《直角三角形的性质》导学案

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八级直角三角形整章导学案教案共节(新湘教版)

长乐中学八年级数学导学训练案教课设计编制人：周浩雄审查人：日期：第1课时课题：直角三形的性质和判断（ 1）教课目的1. 使学生理解和掌握直角三角形的性质边和角； 2. 能应用直角三角形性质和判断解决简单的实质问题； 3. 经过研究，察看，猜想，实验，交流，推理等过程，提升数学思想、解决问题的能力和合作学习的精神；教课要点：直角三角形中线性质的推导及应用教课难点：定理的理解和运用、几何语言和逻辑的正确运用一、引自学内容：教材 P2-3二．探一）回首：三角形的内角和；二） . 合作沟通：1.研究一：直角三角形的两个锐角有什么特别的关系。

2．直角三角形的判断：假如直角三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。

3.研究二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

上述定理用几何语言表示。

三）．练习1、教材练习三．结师生小结直角三角形的判断及性质四 .用1、若直角三角形的两个锐角之差是22°，则较小内角的度数是°。

2.如下图，已知 AB ⊥ BD ，AC ⊥ CD ，∠ A=35 °，则∠ D 的度数为（）A 、 35°B 、65°C、55°D、 45°3.如下图， Rt△ ABC 中，∠ BCA=90 °， CD ⊥ AB 于 D，E 是 AC 中点，以下结论必定正确的选项是（）A、∠ 4=∠5B、∠ 1=∠2C、∠ 3=∠4D、∠ B=∠24、如图，在△ ABC 中，∠ B= ∠C，D ， E 分别是ＢＣ，ＡＣ中点，ＡＢ＝８，求ＤＥ的长。

Ａ５、如图， AB ∥CD ，∠ A 和∠ C 的均分线订交于H 点， AC=6(1)△ AHC 是直角三角形吗？为何？(2)求 GH 的长。

BAGHC D6、如图，在四边形 ABCD 中，∠ DAB= ∠BCD=90 °， M 为 BD 中点，Ｎ为ＡＣ中点，求证：ＭＮ⊥ＡＣ。

三角形内角和定理自主学习导学案

C
B
A 三角形内角和定理
【学习目标】
1．掌握“直角三角形的性质定理及其逆定理”的证明过程。

2．掌握“直角三角形的性质定理及其逆定理”的证明过程，并能根据这个定理解决实际问题。

【学习重难点】
重点：直角三角形的性质定理的证明过程。

难点：直角三角形的性质定理的应用。

【学习过程】
1．在充分预习自学的前提下，认真完成导学案。

2．将预习中不能解决的问题标注出来，并填写到后面【教学反思】处。

3．限时完成。

一、自主预习：
1．说一说一副三角尺中每个三角尺中的两个锐角的度数是多少？
2．同一个三角尺中两个两个锐角的和是多少？
二、学习探究
探究直角三角形的性质定理：
1．任意画一个Rt △ABC ，∠C=90°，它的两个锐角∠A 与∠之间有什么数量关系？怎样证明你的结论？
学生归纳得出：直角三角形的性质定理_____________________。

2．你能说出直角三角形的性质定理的逆定理吗？它是真命题还是假命题？如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举出一个反例。

（小组合作交流并证明）
C B A
学生证明得出：直角三角形的性质定理的逆定理_________________________。

【达标检测】
已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．求证：∠1=∠B ．。

直角三角形斜边中线性质

直角三角形性质导学案学习目标1、通过动手操作——探索——发现-——猜想——证明得出直角三角形的性质，体会合情推理与演绎推理的相互依赖与相互补充。

2、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”；“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。

”3、会运用直角三角形的性质进行有关的计算与证明。

学习策略结合以前学的性质，探索新知识，也就是温故而知新。

学习过程一.知识回顾：1、什么是直角三角形？2、我们已经学过了直角三角形有哪些性质?二.新课学习：（一）研究直角三角形性质画任意Rt △ABC ，并画出斜边AB 上的中线CD ，量一量，看看CD 与AB 有什么数量关系？（二）猜一猜量一量CD= ;AD=BD= ;AB= ;CD= AB猜想：运用演绎推理证明这一猜想：已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线. 求证：CD=21AB 思路引导：中线辅助线作法：将中线延长一倍.证明:三.尝试应用：1、已知Rt △ABC 中，斜边AB=10cm ，则斜边上的中线的长为______2、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，∠CDA=80°，则∠A=_____ ∠B=____C BD四、例题讲解例 Rt △ABC 中，∠ACB=90 ° ，∠A=30°，求证： BC= AB五．当堂练习1|.如图:在△ABC 中，若∠BAC=120°，AB=AC,AD ⊥AC 于点A ，BD=3，则BC=______.2、如图， ∠C=90°，∠B=15°，DE 垂直平分AB ，垂足为点E ，交BC 边于点D,BD=16cm ，则AC 的长为______六、拓展练习1、（课本104页练习2）2、如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高，M 、N 分别是BC 、ED 的中点试说明：MN ⊥DE.七、知识小结性质1 性质2性质3 性质4 D C A B 12ED CAB。

