高一数学直线和平面复习3
2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3
直线与平面垂直的性质基础巩固一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．不确定[答案] C2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1C1，则有( )A．B1B⊥l B．B1B∥lC．B1B与l异面D．B1B与l相交[答案] B[解析] 因为B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，则l∥B1B．3．(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[答案] C4.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC 所在平面，那么( )A．PA＝PB＞PCB．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PA≠PC[答案] C5．(2015·杭州高二检测)如下图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC与BD在β内的射影在同一条直线上D．AC与α、β所成的角相等[答案] D6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案] A[解析] ∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C．又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C．而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB1C．又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C．故选A．二、填空题7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________.[答案] 4[解析] 如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.8．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC 垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号)．(1)直线DE∥平面ABC；(2)直线DE⊥平面VBC；(3)DE⊥VB；(4)DE⊥AB．[答案] (1)(2)(3)三、解答题9．(2013·陕西)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2.证明：A1C⊥平面BB1D1D．[分析] 先把线面垂直转化为线线垂直，再通过计算得出另一组线线垂直，最后可以得到线面垂直．[证明] ∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝2，且AC＝2，∴AC2＝AA21＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C．又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．10．如右图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD．[证明] (1)取CD的中点E，连接EM、EN，则CD⊥EM，且EN∥PD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又AD⊥DC，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE.因此，MN ⊥CD ，而CD ∥AB ， 故MN ⊥AB ．(2)在Rt △PAD 中有PA ＝AD ， 取PD 的中点K ，连接AK ，KN ， 则KN 綊12DC 綊AM ，且AK ⊥PD ．∴四边形AMNK 为平行四边形，从而MN ∥AK. 因此MN ⊥PD ．由(1)知MN ⊥DC ，又PD∩DC＝D ， ∴MN ⊥平面PCD ．能力提升一、选择题1．(2015·深圳高一检测)直线l 垂直于梯形ABCD 的两腰AB 和CD ，直线m 垂直于AD 和BC ，则l 与m 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．不确定[答案] D[解析] ∵AD ∥BC ，∴梯形ABCD 确定一个平面α. ∵l ⊥AB ，l ⊥CD ，AB 和CD 相交． ∴l ⊥α.由于AD ∥BC ，m ⊥AD ，m ⊥BC ， 则m ⊥α或m ∥α或m ⊂α或m 与α相交， 则l ∥m 或l 与m 异面或l 与m 相交．2．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直 B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 C ．β内不一定存在直线与m 平行，必存在直线与m 垂直 D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 [答案] C3．下列命题正确的是( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α.A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②④[答案] A[解析] 由性质定理可得(1)(2)正确．4．(2015·河北衡水中学六模)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是( )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45°[答案] D[解析] A中，△A1BD为等边三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；易知CD1∥BA1，CB1∥DA1，又CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，又BA1∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，利用排除法选D．二、填空题5．三棱锥P－ABC中，O是P在底面内的射影．①若PA＝PB＝PC，则O是△ABC的________心；②若P到△ABC三条边的距离相等，则O是△ABC的________心；③若PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心．[答案] ①外②内③外6．△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为________.[答案] 3 cm[解析] 如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC 的重心为G ，连接CG 并延长交AB 于中点E ， 又设E 、G 在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B′，G′∈C′E′，EE′＝12(A′A＋B′B)＝52，CC′＝4，CG GE ＝21，在直角梯形EE′C′C 中，可求得GG′＝3.三、解答题7．(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C∩BC 1＝E.求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.[答案] (1)详见解析；(2)详见解析．[分析] (1)由三棱锥性质知侧面BB 1C 1C 为平面四边形，因此点E 为B 1C 的中点，从而由三角形中位线性质得DE ∥AC ，再由线面平行判定定理得DE ∥平面AA 1C 1C ．(2)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中BC ＝CC 1，所以侧面BB 1C 1C 为正方形，因此BC 1⊥B 1C ，又AC ⊥BC ，AC ⊥CC 1(可由直三棱柱推导)，因此由线面垂直判定定理得AC ⊥平面BB 1C 1C ，从而AC ⊥BC 1，再由线面垂直判定定理得BC 1⊥平面AB 1C ，进而可得BC 1⊥AB 1.[解析] (1)由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC ． 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C ．(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC ．因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1. 又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1， BC ⊂平面BCC 1B 1，BC∩CC 1＝C ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1，又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以B 1C ⊥AC ．因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C ． 因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC ． 又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.8．(2015·浙江模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC 的值．[解析] (1)证明：设点O 为AC ，BD 的交点． 由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 垂直平分线段AC ． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC ．又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BD ． 又PA∩AC＝A ， 所以BD ⊥平面APC ．(2)连接OG.由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面PAC 所成的角．由题意得OG ＝12PA ＝32.在△ABC 中，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，AO ＝CO ， 所以∠ABO ＝12∠ABC ＝60°，所以AO ＝OC ＝AB·sin60°＝ 3.在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2. 在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433.所以DG 与平面APC 所成角的正切值为433.(3)因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG. 在Rt △PAC 中，PC ＝32＋232＝15.所以GC ＝AC·OC PC ＝2155.从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32.。
空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测
专题32空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α0个在平面内a ⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l 无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)，π2.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．（一）共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(1)证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)证明GE ，FH ，1BB 相交于一点．1-3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体(1)求证：1CE D F DA ，，三线交于点(2)在（1）的结论中，G 是D （二）(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)求异面直线所成角的方法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解题型2：空间位置关系的判断都相交，则直线A ．2GH EF=C ．直线EF ，GH 是异面直线2-3．【多选】（2024·湖北荆门A ．若l αβ= ，A α∈B ．若A ，B ，C 是平面C ．若A α∈且B α∈，则直线D ．若直线a α⊂，直线2-4．（2024·上海长宁·二模）如图，已知正方体则下列命题中假命题为（A ．存在点P ，使得PQ ⊥B ．存在点P ，使得//PQ AC ．直线PQ 始终与直线CC（1）直线AF 与直线DE 相交；（2）直线CH 与直线DE 平行；（3）直线BG 与直线DE 是异面直线；（4）直线CH 与直线BG 成3-2．（2024高三·全国·课后作业）已知正四面体小为．3-3．（2024高三·河北·学业考试）如图直线1A E 与BF 所成角的大小为3-4．（2024高一下·北京·期末）如图，等腰梯形112BC CD DA AB ====，则直线3-5．（2024高三·全国·对口高考）线段AB 的两端分别在直二面角CD αβ--的两个面αβ、内，且与这两个面都成30︒角，则直线AB 与CD 所成的角等于．（三）空间几何体的切割(截面)问题(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．A ．177B ．134-2．（2024·河南·模拟预测）在正方体确的个数为（）①//MN 平面11AAC C ；②MN①异面直线1D D与AF所成角可以为②当G为中点时，存在点③当E，F为中点时，平面④存在点G，使点C与点则上述结论正确的是（A．①③B．②④4-5．（2024·新疆·二模）已知在直三棱柱BC=，432AC=，如图所示，若过的面积为（）（四）等角定理的应用空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．一、单选题-如图所示，则直线PC（）1．（2024高三·北京·学业考试）四棱锥P ABCDA．与直线AD平行B．与直线AD相交C ．与直线BD 平行D ．与直线BD 是异面直线2．（2024·广东）若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与1l ，2l 都相交B ．l 与1l ，2l 都不相交C ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交3．（2024高一·全国·课后作业）若直线l 在平面α外，则l 与平面α的公共点个数为（）A ．0B ．0或1C ．1D ．24．（2024·上海·模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点B5．（2024高二上·四川乐山·期末）若直线l 与平面α有两个公共点，则l 与α的位置关系是（）A ．l ⊂αB ．//l αC ．l 与α相交D ．l α∈6．（2024高二上·上海静安·阶段练习）设A B C D 、、、是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD 的位置关系是（）.A ．相交B ．平行C ．异面D ．无法确定7．（2024高三·全国·专题练习）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A．12对B．24对C．36对D．48对8．（2024高三·全国·专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（）A．18B．21C．24D．279．（2024高一·全国·课后作业）平面α上有三个不共线点到平面β距离相等，则平面α与平面β的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行10．（2024高一·全国·课前预习）下列命题中正确的是（）A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行G N M H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或11．（2024高三·全国·专题练习）如图中,,,,GH MN是异面直线的图形有（）所在棱的中点，则表示直线,A．①③B．②③C．②④D．②③④12．（2024高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l和平面α，若lα∥，Pα∈，则过点P且平行于l的直线（）．A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内13．（2024高三·全国·专题练习）将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是（）A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直14．（2024高三上·吉林长春·期末）如图，在底面为正方形的棱台1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为棱1CC ，1BB ，CF ，AF 的中点，对空间任意两点M 、N ，若线段MN 与线段AE 、1BD 都不相交，则称点M 与点N 可视，下列选项中与点D 可视的为（）A ．1B B ．FC ．HD ．G15．（2024·全国）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π616．（上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段11A C 上的动点，下列与BP 始终异面的是（）A ．1DDB ．AC C ．1AD D ．1B C17．（2024·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱1OO 中，过旋转轴1OO 作圆柱的轴截面ABCD ，其中母线AB =2，E 是弧BC 的中点，F 是AB 的中点，则（）A ．AE =CF ，AC 与EF 是共面直线B ．AE CF ≠，AC 与EF 是共面直线C ．AE =CF ，AC 与EF 是异面直线D ．AE CF ≠，AC 与EF 是异面直线18．（2024高二下·广西桂林·期中）已知直线m ⊂平面α，则“平面α∥平面β”是“m ∥β”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件19．