数学---广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第三次月考试题(理)

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广东省阳春市第一中学2018届高三第九次月考数学(理)试题(精编含解析)

阳春一中2018届高三级月考(9)理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，由函数的值域化简集合，根据集合并集的定义求解即可.详解：，，，故选C.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．2. 复数在复平面内的对应点关于虚轴对称的点的坐标为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用复数乘方与除法的运算法则化简，可得其坐标，关于虚轴对称即可得即可.详解：，对应点关于虚轴对称点的坐标为，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝1－4m<0，∴m>.∴“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>0.4. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题:“今有勾五步股一十二步，问勾中容圆.径几何?其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点则此点取自内切圆内的概率是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用三角形内角相等求出内切圆半径，从而求得内切圆面积，利用几何概型概率公式可得结果.详解：由勾股定理得弦长为，设内切圆半径为，由等积法可知，，，内切圆面积为，三角形面积为，此点取自内切圆内的概率是，故选C.点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5. 已知定义在上的偶函数在上单调递减则函数的解析式不可能为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由偶函数的性质可得，即有是上的偶函数，且在单调递减，对照选项，一一判断奇偶性和单调性，即可得到结果.详解：因为函数是上的偶函数，所以，解得，即有是上的偶函数，且在单调递减，对于，为偶函数，且在递减；对于，，可得为偶函数，且在递增，不符合题意；对于，为偶函数，且在递减；对于，为偶函数，且在递减，故选B.点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.6. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由直线与渐近线垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得结果.详解：双曲线的渐近线方程为，又直线可化为，可得斜率为，双曲线的一条渐近线与直线垂直，，得到，双曲线的离心率，故选C.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．7. 若的展开式的各项的系数和为32，则的展开式的常数项为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由的展开式的各项的系数和为，可得，展开式通项为的系数分别为，从而可得结果.详解：的展开式的各项的系数和为，令，展开式通项为的系数分别为，的展开式的常数项为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.8. 如图给出的是计算的程序框图，判断框和处理框应分别填的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：分析程序中各变量，各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是累加并输出的值，由已知中程序的功能，结合循环变量的初值及步长，分析出循环终值，可得到循环的条件.详解：因为计算时，每项分母依次增加，所以处理框应填，程序运行过程中，各变量值如图所示：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，第次循环：，依次类推，第次循环：，退出循环，判断框内应填入的条件是：，故选D.点睛：算法是新课程中新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视，程序填空也是重要的考试典型，这种题考试的重点有：①分支的条件；②循环的条件；③变量的赋值；④变量的输出，其中前两点考试的概率更大，此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误.9. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则最大值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，题中的几何体是三棱锥P－ABC(如图所示)，其中△ABC是直角三角形，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，BC＝2，PA2＋y2＝102，(2)2＋PA2＝x2，因此xy＝x当且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，因此xy的最大值是64故答案为：C。

考点29 直线、平面平行与垂直的判定与性质-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版)

【变式 3】【改编例题的条件和问法】【2017 届陕西省西安市西北工业大学附属中学第七次模拟考试】在下列命题中，属于真命题的是（）
A. 直线 m, n 都平行于平面，则 m / /n B. 设 − l − 是直二面角，若直线 m ⊥ ，则 m / / C. 若直线 m, n 在平面内的射影依次是一个点和一条直线，（且 m ⊥ n ），则 n 在内或 n 与平行 D. 设 m, n 是异面直线，若 m 与平面平行，则 n 与相交
CP / /PD DE / /BC
} CN / / NE
NP 平面ABC
NP / / 平面 ABC
所以，平面 MNP / / 平面 ABC MN / / 平面 ABC
【变式 2】【改编例题的问法，证明线线平行】【2017 届湖北省六校联合体高三 4 月联考】在四棱锥 P − ABCD
中，底面是边长为 2 的菱形， BAD = 600 ， PB = PD = 3， PA = 11， AC BD = O .
考点 29：直线、平面平行与垂直的判定与性质
【考纲要求】 1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 4．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 5．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题． 6．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理． 7．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题．【命题规律】直线与平面平行的判定以及平面与平面平行的判定是高考热点.预测 2018 年的高考以棱柱、棱锥为载体考查空间中的平行关系. 线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质是高考热点，备考时应掌握线面、面面垂直的判定与性质定理，了解线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化思想，逐步学会综合运用数学知识分析解决问题的能力．【典型高考试题变式】（一）空间点、直线、平面之间的位置关系例 1.【2016 全国 2 卷（理）】α,β 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么 α⊥β． ②如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n． ③如果 α∥β,m⊂α,那么 m∥β． ④如果 m∥n,α∥β,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等．其中正确的命题有．（填写所有正确命题的编号）【答案】②③④

广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第二次月考数学(理)---精校解析Word版

，，B.D.可得：可得：，设命题；命题B. C. D.【解析】所以命题,所以命题，，为假命题，已知集合，，则实数B. C. D.，利用子集的定义可得实数的取值范围是：，则B. C. D.，则的图象大致是B.D.【解析】时，时，C.已知函数上是单调函数，则实数B.D.【解析】试题分析：的导数为恒成立，，解得的取值范围是已知函数B. C. D.【解析】令，则：在区间上单调递减，在区间的最小值为的值域为原问题等价于函数与函数，的范围是.关于直线对称，则双曲线的离心率B. C. D.【答案】，满足题意时，直线过圆心，即双曲线的离心率为：.已知函数，则在（ B. 在（的图象关于直线 D. 的图象关于点对称【解析】在 , 在单调递减所以的图象关于直线上的偶函数，若任意的，都有，当，则【解析】所以上的函数的导函数为，有，且函数为奇函的解集是B. C. D.【解析】设故函数g(x)在R递减，,结合函数的单调性得：x>0，已知函数的方程的取值范围是B. D.【答案】的方程个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根，由函图象可知，方程，开口向下，对称轴为：，可知：第Ⅱ卷（共函数【解析】令，，【答案】10【解析】绘制函数已知曲线在点处的切线斜率为，则的最小值为【答案】【解析】因为，所以又因为曲线在点，所以，由在上递增，在上递减，的最小值为.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及函数的最值，属于难题已知切点求斜率,即求该点处的导数；己知斜率求切点即解方程巳知切线过某点设出切点利用求出切线斜率后从而求得的值，进而研究单调性后求最小值的.若点是曲线上任一点，则点到直线的最小距离是【答案】，令可得：(时，，与直线到直线的最小距离是已知在中，分别是内角的对边，满足的值；）若，且三角形，求(1)；.【解析】试题分析：（1）由正弦定理结合两角和正弦公式易得：；，由正弦定理得，．，，即．为数列的前已知.的通项公式；，求数列的前(1)(2)是首项为的等差数列，通项公式为对数列的通项公式裂项求和可得数列的前项和是，可知，可得，又，解得（舍去），所以通项公式为可知，设数列的前，则使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，如图，四棱锥中，底面，为棱证明：平面(2)）连结，取的中点，连结，由已知条件推导出由此能证明平面；）以为原点，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面，设是平面2∴可取．同理，设的法向量，则，∴的余弦值为，3，张卡片中，取到红色卡片的张数设为，求随机变量(1)）设取出的=的卡片的概率为====已知常数，函数.在区间上的单调性；存在两个极值点，且(2)，分类讨论有：在区间上单调递增；时，在区间上单调递减，上单调递增；首先确定，结合题意构造函数，结合函数的性质讨论计算可得.时，此时，在区间时，，得时，；时，；在区间上单调递减，在区间当时，在区间时，在区间单调递减，在区间）知，当不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有的极值点只可能是，且由的定义域可知，所以，此时分别是令由且知时，当，时，，，所以在区间上单调递减，从而故当，所以在区间上单调递减，从而时，综上所述，满足条件的的取值范围为22. 在极坐标系中，射线与圆交于点，椭圆的方程为：，以极点为原点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求点A的直角坐标系和椭圆的参数方程；(2)若E为椭圆的下顶点，F为椭圆的任意一点，求的最大值以及点F的坐标.【答案】(1)，为参数）；(2)当F的坐标为时，的最大值为.的极坐标为A；椭圆的直角坐标方程为相应的参数方程为设出点的坐标，结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：，结合三的坐标为时，的最大值为）射线与圆交于点，点的直角坐标为的方程为：，直角坐标方程为参数方程为为参数），∵E（时，的最大值为所以所以当F的坐标为时，的最大值为。

数学---广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第三次月考试题(文)

