矢量分析与场论课件-散度
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矢量场的通量和散度
dl =
∫ Pdx + Qdy + Rdz
l
例 1 设有平面矢量场A=-yi+xj,L为场中的星型线x=Rcos3θ, y=Rsin3θ,求此矢量场沿L正向的环量
第二章 场论
Γ=
∫
l
r r A dl =
2π
∫ − ydx + xdy
l
= =
− R sin 3 θ d ( R cos3 θ ) + R cos3 θ d ( R sin 3 θ ) ∫
r r r rot ( µ A) = µ rotA + grad µ × A r A = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k µ = µ ( x, y , z )
第二章 场论
i j k r ∂ ∂ ∂ rot ( µ A) = ∂x ∂y ∂z µ P µQ µ R r r r = µ[( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k ] r r r +[( R µ y − Q µ z )i + ( P µ z − R µ x ) j + (Qµ x − P µ y )k ] i ∂ =µ ∂x P k i ∂ ∂µ + ∂z ∂x R P r r = µ rotA + grad µ × A j ∂ ∂y Q j ∂µ ∂y Q k ∂µ ∂z R
r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功 r r W = ∫ Ft dl = ∫ F dl
l
磁场强度环路积分
∫
l
r r m H dl = ∑ I k = I
∫ Pdx + Qdy + Rdz
l
例 1 设有平面矢量场A=-yi+xj,L为场中的星型线x=Rcos3θ, y=Rsin3θ,求此矢量场沿L正向的环量
第二章 场论
Γ=
∫
l
r r A dl =
2π
∫ − ydx + xdy
l
= =
− R sin 3 θ d ( R cos3 θ ) + R cos3 θ d ( R sin 3 θ ) ∫
r r r rot ( µ A) = µ rotA + grad µ × A r A = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k µ = µ ( x, y , z )
第二章 场论
i j k r ∂ ∂ ∂ rot ( µ A) = ∂x ∂y ∂z µ P µQ µ R r r r = µ[( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k ] r r r +[( R µ y − Q µ z )i + ( P µ z − R µ x ) j + (Qµ x − P µ y )k ] i ∂ =µ ∂x P k i ∂ ∂µ + ∂z ∂x R P r r = µ rotA + grad µ × A j ∂ ∂y Q j ∂µ ∂y Q k ∂µ ∂z R
r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功 r r W = ∫ Ft dl = ∫ F dl
l
磁场强度环路积分
∫
l
r r m H dl = ∑ I k = I
第一章矢量分析与场论-ppt课件
坐标元
1.8 微分元 恣意元 微分元是矢量微、积分的根底。
坐标元
坐标线元
坐标平面元dσ
坐标体元dv
dx 直 dy
dz dρ
dx= dx ex
dy= dz=
ey dy ez
dρ= dz eρ
dφ= dρ ej
dddσσσ=假yx ==设: xd=σc,z =
yd=σc,ρ = zdd=σσc,φz ==
A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C
A·(B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B)
‖
‖
‖ Ax Ay Az
[ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz
Cx Cy Cz
假设 B=C 那么 A·B = A ·C及A×B = A ×C 成立 B C 假设 A·B = A ·C及A×B = A ×C 那么 B=C不一定成立
er(90°s,iφn+θ9c0o°sφ)·ez ez sinθ sinφ
cosθ
ex
= sin(θ+90°) cosφ
sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°)
ey
sin90° cos(φ+90°) sin90° sin(φ+90°) cos90°
ez sinθ cosφ
sinθ sinφ
因此：ex = 1/√2er-1/√2eφ ， ey = 1/√2er+1/√2eφ , ez = － eθ
∴ A = 3√2er －2 eθ +√2 eφ ②对于点(√2,√2,2) ： sinθ = sinφ= cosθ= cosφ=1/√2
《矢量分析与场论》PPT课件
实验证实麦氏方程组—电磁波的存在 近代俄国的波波夫和意大利的马可尼—电磁波传消息 无线电 当今电信时代——“电”、“光”通信