直角三角形全等的判定(HL)(导学案)八年级数学上册系列(人教版)

12.2.4 直角三角形全等的判定(HL) 导学案一、学习目标：1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．重点：掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL．难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等．二、学习过程：课前自测1.判定两个三角形全等方法____________________.2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E.(1)若∠A=∠D，AB=DE. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).(2)若∠A=∠D，BC=EF. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).(3)若AB=DE，BC=EF. 则△ABC与△DEF_______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).思考：若AB=DE，AC=DF，此时△ABC与△DEF还会全等吗？_______________合作探究探究：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=A B. 把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？作图区：【归纳】直角三角形“HL”判定方法文字语言：____________ ____________ ____________ ____________ _________几何语言：典例解析例1.如图，AC ⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证BC=AD.【针对练习】如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地. DA⊥AB，EB⊥A B. D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？例2.如图，AC⊥AD，BC⊥BD，AC=BD，求证：AD=B C.【针对练习】已知：如图，AB BC⊥，AD DC⊥，AB AD=，求证：BC DC=．例3.如图，已知AD是△ABC的角平分线,且BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为E、F.求证BE=CF.【针对练习】已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝A D．求证：BE＝DE．例4.如图，在△AB C中，∠C ＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB 于E，点F在边AC上，连接DF．（1）求证：AC ＝AE；（2）若DF＝DB，试说明∠B与∠AFD的数量关系；（3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n 的代数式表示）．达标检测1.判定两个直角三角形全等的方法有________________________________.2.如图，已知∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△BAD还需增加一个什么条件?把增加的条件填在横线上，并在后面相应括号内填上判定它们全等的理由.(1)________________( )(2)________________( )(3)________________( )(4)________________( )3.如图，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D,若BC=10cm，则BD=______cm.4.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，CE=BF.求证AE=DF.5.如图，已知，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，AC=CE.求证：AC⊥CE.6.如图，在△ABC和△ADE中，B，E，C,F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设,余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF.己知:____________(填序号)，求证:____________(填序号)。

1.1直角三角形性质和判定1

陬市镇中学八年级《数学》科<<导学案>>
备课日期：2014-2-15设计：刘芬上课教师：审核：______
上课日期：__月__日第____周星期____第节第课时（总节数）
课题：1.1直角三角形的性质和判定
教
学
目
标
1．经历探索直角三角形的性质及其判定条件的过程
2．掌握直角三角形的性质及判定。并能运用其解决一些实际问题。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、例题讲解
四、练习见书P4
五、小结
教学反思
3．培养学生的空间观
教学重点：直角三角形的判定、性质的推导与应用
教学难点：直角三角形性质的推导与对“同一法”思想方法的了解
教学程序
教学要求
教学内容与方法
二Hale Waihona Puke 备课“同一法”证明一、激情导入，创设情景
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，它还具有哪些特殊性质呢？
活动：请同学们在练习本上画一个直角三角形，作出斜边上的中线。
完成下列要求:
(1)这个直角三角形的两个锐角的和等于多少？
(2)量一量斜边上的中线长与斜边长有什么数量关系？与同座交流，是否都有这个关系？你能证明这个结论吗？
二、合作交流，解读探究
1、
归纳：性质定理:直角三角形的两个锐角互余
2、
归纳：判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形
3、
归纳：直角三角形斜边上中线性质定理：

中考数学专题复习导学案直角三角形(含答案)

