有理数的乘方21

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想一想2_有理数的乘方

你见过拉面师傅拉面条吗？拉面师傅将一根粗面条拉长、两头捏合，再拉长、捏合，重复这样，就拉成许多根细面条.据报道，在一次比赛中，某拉面师傅用1kg面粉拉出约209万根面条，你知道，面条一共有21=2根，第二次拉长、捏合后，面条一共有22=4根，第三次拉长、捏合后，面条一共有23=8根…… 第 n 次拉长、捏合后，面条一共有2n根. 很多根面条不可能每根每根地数，但只要记住拉面师傅一共重复了拉长、捏合动作的次数，就可以大致估算出拉出的面条的数目. 利用计算器我们可得221=2097152.

有理数的乘方

您值得信赖的个性化辅导机构学科教师辅导讲义课题有理数的乘方 1.了解有理数乘方的意义，能熟练进行有理数的乘方运算； 2.熟练进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，灵活运用运算律简化运算； 3.进一步感受大数，用科学计数法表示绝对值大于 10 的数； 4.知道一个正数的任何次幂都是正数；一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数； 5.了解近似数的概念，能按要求取近似数，体会近似数在生活中的应用. 难点：理解乘方、幂、指数、底数的概念，掌握乘方与幂的表示法；重点：理解幂的符号法则，会根据定义进行有理数的乘方运算；会进行乘方、乘、除的简单混合运算理解乘方的意义；掌握有理数乘方的运算、进行有理数的混合运算.教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容知识回顾1.有理数加减法 (1)有理数加法法则： a、同号两数相加，取的符号，并把相加。

