2011年高考一轮课时训练(理)3.1.5函数的奇偶性与周期性 (通用版)

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高考数学一轮复习第二章函数2.3函数的奇偶性与周期性课时作业理

课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －2，则f (12log 6)的值等于( )．A ．－43B ．－72 C.12 D ．－122．函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )的表达式为( )．A ．－x ＋1B ．－x －1C ．x ＋1D ．x －13．(2013届湖南师大附中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g x ，x <0，且函数f (x )为偶函数，则g (－2)＝( )．A ．6B ．－6C ．2D ．－2 4．定义两种运算：a ⊕b ＝log 2(a 2－b 2)，a ⊗b ＝a －b 2，则函数f (x )＝2(2)2xx ⊕⊗-为( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇且非偶函数5．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 013)＋f (－2 014)的值为( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．26．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )．A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数7．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3＞0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )．A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负二、填空题8．(2013届湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，g x ，x <0，若f (x )是奇函数，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19的值为__________． 9．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是__________．10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (4)＝f (0)．其中判断正确的序号是__________．三、解答题11．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (3)＝－3.(1)证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数；(2)证明：函数y ＝f (x )是奇函数；(3)试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n ∈N *)上的值域．12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．参考答案一、选择题1．C 解析：f (12log 6) ＝－f (12log 6-)＝－f (log 26)＝－f (log 26－2)＝－(2log 622-－2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫64－2 ＝12，故选C. 2．B 解析：x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－(－x )＋1]＝－x －1.选B.3．A 解析：g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.4．A 解析：f (x )＝log 2(4－x 2)(x －2)2－2，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2>0，|x －2|－2≠0，得－2＜x ＜2且x ≠0，∴f (x )＝log 2(4－x 2)－x为奇函数． 5．C 解析：依题意得，x ≥0时，有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即x ≥0时，f (x )是以4为周期的函数．因此，f (2 013)＋f (－2 014)＝f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)．而f (2)＝－f (0)＝－log 2(0＋1)＝0，f (1)＝log 2(1＋1)＝1，故f (2 013)＋f (－2 014)＝1.6．D 解析：由y ＝f (x ＋1)为奇函数知f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)．①由y ＝f (x －1)为奇函数知f (x －1)＝－f (－x －1)．②由①得f (－x )＝－f (2＋x )；由②得f (－x )＝－f (x －2)，∴f (2＋x )＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )．∴函数y ＝f (x )是以4为周期的函数．∴由②知，f (x －1＋4)＝－f (－x －1＋4)．∴f (x ＋3)＝－f (－x ＋3)，∴函数f (x ＋3)是奇函数．7．A 解析：不妨设等差数列{a n }的公差d ＞0，若a 1＞0，则a 5＞a 3＞a 1＞0.由函数f (x )在R 上是增函数且为奇函数，知f (a 5)＞f (a 3)＞f (a 1)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0；若a 1＜0，则a 5＋a 1＝2a 3＞0，a 5＞－a 1＞0.由奇函数f (x )为R 上的增函数，知f (a 5)＞f (－a 1)＝－f (a 1)，所以f (a 1)＋f (a 5)＞0，又f (a 3)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0.故选A.二、填空题8．2 解析：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－log 319＝2. 9.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x <12，或x <－2 解析：当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2(－x )，x <0.∴f (x )＜－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 2x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0<－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，－log 2(－x )<－1⇒0＜x ＜12或x ＜－2.10．①②⑤ 解析：f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是周期函数．又f (x )＝f (－x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称．同理，f (x ＋4)＝f (x )＝f (－x )，∴f (x )关于直线x ＝2对称．由此可得①②⑤正确．三、解答题11．(1)证明：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)．∵x 2－x 1＞0，∴f (x 2－x 1)＜0.∴f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)＜f (x 1)，故f (x )是R 上的减函数．(2)证明：∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )恒成立，∴可令a ＝－b ＝x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)．又令a ＝b ＝0，则有f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.从而任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．故y ＝f (x )是奇函数．(3)解：由于y ＝f (x )是R 上的单调递减函数，∴y ＝f (x )在[m ，n ]上也是减函数，故f (x )在[m ，n ]上的最大值f (x )max ＝f (m )，最小值f (x )min ＝f (n )．由于f (n )＝f [1＋(n －1)]＝f (1)＋f (n －1)＝…＝nf (1)，同理f (m )＝mf (1)．又f (3)＝3f (1)＝－3，∴f (1)＝－1.∴f (m )＝－m ，f (n )＝－n .因此函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域为[－n ，－m ]．12．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1＜x ＜3，则－1＜x －2＜1.∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )， ∴－f (x )＝12(x －2)．∴f (x )＝－12(x －2)(1＜x ＜3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.又∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性课时作业6 文北师大版

2012届高考（文科）数学一轮复习课时作业6函数的奇偶性与周期性一、选择题1．（2011年安徽高考理3）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１（Ｄ）３解析：2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.故选A.答案：A.2．已知函数 f (x )(x ∈R )为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝ f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：令x ＝－1，f (1)＝f (－1)＋f (2)＝－f (1)＋1，f (1)＝12，f (3)＝f (1)＋f (2)＝12＋1＝32.故选C.答案：C3．若函数 f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：由题意知f (－2)＝f (2)＝0，当x ∈(－2,0]时， f (x )<f (－2)＝0，由对称性知，x ∈[0,2)时， f (x )为增函数， f (x )<f (2)＝0，故x ∈(－2,2)时， f (x )<0，故选B.答案：B4．(2011年湖北高考理6)已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2(0,x x f x g x a a a -+=-+>且1)a ≠，若(2)g a =，则(2)f =( )A.2B.154C.174D.2a解析：由条件()()22222+-=+-a a g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即 ()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B.答案：B 。

高考数学一轮复习第二章第3课时函数的奇偶性与周期性课时作业理新人教版

第3课时函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)= ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数,那么这个正数就叫做f(x)的最小正周期.1.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)等于().A. 1B. -1C.D.2.若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是().A. 单调递减的偶函数B. 单调递减的奇函数C. 单调递增的偶函数D. 单调递增的奇函数3.的图象关于().A. y轴对称B. 直线y=-x对称C. 坐标原点对称D. 直线y=x对称4.(教材改编)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是.5. (教材改编)下列函数中,所有奇函数的序号是.①f(x)=2x4+3x2;②f(x)=x3-2x;③;④f(x)=x 3+1.1.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推,如函数有f(-1)=f(1),但f(x)不是偶函数.2.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也真,利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.4.常函数f(x)=c(定义域关于原点对称),当c≠0时,f(x)为偶函数;当c=0,f(x)既是奇函数又是偶函数.考向一判断函数的奇偶性例1(2014·重庆)下列函数为偶函数的是().A. f(x)=x-1B. f(x)=x2+xC. f(x)=2x-2-xD. f(x)=2x+2-x【审题视点】本题考查函数奇偶性的判定.【方法总结】判断函数奇偶性的常用方法及思路(1)定义法:(2)图象法:(3)性质法:用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性.变式训练1.判断下列函数的奇偶性.考向二函数奇偶性的应用例2(2014·湖北)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为().【审题视点】本题考查函数的性质.【方法总结】(1)已知函数的奇偶性,求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)已知函数的奇偶性求关系式:将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的关系式.(3)已知函数的奇偶性,求函数关系式中参数的值:常常利用待定系数法:利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解.(4)应用奇偶性画图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.2.在区间[-a,a](a>0)上不间断的偶函数f(x)满足f(0)·f(a)<0,且f(x)在区间[0,a]上是单调函数,则函数y=f(x)在区间(-a,a)内零点的个数是().A. 0B. 1C. 2D. 4考向三函数的周期性及应用例3(2014·四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,则.【审题视点】考查分段函数知识,同时考查函数周期的性质.【方法总结】判断函数周期性的几个常用结论.①f(x+a)=-f(x),则f(x)为周期函数,周期T=2|a|.②f(x+a)=(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.③f(x+a)=,则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.3.已知函数y=f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,f(x+3)·f(x)+1=0,f(x)在区间(-3,0)上单调递增,若a=f(20.3),b=f(5),c=f(-2012),则a,b,c的大小关系是().A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. a<c<b典例(2014·马鞍山二模)已知函数f(x)满足:∀x∈R,f(x+2)=f(x-2),且当x∈[0,4)时,f(x)=x2,则f(2014)= .【解题指南】本题考查函数的周期性,简单题.【解析】因为∀x∈R,f(x+2)=f(x-2),所以f(x+4)=f(x),即f(x)是最小正周期为4的函数.所以f(2014)=f(4×503+2)=f(2).因为x∈[0,4)时,f(x)=x2,所以f(2)=22=4.所以f(2014)=4.【答案】 41. (2014·广东)下列函数为奇函数的是().A. B. x3sin xC. 2cos x+1D. x2+2x2. (2014·湖南)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .3.(2014·全国新课标Ⅱ)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= .参考答案与解析1.f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点2. (1) f(x)(2) 最小最小1. B2. B3. C4. 1/35.②③【例1】D解析:根据f(-x)=f(x)可知,只有选项D满足.【例3】1解析:因为f(x)的周期为2,1.2.C解析:因为f(0)·f(a)<0,且f(x)在区间[0, a]上是单调函数,所以y=f(x)在区间(0,a)内有一个零点,又f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故y=f(x)在区间(-a, 0)上还有一个零点,又f(0)≠0,所以函数y=f(x)在区间(-a, a)内有2个零点.3.[真题体验]1.A解析:对于A选项,令f(x)=其定义域是R, f(-x)=-2x=-f(x),所以A正确;对于B选项,根据奇函数乘奇函数是偶函数,所以x3sin x 是偶函数;C显然也是偶函数;对于D选项,根据奇偶性的定义,该函数显然是非奇非偶函数.2.解析:由偶函数的定义可得f(-x)=f(x),即,所以, 解得.3. 3解析:因为函数图象关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1),又函数为偶函数,所以f(-1)=f(1),故f(-1)=3.。