广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第三次月考数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2320,R A x x x x =-+=∈，{}05,N B x x x =<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称，则下列判断正确的是（） A ．p 为真 B ．q ⌝为假 C ．p q ∧为假 D ．p q ∨为真3．已知角θ的终边经过点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2sin 2θ的值为（） A ．45B ．15C ．110D ．9104．函数2sin 1xy x x=++的部分图象大致为（） A ． B ． C ． D ．5．设()()1232e ,2log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为（） A ．()()1,23,+∞U B．)+∞ C ．())1,2+∞UD ．()1,26．已知A 为三角形ABC 的一个内角，若2sin cos 3A A +=，则这个三角形的形状为（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定 7．已知函数()3xf x x =+，()3log g x x x =+，()3log 3h x x =-的零点依次为,,a b c ，则（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<8．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且()()2sin sin 2sin 2sin b B A a b A c C +++=，则C =（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9．已知0.2log 5a =，3b log 2=，0.22c =，212d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从这四个数中任取一个数m 使函数()32123f x x mx x =+++有极值点的概率为（） A ．14 B ．12 C ．34D ．110．已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2ωϕπ⎛⎫><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于直线12x π=对称，则下列判断正确的是（） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 D ．函数()f x 在3,4π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增 11．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a <<D ．a b c <<12．若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知锐角ABC ∆的面积为4BC =，3CA =，则角C 的大小为． 14．已知cos 6απ⎛⎫-=⎪⎝⎭25cos sin 66ααππ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．15．已知函数()3233f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，其图象在1x =处的切线平行于直线6250x y ++=，则()f x 极大值与极小值之差为．16．已知()2ln ,02,0x x f x x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有4个根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知()2cos 2cos f x x x x =-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，4BC =，sin 2sin C B =，若()f x 的最大值为()f A ，求ABC ∆的面积.18．如图，在四边形ABCD 中，已知2A π∠=，23B π∠=，6AB =，在AB 边长取点E ，使得1BE =，连接,EC ED .若23CED π∠=，EC =（1）求sin BCE ∠的值；（2）求CD 的长.19．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.（1）根据茎叶图中的数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人都是年龄大于40岁的概率.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.20．已知圆22:1O x y +=过椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的短轴端点，,P Q 是圆O 与椭圆C 上任意两点，且线段PQ 长度的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,t 作圆O 的一条切线交椭圆C 于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21．已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =.（1）求实数,a b 的值；（2）是否存在实数m ，当(]0,1x ∈时，函数()()()21g x f x x m x =-+-的最小值，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）若120x x <<，求证：211212ln ln x x x x x -<-.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22229cos 16sin 144ρθρθ+=，且直线l 与曲线C 交于,P Q 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 恒过的定点A 的坐标；（2）设点A 为（1）中定点，若9AP AQ ⋅=，求直线l 的普通方程.【参考答案】一、选择题1-5:DCADC 6-10:BBCBD 11-12：AB 二、填空题13．60° 1415．4 16．10,e 2e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭三、解答题17．解：（1）()2cos 2cos f x x x x =-()21cos 2x x =-+=12sin 2cos 2122x x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当222262k x k πππ-+π≤-≤+π时，得63k x k ππ-+π≤≤+π， ∴()f x 的单调递增区间为,63k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.（2）∵sin 2sin C B =，由正弦定理得2c b =，∵()f x 的最大值为()f A ，∴2262A k ππ-=+π，Z k ∈， ∴3A k π=+π，Z k ∈，又()0,A ∈π，∴3A π=，在ABC ∆中，由余弦定理得:()2221624cos b b b A =+- ，∴3b =，∴ABC ∆的面积1sin 23S bc A ==. 18．解：（1）在CBE ∆中，由正弦定理得sin sin CE BE B BCE =∠，sin sin BE BBCE CE∠=114==，（2）在CBE ∆中，由余弦定理得2222cos120CE BE CB BE CB =+-⋅︒，即271CB CB =++，解得2CB =.由余弦定理得2222cos CB BE CE BE CE BEC =+-⋅∠cos BEC ⇒∠=sin BEC ⇒∠=，()sin sin 120AED BEC ∠=︒+∠=1272714⨯-⨯=cos 14AED ⇒∠=，在直角ADE ∆中，5AE =，cos AE AED DE =∠=DE ⇒= 在CED ∆中，由余弦定理得2222cos12049CD CE DE CE DE =+-⋅︒=，∴7CD =. 19．解：（1）由茎叶图可得：由列联表可得：()22502012108 3.46 3.84130202822K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关. （2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为51204=，所以年龄在20~40岁的抽取了2人，记为,a b ，年龄大于40岁的抽取了3人，记为,,A B C ，从这5人中随机抽取2人，所有可能的情况为(),a b ，(),a A ，(),a B ，(),a C ，(),b A ，(),b B ，(),b C ，(),A B ，(),A C ，(),B C ，共10种，其中2人都是年龄大于40岁的有(),A B ，(),A C ，(),B C 3种，所以概率为310. 20．解：（1）∵圆O 过椭圆C 的短轴端点，∴1b =，又∵线段PQ 长度的最大值为3，∴13a +=，即2a =，∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=. （2）由题意可设切线MN 的方程为y kx t =+，即0kx y t -+=联立得方程组2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2224240k x ktx t +++-=. 其中()()()2222444kt k t ∆=-+-22161664480t k =-++=>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12224kt x x k -+=+，212244t x x k -=+，则MN =.②将①代入②得MN =112OMN S MN ∆=⨯⨯=，1t t=≤+，当且仅当3t t =等号成立，即t = 综上可知：()max 1OMN S ∆=.21．解：（1）由()2ln f x ax b x =-，得：()2bf x ax x'=-，()0x >， ∵函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =，∴()()11120f a f a b ==⎧⎪⎨'=-=⎪⎩，解得1a =，2b =；（2）由（1）知，()22ln f x x x =-，∴()()()21g x f x x m x =-+-()12ln m x x =--，(]0,1x ∈，∴()22mx g x m x x-'=-=， ①当0m ≤时，()0g x '<，∴()g x 在(]0,1上单调递减，∴()()max 10g x g ==.②当02m <≤时，()20m x m g x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=≤， ∴()g x 在(]0,1上单调递减，∴()()max 10g x g ==. ③当2m >时，()0g x '<在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，()0g x '>在2,1m ⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，∴()g x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,1m ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增.∴()210g g m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴()min 0g x ≠.综上所述，存在m 满足题意，其范围为(],2-∞；（3）证明：由（2）知，1m =时，()12ln g x x x =--在()0,1上单调递减， ∴()0,1x ∈时，()()10g x g >=，即12ln x x ->. ∵120x x <<，∴1201x x <<，∴112212ln x xx x ->， ∴()121222ln ln x x x x x ->-，∵21ln ln x x >，∴212212ln ln x x x x x -<-. 22．解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为22229cos 16sin 144ρθρθ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为：221169x y +=. ∵直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），∴直线l 恒过定点为()2,0A .（2）把直线l 的方程代入曲线C 的直角坐标方程中，整理，得：()2297sin 36cos 9120t t αα++-⨯=.∴12236397sin t t α-⨯=+由t 的几何意义知1AP t =，2AQ t =，∴129AP AQ t t ⋅==，即2363997sin α-⨯=+，∴23sin 7α=，∵()0,α∈π，∴tan 2α=±，∴直线l 的方程为)2y x =-.。

阳春市第一中学2018届高三第六次月考(理数)

阳春市第一中学2018届高三第六次月考(理数)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN阳春市第一中学2018届高三第六次月考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|(2)(2)0A x N x x =∈+-<，{}1,2B =，那么A B 等于（） A ．{}0,1,2B ．{}2,1C ．{}2D ．{}12.设复数1()z bi b R =+∈且||2z =，则复数z 的虚部为（） A ．3B ．3±C ．1±D ．3i ±3.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为（）A ．4B ．8C ．10D ．125.若x ，y 满足约束条件20,10,50,y x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则y x 的最大值是（）A．32B ．1C ．2D ．36.已知锐角α满足cos 2cos()4παα=-，则sin 2α等于（）A ．21B ．12-C ．22D ．22-7.5()()x y x y -+的展开式中，24x y 的系数为（） A ．10-B ．5-C ．5D ．108.数列{}n a 中，已知11S =，22S =，且1123n n n S S S +-+=，（2n ≥且*n N ∈），则此数列为（） A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列9.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（）A ．2B ．92C ．32D ．310.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为'()y f x =，当0x ≠时，()'()0f x f x x +>，若11()22a f =，2(2)b f =--，11(ln )(ln )22c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c a b <<11.已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为（）A ．B ．C ．D ．12.设函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值为（） A ．15 B ．25 C ．12D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线2y x =在2x =处的切线与抛物线以及x 轴所围成的曲线图形的面积为．14.设ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，c =，cos A =b = ． 15.在三棱锥A BCD -中，底面BCD 为边长为2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射影为BCD ∆的中心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为A BCD -外接球的表面积为． 16.在面积为2的平行四边形ABCD 中，点P 为直线AD 上的动点，则2PB PC BC ⋅+的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量(sin ,cos )a x x =，(cos ,3cos )b x x =-，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，若()0f C =，02C π<<，1c =，求ABC ∆面积的最大值．18.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈；②若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，FC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，AD DC CF ==．（1）求证：//FC 平面AED ；（2）求直线AF 与平面BDF 所成角的余弦值．20.已知抛物线C 的标准方程为22(0)y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，(,0)A a （0a ≠）为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON ∆的面积为18．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）记11||||t AM AN =+，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由． 21.已知函数()(1)x f x x a e =--，21()2g x x ax =-．（1）曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）记()()(1)()F x f x a g x =-+．（i ）讨论()F x 的单调性；（ii ）若314a -<<-，()h a 为()F x 在(ln(1),)a ++∞上的最小值，求证：()0h a <．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=，曲线C 的参数方程为：22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲设函数()|2||2|f x x x =+--．（1）解不等式()2f x ≥；（2）当x R ∈，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-．数学（理科）参考答案一、选择题1-5:ABCBC 6-10:ABDAD 11、12：二、填空题13.23 14.2或4 15.6π 16.三、解答题17.解：（1）由题意得：21()sin cos sin 221)sin(2)23f x x x x x x x π=-=+=+，令222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，整理得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴函数()f x 的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）由题意得：()sin(2)03f C C π=-=，∴sin(2)3C π-=，∵02C π<<，∴22333C πππ-<-<，∴3C π=，由余弦定理可得：2212cos3a b ab ab π+-==，又22ab a b ≤+，∴1ab ≤，当且仅当1a b ==时等号成立，∴1sin 2ABC S ab C ∆==≤，∴ABC ∆面积的最大值为4． 18.解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布2(,)N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈， ∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826．②根据题意得1~(4,)2X B ，04411(0)()216P X C ===，14411(1)()24P X C ===，24413(2)()28P X C ===，34411(3)()24P X C ===，44411(4)()216P X C ===．∴X 的分布列为∴()422E X =⨯=． 19.（1）证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒， ∴BC DC =，120ADC BCD ∠=∠=︒，∴30CDB ∠=︒， ∴90ADB ∠=︒，即BD AD ⊥．又AE BD ⊥，AEAD A =，∴BD ⊥平面AED ，又BD ⊂平面ABCD ，∴平面AED ⊥平面ABCD ，如图，过E 作EG AD ⊥于G ，则EG ⊥平面ABCD ，又FC ⊥平面ABCD ，∴//FC EG ，又EG ⊂平面AED ，FC ⊄平面AED ， ∴//FC 平面AED ．（2）解：如图，连接AC ，由（1）知AC BC ⊥， ∵FC ⊥平面ABCD ， ∴CA ，CB ，CF 两两垂直．以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -．设2BC =，则3AC =4AB =，(0,0,2)F ，(0,2,0)B ，(3,1,0)D -，(23,0,0)A ，∴(3,0,2)AF =-，(3,3,0)BD =-，(0,2,2)FB =-，设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BD n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即330,0,x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令1y =，则3x =1z =，则(3,1,1)n =．设直线AF 与平面BDF 所成角为θ，则||sin ||||n AF n AF θ⋅=⋅5= 故直线AF 与平面BDF 所成角的余弦值为255．20.解：（1）由题意，11||||218222MON p S OA MN p ∆=⋅=⋅⋅=，∴6p =，抛物线C 的标准方程为212y x =．（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，设直线MN 的方程为x my a =+，联立2,12,x my a y x =+⎧⎨=⎩得212120y my a --=，∴2144480m a ∆=+>，1212y y m +=，1212y y a =-，由对称性，不妨设0m >，（i ）0a <时，∵12120y y a =->，∴1y ，2y 同号，又221211||||1||1||t AM AN m y m y =+=++ ∴2221222222212()1114411(1)1()11441y y m t m y y m a a m +=⋅=⋅=-+++，不论a 取何值，t 均与m 有关，即0a <时，A 不是“稳定点”；（ii ）0a >时，∵12120y y a =-<，∴1y ，2y 异号，又221211||||1||1||t AM AN m y m y =+=++∴222212121222222222121211()()41111444813(1)1()1()11441a y y y y y y m a t m y y m y y m a a m --+-+=⋅=⋅=⋅=+++++，∴仅当1103a -=，即3a =时，t 与m 无关． 21.解：（1）'()()x f x x a e =-，'(1)(1)f a e =-，因为()f x 在(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以'(1)0f =，所以1a =；（2）21()(1)(1)(1)2x F x x a e a x a a x =---+++，（i ）'()(1)(1)(1)()(1)()x x x F x e x a e a x a a x a e a x a =+---+++=--+-()(1)x x a e a ⎡⎤=--+⎣⎦，若10a +≤，即1a ≤-时，则由'()0F x =得x a =，当(,)x a ∈-∞时，'()0F x <；当(,)x a ∈+∞时，'()0F x >；所以'()F x 在(,)a -∞单调递减，在(,)a +∞单调递增．若1a >-，则由'()0F x =，得x a =或ln(1)x a =+，构造函数()ln(1)k a a a =-+（1a >-），则'()1a k a a =+，由()0k a =，得0a =，所以()k a 在(1,0)-单调递减，在(0,)+∞单调递增，min ()(0)0k a k ==，所以ln(1)a a ≥+（当且仅当0a =时等号成立）．①若0a =，'()0F x ≥，()F x 在(,)-∞+∞单调递增；②若10a -<<或0a >，当(ln(1),)x a a ∈+时，'()0F x <；当(,ln(1))(,)x a a ∈-∞++∞时，'()0F x >；所以()F x 在(ln(1),)a a +单调递减，在(,ln(1))a -∞+，(,)a +∞单调递增．（ii ）若314a -<<-，()F x 在(ln(1),)a a +单调递减，在(,)a +∞单调递增． 32min 1()()()2a F x f a a a e ==+-，令321()()2a h a a a e =+-，则23'()2a h a a a e =+-，令23()'()2a a h a a a e ϕ==+-，'()310a a a e ϕ=+-<，23'()2a h a a a e =+-在3(1,)4--单调递减， 11'(1)02h e -=->，3433'()0432h e --=-<，所以存在唯一的03(1,)4a ∈--使得0'()0h a =，所以()h a 在0(1,)a -单调递增，在03(,)4a -单调递减，故当03(1,)4a ∈--时，max 0()()h a h a =，又020003'()02a h a a a e =+-=，所以322max 0000013()()()()22h a h a a a a a ==+-+20001(22)02a a a =--<，所以当3(1,)4a ∈--时，321()()02a h a a a e =+-<． 22.解：（1）∵1sin()62πρθ-=，∴11cos )22ρθθ-=，1122y x -=，10x -+=．（2）曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离为32，所以，最大距离为37222+=． 23.解：（1）由已知可得：4,2,()2,22,4, 2.x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩所以，()2f x ≥的解集为{}|1x x ≥．（2）由（1）知，|2||2|4x x +--≤，[]11111()(1)24111y y y y y y y y y y -+=++-=++≥---， ∴11|2||2|1x x y y+--≤+-．。