中考数学专题练习19《直角三角形》【知识归纳】1.直角三角形的定义有一个角是的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的3.直角三角形的判定(1)两个内角的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是三角形【基础检测】1.（·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．6 C．6 D．122.（·贵州安顺·3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．3．（广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米4．（海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．35.（·四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC 的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+6. （·浙江省湖州市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是．7. （·湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．8．（·湖北荆州·10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【达标检测】一．选择题1.（•毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，42．（•青岛，第4题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B. 2 C.3 D. +23. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是A．5 B．10 C．12 D．135.（·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．106. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°7. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )（第11题图）A. 21B. 20C. 19D. 188．（·四川宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2 C．3 D．29．（·湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B． C． D．二．填空题10．（湖北省鄂州市，15，3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．11．（·四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是．12.（·四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．13. （·湖北武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA ＝55，则BD的长为_______．14. 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，=1.73）．15. （·江西·3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．DO CEBA图4三．解答题16．（江西，23，10分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探索：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．17.（·湖北咸宁）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．【知识归纳答案】1.直角三角形的定义有一个角是 90°的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形的判定(1)两个内角和为90°的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2=c2逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形【基础检测答案】1.（·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．6C．6D．12【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=12sin30°=12×=6，故答选A．2.（·贵州安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B． C． D．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．3．（广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．4．（海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．3【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE=BD=×3=3，故选D．【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解．5.（四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=0.5 AB=1．故选：A．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．6. （浙江省湖州市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 5 ．【考点】作图—基本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．【解答】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，∴AD=DB，Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB===10，∵AD=DB，∠ACB=90°，∴CD=AB=5．故答案为5．7. （湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= 3 ．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．【解答】解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3．8．（湖北荆州·10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AO B=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE= AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2﹣，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OB，∵OA=OB=OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠FAD=15°，∴∠BOF=30°，∴∠AOF=∠BOF=30°，∴OF⊥AB，∵CD∥OF，∴CD⊥AD，∵AD∥OC，∴OC⊥CD，∴CD是半圆O的切线；（2）∵BC∥OA，∴∠DBC=∠EAO=60°，∴BD=BC=AB，∴AE=AD，∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，∴，∵DH=6﹣3，∴EF=2﹣，∵OF=OA，∴OE=OA﹣（2﹣），∵∠AOE=30°，∴==，解得：OA=2．【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接OB构造等边三角形是解题的关键．【达标检测答案】一．选择题1.（•毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4【解析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2．（•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B. 2 C.3 D. +2【解析】含30度角的直角三角形．根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE 中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．故选C ．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．3. 如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC ，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D【解析】在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC 是等腰三角形．因为BD 是△ABC 的角平分线所以∠ABD=∠DBC=36° 所以△ABD 是等腰三角形．在△BDC 中有三角形的内角和求出∠BDC=72° 所以△BDC 是等腰三角形．所以BD=BC=BE 所以△BDE 是等腰三角形．所以∠BDE=72°, 所以∠ADE=36°, 所以△ADE 是等腰三角形．共5个．故选D ．4.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是 A ．5B ．10C ．12D ．13【解答】解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE=1，又∵直角△BDE 中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2， ∴BC=CD+BD=1+2=3．【答案】D.【解析】在Rt△CAE中，CE=5，AC=12，由勾股定理得：2213AE AC CE=+=又DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE=13.故选D.5.（湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选C．6. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°【答案】D．【解析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：（第11题图）∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°．故选D．7. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】A．【解析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解：∵8+8+5=21．∴这个三角形的周长为21．故选A．8．（四川宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．2【考点】旋转的性质．【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．9．（湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B． C． D．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴cos∠ABC==．故选D．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．二．填空题10．（湖北省鄂州市，15，3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．【解析】直角三角形斜边上的中线．【解答】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．【点评】解：连接OP，∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，∴OP=AB，∵AB=20cm，∴OP=10cm，故答案为：10．11．（四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是（0，3），（0，﹣1）．【考点】坐标与图形性质．【分析】在平面直角坐标系中，根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个直角边，再根据点P的坐标即可得出答案．【解答】解：以（1，1）为圆心，为半径画圆，与y轴相交，构成直角三角形，用勾股定理计算得另一直角边的长为2，则与y轴交点坐标为（0，3）或（0，﹣1）．故答案为：（0，3），（0，﹣1）．12.（四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE ⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．[答案]12 5[考点]菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式。