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
紫外线
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
s r•d S v •Α d V v d V 3 • R 3
1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义
设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作
l A dll A cosdl
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是 描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分 量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入 矢量场旋度的概念。
红外线
在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成
《矢量分析与场论》PPT 课件
课程体系
电磁理论
电磁基本理论
电磁工程
产生、辐射、
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
紫外线
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
s r•d S v •Α d V v d V 3 • R 3
1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义
设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作
l A dll A cosdl
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是 描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分 量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入 矢量场旋度的概念。
红外线
在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成
《矢量分析与场论》PPT 课件
课程体系
电磁理论
电磁基本理论
电磁工程
产生、辐射、
第8讲矢量场的通量及散度2
S
通量和散度之间的关系，即穿过封闭曲面
通量，等于 S 所围的区域 重积分。
S
的
上的散度在 上的三
推论2：若在封闭曲面
S
S 内处处有 divA 0 ，则
A dS 0
若封闭曲面内无源，则通量为零。
1.散度
推论3：若在矢量场
A 内的某些点（或区域上）
有 divA 0 或 divA 不存在，而在其它点上都 有 divA 0 ，则穿过包围这些点（或区域）的任
r x r y r z , , x r y r z r
x y z 1 1 div(ra ) a x a y a x (a x x a y y a x z ) (a r ) r r r r r
1.散度 例：已知 求 div(ra) 。
通量在直角坐标系中表示为，
l
A dl
n l
A n dl
l
( Pdy Qdx)
2.平面矢量场的通量和散度
格林定理（Green）：设函数 有界闭域
P( x, y) 和 Q( x, y)在
D上有一阶连续偏导数，D的边界 l
y
是
逐段光滑的，则有
Q P ( Pdy Qdx) ( )dxdy x y D l
在任一点 M ( x, y, z) 处的散度为：
P Q R divA x y z
由该定理可以得到以下几个重要的推论。 推论1：高斯定理可以写成矢量形式
A dS divAdV
S
1.散度
A dS divAdV
《矢量分析与场论》
第8讲 矢量场的通量及散度（2）
通量和散度之间的关系，即穿过封闭曲面
通量，等于 S 所围的区域 重积分。
S
的
上的散度在 上的三
推论2：若在封闭曲面
S
S 内处处有 divA 0 ，则
A dS 0
若封闭曲面内无源，则通量为零。
1.散度
推论3：若在矢量场
A 内的某些点（或区域上）
有 divA 0 或 divA 不存在，而在其它点上都 有 divA 0 ，则穿过包围这些点（或区域）的任
r x r y r z , , x r y r z r
x y z 1 1 div(ra ) a x a y a x (a x x a y y a x z ) (a r ) r r r r r
1.散度 例：已知 求 div(ra) 。
通量在直角坐标系中表示为，
l
A dl
n l
A n dl
l
( Pdy Qdx)
2.平面矢量场的通量和散度
格林定理（Green）：设函数 有界闭域
P( x, y) 和 Q( x, y)在
D上有一阶连续偏导数，D的边界 l
y
是
逐段光滑的，则有
Q P ( Pdy Qdx) ( )dxdy x y D l
在任一点 M ( x, y, z) 处的散度为：
P Q R divA x y z
由该定理可以得到以下几个重要的推论。 推论1：高斯定理可以写成矢量形式
A dS divAdV
S
1.散度