阳春市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

阳春市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知a=log 20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜b D ．b ＜c ＜a2．给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；④．其中符号为负的是（） A ．① B ．②C ．③D ．④3．以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 坐标为（2，1），双曲线C 上点P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0）满足=，则﹣S（） A ．2 B ．4C ．1D ．﹣14．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A ．2B ．C ．D ．45．已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（）A ．240x y +-=B ．240x y --=C ．20x y +-=D ．20x y --=6．已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（） A ．14 B ．12C ．1D ．2 7．函数y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象（）A ．向左平移个单位得到B ．向右平移个单位得到C ．向左平移个单位得到 D ．向左右平移个单位得到8．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线： 011=-+y x 和2l ：01=-+y x 上移动，则AB 中点M 所在直线方程为（）A ．06=--y xB ．06=++y xC ．06=+-y xD ．06=-+y x9．两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，则这两个圆锥的体积之比为（） A ．2：1 B ．5：2 C ．1：4 D ．3：110．已知正△ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（）A ．B ．C ．D ．11．设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（） A ．y 2=4x 或y 2=8xB ．y 2=2x 或y 2=8xC ．y 2=4x 或y 2=16xD ．y 2=2x 或y 2=16x12．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1）和点B （﹣3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2，则= ．14．长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与棱CB 、CD 、1CC 所成角分别为α、β、，则222sinsin sin αβγ++= ．15．计算：×5﹣1= ．16．设实数x ，y 满足，向量=（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，则实数m 的最大值为．三、解答题17．已知函数322()1f x x ax a x =+--，0a >．（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于的不等式()0f x ≤在[1,)+∞上有解，求实数的取值范围．18．A={x|x 2﹣3x+2=0}，B={x|ax ﹣2=0}，若B ⊆A ，求a ．19．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1＋sin t（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋23x ＝0.（1）求C 1，C 2的极坐标方程；（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．20．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：14822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直于轴的直线，直线2l 垂直于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M . （1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积的最小值.21．（本小题满分12分）已知圆C ：022=++++F Ey Dx y x 的圆心在第二象限，半径为2，且圆C 与直线043=+y x 及y 轴都相切.（1）求F E D 、、；（2）若直线022=+-y x 与圆C 交于B A 、两点，求||AB .22．若已知，求sinx 的值．阳春市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：由对数和指数的性质可知，∵a=log20.3＜0b=20.1＞20=1c=0.21.3 ＜0.20=1∴a＜c＜b故选C．2．【答案】B【解析】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，∴＞0，其中符号为负的是②，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．3．【答案】A【解析】解：∵椭圆方程为+=1，∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为，设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化简得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d==1，易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故﹣===2，故选：A．【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．4．【答案】C【解析】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2 ∵∠F 1MF 2=，∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos ，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2，即=﹣1，②在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2，即=1﹣，③联立②③得，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，即（+）2≤×4=，即+≤，当且仅当e1=，e 2=时取等号．即取得最大值且为．故选C ．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．5．【答案】D【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).由2114y x =，2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而1222y y +=，∴12121y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ． 6．【答案】B【解析】试题分析：因为(1,2)a =，(1,0)b =，所以()()1,2a b λλ+=+，又因为()//a b c λ+，所以()14160,2λλ+-==，故选B. 考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.7．【答案】C【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+），y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）+）]，∴由函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位得到y=sin（2x+），故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．8．【答案】D【解析】考点：直线方程9．【答案】D【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=×4πR2=，∴r=．∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和．∴两个圆锥的体积比为：=1：3．故选：D．10．【答案】D【解析】解：∵正△ABC的边长为a，∴正△ABC的高为，画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，∴△A′B′C′的高为=，∴△A′B′C′的面积S==．故选D．【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11．【答案】C【解析】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，∵以MF为直径的圆过点（0，2），∴设A（0，2），可得AF⊥AM，Rt△AOF中，|AF|==，∴sin∠OAF==，∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，∵|MF|=5，|AF|=∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故选：C．方法二：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故答案C．【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．12．【答案】C【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选C．【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．二、填空题13．【答案】（﹣，）．【解析】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD=1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴ 又∵||=2∴=（﹣，）故答案为：（﹣，）【点评】如果已知，有向线段A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．及点C 分线段AB 所成的比，求分点C 的坐标，可将A ，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．14．【答案】【解析】试题分析：以1AC 为斜边构成直角三角形：1111,,AC D AC B AC A ∆∆∆，由长方体的对角线定理可得：2222221111222111sin sin sin BC DC AC AC AC AC αβγ++=++2221212()2AB AD AA AC ++==.考点：直线与直线所成的角．【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键． 15．【答案】 9 ．【解析】解：×5﹣1=×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，∴×5﹣1=9，故答案为：9．16．【答案】 6 ．【解析】解：∵ =（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，∴2x ﹣y+m=0，即y=2x+m ，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=2x+m ，由图象可知当直线y=2x+m 经过点C 时，y=2x+m 的截距最大，此时z 最大．由，解得，代入2x ﹣y+m=0得m=6．即m 的最大值为6．故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m 的几何意义结合数形结合，即可求出m 的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．三、解答题17．【答案】（１）()f x 的单调递增区间是(),2-∞-和2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为2(2,)3-；（２）[1,)+∞．【解析】试题分析：（１） 2a =时，利用导数与单调性的关系，对函数求导，并与零作比较可得函数的单调区间；（２）对函数求导，对参数分类讨论，利用函数的单调性求函数的最小值，使最小值小于或等于零，可得的取值范围．试题解析：（1）当2a =时，32()241f x x x x =+--，所以2'()344(32)(2)f x x x x x =+-=-+，由'()0f x >，得23x >或2x <-，所以函数()f x 的单调递减区间为2(2,)3-．（2）要使()0f x ≤在[1,)+∞上有解，只要()f x 在区间[1,)+∞上的最小值小于等于0．因为22'()32(3)()f x x ax a x a x a =+-=-+，令'()0f x =，得103ax =>，20x a =-<．1考点：导数与函数的单调性；分类讨论思想．18．【答案】【解析】解：解：集合A={x|x 2﹣3x+2=0}={1，2}∵B ⊆A ，∴（1）B=∅时，a=0 （2）当B={1}时，a=2 （3））当B={2}时，a=1 故a 值为：2或1或0．19．【答案】【解析】解：（1）由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝1＋sin t （t 为参数）得x 2＋（y －1）2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0，∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C 1的极坐标方程，由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0得ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C 2的极坐标方程．（2）由题意得A ，B 的极坐标分别为 A （2sin α，α），B （－23cos α，α）． ∴|AB |＝|2sin α＋23cos α| ＝4|sin （α＋π3）|，α∈[0，π），由|AB |＝2得|sin （α＋π3）|＝12，∴α＝π2或α＝5π6.当α＝π2时，B 点极坐标（0，π2）与ρ≠0矛盾，∴α＝5π6，此时l 的方程为y ＝x ·tan 5π6（x ＜0），即3x ＋3y ＝0，由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0知圆心C 2的直角坐标为（－3，0）， ∴C 2到l 的距离d ＝|3×（－3）|（3）2＋32＝32，∴△ABC 2的面积为S ＝12|AB |·d＝12×2×32＝32.即△ABC 2的面积为32. 20．【答案】（1）x y 82=；（2）964. 【解析】试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接2MF ，由垂直平分线的性质可得2MF MP =，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当AC 或BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形ABCD 面积22b S =．当直线AC 和BD 的斜率都存在时，不妨设直线AC 的方程为()2-=x k y ，则直线BD 的方程为()21--=x ky ．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AC ，BD ．利用四边形ABCD 面积BD AC S 21=即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．（2）当直线AC 的斜率存在且不为零时，直线AC 的斜率为，),(11y x A ，),(22y x C ，则直线BD 的斜率为k1-，直线AC 的方程为)2(-=x k y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148)2(22y x x k y ，得0888)12(2222=-+-+k x k x k .111]∴2221218kk x x +=+，22212188k k x x +-=. 12)1(324)(1||22212212++=-+⋅+=k k x x x x k AC .由于直线BD 的斜率为k 1-，用k 1-代换上式中的。

