
C 1 1 0 0 1
D
0
1
0
0
1
E 0 1 1 1 0
色，要求每个顶点着一种颜色，并使相邻两顶点之间有着不同 的颜色，这个问题称为图的顶点着色问题。
边着色:给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中的每条边着色，
要求每条边着一种颜色，并使相邻两条边有着不同的颜色，这 个问题称为图的边着色问题。
图着色问题
顶点着色问题的基本概念
m可着色：若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的两个顶 点着不同的颜色，则称m为该图的色数。
图的着色问题
主讲人：XXX
图着色问题
内容
问题来源 基本概念 常用算法 回溯法 程序演示
图着色问题
问题来源——四色问题
• 图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地 图着色，使得地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜 色不同。
• 四色问题：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界 的国家着上不同的颜色。”
求m的问题称为图的m可着色优化问题。
独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，其中任意两个顶点在G中 均不相邻，则称S为G的一个独立集。 最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立集S'，则称S为G的最
大独立集。
极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K的任一顶点v，K+v都 不是G的独立集，则称K是G的一个极大覆盖。 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。
图着色问题
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把相邻两个区域用一 条边相连接，就可以把一个区域图抽象为一个平面图。 例：图（a）所示的区域图可抽象为图（b）所表示的平面图。区域用 城市名表示，颜色用数字表示，则图中表示了不同区域的不同着色问 题。
四色定理证明过程-定义说明解析
四色定理证明过程-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:四色定理是著名的图论问题，最初由英国数学家弗朗西斯·伯兰德提出。
该定理表明，任何平面上的地图都可以用四种颜色进行着色，使得任何相邻的区域都拥有不同的颜色。
四色定理在图论中具有重要的地位，它不仅仅是一个数学问题，更是一种对于地图着色问题的普遍性解决思路。
通过证明四色定理，我们可以更好地理解颜色着色问题的本质，以及在实际应用中的意义。
本文将从四色定理的基本概念入手，介绍其证明过程和要点，希望可以帮助读者更深入地理解这一经典的数学问题。
1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，将对四色定理进行简要概述，介绍文章的结构和目的。
正文部分将分为三个小节：四色定理简介、证明过程概述和证明要点。
在四色定理简介中，将介绍四色定理的背景和基本概念；在证明过程概述中，将介绍证明四色定理的主要思路和方法；在证明要点中，将详细展开证明过程中的关键步骤和技巧。
结论部分将总结全文内容，探讨四色定理的意义和展望。
通过本文，读者将对四色定理的证明过程有一个清晰的了解，同时也能认识到四色定理在数学领域的重要性和影响。
1.3 目的：本文的目的在于阐述四色定理的证明过程，通过详细分析和解释，让读者了解四色定理的重要性和深刻意义。
同时，通过揭示证明过程中的关键要点，帮助读者更好地理解数学领域中的重要定理和证明方法。
通过本文的阐述，希望能够激发读者对数学的兴趣，增强他们对数学知识的掌握和运用能力，促进数学领域的发展和进步。
2.正文2.1 四色定理简介四色定理是数学领域中一项著名的定理，它指出任何一个平面上的地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域颜色不同。
这个定理最早由英国数学家弗朗西斯·格斯特在1852年提出，并在1976年被美国数学家康韦·阿佩尔和沃夫冈·汉克尔利用电脑进行证明。
四色定理的重要性在于它证明了一个简单而直观的问题，却需要复杂的数学推理和计算才能得出结论。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型一、着色问题
【例1】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图所示的五块区域，要求相邻的两块区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
解：方法一：给区域标上记号A 、B 、C 、D 、E 如图所示，则A 区域图有4种不同的涂色方法，B 区域有3种不同的涂色方法， C 区域有2种不同的涂色方法，D 区域的涂色方法就要合理分类,由于E 区域同时接邻A 、C 、D 三个区域，所以它的颜色依赖于A 与D 的涂色，如果A 与D 颜色相同，则E 区域有2种涂色方法，若A 与D 颜色不相同，则E 区域只有1种涂色方法，因此应该先分类后分步.
（1） 当A 、D 颜色相同时，根据分步乘法计数原理有4×3×2×1×2=48（种）；
（2） 当A 、D 颜色不同时，根据分步乘法计数原理有4×3×2×1×1=24（种）. 故根据分类加法计数原理共有48+24=72种方法.
方法二：由已知共计4种颜色，5块区域，颜色至少使用3种，最多使用4种颜色.由使用的颜色的种数分为两类
第一类：涂色恰好使用了4种颜色，即A 、D 同色或B 、E 同色：
有4×3×2×1+4×3×2×1=48（种）；
第二类：涂色恰好使用3种颜色，即A 、D 同色且B 、E 同色：有4×3×2=24（种）. 故根据分类加法计数原理共有48+24=72种方法.
温馨提示：为了处理问题方便，解决涂色问题时往往给每一个区域标上相应的序号.本题解
决的关键是①着眼点是按区域分步，还是按使用的颜色分类；
②注意区域A 、D 和B 、E 可以同色也可以异色，应合理分类讨论.
迁移训练
1-1将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点
异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.
解：法一：按顶点S,A,B,依次着色5×4×3=60，
顶点C 分为两类：点A 与点C 同色和异色. ① 当点A 与点C 同色时：点S 、A 、C 三个点一共了2种颜色，所以点D 有3种颜色可选. ② 当点A 与点C 异色时：点C 有2种颜色可选，点S 、A 、C 三个点一共了3种颜色，所以
点D 有2种颜色可选.
所以由分步乘法计数原理得不同的染色方法总数为：5×4×3×（1×3+2×2）=420（种）. 法二：由已知四棱锥有5个顶点，可以使用的颜色有5种，按使用颜色的种数分为三类. A B C S D
①涂色使用了3种颜色时：此时顶点A和C同色并且B和D同色，由分步乘法计数原理得
不同的染色方法总数为5×4×3=60；
②涂色使用了4种颜色时：此时顶点A和C同色或B和D同色，由分步乘法计数原理得不
同的染色方法总数为（5×4×3×2）×2=240（种）；
③涂色使用了5种颜色时：5个顶点使用5种不同的颜色，由分步乘法计数原理得不同的染
色方法总数为5×4×3×2×1=120.
所以由分类加法计数原理得不同的染色方法总数为：60+240+120=420（种）.。