A dS divAdV
《矢量分析与场论》
第8讲 矢量场的通量及散度（2）
N0.3-4--第一章 标量场的梯度 矢量场的散度旋度 亥姆定理及矢量场的分类
div A = A
可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A ± B ) = A ± B (φ A ) = φ A ± A φ
20
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
三、高斯散度定理
矢量场的散度代表其通量的体密度,因此散度的体积分 等于穿过包围该体积封闭面的总通量:
（1）开曲面：沿封闭曲线 n的取法：
l 的绕行方向按右手螺旋的拇指方向
（2）封闭面： 取为封闭面的外法线方向 外法线方向
14
矢量A穿过整个曲面S的通量:
Φ = ∫ A ds = ∫ A nds
s s
如果S是一个封闭面, 则
Φ = ∫ A ds
S
15
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
22
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
同理
D y
q r 2 3y 2 = y 4π r5
D z q r 2 3z 2 = z 4π r5
故
Dx D y Dz q 3r 2 3( x 2 + y 2 + z 2 ) D = + + = =0 5 x y z 4π r
可见，除了点电荷所在源点 (r = 0)外，空间各点的电通密度散度均为 ，它是管形场 。 空间各点的电通密度散度均为0， 可见，
（C点）
电偶极子的电力线和等位线 17
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
b) 散度的分量表示式
穿过包围点P(x,y,z)的无穷小体积 v = xyz 的通量： 的通量： 计算 A 穿过包围点 的无穷小体积 右边向外流出的通量： A 穿过右边 右边
1.6 矢量场散度的定义与计算
z
S6
S1
S3
FdS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
在 x方向上：计算穿过 S 1和 S 2 面的通量
z
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz dS1 dydz(aˆx)
F
1 R2
(R2 FR ) R
1
Rsin
(Fsin
)
1
Rsin
F
正交曲线坐标系中：F
1
Fu1 h 2 h 3
(Fu2
h1h3
)
(Fu3
h1h2
)
h1h2h3 u1
u2
u3
常用坐标系中，坐标变量和拉梅系数
说明穿入的通量大于穿出的通量那么必然有一些矢线在曲面内终止了意味着闭合面内存在负源或称沟
1.6 矢量场的散度
1. 矢量场的矢线（场线） 2. 矢量场的通量 3. 散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
量，那么必然有一些矢线在曲面内 终止了，意味着闭合面内存 在负源或称沟。
c. 如果闭合曲面上的总通量 0
说明穿入闭合曲面的通量等于穿出的通量。
3. 散度的定义：
定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
F dS
表达式： divF lim S V0 V
4.散度的计算：
《矢量分析与场论》 矢量场的通量及散度
q •o
径为 R 的球面的通量。
x
y
R
解：电位移矢量为
D
qr
4r 3
q
4r 2
r r
q
4r 2
r
r r x2 y2 z2
根据通量的定义，有 球面外法向单位矢量
D • dS
S
n
r
dS
ndS
r
在球面上有
rR
4.通量和源
为 n 个弧长小段，第 i 段有，
li (xi1 xi )2 ( yi1 yi )2 (zi1 zi )2 xi2 yi2 zi2
且 (i ,i , i ) 是在 li 内的一点。
2.曲线积分
如果（1）式的极限存在，则把该极限称之为数
量场u(x, y, z) 在曲L线 上对弧长的曲线积分，记 作
y
o
x
D
( k ) x y (k ,k , k )
3.曲面积分
(i ,i , i ) 是 曲 面 上 的Si 一 点 ，
若式（2）的极限存在，则称
z
S Si
y
为数量场
u(x, y在, z曲) 面上 x o
的面积曲面积分，也称为第I
D
型曲面积分。记作
( k )x y (k ,k , k )
最后得到：
(Axdydz Aydxdz Azdxdy)
为矢量函数
A(
S
x,
y,
z
)
对坐标的曲面积分，也称为
第II型曲面积分。
在上式中，被积函数 Ax , Ay , Az中的 x, y, z 并不独立， 受曲面 S 的约束。
2.3矢量场的通量与散度
选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面. 选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面. 定向曲面 表示选定了某个侧的定向曲面， 用∑表示选定了某个侧的定向曲面，则选定其相 反侧的定向曲面用∑－表示. 反侧的定向曲面用 －表示 注意： 是不同的曲面. 注意：∑ 与∑－是不同的曲面.
