第九章 压杆稳定

活塞杆
D
p d 活塞
32
活塞杆
D
p d 活塞
解：活塞杆承受的轴向压力应为
F=
πD2
4
⋅ p = 3980N
活塞杆承受的临界压力应为
I i= A
µl λ= i
33
Fcr = nst ⋅ F = 23900N
把活塞的两端简化为铰支座。 把活塞的两端简化为铰支座。
用试算法求直径 （1）先由 欧拉公式 求直径
π 2E Fcr π 2EI π 2E 2 σcr = = = 2 2 ⋅i = 2 A (µl ) A (µl ) (µl / i)
令
λ=
µl
i
20
λ 称为压杆的柔度（长细比），集中地反应了压杆的长度、 称为压杆的柔度 长细比），集中地反应了压杆的长度、 压杆的柔度（ ），集中地反 杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素 临界应力的影响。 杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响。 等因素对 条件
2）中柔度杆
λ2 ≤ λ < λ1
σcr = a − bλ
3）小柔度杆 (λ ＜ λ 2)
25
σcr = σs
2、临界应力总图
σcr
σS
σP
σcr =σ s
σcr =a−bλ
π 2E σcr = 2 λ
λ2
λ1
λ=
µL
i
26
例题1 图示各杆均为圆形截面细长压杆。 例题1 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材 料及直径相等。问哪个杆先失稳。 料及直径相等。问哪个杆先失稳。
研究压杆稳定性问题尤为重要
8
三、压杆稳定的基本概念
F < Fcr F = Fcr
F > Fcr
关键
确定压杆的临界力 确定压杆的临界力 Fcr
F=Fcr F=Fcr
F
压杆丧失直 压杆丧失直 线状态的平衡， 线状态的平衡， 过渡到曲线状态 过渡到曲线状态 的平衡。 的平衡。 失稳（屈曲） 失稳（屈曲）
17
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
杆端各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 杆端各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小 ）， 的形心主惯性矩。 的形心主惯性矩。 x y 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰）， 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰）， 应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力。 应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力。 I 为其相应中性轴的惯性矩。 为其相应中性轴的惯性矩。 z
1、两端铰支
F = cr
π 2EI
l2
Fcr
2、一端固定,另一端铰支 一端固定, C 为拐点
C
0.7l l
0.3l
Fcr =
π 2EI
(0.7l )
2
Fcr =
π 2EI
(0.7l )2
14
3、两端固定 C，D 为拐点
4、一端固定 一端自由
Fcr =
π EI
2
F = cr
Fcr
l/4 l/2 l l l/4
5、讨论 （1）相当长度 µ l 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当 长度µ 长度µ l 。 µ l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于 是各种支承条件下，细长压杆失稳时 挠曲线中相当于 失稳时， 半波正弦曲线的一段长度。 半波正弦曲线的一段长度。 长度
2
Fcr
B x
m
(b)式的通解为 式的通解为
w = Asinkx + Bcos kx
为积分常数） （A、B为积分常数） 、 为积分常数
(c)
11
边界条件
x = 0, w = 0 x = L, w = 0
Fcr
B
y m w x m l
由公式(c) 由公式(c)
Fcr
x
Asin0 + Bcos 0 = 0 A∗ 0 + B ∗1 = 0 → B = 0
π 2E σcr = 2 λ
Fcr = A⋅ σcr
λ 越大，相应的 σcr 越小，压杆越容易失稳。 越大， 越小，压杆越容易失稳。 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应 压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同， 分别计算在各平面内失稳时的柔度λ 分别计算在各平面内失稳时的柔度λ，并按较大者计算 压杆的临界应力 σcr
7
案例2 1995年 案例2 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼,由于 29日下午 韩国汉城三丰百货大楼, 日下午， 盲目扩建,加层, 盲目扩建,加层,致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破 大楼倒塌, 502人 930人 失踪113人 坏,大楼倒塌,死502人，伤930人，失踪113人.