b、绝对值不相等的异号两数相加，取的加数的符号，并用减去。

互为相反数的两个数相加得。

c、一个数同 0 相加，仍得。

(2)有理数的减法：减去一个数，等于。

(3)有理数加减法运算律：加法交换律、加法结合律 2.有理数乘除法 (1)有理数乘法法则：两数相乘，，，并把绝对值相乘。

任何数同 0 相乘，都得。

(2)有理数乘法步骤：先判断结果符号，再计算结果。

(3)多数相乘结果符号判断：几个不是 0 的数相乘，的个数是偶数时，积是正数；的个数是奇数时，积是负数。

(4)倒数：乘积是的两个数互为倒数。

(5)有理数除法法则：（1）除以一个不等于 0 的数，等于。

（2）两数相除，，，并把相除，0 除以任何一个不等于 0 数，都得 0。

(6)乘法运算律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

新课知识知识点一：有理数乘方的意义（重点） 1.求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方.乘方的结果叫做幂.您值得信赖的个性化辅导机构2.一般地，n 个相同的因数 a 相乘，即，记作 a n ，读作 a 的 n 次方.当将 a n 看作 a 的n 次方的结果时，也可以读作 a 的 n 次幂，如  32 读作“负3的2次方”或“负3的2次幂”. 3.在 a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，如  53 中，-5为底数，3为指数.（1）一个数可以看作是自身的一次方.例如：3就是 31 ，m 就是 m1 ，通常指数1省略不写. （2）当底数是分数或负数时，要先用括号将底数括起来，再在其右上角写上指数，指数要写得小些. 例1.下列各式中，正确的是（） A.5×5×5×5=4×5 C.   B. 43  34 D.  2  2  2  2   24 ，所以只有 D 符合条件，故选 D.2 2 2 2      3 3 3 33解析：一般地，n 个相同因数 a 相乘，记作 a n ，即知识点二：有理数的乘方运算及性质（重点） 1.负数的奇数幂是负数，负数的偶次幂是正数. 2.正数的任何次幂都是正数. 3.0的任何正整数次幂都是0,0的0次幂无意义. (1)互为相反数的两个非零数的奇次幂仍然互为相反数，即 a+b=0,则 a 2n1  b2n1  0n为自然数，a  0.b  0 a  0.b  0(2)互为相反数的两个非零数的偶次幂相等，即若 a+b=0,则 a 2n  b2n n为自然数， (3)1的任何次幂都是1；-1的奇次幂都是-1.-1的偶次幂都是1. (4)任何数的偶次幂（排除 00 ）都是非负数（比较常用的是二次方，如 a 2  0 ）. (5)平方等于它本身的数只有0和1；立方等于它本身的数只有0和±1. 例2.不做运算，判断下列个各运算结果的符号：（1）  1111 ；（2）  224 ；（3） 1.72013 ；（4）   ；（5）   223 ；（6） 0 2014 . 思路引导：根据有理数乘方的符号法则直接判断即可. 知识点三：有理数的混合运算 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2.同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3.如果有括号，就先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的. ① 乘方是三级运算，乘除是二级运算，加减是一级运算，有理数混合运算要从高级到低级依次计算.4 35您值得信赖的个性化辅导机构 ② 含有多重括号时，去括号内的一般方法是由内向外，即依次去掉小括号、中括号、大括号. 例 3.计算 32      2    1  33 1   23解析：首先要计算的是乘方的运算，然后计算乘除，最后计算加减解：原式  9    1   1   2    27   8 1 2    16  15 3 3知识点四：科学记数法（重点） 1.把一个大于10的数表示成 a 10n 的形式（其中 a 大于或等于1且小于10，n 是正整数），使用的是科学记数法，如 567 000000 = 5.67× 108 . 2.对于小于-10的数也可以类似表示 - 567 000000 = -5.67× 108 . 科学记数法中 a 和 n 的确定学法指南（1）确定 a 时，要根据科学记数法的规定，使它为只含有一位整数的数（即 a 大于或等于1且小于10）；（2）确定 n 一般有两种方法：方法一：利用整数的位数来求 n,n 等于原数的整数位数减1，如3500是一个4位整数，则 n=3. 方法二：看小数点移动的位数，小数点向左移动了几位，n 就等于几，如从3500到3.5，小数点向左移动了3位，则 n=3. 3.把用科学记数法表示的数转化成原数（重点） ①把科学记数法 a 10n 中的指数加上 1 就得到原数的整数位数，从而确定原数 . 如在 3.4×104 中， n=4,n+1=5.所以原数的整数位数是5，即3.4×104 =34000. ② 科学记数法 a 10n 中的 n 是多少，就把 a 中的小数点向右移动多少位，不够的添0，从而确定原数. 如7.5×106 的指数是6，只要把7.5的小数点向右移动6位，即可化为7500000. 例4.下列各数用科学记数法表示，其中正确的是（ A.105000=10.5×104 B.-4200=-4.2×103 ）您值得信赖的个性化辅导机构C.-10010000=1.001×107D.1010=0.101×104解析：科学记数法要求把一个绝对值大于10的数写成 a×10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，所以 A，D 错误；选项 C，原数是个负数，而写成科学记数法后丢了负号，所以错误；选项 B，-4200 是个负数，写成科学记数法后 a=-4.2,小数点向左移动了3位，10的指数是3，正确. 答案：B 例 5.下列各数的原数是：5.18× 10 =3； 1.02 10 =5。

