高等数学反例集

例 ： f (x) = x −[x], g(x) = cos x. f (x)以1为周期，g(x)以2π为周期，而f (x) +
g(x) = x −[x] + cos x 却不是周期函数。
3. 有界函数与无界函数之积未必无界。
例 1：f (x) = 0, g(x) = x ，在区间 (−∞, +∞) 内 f (x) 有界，g(x) 无界，而 f (x)g(x) = 0 却在区间 (−∞, +∞) 内有界。 例 2： f (x) = e−x , g(x) = x ，在区间 (0, +∞) 内 f (x) < 1, 而 g(x) 是无界的， f (x)g(x) = xe−x ，因为 lim xe−x = 0 ，从而易见 f (x)g(x) 在区间 (0, +∞) 内是有界的。
⎤ ⎥ ⎦
，使得
f
(xn )
=
a
{ } 显然，对于数列
xn
有
lim
n→∞
xn
=
0, 且 lim n→∞
f
(xn )
=
a,
1)
满足
lim
n→∞
xn
≠ ∞ 的无界数列。
例： xn = [1 + (−1)n ]n 。
对任意正数 M，只要取 N= log 2 M ，当 n = 2k > N 时，就有
xn = [1 + (−1)2k ]2k = 22k > 2log2 M = M ，所以数列 xn 无界。但对 n=2k+1,k=1,2,……
但是 lim f (x) = sin 0 = 0 ≠ 1。 x → x0
上面说明极限的定义是很严谨的，要想掌握好极限概念，有对其定义逐字推敲的必要。
7.
函数
f
(x)
在
x0
点附近有界，但
lim
x → x0
f (x) 不存在。
函数如果在某一点的极限存在，则在该点附近一定有界，但是反之结论不真。
例
⎧− x + 1, 0 < x < 1
f (x) 是非单调函数，但是存在单值反函数；
f
−1 (x)
=
⎧ x, ⎩⎨− x,
x为有理数; x为无理数.
可见函数在区间上上单调只是存在反函数的充分条件，并非必要。
6. 由于使用极限“ ε ─ δ ”定义不准确产生的反例。 函数 f (x) 定义在 (a, b) 上，x0 ∈ (a, b) ，对任给 ε > 0, 存在δ > 0, 当 x − x0 < δ 时，恒
有 f (x) − A < ε ，其中 A 是常数。但是 lim f (x) ≠ A 。 x → x0
例： f (x) = sin x, A = 1
在 x0 = 0 点，对作给 ε > 0, 存在δ > 0, 当 x − x0 < δ 时，总有 f (x) − A = sin x −1 ≤ 0 < ε
f
(
x)
=
⎪ ⎨
0,
x=0
⎪⎩− x −1, −1 < x < 0
在（-1，1）内恒有 f (x) < 1，但是
lim f (x) = 1, lim f (x) = 1
x →0+
x→0−
所以 lim f (x) 不存在。 x→0
8. 函数 f (x) 在 x0 点没有极限，但对任意实数 a ，存在收敛于 x0 的数列 xn ，使得
x→+∞
4. 无界函数之和（差，积，商）未必无界。
例 1： f (x) = 1− 1 , x
g(x) = 1 ，两函数均在区间 (0,1) 内无界，而 f (x) + g(x) = 1却在
x
区间 (0,1) 内有界。
例 2：f (x) = tan x,
g(x)
=
cot
x
，两函数均在区间
⎛ ⎜⎝
0,
π 2
显然，
f (x)
在
⎡1
⎢ ⎣
2k
nπ
,
1 2k n −1π
⎤ ⎥ ⎦
上连续且最大值为
2k π n−1
+
π 2
，最小值为
− (2k π n−1
+
3 2
π
)
。因为
−
2k
π n−1
−
3π 2
<
−2k0π
<
a
<
2k0π
<
2k π n−1
+
π 2
，
所以由连续函数的介值定理知存在
xn
∈
⎡1
⎢ ⎣
2k
nπ
,
1 2k n −1π
+π ,k 2
= 1,2,......,
2
xk
=
1 2kπ + 3π
时，
f (xk ) = −2kπ
− 3π 2
,k
= 1,2,......,
2
故 lim f (x) 不存在。 x→0
而对任何一个实数 a ，总存在正整数 k ，使 2kπ > a 。假定 k0 是使不等式成立的最小
正整数，记 kn = k0 + n, n = 1,2,3,......,
lim
n→∞
f
(xn )
=
a
3
如果函数在某一点的极限存在，那么收敛于这一点的任何一个子序列所对应的函数序 列，必收敛到同一极限。但是一旦极限不存在，收敛于这一点的各子序列所对应的函数序列 就可能出现各种性态。
例： f (x) = 1 sin 1 xx
因为 xk
=
1 2kπ + π
时，
f (xk ) = 2kπ
高等数学部分：
第一章 函数与极限
1. 周期函数未必存在最小正周期。
例 1：常数函数 f (x) = C, 它以任意数为周期，故不存在最小正周期。
例
2：狄利克雷函数
D(
x)
=
⎧1 ⎨
⎩0
x为有理数 x为无理数 ,
它以任意有理数（或无理数）为周期，从而
也没有最小正周期。
2. 周期函数之和未必是周期函数。
⎞ ⎠⎟
பைடு நூலகம்
内无界，而
f
(x)g(x)
=1却
在区间
⎛ ⎜⎝
0,
π 2
⎞ ⎠⎟
内有界。
例 3：f (x) = 1 , x
内有界。
g(x)
=
1 x2
，两函数均在区间 (0,1) 内无界，而
f (x) g(x)
=
x 却在区间 (0,1)
5. 有单值反函数的非单调函数。
2
例：
f
(x)
=
⎧ x, ⎩⎨− x,
x为有理数; x为无理数.
时
x
n
=0，即
x
n
不收敛，所以
lim
n→∞
xn
≠
∞。
2)
数列{xn} ，{yn} ，{zn} 存在关系：
目录
高等数学部分： 第一章 函数与极限……………………………………………………………………… 2 第二章 一元函数的连续性………………………………………………………………11 第三章 一元函数的导数…………………………………………………………………15 第四章 中值定理与导数的应用…………………………………………………………20 第五章 多元函数…………………………………………………………………………28 第六章 积分………………………………………………………………………………40 第七章 级数…………………………………………………………………………‥…48