。
21
二、 欧拉公式的应用范围
只有在
σcr ≤ σP 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的
临界压力 Fcr（临界应力 σcr ）。
π E σcr = 2 ≤ σP λ
2
或
π 2E λ≥ σP
令λ1 = π E
σP
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λ ≥ λ1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围。 大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围。 ），为欧拉公式的适用范围 λ1 的大小取决于压杆材料的力学性能。例如，对于Q235钢， 的大小取决于压杆材料的力学性能。例如，对于Q235钢
2.计算步骤 2.计算步骤 (1) 计算λ1 计算λ
cr
st
F n= ≥n F
cr
st
(2) 根据λ 选择公式计算临界应力 根据λ (3) 根据稳定性条件，判断压杆的稳定性 根据稳定性条件，
29
例题2 活塞杆由45号钢制成， 例题2 活塞杆由45号钢制成，σS = 350MPa ， σP = 280MPa 号钢制成 E=210GPa 。长度 l = 703mm ，直径 d=45mm 。最大压力 Fmax = 41.6kN 。规定稳定安全系数为 nSt = 8—10 。试校核 8— 其稳定性。（活塞杆两端简化成铰支） 其稳定性。（活塞杆两端简化成铰支） 。（活塞杆两端简化成铰支 解： E
F F
F
a
A
1.3 a B
1. 6 a
C
d
27
F
F
F
a
A
1.3 a B
1. 6 a
C
d
解： 杆A 杆B 杆C
µ = 2 µl = 2a
µ = 1 µl = 1.3a µ = 0.7 µl = 0.7×1.6a = 1.12a
A杆先失稳 杆先失稳
28
§9-5 压杆的稳定校核
1. 稳定性条件
F F≤ n
令 n = 1, 得
F = cr
π 2EI
l
2
Fcr
w B x m l
Fcr
x
两端铰支细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式） 两端铰支细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式） 当 kl =π 时，挠曲线方程为
w = Asin
πx
l
13
挠曲线为半波正弦曲线。 挠曲线为半波正弦曲线。
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
18
欧拉公式的应用范围• §9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式
一、临界应力
1. 欧拉公式临界应力 压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定 平衡时，横截面上的压应力可按 σ = F/A 计算。 平衡时， 计算。
19
不同支承下压杆横截面上的应力为
Fcr π 2EI σcr = = A (µl )2 A I 为压杆横截面对中性轴的惯性半径 i= A
λ1 = π
σP
= 86
µ=1
截面为圆形
λ=
µ⋅l
i
I d i= = A 4
= 62.5 < λ1 不能用欧拉公式计算临界压力。 不能用欧拉公式计算临界压力。 30
如用直线公式，需查表得： 如用直线公式，需查表得： a= 461MPa
s
b= 2.568 MPa
a −σ λ= = 43.2 < λ b
36
11-6
•减小压杆长度 l 减小压杆长度
37Βιβλιοθήκη •减小长度系数 （增强约束） 减小长度系数µ（增强约束） 减小长度系数
1
§9-1 压杆稳定的概念 §9-2 两端铰支细长压杆的临界压力 §9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 欧拉公式的应用范围• §9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 §9-5 压杆的稳定校核 §9-6 提高压杆稳定性的措施
2
§9-1 压杆稳定的概念
①强度 构件的承载能力 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 却不一定能安全可靠地工作。 却不一定能安全可靠地工作。
F
F
F
9
§9-2 两端铰支细长压杆的临界压力
y m
y
Fcr
w B x m l
Fcr
x
m
M F
Fcr
B x
m
10
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 该截面的弯矩 M( x) = −Fw 杆的挠曲线近似微分方程
w
y
m
M F
EIw'' = M( x) = −Fw（a)
F '' 2 令k = 得 w + k w = 0 (b) EI
π 2EI F = cr 2 (µl )
π EI 64 F = = cr (µl )2 (µl )2