有理数的乘方运算

有理数的乘方运算有理数（rational numbers）是能表示为两个整数的比的数，包括正整数、负整数、零、分数和小数。

在数学运算中，有理数的乘方运算是其中一种重要的运算。

本文将详细介绍有理数的乘方运算及其规则。

一、有理数的乘方定义有理数的乘方是指将某一个有理数乘以自身若干次的运算。

具体表达形式为 a^n，其中 a 为有理数，n 为整数。

乘方运算中，指数 n 决定了乘方的次数，而基数 a 表示被乘方的有理数。

有理数的乘方运算可以应用于各种数学问题和实际计算中。

二、有理数的乘方规则1. 有理数的零次幂规则任何非零有理数的零次幂均等于 1。

即 a^0 = 1（其中a ≠ 0）。

这一规则是乘方运算的基本性质之一。

2. 有理数的正整数次幂规则a 的正整数次幂可用连乘表示，即 a^n = a * a * ... * a（n 个 a 相乘）。

例如，2 的 3 次幂：2^3 = 2 * 2 * 2 = 8。

3. 有理数的负整数次幂规则a 的负整数次幂可用连除表示，即 a^(-n) = 1 / (a^n)。

例如，2 的 -3次幂：2^(-3) = 1 / (2^3) = 1 / 8 = 0.125。

4. 有理数的分数次幂规则a 的 m/n 次幂可等价转化为 a 的 m 次根号 n，即 a^(m/n) =(a^m)^(1/n)。

例如，27 的 2/3 次幂：27^(2/3) = (27^2)^(1/3) = 729^(1/3) = 9。

5. 有理数的乘方计算顺序规则在多个乘方同时出现时，按照先算括号内的乘方、再算外层乘方的顺序进行计算。

例如，(2^3)^2 = 2^(3*2) = 2^6 = 64。

三、实例分析1. 有理数的零次幂实例对于非零有理数 2，其零次幂为：2^0 = 1。

2. 有理数的正整数次幂实例对于有理数 3，其 5 次幂为：3^5 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243。

3. 有理数的负整数次幂实例对于有理数 -4，其 -2 次幂为：(-4)^(-2) = 1 / ((-4)^2) = 1 / 16 =0.0625。

人教版(2024)数学七年级上册2.3.1.1有理数的乘方课件(共21张PPT)

(1) 9
(2) 27
(3) -81
(4) 243
(5)(-3)×(-3) (6) (-3)×(-3)×(-3) (7)(-3)×(-3)×(-3)×(-3)
(5) 9
(6) -27
(7) 81
像这种，乘数都相同的乘法运算如何表示？怎么计算更简呢？
下面就来研究这种乘法运算！
新知学习
边长为2cm的正方形面积为多少？
（3）底数是0，指数是7， 07 =0×0×0×0 × 0×0×0=0
；（4）底数是
2
3
，指数是3，
2 3 3
2 3
பைடு நூலகம்
2 3
2 3
287.
探究
观察式子，你发现这些负数幂的正负与指数有什么关系？
(-4)3 =(-4)×(-4)×(-4)=
-64；
(-2)4 =(-2)×(-2)×(-2)×(-2)= 16；
07 =0×0×0×0 × 0×0×0= 0；
2 3 3
2 3
2 3
2 3
8 27
请再列举一些乘方的例子.
22 23
22
23
(3)2
33 02 07
底数符号指数的奇偶性
+
偶
+
奇
-
偶
-
奇
-
偶
-
奇
偶
奇
幂的符号 + + + -
+ -
幂的运算，实际是乘法运算，所以计算结果时，也要先定符号，再计算绝对值的乘积：负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数. 正数的任何次幂都是正数. 0的任何正整数次幂都是0.

有理数的乘方

重点讲解
22读作“2的平方”，23读作“2的立方” 同样：（-2）×（-2）×（-2）×（-2）记作（-2）4，读作“-2的四次方” n个相同因数a相乘，记作an,读作“a的n次方” 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在an中， a叫做底数，n叫做指数。
（-3）16中底数，指数，幂格各是什么？在（-5）7中，-5是（）数，7是（）数，
例：计算并=16
（-4）³ =(-4)×(-4)×(-4)=-64 (-3/5)³=(-3/5)×(-3/5)×(-3/5)=-27/125
↓
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
2² =4 2³ =8 02=0 07=0
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0

课堂小结
小测

1、把下列式子写成乘方运算形式（1）3×3×3×3×3×3= （2）2.3×2.3×2.3×2.3= （3）（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3）= （4）½ ×½= （5）a· a· a· a· a(1999个)= 2、读出下列乘方 3³ （-¼ ）5 （-9）8 （-3）³ （½ ）4 76 （-2）4 （-1）99 （-1）2013 (-8）²
有理数的乘方
教学目标：
1、是学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念； 2、能够正确进行有理数的乘方运算。
重点：理解有理数乘方的意义和表示，会进行乘
方运算。
难点：理解有理数乘法运算与乘方间的联系，处
理好负数的乘方运算。
复习
有理数乘法法则、运算法则
练习
1、边长为2的正方形的面积；
2、棱长为2的正方形的体积；
3、（-2）×（-2）×（-2）= 4、（-2）×（-2）×（-2）×（-2）=

