全国高考数学(文)增分练高考预测卷(二)(解析版)

2020届全国高考数学（文）增分练高考预测卷（二）（解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m<x<5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＋n等于( ) A．9 B.8C．7 D.6解析M＝{x|0<x<4}，又N＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，故m＝3，n＝4，∴m＋n＝7，选C.答案 C2．(2018·唐山二模)若复数z＝1＋ia－i(i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，则z的虚部为( )A．1 B.i C．2 D.2i解析设z＝1＋ia－i＝b i(b∈R且b≠0)，则1＋i＝b＋ab i，∴b＝1.选A.答案 A3．(2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，则m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立．故“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.答案 D4．(2019·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是( )A.3π20B.π20C.3π10D.π10解析依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r，则由等面积法，可得12×8×15＝12×(8＋15＋17)r，解得r＝3，向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P＝π×3212×8×15＝3π20.答案 A5．在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若a＝8，b＝7，B＝60°，则sin C＝( ) A.3314B.5314C.3314或5314D.1114解析解法一：8sin A＝7sin60°⇒sin A＝437⇒cos A＝±17.因为sin B＝32，cos B＝12，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以当cos A＝17时，sin C＝5314；当cos A＝－17时，sin C＝3314.故sin C的值为3314或5314.解法二：设角C的对边为c，由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B⇒49＝64＋c2－8c⇒c＝3或c＝5.当c＝3时，sin C＝cb·sin B＝3314；当c＝5时，sin C＝cb·sin B＝5314.故sin C的值为3314或5314.答案 C6．函数f(x)＝e x＋1x(e x－1)的图像大致为( )解析由题意，f(－x)＝e－x＋1－x(e－x－1)＝e x＋1－x(1－e x)＝e x＋1x(e x－1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故f(x)的图像关于y轴对称，排除B，C；当x＝1时，f(1)＝e＋1e－1>0，故选A.答案 A7．执行如下图所示的程序框图，若输入的a，b分别是2 020，1，则输出的i＝( )A．5 B.6C．7 D.8解析i＝1，a＝2 020＋1，b＝1；i＝2，a＝2 020＋3，b＝1×2；……i＝n，a＝2 020＋n(n＋1)2，b＝1×2×3×…×n当i＝6时，a＝2 020＋21＝2 041，b＝720<a；当i＝7时，a＝2 020＋28＝2 048，b＝5 040>a.故输出的i的值为7.答案 C8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，官赐金依等次差降之．上三人先入，得金四斤，持出．下三人后入，得金三斤，持出．中间四人未到者，亦依等次更给．问各得金几何？”在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金( )A ．多1斤 B.少1斤 C ．多13斤D.少13斤解析 等级由高到低的十等人所得黄金由多到少依次记为a 1，a 2，…，a 10，则a 1，a 2，…，a 10成等差数列．由题意得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝4，a 2＝43，a 8＋a 9＋a 10＝3a 9＝3，a 9＝1.则a 2－a 9＝43－1＝13，即等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多13斤． 答案 C9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起使D 到达D ′点，当以A ，B ，C ，D ′四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD ′和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90° B.60° C ．45°D.30°解析 如下图，当D ′O ⊥平面ABC 时，三棱锥D ′­ABC 的体积最大．∴∠D ′BO 为直线BD ′和平面ABC 所成的角， ∵在Rt △D ′OB 中，OD ′＝OB ，∴直线BD ′和平面ABC 所成角的大小为45°. 答案 C10．已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n ＝( ) A ．－3×2n －1 B.3×2n －1 C ．5n ＋3×2n －1D.5n －3×2n －1解析 解法一：在递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n 的两边同时除以5n ＋1，得a n ＋15n ＋1＝25×a n 5n ＋35，① 令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35，即b n ＋1－1＝25(b n －1)，所以数列{b n －1}是等比数列，其首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为25，所以b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，即b n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，所以a n5n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝1－3×2n －15n，故a n ＝5n －3×2n －1.