【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件002003-函数的奇偶性与周期性

三个结论
一是若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称；若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)；二是若对任意 x∈D 都有 f(x＋a)＝－f(x)，则 f(x)是以 2a 为周期的函数； 1 若对任意 x∈D 都有 f(x＋a)＝± (f(x)≠0)，则 f(x)也是以 2a 为周期的函 f (x) 数，如(7)；三是若函数 f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数 y＝f′(x)既是周期函数又是偶函数，如(8)中因为 y＝f(x)是周期函数，设其周期为 T，则有 f(x＋T)＝f(x)，两边求导，得 f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即 f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数是周期函数，又因为 f(x)是奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，两边求导，得 f′(－x)(－x)′＝－f′(－x)＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以 f′(－x) ＝f′(x)，所以导函数是偶函数.
3.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称函数 y＝ f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x) 与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－ x)＝0(奇函数)或f(x)－ f(－x)＝0(偶函数))是否成立．

一轮复习课时训练§2.2：函数的单调性与奇偶性

第二章§2：函数的单调性与奇偶性(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若函数y ＝(x ＋1)(x －a)为偶函数，则a 等于A ．－2B ．－1C ．1D ．22．给定函数：①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．函数y ＝f(x)对于任意x ，y ∈R ，有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x ＞0时，f(x)＞1，则下列结论正确的是A ．f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数B ．f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数C ．f(x)在R 上是减函数D ．f(x)在R 上是增函数4．设奇函数f(x)在[－1,1]上是单调增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t 2－2t ＋1，对所有的x ∈[－1,1]都成立，则t 的取值范围是A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．[0,2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)5．函数y ＝f(x)与y ＝g(x)有相同的定义域，且都不是常函数，对定义域中任意x ，有 f(x)＋f(－x)＝0，g(x)·g(－x)＝1，且g(x)≠1，则F(x)＝2f (x )g (x )－1＋f(x)为 A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．若函数f(x)＝(3m ＋1)x 2＋mx ＋3(x ∈R)为偶函数，则f(x)的单调减区间为________．7．若f(x)是定义在R 上的奇函数，对x ∈R ，总有f(x ＋32)＝－f(x)，则f(－32)＝________.8．已知一系列函数有如下性质：函数y ＝x ＋1x在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；函数y ＝x ＋2x在(0，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数；函数y ＝x ＋3x在(0，3]上是减函数，在[3，＋∞)上是增函数； ……利用上述所提供的信息解决问题：若函数y ＝x ＋log 3m x(x>0)的值域是[2，＋∞)，则实数m 的值是________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝x 2x ＋a(a ∈R)． (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当a ＝－1时，讨论函数f(x)在区间(2，＋∞)上的单调性．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f(x －t)＋f(x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：由已知得函数y ＝x 2＋(1－a)x －a 是偶函数，得1－a ＝0，a ＝1.答案：C2．解析：∵y ＝x 12为幂函数， ∴在x ∈(0,1)上为增函数．对于y ＝2x ＋1，可表示为y ＝2·2x ，在定义域上为增函数． ∵y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上为减函数，y ＝|x －1|在(－∞，1)上为减函数，∴②③正确．答案：B3．解析：设x 1＞x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1－x 2＋x 2)－f(x 2)＝f(x 1－x 2)＋f(x 2)－1－f(x 2) ＝f(x 1－x 2)－1＞1－1＝0，∴f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)为增函数．答案：D4．解析：由已知得当x ∈[－1,1]时，f(x)的最大值为f(1)＝1.又f(x)≤t 2－2t ＋1对所有 x ∈[－1,1]恒成立，∴t 2－2t ＋1≥1.解得t ≤0或t ≥2.答案：D5．解析：由已知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝1g (x )， F(－x)＝2f (－x )g (－x )－1＋f(－x)＝－2f (x )1g (x )－1－f(x)＝－f (x )g (x )－f (x )1－g (x )＝f (x )g (x )＋f (x )g (x )－1 ＝f (x )g (x )－f (x )＋2f (x )g (x )－1＝f(x)＋2f (x )g (x )－1＝F(x)． ∴F(x)为偶函数．答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，从而得m ＝0，∴f(x)＝x 2＋3.∴f(x)的减区间为(－∞，0]．答案：(－∞，0]7．解析：由题意f(0)＝0，∴f(－32)＝－f(32)＝－f(32＋0)＝f(0)＝0. 答案：08．解析：由题意知，y ＝x ＋log 3m x(x>0)在(0，log 3m]上是减函数，在[log 3m ，＋∞)上是增函数，即函数的最小值是log 3m ＋log 3m log 3m ＝2log 3m ，所以log 3m ＝1，解得m ＝3. 答案：3 三、解答题：本大题共2小题，共36分．9. （本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)若a ＝0，f(x)＝x(x ≠0)，f(x)为奇函数．若a ≠0，则f(x)的定义域为{x|x ≠－a}，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)方法一：a ＝－1时，f(x)＝x 2x －1.设2＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 21x 1－1－x 22x 2－1＝x 21x 2－x 21－x 22x 1＋x 22(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2(x 1－x 2)－(x 1－x 2)(x 1＋x 2)(x 1－1)(x 2－1) ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1) ＝(x 1－x 2)[(x 1－1)(x 2－1)－1](x 1－1)(x 2－1). ∵2＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1－1＞1，x 2－1＞1，则(x 1－1)(x 2－1)－1＞0，∴f(x 1)－f(x 2)＜0， ∴f(x 1)＜f(x 2)， ∴f(x)在(2，＋∞)上为单调增函数．方法二：当a ＝－1时f(x)＝x 2x －1， f ′(x)＝2x (x －1)－x 2(x －1)2＝x (x －2)(x －1)2. ∵x>2，∴f ′(x)>0，∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数．10. （本小题满分18分（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵f(x)＝e x －(1e )x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－(1e)x 是增函数，∴f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝e －x －e x ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． (2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x －t)＋f(x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立⇔f(x 2－t 2)≥f(t －x)对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立⇔(t ＋12)2 ≤(x ＋12)2min ⇔(t ＋12)2≤0⇔t ＝－12.故存在实数t ＝－12，满足题意．。