（2024·新疆阿克苏·一模）已知M ，N ，P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，1AA ，1CC 的中点，则平面MNP 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形20．（2023届上海春季高考练习）如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -边11AC 上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面（）A ．1DDB ．AC C ．1AD D ．1B C21．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知空间三条直线,,l m n ，若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（）A ．m 与n 异面B ．m 与n 相交C ．m 与n 平行D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能22．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数为（）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线.②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于、、A B C 三点，则这四条直线共面；③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.A ．0B ．1C ．2D ．323．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（）A ．两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.B ．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.C ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.D ．若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.24．（2024高三·全国·专题练习）给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（）A ．①B ．①④C ．②③D ．③④25．（2024·上海浦东新·一模）已知直线l 与平面α相交，则下列命题中，正确的个数为（）①平面α内的所有直线均与直线l 异面；②平面α内存在与直线l 垂直的直线；③平面α内不存在直线与直线l 平行；④平面α内所有直线均与直线l 相交.A ．1B ．2C ．3D ．426．（2024高一·全国·课后作业）直线l 是平面α外的一条直线，下列条件中可推出//l α的是A ．l 与α内的一条直线不相交B ．l 与α内的两条直线不相交C ．l 与αD ．l 与α内的任意一条直线不相交27．（2024高三下·上海·阶段练习）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为1，点P 、M 、N 分别为棱1AA 、AB 、11A B 的中点，点Q 为线段MN 上的动点．当点Q 由点N 出发向点M 运动的过程中，以下结论中正确的是（）A ．直线1C Q 与直线CP 可能相交B ．直线1C Q 与直线CP 始终异面C ．直线1C Q 与直线CP 可能垂直D ．直线1C Q 与直线BP 不可能垂直28．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是棱11A D ，11D C ，AB 的中点，Q 是线段MN 上的动点，则下列直线中，始终与直线PQ 异面的是（）A ．1AB B ．1BC C ．1CAD ．1DD 29．（2024高一上·全国·专题练习）M ∈l ，N ∈l ，N ∉α，M ∈α，则有A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l 与α相交D ．以上都有可能30．（2024高三上·重庆沙坪坝·期中）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点Р是侧面11ADD A 上的点，且点Р到棱1AA 与到棱AD 的距离均为1，用过点Р且与1BD 垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD 的投影多边形的面积是（）A ．92B ．5C ．132D ．831．（2024高三下·上海闵行·阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，对于如下命题：①异面直线1DD 与1B F ②点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP 的最小值为322；③过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O ．则正确的命题个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．（2024高三·全国·对口高考）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为（）A ．36,66⎡⎤⎣⎦B ．6,26⎡⎣C ．(6D ．(0,36二、多选题33．（2024高一下·辽宁营口·阶段练习）有下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题是（）A ．①B ．②C ．③D ．④34．（2024高一下·江苏苏州·阶段练习）下列命题中错误的是（）A ．空间三点可以确定一个平面B ．三角形一定是平面图形C ．若A ，B ，C ，D 既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D ．四条边都相等的四边形是平面图形35．（2024·河北廊坊·模拟预测）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有（）A ．平行于同一条直线的两条直线必平行B ．垂直于同一条直线的两条直线必平行C ．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补D ．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补36．（2024高一下·陕西西安·期中）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则下列四个结论正确的是（）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与1MB 是异面直线D ．直线AM 与1DD 是异面直线37．（2024高一·全国·课后作业）下列结论中正确的是（）A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．若点A 既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b ，且点A 在b 上D ．任意两条直线不能确定一个平面38．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设P ，Q 分别为11A B ，1DD 的中点，则过点P ，Q 的平面α截正方体所得截面的形状可能为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形39．（2024高一下·湖北武汉·期末）当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成（）部分．A ．5B ．6C ．7D ．840．（2024高三下·山东日照·阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（）A ．线段11B D 上存在点E 、F 使得//AE BF B ．//EF 平面ABCDC ．AEF △的面积与BEF △的面积相等D ．三棱锥A -BEF 的体积为定值三、填空题41．（2024高三·全国·专题练习）给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面.其中真命题的序号是.42．（2024高一下·全国·课后作业）已知直线MN ⊥平面α于N ，直线NP MN ⊥，则NP 与平面α的关系是．43．（2024高一·全国·课后作业）如图，把下列图形的点、线、面的关系，用集合的语言表述：（1）；（2）；（3）．44．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若70α=︒，则β=．45．（2024高二下·上海虹口·期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为．46．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是.47．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，（1）直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是；（2）直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是；（3）直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是；（4）直线AB 与直线B 1C 的位置关系是．48．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）设A ∠和B ∠的两边分别平行，若45A ∠=︒，则B ∠的大小为.49．（2024高一·全国·课后作业）“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的条件．50．（2024高一下·全国·课后作业）在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有个.52．（2024高一·全国·单元测试）若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a 与α的位置关系是．53．（2024高二上·上海奉贤·阶段练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是四、解答题54．（2024高一·全国·课后作业）已知：l ⊂α，D α∈，∈A l ，B l ∈，C l ∈，D l ∉．求证：直线,,AD BD CD 共面于α．55．（2024高一·全国·课后作业）如图，ABCD 为空间四边形，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，点G ，H 分别在CD ，AD 上，且13DH AD =，13DG CD =．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：EH ，FG 必相交且交点在直线BD 上．56．（2024高一下·北京·期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且1:1:2CE EC =．(1)试画出过1,,D A E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面α；(2)证明：平面1D AE 与平面ABCD 相交，并指出它们的交线．57．（2024高一·全国·课后作业）如图所示是一个三棱锥，欲过点P 作一个截面，使得截面与底面平行，该怎样在侧面上画出截线？58．（2024高一·全国·课后作业）59．（2024高一下·全国·课后作业）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点.求证:平面ACC 1A 1与平面BEF 相交.60．（2024高一上·安徽亳州·期末）如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：（1）E ，C ，D 1，F 四点共面；（2）CE ，D 1F ，DA 三线共点．61．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别在,,,AB AD BC CD 上，EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线.62．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是AB 和1AA 的中点，求证：四边形1FECD 为平面图形．63．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==.求证：(1)E ､F ､G ､H 四点共面；(2)EG 与HF 的交点在直线AC 上.64．（2024高二·上海·专题练习）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．画出平面11ACC A 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线．65．（2024高一·全国·专题练习）如图，直升机上一点P 在地面α上的正射影是点A (即PA ⊥α)，从点P 看地平面上一物体B (不同于A )，直线PB 垂直于飞机玻璃窗所在的平面β．求证：平面β必与平面α相交．66．（2024高一·全国·专题练习）如图，已知平面,αβ，且l αβ= ，设在梯形ABCD 中，AD BC ∕∕，且,AB CD αβ⊂⊂.求证：,,AB CD l 共点．67．（2024高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1,AB AA 上的点，且12,2A F FA BE AE ==.(1)证明：1,,,E C D F 四点共面；(2)设1D F CE O ⋂=，证明：A ，O ，D 三点共线.68．（2024高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线a b ∥，直线l 与a ，b 都相交，求证：过a ，b ，l 有且只有一个平面；（2）如图，在空间四边形ABCD 中，H ，G 分别是AD ，CD 的中点，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，且13CF AE FB EB ==.求证：直线EH ，BD ，FG 相交于一点.。
第03讲 空间直线、平面的平行 (精讲)(原卷版)-2023年高考数学一轮复习
第03讲空间直线、平面的平行(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定角度2：直线与平面平行的性质题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定角度2：平面与平面平行的性质题型三：平行关系的综合应用第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：直线与平面平行1、直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.2、直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述： a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭3、直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：a α，a β⊂，b αβ=⇒a b知识点二：平面与平面平行1、平面与平面平行的定义两个平面没有公共点2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.符号表述：βαααββ////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b a3、平面与平面平行的性质定理3.1性质定理两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.符号语言3.2性质 ////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面符号语言：,a a αβαβ⊂⇒1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．（1）若平面//α平面β，l ⊂平面β，m ⊂平面α，则lm ．( )（2）夹在两平行平面之间的平行线段相等．( )2．（2022·全国·高一课时练习）已知长方体ABCD A B C D ''''-，平面α平面ABCD EF =，平面α平面A B C D E F ''''''=，则EF 与E F ''的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．不确定3．（2022·全国·高一课时练习）在正方体1111F EFG E G H H -中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A ．平面11E FG 与平面1EGHB ．平面1FHG 与平面11F H GC ．平面11F H H 与平面1FHED ．平面11E HG 与平面1EH G4．（2022·全国·高一课时练习）若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A ．一定平行B ．一定相交C ．平行或相交D ．以上判断都不对5．（2022·全国·高一课时练习）直线//a 平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( )A ．至少有一条B ．至多有一条C ．有且只有一条D ．没有6．（2022·全国·高二课时练习）若平面//α平面β，直线a α⊂，则a与β的位置关系是____________．题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，2AC =，3BC =4AB =，12AA =，点D 是AB 的中点(1)求证：1//AC 平面1CDB ；(2)求直线1AC 与直线1CB 所成角的余弦值．例题2．（2022·四川凉山·高一期末（文））已知直三棱柱ABC A B C '''-中，AA C C ''为正方形，P ，O 分别为AC '，BC 的中点．(1)证明：PO ∥平面ABB A ''；(2)若ABC 是边长为2正三角形，求四面体B AOC '-的体积．.题型归类练1．（2022·四川成都·高一期末（理））在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面PAB ，点E ，F 分别在线段CB ，AP 上，且CE EB =，=AF FP ．(1)求证：//EF 平面PCD ；2．（2022·重庆市第七中学校高一期末）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，E 为线段11B C 的中点，F 为正方形11ACC A 对角线的交点．