∑
n
∑－
n
1.通量 1.通量
实例: 流向曲面一侧的流量. 实例: 流向曲面一侧的流量. 设 A(x, y, z) = ( P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))表示流体的 流速场， 为场中的一片定向曲面 为场中的一片定向曲面， 流速场，∑为场中的一片定向曲面，欲求单位时间内 流体由曲面负侧经曲面∑流向正侧的流量。 流体由曲面负侧经曲面 流向正侧的流量。 流向正侧的流量 ①分割 把曲面Σ细分成小块 ∆ S 1 , ∆ S 2 , ⋯ , ∆ S n . 把曲面Σ z ∆ S k , 在其 nk Ak 任取一典型的微元 ∆Sk Mk ( xk , yk , zk ) M k ( x k , yk , z k ) ∈ ∆ S k , 上任取一点 曲面Σ 设其面积也记成 ∆ S k , 曲面 Σ • 在点M k 处的单位法向量
n0 (Mk ) = {cos(n, x),cos(n, y),cos(n, z)}
x o
y
单位时间流经曲面微元 ∆ S k 的流量 ∆Φ k 可近似地 看做一细柱体， 看做一细柱体，底面为 ∆ S k ，高为 A( M k ) ⋅ n 0 ( M k ), 故 ∆Φ k = A( M k ) ⋅ n 0 ( M k )∆ S k , ② 求和 单位时间流 的流量： 的流量 经Σ的流量：
1 Φ = ∫∫ A⋅ dS µ(Ω) µ(Ω) ∑
矢量场的散度
A lim Si
lim i di
i 0
i
i 0
i
d i
即
i
A dS
Si
lim (
i 0
A)
i
同理：对 i相邻的体积元 j
j
A dS
S j
lim (
j 0
A
Ax
Ay
Az
2y
x y z
A
2xyax
x2ay
于是体积分
3 21
32
AdV 0 0 0 2ydxdydz 0 0 2ydydz 12
V
z
以上计算表明：散度定理成立。
o
y
例：球面 S 上任意点的位置矢量为
恰好相反，故求和时相互抵消。结果，上式右边 的积分只剩下 i 、 j 外表面上的通量，因 此，当体积 τ 由N 个小体积元组成时，穿出体积 τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。
N
N
i 1
lim (
i 0
A)
i
i 1
A dS
S j
S
3
dS
A
dS endS （1-4-3）
e n 方向的确定：
• dS 是开表面的面元，而开表面的边界为闭合曲线 C，
•选绕定行dCS方是的向闭绕，合行大面方拇的向指面，指元则向，由则d右S 手e的螺n方为旋向该定，闭则也合，即面四的指e外n指法方向线向C方。的向。
(完整版)散度
1.4.3 散度矢量场穿过闭合曲面的通量是一个积分量, 不能反映场域内的每一点的通量特性。
为了研究矢量场在一个点附近的通量特性, 需要引入矢量场的散度。
..1.散度的概念在矢量场F 中的任意点M 处做一个包围改点的任一闭合曲面S, 当S 所限定的体积 以任意方式趋近于0时, 则比值 的极限称为矢量场F 在点M 处的散度,并记作div F , 即V dS F divF S V ∆⋅=⎰→∆lim 0 （1.4.7）由散度的定义可知, div F 表示在点M 出的单位体积内散发出来的矢量F 的通量, 所以div F 描绘了通量源的密度。
若div F>0,则该点有发出矢量线的正通量源; 若div F<0, 则该点有汇聚矢量线的负通量源,;若div F=0, 则该点无通量源,如图1.4.1所示。
2..散度的计算式根据散度的定义, div F 与体积源 的形状无关, 只有在取极限的过程中, 所有尺寸都趋于0即可。
在直角坐标系中, 以点M(x,y,z)为顶点做一个很小的直角六面体, 个边的长度分别为 、 、,各面分别与坐标面平行, 如图1.4.5所示。