2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的奇偶性与周期性【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的奇偶性与周期性【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)下列函数既是奇函数又是增函数的是()A.y=sin xB.y=2xC.y=log2xD.y=x32.(5分)如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是()A.y=x+f(x)B.y=xf(x)C.y=x2+f(x)D.y=x2f(x)3.(5分)(2023·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f(-52)+f(2)等于()A.0B.2C.4D.-24.(5分)已知函数f(x)=sin x+x3+1 +3,若f(a)=-1,则f(-a)=()A.3B.5C.6D.75.(5分)若函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则()A.f(x+1)为偶函数B.f(x-1)为偶函数C.f(x+1)为奇函数D.f(x-1)为奇函数6.(5分)(2021·全国乙卷)设函数f(x)=1- 1+ ,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+17.(5分)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=.8.(5分)(2023·全国甲卷)若y=(x-1)2+ax+sin(x+π2)为偶函数,则a=.【解题指南】根据题意,先化简函数的解析式,结合偶函数的定义可得关于a的方程,解之可得答案.9.(5分)若函数f(x)=e x-e-x,则不等式f(ln x)+f(ln x-1)>0的解集是.10.(10分)设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.11.(10分)已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立,且f(3)=2024.(1)分别求f(0)和f(-3)的值;(2)判断并证明函数F(x)=f(x)+1的奇偶性.【能力提升练】12.(5分)(多选题)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则()A.f(2023)=0B.f(x)的值域为[-1,2]C.f(x)在[4,6]上单调递减D.f(x)在[-6,6]上有8个零点13.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=.14.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)计算:f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023).2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的奇偶性与周期性【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)下列函数既是奇函数又是增函数的是()A.y=sin xB.y=2xC.y=log2xD.y=x3【解析】选D.对于A,因为函数y=sin x在其定义域内既有单调递增区间又有单调递减区间,所以函数y=sin x不符合题意,故A不正确;对于B,因为指数函数在其定义域上是非奇非偶函数,所以函数y=2x不符合题意,故B不正确;对于C,因为对数函数的定义域为0,+∞,所以函数y=log2x是非奇非偶函数,故C不正确;对于D,y=x3是奇函数,且是R上的增函数.2.(5分)如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是()A.y=x+f(x)B.y=xf(x)C.y=x2+f(x)D.y=x2f(x)【解析】选B.设g(x)=xf(x).因为f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)为偶函数.3.(5分)(2023·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f(-52)+f(2)等于()A.0B.2C.4D.-2【解析】选D.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)在R上的周期为2,所以f(2)=f(0)=0,f(-52)=f(-12)=-f(12)=-412=-2,所以f(-52)+f(2)=-2.4.(5分)已知函数f(x)=sin x+x3+1 +3,若f(a)=-1,则f(-a)=()A.3B.5C.6D.7【解析】选D.函数f(x)=sin x+x3+1 +3,f(-x)+f(x)=sin(-x)+(-x)3-1 +3+sin x+x3+1 +3= -sin x-x3-1 +sin x+x3+1 +6=6,若f(a)=-1,则f(-a)=6-f(a)=6-(-1)=7.5.(5分)若函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则()A.f(x+1)为偶函数B.f(x-1)为偶函数C.f(x+1)为奇函数D.f(x-1)为奇函数【解析】选C.因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以将f(x)的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称,即f(x+1)是奇函数.6.(5分)(2021·全国乙卷)设函数f(x)=1- 1+ ,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1【解析】选B.f(x)=1- 1+ =2-( +1)1+ =21+ -1,为保证函数变换之后为奇函数,需将函数y=f(x)的图象向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度,得到的图象对应的函数为y=f(x-1)+1.7.(5分)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=.【解析】令H(x)=f(x)+x2,则H(-1)+H(1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,所以f(-1)=-3,所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案:-18.(5分)(2023·全国甲卷)若y=(x-1)2+ax+sin(x+π2)为偶函数,则a=.【解题指南】根据题意,先化简函数的解析式,结合偶函数的定义可得关于a的方程,解之可得答案.【解析】根据题意,设f(x)=(x-1)2+ax+sin(x+π2)=x2-2x+ax+1+cos x,若f(x)为偶函数,则f(-x)=x2+2x-ax+1+cos x=x2-2x+ax+1+cos x=f(x),变形可得(a-2)x=0在R上恒成立,必有a=2.答案:29.(5分)若函数f(x)=e x-e-x,则不等式f(ln x)+f(ln x-1)>0的解集是.【解析】因为f(x)=e x-e-x,定义域为R,且f(-x)=-(e x-e-x)=-f(x),故其为奇函数,又y=e x,y=-e-x均为增函数,故f(x)为R上的增函数,则原不等式等价于f(ln x)>f(1-ln x),即ln x>1-ln x,整理得ln x>12,解得x>e,故不等式的解集为(e,+∞).答案:(e,+∞)10.(10分)设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.又4-π∈(0,1),所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=π-4.(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.【解析】(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),即f(1+x)=f(1-x),故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点对称,则f(x)在[-4,4]上的图象如图所示.当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成图形的面积为S,则S=4S△OAB=4×(12×2×1)=4.11.(10分)已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立,且f(3)=2024.(1)分别求f(0)和f(-3)的值;【解析】(1)令x=y=0,可得f(0)=-1;令x=-3,y=3,可得f(0)=f(-3)+f(3)+1,所以-1=f(-3)+2024+1,即f(-3)=-2026.(2)判断并证明函数F(x)=f(x)+1的奇偶性.【解析】(2)令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)+1,所以f(x)+f(-x)=-2,所以f(x)+1+f(-x)+1=0,即F(-x)+F(x)=0,F(-x)=-F(x),所以函数F(x)=f(x)+1是奇函数.【能力提升练】12.(5分)(多选题)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则()A.f(2023)=0B.f(x)的值域为[-1,2]C.f(x)在[4,6]上单调递减D.f(x)在[-6,6]上有8个零点【解析】选AB.f(2023)=f(506×4-1)=f(-1)=f(1)=0,所以A正确;当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,所以当x∈[0,2]时,函数的值域为[-1,2],由于函数是偶函数,所以函数的值域为[-1,2],所以B正确;当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,又函数的周期是4,所以f(x)在[4,6]上单调递增,所以C错误;令f(x)=2x-2=0,所以x=1,所以f(1)=f(-1)=0,由于函数的周期为4,所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,所以f(x)在[-6,6]上有6个零点,所以D错误.13.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=.【解析】方法一(定义法)因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立,所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)对任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1.方法二(取特殊值检验法)因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-1)=f(1),所以-( 2-2)=2a-12,解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,所以a=1.方法三(转化法)由题意知f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数.设g(x)=x3,h(x)=a·2x-2-x,因为g(x)=x3为奇函数,所以h(x)=a·2x-2-x为奇函数,所以h(0)=a·20-2-0=0,解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,所以a=1.答案:114.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;【解析】(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;【解析】(2)x∈[2,4],则4-x∈[0,2],f(x)=f(x-4)=-f[-(x-4)]=-f(4-x)=-[2(4-x)-(4-x)2]=x2-6x+8,所以x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.(3)计算:f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023).【解析】(3)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2020)+f(2021)+f(2022)+f(2 023)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023)=0.。

高考数学一轮复习课时作业(八) 函数的奇偶性及周期性

课时作业(八) 函数的奇偶性及周期性1．(多选)下列函数中是偶函数的有( ) A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝2x ＋12xC ．y ＝x －1 ＋1－xD ．y ＝|x ＋1|＋|x －1|ABD [根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x 2＋1为二次函数，其对称轴为y 轴是偶函数，对于B ，y ＝2x ＋12x ，其定义域为R ，有f (－x )＝2－x ＋12－x＝2x ＋12x ＝f (x )是偶函数，对于C ，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x≥0，得x ＝1.即定义域为{1}，不关于原点对称．不是偶函数，对于D ，y ＝|x ＋1|＋|x －1|，其定义域为R ，有：f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x ＋1|＋|x －1|＝f (x ).则f (x )为偶函数，故选ABD.]2．已知定义在[m －5，1－2m ]上的奇函数f (x )，满足x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )的值为( ) A ．－15 B ．－7 C ．3D ．15A [由题意知，(m －5)＋(1－2m )＝0，解得m ＝－4.又当x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )＝f (－4)＝－f (4)＝－(24－1)＝－15.故选A.]3．(2020·广州市阶段训练)已知偶函数f (x )满足f (x )＝x －2x (x >0)，则{x |f (x ＋2)>1}＝( )A ．{x |x <－4或x >0}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <－2或x >2}D ．{x |x <－2或x >4}A [因为当x >0时，f ′(x )＝1＋2x2 >0，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝1，所以不等式f (x ＋2)>1等价于f (|x ＋2|)>f (2)，即|x ＋2|>2，即x ＋2<－2或x ＋2>2，得x <－4或x >0.所以{x |f (x ＋2)>1}＝{x |x <－4或x >0}，故选A.]4．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x ).若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1＋∞)D [因为f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )是定义在R 上的以3为周期的周期函数，所以f (7)＝f (7－9)＝f (－2).又因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，所以f (7)＝f (2)>1，所以a >1，即a ∈(1，＋∞).故选D.]5．若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x2）－f （x1）x2－x1<0，则( )A ．f (3)<f (1)<f (－2)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (－2)<f (1)D [因为∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x2）－f （x1）x2－x1 <0，所以当x ≥0时，函数f (x )为减函数，因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1).] 6．若函数f (x )＝x（x ＋2）（x －a ）为奇函数，则实数a 的值为________，且当x ≥4时，f (x )的最大值为________．解析：由f (x )为奇函数易知a ＝2，当x ≥4时，f (x )＝1x －4x 在[4，＋∞)上单调递减，∴当x ＝4时，f (x )max ＝13 .答案： 2；137．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )－f (x )＝0，f (0)＝ 3 ，则f (10)等于________．解析：由题意，函数f (x )满足f (2－x )－f (x )＝0，即f (2－x )＝f (x )，又因为函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (2－x )＝f (－x )，则f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )是以2为周期的周期函数，则f (10)＝f (2×5)＝f (0)＝ 3 .答案：38．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，|2－x|，0≤x ＜1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝________．解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )，所以f (x )是周期为2的周期函数．又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，即－1＋a ＝1.5，解得a ＝2.5. 答案： 2.59．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．解析： (1)证明：由f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x＝－f ⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫32＋x＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期． (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判断f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式．解析： (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (－x )＝f (2＋x ). 又f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x ). 又f (x )的定义域为R ， ∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0， f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈（0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].11．(多选)已知f (x )是定义域为R 的函数，满足f (x ＋1)＝f (x －3)，f (1＋x )＝f (3－x )，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x ，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为4B ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称C ．当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为2D ．当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为－12ABD [由f (x ＋1)＝f (x －3)得，f (x )＝f [(x －1)＋1]＝f [(x －1)－3]＝f (x －4)，故函数f (x )的周期为4，A 正确；由f (1＋x )＝f (3－x )可得f (2＋x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确；作出函数f (x )在[0，8]上的大致图象如图所示，由图可知，当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为f (2)＝2，C 正确；当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫152 ＝f ⎝⎛⎭⎫12 ＝－14，D 错误．] 12．(创新型)对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x ，x<0，kx ＋2，x≥0，若曲线f (x )存在“优美点”，则实数k 的取值范围为________．解析：由“优美点”的定义，可知若点(x 0，f (x 0))是曲线y ＝f (x )的“优美点”，则点(－x 0，－f (x 0))也在曲线y ＝f (x )上．如图所示作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x (x >0).由图可知，若曲线y ＝f (x )存在“优美点”，则直线y ＝kx ＋2与函数y ＝－x 2＋2x (x ＞0)的图象有交点，即kx＋2＝－x2＋2x，x2＋(k－2)x＋2＝0，△≥0且k＜0，解得k≤2－2 2 .答案：(－∞，2－2 2 ]13．(开放型)给出关于函数f(x)的一些限制条件：①在(0，＋∞)上单调递减；②在(－∞，0)上单调递增；③是奇函数；④是偶函数；⑤f(0)＝0.在这些条件中，选择必需的条件，补充在下面问题中，并解决这个问题．定义在R上的函数f(x)，________(填写你选定条件的序号)，且f(－1)＝0.求不等式f(x－1)>0的解集．解析：由题意易知条件①和②最好只选择一个，否则可能产生矛盾；条件③和④最好也只选择一个，否则f(x)就变成恒等于0的常数函数，失去研究价值．如果选择条件①③.由f(x)是定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0，且f(x)在关于原点对称的区间上的单调性一致，且f(1)＝－f(－1)＝0，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以，当0<x<1或x<－1时，f(x)>0，当x≥1或－1≤x≤0时，f(x)≤0，f(x－1)>0⇔0<x－1<1或x－1<－1，即1<x<2或x<0.故不等式f(x－1)>0的解集为(－∞，0)∪(1，2).如果选择条件①④⑤.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，注意到f(－1)＝0，所以f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(－1)⇔f(|x－1|)>f(|－1|)⇔|x－1|<1⇔0<x<2，但x－1≠0，所以不等式f(x－1)>0的解集为(0，1)∪(1，2).选择其他条件组合的解法类似．如果同时选择条件③④.易知f(x)＝0恒成立，不等式f(x－1)>0的解集为空集．14．(创新型)已知命题p：“函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y＝f(x＋a)－b是奇函数”．(1)试判断命题p的真假？并说明理由；(2)设函数g(x)＝x3－3x2，求函数g(x)图象对称中心的坐标；(3)试判断“存在实数a和b，使得函数y＝f(x＋a)－b是偶函数”是“函数y＝f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”成立的什么条件？请说明理由．解析： (1)命题p 为真命题；充分性：若y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数，则f (a —x )－b ＝－f (a ＋x )＋b ，即f (a －x )＋f (a ＋x )＝2b . 设M (x ，y )为f (x )图象上任一点，则M 关于(a ，b )的对称点为N (2a －x ，2b －y )， ∵f (2a －x )＝f (a ＋(a －x ))＝2b －f (a －(a －x ))，∴N 在y ＝f (x )图象上，即f (x )的图象上，即f (x )的图象关于(a ，b )对称．必要性：若y ＝f (x )的图象关于(a ，b )成中心对称图形，设M (x ，y )为f (x )图象上任一点，则由上述可知f (2a －x )＝2b －f (x ). 令x 取x ＋a ，则f (a －x )＋f (a ＋x )＝2b ，即f (－x ＋a )－b ＝－f (a ＋x )＋b ， ∴y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数，综上命题为真．(2)设函数f (x )＝g (x ＋a )－b 为奇函数，则f (x )＝(x ＋a )3－3(x ＋a )2－b ＝x 3＋(3a －3)x 2＋(3a 2－6a )x ＋a 3－3a 2－b ， ∵f (x )＝g (x ＋a )－b 为奇函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3a －3＝0，a3－3a2－b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 由命题p 为真命题，则函数g (x )＝x 3－3x 2的图象对称中心为(1，－2).(3)若存在实数a 和b ，使得函数y ＝f (x ＋a )－b 是偶函数，则可以通过上下平移和左右平移，即可得到y ＝f (x )的图象，此时“函数y ＝f (x )的图象关于某直线成轴对称图象”成立，即充分性成立．若函数y ＝f (x )的图象关于y ＝x 成轴对称图象，则无论怎么平移都无法平移到关于y 轴对称，即必要性不成立，故“存在实数a 和b ，使得函数y ＝f (x ＋a )－b 是偶函数”是“函数y ＝f (x )的图象关于某直线成轴对称图象”成立的充分不必要条件．。