有理数的乘方公式

有理数的乘方公式完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)完全立方公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³有理数的乘方：求相同因数的积叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。

正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

有理数的乘方法则：同底数幂法则同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。

a^m×a^n=a^(m+n)或a^m÷a^n=a^(m-n)（m、n均为自然数）幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(a^m)^n=a^(m×n)积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

(a×b)^n=a^n×b^n有理数的乘方运算：1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

2、正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。

3、零的零次幂无意义。

4、由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。

6、0的任何正整数次幂都得0.有理数的乘法运算1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2、任何数与零相乘，都得零。

3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。

有理数的乘方知识点以及分类练习(含解析)

有理数的乘方知识点以及分类练习【知识点1：有理数的乘方的概念和计算】1. 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：na a a an⋅⋅⋅=个.在a n中，a叫做底数， n叫做指数．2. 有理数的乘方特点（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．3.符号法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如a n≥0．【知识点1：有理数的乘方的概念和计算练习】1. 比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（） A ．它们底数相同，指数也相同 B ．它们底数相同，但指数不相同C ．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D ．虽然它们底数不同，但运算结果相同 2. 下列说法中，正确的是（）．A ．一个数的平方一定大于这个数B ．一个数的平方一定是正数C ．一个数的平方一定小于这个数D ．一个数的平方不可能是负数 3. 一个数的平方是它的倒数，那么这个数是（） A ．1B ．0C ．1或0D ．1或1-4. 计算()23-的结果是（） A ．9-B ．9C ．6-D ．65. 下列说法正确的是（） A ．-23的底数是2- B ．23读作：2的3次方 C ．27的指数是0 D ．负数的任何次幂都是负数6. ﹣12020＝（） A ．1B ．﹣1C ．2020D ．﹣20207. 对于式子（-2）3，下列说法不正确的是：（） A ．指数是3B ．底数是2-C ．幂为6-D ．表示3个2-相乘8. 下列各组数中，互为相反数的有（）①(2)--和|2|-- ②2(1)-和21- ③32和23 ④3(2)-和32- A ．④B ．①②C ．①②④D ．①③④9. 下列每对数中，相等的一对是（） A ．（-1）3和-13 B ．-（-1）2和12 C ．（-1）4和-14D ．-|-13|和-（-1）310. 下列各组数中互为相反数的是（） A ．2与0.5B ．（-1）2与1C ．-1与（-1）2D ．2与|-2|11. 下列各组数中，结果相等的是（） A ．52与25 B ．﹣22与（﹣2）2 C ．﹣24与（﹣2）4 D ．（﹣1）2与（﹣1）2012. 下列运算中错误的是（） A ．（-2）4＝16 B ．233=827 C ．（-3）3＝-27 D ．（-1）104＝113. 式子−435的意义是（）．A ． 4与5商的立方的相反数B ．4的立方与5的商的相反数C ．4的立方的相反数除5D ．−45的立方 14. （﹣1）2016的值是（） A ．1 B ．﹣1 C ．2016 D ．﹣2016 15. 下列说法中，正确的个数为( )．①对于任何有理数m ，都有m 2＞0； ②对于任何有理数m ，都有m 2＝(－m)2；③对于任何有理数m 、n(m≠n)，都有(m －n)2＞0； ④对于任何有理数m ，都有m 3＝(－m)3． A ．1 B ．2C ．3D ．016. 在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在235中底数是________，指数是________． 17. 计算：﹣（﹣3）2＝．18. -（-3）＝；-25＝；−(−13)3= ；225= ．19. -[-（-3）]3＝ .20. 已知a ＜2，且|a-2|＝4，则a 3的倒数的相反数是．