(1)求证：EF ∥面1B AC ；(2)求三棱锥111C B A C -的体积．3．（2022·河北石家庄·高一期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==90ACB ∠=︒．12AA =，D 为AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1B CD ；(2)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．4．（2022·四川南充·高二期末（文））如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，PD 的中点，且2PA AD ==．(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求三棱锥C PEF -的体积．角度2：直线与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD 为长方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，4=AD ，点E 、F 分别为AD 、PC 的中点．设平面PDC 平面PBE l =．(1)证明：//DF 平面PBE ；(2)证明：//DF l ；(3)求三棱锥P BDE -的体积．例题2．（2022·吉林·双辽市第一中学高三期末（文））如图，三棱锥P ABC -中，AC ，BC ，PC 两两垂直，AC BC =，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，ABC 的面积为8，四棱锥P ABFE -的体积为4.（1）若平面PEF 平面=PAB l ，求证：//EF l ；（2）求三棱锥P ABC -的表面积.题型归类练 1．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，AC 和BD 相交于点N ，面PAC ⊥面ABCD ，22BC AD ==，1CD =，6PA PC ==．(1)在线段PD 上确定一点M ，使得PB ∥面ACM ，求此时PM MD的值；2．（2022·安徽池州·高一期末）在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，BC ⊥平面VAB ，VA VB ⊥，设平面VAB 与平面VCD 的公共直线为l .(1)写出图中与l 平行的直线，并证明；3．（2022·全国·高三专题练习）刍（ch ú）甍（m éng ）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为长方形，//EF 平面ABCD ，ADE 和BCF △是全等的等边三角形.求证：EF∥DC ；4．（2022·全国·模拟预测（理））如图1，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，2BC DE EC ==，将DAE △沿AE 进行翻折，翻折后D 点到达P 点位置，且满足平面PAE ⊥平面ABCE ，如图2．(1)若点F 在棱PA 上，且EF ∥平面PBC ，求PF PA；5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB △为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且//SD 平面GAC .求证：G 为SB 的中点题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·北京延庆·高一期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别是1,A D BD 的中点.(1)求证：平面1A BD平面11CB D ； (2)求证：EF 平面11DCC D ；(3)求三棱锥1A BDA -的体积.例题2．（2022·山东山东·高一期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，12BC BB ==，点E ，F 分别为边1AA ，1DD 的中点.(1)求三棱锥1E A BC -的体积；(2)证明：平面1CFA ∥平面BDE .例题3．（2022·福建省福州第一中学高一期末）如图①，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -木块中，E 是1CC 的中点.(1)求四棱锥11E ABC D -的体积；(2)要经过点A 将该木块锯开，使截面平行于平面1BD E ，在该木块的表面应该怎样画线？（请在图②中作图，并写出画法，不必说明理由）.题型归类练1．（2022·甘肃武威·高一期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为线段1AC ，11A C 的中点．(1)求证：//EF 平面11BCC B ．(2)在线段1BC 上是否存在一点G ，使平面//EFG 平面11?ABB A 请说明理由．2．（2022·河南·模拟预测（文））如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是正方形，E ，F ，G 分别是棱1BB ，11B C ，1CC 的中点.(1)证明：平面1//A EF 平面1AD G ；(2)若点1A 在底面ABCD 的投影是四边形ABCD 的中心，124A A AB ==，求三棱锥11A AD G -的体积.3．（2022·湖南衡阳·高一期末）如图：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为2，E ，F 分别为DD 1，BB 1的中点.(1)求证：CF //平面A 1EC 1；(2)过点D 做正方体截面使其与平面A 1EC 1平行，请给以证明并求出该截面的面积.角度2：平面与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱111ABC A B C -中，（1）若,,,E F G H 分别是1111,,,AB AC A B A C 的中点，求证：平面1EFA //平面BCHG . （2）若点1,D D 分别是11,AC A C 上的点，且平面1//BC D 平面11AB D ，试求AD DC的值．例题2．（2022·辽宁锦州·高一期末）如图，已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，且4PA PB ==，2AB =，3AD =，O 为棱AB 的中点，点E 在棱AD上，且13AE AD =．(1)证明：CE PE ⊥；(2)在棱PB 上是否存在一点F 使OF ∥平面PEC ？若存在，请指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．题型归类练1．（2022·江苏·高一课时练习）在三棱柱111ABC A B C -中，点D 、1D 分别是AC 、11A C 上的点，且平面1//BC D 平面11AB D ，试求AD DC的值.2．（2022·河北省唐县第一中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF //CE ，BF ⊥BC ，BF ＜CE ，BF =2，AB =1，AD 5(1)求证：BC ⊥AF ；(2)求证：AF //平面DCE ；3．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，2PA PD ==，4AB =，1DC =，22AD BC ==(1)求四棱锥P ABCD -的体积；(2)在线段PA 上是否存在点M ，使得∥DM 平面PBC ？若存在，求PM AM的值；若不存在，请说明理由．4．（2022·河北·张北县第一中学高一阶段练习）如图所示正四棱锥S ABCD -，2,2SA SB SC SD AB =====P 为侧棱SD 上的点．且3SP PD =，求：(1)正四棱锥S ABCD -的表面积；(2)侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由．题型三：平行关系的综合应用典型例题例题1．（2022·江苏·高一课时练习）下列四个正方体中，A 、B 、C 为所在棱的中点，则能得出平面//ABC 平面DEF 的是（ ）A ．B ．C ．D ．例题2．（2022·安徽师范大学附属中学高一期中）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F ､分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面四边形11BCC B 内（不含边界）一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值是___________.例题3．（2022·江苏省姜堰第二中学高一阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11ADD A （包括边界）内运动，且//BP平面AMN ，则1PA 的长度范围为___．题型归类练1．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E F ､分别是棱1AA ､11A D 的中点，点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（ ）A ．2B 5C 6D ．222．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高二期末）在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，N 为BC 的中点．当点M 在平面DCC 1D 1内运动时，有MN //平面A 1BD 则线段MN 的最小值为（ ）A ．1B 6C 2D 33．（2022·湖南·株洲二中高一期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11(BCC B 包括边界)内运动．若1PA ∥平面AMN ，则1PA 的最小值是（ ）A ．1B 5C 32D 64．（2022·北京通州·高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，F 为正方体棱的中点，则满足条件直线//EF 平面1ACD 的点F 的个数是___________.5．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，E 为AD 的中点，F 在PA 上，AP =λAF ，若PC //平面BEF ，则λ的值为_________.6．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））在正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为11A B ，11B C ，11C A 的中点，2AB =，M 为BD 的中点，则下列说法正确的是______．①AF ，BE 为异面直线；②EM ∥平面ADF ；③若BE CF ⊥，则12AA =④若60BEC ∠=︒，则直线1A C 与平面11BCC B 所成的角为45°．1．（2022·全国·模拟预测（理））已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A ．26B ．27C ．42D ．62．（2022·全国·高考真题）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC⊥，E 是PB 的中点．OE平面PAC；(1)证明：//3．（2022·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，EAB FBC GCD HDA 包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，,,,均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．EF平面ABCD；(1)证明：//(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．4．（2022·宁夏中卫·三模（理））如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ，将AED 沿DE 翻折到A ED '，使A E BE '⊥，如图2．(1)求三棱锥C A BD -'的体积；(2)在线段A D '上是否存在一点F ，使EF ∥平面A BC '？若存在，求DFFA '的值；若不存在，说明理由．。
高一数学复习考点知识专题讲解3----直线的点斜式方程
高一数学复习考点知识专题讲解直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．知识点直线的点斜式方程和斜截式方程类别点斜式斜截式适用范围斜率存在已知条件点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b图示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距思考1经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线能否用点斜式方程来表示？答案不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0.思考2直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2平行、垂直的条件？答案(1)l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1.思考3直线在y轴上的截距是距离吗？答案不是，距离和截距是两个不同的概念，距离非负，而截距是一个数值．1．直线的点斜式方程也可写成y －y 0x －x 0＝k ( × )2．y 轴所在直线方程为x ＝0.( √ )3．直线y －3＝k (x ＋1)恒过定点(－1,3)．( √ ) 4．直线y ＝2x －3在y 轴上的截距为3.( × )一、求直线的点斜式方程例1 已知在第一象限的△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，求： (1)AB 边所在直线的方程； (2)AC 边与BC 边所在直线的方程． 解 (1)如图所示，因为A (1,1)，B (5,1)，所以AB ∥x 轴， 所以AB 边所在直线的方程为y ＝1. (2)因为∠A ＝60°， 所以k AC ＝tan 60°＝3，所以直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)． 因为∠B ＝45°，所以k BC ＝tan 135°＝－1，所以直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)． 反思感悟 求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0，y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －x 0)． (2)点斜式方程y －y 0＝k ·(x －x 0)可表示过点P (x 0，y 0)的所有直线，但x ＝x 0除外． 跟踪训练1 求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P (4，－2)，倾斜角为150°； (2)过两点A (1,3)，B (2,5)．解 (1)∵α＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33， ∴直线的点斜式方程为y ＋2＝－33(x －4)． (2)∵k ＝5－32－1＝2，∴直线的点斜式方程为y －3＝2(x －1)． 二、直线的斜截式方程例2 已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．解 由斜截式方程知，直线l 1的斜率k 1＝－2， 又因为l ∥l 1，所以k l ＝－2.由题意知，l 2在y 轴上的截距为－2， 所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2. 由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2. 延伸探究本例中若将“直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”，求l 的方程．解∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12.∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数， 直线l 2：y ＝4x －2， ∴l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2.反思感悟 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 跟踪训练2 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5.解 (1)y ＝2x ＋5.(2)∵α＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33，∴y ＝－33x －2. (3)∵y ＝－3x ＋1的倾斜角为120°， ∴所求直线的倾斜角为α＝120°×14＝30°，∴k ＝tan 30°＝33，∴y ＝33x －5.点斜式方程和斜截式方程的应用典例 (1) 求证：不论a 为何值，直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )恒过定点； (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ (1)证明 将直线方程变形为y －2＝a (x －3)， 由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)． (2)解 由题意可知，1l k ＝2a －1，2l k ＝4， ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．[素养提升](1)直线过定点问题可以结合直线方程的点斜式的意义结合图形探求和证明．(2)在斜截式形式下判断两条直线平行和垂直，要能从斜截式中找出斜率和截距，突出考查直观想象和数学运算的核心素养．1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( ) A ．x ＝3 B ．y ＝－5 C ．2y ＝x D ．x ＝4y －1 答案 B2．方程y ＝k (x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 答案 C解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴． 3．已知直线l 的方程为y ＋274＝94(x －1)，则l 在y 轴上的截距为( ) A ．9 B ．－9 C.274 D ．－274答案 B解析 由y ＋274＝94(x －1)，得y ＝94x －9，∴l 在y 轴上的截距为－9.4．