高考数学一轮复习专题：第3讲函数的奇偶性与周期性(教案与同步练习)

1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【知识拓展】1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a>0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ )(3)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ )1．(教材改编)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x答案 D解析 D 中，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．2．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 答案 A解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B解析 ∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (8)＝f (0)＝0.4．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．5．(2016·四川)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 答案－2解析 ∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又0<x <1时，f (x )＝4x ， ∴f (12)＝124＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝－f ⎝⎛⎭⎫52＋f (2)＝－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0) ＝－2＋0＝－2.题型一判断函数的奇偶性例1 (1)下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝2x －12xB ．f (x )＝x 3sin xC ．f (x )＝2cos x ＋1D ．f (x )＝x 2＋2x答案 A解析选项A 中，函数f (x )的定义域为R ，又f (－x )＝2－x －12－x ＝12x －2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0的奇偶性．解当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f (－x )＝－f (x )． ∴函数f (x )为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝2x(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性是( )A ．F (x )是奇函数，G (x )是奇函数B ．F (x )是偶函数，G (x )是奇函数C ．F (x )是偶函数，G (x )是偶函数D ．F (x )是奇函数，G (x )是偶函数答案 (1)B (2)B解析 (1)选项B 中，函数y ＝lg|x |的定义域为{x |x ≠0}且lg|－x |＝lg|x |， ∴函数y ＝lg|x |是偶函数．(2)F (x )，G (x )的定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x ) ＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )， G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x )＝－G (x )， ∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数．题型二函数的周期性例2 (1)(2016·宝鸡模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．无法计算(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______. 答案 (1)C (2)2.5解析 (1)由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)， ∴f (x )的周期为4，∴f (2 017)＝f (1)，f (2 019)＝f (3)＝f (－1)，又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0， ∴f (2 017)＋f (2 019)＝0.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5. 引申探究本例(2)中，若将f (x ＋2)＝－1f (x )改为f (x ＋2)＝－f (x )，其他条件不变，求f (105.5)的值．解 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数的周期为4(下同例题)．思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________. 答案 339解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (2 016) ＝1×2 0166＝336.又f (2 017)＝f (1)＝1，f (2 018)＝f (2)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝339. 题型三函数性质的综合应用命题点1 解不等式问题例3 (1)(2017·沈阳质检)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( ) A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)答案 (1)A (2)A解析 (1)因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增， f (2x －1)<f (13)，所以|2x －1|<13，所以13<x <23.(2)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4，故选A. 命题点2 求参数问题例4 (1)(2016·北京西城区模拟)函数f (x )＝lg(a ＋21＋x)为奇函数，则实数a ＝________.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 (1)－1 (2)－10解析 (1)根据题意得，使得函数有意义的条件为a ＋21＋x>0且1＋x ≠0，由奇函数的性质可得f (0)＝0. 所以lg(a ＋2)＝0，即a ＝－1，经检验a ＝－1满足函数的定义域． (2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案 (1)－32(2)D解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32. (2)因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)．所以f (－25)<f (80)<f (11)．2．抽象函数问题考点分析抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以选择题或填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视. 一、抽象函数的定义域典例1 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,8]，则函数g (x )＝f (x 2－1)2－log 2(x ＋1)的定义域为________．解析要使函数有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2－1≤8，x ＋1>0，2－log 2(x ＋1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，x >－1，x ≠3，解得1≤x <3，所以函数g (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3)二、抽象函数的函数值典例2 若定义在实数集R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，对任意x ∈R 恒成立，则f (2 019)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 解析因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x )为偶函数，所以f (2 019)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).即f (1)＝1，所以f (2 019)＝f (1)＝1. 答案 D三、抽象函数的单调性与不等式典例3 设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求实数a 的取值范围．规范解答解因为f (xy )＝f (x )＋f (y )且f (3)＝1，所以2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9)．又f (a )>f (a －1)＋2，所以f (a )>f (a －1)＋f (9)．再由f (xy )＝f (x )＋f (y )，可知f (a )>f [9(a －1)]，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9(a －1)>0，a >9(a －1)，解得1<a <98.故所求实数a 的取值范围是(1，98)．1．(2017·石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝(12)ln x答案 B解析对于A ，y ＝1x 为奇函数；对于C ，y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)；对于D ，y ＝(12)ln x 的定义域为(0，＋∞)．2．(2016·兰州模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C ．－12 D.12答案 B解析依题意得f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，又a －1＝－2a ， ∴a ＝13，∴a ＋b ＝13，故选B.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 答案 B解析由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数， f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)，由－1∈(－2,0)得f (－1)＝2， ∴f (2 019)＝2.4．已知f (x )＝lg(21－x＋a )为奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 B解析由f (x )＋f (－x )＝0，即lg(21－x ＋a )＋lg(21＋x ＋a )＝lg (2＋a )2－a 2x 21－x 2＝lg 1＝0可得a ＝－1，所以f (x )＝lg1＋x 1－x ，解得0<1＋x1－x<1，可得－1<x <0. 5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos π6x (0＜x ≤8)，log 2x (x >8)，则f (f (－16))等于( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32答案 C解析由题意f (－16)＝－f (16)＝－log 216＝－4，故f (f (－16))＝f (－4)＝－f (4)＝－cos4π6＝12. *6.(2016·天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞答案 C解析因为f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|<2，即|a －1|<12，所以12<a <32.7．(2016·湖南四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，g (x )，x <0，若f (x )为奇函数，则g (－14)=________．答案 2解析 g (－14)＝f (－14)＝－f (14)＝－log 214＝－log 22－2＝2.8．(2016·济南模拟)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1＋x )，则f (－52)＝________.答案－32解析因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (－52)＝－f (52)＝－f (12)＝－[2×12(1＋12)]＝－32.9．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案－－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0， f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②解析在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋mx ＝x 2＋2x ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2. (1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2 ＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3) ＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0. ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018) ＝f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018) ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＝1.*13.函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1， ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．第3讲函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－3 解析由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2 解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案 B3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2)解析当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3.答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数．答案 C5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x －1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12 D ．1解析 f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D6．设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数解析显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误．答案 C 二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 08．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案－19．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)10．设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．解析 ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－8.答案－8 三、解答题11．已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意x ，y ，f (x )都满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )． (1)求f (1)，f (－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．12．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)解任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.13.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．解析(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2) 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f (2 012)＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.14．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )． (1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． (2)解当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1， ∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x . 故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1<x <3，则－1<x －2<1， ∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x )是以4为周期的周期函数∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)， ∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1. ∵f (x )是以4为周期的周期函数，∴f(x)＝－12的所有x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2 014，则14≤n≤2 0154.又∵n∈Z，∴1≤n≤503(n∈Z)，∴在[0,2 014]上共有503个x使f(x)＝－1 2.。