广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第三次月考数学

阳春一中2018届高三级月考（3）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2320,A x x x x R =-+=∈，{}05,B x x x N =<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称，则下列判断正确的是（）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真3．已知角θ的终边经过点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2sin 2θ的值为（） A ．45 B ．15 C ．110 D ．9104．函数2sin 1xy x x=++的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．设()()1232e ,2log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为（） A ．()()1,23,+∞U B．)+∞ C ．())1,2+∞UD ．()1,2 6．已知A 为三角形ABC 的一个内角，若2sin cos 3A A +=，则这个三角形的形状为（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定 7．已知函数()3xf x x =+，()3log g x x x =+，()3log 3h x x =-的零点依次为,,a b c ，则（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c << 8．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且()()2sin sin 2sin 2sin b B A a b A c C +++=，则C =（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9．已知0.2log 5a =、3b log 2=、0.22c =、212d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从这四个数中任取一个数m 使函数()32123f x x mx x =+++有极值点的概率为（） A ．14 B ．12 C ．34 D ．110．已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于直线12x π=对称，则下列判断正确的是（） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 D ．函数()f x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 11．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<12．若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（） A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦ B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦ C ．(20,2e ⎤⎦ D ．(30,2e ⎤⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知锐角ABC ∆的面积为4BC =，3CA =，则角C 的大小为． 14．已知cos 6πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则25cos sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ． 15．已知函数()3233f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，其图象在1x =处的切线平行于直线6250x y ++=，则()f x 极大值与极小值之差为．16．已知()2ln ,02,0x x f x x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有4个根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知()2cos 2cos f x x x x =-. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，4BC =，sin 2sin C B =，若()f x 的最大值为()f A ，求ABC ∆的面积.18．如图，在四边形ABCD 中，已知2A π∠=，23B π∠=，6AB =，在AB 边长取点E ，使得1BE =，连接,EC ED .若23CED π∠=，EC =（1）求sin BCE ∠的值；（2）求CD 的长.19．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.（1）根据茎叶图中的数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人都是年龄大于40岁的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20．已知圆22:1O x y +=过椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的短轴端点，,P Q 是圆O 与椭圆C 上任意两点，且线段PQ 长度的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,t 作圆O 的一条切线交椭圆C 于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值. 21．已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =.（1）求实数,a b 的值；（2）是否存在实数m ，当(]0,1x ∈时，函数()()()21g x f x x m x =-+-的最小值，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）若120x x <<，求证：211212ln ln x x x x x -<-.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22229cos 16sin 144ρθρθ+=，且直线l 与曲线C 交于,P Q 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 恒过的定点A 的坐标；（2）设点A 为（1）中定点，若9AP AQ ⋅=，求直线l 的普通方程.阳春一中2018届高三级月考（3）文科数学答案一、选择题1-5:DCADC 6-10:BBCBD 11、12：AB 二、填空题13．60° 14．4 16．10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭三、解答题 17．解：（1）()2cos 2cos f x x x x =-()21cos 2x x =-+=122cos 212x x ⎫--⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当222262k x k πππππ-+≤-≤+时，得63k x k ππππ-+≤≤+∴()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）∵sin 2sin C B =，由正弦定理得2c b =， ∵()f x 的最大值为()f A ∴2262A k πππ-=+，k Z ∈∴3A k ππ=+，k Z ∈又()0,A π∈ ∴3A π=在ABC ∆中，由余弦定理得:()2221624cos b b b A =+-∴b =∴ABC ∆的面积1sin 23S bc A ==18．解：（1）在CBE ∆中，由正弦定理得sin sin CE BEB BCE=∠，sin sin BE BBCE CE∠=1==（2）在CBE ∆中，由余弦定理得2222cos120CE BE CB BE CB =+-⋅︒，即271CB CB =++，解得2CB =.由余弦定理得2222cos CB BE CE BE CE BEC =+-⋅∠cos 7BEC ⇒∠=，sin 7BEC ⇒∠=， ()sin sin 120AED BEC ∠=︒+∠=12714⨯=，cos AED ⇒∠=，在直角ADE ∆中，5AE =，cos AE AED DE =∠=DE ⇒= 在CED ∆中，由余弦定理得2222cos12049CD CE DE CE DE =+-⋅︒= ∴7CD =.19．解：（1）由茎叶图可得：由列联表可得：()22502012108 3.46 3.84130202822K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关. （2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为51204=，所以年龄在20~40岁的抽取了2人，记为,a b年龄大于40岁的抽取了3人，记为,,A B C ，从这5人中随机抽取2人，所有可能的情况为(),a b ，(),a A ，(),a B ，(),a C ，(),b A ，(),b B ，(),b C ，(),A B ，(),A C ，(),B C ，共10种，其中2人都是年龄大于40岁的有(),A B ，(),A C ，(),B C 3种，所以概率为310. 20．解：（1）∵圆O 过椭圆C 的短轴端点，∴1b =，又∵线段PQ 长度的最大值为3，∴13a +=，即2a =，∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=. （2）由题意可设切线MN 的方程为y kx t =+，即0kx y t -+=联立得方程组2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2224240k x ktx t +++-=. 其中()()()2222444kt k t ∆=-+-22161664480t k =-++=>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12224kt x x k -+=+，212244t x x k -=+，则MN =.②将①代入②得MN =，∴112OMN S MN ∆=⨯⨯=1t t=≤+，当且仅当3t t =等号成立，即t =综上可知：()max 1OMN S ∆=.21．解：（1）由()2ln f x ax b x =-，得：()2bf x ax x'=-，()0x >， ∵函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =，∴()()11120f a f a b ==⎧⎪⎨'=-=⎪⎩，解得1a =，2b =；（2）由（1）知，()22ln f x x x =-，∴()()()21g x f x x m x =-+-()12ln m x x =--，(]0,1x ∈， ∴()22mx g x m x x-'=-=， ①当0m ≤时，()0g x '<，∴()g x 在(]0,1上单调递减，∴()()max 10g x g ==.②当02m <≤时，()20m x m g x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=≤， ∴()g x 在(]0,1上单调递减，∴()()max 10g x g ==. ③当2m >时，()0g x '<在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，()0g x '>在2,1m ⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，∴()g x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,1m ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增.∴()210g g m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴()min 0g x ≠.综上所述，存在m 满足题意，其范围为(],2-∞；（3）证明：由（2）知，1m =时，()12ln g x x x =--在()0,1上单调递减， ∴()0,1x ∈时，()()10g x g >=，即12ln x x ->. ∵120x x <<，∴1201x x <<，∴112212ln x xx x ->， ∴()121222ln ln x x x x x ->-，∵21ln ln x x >，∴212212ln ln x x x x x -<-. 22．解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为22229cos 16sin 144ρθρθ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为：221169x y +=. ∵直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），∴直线l 恒过定点为()2,0A .（2）把直线l 的方程代入曲线C 的直角坐标方程中，整理，得：()2297sin 36cos 9120t t αα++-⨯=.∴12236397sin t t α-⨯=+由t 的几何意义知1AP t =，2AQ t =， ∴129AP AQ t t ⋅==，即2363997sin α-⨯=+，∴23sin 7α=，∵()0,απ∈，∴tan α=∴直线l 的方程为)2y x =-.。