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( ) A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－3x －2 D ．y ＝3x －2答案 D解析∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝3，∴直线l的方程为y＝3x－2.5．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案 B解析∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.1．知识清单：(1)直线的点斜式方程．(2)直线的斜截式方程．2．方法归纳：待定系数法、数形结合思想．3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案 C解析 由y ＋2＝－x －1，得y ＋2＝－(x ＋1)，所以直线的斜率为－1，过点(－1，－2)． 2．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( ) A ．60°，2 B ．120°，2－ 3 C ．60°，2－3D ．120°，2 答案 B解析 该直线的斜率为－3，当x ＝0时，y ＝2－3， ∴其倾斜角为120°，在y 轴上的截距为2－ 3.3．与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( )A ．y －3＝－32(x ＋4)B ．y ＋3＝32(x －4)C ．y －3＝32(x ＋4)D ．y ＋3＝－32(x －4)答案 C4．过点(－1,3)且平行于直线y ＝12(x ＋3)的直线方程为( )A ．y ＋3＝12(x ＋1)B ．y ＋3＝12(x －1)C ．y －3＝12(x ＋1)D ．y －3＝12(x －1)答案 C解析 由直线y ＝12(x ＋3)，得所求直线的斜率为12，其方程为y －3＝12(x ＋1)，故选C.5．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( ) A ．y ＝12x ＋4 B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4答案 D解析 由题意可设所求直线方程为y ＝kx ＋4，又由2k ＝－1，得k ＝－12，∴所求直线方程为y ＝－12x ＋4.6．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________． 答案 y ＝3x －6或y ＝－3x －6 解析 因为直线与y 轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为3或－3， 又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6. 7．不管k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋3必过定点________． 答案 (2,3)解析 化为点斜式y －3＝k (x －2)．8．已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1)，若l 在y 轴上的截距为7，则m ＝________. 答案 4解析 直线l 的方程可化为y ＝(m －1)x ＋2m －1， ∴2m －1＝7，得m ＝4. 9．求满足下列条件的m 的值．(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行； (2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直． 解 (1)∵l 1∥l 2，∴两直线斜率相等． ∴m 2－2＝－1且2m ≠1，∴m ＝±1. (2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝12，∴m ＝34.10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，直线l 与x 轴交点坐标为(a ，0)，且a 比直线在y 轴上的截距大1，求直线l 的斜截式方程． 解 由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，由32x ＋b ＝0得a ＝－23b ，在y 轴上的截距为b ， 所以－23b －b ＝1，b ＝－35，所以直线l 的斜截式方程为y ＝32x －35.11．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1答案 A解析 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.12．直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )答案 D解析 对于A ，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于B ，由l 1得a <0，b >0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于C ，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a <0，b >0，矛盾；对于D ，由l 1得a >0，b >0，而由l 2得a >0，b >0.故选D.13．直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，则斜率k 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 当k ＝0时，直线y ＝2不过第三象限； 当k >0时，直线过第三象限； 当k <0时，直线不过第三象限．14．将直线y ＝x ＋3－1绕其上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是________________． 答案 y －3＝3(x －1)解析 由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°. ∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°， ∴所求直线的斜率为 3. 又∵直线过点(1，3)，∴由直线的点斜式方程可得y －3＝3(x －1)．15．(多选)若AC ＜0，BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 ABD解析 将Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式为y ＝－A B x －C B ，∵AC ＜0，BC ＜0，∴AB ＞0，∴k ＜0，b ＞0. 故直线通过第一、二、四象限．16．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程． 解 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx －2k ＋2.11 / 11 令y ＝0得，x ＝2k －2k， 由三角形的面积为2，得12×⎪⎪⎪⎪2k －2k ×2＝2. 解得k ＝12. 可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)， 综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)．。
高一数学立体几何讲义
I. 基础知识要点一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将空间分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线——共面有且仅有一个公共点；平行直线——共面没有公共点；异面直线——不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[) 180,0∈θ） （直线与直线所成角(] 90,0∈θ）（斜线与平面成角() 90,0∈θ）（直线与平面所成角[] 90,0∈θ） 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线）②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） 12方向相同12方向不相同③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.P OA a P αβ推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.五、 棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥： [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. 附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 侧面积公式S 直棱柱侧＝ch ( c －底面周长，h －高 )S 正棱锥侧＝1/2 ch ( c －底面周长，h －斜高 )S 正棱台侧＝1/2 (c ＋c')h (c ，c'－上、下底面周长，h －斜高)S 圆柱侧＝cl ＝2πrl (c －底面周长，l －母线长 ，r －底面半径) S 圆锥侧＝1/2cl ＝πrl (c －底面周长，l －母线长 ，r －底面半径) S 圆台侧＝1/2(c ＋c')l ＝π(r ＋r')l(c ，c' －上、下底面周长，r ，r －上、下底面半径)体积公式V 柱体＝Sh ( S －底面积，h －高 )V 椎体=1/3Sh ( S －底面积，h －高 )()h ss s s V '31'++=台体 (S ，S －上下底面积，h －高 ) 3R 34π=球V (R 为球的半径) 24R S π=球。
高一数学前3章知识点汇总
高一数学前3章知识点汇总一、直线与平面上的点1. 平面直角坐标系- 坐标轴的确定- 点的坐标表示- 坐标系的象限和轴线2. 有序对- 有序对的概念与表示- 有序对的相等与顺序3. 直线的斜率- 直线斜率的定义- 斜率计算公式- 斜率存在与直线的性质4. 直线的截距式方程- 直线的截距与截距式方程的定义- 直线截距式方程的表示与计算- 通过斜率和截距求直线方程的过程5. 直角坐标系中点、线段的坐标表示- 点、线段的坐标表示方法- 确定点和线段位置的条件- 点、线段的长度与中点的关系二、直线的方程1. 一次函数与直线- 一次函数的定义- 一次函数图象的性质- 直线方程与一次函数的关系2. 斜截式方程与点斜式方程- 直线的斜截式方程的定义和表示- 直线的点斜式方程的定义和表示- 通过直线上的两点求直线方程的过程3. 两直线的位置关系- 平行线和垂直线的定义- 平行线和垂直线的判定条件- 直线方程确定平行线和垂直线的过程4. 直线的倾斜角- 倾斜角的定义- 斜率和倾斜角的关系- 通过斜率求直线倾斜角的过程5. 方程组的解与图象- 方程组的解的定义和表示- 方程组解的个数与图象的关系- 方程组的解的几何意义三、平面与几何体1. 向量的定义与表示- 向量的定义和表示方法- 向量与有向线段的关系- 坐标表示与向量的数量关系2. 向量的运算- 向量的和与差的定义和计算- 向量的数乘与向量的倍数- 向量的共线与平行判定条件3. 空间坐标系与向量的坐标表示- 空间直角坐标系的确定- 向量的坐标表示和坐标运算- 点的坐标和向量的关系4. 点、线、面的位置关系- 点、线、面所在的相对位置- 点在直线和平面上的判定条件- 直线与平面的位置关系判定条件5. 等腰三角形与正方体- 等腰三角形的定义和性质- 正方体的定义和性质- 球的定义和计算以上是高一数学前3章的知识点汇总，希望对你的学习有所帮助。
高一数学 空间中的平行关系
济南市长清第一中学
考点二 平面与平面平行的判定与性质
1、设直线l，m，平面α，β，下列条件能得 出α∥β的有( )
①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β； ②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β； ③l∥α，m∥β，且l∥m； ④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β. A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
高中数学一年级
空间中的平行关系复习课
目录
1 知识回顾 2 考点一 直线与平面平行的判定与性质 3 考点二 平面与平面平行的判定与性质 4 考点三 线面、面面平行的综合应用
知识回顾：
一、直线与直线平行
1、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。
2、判定直线与直线平行的常用方法： （1）三角形中利用中位线定理 （2）构造平行四边形 （3）平行线的传递性 （4）平行线分线段成比例
故面GFH∥面ACD
方法二 取BE的中点M,连接GM,FM
G, M , F分别是CE, BE, AE的中点
GM // BC, FM // AB
又 GM 面GMF , FM 面GMF , AB 面ABC, BC 面ABC
GM FM M, AB BC B 面GMF // 面ABC
GF 面GMF
GF // 面ABC
考点一 直线与平面平行的判定与性质
1.“直线与平面内无数条直线平行”是“直线//平面”
的（ ）
A． 充要条件
B． 充分不必要条件
C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
答案：C
2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平 面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G， 过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：
高一数学前面3章知识点
高一数学前面3章知识点高一数学前三章知识点第一章：直线与平面的位置关系一、知识点概述直线与平面的位置关系是高中数学中的重要基础知识，涉及到各种几何图形的相互关系和性质。
主要包括直线与平面的交点、直线与平面的夹角、直线与平面的垂直关系等。
二、直线与平面的交点1. 直线与平面的交点可以是零个、一个或无穷多个。
2. 直线与平面的交点的个数与直线与平面的位置关系有关，可以通过解方程或画图的方法来判断。
三、直线与平面的夹角1. 直线与平面的夹角是指直线与平面的某个交点处的夹角。
2. 直线与平面的夹角可以分为锐角、直角、钝角或平行四边形角四种情况。
3. 利用向量的内积可以求直线与平面的夹角。
四、直线与平面的垂直关系1. 直线与平面垂直的条件是直线上的任意一向量与平面上的任意一法向量的数量积为零。
2. 可以通过给定直线的方向向量和平面上的法向量，利用数量积的性质来判断直线与平面是否垂直。
第二章：集合与函数一、知识点概述集合与函数是数学中非常基础的概念，贯穿于高中数学的各个内容领域。
集合是具有某种特定性质的事物的总体，而函数则描述了两个集合之间的对应关系。
二、集合1. 集合是由一些确定的对象所组成的整体。
2. 集合的元素是指组成集合的对象。
3. 集合可以用集合内元素的列表、描述性的句子或特定符号来表示。
三、集合的运算1. 交集：两个集合中共有的元素组成的新集合。
2. 并集：两个集合中的所有元素组成的新集合。
3. 差集：从一个集合中去除另一个集合中的元素所得到的新集合。
4. 补集：相对于某个给定集合而言，所有不属于该集合的元素组成的新集合。
四、函数1. 函数是两个集合之间的一种对应关系。
2. 函数可以通过一个公式、一个图像或者一个描述性的句子来表示。
3. 函数的定义域和值域分别表示函数自变量和函数因变量的取值范围。
第三章：一元二次函数一、知识点概述一元二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是中学数学的进阶部分。
它的图像是一条抛物线，具有很多重要的性质和特点。
高一数学直线和平面的位置关系知识点直线和平面的位置关系
《高一数学直线和平面的位置关系知识点:直线和平面的位置关系》摘要：直线和平面的位置关系是平面立体几何中的重要知识点，需要大家有一定的空间想象能力，要熟练掌握，直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行，直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行直线和平面的位置关系是平面立体几何中的重要知识点，需要大家有一定的空间想象能力，要熟练掌握。
以下是小编为您整理的关于高一数学直线和平面的位置关系总结的相关资料，希望对您有所帮助。
直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内有无数个公共点②直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系
高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系高一数学怎么学?减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;今天小编在这给大家整理了高一数学知识点总结，接下来随着小编一起来看看吧!高一数学知识点总结(一)空间点、直线、平面之间的位置关系以下知识点需要我们去理解，记忆。
1、数学所说的直线是无限延伸的，没有起点，也没有终点。
2、数学所说的平面是无限延伸的，没有起始线，也没有终点线。
3、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
4、过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
5、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一个过该点的公共直线。
6、平行于同一条直线的两条直线平行。
7、直线在平面内，因为直线上有无数多个点，平面上也有无数多个点，因此用子集的符号表示直线在平面内。
8、直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系是本节课的重点和难点。
9、做位置关系的题目，可以借助实物，直观理解。
一、直线与方程考试内容及考试要求考试内容：1.直线的倾斜角和斜率;直线方程的点斜式和两点式;直线方程的一般式;2.两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离;考试要求：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
高一数学知识点总结(二)直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：(4)平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中。
高一数学直线与平面平行的判定与性质知识点复习
高一数学直线与平面平行的判定与性质知识点复
习
1.直线与平面平行的判定定理
符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.