高三数学一轮复习课时作业5：函数的奇偶性与周期性

第3讲函数的奇偶性与周期性基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·重庆卷)下列函数为偶函数的是() A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x解析函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B；选项C中f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排除选项C；选项D中f(x)＝2x＋2－x，则f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2－x为偶函数，故选D.答案D2．(2014·乌鲁木齐诊断)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈『0，＋∞)(x1≠x2)，有f（x2）－f（x1）x2－x1<0，则()A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)解析由题意知f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，又x∈『0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3>2>1，∴f(3)<f(2)<f(1)，即f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.答案A3．(2014·湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3解析用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.答案C4．(2014·福建统一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在『0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)＜0，则x的取值范围是()A．(0，1) B．(1，10)C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)解析依题意，函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，不等式f(lg x)＜0＝f(0)等价于lg x＜0，故0＜x＜1，故选A.答案A5．(2015·天水一模)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 014)的值为() A．2 B．0C．－2 D．±2解析∵g(－x)＝f(－x－1)，∴－g(x)＝f(x＋1)．又g(x)＝f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 014)＝f(2)＝2.答案A二、填空题6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________．解析∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.答案－－x －17．(2014·湖南卷)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．解析由题意知，f (x )的定义域为R ，所以f (－1)＝f (1)，从而有ln(e 3＋1)＋a ＝ln(e －3＋1)－a ，解得a ＝－32. 答案－328．(2014·四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈『－1，1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．解析 ∵f (x )的周期为2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 答案 1 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间『－1，a －2』上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在『－1，1』上是增函数，要使f (x )在『－1，a －2』上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3』．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈『0，2』时，f (x )＝2x －x 2. (1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈『2，4』时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈『2，4』，∴－x ∈『－4，－2』， ∴4－x ∈『0，2』，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈『2，4』．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7) ＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0. ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2014·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为()A．(－1，4) B．(－2，1)C．(－1，2) D．(－1，0)解析因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即2a－3a＋1＜1，化简得(a－4)(a＋1)＜0，解得－1＜a＜4，故选A.答案A12．(2015·郑州模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间『0，6』上与x轴的交点个数为()A．6 B．7 C．8 D．9解析因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间『0，6』上与x轴的交点个数为7.答案B13．已知函数y＝f(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x)．当x∈(2，3)时，f(x)＝log2(x－1)．给出以下4个结论：①函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称；②函数y＝|f(x)|是以2为周期的周期函数；③当x∈(－1，0)时，f(x)＝－log2(1－x)；④函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增．其中所有正确结论的序号为________．解析因为f(2＋x)＝－f(1－(1＋x))＝－f(－x)＝f(x)，所以f(x)的周期为2，因为f(x)为奇函数，其图象关于点(0，0)对称，所以f(x)的图象也关于点(2，0)对称，先作出函数f(x)在(2，3)上的图象，然后作出在(1，2)上的图象，左右平移即可得到f(x)的草图如图所示，由图象可知f(x)关于点(k，0)(k∈Z)对称，故①正确；由y＝|f(x)|的图象可知y＝|f(x)|的周期为2，故②正确；当－1＜x＜0时，2＜2－x＜3，f(2－x)＝log2(1－x)＝－f(x)，即f(x)＝－log2(1－x)，故③正确；y＝f(|x|)在(－1，0)上为减函数，故④错误．答案①②③14．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．解(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f『(x＋2)＋2』＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：f『(x－1)＋2』＝－f(x－1)＝f『－(x－1)』，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.(3)函数f(x)的单调递增区间为『4k－1，4k＋1』(k∈Z)，单调递减区间为『4k＋1，4k＋3』(k∈Z).。

