立体几何高考真题大题

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2023年高考数学立体几何真题练习(含答案解析)

2023年高考数学立体几何真题练习（含答案解析）

1．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥−P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（） A ．

B ．π

C ．2π

D ．3π

【答案】B 【解析】

设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，

且263BO =⨯=PO 因为5PQ =，故1OQ =，

故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，

而三角形ABC 内切圆的圆心为O ，半径为

236

=>⨯，故S 的轨迹圆在三角形ABC 内部，故其面积为π 故选：B

2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA −=，E ，F 分别是棱11,BC AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（）

A ．αβγ≤≤

B ．βαγ≤≤

C ．βγα≤≤

D ．αγβ≤≤

【答案】A

【解析】如图所示，过点F 作FP AC ⊥于P ，过P 作PM BC ⊥于M ，连接PE ，

则EFP α=∠，FEP β=∠，FMP γ=∠， tan 1PE PE FP AB α=

=≤，tan 1FP AB PE PE β==≥，tan tan FP FP

PM PE

γβ=≥=，所以αβγ≤≤，故选：A ．

3．（多选题）（2022·全国·高考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD −，F ABC −，F ACE −的体积分别为123,,V V V ，

2021-2023三年新高考立体几何大题-含答案

2021-2023三年新高考立体几何大题1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．

(1)证明：2222B C A D ∥；

(2)点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D --为150︒时，求2B P ．

2．

（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，60ADB ADC ∠=∠= ，E 为BC 的中点．

(1)证明：BC DA ⊥；

(2)点F 满足EF DA = ，求二面角D AB F --的正弦值．

(1)求A 到平面1A BC 的距离；

(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面弦值．

4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．

(1)证明：//OE 平面PAC ；

(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．

2023年高考数学----立体几何解答题常考全归类真题练习题(含答案解析)

2023年高考数学----立体几何解答题常考全归类真题练习题（含

答案解析）

1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C -中，

112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．

(1)求证：//EF 平面ABC ；

(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值； (3)求平面1

ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．【解析】（1）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ，且AC AB ⊥，则1111AC A B ⊥

以点1A 为坐标原点，1A A 、11A B 、11AC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则()2,0,0A 、()2,2,0B 、

()2,0,2C 、()10,0,0A 、()10,0,2B 、()10,0,2C 、()0,1,0D 、()1,0,0E 、11,,12F ⎛⎫

⎪⎝⎭，则10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，易知平面ABC 的一个法向量为()1,0,0m =，则0EF m ⋅=，故EF m ⊥，

EF ⊄平面ABC ，故//EF 平面ABC .

（2）()12,0,0C C =，()10,1,2C D =−，()1,2,0EB =，

设平面1CC D 的法向量为()111,,u x y z =，则111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪

⎨⋅=−=⎪⎩，

取12y =，可得()0,2,1u =，4

立体几何高考大题集锦

9、（辽宁）如图，在棱长为1的、（辽宁）如图，在棱长为1 辽宁，，，，正方体ABCD ABCD正方体ABCD-A B C D 中， AP=BQ=b（0<b<1）， <1），，截面PQEF∥ 截面PQEF∥ A D ， H ，截面PQGH∥AD 截面PQGH∥AD ．证明：平面PQEF （Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH互相垂直； PQGH互相垂直和平面PQGH互相垂直； P D 证明：截面PQEF PQEF和（Ⅱ）证明：截面PQEF和 F A 截面PQGH面积之和是定值， PQGH面积之和是定值截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；并求出这个值；， b=1/2，（Ⅲ）若b=1/2，求D E与 PQEF所成角的正弦值所成角的正弦值．面PQEF所成角的正弦值．
D1 B1
C1
1
E D C B
A
12、（山东）如图， 12、（山东）如图，在四棱锥、（山东 ABCD中平面PAD⊥ PAD⊥平面 P-ABCD中，平面PAD⊥平面
P
ABCD，AB∥DC， PAD是等边 ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，三角形，已知BD=2AD=8， BD=2AD=8 AB=2DC=4 5。（1）设M是PC上的一点， PC上的一点，上的一点
立体几何
高考大题集锦

历年高考立体几何真题+答案

历年高考真题

1、2003（理科）（本题满分12分）

已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB=4，AD=2.若B 1D ⊥BC ，直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，求平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积.

．[解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD.

在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32.

又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以 ∠B 1DB=30°，于是BB 1=

1BD=2.

故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38. 2.2005（理科）(本题满分14分)

本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60. （1）证明：BC PA ⊥；

（2）求底面中心O 到侧面的距离.