适量场F 穿出该六面体的表面S 的通量dSF dS F S ⋅+++++=⋅=ψ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰][下上右左后前 在计算前.后两个面上的积分时y F ,z F 对积分没有贡献, 并且由于六个面均很小, 所以z y z y x x F dS F x ∆∆∆+≈⋅⎰),,(前(a) div F >0 (b) div F<0 (c) div F=0 图1.4.4 散度的意义z y z y x F dS F x ∆∆-≈⋅⎰),,(后根据泰勒定理xx z y x F z y x F x x z y x F x x z y x F z y x F z y x x F xx x x x x ∆∂∂+≈+∆∂∂+∆∂∂+=∆+),,(),,()(),,(21),,(),,(),,(222所以z y x x z y x F z y z y x F dS F x x ∆∆∆∂∂+∆∆≈⋅⎰),,(),,(前于是得到zy x x z y x F dS F x ∆∆∆∂∂≈⋅+⎰⎰),,(][后前同理, 可得z y x y z y x F dS F y ∆∆∆∂∂≈⋅+⎰⎰),,(][右左z y x z z y x F dS F z ∆∆∆∂∂≈⋅+⎰⎰),,(][下上因此, 矢量场F 穿出六个面的表面S 的通量z y x z F y F x F dS F zyS x∆∆∆∂∂+∂∂+∂∂≈⋅=ψ⎰)(根据式（1.4.7）, 得到散度在直角坐标系中的表达式z F y F x F V dS F divF zy x S V ∂∂+∂∂+∂∂=∆⋅=⎰→∆lim 0（1.4.8）利用算符 , 可将div F 表示为FF e F e F e ze y e x e divF z z y y x x z y x ⋅∇=++⋅∂∂+∂∂+∂∂=)()( （1.4.9）类似地, 可推出圆柱坐标系和球坐标系中的散度计算公式, 分别为 zF F F F z ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φρρρρφρ1)(1 （1.4.10） φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇F r F r F r r r F r sin 1)(sin sin 1)(122 （1.4.11）。
1.2矢量场的散度
A dS A cos dS
A
2014-4-11
面元足够小，视其上的A为常数
n
dS
3
• 记作:
d A dS A cos dS
dS
A
矢量场 A 的通量为标量 ,其正、负 与面元 的 en 取向有关。
穿过面积 S 的通量为： 若S为开表面，则穿过曲面 S的通量为：
当作矢量看待
即 divA (ex ey ez ) (ex Ax e y Ay ez Az ) x y z
2014-4-11
divA A
8
１.２.４、高斯散度定理： A dS Ad
• • •
＞0 : S内必有发出通量线的源 ＜ 0 : S内必有吸收通量线的源
0:
S
S内没有净源.
d A dS A en dS
S S
2014-4-11 5
１.２.３、矢量场的散度：（矢量分析中的一个重点）
１、散度的定义：
中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 在场空间 A( r ) 为 ，则定义场矢量 A( r ) 在M 点处的散度为：
Si
2014-4-11
S j
A dS
10
∵ 相邻两个体积元有一个公共表面，而公共 表面上的通量对这两个体积元来说，其 n 方向 恰好相反，故求和时相互抵消。结果，上式右边 的积分只剩下 i 、 j 外表面上的通量，因 此，当体积 τ 由N 个小体积元组成时，穿出体积 τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。
即
2014-4-11
1.2矢量场的散度
解：根据散度定理
9
A dS .