[提醒]在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误.
2.直线与平面平行的性质定理
自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简称：线面平行，则线线平行.
符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b.
[提醒]一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面.
证明直线与平面平行，一般有以下几种方法
(1)若用定义直接判定，一般用反证法;
(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程;
(3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.看过"高一数学直线与平面平行的判定与性质知识点复习"的还看了:。
《直线与平面所成角复习课——线面角的三种常见求法》教案-最新教学文档
直线与平面所成角复习课（2）——线面角的三种常见求法一、教学内容解析新课标立体几何内容较大纲教材变化大，三垂线及其逆定理作为阅读教材，对于有关线、面的垂直的求解方式方法带来很大的改变，对求解二面角及线面角的方式方法也带来很大的改变。
对我校大部分学生而言，二面角求解要求属于了解层次，斜线与平面角所成的角属于理解与掌握层次，“求解线面角”变成我校学生学习立体几何有关角的计算最难的一个问题。
特别是教材中对线在平面上的射影这一概念比较弱化，点面距离的概念在教材中已经退化，我校学生学习线面角主要方法就是定义法。
那如何化解难点，使学生能够有条不紊的找出线面角并求解，成为这堂课的重中之重。
二、教学目标设置1、知识与技能：正确认识直线与平面所成角的概念，能够利用面面垂直的性质找出已知平面的垂线从而找出线面角，能够利用向量法和等体积法帮助求解线面角。
2、过程与方法：（1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。
（2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线角的转化过程中，体现出转化的思想方法。
（3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。
3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和数学应用意识，提高学习数学的兴趣。
三、学生学情分析我班学生“偏文”，尤其是女生的空间想象能力很弱，拿到立体几何题恨不得道道用向量法求解，因而忽视了定义法的重要性。
学生在寻找线面角的过程中往往毫无头绪无从下手，缺少应有的逻辑推理能力和空间想象能力，不喜欢或不擅长添加复杂的辅助线帮助找角和证明。
本节课旨在打开他们的解题思路，将求解过程规范化，有序化，从而能够进一步提高他们求解立体几何有关角的计算能力。
四、教学策略分析由于这是一节复习课，所以我选择在前一节课留给他们一道简单而又经典的线面角问题，让他们自由发挥，各尽所能。
高一数学期末复习直线与平面、平面与平面平行
PRRSP PQSSR RSS高一数学期末复习直线与平面、平面与平面平行一、选择题：1、正方体1AC中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有（B ）A．4条 B.6条 C.8条 D.10条2.下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点中不共面．．．的一个图是 (D )A B C D3.（2005年春季北京，3）下列命题中，正确的是（C）A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行4．对于不重合的两直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是（B）A．如果nmnm,,,αα⊄⊂是异面直线，那行n//aB．如果nmanm,,//,α⊂共面，那么m//nC．如果nmnm,,,αα⊄⊂是异面直线，那么n与a相交D．如果nmanam,,//,//共面，那么m//n5．已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则βα//②若βαγβγα//,,则⊥⊥③若baba//,,,//则βαβα⊂⊂④若baba//,,,//则=⋂=⋂γβγαβα其中正确命题的序号是（ D ）A．①②B．①③C．③④D．①④6.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（D）A.α、β都平行于直线a、bB.α内有三个不共线点到β的距离相等C.a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD.a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β二、填空题：7.在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是__平面ABC、平面ABD______.8.设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=３4，则CS =___68或368__________. 9.（2004年全国Ⅰ，16）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是__①②④________.（写出所有正确结论的编号） 三、解答题：10.如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E =C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .A C 111.如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间.点A 、D ∈α，C 、F∈γ， AC ∩β=B ，DF ∩β=E .（1）求证：BC AB =EFDE； （2）设AF 交β于M ，AC DF ，α与β间距离为h ′，α与γ间距离为h ，当hh '的值是多少时，△BEM 的面积最大?（1）证明：连结BM 、EM 、BE .∵β∥γ，平面ACF 分别交β、γ于BM 、CF ，∴BM ∥CF .∴BC AB =MF AM. 同理，MF AM =EF DE .∴BC AB =EFDE.（2）解：由（1）知BM ∥CF ，∴CF BM =AC AB =h h '.同理，AD ME =hh h '-.∴S BEM ∆=21CF ·AD h h '（1－hh '）sin∠BME . 据题意知，AD 与CF 是异面直线，只是β在α与γ间变化位置.故CF 、AD 是常量，sin∠BME 是AD 与CF 所成角的正弦值，也是常量，令h ′∶h =x .只要考查函数y =x （1－x ）的最值即可，显然当x =21，即hh '= 21时，y =－x 2+x 有最大值. ∴当hh '= 21，即β在α、γ两平面的中间时，S BEM ∆最大. 12．（本小题满分12分）如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC —A 1B 1C 1中AC=3，AB=5，.,4,53cos 1的中点是点AB D AA CAB ==∠（Ⅰ）求证：1BC AC ⊥（Ⅱ）求证：AC 1//平面CDB 1； （Ⅲ）求三棱锥A 1—B 1CD 的体积.19．证明：（Ⅰ）在ABC ∆中由余弦定理得4=BC为直角三角形ABC ∆∴CB AC ⊥∴…………2分又.,1ABC AC ABC CC 面面⊂⊥1CC AC ⊥∴ .11B BCC AC 面⊥∴ B BCC BC 11面又⊂1BC AC ⊥∴…………4分（Ⅱ）连结B 1C 交于BC 1于E ，则E 为BC 1的中点，连结DE则在11//,AC DE ABC 中∆…………6分 又CD B AC CDB DE 111//,面则面⊂…………8分（Ⅲ）在ABC ∆中过C 做.F AB CF 垂足为⊥⊥11A ABB 由面面ABC 知CF ⊥面ABB 1A 1…………10分1111D B A C CD B A V V --=∴而1021452111111=⨯⨯=⋅=∆AA B A S B DA 512543=⨯=⋅=AB BC AC CF8512103111=⨯⨯=∴-CD B A V…………12分。
陕西省高一数学知识点
陕西省高一数学知识点一、直线与平面在高一数学中，学生将学习直线与平面的相关知识。
直线是由无数个点组成的，在平面中的直线可以用方程的形式来表示。
平面则是由无数个直线组成的，可以通过点和法向量确定。
1. 直线的表示方法直线可以用点斜式、两点式、截距式等表示方法。
其中，点斜式为直线上已知一点和直线的斜率，通过斜率公式 y = kx + b 表示直线。
两点式则通过给出直线上的两个点，利用两点间的斜率得到直线的方程。
截距式是指直线与坐标轴的截距之间的关系，如直线与 x 轴的截距为 b，则方程为 y = kx + b。
2. 平面的表示方法平面可以用一般式、点法式等表示方法。
一般式为 Ax + By +Cz + D = 0，其中 ABC 表示平面的法向量，而 D 则为平面的截距。
点法式则给出了平面上的一个点和平面的法向量，通过点乘公式得到平面的方程。
二、函数与方程高一数学的另一个重要知识点是函数与方程。
函数可以看作是关系的一种特殊表示形式，可以通过自变量与因变量之间的关系来定义。
1. 函数的定义与性质函数可以用多种方式来表示，常见的有显式函数、隐式函数、参数方程等。
显式函数是指函数直接将自变量表示为因变量的关系，例如 y = f(x)。
隐式函数则没有直接解出因变量的表达式，需要通过方程进行间接求解。
参数方程是指将自变量表示为参数的形式，通过参数的取值来确定因变量。
函数具有诸多性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
通过研究函数的性质，可以揭示函数的特点与变化规律。
2. 方程的解与性质方程是数学中研究未知数与已知数之间关系的一种表达形式。
通过解方程，可以求出未知数的值。
方程的解可以是实数解、复数解、整数解等。
方程也具有一些性质，如根与系数间的关系、次数与解的关系等。
解方程可以运用一系列的变换和定理，如置换法、根的性质、因式分解等。
三、数列与数列的应用数列是高一数学中的重要内容，是有序数的一个集合，数列的每一个元素称为项。
高一数学讲义 第八章 空间直线与平面
高一数学讲义 第八章 空间直线与平面8．1平面及其基本性质几何里的平面与直线一样，是无限延伸的，我们不能把一个无限延伸的平面在纸上表现出来，通常用平面的一部分表示平面．例如，我们常用平行四边形表示平面（图8-1）．但我们要把它想象成无限延展的．通常我们用一个希腊字母如：αβγ、、…来表示平面，也可以用表示平面的平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面AC ．DCBAβα图81平面的基本性质公理l 如果一条直线上有两个点在同一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上（即直线在平面上）．公理2 如果两个平面存在一个公共点，那么它们所有公共点的集合是一条直线．公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面（即经过不在同一直线上三点有且仅有一个平面）． 在上述公理的基础上，可以得到以下三个推论： 推论1 一条直线和直线外一点确定一个平面．证明：如图8-2，在直线l 上任取两个点A B 、，则A B C 、、是不在同一直线上的三点，由公理3可知，经过此三点的平面有且仅有1个，设为平面α，则A B ∈、平面α，又A B 、在直线l 上，由公理1可知直线l 在平面α上．即经过直线l 和直线外一点的平面有且仅有一个．图82推论2 两条相交直线确定一个平面． 推论3 两条平行直线确定一个平面．例1．如图8-3，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别是棱1AA 、1CC 的中点．试画出过点1D E F 、、三点的截面．B 1C 1D 1A 1EHF GDCB A 图83解：连1D F 并延长1D F 与DC 的延长线交于点H ，联结1D E 并延长与DA 的延长线交于点G ，联结GH 与AB BC 、两条棱交于点B ，联结BE BF 、，则1BED F 就是过点1D E F 、、三点的截面．例2．如图8-4，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为1CC 和1AA 上的中点，画出平面1BED F 与平面ABCD 的交线．PF C E A DB A 1B 1D 1C 1图84解：在平面11AA D D 内，延长1D F ，1D F 与DA 不平行，因此1D F 与DA 必相交于一点，设为P ，则1P FD P DA ∈∈，． 又1FD ⊂平面1BED F ，AD ⊂平面ABCD 内，P ∴∈平面1BED F P ∈，平面ABCD ．又B 为平面ABCD 与平面1BED F 的公共点，∴联结PB PB ，即为平面1BFD F 与平面ABCD 的交线．例3．已知E F G H 、、、分别是空间四边形ABCD （四条线段首尾相接，且联结点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）．各边AB AD CB CD 、、、上的点，且直线EF 和HG 交于点P ，如图8-5，求证：点B D P 、、在同一条直线上．G DPF ECBA图85证明：如图直线EF 直线HG P =．P ∴∈直线EF ．而EF ⊂平面ABD ， P ∴∈平面ABD ．同理，P ∈平面CBD ，即点P 是平面ABD 和平面CBD 的公共点．显然，点B D 、也是平面ABD 和平面CBD 的公共点，由公理2知，点B D P 、、都在平面ABD 和平面CBD 的交线上，即点B D P 、、在同一条直线上． 基础练习1．用符号语言表示下列语句（1）点A 在平面α内，但在平面β外；（2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线a 在平面α内，又在平面β内，即平面α和β相交于直线a ． 2．已知a b c 、、空间三条直线，且a b ∥与a b 、都相交，求证直线a b c 、、在同一个平面上． 3．怎样用两根细绳检查一张桌子的四条腿的下端是否在一个平面内?4．如图8-6所示，ABC △与111A B C △不在同一个平面内，如果三直线1AA 、1BB 、1CC 两两相交，证明：三直线111AA BB CC 、、交于一点．PC 1B 1A 1C BA图865．已知ABC △在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P Q R ，，三点，证明P Q R ，，三点在同一条直线上．6．画水平放置的正五边形的直观图． 8．2空间直线与直线之间的位置关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（即平行线的传递性）． 例1．如图8-7所示，设E F G H ，，，分别是空间四边形ABCD 的边AB BC CD DA ，，，上的点，且AE AH CF CGAB AD CB CDλμ====，，求证：F GH EDCBA图87（1）当λμ=时，四边形EFGH 是平行四边形； （2）当λμ≠时，四边形EFGH 是梯形． 证明：联结BD ， 在ABD △中，AE AHAB ADλ==，EH BD ∴，∥且EH BD λ=． 在CBD △中，CF CGCB CDμ==，FG BD ∴，∥且FG BD μ=． EH FG ∴∥，∴顶点E F G H ，，，在由EH 和FG 确定的平面内． （1）当λμ=时，EH FG =，故四边形EFGH 为平行四边形； （2）当λμ≠时，EH FG ≠，故四边形EFGH 是梯形．等角定理 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等．证明：当两组平行直线在同一平面内，即为初中几何中的等角定理． 当它们不在同一平面时，如图8-8所示．a 1O 1B 1A 1BA Oba 图88设直线a b 、相交于点O ，直线11a b 、相交于点1O ，且11a a b b ，∥∥，在直线a b 、上分别任取点A B 、（异于点O ），在直线11a b 、上分别任取点11A B 、（异于点1O ），使得11OA O A =，11OB O B =，111AOB AO B ∠∠，分别是a b 、，与11a b 、所成的角． 1111OA O A OA O A =，∥ ∴四边形11OO A A 为平行四边形． 1111OO AA OO AA ∴=，∥．同理1111OO BB OO BB =，∥．1111BB AA BB AA ∴=，∥．四边形11BB A A 为平行四边形． 11AB A B ∴=，因此111AOB AO B △△≌． 111AOB AO B ∴∠=∠．在平面中两条直线的位置关系可以根据交点个数来判断：当两条直线仅有1个交点时．它们是相交的；当没有交点时它们是平行的．但在空间中两条直线没有交点却未必是平行的，如图8-9直线a 在平面α上，直线b 与平面α交于点P ，且P 不在直线b 上，那么直线a 与直线b 即不平行也不相交．此时直线a 与直线b 不能在同一平面内，我们称直线a 、b 是异面直线．baP图89在空间任取一点Q 过Q 分别作a b 、的平行线11a b 、，我们把11a b 、所成的锐角或直角称为异面直线a b 、所成的角．当所成的角为90︒时称异面直线a b 、相互垂直．此外，我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段长度，叫做两条异面直线的距离．例2．如图8-10，在正方体1111ABCD A B C D -中，判断下列直线之间的位置父系，并求出它们所成角的大小．A 2D 2B 2C 2D 1C 1B 1A 1D CBA图810（1）AC 与1BC ；（2）1B D 与1BC ． 解：（1）AC 与1BC 是异面直线． 11AA CC ∥且11AA CC =，∴四边形11AA C C 为平行四边形，即11AC AC ∥．11AC B ∴∠为所求AC 与1BC 所成的角．易知11A C B △为等边三角形，即11π3AC B ∠=（2）1B C 与1BC 是异面直线如图8-10：在原正方体下方补一个相同大小的正方体11112222A B C D A B C D -中121B C BC ∥，12DB C ∴∠为所求1B D 与1BC 所成的角．设正方体的棱长为a ，在12DB C △中，112212π2DB B C DC DB C ==∴∠=，，，． 例3．空间四边形ABCD中，2AB BD AD BC CD =====，32AC =，延长BC 到E ，使BC CE =，取BD 中点F ，求异面直线AF 与DE 的距离和他们所成的角．F ED BA图811解：（1）2AB AD BD === ∴三角形ABD 为等边三角形 F 为BD 中点，AF BD ∴⊥，即AF FD ⊥90BC CD CE BDE DF DE ===∴∠=︒∴⊥， DF 长即为异面直线AF DE ，的距离，又112DF BD ==，AF ∴与DE 的距离为1．（2）联结CF F C ，，分别是BD ，BF 的中点， FC ∴平行且等于12DE ，AFC ∴∠即为异面直线AF 与DE 所成的角． 在等边三角形ABD中，AF == 在直角三角形BDE中，12CF DE ==． 