【知识点：有理数的混合运算】 1.有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2.在运算过程中注意运算律的运用．【知识点：有理数的混合运算练习】 1. 计算(-1)2+(-1)3＝( )A ．-2B ．- 1C ．0D ．22. 计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（） A ．﹣2 B.2 C ．﹣22014D ． 220153. 若(a −1)2+|b −2|=0，则(a −b)2020的值是（） A ．-1B ．1C ．0D ．20184. 1×2+2×3+3×4+…+99×100＝（） A ．223300B ．333300C ．443300D ．4333005. 计算(－2)2009＋3×(－2)2008的值为( ) A ．－22008B ．22008C ．(－2)2009D ．5×220086. 计算−32×(−13)2−（−2）3÷（−12）2的结果是（）． A ．-33 B ．-31 C ．31 D ．337. 如果()()01122=-++b a ，那么()2a b -的值为( ) ．A ．0B ．4C ．－4D ．28. 已知n 表示正整数，则 n n 1(1)(1)2+-+- 的结果是（）A ．0B ．1C ．0或1D ．无法确定，随n 的不同而不同9. 若a ，b ，c 均为整数，且20212020||||1a b c a -+-=，则||||||a c c b b a -+-+-的值为（）A ．2B ．3C ．2020D ．202110. 设三个互不相等的实数，既可表示为1，,a b a +的形式，又可表示为0，,bb a的形式，则20192020a b +的值是（） A ．0 B ．1- C ．1D ．211. 如果有理数m 、n 满足m ≠0，且m ＋2n ＝0，则−(n m )2= ． 12. 看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有个孙悟空． 13. 若|a ＋1|＋（b －2）2＝0，则（a ＋b ）2＋a 2003＝． 14. 如图是一个计算程序，若输入的值为﹣1，则输出的结果应为．15. 阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2016＝1成立的x 的值为． 16. 计算：（1）4×（﹣12−34+2.5）×3﹣|﹣6|；（2）（﹣1）3×（﹣12）÷[（﹣4）2+2×（﹣5）]．17. 计算：（1）-14－（1－0.5）×13－[2－（-3）2]（2）（-2）4÷（-4）×（12）2－1218. 计算：（1）-81÷214-（-94）÷（-16）（2）-15-213+415÷（-3）×（-521）（3）（-2）3×214+（-32）2÷（-12）3 （4）-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)（5）（-1）5-[-3×（-23）2-113÷（-2）2]19.用简便方法计算：(1)（35−12−712）×（60×37−60×17+60×57）(2)[113×（1-14）2－（-112）2×316]×（-513）20.某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（由1个分裂成2个）．若经过4小时，100个这样的细菌可分裂成多少个？a⨯的形式（其中a是整数数位只有一位的数，1.把一个大于10的数表示成10nl≤|a|＜10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如：42000000＝4.2×107.2.负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如：-3000＝-3×103；3.把一个数写成a×10n形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.【知识点：科学计数法练习】1.国家统计局的相关数据显示，2018年我国国民生产总值(GDP)超过90万亿元，将这个数据用科学记数法表示为( )A．9×1013元B．9×1012元C．90×1012万元D．9×10142.据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为（）A．7.6057×105人 B．7.6057×106人C．7.6057×107人 D．0.76057×107人3.计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107D．1×1064.全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是____________．5.用科学记数法表示：（1）3870000000；（2）3000亿；（3）-287.6.（1）___________（2）________（3）___________1.探索规律的一般方法：（1）从具体的，实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；（2）由此及彼，合理联想；（3）善于类比，从不同事物中发现其相似或相同点；（4）总结规律，大胆猜想，做出结论，并验证结论正确与否；S（5）在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，收到事半功倍的效果。