北师大九上数学1[1].2直角三角形导学案

1.2直角三角形学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；2、会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．【重点难点】重点：探索并掌握直角三角形的判别条件.难点：运用直角三角形判别条件解题.新课导引木工师傅中巧如鲁班者大有人在，不知何年何人用鲁班尺发明了三等分任一角的方法，所谓鲁班尺或称木工尺，是形如图(1)所示的直角尺．【问题探究】在过尺的拐角内点B 与尺边BD 垂直的尺边缘直线上取一点C ，使BC 等于尺宽AB ．任给一角∠EOF ，先用鲁班尺画一条与OE 相距为尺宽AB 的平行线l ，如图(2)所示，再使鲁班尺的边缘上的点A 落在l 上，C 点落在OF 上，且边缘线BD 过O 点，如图(3)所示．沿边缘DB 画出的直线l ＇与OF 的夹角∠BOC 是∠EOF 的31．解析事实上，作AG ⊥OE ，G 为垂足，则Rt △OAG ≌Rt △OAB ≌Rt △OCB ，故∠AOG ＝∠AOB ＝∠BOC ＝31∠EOF ．教材精华知识点1 勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c 2＝a 2+b 2(c 为斜边长)． √勾股定理的作用．(1)已知直角三角形的两边求第三边．(2)已知直角三角形的一条边，求另外两条边的数量关系．(3)用于证明平方关系的问题．(4)利用勾股定理作出长为n 的线段．勾股定理的各种表达形式．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边长分别为a ，b ，c ，则a 2＝c 2－b 2，b 2＝c 2－a 2，c 2＝a 2+b 2，c ＝22b a +，a ＝22b c -，b ＝22a c -．勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形．勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理．直角三角形的判定．(1)首先确定最大边(如c )．(2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系．若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是直角三角形；若c 2≠a 2+b 2，则△ABC 不是直角三角形．勾股数．(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数．称为勾股数或勾股弦数．(2)勾股数必须是正整数．如3，4，5；5，12，13等．拓展应用勾股定理时，必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角．知识点2 互逆命题与互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．拓展每个命题都有逆命题．原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题．原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题．那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．拓展每个命题都有逆命题．但不是所有的定理都有逆定理.知识点3 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL ”表示．√定理的作用：判定两个直角三角形全等．√定理的证明：如图1－30所示，已知Rt △ABC ，Rt △A ′B ′C ′，∠C ＝∠C ′＝90°，AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，求证Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′．证明：∵在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∴BC ＝22AC AB -，B ′C ′＝22C A B A ''-''.∵AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，∴BC ＝B ′C ′．∴Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′(SSS)．知识拓展 “HL ”是直角三角形所独有的判定定理，对于一般三角形不成立．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必须有一个是边对应相等．与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．规律方法小结 1．方程思想：在学习勾股定理的过程中，要注意利用勾股定理寻找等量关系，通过列方程来解几何问题．2．数形结合思想：运用勾股定理判定直角三角形就是由数量关系来判定几何问题，实现数和形之间的相互转化．课堂检测基本概念题1、写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题，并判断真假．基础知识应用题2、如图1－31所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝50，BC ＝30，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．3、在正方形ABCD 中，如图1－32所示，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC ＝41BC ，求证∠EFA ＝90°．