高考数学(理科)一轮复习函数的奇偶性与周期性学案附答案

高考数学（理科）一轮复习函数的奇偶性与周期性学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案6 函数的奇偶性与周期性导学目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理．函数奇偶性的定义如果对于函数f定义域内任意一个x，都有______________，则称f为奇函数；如果对于函数f定义域内任意一个x，都有____________，则称f为偶函数．2．奇偶函数的性质f为奇函数⇔f＝－f⇔f＋f＝____；f为偶函数⇔f＝f＝f⇔f－f＝____.f是偶函数⇔f的图象关于____轴对称；f是奇函数⇔f的图象关于________对称．奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．3．函数的周期性定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f＝________，则称f为________函数，其中T称作f的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f的________________．性质：①f＝f常常写作f＝f．②如果T是函数y＝f的周期，则kT也是y＝f的周期，即f＝f．③若对于函数f的定义域内任一个自变量的值x都有f ＝－f或f＝1fx或f＝－1fx，则f是以______为一个周期的周期函数．自我检测．已知函数f＝x2＋x＋为偶函数，则m的值是A．1B．2c．3D．42．如果奇函数f在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f在区间[－7，－3]上是A．增函数且最小值是－5B．增函数且最大值是－5c．减函数且最大值是－5D．减函数且最小值是－53．函数y＝x－1x的图象A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称c．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称4．已知函数f是上的偶函数，若对于x≥0，都有f＝f，且当x∈[0,2)时，f＝log2，则f＋f的值为A．－2B．－1c．1D．25．设函数f＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.探究点一函数奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性．f＝1－x1＋x；f＝x；f＝log2；f＝x2＋x，x<0，－x2＋x，x>0.变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．f＝x2－x3；f＝x2－1＋1－x2；f＝4－x2|x＋3|－3.探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用例2 函数y＝f是奇函数，且当x∈时是增函数，若f ＝0，求不等式f[x]<0的解集．变式迁移2 已知函数f＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f＋f<0恒成立，则x的取值范围为________．探究点三函数性质的综合应用例3 已知定义在R上的奇函数f，满足f＝－f，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f＝m，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.变式迁移3 定义在R上的函数f是偶函数，且f＝f．若f在区间[1,2]上是减函数，则fA．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数c．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用例函数f的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f＝f＋f．求f的值；判断f的奇偶性并证明你的结论；如果f＝1，f＋f≤3，且f在上是增函数，求x的取值范围．【答题模板】解∵对于任意x1，x2∈D，有f＝f＋f，∴令x1＝x2＝1，得f＝2f，∴f＝0.[2分]令x1＝x2＝－1，有f＝f＋f，∴f＝12f＝0.[4分]令x1＝－1，x2＝x有f＝f＋f，∴f＝f，∴f为偶函数．[6分]依题设有f＝f＋f＝2，f＝f＋f＝3，[7分]∵f＋f≤3，即f)≤f[8分]∵f为偶函数，∴f≤f．[10分]又∵f在上是增函数，f的定义域为D.∴0<||≤64.[11分]解上式，得3<x≤5或－73≤x<－13或－13<x<3.∴x的取值范围为{x|－73≤x<－13或－13<x<3或3<x≤5}．[12分]【突破思维障碍】在中，通过变换已知条件，能变形出f)≤f的形式，但思维障碍在于f在上是增函数，g是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f”，若能结合中f是偶函数的结论，则有f)＝f|)，又若能注意到f的定义域为{x|x≠0}，这才能有|g|>0，从而得出0<|g|≤a，解之得x的范围．【易错点剖析】在中，由f•|)≤f脱掉“f”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易出现0≤||≤64，导致结果错误．．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f＝－f或f＝f是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f＝±f⇔f±f＝0⇔f－xfx＝±1≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f，若有f＝－f或f＝1fx或f＝－1fx，则f的一个周期为2a一、选择题．已知f＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为A．－13B.13c.12D．－122．已知定义域为{x|x≠0}的函数f为偶函数，且f在区间上是增函数，若f＝0，则fxx<0的解集为A．∪B．∪c．∪D．∪3．已知f是定义在R上的偶函数，并满足f＝－1fx，当1≤x≤2时，f＝x－2，则f等于A．4.5B．－4.5c．0.5D．－0.54．设f为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f＝2x＋2x＋b，则f等于A．3B．1c．－1D．－35．设函数f满足：①y＝f是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f与f大小关系是A．f>fB．f<fc．f＝fD．无法确定题号2345答案二、填空题6．若函数f＝x－1，x>0，a，x＝0，x＋b，x<0是奇函数，则a＋b＝________.7．设函数f是定义在R上的奇函数，若f满足f＝f，且f>1，f＝2m－3m＋1，则m的取值范围是________．8．已知函数f是R上的偶函数，g是R上的奇函数，且g＝f，若f＝2，则f的值为________．三、解答题9．已知f是定义在[－6,6]上的奇函数，且f在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f≤f＝3，f＝2，求f的表达式．10．设函数f＝x2－2|x|－1证明f是偶函数；画出这个函数的图象；指出函数f的单调区间，并说明在各个单调区间上f是增函数还是减函数；求函数的值域．11．已知函数f＝x2＋ax．讨论函数f的奇偶性，并说明理由；若函数f在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．答案自主梳理．f＝－f f＝f2．0 0 y 原点相反3．f 周期最小正周期③2a自我检测．B [因为f为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.]2．A [奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]3．A [由f＝－f，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]4．c [f＋f＝f＋f＝f＋f＝log21＋log2＝1.]5．－1解析∵f＝0，∴f＝2＝0，∴a＝－1.代入检验f＝是奇函数，故a＝－1.课堂活动区例1 解题导引判断函数奇偶性的方法．定义法：用函数奇偶性的定义判断．．图象法：f的图象关于原点对称，则f为奇函数；f的图象关于y轴对称，则f为偶函数．基本函数法：把f变形为g与h的和、差、积、商的形式，通过g与h的奇偶性判定出f的奇偶性．解定义域要求≥0且x≠－1，∴－1<x≤1，∴f定义域不关于原点对称，∴f是非奇非偶函数．函数定义域为∪．∵f＝－x＝－x＝＝＝f．∴f是偶函数．函数定义域为R.∵f＝log2＝log21x＋x2＋1＝－log2＝－f，∴f是奇函数．函数的定义域为∪．当x<0时，－x>0，则f＝－2－x＝－＝－f；当x>0时，－x<0，则f＝2－x＝x2－x＝－＝－f．∴对任意x∈∪都有f＝－f．故f为奇函数．变式迁移1 解由于f＝2，f＝0，f≠f，f≠－f，从而函数f既不是奇函数也不是偶函数．f的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f＝f＝0，f ＝－f＝0，∴f既是奇函数又是偶函数．由4－x2≥0|x＋3|≠3得，f定义域为[－2,0)∪＝4－x2x，f＝－4－x2x∴f＝－f∴f为奇函数．例2 解题导引本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解∵y＝f为奇函数，且在上为增函数，∴y＝f在上单调递增，且由f＝0得f＝0.若f[x]<0＝f，则xx－12>0xx－12<1即0<x<1，解得12<x<1＋174或1－174<x<0.若f[x]<0＝f，则xx－12<0xx－12<－1 由x<－1，解得x∈∅.∴原不等式的解集是{x|12<x<1＋174或1－174<x<0}．变式迁移2解析易知f在R上为单调递增函数，且f为奇函数，故f＋f<0，等价于f<－f＝f，此时应用mx－2<－x，即mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立，令h＝mx＋x－2，此时，只需h－2<0h2<0即可，解得x∈．例3 解题导引解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．－8解析因为定义在R上的奇函数，满足f＝－f，所以f ＝f．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f＝0，由f＝－f知f＝f，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f在区间[0,2]上是增函数，所以f在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f＝m在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.变式迁移3 B [∵f＝f，∴f＝f．∴x＝1为函数f的一条对称轴．又f＝f[2－]＝f＝f，∴2是函数f的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．]课后练习区．B [依题意得a－1＝－2ab＝0，∴a＝13b＝0，∴a＋b＝13.]2．D[由已知条件，可得函数f的图象大致为右图，故fxx<0的解集为∪．]3．D [由f＝－1fx，得f＝－1fx＋2＝f，那么f的周期是4，得f＝f．因为f是偶函数，则f＝f＝f．而1≤x≤2时，f＝x－2，∴f＝－0.5.由上知：f＝－0.5.]4．D [因为奇函数f在x＝0有定义，所以f＝20＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.∴f＝2x＋2x－1，f＝3，从而f＝－f＝－3.]5．A [由y＝f是偶函数，得到y＝f的图象关于直线x ＝1对称，∴f＝f．又f在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f>f，即f>f．]6．1解析∵f是奇函数，且x∈R，∴f＝0，即a＝0.又f ＝－f，∴b－1＝－＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.7．－1<m<23解析∵f＝f，∴f＝f＝f．∵f为奇函数，且f>1，∴f＝－f<－1，∴2m－3m＋1<－1.解得：－1<m<23.8．2解析由g＝f，得g＝f，又g为R上的奇函数，∴g＝－g，∴f＝－f，即f＝－f，用x＋1替换x，得f＝－f．又f是R上的偶函数，∴f＝－f．∴f＝f，即f的周期为4.∴f＝f＝f＝2.9．解由题意，当3≤x≤6时，设f＝a2＋3，∵f＝2，∴2＝a2＋3.∴a＝－1.∴f＝－2＋3．…………………………………………………………∴f＝－2＋3＝－1.又∵f为奇函数，∴f＝0.∴一次函数图象过，两点．∴f＝－13x．…………………………………………………………………当－3≤x≤0时，－x∈[0,3]，∴f＝－13＝13x.又f＝－f，∴f＝－13x.∴f＝－13x．………………………………………………………………当－6≤x≤－3时，3≤－x≤6，∴f＝－2＋3＝－2＋3.又f＝－f，∴f＝2－3.∴f＝x＋52－3，－6≤x≤－3，－13x－3<x<3，…………………………………………………………12分－x－52＋3，3≤x≤6.0．解f＝2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f，即f＝f．∴f是偶函数．………………………………………………………当x≥0时，f＝x2－2x－1＝2－2，当x<0时，f＝x2＋2x－1＝2－2，即f＝x－12－2，x≥0，x ＋12－2，x<0.根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．……………………………………由中函数图象可知，函数f的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………当x≥0时，函数f＝2－2的最小值为－2，最大值为f ＝2；当x<0时，函数f＝2－2的最小值为－2，最大值为f＝2；故函数f的值域为[－2,2]．……………………………………………………………1．解当a＝0时，f＝x2对任意x∈∪，有f＝2＝x2＝f，∴f为偶函数．…………………………………………………………………………当a≠0时，f＝x2＋ax，若x＝±1时，则f＋f＝2≠0；∴f≠－f，又f≠f∴函数f既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………综上所述，当a＝0时，f为偶函数；当a≠0时，f为非奇非偶函数．………………………………………………………设2≤x1<x2，f－f＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2－a]，………………………………………………………………要使f在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f－f<0恒成立．∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2恒成立．………………………………………又∵x1＋x2>4，∴x1x2>16，∴a的取值范围为。

高三数学(理)一轮复习课时作业(六)函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

5．(2017·南京模拟)若定义在实数集R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，对任意x ∈R 恒成立，则f (2 015)＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4.所以f (2 015)＝f (504×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x )为偶函数，所以f (2 015)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1). 即f (1)＝1，所以f (2 015)＝f (1)＝1.答案：D6．(2017·河南新野第三高级中学月考)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)解析：设x >0，则－x <0.∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，∴g (－x )＝－ln(1＋x )．又∵g (x )是奇函数，∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )，∴2－x 2>x ，即－2<x <1.答案：D二、填空题7．(2015·课标卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，(x)的图象关于原点成中心对称，则的图象与x轴围成的图形面积为4.。

高考文科数学一轮复习课时作业函数的奇偶性与周期性B

课时作业(六)B第6讲函数的奇偶性与周期性[时间：35分钟分值：80分]基础热身1．[2011·湖北卷] 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x ) 2．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图象( )A ．关于点(1,0)对称B ．关于点(0,1)对称C ．关于点(－1,0)对称D ．关于点(0，－1)对称3．[2011·陕西卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是( )4．[2010·江苏卷] 设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．能力提升5．[2011·永州一中模拟] 下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝ln 2－x 2＋xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x ) D ．f (x )＝sin x 6．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)＞0}＝( )A ．{x |x ＜－2或x ＞4}B ．{x |x ＜0或x ＞4}C ．{x |x ＜0或x ＞6}D ．{x |x ＜－2或x ＞2}7．[2011·怀化模拟] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2011)＋f (2013)的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算8．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ∈R ，x ≠0)，有下列命题： ①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，f (x )是减函数；③函数y ＝f (x )的最小值是lg2；④在区间(－∞，0)上，f (x )是增函数．其中正确的是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．③9．[2011·长沙周南中学模拟] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝13对称，则f ⎝⎛⎭⎫－23＝( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．210．设a 为常数，f (x )＝x 2－4x ＋3，若函数f (x ＋a )为偶函数，则a ＝________；f [f (a )]＝________.11．[2011·合肥模拟] 设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．12．(13分)设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数(a ，b ，c 都是整数)，且f (1)＝2，f (2)<3，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．(1)求a ，b ，c 的值；(2)当x <0时，f (x )的单调性如何？证明你的结论．难点突破13．(12分)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①∀x ，y ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )>0，且f (2)＝1.(1)试判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(3)求函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集．课时作业(六)B【基础热身】1．D [解析] 因为函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x .又因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以g (x )＝e x －e －x 2. 2．B [解析] 令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，所以g (x )的图象关于原点(0,0)对称，当x ＝0时，有f (0)－1＝0，此时f (0)＝1，所以对称中心为(0,1)．3．B [解析] 由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ，再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.4．－1 [解析] 设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数．又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.【能力提升】5．A [解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选A.6．B [解析] ∵f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴令f (x )＞0，得x ＞2.又f (x )为偶函数且f (x －2)＞0，∴f (|x －2|)＞0，∴|x －2|＞2，解得x ＞4或x ＜0，∴{x |x ＜0或x ＞4}．7．C [解析] 由题意得g (－x )＝f (－x －1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )的周期为4，∴f (2011)＝f (3)＝f (－1)，f (2013)＝f (1)．又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0，∴f (2011)＋f (2013)＝0.8．C [解析] 由函数f (x )的定义域为()－∞，0∪()0，＋∞，且f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1x＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥lg2，函数f (x )在()－∞，－1，()0，1上为减函数，在()－1，0，()1，＋∞上为增函数．故①③正确．9．A [解析] 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又因为y ＝f (x )的图象关于直线x ＝13对称，所以f ⎝⎛⎭⎫23＝0.于是f ⎝⎛⎭⎫－23＝－f ⎝⎛⎭⎫23＝0，故选A. 10．2 8 [解析] 由题意得f (x ＋a )＝(x ＋a )2－4(x ＋a )＋3＝x 2＋(2a －4)x ＋a 2－4a ＋3，因为f (x ＋a )为偶函数，所以2a －4＝0，a ＝2.f [f (a )]＝f [f (2)]＝f (－1)＝8.11．－8 [解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数，∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝⎛⎭⎫－92＝－8. 12．[解答] (1)由f (1)＝2，得a ＋1b ＋c ＝2，由f (2)<3，得4a ＋12b ＋c<3.∵函数f (x )是奇函数，∴函数f (x )的定义域关于原点对称．又函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠－c b ，则－c b ＝0，∴c ＝0，于是得f (x )＝ax b ＋1bx ，且a ＋1b ＝2，4a ＋12b <3，∴8b －32b <3，即0<b <32.又b ∈Z ，∴b ＝1，则a ＝1.a ＝1，b ＝1，c ＝0符合f (x )在(1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知f (x )＝x ＋1x.已知函数f (x )是奇函数，且在(1，＋∞)上单调递增，根据奇函数的对称性，可知f (x )在(－∞，－1)上单调递增；以下讨论f (x )在区间[－1,0)上的单调性．当－1≤x 1<x 2<0时，f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2，显然x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1,1－1x 1x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴函数f (x )在[－1,0)上为减函数．综上所述，函数f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数．【难点突破】13．[解答] (1)令x ＝y ＝1，则f (1×1)＝f (1)＋f (1)，得f (1)＝0；再令x ＝y ＝－1，则f [(－1)·(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，得f (－1)＝0.对于条件f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )＋f (－1)，所以f (－x )＝f (x )．又函数f (x )的定义域关于原点对称，所以函数f (x )为偶函数．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则有x 2x 1>1.又∵当x >1时，f (x )>0，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0.又f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>f (x 1)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)∵f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)，又f (2)＝1，∴f (4)＝2.又由(1)(2)知函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f (4)＝f (－4)＝2.(4)∵f (3x －2)＋f (x )＝f [x (3x －2)]，4＝2＋2＝f (4)＋f (4)＝f (16)，∴原不等式等价于f [x (3x －2)]≥f (16)．又函数f (x )为偶函数，且函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价于|x (3x －2)|≥16，即x (3x －2)≥16或x (3x －2)≤－16，解得x ≤－2或x ≥83，∴不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≤－2或x ≥83.。