有理数的乘方与开方计算

有理数的乘方与开方计算在数学中，我们经常会涉及到有理数的乘方与开方计算。

有理数是整数与分数的统称，包括正数、负数和零。

有理数的乘方与开方运算，是数学中非常重要且基础的概念。

本文将详细探讨有理数的乘方与开方计算方法，帮助读者更好地理解并掌握这一知识点。

有理数的乘方运算包括正数幂、负数幂和零次幂。

首先，让我们来看一下正数的乘方运算。

当一个有理数的正数次幂时，只需将底数连乘该数的次数即可。

例如，2的3次方，即2乘以2乘以2，结果为8。

同理，-3的4次方，即负三乘以负三乘以负三乘以负三，结果为81。

而有理数的负数次幂，则需要借助幂数的倒数来表示，例如，2的-2次方等于1除以2的2次方，结果为1/4。

其次，有理数的零次幂均为1。

无论底数为何有理数，其零次幂都等于1，这是一个重要的数学规律。

比如，7的0次方、-5的0次方、0的0次方，它们的结果均为1。

有理数的开方运算也是乘方运算的逆运算。

开方运算可以将一个数分解成若干个相同的因数相乘的形式。

例如，开2次方即为对一个数求平方根，开3次方即为对一个数求立方根。

当底数为正数时，开方运算存在两个解，一个为正值，一个为负值。

而当底数为负数时，开方运算的结果为虚数。

比如，开4的平方根，结果为2和-2；开-8的立方根，结果为2i和-2i。

了解有理数的乘方与开方计算方法，可以帮助我们更好地解决实际生活中的问题。

数学是一门重要的学科，它在我们的日常生活中扮演着至关重要的角色。

通过不断学习和探索，我们可以更好地理解数学知识，提升自己的数学素养。

希望本文对读者有所帮助，让我们一起努力学习，探索数学的奥秘！。

有理数的乘方

n为正整数
乘方与指数的关系：
a^(m/n)=a^ m^(1/n)，其中a>0，n为正
整数
乘方与开方互为逆运算
乘方的结果称为幂
幂的底数、指数和幂之间存在关系
开方的结果称为平方根或立方根
计算大数乘积：利用乘方可以快速计算大数的乘积，提高计算效率。
近似计算：利用乘方可以近似计算一些无理数和超越函数的值。
金融计算：在金融领域，利用有理数乘方可以计算复利、折现等，是进行投资理财决策的重要依据。
加密算法：在密码学中，有理数乘方是实现公钥加密算法的一种重要手段，保障信息安全。
乘方与几何图形面积的计算：利用乘方计算几何图形的面积，如正方形的面积、圆柱体的侧面积等。
乘方与代数方程的解：通过乘方将方程式简化，从而更容易求解。
未定义的
指数为负数的情况：负数的偶数次方是正数，奇数次方是负数，需要注意结果的符
号
底数为0的情况： 0的任何正整数次方都等于0，但0的负数次方
是未定义的
精确度问题：有理数乘方运算可能导致精度损失，需要注意数值范围和舍入误差。
指数问题：有理数乘方运算的指数必须是整数，不能是小数或分数。
乘方运算满足交换律和结合律
乘方运算可以分配律
乘方运算有指数律，即 a^m*a^n=a^(m+n)
乘方运算的结果不能为负数
负数的偶数次方：结果为正数负数的奇数次方：结果为负数 0的任何次方：结果为0 1的任何次方：结果为1
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定义：乘方运算的逆元是指一个数经过乘方运算后，再取其倒数，结果为1。
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符号问题：有理数乘方运算需要考虑符号的变化，特别是负数的偶数次方和奇数次方。

《有理数的乘方》优秀教案

《有理数的乘方》优秀教案《有理数的乘方》优秀教案作为一名人民教师，有必要进行细致的教案准备工作，借助教案可以更好地组织教学活动。

来参考自己需要的教案吧！以下是店铺精心整理的《有理数的乘方》优秀教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。