综合应用题4、试判断三边长分别为2n 2+2n ，2n +1，2n 2+2n +1(n ＞0)的三角形是否是直角三角形．5、如图1-38所示，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得∠MAD＝30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得∠MBD=45°，该货轮到达灯塔M的正东方向的D处时，货轮与灯塔M的距离是多少?(精确到0．1海里，3≈1．732)体验中考1、如图1-41所示，在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，求AD的长度．2、如图1－45所示，在直角梯形ABC D中．A D∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且A E＝AC．（1）求证B G＝FG；（2）若A D＝D C＝2，求AB的长．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析写某个命题的逆命题时，要分清命题的题设和结论．必须认真审题，分清命题结构，最后写成“如果……，那么……”的形式．解：如果两直线平行，那么同位角相等．这个命题是真命题．2、分析给出△ABC 是直角三角形，同时给出两边长，我们会想到利用勾股定理来解题．解：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AB ＝50，BC ＝30．∴由勾股定理，得AC ＝4030502222=-=-BC AB . 又∵S △ABC ＝21BC ·AC ＝21AB ·CD ， ∴30402450BC AC CD AB ⨯=== . 答：CD 的长是24．【解题策略】在有关直角三角形的问题中，除了掌握好直角三角形的性质(两锐角互余，三边满足勾股定理等)外，还要注意一般三角形的所有性质．3、分析由已知条件会想到勾股定理，同时由结论我们会想到利用勾股定理的逆定理．证明：设正方形ABCD 的边长为4a ，则EC ＝a ，BE ＝3a ，CF ＝DF ＝2a ．在Rt △ABE 中，由勾股定理，得：AE 2＝AB 2+BE 2＝(4a )2+(3a )2＝25a 2．在Rt △ADF 中，由勾股定理，得：AF2＝AD2+DF2＝(4a)2+(2a)2＝20a2．在Rt△ECF中，由勾股定理，得：EF2＝EC2+CF2＝a2+(2a)2＝5a2．在△AFE中，AF2+EF2＝20a2+5a2＝25a2，又∵AE2＝25a2，∴AF2+EF2＝AE2．由勾股定理的逆定理，得△AEF是直角三角形，且AE为最大边，∴∠EFA＝90°．规律·方法用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另外两边的平方和；(3)比较最大边的平方与另外两边的平方和，如果相等，那么此三角形为直角三角形．注意不要盲目比较其中任意一边的平方与另外两边的平方和的关系，这样做容易得出错误的结论．4、分析先确定最大边，然后判断最大边的平方是否等于其他两边的平方和．解：∵(2n2+2n+1)-(2n2+2n)=1＞0，(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2＞0(n＞0)，∴2n2+2n+1为三角形中最大边．又∵(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1，(2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1，∴(2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2．根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．【解题策略】运用差值比较法确定最大边是用勾股定理的逆定理判定三角形形状的关键．5、分析本题是一道实际应用问题，解此类问题的关键是将其转化为数学问题．求货轮与灯塔M的距离即求MD的长，可利用Rt△ADM和Rt△BDM，由勾股定理建立等量关系，列方程求解．解：由已知得AB=20海里，∠MAD=30°，∠DBM= 45°，MD⊥AD．设MD=x，在Rt△BDM中，∠DBM＝45°，∴BD=MD=x，∴AD=AB+BD=x+20．在Rt △ADM 中，∠MAD =30°，∴MD =21AM ，∴AM =2MD =2x ．在Rt △ADM 中，由勾股定理，得：AD =x x x MD AM 3)2(2222=-=-，有x +20=x 3，(3-1)x =20，∴x =)13(101320+=-≈27．3(海里)．故货轮到达灯塔正东方向的D 处时，货轮与灯塔的距离约为27．3海里体验中考1、分析本题考查等腰三角形“三线合一”和勾股定理．解：在△ABC 中，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD=12BC=3 cm ．在Rt △ADB 中，∠ADB=90°，∴4== （cm ）．2、分析本题主要考查和直角三角形有关的知识．证明：（1）∵∠ABC ＝90°，DE ⊥AC 于F ，∴∠ABC ＝∠A FE ．∴AC ＝A E ，∠E A F ＝∠CAB ，∴△ABC ≌△A FE ，∴AB ＝A F ．连接A G ．∵A G ＝A G ，AB ＝A F ，∴Rt △AB G ≌Rt △A FG ，∴B G ＝FG ．解：（2）∵A D ＝D C ＝2，∴△A D C 为等腰三角形．又∵DF ⊥AC ，∴A F＝C F，∴A F＝12 AC．又∵AC＝A E，∴A F＝12A E．∵在Rt△A FE中，A F＝12A E，∴∠A EF＝30°，∴∠D A F＝30°，∴在Rt△A FD中，DF＝1，∴A F=，∴AB＝A F【解题策略】运用已知等量关系，得出直角三角形中一个角的度数，可求出问题的解．。