S
Ad
S
A dS
Ax Ay Az 而 A 的散度为 A 3 x y z
4 3 3 A dS Ad 3d 3 R 4R . S 3
A
2019/1/13
面元足够小，视其上的A为常数
n
dS
3
• 记作:
d A dS A cos dS
dS
A
矢量场 A 的通量为标量 ,其正、负 与面元 的 en 取向有关。
穿过面积 S 的通量为： 若S为开表面，则穿过曲面 S的通量为：
S S S S
j A dS lim ( A) j
S j j 0
从 i 、 j 组成的体积中穿出的通量为： i j lim ( A) i lim ( A) j
i 0 j 0
A dS
当作矢量看待
即 divA (ex ey ez ) (ex Ax e y Ay ez Az ) x y z
2019/1/13
divA A
8
１.２.４、高斯散度定理： A dS Ad
＞ 0 : S内必有发出通量线的源 ＜ 0 : S内必有吸收通量线的源
0:
S
S内没有净源.
d A dS A en dS
S S
2019/1/13 5
１.２.３、矢量场的散度：（矢量分析中的一个重点）
１、散度的定义：
在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
9
A dS .
S
Ad
S
A dS
Ax Ay Az 而 A 的散度为 A 3 x y z
4 3 3 A dS Ad 3d 3 R 4R . S 3
A
2019/1/13
面元足够小，视其上的A为常数
n
dS
3
• 记作:
d A dS A cos dS
dS
A
矢量场 A 的通量为标量 ,其正、负 与面元 的 en 取向有关。
穿过面积 S 的通量为： 若S为开表面，则穿过曲面 S的通量为：
S S S S
j A dS lim ( A) j
S j j 0
从 i 、 j 组成的体积中穿出的通量为： i j lim ( A) i lim ( A) j
i 0 j 0
A dS
当作矢量看待
即 divA (ex ey ez ) (ex Ax e y Ay ez Az ) x y z
2019/1/13
divA A
8
１.２.４、高斯散度定理： A dS Ad
＞ 0 : S内必有发出通量线的源 ＜ 0 : S内必有吸收通量线的源
0:
S
S内没有净源.
d A dS A en dS
S S
2019/1/13 5
１.２.３、矢量场的散度：（矢量分析中的一个重点）
１、散度的定义：
在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
三、矢量场的通量及散度
dy dx dz = = Fx Fy Fz
矢量线
2、矢量场的通量 、 为了克服矢量线不能定量描述矢量场的大小的问 题，引入通量的概念。在场区域的某点选取面元，穿 引入通量的概念。在场区域的某点选取面元， 称为矢量场对于面积元的通量。 过该面元矢量线的总数 称为矢量场对于面积元的通量。
在面元dS 的面积分为 矢量 E 在面元
Байду номын сангаас
∫ F⋅ d s
s
Fx(x,y,z+∆z) ∆x c ∆y
∆V → 0
∆V
∆z a
求边长分别为∆x、∆y、∆z 的小平行六面体的 求边长分别为 通量，其体积 通量，其体积∆V=∆x∆y∆z 。 根据泰勒极数可知
∂Fx ( x,y,z) ∆x] e x ∂x ∂Fy ( x,y,z) F y ( x,y + ∆y,z ) ≈ [ Fy ( x,y,z) + ∆y ] e y ∂y ∂F ( x,y,z) Fz ( x,y,z + ∆z ) ≈ [ Fz ( x,y,z) + z ∆z ] e z ∂z Fx ( x + ∆x,y,z) ≈ [ Fx ( x,y,z) +
divC = ∇ ⋅ C = 0(C为常矢量) divCf = C ⋅ ∇f divαF = α∇ ⋅ F (α为常量) divfF = f∇ ⋅ F + F ⋅ ∇f div(F ± G ) = ∇ ⋅ F ± ∇ ⋅ G
6、散度运算的几个基本关系式 • 相对坐标矢量函数 F (r − r ′) • 相对位置矢 量 • 标量场 f (r) 和矢量场 F(r) 之积 f F • R及其模 及其模R 及其模
F线
恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场 时变矢量场F(r , t)。 恒稳矢量场 时变矢量场 矢量场图 -- 矢量线 其方程为
第一章 矢量的通量与散度2
| R | ( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z ' ) 2
第一章 矢量分析
1.4 矢量场的通量与散度
1.4.1 矢量场的矢量线 任意点处矢量的表示方法: 矢量场中任意一点P处的矢量可以用一个矢性函数 A=A(P)来表示。当选定了直角坐标系后，它就可以 表示为： A=A (x, y, z) 利用坐标分量表示法: 设Ax, Ay, Az为矢性函数A在直角坐标系中的三个坐 标分量，且假定它们都具有一阶连续偏导数，则A可 以示为 A = a A (x, y, z) + a A (x, y, z)+ a A (x, y, z)