广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第二次月考理数试题Word版含答案

阳春市一中2018届高三级月考（2）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知2{|60}A x x x =--=，{|21}x B x =>，AB =（）A ．{|13}x x ≤<B ．{|03}x x ≤<C ．{|12}x x ≤<D ．{|02}x x <<2.设命题:(0,),32x x p x ∀∈+∞>；命题:(,0),32q x x x ∃∈-∞>，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝3.已知集合2{|230}A x x x =--≤，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞ 4.设0.533,log 2,cos2x y z ===，则（）A ．z x y <<B ．y z x << C. z y x << D ．x z y <<5.函数()xx xe f x e e -=-的图象大致是（）A ．B ． C.D ．6.已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A．(,[3,)-∞+∞ B ．(,(3,)-∞+∞C. [D．(7.已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的范围是（）A ．(,2ln 2)-∞B ．(,2ln 22]-∞- C. (2ln 2,)+∞ D ．(,1]-∞- 8.若圆223450x y x y +---=关于直线0(0,0)ax by a b -=>>对称，则双曲线22221x y a b-=的离心率为（） A ． B ．53 C.54 D ．749.已知函数2()lg(4)f x x x =-，则（） A ．()f x 在（0，4）单调递增B ．()f x 在（0，4）单调递减C.()y f x =的图象关于直线2x =对称 D ．()y f x =的图象关于点(2,0)对称 10.已知函数是定义在R 上的偶函数，若任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()21x f x =-，则(2017)(2018)f f -+= （）A ．4B ．3 C.2 D ．111.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且函数()2017f x +为奇函数，则不等式()20170x f x e +<的解集是（）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞ C.1(,)e -∞ D ．1(,)e+∞12.已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2()3()0()f x f x a a R -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（） A ．1(0,)4 B ．1(,3)3 C.（1，2） D ．9(2,)4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数2sin 4sin 5y x x =-+的值域为． 14.413x x dx -+-=⎰．15.已知曲线2()ln f x ax x =-在点(2,(2))f 处的切线斜率为32，则()f x 的最小值为．16.若点P 是曲线2ln y x x =-上任一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，满足(53)cos 3cos a b C c B -=⋅ （1）求cos C 的值；（2）若4c =，且三角形ABC 的面积为8，求,a b 的值. 18. n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+. (1)求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. 19. 如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//,AB CD AD CD ⊥，1,AB AD ==2,CD PD M ==为棱PB 的中点.(1)证明：DM ⊥平面PBC ；（2）求二面角A DM C --的余弦值.20. 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4号，白色卡片3张，编号分别为2，3，4号，从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；（2）在取出的4张卡片中，取到红色卡片的张数设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.21. 已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围. 22.在极坐标系中，射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点A ，椭圆L 的方程为：22312sin ρθ=+，以极点为原点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系xoy . （1）求点A 的直角坐标系和椭圆L 的参数方程；（2）若E 为椭圆L 的下顶点，F 为椭圆L 的任意一点，求AE AF ⋅的最大值以及点F 的坐标.试卷答案一、选择题1-5:BBCCC 6-10:BBCCA 11、12：AD 二、填空题13.[2,10] 14.10 15. 12三、解答题17.解：因(53)cos 3cos a b C c B -=⋅由正弦定理得：(5sin 3sin )cos 3sin cos A B C C B -=⋅5sin cos 3(sin cos sin cos )3sin A C B C C B A =⋅+⋅=，又sin 0A ≠，3cos 5C ∴=. (2)∵4c =,3cos 5C =,2231625a b ab =+-⋅,14825ab ⋅= 故2240,20a b ab +==，解得a b ==18.解：（1）当1n =时，2111243a a a +=+，因为0n a >，所以13a =，当2n ≥时，221112243434n n n n n n n a a a a S S a ---+--=+--=即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+；（2）由（1）知，1111()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++，所以数列{}n b 的前n 项和为：12111111111[()()()]235572123646n b b b n n n +++=-+-++-=-+++.19.解：（1）连接BD ，取DC 的中点G ，连接BG ，由此知1DG GC BG ===，即DBC ∆为直角三角形，∴BC BD ⊥. 又PD ⊥底面ABCD ，∴BC PD ⊥，又PDBD D =，∴BC ⊥底面BDP ，BC MD ⊥，又PD BD ==PD BD ⊥，M 为PB 的中点，∴DM PB ⊥又PBBC B =，∴DM⊥底面PBC ；（2）以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，则A （1,0,0），B （1,1,0），C(0,2,0)，从而11(,,222M 设1(,,)n x y z =是平面ADM 的法向量，则1100n DA n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，可取1(0,2,1)n =-同理，设2(,,)n u v w =是平面CDM 的法向量则220n DC n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，可取2(2,0,1)n =-∴121cos ,3n n <>=显然二面角C DM A --的大小为钝角，所以二面角C DM A --的余弦值为13-20.解：（1）设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则13222525476()7C C C C P A C +== 所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67（2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，41343474(1)35C C P X C ===，22434718(2)35C C P X C ===，31434712(3)35C C P X C ===，4343471(4)35C C P X C === 所以随机变量X 的分布列是 X 1234P435 1235 1835 135故随机变量X 的数学期望41218116()1234353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 21. 解：（1）222)2)(1()1(4)2(2)2(21)('++-+=+-+-+=x ax a ax x x x ax a x f 当1≥a 时，此时0)('>x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增当10<<a 时，0)('=x f ，得)12(1221舍去aax a a x --=-= 当),0(1x x ∈时，0)('<x f ；)(1∞+∈，x x 时，0)('>x f ；故)(x f 在区间),0(1x x ∈上单调递减，在区间)(1∞+∈，x x 上单调递增综上所述，当1≥a 时，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增；当10<<a 时，)(x f 在区间)12,0(a a x -∈上单调递减，在区间)12(∞+-∈，aax 上单调递增（2）由（1）知，当1≥a 时，0)('>x f ，此时)(x f 不存在极值点，因而要使得)(x f 有两个极值点，必有10<<a又)(x f 的极值点只可能是aax a a x --=-=121221和，且由)(x f 的定义域可知21-≠->x a x 且，所以212112-≠--->--aa a a a 且解得21≠a ，此时21,x x 分别是)(x f 的极小值点和极大值点而2122)12ln(12)1(4)12ln(4)(2)(44])(1ln[22)1ln(22)1ln()()(22212121212122122211121--+-=----=+++++-+++=+-+++-+=+a a a a a x x x x x x x x x x a x x a x x ax x x ax x f x f令x a =-12由10<<a 且21≠a 知210<<a 时，；当121<<a ，时，10<<x 记22ln )(2-+=xx x g （i ）当01<<-x ，22ln )(2-+=x x x g ，所以02222)(22<-=-=xx x x x g 因此，)(x g 在区间)0,1(-上单调递减，从而04)1()(<-=-<g x g 故当121<<a 时，0)()(21<+x f x f（ii ）当10<<x ，22ln )(2-+=x x x g ，所以02222)(22<-=-=xx x x x g 因此，)(x g 在区间)1,0(上单调递减，从而0)1()(=->g x g 故当121<<a 时，0)()(21>+x f x f 综上所述，满足条件的a 的取值范围为)1,21( 22. 解：（1）射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点)6,2(πA ，点A 的直角坐标为)1,3(椭圆L 的方程为：22312sin ρθ=+，直角坐标方程为1322=+y x 参数方程为θθθ(sin cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数）（2）设)sin ,cos 3(θθF ，∵E （0，-1），),1sin ,3cos 3(),2,3(---=--=θθ∴AE AF ⋅)1(sin 23cos 3--+-=θθ5)sin(135)cos 13133sin 13132(13++=+--=αθθθ则13133sin ,13132cos -=-=αα 当1)sin(=+αθ时，AE AF ⋅的最大值为513+ 则2παθ=+，即απθ-=2所以13393sin 3)2cos(3cos 3-==-=ααπθ 13132cos )2sin(sin -==-=ααπθ 所以当F 的坐标为），（1313213393--时，AE AF ⋅的最大值为513+。

2017-2018学年广东省阳江市阳春市第一中学高三数学上第三次月考(理)试题(含答案)

阳春一中2018届高三级月考（3）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2A x x =≤，{}320B x x =-<，则（）A ．AB R =U B ．A B =∅IC ．{}2A B x x =≤ID ．322A B xx ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭U 2．记复数z 的虚部为lmz ，已知复数5221iz i i =--，（i 为虚数单位），则lmz 为（） A ．2 B ．3 C ．3i - D ．3-3．已知命题p ：“对任意0x >，都有()ln 1x x +<”，则命题p 的否定是（） A ．对任意0x >，都有()ln 1x x +≥ B ．存在00x >，使得()00ln 1x x +≥ C ．对任意0x ≤，都有()ln 1x x +≥ D ．存在00x ≤，使得()00ln 1x x +≥4．下列函数：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2y x =，3y x =+，3y x =在()0,+∞上是增函数且为偶函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+（） A ．12 B ．2 C ．35 D ．38- 6．函数cos ln xy x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．若向量,a b r r 的夹角为3π，且2a =r ，1b =r ，则向量a r 与向量2a b +r r 的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π8．定义在R 上的奇函数()f x 满足：()()2f x f x +=，且当01x <<时，()2xf x =，则12log 2017f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（）A ．10242017-B ．20171024-C ．12017D ．11024- 9．丹麦数学家琴生（Jensen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”，已知()2323432x t f x x x =-+在()1,4上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．51,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>的图象与轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =是减函数的区间为（）A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知在ABC ∆中，a x =，2b =，30B =︒，若三角形有两个解，则x 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．(2,C ．()2,4D ．(2, 12．设点P 为函数()2122f x x ax =+与()()23ln 20g x a x b a =+>图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为（）A ．3423eB ．3432e C ．2343e D ．2334e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．()sin135cos 15cos225sin15︒-︒+︒︒等于．14．已知函数()y f x =的定义域为()(),,a b -∞+∞U （其中a b <），则“()y f x =在(),a -∞和(),b +∞上分别单调递增”是“()y f x =在()(),,a b -∞+∞U 上为增函数”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要条件”） 15．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数ω的最小值为．16．设函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足条件()()0f x xf x '+>，则不等式ff>的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠. （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53132S =，求λ. 18．在ABC ∆中，已知cos cos sin A B Ca b c+=. （1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B . 19．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择.①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 20．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，2AC AP ==.（1）求证：PC AE ⊥；（2）求二面角A CE P --的余弦值.21．已知函数()()()ln 10f x ax x a =-≠. （1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）当0a >时，设函数()()316g x x f x =-，函数()()h x g x '=. ①若()0h x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； ②证明：()2ln 123en ⨯⨯⨯⨯<L ()2222*123N n n ++++∈L .22．在直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=.（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A B 、两点，AB =求直线l 的斜率.阳春一中2018届高三级月考（3）理科数学答案一、选择题1-5:BDBAC 6-10:CABCA 11、12：CD 二、填空题 13．1214．必要不充分 15．3 16．[)1,2 三、解答题17．解：（1）由题意得1111a S a λ==+，故1λ≠，111a λ=-，10a ≠. 由1n n S a λ=+，111n n S a λ++=+得11n n n a a a λλ++=-，即()11n n a a λλ+-=，由10,0a λ≠≠得0n a ≠，所以11n n a a λλ+=-. 因此{}n a 是首项为11λ-，公比为1λλ-的等比数列，于是1111n n a λλλ-⎛⎫= ⎪--⎝⎭（2）由（1）得11nn S λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭.由53132S =得5311132λλ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭ 即51132λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，解得1λ=-.18．解：（1）由cos cos sin A B C a b c +=及正弦定理可得cos cos sin sin sin sin A B CA B C+= 化简得sin sin sin cos A B A B =+()cos sin sin A B A B =+在ABC ∆中，由A B C π++=，有()()sin sin sin A B C C π+=-= 所以sin sin sin A B C =.（2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-==所以4sin 5A ==由（1）得sin sin sin cos cos sin A B A B A B =+，所以443sin cos sin 555B B B =+ 故sin tan 4cos BB B==. 19．解：（1）由表信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P == 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P == （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有()14,18，()15,17，()15,18，()16,17，()16,18，()17,18，共6种由古典概型概率计算公式得()63105P A ==. ②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.()1290.110P ξ===，()1300.110P ξ===，()2310.210P ξ===， ()2320.210P ξ===，()2330.210P ξ===，()1340.110P ξ===，()1350.110P ξ===因而ξ的分布列为()290.1300.1310.2320.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯330.2340.1350.132+⨯+⨯+⨯=.20．解：（1）取PC 的中点F ，连接,EF AF ，则EF CD ∥. 因为2AC AP ==，所以PC AF ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥又AC CD ⊥ 所以CD ⊥平面PAC因为PC ⊂平面PAC ，所以CD PC ⊥；又EF CD ∥，所以EF PC ⊥；又因为PC AF ⊥,AF EF F =I ，所以PC ⊥平面AEF 因为AE ⊂平面AEF ，所以PC AE ⊥.（2）以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -. 则()0,0,0B ，()0,1,0A，)C，()D，)2,1E，()0,1,2P)1,0AC =-uuu r ，()0,2,1CE =uur.设平面ACE 的法向量为()1,,n x y z =u r ，则110,0.AC n CE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r u r uur u r所以0,220.y y -=+=⎪⎩ 令1x =，所以(1n =-u r.由（1）知CD ⊥平面PAC ，AF ⊂平面PAC ，所以CD AF ⊥. 同理PC AF ⊥，所以AF ⊥平面PCE所以平面PCE的一个法向量21,12n AF ⎫=-⎪⎪⎝⎭u u r uu u r .所以121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，由图可知，二面角A CE P --为锐角，所以二面角A CE P --的余弦值为421．解：（1）∵()()1ln 1ln f x a x x a x x⎡⎤'=-+⋅=⎢⎥⎣⎦，令()0f x '>，当0a >时，解得1x >；当0a <时，解得01x <<，所以当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间是()1,+∞；当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间是()0,1. （2）①∵()()()212h x g x x f x ''==-21ln 2x a x =-，由题意得()min 0h x ≥，因为()2a x a h x x x x-'=-==(x x x +-，所以当(x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；∴()min 12h x h a a ==-由102a a -≥，得ln 1a ≤，解得0e a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,e . ②由（1）知e a =时，()21e ln 02h x x x =-≥在()0,x ∈+∞上恒成立，当x =成立，∴*x ∈N 时，22eln x x <，令1,2,3,x n =L ，累加可得()2e ln1ln 2ln3ln n ++++L 2222123n <++++L ，即()2ln 123en ⨯⨯⨯⨯<L 2222123n ++++L ，()*n ∈N .22．解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,ρρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=，12AB ρρ=-==由AB =23cos 8α=，tan α=，所以l 的斜率为3或3-.。