1.2直角三角形性质和判定2

2、
归纳：在直角三角形中，如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
三、例题讲解
四、练习见书P6
五、小结
教学பைடு நூலகம்思
3、了解上述两个定理之间的联系。
教学重点：直角三角形的两个性质定理
教学难点：直角三角形性质定理的应用
教学程序
教学要求
教学内容与方法
二次备课
一、创设情境导入新课
活动：
请大家拿一块30°的直角三角板，请量一量30°角所对的直角边与斜边有什么关系？你能证明你的发现吗？
二、合作交流，解读探究
1、
归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所队的执教便等于斜边的一半。
陬市镇中学八年级《数学》科<<导学案>>
备课日期：2014-2-15设计：刘芬上课教师：审核：______
上课日期：__月__日第____周星期____第节第课时（总节数）
课题：1.1直角三角形的性质和判定（2）
教
学
目
标
1、掌握有一个锐角是30°的直角三角形的性质定理及其应用
2、掌握有一条直角边等于斜边一半的直角三角形的性质定理及其应用

含°角的直角三角形的性质(导学案)-八年级数学上册同步备课系列

13.3.4含30°角的直角三角形的性质导学案一、学习目标：1．探索含30°角的直角三角形的性质．2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．重点：探索并理解含30°角的直角三角形的性质.难点：含30°角的直角三角形的性质定理的应用.二、学习过程：合作探究探究：用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由.思考：在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？猜想：_____________________________________________________________.证明猜想已知：如图，在Rt △AB C 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°.求证：BC =21AB.（注意：请发散思维用学过的知识多角度去探寻证法）【归纳】含30°角的直角三角形的性质：__________________________________________________________________.几何符号语言：典例解析例1.如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4m ，∠A =30°.立柱BC 、DE 要多长.【针对练习】如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为12cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝62cm ，且与闸机侧立面夹角∠ACP ＝∠BDQ ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．例2.如图，在△AB C 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证:BF =2CF.【针对练习】如图，点D 在线段BC 上，连接AD ，BD =CD ，CA ⊥AD ，∠1=30°，AB =4，求AC的长．例3.如图，等边△ABC 的边长为8，D 为AB 边上一动点，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC 于点F .(1)若AD =2，求AF 的长;(2)当AD 取何值时，DE =EF ?【针对练习】如图，Rt △AC B 中，∠ACB =90°，∠A =30°，∠ABC 的平分线BE 交AC 于点E ．点D 为AB 上一点，且AD =AC ，CD 、BE 交于点M .(1)求∠DMB 的度数;(2)若CH ⊥BE 于点H ，求证:AB =4MH .例4.已知，如图，△ABC 为等边三角形，点E 在AC 边上，点D 在BC 边上，并且AE ＝CD ，AD 和BE 相交于点M ，BN ⊥AD 于N ．(1)求证：BE ＝AD ；(2)求∠BMN 的度数；(3)若MN ＝3cm ，ME ＝1cm ，则AD ＝cm．达标检测1.如图(1)，△AB C 中，∠C =90°，AC =3，∠B =30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是()A.3.5B.4.2C.5.8D.72.如图(2)，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ，CD 分别表示一楼，二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是()A.3mB.4mC.5mD.6m3.如图，在Rt △AB C 中，∠C =90°，DE 垂直平分AB ，垂足为D,交BC 于E ，AE 平分∠BAC ，那么下列关系式中不成立的是()A.∠B =∠CAEB.∠DEA =∠CEAC.AB =2ACD.AC =2EC4.已知一个三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边为5cm ,则最长边为_____cm.5.如图，AB =AC ，∠BAC =120°，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，若AD=3cm，则AB=____cm，BE=_____cm.6.如图(3)，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过点M作ME∥BA交AC于点E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD=_____cm.7.将一副三角尺按如图(4)所示方式叠放在一起,若AB=16cm，则阴影部分的面积是_____cm2.8.Rt△AB C中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？9.如图，在Rt△AB C中，∠C=90°,∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长.10.如图，在△AB C中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥A B.DE 恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．。

初中数学导学案：直角三角形的性质和判定

课题：直角三角形的性质和判定（Ⅱ）（1）【学习目标】1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．会简单的应用勾股定理。

【学习重点】勾股定理的内容及证明。

【学习难点】勾股定理的证明【学习过程】一、知识链接（用学过的知识完成下列填空）①含有一个的三角形叫做直角三角形.②已知Rt△ABC中的两条直角边长分别为a、b ,则S△ABC＝ .③已知梯形上下两底分别为a和b，高为（a＋b），则该梯形的面积为 .④完全平方公式：（a±b）2＝ .⑤在Rt△ABC中，已知∠A＝30°，∠C＝90°，直角边BC＝1，则斜边AB ＝ .二、自主学习1、如图1-9，在方格纸上(设小方格边长为单位1) 画一个顶点都在格点上的直角三角形，使其两直角边分别为3、4，量出这个直角三角形斜边的长度.合作探究2、在方格纸上，以图1-9 中的Rt△ABC的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图1-10，那么这三个正方形的面积S1，S2 ，S3 之间有什么关系呢？3、如图1-11，任作一个Rt△ABC，∠C= 90°，若BC= a，AC= b，AB= c，那么a2 + b2 = c2是否成立呢？三、当堂检测CABD1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。

2、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为203、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。

(1)求DC 的长。

(2)求AB 的长。

直角三角形性质和判定2教案第3课时勾股定理综合应用

直角三角形的性质和判定2导学案第三课时（勾股定理综合应用）
A
B
C
D
7cm
A
B
C
3
220
B
A
三．结
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

四.用
1. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2. 如图所示，在△ABC 中，三边a,b,c 的大小关系是（）
A.a ＜b ＜c
B. c ＜a ＜b
C. c ＜b ＜a
D. b ＜a ＜c 3．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为 .
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______2cm
5.若△ABC 中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC 的长是 .
6.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、
第4题图
第1题图第2题图。

初二数学《直角三角形性质与判定复习》课时教案

初二数学《直角三角形性质与判定复习》课时教案【课题】《直角三角形性质与判定复习》【课型】复习【教学目标】知识：直角三角形性质与判定知识梳理；能力：学生经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够熟练应用直角三角形性质与判定综合证明。