三角形AFC 中，由余弦定理得2221cos 22AF FC AC AFC AF FC +-∠==⨯⨯．60AFC ∴∠=︒，即异面直线AF 与DF 成60︒角． 基础练习 1．从止方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为__________．2．如图8-12，已知三棱锥S ABC -中，90ABC ∠=︒，侧棱SA ⊥底面ABC ，点A 在棱SB 和SC 上的射影分别是点E F 、，求证：EF SC ⊥．SGF E CBA 图8123．已知a b 、是两条异面直线，直线a 上的两点A B 、的距离为6．直线b 上的两点C D 、的距离为8，AC BD 、的中点分别为M N 、且5MN =，见图8-13．求异面直线a b 、所成的角．图813bMNO aDCBA4．已知四面体S ABC -的所有棱长均为a ．求： （1）异面直线SC 、AB 的公垂线段EF 及EF 的长； （2）异面直线EF 和SA 所成的角．5．如图8-14，等腰直角三角形ABC中，90A BC DA AC DA AB ∠=︒=⊥⊥，，，若1DA =，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．图814FE D CBA6．如图8-15，在正三角形ABC 中，D E F ，，分别为各边的中点，G H I J ，，，分别为AF AD BE DE ，，，的中点．将ABC △沿DE EF DF ，，折成三棱锥以后，求GH 与IJ 所成角的度数．I JH GFEDCB A 图8157．长方体1111ABCD A B C D -中，143AB AA AD ===，，则异面直线1A D 与11B D 间的距离为__________．8．空间两条异面直线a b 、所成角α，过空间一定点O 与a b ，所成角都是θ的直线l 有多少条？ 8．3空间直线与平面空间中直线l 与平面α的位置关系，按照它们交点的个数分成以下三种情况：若直线l 与平面α没有公共点，那么称直线l 与平面α平行，记作l α∥；若直线l 与平面α仅有一个公共点，那么直线l 与平面α是相交的；若直线l 与平面α有1个以上的公共点，由公理1可知直线l 在平面α上．我们将直线与平面平行和相交统称为直线在平面外．直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 例1．已知：ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上任取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ．求征：AP GH ∥． 证明：如图8-16．联结AC 交BD 于O ，联结MO ，G HPOMD CBA图816ABCD 是平行四边形O ∴是AC 中点，又M 是PC 中点， AP OM ∴∥，又OM ⊂面BM DPA ∴∥平面BM D （线面平行判定定理）又PA ⊂平面PAHG ，且面PAHG 平面BMD GH =， PA GH ∴∥（线面平行的性质定理）例2．正方体1111ABCD A B C D -中，E G 、分别是BC 、11C D 的中点如图8-17．求证：EG ∥平面11BB D D ．D C 1A 1C图817证明：取BD 的中点F ，联结FF 、1D F ．E 为BC 的中点，EF ∴为BCD △的中位线，则EF DC ∥，且12EF CD =．G 为11C D 的中点，1D G CD ∴∥且112D G CD =，1EF D G ∴∥且1EF D G =， ∴四边形1EFD G 为平行四边形，∴1D F EG ∥，而1D F ⊂平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ， ∴EG ∥平面11BDD B ．直线l 与平面α相交，且与平面内所有直线都垂直，称直线l 垂直于平面α，记作l α⊥．直线l 称为平面α的垂线，l 与平向α的交点称为垂足．直线和平面垂直判定定理 如果直线l 与平面α内两条相交直线a b 、都垂直，那么直线与平面垂直． 证明：设直线a b O =，直线c 为平面α上任意一条直线 （1）当直线l 与直线c 都经过点O 时在直线l 上点O 的两侧分别取点P Q 、使得OP OQ =，在平面α上作一条直线，使它与a b c 、、分别交于点A B C 、、联结PA PB PC QA QB QC 、、、、、（见图8-18）． acb αO QB A P图818OA 垂直平分PQ ，PQ QA ∴=． 同理PB QB =． PA QA PB QB AB AB ===，，， PAB QAB PC QC ∴∴=，△△≌．PQ c ∴⊥，即l c ⊥．（2）若直线l 与直线c 不都经过点O ，则过O 引l 与直线c 的平行线1l 与直线1c ，由（1）可知11l c ⊥．由等角定理可知l c ⊥．综上所述，l α⊥．直线和平面垂直性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．过空间一点P 有且仅有一条直线l 和一个平面α垂直，反之过一点P 有且仅有一个平面α与直线l 垂直，垂足Q 称为点P 在平面α上的射影，线段PQ 的大小称为点P 到平面α的距离．若一条直线与一个平面平行，则这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线到平面的距离． 若一条直线与一个平面α相交且不垂直，称直线l 与平面α斜交，直线l 为平面α的斜线，交点称为斜足．平面的斜线与其在平面上的射影所成的角称为直线与平面所成的角．最小角定理 斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角． 例3．已知：一条直线l 和一个平面α平行．求证：直线l 上各点到平面α的距离相等． 证明：过直线l 上任意两点A B ，分别引平面α的垂线AA ，′BB ′，垂足分别为A B ，′′（见图8-19）．βαB'A'B A图819AA BB αα⊥⊥，′′ AA BB ∴∥′′设经过直线AA ′和BB ′的平面为A B ββα=，′′l l A B α∴∴，∥∥′′AA BB ∴′′是平行四边形 AA BB ∴=′′即直线l 上各点到平面的距离相等例4．如图8-20，已知正方形ABCD 的边长为4，E F ，分别是边AB AD ，的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2GC =，求点B 到平面EFG 的距离．OSGH F E DCBA图820证明：联结DB AC ，，设DB AC O = E F ，分别为AB AD ，中点DB EF ∴∥；又DB ⊄平面EFG ， BD ∴∥平面EFG ．∴点B 到平面EFG 的距离就是DB 到平面EFG 的距离． ∴即点O 到平面X O 的距离．设EF AC H =，在平面CHG 中，作OS GH ⊥ DB AC ⊥，又EF BD ∥ EF AC ∴⊥又GC ⊥面ABCD ，GC EF ∴⊥ EF ∴⊥面CHG EF OS ∴⊥，又OS GH ⊥ OS ∴⊥面EFG ∴OS 即为O 点到平面EFG 的距离，即为所求 直角三角形HSO 与直角三角形HGC 相似 SO HOGC GH∴=，又124GC HO AC GH =====，2SO ∴= ∴B 到平面EFG的距离为11． 例5．相交成60︒的两条直线AB AC ，和平面α所成的角分别为30︒和45︒，求这两条斜线在平面α内的射影所成的角．解：如图8-21，作平面AO ⊥平面A ，垂足为O ，O CBA图821则30ABO ∠=︒，45ACO ∠=︒，设AO h =，则2AB h =，AC =，BO =，CO h =， 在三角形ABC 中，根据余弦定理有22222(2))cos606BC h h h =+-⨯⨯︒=-．同理，在三角形BOC 中，令BOC θ∠=，则有22222)cos 4cos BC h h h θθ=+-⨯⨯=-．222264cos h h θ∴-=-．cos θ∴=，θ∴=． 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．如图8-22，直线PM 为平面α的斜线，M 为斜足，Q 为P 在平面α内的射影，a 为平面α内一条直线，且a MQ ⊥．求证：a PM ⊥．图822ab a PQM证明：过点M 作的a 平行线b ，则b MQ b PQ ⊥⊥， 即b ⊥平面PMQ ，MQ ⊆平面PMQ 所以b PM a b ⊥，∥，即a PM ⊥．类似地，我们也可以证明：三垂线的逆定理 在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 基础练习1.如果三个平面αβγ、、两两相交于三条交线a b c 、、，讨论三条交线的位置关系，并证明你的结论． 2．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面11ABC D 均成30︒角，求这样的直线条数3．已知空间四边形ABCD P Q ，、分别是ABC △和BCD △的重心，求证：PQ ∥平面ACD ．4．在棱长为a 正方体1111ABCD A B C D -中， （1）求证：11B D CD ⊥； （2）求证：1B D ⊥平面1ACD ； （3）求点D 到平面1ACD 的距离．5．正方体1111ABCD A B C D -中，求1B D 与平面11ABC D 所成角的大小．6．正方体ABCD A B C D -′′′′的棱长为a ，则异面直线CD ′与BD 间的距离等于__________． 7．正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE BD 、上各取一点P Q 、．且AP DQ =．求证：PQ ∥面BCE ．8．如图8-23，已知AOB ∠在平面M 上，P 为平面外一点，满足POA ∠POB =∠θ=（θ为锐角），点P 在平面上的射影为Q ．P OQFE AM 图823（1）求证点Q 在AOB ∠的平分线OT 上；（2）讨论POA ∠、POQ ∠、QOA ∠之间的关系．9．若直线l 与平面α成角π3，直线a 在平面α内，且和直线l 异面，则l 与a 所成角的取值范围是多少? 10．如图8-24，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，,,ABH HBC ABC θαβ∠=∠=∠=，求证：cos cos cos βαθ=⋅． αθβH D CB Aα图82411．如图8-25，平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ．连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．N MBA HSα图825（1）求证：NH SB ⊥；（2）这个图形中有多少个线面垂直关系? （3）这个图形中有多少个直角三角形? （4）这个图形中有多少对相互垂直的直线?12．如图8-26，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF 为异面直线1A D 与AC 的公垂线，求证：1EF BD ∥．FE D CBAD 1C 1B 1A 1图82613．如图8-27所示，90BAC ∠=︒．在平面α内，PA 是α的斜线，60PAB PAC ∠=∠=︒．求PA 与平面α所成的角．B αA CMO NP图8278．4空间平面与平面的位置关系空间两个平面根据交点的个数可以分为：若两个平面没有交点则称两个平面互相平行；若两个平面有交点则称两个平面是相交的．平行于同一平面的两个平面互相平行，分别在两个平行平面上的直线是异面或平行的．两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推论 如果一个平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 例1．平行四边形ABCD 和平行四边形ABEF 不在同一平面内，M ，N 分别为对角线AC ，BF 上的点，且AM ACFN FB=．求证：MN ∥平面BEC ．证明：如图8-28，在平行四边形ABCD 中，过M 作MP BC ∥交BC 于P ，联结PN ．FP MNEDCBA图828AM AP AC AB =，又AM AC FN BF =，即AM FNAC BF=． ,AP FN PN AF BE AB BF∴=∴∥∥． 又MP BC ∥，∴平面MPN ∥平面CBE ． 又MN ⊂平面MPN ， MN ∴∥平面BEC ．例2．如图8-29所示，平面α平面β，点A C α∈、，点B D β∈、，AB a =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若AC BD b ==，CD c =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点．图829（1）求证：MN β∥；（2）求MN 的长． 证明：（1）联结AD ，设P 是AD的中点，分别联结PM 、PN ． M 是AB 的中点，PM BD ∴∥．又,PM ββ⊂∴∥． 同理N 是CD 的中点，PN AC ∴∥． AC α⊂，PN α∴∥．,,PN PM P αβ=∥PMN β∴∥． MN ⊂平面PMN ，MN β∴∥． （2）分别联结MC MD 、．1,,2AC BD b AM BM a ====又AB 是αβ、的公垂线，90CAM DBM ∴∠=∠=︒，Rt Rt ACM BDM ∴≌△△，CM DM ∴=，DMC ∴△是等腰三角形． 又N 是CD 的中点，MN CD ∴⊥．在Rt CMN △中，MN =一般地，当两个平面相交时，它们的交线l 将各平面分割为两个半平面，由两个半平面αβ、及其交线l 组成的空间图形叫做二面角（dihedral angle ），记作l αβ--．交线l 称之为二面角的棱，两个半平面αβ、叫做二面角的面．如果αβ、上分别有点P Q 、，那么二面角l αβ--也可以记作P l Q --．为了刻画二面角的大小，我们在棱l 上任取一点O ，在面αβ、上分别作棱l 的垂线OM 、ON ，则[](0,π)MON θ∠=∈称为二面角l αβ--的平面角．若π2α=，则称平面αβ⊥． 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．例3．如图8-30，在空间四边形SABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，DE 在平面SAC 内，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于D ，E ，又SA AB =，SB BC =，求以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的大小．E DCBAS图830解：SB SC =，且E 为SC 的中点，BE SC ∴⊥． 又DE 垂直平分SC ，SC ∴⊥面,BDE SC BD ∴⊥． 又BD ⊥平面SAC ，,,BD DE BD DC ∴⊥⊥EDC ∴∠即为E BD C --的平面角．设SA a =，则,,AB a SB ==SA ⊥面ABC ，BC AB ⊥．,SB BC SC ∴⊥∴为等腰直角三角形SBC的斜边，又BC =，2,,cos ,30SC a AC SCA SCA ∴==∠=∴∠=︒． DE SC ⊥，∴在直角三角形EDC 中，60EDC ∠=︒，即为所求．例4．已知：如图8-31所示，平行四边形ABCD中，AB =AD BD ==，沿BD 将其折成一个二面角A BD C --，若折后AB CD ⊥．63223DCBA图831（1）求二面角A BD C --的大小；（2）求折后点C C 到平面ABD 的距离．解：（1）在平行四边形ABCD中AB =AD BD ==．222AB AD BD ∴=+ ,AD BD BC BD ∴⊥⊥． 作AH ⊥平面BDC ，联结DH （见图8-32）．HEDCB A图832AD BD ⊥，由三垂线定理逆定理得DH BD ⊥， ∴ADH ∠是二面角A BD C --的平面角．联结BH，AB DC ⊥，由三垂线定理逆定理， 得BH DC ⊥，设垂足为E ，在直角三角形ABC中，2BD BC BE DC ⋅===，DE ∴ 三角形DHB 与三角形DBE 相似，DH DEDB BE∴=，即DE BD DH BE ⋅=在直角三角形ADH中，1cos 2DH ADH AD ∠===，π3ADH ∴∠=． 即二面角--A BD C 的大小为π3． （2）由对称性，C 到平面ABD 的距离等于A 到平面ABD 的距离． AH ⊥平面BCD ，∴点A 到平面BCD 的距离即是线段AH 的长， 直角三角形ADH中，sin 3AH AD ADH =⋅∠==， ∴点C 到平面ABD 的距离为3． 例5．如图8-33，已知A B 、在平面α上，点C 是平面外一点，且在平面α上的射影为D ，且A B D、、三点不共线，二面角C AB D --的大小为θ，求证：cos DABCABS S θ=．αM DCBA图833证明：过点D 作DM 垂直AB ，垂足为M ，联结CM ． 因为,CD AB αα⊥⊆，所以CD AB ⊥，又AB DM ⊥，因此AB ⊥平面CDM ，即AB CM ⊥． 所以CMD ∠为二面角--C AB D 的平面角． 在直角三角形CDM △中有cos cos ABDCBDS DM CMD CM S θ=∠==． 例6．如图8-34，已知两异面直线,a b 所成的角为θ，它们的公垂线段AA ′的长度为d ．在直线,a b 上分别取点,E F ，设,A E m AF n ==′，求EF ．A'βnb a m F G A图834解：设经过b 且与AA ′垂直的平面为α，经过a 和AA ′的平面为β，c αβ=；则c a ∥，因而b ，c 所成角为θ，且AA c ⊥′；又,AA b AA a ⊥∴⊥′′， 根据两个平面垂直的判定定理，βα⊥． 在平面β内作EG c ⊥，则EG AA =′． 并且根据两个平面垂直的性质定理，EG α⊥ 联结FG ，则EG FG ⊥．在直角三角形EFG 中，222EF EG FG =+AG m =，三角形AFG 中，2222cos FG m n mn θ=+-；又22ED d =，22222cos EF d m n mn θ∴=++-，因此EF =1．已知平面αβ∥，AB ，CD 为夹在,αβ间的异面线段，E 、F 分别为AB CD 、的中点． 求证：,EF EF αβ∥∥．2．如果αβ∥，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AB AC ⊥，且2AB =，直线AB 与平面α所成的角为30︒，求线段AC 长的取值范围．3．如图8-35，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为1AB AA 、的中点．求平面1CEB 与平面11D FB 所成二面角的平面角的正弦值．CB E AF D 1C 1B 1A 1图8354．如图8-36，点A 在锐二面角MN αβ--的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为45︒，与面β所成的角大小为30︒，求二面角MN αβ--的大小．NM APβα图8365．正方形ABCD 边长为4，点E 是边CD 上的一点，将AED △沿AE 折起到1AED 的位置时，有平面1ACD ⊥平面ABCE ，并且11BD CD ⊥．（1）判断并证明E 点的具体位置； （2）求点D ′到平面ABCE 的距离．6．在正三角形ABC 中，E F P 、、分别是AB AC BC 、、边上的点，满足12AE EB CF FA CP PB ===∶∶∶∶，如图8-37．