高考数学一轮复习课时作业6函数的奇偶性与周期性理(含解析)新人教版

高考数学一轮复习课时作业6函数的奇偶性与周期性理（含解析）新人教版课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( D ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A ，B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．2．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( B ) A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：由已知得f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.故选B.3．(2019·唐山模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，g x ，x <0，则g (f (－7))＝( D )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，g x ，x <0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3，所以g (f (－7))＝g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝－log 2(3＋1)＝－2，故选D. 4．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( B ) A ．3 B ．0 C ．－1D ．－2解析：设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝( D )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解析：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1 008＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0192＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3＋1.6．(2019·北京石景山高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x ，x >0，sin x ，x ≤0.则下列结论正确的是( D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：因为f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3－x ，x <0，－sin x ，x ≥0＝－f (x )，所以f (x )是奇函数；x ≤0时f (x )＝sin x 有增有减，所以B 错；x >0，f (x )＝x 3＋x 不为周期函数，C 错；x >0，f (x )＝x 3＋x >0；x ≤0时f (x )＝sin x ∈[－1,1]，所以f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D.7．(2019·江西联盟质检)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x ＋m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (2 13 )，b ＝f (log 132)，c ＝f (m ＋1)，则a ，b ，c 的大小关系为( D )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a解析：由函数f (x )为偶函数，可知m ＝0，即f (x )＝2|x |－1，显然f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又|2 13|>1，|log 13 2|＝|log 32|<1，m ＋1＝1，∴a ＝f (2 13 )>c ＝f (m ＋1)>b ＝f (log 132)，故选D.8．(2019·广东综合模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝e x(x ＋1)，给出下列命题：①当x >0时，f (x )＝e －x(x －1)；②函数f (x )有3个零点；③f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)；④∀x 1，x 2∈R ，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2.正确个数为( B ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：由题意得，当x >0时，则－x <0，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－e －x(－x ＋1)＝e －x(x －1)，所以①是正确的；令e x (x ＋1)＝0，可解得x ＝－1，当e －x(x －1)＝0时，可解得x ＝1，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝0，故函数的零点有3个，所以②是正确的；因为当x <0时，由f (x )＝e x (x ＋1)>0，解得－1<x <0；当x >0时，由f (x )＝e －x(x －1)>0，解得x >1，故f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，所以③是不正确的；因为当x >0时，由f (x )＝e －x(x －1)，图象过点(1,0)，又f ′(x )＝e －x(2－x )，可知当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0，所以函数在x ＝2处取得极大值f (2)＝1e 2，且当x →0时，函数值趋向于－1，当x →＋∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作函数f (x )的图象，可得－1<f (x )<1，所以|f (x 1)－f (x 2)|<2成立，所以④是正确的．综上所述正确的个数为3，故选B.二、填空题9．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为－ln2. 解析：由已知可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln2. 10．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝－32.解析：由于f (－x )＝f (x )，∴ln(e －3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得2ax ＋3x ＝0(x∈R )，则2a ＋3＝0，∴a ＝－32.11．(2019·广西柳州联考)已知函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＋f (x )＝2f (3)，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称且f (2)＝4，则f (22)＝－4.解析：因为y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称，即函数f (x )为奇函数，由f (x ＋6)＋f (x )＝2f (3)得f (x ＋12)＋f (x ＋6)＝2f (3)，所以f (x ＋12)＝f (x )，T ＝12，因此f (22)＝f (－2)＝－f (2)＝－4.12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.解析：因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，由题知f (3)＝0，又f (3)＝f (－1)－f (1)，所以f (1)＝0.在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (1)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.13．(2019·河南洛阳一中高三一模)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( B )A.π3B.2π3 C ．πD.4π3解析：由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)，则f (x )＝f (x ＋4)．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3.故选B.14．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是①②.解析：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·江西临川二中、新余四中联考)已知函数f (x )＝|2x－m |的图象与函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[4，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2,4]D ．[4，＋∞)解析：因为函数y ＝g (x )与f (x )＝|2x－m |的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝|2－x－m |，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，所以函数f (x )＝|2x－m |和函数g (x )＝|2－x－m |在[1,2]上单调性相同，因为y ＝2x －m 和函数y ＝2－x－m 的单调性相反，所以(2x －m )(2－x －m )≤0在[1,2]上恒成立，即1－m (2x＋2－x )＋m 2≤0在[1,2]上恒成立，即2－x ≤m ≤2x在[1,2]上恒成立，得12≤m ≤2，故选B.16．(2019·河南省中原名校联考)已知函数f (x )＝2sin 2(x ＋π4)，g (x )＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4的图象在区间(π2－m ，π2＋m )上有且只有9个交点，记为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，9)，则∑i ＝19(x i＋y i )＝92π＋9.解析：由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4＝1，可得函数g (x )的图象关于点π2，1对称．又f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos(2x ＋π2)＝1＋sin2x ，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，故函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1对称．故f (x )与g (x )图象的交点也关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1对称，所以∑i ＝19(x i ＋y i )＝∑i ＝19x i ＋∑i ＝19y i＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋π2＋[4×(2×1)＋1]＝9π2＋9.。

高三人教版数学(理)一轮复习课时作业：第2章第4节函数的奇偶性及周期性

课时作业一、选择题1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④D [由奇函数的定义验证可知②④正确．]2．(2014·考感统考)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14 C.14D.12A [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.] 3．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)C [将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．]4．(2014·吉林模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |－|x －a |(a ≠0)，h (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x >0，x 2＋x ，x ≤0，则f (x )，h (x )的奇偶性依次为( )A ．偶函数，奇函数B ．奇函数，偶函数C ．偶函数，偶函数D ．奇函数，奇函数D [f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )，故f (x )为奇函数．画出h (x )的图象可观察到它关于原点对称或当x >0时，－x <0，则h (－x )＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－h (x )，当x <0时－x >0，则h (－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－h (x )． x ＝0时，h (0)＝0，故h (x )为奇函数．]5．(2014·杭州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3A [函数f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3.] 6．若函数f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34 D ．1A [∵f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， ∴－1（－2＋1）（－1－a ）＝－1（2＋1）（1－a ），∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.]7．(2013·天津高考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1，2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0，2]C [因为log 12a ＝－log 2a ，且f (x )是偶函数，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝2f (log 2a )＝2f (|log 2a |)≤2f (1)，即f (|log 2a |)≤f (1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2.]8．(2014·淄博一模)设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( )A ．－12 B ．－13 C ．－14D ．－15C [由f (t )＝f (1－t )得f (1＋t )＝f (－t )＝－f (t )，所以f (2＋t )＝－f (1＋t )＝f (t )，所以f (x )的周期为2.又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－14.故选C.]二、填空题9．定义在[－2，2]上的奇函数f (x )在(0，2]上的图象如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________．解析依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象，如图所示，注意到y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，结合图象可知， f (x )>x 的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 10．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．解析 ∵y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)， ∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ， ∴1－a ＝0.∴a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)． f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1. 答案－1 三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x .任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2 ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2. 故x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解析 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．。

苏教版高中数学必修一高考一轮理函数的奇偶性与周期性一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word含答案