情感：在探究性学习活动中养成刻苦钻研的习惯，具有勇于探索创新的精神。

【教学重难点】能够熟练应用直角三角形性质与判定综合证明。

【教学方法】自主探究法【教具与教学准备】导学案、PPT、多媒体【学情分析】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动能够解决本节课的内容。

【教学过程】一、激趣导入，交代目标：（一）激趣导入设计意图（以旧引新，从学生熟知的知识入手，起点低，让全体同学都参与，也为类比探索新知做好准备。

）知识回顾（5分钟）1、直角三角形的性质：（1）在直角三角形中，两锐角；（2）在直角三角形中，斜边上的中线等于__________的一半；（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于___________；（4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于___________。

(5)勾股定理: .2、直角三角形的判定：（1）有一个角等于_________的三角形是直角三角形；（2）有两个角_____________的三角形是直角三角形；（3）如果三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形。

(4)直角三角形全等: .D A BCE（二）交代目标多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。

二、自主探究,合作学习：（一）依据导纲，自主学习探究一：性质复习（先自主探究，然后组内交流讨论，各个小组展示）例1、在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°， CD ⊥AB ， (1) 若BD=8，求AB 的长； (2) 若AB=8，求BD 的长。

直角三角形性质应用与直角三角形相关的证明导学案及习题(含答案))