2018届广东省阳春市第一中学高三上学期第三次月考数学(理)

2018届广东省阳春市第一中学高三上学期第三次月考数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2A x x =≤，{}320B x x =-<，则（）A ．AB R =U B ．A B =∅IC ．{}2A B x x =≤I D ．322A B x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭U 2．记复数z 的虚部为lmz ，已知复数5221iz i i =--，（i 为虚数单位），则lmz 为（） A ．2 B ．3 C ．3i - D ．3-3．已知命题p ：“对任意0x >，都有()ln 1x x +<”，则命题p 的否定是（） A ．对任意0x >，都有()ln 1x x +≥ B ．存在00x >，使得()00ln 1x x +≥ C ．对任意0x ≤，都有()ln 1x x +≥ D ．存在00x ≤，使得()00ln 1x x +≥4．下列函数：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2y x =，3y x =+，3y x =在()0,+∞上是增函数且为偶函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+（） A ．12 B ．2 C ．35 D ．38- 6．函数cos ln xy x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．若向量,a b r r 的夹角为3π，且2a =r ，1b =r ，则向量a r 与向量2a b +r r 的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 8．定义在R 上的奇函数()f x 满足：()()2f x f x +=，且当01x <<时，()2xf x =，则12log 2017f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（） A ．10242017-B ．20171024-C ．12017D ．11024- 9．丹麦数学家琴生（Jensen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”，已知()2323432x t f x x x =-+在()1,4上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是（） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．51,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=->的图象与轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =是减函数的区间为（） A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知在ABC ∆中，a x =，2b =，30B =︒，若三角形有两个解，则x 的取值范围是（） A ．()2,+∞ B ．()2,22 C ．()2,4 D ．()2,23 12．设点P 为函数()2122f x x ax =+与()()23ln 20g x a x b a =+>图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为（）A ．3423eB ．3432e C ．2343e D ．2334e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．()sin135cos 15cos 225sin15︒-︒+︒︒等于．14．已知函数()y f x =的定义域为()(),,a b -∞+∞U （其中a b <），则“()y f x =在(),a -∞和(),b +∞上分别单调递增”是“()y f x =在()(),,a b -∞+∞U 上为增函数”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要条件”） 15．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数ω的最小值为．16．设函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足条件()()0f x xf x '+>，则不等式()()2111fx x fx +>-⋅-的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠. （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53132S =，求λ. 18．在ABC ∆中，已知cos cos sin A B Ca b c+=. （1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B . 19．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择.①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望.20．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，2AC AP ==.（1）求证：PC AE ⊥；（2）求二面角A CE P --的余弦值.21．已知函数()()()ln 10f x ax x a =-≠. （1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）当0a >时，设函数()()316g x x f x =-，函数()()h x g x '=. ①若()0h x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； ②证明：()2ln 123en ⨯⨯⨯⨯<L ()2222*123N n n ++++∈L .22．在直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=.（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A B 、两点，10AB =，求直线l 的斜率.阳春一中2018届高三级月考（3）理科数学答案一、选择题1-5:BDBAC 6-10:CABCA 11、12：CD二、填空题13．1214．必要不充分 15．3 16．[)1,2 三、解答题17．解：（1）由题意得1111a S a λ==+，故1λ≠，111a λ=-，10a ≠. 由1n n S a λ=+，111n n S a λ++=+得11n n n a a a λλ++=-，即()11n n a a λλ+-=，由10,0a λ≠≠得0n a ≠，所以11n n a a λλ+=-. 因此{}n a 是首项为11λ-，公比为1λλ-的等比数列，于是1111n n a λλλ-⎛⎫= ⎪--⎝⎭（2）由（1）得11nn S λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭.由53132S =得5311132λλ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭即51132λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，解得1λ=-. 18．解：（1）由cos cos sin A B C a b c +=及正弦定理可得cos cos sin sin sin sin A B CA B C+=化简得sin sin sin cos A B A B =+()cos sin sin A B A B =+在ABC ∆中，由A B C π++=，有()()sin sin sin A B C C π+=-= 所以sin sin sin A B C =.（2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-==所以24sin 1cos 5A A =-=由（1）得sin sin sin cos cos sin A B A B A B =+，所以443sin cos sin 555B B B =+ 故sin tan 4cos BB B==. 19．解：（1）由表信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P ==（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有()14,18，()15,17，()15,18，()16,17，()16,18，()17,18，共6种由古典概型概率计算公式得()63105P A ==. ②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.()1290.110P ξ===，()1300.110P ξ===，()2310.210P ξ===， ()2320.210P ξ===，()2330.210P ξ===，()1340.110P ξ===，()1350.110P ξ===因而ξ的分布列为()290.1300.1310.2320.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯330.2340.1350.132+⨯+⨯+⨯=.20．解：（1）取PC 的中点F ，连接,EF AF ，则EF CD ∥. 因为2AC AP ==，所以PC AF ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥又AC CD ⊥ 所以CD ⊥平面PAC因为PC ⊂平面PAC ，所以CD PC ⊥；又EF CD ∥，所以EF PC ⊥；又因为PC AF ⊥,AF EF F =I ，所以PC ⊥平面AEF 因为AE ⊂平面AEF ，所以PC AE ⊥.（2）以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -. 则()0,0,0B ，()0,1,0A ，()3,0,0C，()23,3,0D ，()3,2,1E，()0,1,2P()3,1,0AC =-uuu r，()0,2,1CE =uur.设平面ACE 的法向量为()1,,n x y z =u r ，则110,0.AC n CE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r u r uur u r 所以30,220.x y y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，所以()11,3,23n =-u r.由（1）知CD ⊥平面PAC ，AF ⊂平面PAC ，所以CD AF ⊥. 同理PC AF ⊥，所以AF ⊥平面PCE所以平面PCE 的一个法向量231,,122n AF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u r uu u r .所以1212126cos ,4n n n n n n ⋅==-⋅u r u u ru r u u r u r u u r，由图可知，二面角A CE P --为锐角，所以二面角A CE P --的余弦值为6421．解：（1）∵()()1ln 1ln f x a x x a x x⎡⎤'=-+⋅=⎢⎥⎣⎦，令()0f x '>，当0a >时，解得1x >；当0a <时，解得01x <<，所以当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间是()1,+∞；当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间是()0,1. （2）①∵()()()212h x g x x f x ''==-21ln 2x a x =-，由题意得()min 0h x ≥，因为()2a x ah x x x x -'=-==()()x a x a x+-，所以当()0,x a ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；∴()()min 1ln2h x h a a a a ==-，由1ln 02a a a -≥，得ln 1a ≤，解得0e a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,e . ②由（1）知e a =时，()21eln 02h x x x =-≥在()0,x ∈+∞上恒成立，当e x =时等号成立， ∴*x ∈N 时，22eln x x <，令1,2,3,x n =L ，累加可得()2e ln1ln 2ln 3ln n ++++L 2222123n <++++L ，即()2ln 123en ⨯⨯⨯⨯<L 2222123n ++++L ，()*n ∈N .22．解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,ρρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=，()21212124AB ρρρρρρ=-=+-2144cos 44α=-，由10AB =得23cos 8α=，15tan 3α=±，所以l 的斜率为153或153-.。