函数的奇偶性与周期性分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·苏北四市调研)若函数f (x )＝22x ＋1＋m 为奇函数，则实数m ＝________.解析由题意，得f (0)＝0，所以220＋1＋m ＝0，即m ＝－1.答案－12．(2012·无锡调研)设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1，则f (2 011)＝________ 解析因为f (－x )＝－f (x )，f (x ＋3)＝f (x )，f (－1)＝－1，所以f (1)＝1，f (2 011)＝f (3×670＋1)＝f (1)＝1.答案 13．(2013·苏锡常镇扬调研)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x ，则f (－9)＝________.解析由题意，得f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (－4－x )，所以f (－9)＝f (－4＋9)＝f (5)＝－f (－5)＝－f (1)＝－2. 答案－24．(2012·盐城市检测)设函数f (x )是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是________．解析因为f (x ＋3)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，所以2a －3a ＋1＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＜－1，即2a －3a ＋1＋1＜0，3a －2a ＋1＜0，解得－1＜a ＜23. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，235．(2013·扬州市冲刺)已知函数f (x )是奇函数，且在[－1,1]上是单调增函数，又f (－1)＝－1，则满足f (x )≤t 2＋2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]及a ∈[－1,1]都成立的t 的取值范围是________．解析由题意，f (x )max ＝f (1)＝－f (－1)＝1，所以t 2＋2at ＋1≥1，即t 2＋2at ≥0对a ∈[－1,1]恒成立，t ＝0时，显然成立；t ≥0时，由t ≥－2a 恒成立，得t ≥2；t ＜0时，由t ≤－2a 恒成立，得t ≤－2.综上，得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. 答案 (－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)6．(2013·南通、无锡调研)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx＜0的解集为________．解析因为f (－x )＝－f (x )，所以由f x －f －x x ＝2f xx ＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，f x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，f x ＞0.因为f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，所以由f (x )＜f (1)，得0＜x ＜1.又f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且f (x )在(－∞，0)上为增函数，所以由f (x )＞f (－1)，得－1＜x ＜0. 综上所述，－1＜x ＜0或0＜x ＜1. 答案 (－1,0)∪(0,1)二、解答题(每小题15分，共30分) 7．设f (x )＝e x ＋a e －x(a ∈R ，x ∈R )． (1)讨论函数g (x )＝xf (x )的奇偶性；(2)若g (x )是偶函数，解不等式f (x 2－2)≤f (x )．解 (1)a ＝1时，f (x )＝e x＋e －x是偶函数，所以g (x )＝xf (x )是奇函数；a ＝－1时，f (x )＝e x －e －x 是奇函数，所以g (x )＝xf (x )是偶函数．a ≠±1，由f (x )既不是奇函数又不是偶函数，得g (x )＝xf (x )是非奇非偶函数．(2)当g (x )是偶函数时，a ＝－1，f (x )＝e x －e －x是R 上的单调递增函数，于是由f (x 2－2)≤f (x )得x 2－2≤x ，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2. 8.已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R )． (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数；当a ≠0时，f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )， ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)设x 2>x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，由x 2>x 1≥2，得x 1x 2(x 1＋x 2)>16，x 1－x 2<0，x 1x 2>0. 要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f (x 1)－f (x 2)<0，即x 1x 2(x 1＋x 2)－a >0恒成立，则a ≤16.分层训练B 级创新能力提升1．(2012·深圳调研)给出四个函数：①f (x )＝x ＋1x；②g (x )＝3x ＋3－x ；③u (x )＝x 3；④v (x )＝sin x ，其中满足条件：对任意实数x 和任意正数m ，有f (－x )＋f (x )＝0及f (x ＋m )>f (x )的函数为________．解析可知满足条件的函数是奇函数，且在R 上单调递增，所以仅u (x )＝x 3符合题意．答案 u (x )＝x 32．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称； ③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数； ⑤f (2)＝f (0)．其中正确的序号是________．解析 ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋1)＝f (x ＋1＋1)＝f (x ＋2)， ∴f (x )是周期为2的函数，①正确．又∵f (x ＋2)＝f (x )＝f (－x )，∴f (x )＝f (2－x )， ∴y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，②正确．又∵f (x )为偶函数且在[－1,0]上是增函数， ∴f (x )在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x ＝1，∴f (x )在[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)，故③④错误，⑤正确．答案 ①②⑤3．(2013·南通调研三)已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则满足f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的x 0的取值范围为________．解析 f ′(x )＝2x ＋sin x ，在区间⎝⎛⎦⎥⎤0，π2内f ′(x )>0，∴f (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2内单调递增，此时由f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3得x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π2，易证f (x )是偶函数，∴x 0∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，－π3也符合题意．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2≤x ＜－π3或π3＜x ≤π2 4．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析 ①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，得f (x ＋3)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以①正确．②由y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，得f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫34，0对称，所以②不正确．③由f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －34＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x －34，得f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －32，又f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －32＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x )是偶函数，③正确．由③正确知④不正确．答案 ①③5．(2012·盐城市检测)已知函数f (x )＝1＋ax2x ＋b (a ≠0)是奇函数，并且函数f (x )的图象经过点(1,3)．(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的值域．解 (1)因为函数f (x )＝1＋ax2x ＋b 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以1＋a －x2－x ＋b＝－1＋ax 2x ＋b.因为a ≠0，所以－x ＋b ＝－x －b ，所以b ＝0. 又函数f (x )的图象经过点(1,3)，所以f (1)＝3. 所以1＋a 1＋b ＝3.因为b ＝0，故a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1＋2x 2x ＝2x ＋1x(x ≠0)．当x ＞0时，2x ＋1x≥22x ·1x ＝22，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号．当x ＜0时，(－2x )＋1－x≥2 －2x ·1－x＝2 2.所以2x ＋1x≤－2 2.当且仅当－2x ＝1－x ，即x ＝－22时取等号．综上可知，函数f (x )的值域为(－∞，－22]∪[22，＋∞)． 6．(2012·启东重点中学调研)设f (x )＝log a1－mxx －1为奇函数，g (x )＝f (x )＋log a [(x －1)(ax ＋1)](a ＞1，且m ≠1)． (1)求m 的值； (2)求g (x )的定义域；(3)若g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32上恒正，求a 的取值范围．解 (1)f (x )是奇函数，f (x )＝－f (－x )， log a 1－mx x －1＝－log a 1＋mx －x －1＝log a －x －11＋mx ，∴1－mx x －1＝－x －11＋mx，x 2－1＝(mx )2－1， ∴(m 2－1)x 2＝0，又m ≠1，∴m ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝log ax ＋1x －1， g (x )＝log a x ＋1x －1＋log a [(x －1)·(ax ＋1)]，x 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1ax ＋1＞0，x ＋1x －1＞0.又a ＞1，∴x ＜－1或x ＞1，∴g (x )的定义域为{x |x ＜－1或x ＞1}． (3)∵a ＞1，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32上恒正，∴(x ＋1)(ax ＋1)＞1⇒ax ＋1＜1x ＋1⇒ax ＜－x x ＋1⇒a ＞－1x ＋1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32，∴－1x ＋1≤－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝2，∴a ＞2， ∴a 的取值范围是(2，＋∞).。

第08讲函数的奇偶性、周期性高考数学大一轮复习核心题型易错重难点专项突破(新高考版)

注意
对于分段函数奇偶性的判断，要分段判断 f (－ x )＝ f ( x )或 f (－ x )＝－ f ( x )
是否成立，只有当所有区间都满足相同关系时，才能判断该分段函数的奇偶性.
角度1 判断函数的奇偶性
例1 (1)[全国卷Ⅰ]设函数 f ( x )， g ( x )的定义域都为R，且 f ( x )是奇函数， g ( x )是偶函
−1

−1
ex
＋e－ x ，所以 a －1＝±1，解得 a ＝0(舍去)或 a ＝2，故选D.
解法二

f ( x )＝＝ (−1) − ， f ( x )是偶函数，又 y ＝ x 是奇函数，所以
−1

−
y ＝e( a －1) x －e－ x 是奇函数，故 a －1＝1，即 a ＝2，故选D.
A. (0，＋∞)
B. (－∞，－4)
C. (－4，0)
D. (－∞，－4)∪(0，＋∞)

定义域为{ x ｜ x ≠0}， f ( x )是奇函数，在定义域上不具有单调性，故D错误.故选
C.
2.[2023南京市、盐城市一模]若函数 f ( x )＝ x 3＋ bx 2＋ cx ＋ d 满足 f (1－ x )＋ f (1＋ x )
＝0对一切实数 x 恒成立，则不等式 f '(2 x ＋3)＜ f '( x －1)的解集为(
图像特征关于 y轴
对称
f(-x)=-f(x) ,则称y=f(x)为奇函数
关于原点
对称
2.函数的周期性
(1)周期函数
非零常数
一般地,对于函数f(x),如果存在一个
T,使得对定义
域内的每一个x

高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练(含答案)-word

高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练（含答案）若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，下面是函数的奇偶性与周期性专题训练，请考生及时练习。

一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 ().A.-1B.0C.1D.2(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sinx=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0，故选B.答案 B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.答案 A4.已知函数f(x)=则该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x)=2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数.答案 C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，则f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案 .设函数D(x)=则下列结论错误的是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案 C二、填空题.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.答案 0.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=________.解析因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案 -1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5) 10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)=f的所有x之和为________.解析 f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解 (1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函数..已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.(2)解任取x1所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.已知函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.(1)证明 f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，则01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.故f(x)=x(-11).函数的奇偶性与周期性专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。