解法二：设a n ＋1＋k ·5n ＋1＝2(a n ＋k ×5n )，则a n ＋1＝2a n －3k ×5n ，与题中递推公式比较得k ＝－1，即a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n )，所以数列{a n －5n }是首项为a 1－5＝－3，公比为2的等比数列，则a n －5n ＝－3×2n －1，故a n ＝5n －3×2n －1.故选D 项．答案 D11．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，f (α)＝－1，f (β)＝1，若|α－β|的最小值为3π4，且f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1对称，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析 由题设条件可知f (x )的周期T ＝4|α－β|min ＝3π，所以ω＝2πT ＝23，又f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1对称，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×π4＋φ＝0. 因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋1，再由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z .答案 B12．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[2，＋∞) B.[4，＋∞) C ．{4}D.[2,4]解析 f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当0＜a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a ·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ，f (x )在[－1,1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当a ＞1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－2a ＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4.答案 C第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， ∵f (x )在x ＝2处有极大值，∴⎩⎨⎧f ′(2)＝0，f ′(x )＜0 (x ＞2)，f ′(x )＞0 (x ＜2).解得c ＝6.答案 614．如下图，∠BAC ＝120°，圆M 与AB 、AC 分别切于点D 、E ，AD ＝1，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP →＝xAD →＋yAE →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为________．解析 如下图，记平行于直线DE ，且与圆相切的直线分别为NQ 和BF ，则x ＋y 的最大值为AB AD ＝4＋23，x ＋y 的最小值为ANAD＝4－2 3.答案 [4－23，4＋23]15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AB 的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥A 1­DEBC .设线段A 1C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面A 1DE ； ②三棱锥C ­A 1DE 体积的最大值为423； ③存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°. 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析 取DC 的中点为F ，连接FM ，FB ， 如图所示，可得MF ∥A 1D ，FB ∥DE ，可得平面MBF ∥平面A 1DE ， 所以BM ∥平面A 1DE ，所以①正确；当平面A 1DE 与底面ABCD 垂直时，三棱锥C ­A 1DE 的体积取得最大值，最大值为13×12A 1D×A 1E ×EC ＝13×12×2×2×22＝432，所以②正确；假设存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°，因为DE ⊥EC ，所以DE ⊥平面A 1EC ， 可得DE ⊥A 1E ，即AE ⊥DE ，与已知条件矛盾，所以③不正确．故答案为①②. 答案 ①②16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当2k1k2＋ln|k1|＋ln|k2|最小时，双曲线的离心率为________．解析设A(x1，y1)，C(x2，y2)，由题意知，点A，B为过原点的直线与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点，∴由双曲线的对称性，得A，B关于原点对称，∴B(－x1，－y1)，∴k1k2＝y2－y1x2－x1·y2＋y1x2＋x1＝y22－y21x22－x21，∵点A，C都在双曲线上，∴x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减，可得k1k2＝b2a2>0，对于2k 1k2＋ln|k1|＋ln|k2|＝2k1k2＋ln|k1k2|，设函数y＝2x＋ln x，x>0，由y′＝－2x2＋1x＝0，得x＝2，当x>2时，y′>0，当0<x<2时，y′<0，∴当x＝2时，函数y＝2x＋ln x，x>0取得最小值，∴当2k 1k2＋ln(k1k2)最小时，k1k2＝b2a2＝2，∴e＝1＋b2a2＝ 3.答案 3三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝3，AD＝2.(1)求sin∠ABD；(2)若cos ∠BDC ＝17，求△BCD 的面积．