广东省阳春市第一中学2018届高三第六次月考数学(文)试题Word版含答案

阳春一中2018届高三级月考（6）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|ln(1)A x y x ==-，{}|12B x x =-<<，则()R B A =ð（）A ．[2,)+∞B ．(1,2]C ．(1,)+∞D ．(,1][2,)-∞-+∞2.设复数12i z i-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i --3.已知函数212||,1,()2,1,x x f x x x x -≤⎧=⎨->⎩若函数()(1)g x b f x =--有3个零点1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是（）A ．(1,1)-B ．(1,2)-C ．(1D ．(24.已知数列{}n b 为等比数列，且首项11b =，公比2q =，则数列{}21n b -的前10项的和为（） A ．94(41)3- B ．104(41)3- C ．91(41)3-D ．101(41)3-5.“1x m <-或1x m >+”是“2230x x -->”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围（） A ．[]0,2B ．(0,2)C ．[0,2)D ．(0,2]6.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1A ，2A ，……，14A ，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，那么程序框图输出的结果是（）A ．7B ．8C ．9D ．107.已知||||1a b ==，且a b ⊥，则2a b +在a b +方向上的投影为（）A B C D 8.已知斜率为2的直线l 与双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）交于A ，B 两点，若点(3,1)P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（）A B C ．2D ．39.设函数21()21xxf x e e x -=+-+，则使得(21)1f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．1(,)2-∞B ．1(,)(1,)2-∞-+∞ C ．(1,)+∞D ．11(,)(,)22-∞+∞ 10.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（）A ．83B ．43C．3D．311.函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<）的最大值为4，最小值为0，它经过点(0,3)A ，11(,2)12B π，且它的部分图像如图所示，则()f x 的单调递增区间为（）A ．(,)44k k ππππ-+，k Z ∈ B ．(,)36k k ππππ-+，k Z ∈C ．1212(,)136133k k ππππ-+，k Z ∈D ．5(,)63k k ππππ--，k Z ∈ 12.已知'()f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有'()(23)()x f x e x f x =++（e 是自然对数的底数），(0)1f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（） A ．21[,0)e-B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21(,0]e-D ．21(,0)e-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则121y z x -=+的最大值为． 14.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，点P 是线段11B D 上的动点，则三棱锥P ABC -的外接球半径的取值范围为．15.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||3||PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为．16.如图半圆O 的半径为1，P 为直径MN 延长线上一点，且2OP =，R 为半圆上任意一点，以PR 为一边作等边三角形PQR ，则四边形OPQR 面积最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin cos sin 3222A A Bb a =．（1）求角B 的大小；（2）设sin sin y C A =-，求y 的取值范围．18.某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x 分布在[50,100)内，且销售量x 的分布频率满足：0.5,1010(1),,10(),1010(1),.20nn x n n f x n a n x n n ⎧-≤<+⎪⎪=⎨⎪-≤<+⎪⎩是偶是奇（1）求a 的值并估计销售量的平均数；（2）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取6天，再从这6天中随机抽取3天进行统计，求这3天不都来自同一组的概率． 19.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，BC =AC =D 为线段AB 上的点，且2AD DB =，PD AC ⊥．（1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若4PAB π∠=，求点B 到平面PAC 的距离．20.已知(2,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足2AMB θ∠=，24||||cos AM BM θ⋅=．（1）求||||AM BM +的值，并写出M 的轨迹曲线C 的方程；（2）动直线l ：y kx m =+与曲线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得l 恰好是该圆的切线，若存在，求出r ；若不存在，说明理由． 21.已知函数2()x f x ke x =-（其中k R ∈，e 是自然对数的底数）．（1）若2k =，当(0,)x ∈+∞时，试比较()f x 与2的大小；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求k 的取值范围，并证明：10()1f x <<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，点(1,2)P 在倾斜角为α的直线l 上，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为6sin ρθ=．（1）写出l 的参数方程及C 的直角坐标方程；（2）设l 与C 相交于A ，B 两点，求11||||PA PB +的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲设函数()||f x x a =-．（1）当1a =-时，解不等式()7|1|f x x ≥--；（2）若()2f x ≤的解集为[]1,3-，223m n mn a +=-（0m >，0n >），求证：26m n +≥．阳春一中2018届高三级月考（6）文科数学答案一、选择题1-5:ABDDA 6-10:DADDA 11、12：BC 二、填空题13.34 14.32⎡⎢⎣2+ 三、解答题17.解：（12sin cos sin sin 222A A BB A =，2sin sin sin 2B B A A =2sin cos sin sin 222B B BA A =，在ABC ∆中，sin 0A ≠，sin02B ≠，cos 02B≠，sin 22B B =，即tan 2B =，又(0,)B π∈，∴(0,)22B π∈， ∴23B π=，即3B π=．（2）依题意sin sin sin sin()y C A C B C =-=-+， ∴sin sin()3y C C π=-+1sin sin )2C C C =-+1sin 2C C =sin()3C π=-，∴sin()3y C π=-，由（1）知2(0,)3C π∈，∴2(,)333C πππ-∈-，∴sin()(3C π-∈，即(y ∈． 18.解：（1）由题知1050,10(1)100,n n ≥⎧⎨+≤⎩解得59n ≤≤，n 可取5，6，7，8，9，代入0.5,1010(1),,10(),1010(1),.20nn x n n f x n a n x n n ⎧-≤<+⎪⎪=⎨⎪-≤<+⎪⎩是偶是奇中，得68579(0.5)(0.5)()()()11010202020a a a -+-+-+-+-=，解得0.15a =．销售量在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)内的频率分别是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3，销售量的平均数为550.1650.1750.2850.3950.381⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）销售量在[80,90)，[90,100)内的频率之比为1:1，故各组抽取的天数分别为3,3，119()1202010P A =--=． 19.（1）证明：连接CD ，据题知4AD =，2BD =， ∵222AC BC AB +=，∴90ACB ∠=︒，∵cos ABC ∠==，∴22212228CD ABC =+-⨯⨯∠=，∴CD =∴222CD AD AC +=，则CD AB ⊥，又∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴CD ⊥平面PAB ，∴CD PD ⊥， ∵PD AC ⊥，AC ，CD 都在平面ABC 内，∴PD ⊥平面ABC ．（2）∵4PAB π∠=，∴4PD AD ==，∴PA =在Rt PCD ∆中，PC ==∴PAC ∆是等腰三角形，∴可求得PAC S ∆=B 到平面PAC 的距离为d ，由B PAC P ABC V V --=，∴1133PAC ABC S d S PD ∆∆⋅=⋅，∴3ABC PACS PD d S ∆∆⨯==，故点B 到平面PAC 的距离为3． 20.解：（1）设||AM m =，||BM n =， ∵||4AB =且24||||cos AM BM θ⋅=，∴2cos 4mn θ=，在ABM ∆中，由余弦定理得2222242cos22(2cos 1)4cos 2m n mn mn mn mn θθθ+-==-=-，∵22224cos 1632m n mn mn θ++=+=，∴m n +=||||42AM BM +=又||||||AM BM AB +>，所以M 的轨迹是椭圆，且a =2c =，∴24b =，∴C ：22184x y +=．（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，将l ：y kx m =+代入C ：22184x y +=，得222(12)4280k x kmx m +++-=，∵0∆>，∴22840k m -+>，且122412km x x k +=-+，21222812m x x k-=+， 22221212121228()()()12m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k --+=++，∴22388m k -=，由23808m -≥和22840k m -+>，得283m >即可，因为l 与圆222x y r +=相切， ∴22||813m r k ==+， ∴存在圆2283x y +=符合题意．21.解：（1）当2k =时，2()2x f x e x =-，则'()22x f x e x =-，令()22xh x e x =-，'()22x h x e =-，由于(0,)x ∈+∞，故'()220xh x e =->，于是()22xh x e x =-在(0,)+∞为增函数，所以()22(0)20x h x e x h =->=>，即'()220x f x e x =->在(0,)+∞恒成立，从而2()2xf x e x =-在(0,)+∞为增函数，故2()2(0)2xf x e x f =->=．（2）函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则1x ，2x 是'()20x f x ke x =-=的两个根，即方程2x x k e =有两个根，设2()x x x e ϕ=，则22'()xxx eϕ-=，当0x <时，'()0x ϕ>，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ<；当01x <<时，'()0x ϕ>，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；当1x >时，'()0x ϕ<，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；要使方程2xx k e =有两个根，只需20(1)k eϕ<<=，故实数k 的取值范围是2(0,)e．又由上可知函数()f x 的两个极值点1x ，2x 满足1201x x <<<，由111'()20xf x ke x =-=，得112x x k e=， ∴111222211111112()2(1)1x x x x f x ke x e x x x x e=-=-=-+=--+，由于1(0,1)x ∈，故210(1)11x <--+<，所以10()1f x <<． 22.解：（1）l 的参数方程为1cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，C 的直角坐标方程是2260x y y +-=．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程得2(2cos 2sin )70t t αα+--=， ∵2(2cos 2sin )280αα∆=-+>，122sin 2cos t t αα+=-，1270t t =-<， ∴1212||||||t t t t +=-，∴1212||11||||||t t PA PB t t -+===≥，当45α=︒时等号成立，因此11||||PA PB +取最小值7． 23.解：（1）当1a =-时，()7|1|f x x ≥--，得|1||1|7x x -++≥，∴1,27,x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11,27,x -<<⎧⎨≥⎩或1,27,x x ≥⎧⎨≥⎩∴解得72x ≤-或72x ≥，即不等式的解集为77(,][,)22-∞-+∞．（2）由||2x a -≤的解集为[]1,3-得1a =，由均值不等式2m n +≥，得222()2m n mn +≤，当且仅当23m n ==时取等号，223m n mn +=-，得22()(2)32m n m n +≥++，∴26m n +≥．。

广东省阳春市第一中学2024-2025学年高三下学期期末调研测试物理试题理试题含解析

广东省阳春市第一中学2024-2025学年高三下学期期末调研测试物理试题理试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、如图所示，固定在竖直平面内的大圆环的半径为R。

质量为m的小环套在大圆环上，且与大圆环接触面光滑。

在劲度系数为k的轻弹簧作用下，小环恰静止于大圆环上，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则（）A．弹簧伸长的长度为3mg kB．弹簧伸长的长度为mg kC．弹簧缩短的长度为3mg kD．弹簧缩短的长度为mg k2、如图所示，PQ两小物块叠放在一起，中间由短线连接(图中未画出)，短线长度不计，所能承受的最大拉力为物块Q 重力的1.8倍；一长为1.5 m的轻绳一端固定在O点，另一端与P块拴接，现保持轻绳拉直，将两物体拉到O点以下，距O点竖直距离为h的位置，由静止释放，其中PQ的厚度远小于绳长。

为保证摆动过程中短线不断，h最小应为（）A．0.15m B．0.3m C．0.6 m D．0.9 m3、如图所示，轻弹簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物块P，系统处于静止状态，现用竖直向下的力F作用在P 上，使其向下做匀加速直线运动，在弹簧的弹性限度内，下列是力F和运动时间t之间关系的图象，正确的是（）A．B．C．D．4、下列电磁波中，衍射能力最强的是（）A．无线电波B．红外线C．紫外线D．射线5、北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。

为了兼顾高纬度地区的定位和导航需要，该系统已布置了10余颗倾斜地球同步轨道卫星（IGSO），其轨道是与赤道平面呈一定夹角的圆形，圆心为地心，运行周期与地球自转周期相同。

2018届广东省阳春市第一中学高三上学期第一次月考(文)数学试题(解析版)

2018届广东省阳春市第一中学高三上学期第一次月考（文）数学试题一、选择题1．命题p ： 2x ∀>， 230x ->的否定是（）A. 02x ∃>， 0230x-≤ B. 2x ∀≤， 230x -> C. 2x ∀>， 230x -≤ D. 02x ∃>， 0230x->【答案】A【解析】全称命题p ： 2x ∀>， 230x->的否定是02x ∃>， 0230x -≤2．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】或，，故选A.3．下列函数中，奇函数是（）A. B.C.D.【答案】D 【解析】A 中为偶函数，B 中，偶函数，C 中定义不关于原点对称，非奇非偶。