V 0
d lim V 0 V dV
则在一定体积V内的总的通量为：
பைடு நூலகம்
得证！
V
A(r )dV s A(r ) dS
例如：已知R=ex(x-x’)+ey(y-y’)+ez(z-z’), R=|R| 求矢量
D R R
3
在 | R | 0 处的散度
V 0
lim
V
如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场 A在点P处的散度，记作 A ndS
divA lim
V 0
S
V
散度的物理意义
从点P 单位体积内散发的通量
矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度
第一章 矢量分析
散度的表达式为(直角坐标系)
Ax Ay Az divA x y z
圆柱坐标系
球坐标系
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S
D dS V
V 0
无穷小正六面方体的体积为 d x d y d z , 是三阶无穷小量。而 div D 是有限大小的量，所以 穿出无穷小正六面体表面的通量也是三阶无穷小量。 由于 D 是有限大小的量，无穷小正六面体每一个表 面的面积是二阶无穷小量，所以 D 穿出每一个表面 的通量也是二阶无穷小量。这六份二阶无穷小量的 总和是三阶无穷小量，所以计算它们中的每一份时
2.2 散度在直角坐标系中的表达式
divD lim
S
D dS V
直角坐标下 的无穷小正 六面体
V 0
散度其实也就是通量体密度。以点 A(x，y，z)为中心，作无限小正六 面体积元，其边长分别为dx、dy、 dz，且各自平行于坐标轴。
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6
divD lim
2
例1 三棱柱体放置在如图所示的匀强电场 中。求穿出过此三棱柱体表面的电场强度 通量。 y S P 解
2
Φe Φei
i 1
5
N
S1
o
R
Φe1 Φe2
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x
z
M
Q
3
Φe1 E dS ES1 cos π ES1 s1 Φe2 E dS ES2 cos θ ES1 s2
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圆柱坐标系中
e e e e e z e z e z 0 z z z
e e e e
B z
可以推出
1 ( f ) 1 f f z f z
长为 a 的正方体。试求从正方体内穿出的 f 的净通
量 ，并验证高斯散度定理。 解：先用公式
z
8
S
f d S 计算通量。
O
y
因为 f 只有 x 分量，在正方体的
上、下、左、右四个表面上 f 和 d S
垂直，通量为零 。所以只需考虑
x
穿出前后两个面的通量。
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8
设点A处矢量场为 D ，则其三个分量分别为Dx、Dy、 Dz，沿x、y、z方向上的空间变化率分别为 Dx x , Dy y , Dz z 。左、右两端面中
心点处矢量场沿x方向的分量分别为
Dx dx Dx dx Dx , Dx x 2 x 2
故通过面元dS1的矢量场 D 的通量为
A
1 f (e e ez ) (e f e f ez f z ) z 1 e (e f e f ez f z ) e (e f e f ez f z ) ez (e f e f ez f z ) z
z
S
f dS
S前
f dS
S后
f dS
O
y
3 3 2 x y e x e x dS S前 8 3 3 2 x y e x e x dS S后 8 3 3 2 3 3 2 x y dydz x y dydz S前 8 S后 8 a3 a a3 a 3 2 3 2 a y dy dz 0 y dy dz 0 8 0 0 8 0 1 7 a 8
o
r
y x
ez
M z x
e
eρ
y
A
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z
6. 球坐标系中的散度公式
1 1 er e e r r r sin
M e
o
rz
e e
r
y x
y
f er f r e f e f
Dx Dy Dz divD D x y z 大理大学工程学院 罗凌霄编写
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3.高斯散度定理
从散度的定义出发，可 以得到矢量场穿出任意闭合
V
S
S1 S2
曲面的通量等于该闭合曲面
所包围空间中矢量场的散度 的体积分。
体积的剖分
en2
en1
高斯散度定理也叫做高斯公式，它是闭合曲面积分与体积 分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。