[证明]（1）取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，

则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD . BC

PA ⊥

[解]（2）如图，由（1）可知平面⊥PBC 平面APD ，则PDA ∠面所成二面角的平面角.

过点O 作E PD OE ,⊥为垂足，

则OE 就是点O 到侧面的距离. 设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上，

∴ 60=∠PDO ，h OP 2=.

h BC h OD 4,3

2=∴=

∴ 2234)4(43

h h S ABC ==

立体几何大题综合(含答案)

立体几何大题综合

1．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．

(1)求证：1BC ⊥平面1

ACD ；(2)求直线1D C 与平面1AD E 所成角的余弦值．

2．

（2022秋·广东清远·高二校联考期中）如图，在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且BE CF =.

(1)求证：A F C E ''⊥；

(2)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面EFB '与平面BFB '的夹角的正切值.

3．（2022秋·广东肇庆·高二校考期中）如图在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，F 为AB 的中点，H 为1DD 的中点，K 为1BB 的中点.

(1)求直线1A H 到直线KC 的距离；

(2)求直线FC 到平面1AEC 的距离.

4．

（2022秋·广东江门·高二校考期中）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD CD =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．

(1)求证：FG //平面PCD ；

(2)求点C 到平面PGB 的距离．

5．（2022秋·广东清远·高二校联考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AB ⊥平面PAD ，E 是AD 的中点，PAD 为等腰直角三角形，DP AP ⊥，2PA AB ==2

(1)求证：PE BD ⊥；

历年高考数学立体几何大题

立体几何是高考数学中的重要知识点，近年来的高考数学中经常出现立体几何大题。以下是部分历年高考数学立体几何大题的题目和解答：

-题型五：证明面面平行。

-题型六：面面平行探索性题型。

-题型七：证明线面垂直。

-题型八：证明面面垂直。

-题型九：垂直探索性题型。

-题型十：翻折中的垂直。

-题型十一：常规求法和等体积转化型。

-题型十二：多面体割补型。

-题型十三：两部分体积比型。

-题型十四：动点型。

-题型十五：最值型。

高考数学立体几何大题30题

立体几何大题

1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝4cm ，CD 是斜边上的高沿CD 把△ABC 折成直二面角．

（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A ，B 的位置，使二面角A －CD －B 是直二面角？证明你的结论．

（2）试在平面ABC 上确定一个P ，使DP 与平面ABC 内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．解：（1）用直尺度量折后的AB 长，若AB ＝4cm ，则二面角A －CD －B 为直二面角．

∵ △ABC 是等腰直角三角形，

(),cm 22DB AD ==∴

又∵ AD⊥DC，BD⊥DC．

∴ ∠ADC 是二面角A －CD －B 的平面角．

有时当,cm 4AB ,22DB AD === Θ

.90ADB .AB DB AD 222︒=∠∴=+

（2）取△ABC 的中心P ，连DP ，则DP 满足条件 ∵ △ABC 为正三角形，且 AD ＝BD ＝CD ．

∴ 三棱锥D －ABC 是正三棱锥，由P 为△ABC 的中心，知DP⊥平面ABC ， ∴ DP 与平面内任意一条直线都垂直．

（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r ，故有

ABC O ABD O ADC O BCD O BCD A V V V V V -----+++=代入得3

2024年高考数学复习大题全题型专练：空间向量与立体几何(解析版)

专题9立体几何中的探索性问题

1．

（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱

111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为

(1)求A 到平面1A BC 的距离；

(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB ，平面1A BC 平面11ABB A ，求二面角A BD C 的正弦值．

【答案】

(2)2

【解析】

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得BC 平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.

(1)在直三棱柱111ABC A B C 中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，

则1111111111433333

A A BC A A ABC A ABC A

B B

C C C B V S h h V S A A ，

解得h

所以点A 到平面1A BC ；

(2)

取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB ，所以1AE A B ,

又平面1A BC 平面11ABB A ，平面1A BC ∩平面111ABB A A B ，

且AE 平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ，

在直三棱柱111ABC A B C 中，1BB 平面ABC ，

由BC 平面1A BC ，BC 平面ABC 可得AE BC ，1BB BC ，

又1,AE BB 平面11ABB A 且相交，所以BC 平面11ABB A ，

所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1

）得AE 12AA AB

，1A B 2BC ，

则 10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1A C 的中点 1,1,1D ，

立体几何高考例题

以下是一个关于立体几何的高考例题：

题目：已知四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，若侧棱PA垂直于底面ABCD，求二面角A-BC-P的大小。

答案：设PA=2，以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则

n·PB=x-z=0，

n·PC=x+2y-z=0，令x=1，得n=(1,1,1)，

设所求二面角为θ，则cosθ=cos=(1/3)。

故所求二面角A-BC-P的大小为arccos(1/3)。

新课标全国卷历年高考立体几何真题(含答案)

新课标全国卷历年高考立体几何真题（含答案）

班别： ______________________ 姓名：___________________

1.（2011年全国卷）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD ，PD ⊥底面ABCD .