直角三角形性质应用（导学案）一、知识过关1. 直角三角形两锐角，且任一直角边长小于．2. 勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的；勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是三角形．3. ①直角三角形斜边上的中线等于；②如果一个三角形，那么这个三角形是直角三角形．4. ①30°角所对的直角边是；②在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于．5. 常用直角三角形的三边关系6. 等面积法二、精讲精练1. 下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2=49，②x -y =2，③2xy +4=49，④x +y =9．其中说法正确的是（）A C B45°1130°234211BCA BCACAy xABCC B Aa 2+b 2=c 2AC BAβαCA B30°C B A CBA2mmab=chD h C BAc baA ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②③④2. 如图，在正方形ABCD 中，E 是DC 的中点，F 为BC 上的一点且BC =4CF ，试说明△AEF 是直角三角形．3. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点，求证：AD 2+DB 2=DE 2．4. 在△ABC 中，AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长是_______．5. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A ．10 B．C ．10或 D ．10或6. 直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边长是5，则另一直角边长等于（）A ．13B ．12C ．10D ．57. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ，P 点是BD 的中点，若AD =6，则CP 的长为（） A ．3 B ．3.5 C ．4 D ．4.58. △ABC 周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是．EDCBAFEDCBAPDCBA234234ABCDE9. 如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（） AB．C． D．10. 如图，四边形ABCD 中，∠DAB =∠DCB =90o ，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点．MN 、AC 的位置关系如何？证明你的猜想．11. 如图，在Rt △ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边BC 上的高，DE ⊥AC ，DF⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （除∠C 外）相等的角的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．512. 如图，已知DE =m ，BC =n ，∠EBC 与∠DCB 互余，求BD 2+CE 2的值．13. 在△ABC 中，∠C =90°，AB =6，∠B =30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（）A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．2 14. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接CD ，若BD =1，则AC 的长是（） A．B ．2C． D ．415. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A =150°，这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（） A ．300a 元 B ．150a 元 C ．450a 元 D ．225a 元16. 放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在绿城广场上放风筝，如图他在A 处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D 处，NMCD BAFECB ABEDCABCDECBA 30m20mABCD30°45°P CBA此时风筝线AD 与水平线的夹角为30°．为了便于观察，小明迅速向前边移动边收线到达了离A 处6米的B 处，此时风筝线BD 与水平线的夹角为45°．已知点A 、B 、C 在同一条直线上，∠ACD =90°．求DC 的长度．17. 已知，在△ABC 中，∠A =45°，AC，AB+1，则边BC 的长为．18. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离是（）A ．B ．C ．D ． 19. 如图所示，等边△ABC 内一点P 到三边距离分别为h 1，h 2，h 3，且h 1+h 2+h 3=3，其中PD =h 1，PE =h 2，PF =h 3，则△ABC 的面积S △ABC =（） A． B． C． D．20. 如图，△ABC 中，∠C =90°，两直角边AC =8，BC =6，在三角形内有一点P ，它到各边的距离相等，则这个距离是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．无法确定21. 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4=_______．22. 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D在BC 上，且AD =BD ，AD 、CE 相交于点F ，若∠B =20°，3651225944l321S 4S 3S 2S 1ABCD EFCBAP FED CBACBA则∠DFE 等于（） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40°23. 在锐角△ABC 中，∠BAC =60°，BN 、CM 为高，P 为BC 的中点，连接MN 、MP 、NP ，则结论：①NP =MP ；②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ；③BN =2AN ；④::AN AB =AM AC ，一定正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【参考答案】一、知识过关1.互余，斜边长2.平方和，平方，a 2+b 2=c 2，直角3.斜边的一半，一边上的中线等于这边的一半4.斜边的一半，30°二、精讲精练1．B 2．（略） 3．（略） 4． 42或32 5．C 6．B 7．A 8．24 9．D 10．MN ⊥AC ，证明（略） 11．B 12．m 2+n 2，证明（略） 13．D 14．A 15．B 16．8m ，求解（略） 17．2 18．A 19．B 20．B 21．4 22．B 23．C直角三角形性质应用（当堂过关）1. 如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边的长是多少．2. 如图，已知P 是边长为2的等边三角形ABC 内的一个动点，如果PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，PD ⊥AC 于D ，求PD+PE+PF 的值．3. 如图是一副三角板拼成的四边形ABCD ，E 为斜边BD 的中点，求∠ACEPNM BA30°D的度数．【参考答案】1. 62cm2.3 3. 15°直角三角形性质应用（作业）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于F ，若∠F =30°，DE =1，则EF 的长是（） A ．3 B ．2 C ．3 D ．12. 如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF =7，BC =10，则△EFM 的周长是（）A ．17B ．21C ．24D ．27 3. 如图，△ABC 为等边三角形，D 为BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，DE +DF =3，则△ABC 的周长为（） A ． 6 B ．63 C ．8 D ．434. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是 ∠ABC 的平分线，CD ＝5cm ，则AB ＝_________．5. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm ，则阴影部分的面积是________cm 2．6. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =4，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN ，垂足为M ，CN ⊥AN ，垂足为N ，则DM +CN =______．第5题图第6题图7. 如图，AB =AC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∠BAC =120°，BC =6cm ，则DE +DF =_______． 8. 如图所示，△ABC 中，CE 平分∠ACB 交AB 于E ，过E 作EF ∥BC 交∠ACD 的平分线于F ，EF 交AC 于M ，若CM =5，则CE 2+CF 2=__________．9. 如图，在四边形ABCD 中，AB =8，BC =1，∠DAB =30°，AB E N MDCBAAC EDBF 30°45°ABCDEFDB CACMBEFADF E CBADC BAA MF ED C B FEDCBA∠ABC =60°，四边形ABCD 的面积为53，求AD 的长．10. 已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别是h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ，若点P 在边BC 上（图1），此时h 3=0，可得结论h 1+h 2+h 3=h ，请你探索以下问题：当点P 在△ABC 内（图2）和点P 在△ABC 外（图3）这两种情况时，h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的关系？请写出你的猜想，并简要说明理由．图1 图2 图3【参考答案】1. B2. A3. B4. cm5. 4926. 7. 3 8. 1009.10. （图2） h 1+h 2+h 3=h ，（图3）h 1+h 2 h 3=hDF D PE C BAP EFCBAAD E CB。

直角三角形性质导学案

CB A鸡西市第四中学2011-2012年度下学期初三数学导学案第十九章等边三角形（2）编制人：孟珊珊复核人：使用日期：2012.9.20 编号：8寄语：翘首盼来的春天属于大自然，用手织出的春天才属于自己。

学习目标：1、掌握直角三角形的性质----直角三角形中，30度的角所对的直角边等于斜边的一半；2 、能利用直角三角形的性质解决一些实际问题。

学习重难点：能利用直角三角形的性质解决实际问题思维导航：直角三角形中求边长时可以根据性质：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。

一. 导学1. 复习回顾：等边三角形的性质与判定2. 问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．3. 由2你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能用不同于课本上的方法证明你的结论吗？4. 由3，我们得到下面的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

5. 填空：如右图，在△ABC 中， ∵∠C=90o ，∠A=30o ∴BC=12（）二. 合作探究：1. 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BC 、DE 要多长？2. 等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，则腰上的高为。

D CAEB三、巩固练习1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=14 AB．3.如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，B F⊥AE于点F求证:BP=2PF四、课堂检测：1 几何中的运用（1）在△ABC中，△C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点D,BD=16cm，则AC 的长为______（2）如图在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC,AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.（3）在A岛周围20海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距DCBEED CAD CAB东。