所以
S
பைடு நூலகம்
f d S f dV
V
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z
5. 圆柱坐标系中的散度公式
1 e e ez z
B
r
o
ez
M z x
e
eρ
y
f e f e f ez f z
y x
V 0
这个极限称为矢量场 F 在点 M 的散度（divergence）， 记作div F （读作 F 的散度）。即
div F lim
S
F dS
V 0
div F 0
div F 0
V
正源
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负源
div F 0 无源
5
设有 D 场，在场中作一含有任意点A的任意闭合曲面 S，其体积为V，令曲面S以任意方式围绕点A无限紧缩， 使曲面S所包围的体积 ΔV趋于零，则下述比值的极限 为点A处矢量场 D 的散度,
Dx dx 1 Dx dxdydz Dx dS1 Dx dydz x 2 2 x
通过面元dS2的矢量场 D 的通量为
Dx dx 1 Dx Dx dxdydz dS2 Dx dydz x 2 2 x
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故
divD lim
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V 0
S
D dS V
Dx Dy Dz y z x
10
D ex ey ez ex Dx ey Dy ez Dz y z x Dy Dx Dz ex ex ex ey ex e z x x x Dy Dx Dz ey ex ey ey e y ez y y y Dy Dx Dz ez ex ez ey ez ez z z z Dx Dy Dz x y z
x
1 1 f (er e e ) (er f r e f e f ) r r r sin 1 2 1 1 f 2 (r f r ) (sin f ) r r r sin r sin
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4. 散度的基本运算公式
C 0
( C 为常矢量)
C F C F
(C 为常数)
F G F G
uF (u) F u F
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例2 在 f 3 x3 y 2 e x 的矢量场中，有一个如图所示的边
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x
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z
再用公式
V
f dV 计算通量：
O
y
f x 3 3 2 9 2 2 f x y x y x x 8 8
x
9 2 2 V f dV V 8 x y dxdydz a9 a a 1 7 2 2 x d x y dy dz a 0 8 0 0 8
Fn Fi
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n n F dS F i dS F i dS S S S i 1 i 1
1
=0
S 内无通量源
>0
S 内有发出通 量的源- 正源
<0
S 内有汇集通量的 沟- 负源
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通过微小正面体的左、右两面元dS2与dS1的矢量场的
通量之和为
Dx dxdydz x
同理，上、下两面，前、后两面的通量之和分别为
Dy y dxdydz
Dz dxdydz z
Dx Dy Dz lim D dS dxdydz V 0 S y z x
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f e (e f ) e (e f ) e (e z f z ) 1 1 1 e (e f ) e (e f ) e (ez f z ) ez (e f ) ez (e f ) ez (ez f z ) z z z e f e f ez f z e ( f e ) e ( f e ) e ( f z ez ) f f f 1 e 1 e 1 e e ( f e ) e ( f e ) e ( z f z ez z ) e f e f ez f z ez ( f e ) ez ( f e ) ez ( f z ez ) z z z z z z
Φe Φei 0
i 1
S1
5
y
N
P
S2
o
R
x
4
z
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M
Q
2. 散度(divergence)
2.1 定义 在连续函数的矢量场 F 中，任一点 M 的邻 域内，作一包围该点的任意闭合面 S ，取下列极限