(Ⅰ)证明：PA ⊥BD ； (Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值.

2.（2012年全国卷）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11

AC BC AA ==

，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1.

（Ⅰ）证明：BC DC ⊥1；（Ⅱ）求二面角11C BD A --的大小.

3.（2013年全国Ⅱ卷）如图，直棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=2

AB. （Ⅰ）证明：BC 1//平面A 1CD ，（Ⅱ）求二面角D-A 1C-E 的正弦值

4.（2013年全国Ⅰ卷）如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =，1AA AB =， 601=∠BAA .

（Ⅰ）证明C A AB 1⊥；

（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.

5.（2014年全国Ⅱ卷）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中

点.

(Ⅰ)证明:PB ∥平面AEC ；(Ⅱ)设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，，求三棱锥E-ACD 的体积.

高考数学《立体几何》真题大题解析汇总

1.（髙考新课标1卷）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五而体中，而ABEF 为正方

形,AF=2FD, ZAFD = 90 ,且二面角 D-AF-E 与二而角 C-BE-F 都是 60 ・

（I ）证明：平而ABEF 丄平面EFDC ：（II ）求二而角E-BC-A 的余弦值.

【解析】

试题分析：（I ）先证明AF 丄平面EFDC ，结合AFu 平而ABEF,可得平而ABEF 丄平而EFDC ・（II ）建立空间坐标系，分别求出平而BCE 的法向量乔及平面BCE 的法

试题解析：（I ）由已知可得AF 丄DF, AF 丄FE,所以AF 丄平而EFDC. 又AF u 平而

ABEF,故平而ABEF 丄平而EFDC ・

（II ）过D 作DG 丄EF,垂足为G,由（I ）知DG 丄平而ABEF.

以G 为坐标原点，市的方向为x 轴正方向，|石冃为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz ・由(I )知ZDFE 为二而角D-AF-E 的平而角，故ZDFE = 60 ,贝iJ|DF| = 2,

|DG|=3,可得A(1,4,0), B(-3,4,0), E(-3,0,0), D (0,0 J).

由已知，AB//EF,所以AB 〃平面EFDC.

又平而 ABCDA 平面 EFDC = DC,故 AB//CD, CD//EF.

由BE//AF ，可得EE 丄平而EFDC,所以ZCEF 为二而角C-BE-F 的平而角，

高考立体几何大题

-中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD

AD=2

==，点M在侧棱SC上，∠ABM=60。

DC SD

（I）证明：M是侧棱SC的中点；

()II求二面角S AM B

--的大小。

（2014全国卷Ⅱ）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，E-ACD的体积.

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成

的角的大小

3.（2009浙江卷）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，

120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平

面ABE 所成角的正弦值．

A 1

B 1

C 1 D

4.（2009北京卷）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ

）当PD 且E 为PB 的中点时，求

AE 与平面PDB 所成的角的大小.

5.（2009江西卷）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球

2024届高考数学专项立体几何大题含答案

立体几何大题

1.空间中的平行关系

（1）线线平行

（2）线面平行的判定定理：

平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行

（3）线面平行的性质定理

若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行

（4）面面平行的判定定理

判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行

判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行

（5）面面平行的性质定理

性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面

性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行

6.空间中的垂直关系

（1）线线垂直

（2）线面垂直的判定定理

一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直

（3）线面垂直的性质定理

性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线

性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行

（4）面面垂直的判定定理

一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直(或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直)

（5）面面垂直的性质定理

两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面

6.异面直线所成角

cos θ=cos a ,b =|a ⋅b ||a |⋅|b |=|x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2|

x 12+y 12+z 12⋅x 22+y 22+z 22(其中θ(0°<θ≤90°)为异面直线a ,b 所成角，a ,b 分别表示异面直线a ,b 的方向向量)7.直线AB 与平面所成角，sin β=AB ⋅m |AB ||m |