将AEF △沿EF 折起到1A EF △的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，联结1A B 、1A P ，如图8-38．A BP FEC图837CEF P BA 图838（1）求证：1A E ⊥平面BEP ；（2）求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小；（3）求二面角1B A P F --的大小（用反三角函数表示）．7．如图8-39，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --′．C'DCB A图839（1）指出这个二面角的面、棱、平面角； （2）若二面角C AD C --′是直二面角，求C C ′的长； （3）求AC ′与平面C CD ′所成的角； （4）若二面角C AD C --′的平面角为120︒，求二面角A C C D --′的平面角的正切值． 8．在棱长为a 的正方体中．求异面直线BD 和1B C 之间的距离．9．设由一点S 发出三条射线,,,,SA SB SC ASB BSC ASC αβθαβθ∠=∠=∠=、、、、均为锐角，且cos cos cos θβθ⋅=．求证：平面ASB ⊥平面BSC ．10．如图8-40，矩形ABCD ，PD ⊥平面ABCD ，若2PB =，PB 与平面PCD 所成的角为45︒，PB 与平面ABD 成30︒角，求：PF EDCBA图840（1）CD 的长；（2）求PB 与CD 所在的角；（3）求二面角C PB D --的余弦值． 11．如图8-41，线段PQ 分别交两个平行平面αβ、于A B 、两点，线段PD 分别交αβ、于C D 、两点，线段QF 分别交αβ、于F E 、两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF △的面积为72．求BDE △的面积．βαAB Q ED CPF图84112．如图8-42，已知正方形ABCD ．E F 、分别是AB CD 、的中点．将ADE △沿DE 折起，如图8-43所示，记二面角A DE C --的大小为θ（0πθ<<）．FEDCBA图842F EDCBA 图843（1）证明BF ∥平面ADE ；（2）若ACD △为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．13．在矩形ABCD 中，已知1,AB BC a ==，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =． （1）在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ QD ⊥，说明理由；（2）若BC 边上有且仅有一个点Q ，使PQ QD ⊥，求AD 与平面PDQ 所成角的弦值； （3）在（2）的条件下，求出平面PQD 与平面PAB 所成角的大小．14．两个平行平面α和β将四面体ABCD 截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．求平面α和β截四面体所得的截面面积之比． 8．5空间向量及其坐标表示我们把具有大小和方向的量叫做向量．同向且大小相等的两个向量是同一个向量或相等的向量，大小相等方向相反的两个向量是互为负向量，大小为0的向量称为零向量．对空间任意两个向量a b 、．作OA a OC AB b ===，，则O A B 、、三点共面，见图8-44．因此，空间任意两个向量都可以用在同一平面内的两条有向线段表示．与平面向量运算一样，我们可以定义空间向量的加法、减法与数乘运算如下：a图844OB OA AB a b =+=+； CA OA OC a b =-=-；0000a a a λλλλλλ⎧>⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩方向相同，大小，，方向相同，大小，为为- 与平面向量类似，在空间两个向量的方向相同或相反，则称他们为共线向量或平行向量，共线向量所在直线平行或重合．类似我们可以验证空间向量的加法与数乘运算满足如下规律： （1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：()()a b c a b c ++=++ （3）数乘分配律：()a b a b λλλ+=+类似地，可以定义两个向量的夹角和向量的数量积：cos a b a b θ⋅=，其中θ为两个向量的夹角，[]0πa b θ∈，，、表示向量a b 、的大小 当π2θ=时称两个向量垂直记作a b ⊥． 与平向向量类似有下列性质成立： （1）0a b a b ⊥⇔⋅=． （2）2a a a =⋅． （3）()()ab a b λλ⋅=⋅．（4）a b b a ⋅=⋅． （5）()()()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅．例1．A B C D 、、、为空间不共面的四点，以A B C D 、、、四点为顶点的线段围成一个空间四面体，若AC BD BC BD ==，，求证AB CD ⊥．图845DBA解：BC AC AB BD AD AB =-=-，， BC BD =， 22BC BD ∴=．2()()BC BC BC AC AB AC AB =⋅=-⋅- 222AC AC AB AB =-⋅+．同理2222BD AD AD AB AB AD AC =-⋅+=，， AD AB AC AB ∴⋅=⋅即()AD AC AB -⋅=0．即CD AB ⋅=0，AB CD ∴⊥．通常我们将可以平移到同一个平面的向量，叫做共面向量．对空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向量就不一定是共面向量．如上例中a b c 、、中任意两个共面，但a b c 、、却不共面．下面讨论三个向量共面的条件．已知a b 、为不共线的向量，而a b c 、、三个向量共面，则表示可以将它们平移到同一个平面上．由平面向量唯一分解定理．存在实数()λμ，满足c a b λμ=+．反之，若存在实数对()λμ，满足c a b λμ=+，对空间任意一点O 作111OA a OB b OA a A B b λμ====，，，，则1111OB OA A B a b c λμ=+=+=即c 可以平移到O A B 、、三点所在平面上，因此a b c 、、共面．由此可得a b c 、、共面的充要条件是：存在实数对()λμ，满足c a b λμ=+．例2．求证：任意三点不共线的四点A B C D 、、、共面的充要条件是：对空间任意点O 有：OD xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）．证明：A B C D 、、、共面的充要条件是存在实数对()λμ，满足AD AB AC λμ=+（见图8-46）．图846()()OD OA AD OB OA OC OA μμ∴-==-+-， (1)OD OA OB OC λμλμ∴=--++．令1x λμ=--，y z λμ==，，则OD xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）．定理 如果三个向量a b c 、、不共面，那么对于空间任意向量P ，存在唯一的实数对()x y z ，，满足：P xa yb zc =++证明：如图8-47，过空间任意点O 作OA a OB b OC c OP P ====，，，， 图847P过点P 作1PP OC ，∥交平面OAB 于点1P ；则11P OP OP PP ==+． 11PP OC PP zc z ∴=∈R ，，∥． 在平面AOB 中存在z ，y ∈R ，满足1OP xOA yOB =+， 因此有11P OP OP PP xOA yOB zOC ==+=++． 若存在111()()x y z x y z ≠，，，，也满足：111P x a y b z c =++， 则有111P xa yb zc x a y b z c =++=++． 111()()x y z x y z ≠，，，，，不妨设1x x ≠，1111y y z za b c x x x x --∴=+--．a b c ∴、、共面，矛盾．由此定理可知，如果三个向量a b c 、、，那么所有空间向量均可以由a b c 、、唯一表示，此时我们称（a b c 、、）为空间向量的一个基底，a b c 、、都叫做基本向量．如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小为1，则称这个基底为单位正交基底，常用（i j k 、、）表示．在空间选定一点O 和一个单位正交基底（i j k 、、），以O 点为坐标原点，分别以i j k 、、的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系O xyz -，那么对于任意向量P ，存在唯一的实数对（x y z ，，）满足：P OP xi y j zk ==++，简记为()P x y z =，，，此时称点P 的坐标为()x y z ，，，见图8-48．图848若111()OA a x y z ==，，，222()OB b x y z ==，，，则 121212()a b x x y y z z +=+++，，，121212()BA OA OB a b x x y y z z =-=-=---，，，111()a x y z λλλλ=，，．例3．在直三棱柱111A B C ABC -中，π2BAC ∠=，11AB AC AA ===．已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，求线段DF 的长度的取值范围解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，则112211(00)(01)0101(00)(01)22F t t E G D t t ⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，．所以12111122EF t GD t ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，．因为GD EF ⊥，所以1221t t +=，由此推出2102t <<．又12(0)DF t t =-，，，21DF t =1DF <．例4．已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，它们所在的平面互相垂直，M AC ∈，N BF ∈，且AM FN =，见图8-49．求证：不论M 在AC 上何处，直线MN 不可能同时垂直AC 和BF ．MNFEDCBA图849证明：设BA a BE b BC c BN t BF ====⋅，，，， 则()(1)()BN t a b AM t c a =⋅+=--， 于是()(1)()(1)MN BN BM t a b t c a a tb t c ⎡⎤⎡⎤=-=+---+=--⎣⎦⎣⎦， 假设MN 同时垂直AC 和BF ，则00.MN AC MN BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，由题设，知00a b b c ⋅=⋅=，， 由2(1)()(1)MN AC tb t c c a t c ⎡⎤⋅=--⋅-=-⋅⎣⎦，得10t -=即1t =．由2(1)()0MN BF tb t c a b t b ⎡⎤⋅=--⋅+=⋅=⎣⎦得0t =，矛盾！所以，MN 不可能同时垂直AC 和BF ．基础练习1．如图8-50，OA a OB b OC c ===，，，M N P 、、分别为AB 、BC 、CA 的中点，试用a b c 、、表示下列向量：OM MN AN ，，．图8502．已知空间三点(202)A -，，，(212)B -，，，(303)C -，，．设a AB b AC ==，，是否存在实数k ，使向量ka b +与2ka b -互相垂直，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．。
高一数学复习考点知识专题讲解33---空间中点、直线和平面的向量表示
高一数学复习考点知识专题讲解 空间中点、直线和平面的向量表示学习目标 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．知识点一 空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．知识点二 空间中直线的向量表示式直线l 的方向向量为a ，且过点A .如图，取定空间中的任意一点O ，可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋t a ，① 把AB →＝a 代入①式得 OP →＝OA →＋tAB →，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 思考 直线的方向向量是不是唯一的？答案 直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．知识点三 空间中平面的向量表示式 1．平面ABC 的向量表示式空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.③ 我们把③式称为空间平面ABC 的向量表示式． 2．平面的法向量如图，若直线 l ⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a 为平面α的法向量；过点A 且以 a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P |a ·AP →＝0}．思考 平面的法向量是不是唯一的？答案 一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( √ )2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( × ) 3．直线的方向向量是唯一的．( × )一、直线的方向向量例1 (1)已知直线l 的一个方向向量m ＝(2，－1,3)，且直线 l 过 A (0，y ，3)和B (－1,2，z )两点，则y －z 等于( )A ．0B ．1 C.32 D ．3答案 A解析 ∵A (0，y ，3)和B (－1,2，z )，AB →＝(－1,2－y ，z －3),∵直线l 的一个方向向量为m ＝(2，－1,3) ，故设AB →＝k m . ∴－1＝2k ,2－y ＝－k ，z －3＝3k . 解得 k ＝－12，y ＝z ＝32.∴y －z ＝0.(2) 在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，则直线DD 1的一个方向向量为________，直线 BC 1 的一个方向向量为________．答案 (不唯一)(0,0,1) (0,1,1)解析 ∵DD 1∥AA 1，AA 1—→＝(0,0,1)，直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)； BC 1∥AD 1，AD 1→＝(0，1,1), 故直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)． 反思感悟 理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一．跟踪训练1 (1)(多选)若M (1,0，－1)，N (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(1,1,3) C ．(3,1,1) D ．(－3,0,1) 答案 AB解析 ∵M ，N 在直线l 上，∴MN →＝(1,1,3)， 故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l 的一个方向向量．(2)从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长|AB →|＝34，则B 点的坐标为( ) A ．(18,17，－17) B. (－14，－19,17)C.⎝⎛⎭⎫6，72，1D. ⎝⎛⎭⎫－2，－112，13 答案 A解析 设B 点坐标为 (x ，y ，z ) ，则 AB →＝λa (λ>0)，即(x －2，y ＋1，z －7)＝λ(8,9，－12) ，因为|AB →|＝34，即64λ2＋81λ2＋144λ2＝34，得λ＝2，所以x ＝18，y ＝17，z ＝－17. 二、求平面的法向量例2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解 因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，3，0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，C (1，3，0)， 于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12.AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．延伸探究本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量？ 解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即直线PC 的一个方向向量． 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为(0,1，3)． 反思感悟 求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (3)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．跟踪训练2 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC →＝(1，－1,0)． 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，x ＝y .令z ＝1，则x ＝y ＝3.故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)．1．若A ( －1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1) 答案 A解析 因为AB →＝(2,4,6) ，所以(1,2,3)是直线l 的一个方向向量．2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若a ∥b ，则x ，y 的值分别是( )A ．6和－10B ．－6和10C ．－6和－10D ．6和10 答案 A解析 由题意得2－4＝－3x＝5y ，且x ≠0，y ≠0，所以x ，y 的值分别是6和－10.3．若n ＝(2，－3, 1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A ．(0，－3,1) B ．(2,0,1) C ．(－2，－3,1) D ．(－2,3，－1) 答案 D解析 求与n 共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2，3，－1)．4．(多选)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是( ) A.AB → B.AA 1—→ C.B 1B —→ D.A 1C 1—→ 答案 BC5．已知平面α经过点O (0,0,0)，且e ＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________________． 