D 中奇函数。

选D.4．下列说法中错误．．的是（）A. “sin θ=”是“3πθ=”的必要不充分条件．B. 当0a <时，幂函数ay x =在区间()0,+∞上单调递减．C. 设命题:p 对任意2,10x R x x ∈++>；命题:q 存在,cos sin 2x R x x ∈-=，则()()p q ⌝∨⌝为真命题．D. 命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若x y 、都不是偶数，则x y +不是偶数”．【答案】D【解析】“3πθ=”⇒ “sin θ=”; “sin θ=”π2π=2π2π,(k )33k k Z θθ⇒+=+∈或 ,所以“sin θ=”是“3πθ=”的必要不充分条件．由幂函数定义知:当0a <时， a y x =在区间()0,+∞上单调递减．对任意2,10x R x x ∈++>,命题p 为真命题; 不存在,cos sin 2x R x x ∈-=, 命题q 为假命题,因此()()p q ⌝∨⌝为真命题．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若x y 、不都是偶数，则x y +不是偶数”．因此D 错误.点睛：1.命题的否定与否命题区别“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论. 2命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.5．已知函数()()2lg 4f x x x =-，则（）A. ()f x 在()0,4单调递增B. ()f x 在()0,4单调递减C. ()y f x =的图象关于直线2x =对称D. ()y f x =的图象关于点()2,0对称【答案】C【解析】()f x 在()0,2单调递增 , ()f x 在()2,4单调递减,所以A,B 错，()()()()()224lg 444lg 4f x x x x x f x ⎡⎤-=---=-=⎣⎦，所以()y f x =的图象关于直线2x =对称；所以C 对，D 错，因此选C.6．已知 1.22a =， 0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 152log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A. b a c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b c a << 【答案】C【解析】20a b c >>>> ，所以选C.7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若任意的x R ∈，都有()()22f x f x +=-，当[]0,2x ∈时， ()21xf x =-，则()()20172018f f -+=（）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】()()22f x f x +=- 4T ⇒= ,所以()()20172018f f-+= ()()()()2121221+214f f f f -+=+=--= ，选A.8．设命题():0,,32xxp x ∀∈+∞>；命题():,0,32q x x x ∃∈-∞>，则下列命题为真命题的是（）A. p q ∧B. (p q ∧⌝）C. (p q ⌝∧）D. ((p q ⌝∧⌝））【答案】B【解析】()0,,32x xx ∀∈+∞>,所以命题p 为真命题； (),0,32x x x ∀∈-∞<,所以命题q 为假命题，因此p q ∧， (p q ⌝∧）， ((p q ⌝∧⌝））为假命题， (p q ∧⌝）为真命题，选B.点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.9．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞) 【答案】D【解析】由已知得方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，故a ≥2或a ≤－6.10．若函数()y f x =为偶函数，且 ()0,+∞上单调递增， ()20f =，则()20f x ->的解集为（）A. {40}x x x <或B. {|22}x x -<<C. {22}x x x <-或D.{|04}x x <<【答案】A 【解析】()20f x ->()()()()22222240f x f f x f x x x ⇒->⇒->⇒->⇒><或选A.11．已知函数()()2,2{ 11,22xa x x f x x -≥=⎛⎫-< ⎪⎝⎭满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A. (),2-∞B. 13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],2-∞D. 13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】()()1212f x f x x x -<-()f x ⇒为减函数，所以()22013{182212a a a -<⇒≤⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，选B. 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[],a b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 12．已知函数(),0{2,lnx x ef x lnx x e<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（） A. ()2,e e B. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】不妨设201a b e c e <<<<<<,由于,a b 满足f(x)=|lnx|，所以ab=1,则abc =c,所以选A.二、填空题13．已知函数()()()221,1,{ log 1,(1),x x f x x x -≤=->则73f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】13【解析】73f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭24log 32441log 211333f ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭ 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()ff a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 14．若函数()2lg 2+1f x a x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数，则实数a =_______. 【答案】12-【解析】因为函数()2lg 2+1f x a x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数，所以()()0lg 220f a =+=，所以221a +=，即12a =-. 点睛：解决本题的技巧是利用了奇函数的性质（若奇函数()f x 在0x =处有定义，则0=0f （）），可起到事半功倍的效果. 15．设0a <，若不等式()22cos 1cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x R ∈恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】2a ≤-【解析】令[]cos 1,1t x =∈- ，则不等式()()2210f t t a t a =---≤ 对[]1,1t ∈- 恒成立，因此()()2210{ { ,021020f a a a a f a a -≤-≤⇒<∴≤-≤--≤16．已知函数()20{ 4,0x f x x x x >=-≤，若()1f x a x ≥-恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[]6,0- 【解析】由图知实数a 的取值范围是[]1,0k ，其中1k 为直线y 1ax =-与y=24,0x x x -≤相切时a的值，即()22144100,06ax x x x a x a a -=-⇒-++=⇒∆=<⇒=-三、解答题17．已知以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线1C 的直角坐标方程为221:194x y C +=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的参数方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．【答案】（1）:2100C x y +-=， 13:{2x cos C y sin αα==（2【解析】试题分析：（1）先根据cos ,sin x y ρθρθ== 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，根据椭圆参数方程形式得曲线1C 的参数方程；（2）根据点到直线距离公式得M 到直线C的距离为d =，再根据三角函数有界性确定最值试题解析：解：（1）:2100C x y +-=．13:{2x cos C y sin αα==（α为参数）．（2）设()3cos ,2sin M αα 则M 到直线C的距离为d ==所以当()sin 1αϕ+=时，有min d ==18．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin cos A a B =．（1）求B ；（2）若3,sin b C A ==，求,a c ．【答案】（1）6B π=（2）3,a c ==【解析】试题分析：（1sin cos BsinA sinA B =，即得tan 3B =．再根据三角形内角范围得6B π=．（2）由正弦定理将角化为边得c =，再根据余弦定理得229a c +=，解方程组可得,a c ．试题解析：解：（1sin cos A a B =sin cos BsinA sinA B =．在ABC 中， sin 0A ≠cos B B =，∴tan B =． ∵0B π<<，∴6B π=．（2）由sin C A =及正弦定理，得c =，①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得， 22232cos6a c ac π=+-即229a c +=，②由①②，解得3,a c ==点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 19．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy＝bx ＋a ；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？(注：ˆb＝1221n i ii ni i x y n x y x n x ==-⋅⋅-⋅∑∑＝()()()121niii ni i x x y y x x ==---∑∑，ˆˆay bx =-)【答案】（1）35；（2）5ˆ32y x =-；（3）可靠的，理由见解析．【解析】试题分析：（1）可用间接法先求抽到相邻两天的概率，进而求得选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）根据表中数据，先求出回归方程中的常数ˆb，再根据样本中心点(),x y 在回归直线上求出常数ˆa ，进而可得出回归直线的方程；（3）根据（2）的结论，分别检验估计值与所选出的检验数据的误差是否均不超过2颗，即可确认所得的线性回归方程是否可靠. 试题解析：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以()431105P A =-=. 故选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是35（2）由数据，求得()()1111131212,25302627,3972.33x y x y =++==++== 332222211112513*********,111312434,3432,i i i i i x y x x ===⨯+⨯+⨯==++==∑∑由公式求得12219779725ˆˆˆ,3,4344322ni ii ni i x y n x ybay bx x nx==-⋅⋅-====-=---∑∑. 所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32y x =-. （3）当10x =时，5ˆ32yx =-22,22232,=-< 同样，当8x =时，5ˆ8317,17162,2y=⨯-=-< 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．【考点】1、古典概型；2、线性回归方程及回归分析方程的应用. 20．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1{x cost y sint=+=（t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. .（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin 4πρα⎛⎫+= ⎪⎝⎭1C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，曲线1C 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）2cos ρθ=（2【解析】试题分析：（1）利用互化公式cos x ρθ=， sin y ρθ=进行求解；（2）联立两极坐标方程，利用ρ的几何意义进行求解.试题解析：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=， sin y ρθ=，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（2）设()11,ρθ为点P 的极坐标，则有1112{2cos tan ρθθ==解得11{2tan ρθ==设()22,ρθ为点Q 的极坐标，22222{442sin cos cos sin tan ππρθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得22{2t a n ρθ==由于12θθ=，所以12PQ ρρ=-=PQ21．如图，已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12， F 为椭圆C 的右焦点， (),0A a -， 3AF =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点， P 为椭圆上一点， AP 的中点为M ，直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ，求证： //OE AP .【答案】（Ⅰ）22143x y +=;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（1）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中,,a b c 的等式关系可得,a b 的值，求得椭圆的方程；（2）可设直线AP 的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得22286,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得34,D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 得直线DF 的斜率是 3141k k-=--,问题得解.试题解析：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =， 3a c +=．解得 2a =， 1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=．（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 ()2,0A -．设AP 的中点()00,M x y ， ()11,P x y ．设直线AP 的方程为： ()()20y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得()2222431616120k x k x k +++-=，所以 21216243k x k --+=+．所以 202843k x k -=+，()0026243ky k x k =+=+，即 22286,4343k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．所以直线OM 的斜率是 2263438443k k k k k +=--+，所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得34,D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由()1,0F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--，因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ，所以直线//OE AP ．解法二：由（Ⅰ）得 ()2,0A -．设()()111,2P x y x ≠±，其中221134120x y +-=．因为AP 的中点为M ，所以 112,22x y M -⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线OM 的斜率是112OM y k x =-，所以直线OM 的方程是 112yy x x =-．令4x =，得1144,2y D x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭．由()1,0F ，得直线DF 的斜率是 ()11432DF y k x =-．因为直线AP 的斜率是112APy k x =+，所以 ()21214134DF AP y k k x ⋅==--，所以 AP DF ⊥．因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ．点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 22．已知函数()()()211ln 2f x ax a x x a R =-++-∈．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0a =时，设函数()()()22g x xf x k x =-++．若函数()g x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）当()0,1a ∈时，()f x 的单调递减区间为()10,1,,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，当1a =时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞，当()1,a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）讨论当()0,1a ∈时，当1a =时，当()1,a ∈+∞时三种情况，()'0f x >得增区间，()'0f x <得减区间；（2）()()2ln 22g x x x x k x =--++在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有零点，即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+()h x =在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根，可证当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时()h x 单调递增，故()112h k h ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.试题解析：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()110ax x f x a x--'=->．①当()0,1a ∈时，11a>，由()0f x '<，得1x a>或1x <． ∴当()10,1,,x x a ⎛⎫∈∈+∞⎪⎝⎭时，()f x 单调递减． ∴()f x 的单调递减区间为()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． ②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 的单调递减区间为()0,+∞． ③当()1,a ∈+∞时，11a<，由()0f x '<，得1x >或1x a <．∴当()10,,1,x x a ⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减． ∴()f x 的单调递减区间为()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．综上，当()0,1a ∈时，()f x 的单调递减区间为()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞；当()1,a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）()()2ln 22g x x x x k x =--++在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有零点，即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根．令函数()2ln 21,,22x x x h x x x -+⎡⎫=∈+∞⎪⎢+⎣⎭．则()()2232ln 42x x x h x x +--'=+，令函数()2132ln 4,,2p x x x x x ⎡⎫=+--∈+∞⎪⎢⎣⎭．则()()()212x x p x x-+'=在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有()0p x '≥．故()p x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增． ∵()10p =．∴当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0p x <即()0h x '<． ∴()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，有()0p x >，即()0h x '>，∴()h x 单调递增． ∵()19ln 2,112105h h ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， ()10210ln 21021023110121232h h --⎛⎫=>=> ⎪⎝⎭，∴k 的取值范围为9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦．【考点】1、导数运算；2、利用导数研究函数单调性和函数零点问题.【方法点晴】本题主要考查导数运算、利用导数研究函数单调性和函数零点问题，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导得()'f x 的解析式；③令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是()f x 递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是()f x 递减区间；④对含参数的函数还要对参数进行讨论来确定单调区间.。