解析 (1)在△ABD 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝2，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝9＋4－6＝7，所以BD ＝7，(2分)由正弦定理，得BD sin A ＝ADsin ∠ABD，(4分)所以sin ∠ABD ＝AD ·sin ABD＝2×327＝37＝217.(6分)(2)因为AB ⊥BC ，所以∠ABC ＝90°，所以cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝37，所以sin ∠DBC ＝27 .因为cos ∠BDC ＝17，所以sin ∠BDC ＝437.(8分)所以sin C ＝sin(π－∠BDC －∠DBC ) ＝sin(∠BDC ＋∠DBC )＝sin ∠BDC cos ∠DBC ＋cos ∠BDC sin ∠DBC ＝437×37＋17×27＝27.(10分) 所以sin ∠DBC ＝sin C ，所以∠DBC ＝∠C ， 所以DC ＝BD ＝7，所以S △BCD ＝12DC ·BD ·sin ∠BDC ＝12×7×7×437＝2 3.(12分)18．(12分)某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中，有“难度系数”和“区分度”两个指标．其中，难度系数＝年级总平均分总分，区分度＝实验班的平均分－普通班的平均分总分.(1)在某次数学考试(满分150分)中，从实验班和普通班各随机抽取三人，实验班三人的成绩分别为147分，142分，137分，普通班三人的成绩分别为97分，102分，113分，通过样本估算本次考试的区分度(精确到0.01)．(2)以下表格是高三年级6次考试的统计数据：算说明，能否利用线性回归模型拟合y 与x 的关系；②已知t ＝|x －0.74|，求出y 关于t 的线性回归方程，并预报x ＝0.75时y 的值(精确到0.01)．参考数据：∑i ＝16x i y i ＝0.930 9,∑i ＝16 (x i －x →)2∑i ＝16 (y i －y →)2≈0.011 2，∑i ＝16t i y i ＝0.048 3，∑i ＝16(t i －t →)2≈0.007 3.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x →)(y i －y →)∑i ＝1n (x i －x →)2∑i ＝1n(y i －y →)2＝∑i ＝1nx i y i －n x →y→∑i ＝1n (x －x →)2∑i ＝1n(y i －y →)2，线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n(x i －x →)(y i －y →)∑i ＝1n(x i －x →)2＝∑i ＝1nx i y i －n x →y→∑i ＝1n(x i －x →)2，a ^＝y →－b ^x →. 解析 (1)易求得实验班三人成绩的平均分为147＋142＋1373＝142(分)，普通班三人成绩的平均分为97＋102＋1133＝104(分)，所以区分度为142－104150≈0.25.(3分)(2)①由表格数据知，x →＝0.64＋0.71＋0.74＋0.76＋0.77＋0.826＝0.74，y →＝0.18＋0.23＋0.24＋0.24＋0.22＋0.156＝0.21，r ＝∑i ＝16x i y i －n x →y→∑i ＝16(x i －x →)2∑i ＝16(y i －y →)2≈0.930 9－6×0.74×0.210.011 2≈－0.13，故|r |<0.75，相关性较弱．(6分)综上可知，不能利用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(7分) ②y 与t 的值如下表：t 0.10 0.03 0 0.02 0.03 0.08区分度y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15则b ^＝∑i ＝16t i y i －n t →y →∑i ＝16t i －t→2≈0.048 3－6×0.266×0.210.007 3≈－0.86，a ^＝y ^－b ^t →＝0.21＋0.86×0.266≈0.25.故所求回归方程为y ＝－0.86t ＋0.25，(11分) 当x ＝0.75时，t ＝0.01，所以y ≈0.24.(12分)19．(12分)(2019·湖南长沙检测)如下图，已知三棱锥P ­ABC 的平面展开图中，四边形ABCD 为边长等于2的正方形，△ABE 和△BCF 均为等边三角形．(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥P ­ABC 的表面积和体积．解析 (1)证明：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，如图．由题意，得PA ＝PB ＝PC ＝2，又AC ＝AB 2＋BC 2＝2，所以PO ＝1，AO ＝BO ＝CO ＝1.(2分) 因为在△PAC 中，PA ＝PC ，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC .(3分) 因为在△POB 中，PO ＝1，OB ＝1，PB ＝2，所以PO 2＋OB 2＝PB 2， 所以PO ⊥OB .(5分)又因为AC ∩OB ＝O ，AC ，OB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC . 又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC .(7分) (2)三棱锥P ­ABC 的表面积S ＝2×2＋2×34×(2)2＝2＋ 3.(9分) 由(1)知，PO ⊥平面ABC ，所以三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PO ＝13×12×2×2×1＝13.(12分) 20．(12分)已知抛物线C ：y ＝－x 2，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为－12，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间(不包括点A ，点B )，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 的斜率k 的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．解析 (1)由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94，设P (x P ，－x 2P )，－12<x P <32，所以k ＝－x 2P ＋14x P ＋12＝－x P ＋12∈(－1,1)， 故直线AP 的斜率k 的取值范围是(－1,1)．