答案 x ＋2y －3z ＝0解析 由题意得e ⊥OM →，则OM →·e ＝(x ，y ，z )·(1,2，－3)＝0， 故x ＋2y －3z ＝0.1．知识清单： (1)直线的方向向量． (2)平面的法向量．2．方法归纳：待定系数法．3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性．1．已知向量a ＝(2, －1,3)和b ＝(－4,2x 2,6x )都是直线l 的方向向量，则x 的值是( ) A ．－1 B ．1或－1 C ．－3 D ．1 答案 A解析 由题意得a ∥b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝2，6x ＝－6，解得x ＝－1.2．已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( ) A. (4,2，－2) B. (2,0,4)C. (2，－1，－5)D. (4，－2，－2) 答案 D解析 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行， 又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)，故选D.3．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( ) A.P A →⊥AB →B.PC →⊥BD → C.PC →⊥AB →D.P A →⊥CD → 答案 C解析 ∵P A ⊥平面ABCD ， ∴BD ⊥P A . 又AC ⊥BD ， ∴BD ⊥平面P AC ， ∴PC ⊥BD .故选项B 成立，选项A 和D 显然成立．故选C.4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个法向量是( ) A ．(1,1，－1) B ．(1，－1,1) C ．(－1,1,1) D ．(－1，－1，－1) 答案 D解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．5．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是( )A ．平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0) B ．平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)C ．平面B 1CD 1的一个法向量为(1,1,1) D ．平面ABC 1D 1的一个法向量为(0,1,1) 答案 AC解析 ∵AD →＝(0,1,0)，AB ⊥AD ，AA 1⊥AD ，又AB ∩AA 1＝A ， ∴AD ⊥平面ABB 1A 1，∴A 正确； ∵CD →＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·CD →＝－1≠0， ∴(1,1,1)不是平面B 1CD 的法向量，∴ B 不正确；∵B 1C —→＝(0,1，－1)，CD 1—→＝(－1,0,1)，(1,1,1)·B 1C —→＝0，(1,1,1)·CD 1—→＝0，B 1C ∩CD 1＝C ， ∴(1,1,1)是平面B 1CD 1的一个法向量，∴C 正确； ∵BC 1—→＝(0,1,1)，而BC 1—→·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC 1D 1的法向量，即D 不正确．6．已知平面ABC ，且A (1,2，－1)，B (2,0，－1)，C (3，－2,1)，则平面ABC 的一个法向量为________． 答案 (2,1,0)(答案不唯一)解析 AB →＝(1，－2,0)，AC →＝(2，－4,2)， 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x －4y ＋2z ＝0， 令y ＝1，得x ＝2，z ＝0，故平面ABC 的一个法向量为n ＝(2,1,0)．7．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________． 答案 π2或π3解析 由OP ⊥OQ ，得OP →·OQ →＝0， 即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.8.在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)． 其中正确的是________．(填序号) 答案 ①②③解析 DD 1—→＝AA 1—→＝(0,0,1)，故①正确；BC 1—→＝AD 1—→＝(0,1,1)，故②正确；直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD →＝(0,1,0)，故③正确；向量AC 1—→的坐标为(1,1,1)，与平面B 1CD 不垂直，∴④错． 9．已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2, －2)． (1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC 是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内的任意一点，试写出x ，y ，z 满足的关系式．解 (1)∵B (2,0,0)，C (0,2，－2)，∴BC →＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC 的一个方向向量．(2)由题意AM →＝(x －2，y －2，z －2)，∵BC →⊥平面α，AM ⊂α，∴BC →⊥AM →，∴(－2,2，－2)·(x －2，y －2，z －2)＝0.∴－2(x －2)＋2(y －2)－2(z －2)＝0. 化简得x －y ＋z －2＝0.10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1F的法向量．证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12，D 1(0,0,1)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1(1,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12， D 1F —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，A 1D 1—→＝(－1,0,0)． ∵AE →·D 1F —→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎫0，12，－1＝12－12＝0， 又AE →·A 1D 1—→＝0，∴AE →⊥D 1F —→，AE →⊥A 1D 1—→.又A 1D 1∩D 1F ＝D 1，∴AE ⊥平面A 1D 1F ，∴AE →是平面A 1D 1F 的法向量．11．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .12．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1) B.⎝⎛⎭⎫1，3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32D.⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 答案 B解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量P A →与平面α的法向量n 是否垂直，即P A →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，P A →＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12，则P A →·n ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.13．已知直线l 过点P (1,0，－1)且平行于向量a ＝(2,1,1)，平面α过直线l 与点M (1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( )A ．(1，－4,2) B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12 C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12D ．(0，－1,1) 答案 D解析 因为PM →＝(0,2,4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的一个法向量，则必须满足⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D. 14．若A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.答案 2∶3∶(－4)解析 由已知得，AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74， AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74， ∵a 是平面α的一个法向量，∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，即⎩⎨⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝23y ，z ＝－43y ，∴x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．15．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥DB →.其中正确的是________．(填序号)答案 ①②③解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确．又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，则③正确，由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)，∴BD →与AP →不平行，故④错误．16.如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．解 以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)， 则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的一个法向量，则⎩⎨⎧ n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧ y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，得y ＝－1，z ＝1，故平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．。
高一数学必修三复习知识点归纳
高一数学必修三复习知识点归纳1.高一数学必修三复习知识点归纳篇一均匀随机数均匀随机数的产生：我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[0，1]内的任何一个数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此就可以用计算器来产生0～1之间的均匀随机数进行随机模拟，我们常用随机模拟的方法来计算不规则图形的面积。
均匀随机函数：均匀随机函数且只能产生[0，1]区间上均匀随机数。
产生[a,b]区间上均匀随机数：产生[a,b]区间上均匀随机数，如果x是[0,1]区间上的均匀随机数，则x(b-a) +a就是[a,b]区间上的均匀随机数。
计算机通过产生均匀随机数进行模拟实验的思路：(1)根据影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的个数，如长度、角度型只用一组即可;而面积型需要两组随机数，体积型需要三组随机数;(2)根据总体对应的区域确定产生随机数的范围;(3)根据事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式。
2.高一数学必修三复习知识点归纳篇二直线回归方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。
如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。
3.高一数学必修三复习知识点归纳篇三直线方程：1.点斜式：y-y0=k(x-x0)(x0,y0)是直线所通过的已知点的坐标，k是直线的已知斜率。
x是自变量，直线上任意一点的横坐标;y是因变量，直线上任意一点的纵坐标。
2.斜截式：y=kx+b直线的斜截式方程：y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。
此斜截式类似于一次函数的表达式。
高一数学空间中直线与平面之间的位置关系PPT学习教案
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（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB
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巩固练习:
4.已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥
平面b，∩b=l，则l
（C ）
（A）与m，n都相交
（B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交
（D）与m，n中一条相交
5.完成教材P49 练习
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反 思与延 伸
相交——有且只有一个公共点； 直线在平面外
平行——没有公共点；
2、用图形语言表示空间中直线与平面的三种位置关系：
a
a
a
α
α
α
①
②
③
3、用符号语言表示空间中直线与平面的三种关系：
① a α
② a∩α=A
第13页/共19页
③ a∥α
五、小测： （一）填空。 1、如果一条直线和一个平面没有公，共那点么我们就说这条 直线和这个平面平行。
A´ B´
D A
C B
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探究结果
如图所示，在长方体ABCD-A´B´C´D´中，
无数
（1）A´B所在的直线与平面A´A B B´有 个公共点；
（2） A´B所在的直线与平面A´A D D´有 一 个公共点； A´B所A在´的B所直在线的与直平线面与B´平B面CACB´C有D有 个一公个共公点共；点；
2、如何用图形语言表示直线与平面的三种位置
关系?
a
a
a
α
α
α
①
②
③
错误画法：
a
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P.64第19题、
P.65第21题.
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改，也很不容易啊。“总之，一定要努力啊，能考进前三最好。”为何感觉这话只有家长才会说呢……简直是古代版的家长寄语。“白 姑娘真是见多识广，在下佩服。”张祁渊云淡风轻的一笑，似乎没想到慕容凌娢会知道这么多，“留在这里，实在是有些大材小用 啊。”“我确实不准备在这里多呆。”鬼才愿意呆在这个连信号都没有的年代。“那姑娘下一步准备怎么办？”“我？当然是……存点 钱，搞清楚形式，然后就去闯荡江湖……”“原来是这样……”张祁渊沉思了片刻，起身到，“我这里有一物赠与姑娘，倘若就此别过， 再无相见之日，也好……”“别别别！”还没等他拿出东西，就被慕容凌娢激动的拍案而起阻止了，整天有人往外掉装备，她都搞不清 是线索还是道具了，这回要是收下，那真是神都救不活的作死了。“白绫不过是烟尘女子，公子注定是有大作为的人，怎敢求得公子的 挂念……”先拍马屁，然后给个台阶下，成功几率会高很多。“公子的东西白凌绝不收，请回吧……”“既然如此……也罢，就此别过， 有缘再见。”张祁渊居然向慕容凌娢拱手施了一礼，把慕容凌娢吓了一大跳。虽然这只能算是古代人告别的普通礼仪，但来这醉影楼中 的人，能把这里的歌伎平等对待的，又有多少呢？至少慕容凌娢之前从未遇到过。她只得以同样的方式回礼。……繁华街道的另一边， 一条静谧的河流缓缓流淌，水面映照下的灯光，流光逸彩。河边站着一个男子，剑眉星眸，风 流倜傥，衣着华丽。他望向河对岸的灯 火阑珊之处，像是在等待什么。“辰耀，我回来了。”张祁渊的声音从他身后响起。“怎么样？你的定情信物送出去了？”被叫做辰耀 的男子扬唇一笑，半开玩笑的说，“那女子有没有哭得泪流满面？”“别乱说！她连东西都没见，就坚决不要……”张祁渊拿出了一支 做工精致的梳子，叹了口气道，“既然如此，这东西留着也没什么用了。”说罢，他轻轻一抬手，梳子便被抛到水中，激起一圈圈的涟 漪，沉入水中便没了踪影。“喂，那么好的东西，干嘛扔了！”辰耀没来得及拦住他，只得惋惜。“你不是挑了好久吗？”“她不 要……难不成给你啊！”“给我也没问题啊。”辰耀并未生气，双手环胸一副自信满满的样子，“反正有那么多女人争着抢着，想要我 的定情之物……倒是你，在这方面简直是一窍不通。第一次去那种地方，就被那个带面纱的女子迷的神魂颠倒。你也不想想，要是她真 的倾国倾城，怎么会在独自见你时也不肯摘下面纱。”“这不重要。”“不重要？兄弟你是在开玩笑吧！”辰耀仿佛听到了世上最不可 思议的言论，“女人最重要的当然是脸啊！”“这种话你还是回去给家里那位说吧。”(古风一言)那年风华月下，谁琴曲声声惊了古刹， 谁歌舞似仙数
面成60o角. (1) 求A1B和OO1所成角的正切值； (2) 求圆台的侧面积及体积.
例5. 在四棱锥P-ABCD中，底面为直角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
梯形，AD∥BC，∠BAD＝90o，PA⊥
底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，
M、N分别为PC、PB的中点，求CD与 平面ADMN所成角的正弦.
课后作业
《学案》P.63第16题、
第二章复习
主讲老师：
知识回顾
1. 异面直线所成角； 2. 直线与平面所成角；
3. 两平面所成角.
举例应用
例1. 已知空间四边形ABCD中， P、Q分别是AB、CD的中点， 且PQ＝3，AC＝4，BD＝2 5 ， 求AC与BD所成角的大小．
例2. 已知四面体ABCD的各棱长均
相等，E、F分别为AB、CD的中点，
求EF与AC所成角的大小．
例3. 在四面体ABCD中，平面ABD⊥
平面BCD，△ABD为等边三角形，
CD⊥BD，∠DBC＝30o．
(1) 求二面角A-DC-B的大小； (2) 求二面角A-BC-D的平面角的正切值.
例4. 圆台上、下底面半径分别为2、4，
O1A1、OB分别为上、下底面的半径，
二面角A1-OO1-B是60o，圆台母线与底