(4分) (2)直线AP ：y ＝kx ＋12k －14，直线BQ ：x ＋ky ＋94k －32＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12k －14，x ＋ky ＋94k －32＝0，可知，点Q 的横坐标为x Q ＝3－4k －k 22k 2＋2，(5分)|PQ |＝1＋k 2(x Q －x P )＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k －k 22k 2＋2＋k －12 ＝(k －1)2(1＋k )1＋k2，(6分) |PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x P ＋12＝1＋k 2(1－k )，(7分)所以|PA |·|PQ |＝(1－k )3(1＋k )，(8分) 令f (x )＝(1－x )3(1＋x )，－1<x <1，则f ′(x )＝(1－x )2(－2－4x )＝－2(1－x )2(2x ＋1)， 当－1<x <－12时，f ′(x )>0，当－12<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1上单调递减．故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2716，即|PA |·|PQ |的最大值为2716.(12分) 21．(12分)已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a 的取值范围． 解析 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ， 其定义域为(0，＋∞)， 所以F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x(x ＞0)．(1分)①当a ＞0时，由ax 2－1＞0，得x ＞1a，由ax 2－1＜0，得0＜x ＜1a，故当a ＞0时，F (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减．(3分)②当a ≤0时，F ′(x )＜0(x ＞0)恒成立．故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(4分) (2)原式等价于方程a ＝2ln xx 2在区间[2，e]上有两个不等解．(5分) 令φ(x )＝2ln xx 2，由φ′(x )＝2x (1－2ln x )x 4易知，φ(x )在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，(7分)而φ(e)＝2e 2，φ(2)＝ln 22.由φ(e)－φ(2)＝2e 2－ln 22＝4－e 2ln 22e 2＝ln e 4－ln 2e 22e 2＜ln 81－ln 272e 2＜0，所以φ(e)＜φ(2)． 所以φ(x )min ＝φ(e)，(9分)如图可知φ(x )＝a 有两个不相等的解时，需ln 22≤a ＜1e. 即f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不相等的解时a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 22，1e .(12分) (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)(选修4－4：坐标系与参数方程)已知直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.(1)写出直线l 的参数方程的标准形式，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 到点P 的距离．解析(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋t 2(t 为参数，t ∈R )．由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，得ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(5分) (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋t 2代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 2－12＝2，整理得t 2＋t －1＝0，Δ＝5>0，t 1＋t 2＝－1， ∴|MP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝12.(10分) 23．(10分)(选修4－5：不等式选讲) 已知函数f (x )＝x 2－|x |＋3. (1)求不等式f (x )≥3x 的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)当x ≥0时，f (x )＝x 2－x ＋3≥3x ， 即x 2－4x ＋3≥0，解得x ≥3或x ≤1，所以x ≥3或0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ＋3≥3x ， 此不等式x 2－2x ＋3≥0恒成立，所以x <0.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤1}．(5分) (2)f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，即－|x |＋3≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |≥3恒成立， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2 ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a －x 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＝|a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2≥|a |，当且仅当x ＝0时，等号成立， ∴|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3.故实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(10分)。