《有理数的乘方》优秀教案篇1教学目标1、理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算;2、培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力，以及学生的探索精神;3、渗透分类讨论思想?教学重点和难点重点：有理数乘方的运算?难点：有理数乘方运算的符号法则?课堂教学过程设计一、从学生原有认知结构提出问题在小学我们已经学习过aa，记作a2，读作a的平方(或a的二次方);aaa作a3，读作a的立方(或a的三次方);那么，aaaa可以记作什么?读作什么?aaaaa呢?在小学对于字母a我们只能取正数?进入中学后，我们学习了有理数，那么a还可以取哪些数呢?请举例说明?二讲授新课1、求n个相同因数的积的运算叫做乘方?2、乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数?一般地，在an中，a取任意有理数，n取正整数?应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果?当an看作a 的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。

3、我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，就是表示n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算?例1 计算：(1)2， 2， 2，24; (2)-2， 2， 3，(-2)4;(3)0，02，03，04?教师指出：2就是21，指数1通常不写?让三个学生在黑板上计算?引导学生观察、比较、分析这三组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系?(1)模向观察正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数;零的任何次幂都是零?(2)纵向观察互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等?(3)任何一个数的偶次幂都是什么数?任何一个数的偶次幂都是非负数?你能把上述的结论用数学符号语言表示吗?当a0时，an0(n是正整数);当a当a=0时，an=0(n是正整数)?(以上为有理数乘方运算的符号法则)a2n=(-a)2n(n是正整数);=-(-a)2n-1(n是正整数);a2n0(a是有理数，n是正整数)?例2 计算：(1)(-3)2，(-3)3，[-(-3)]5;(2)-32，-33，-(-3)5;(3) ， ?让三个学生在黑板上计算?教师引导学生纵向观察第(1)题和第(2)题的形式和计算结果，让学生自己体会到，(-a)n的底数是-a，表示n个(-a)相乘，-an是an的相反数，这是(-a)n与-an的区别?教师引导学生横向观察第(3)题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方时要加括号，不然就是另一种运算了?课堂练习计算：(1) ，，，- ， ;(2)(-1)2001，322，-42(-4)2，-23(-2)3;(3)(-1)n-1?三、小结让学生回忆，做出小结：1、乘方的有关概念?2、乘方的符号法则?3?括号的作用?四、作业1、计算下列各式：(-3)2;(-2)3;(-4)4; ;-0.12;-(-3)3;3(-2)3;-6(-3)3;- (-4)2(-1)5?2、填表：3、a=-3，b=-5，c=4时，求下列各代数式的值：(1)(a+b)2; (2)a2-b2+c2; (3)(-a+b-c)2; (4)a2+2ab+b2?4、当a是负数时，判断下列各式是否成立?(1)a2=(-a)2; (2)a3=(-a)3; (3)a2= ; (4)a3= .5、平方得9的数有几个?是什么?有没有平方得-9的有理数?为什么?6、若(a+1)2+|b-2|=0，求a2000b3的值?课堂教学设计说明1、数学教学的重要目的是发展智力，提高能力，而发展智力、提高能力的核心是发展学生的思维能力?教学中，既要注重罗辑推理能力的培养，又重注重观察、归纳等合情推理能力的培养?因此，根据教学内容和学生的`认知水平，我们再一次把培养学生的观察、归纳等能力列入了教学目标?2、数学发展的历史告诉我们，数学的发展是从三个方面前进的：第一是不断的推广;第二是不断的精确化;第三是不断的逼近?在引入新时，要尽可能使学生的学习方式与数池家的研究方式类似，不断进行推广.a2是由计算正方形面积得到的，a3是由计算正方体的体积得到的，而a4，a5，，an是学生通过类推得到的?推广后的结果是还要有严密的定义，让学生从更高的观点看自己推广的结果?一般来说，一个概念或一个公式形成后，要对其字母的意义、相互的关系、应用的范围逐项分析?在an中，a取任意有理数，n 取正整数的说明还是必要的，要培养学生这种良好的学习习惯?3、把学生做巩固性练习和总结运算规律放在一起进行，其效果就远远超出了巩固性练习的初衷?我们知道，学生必须通过自己的探索才能学会数学和会学数学，与其说学习数学，不如说体验数学、做数学?始终给学生以创造发挥的机会，让学生自己在学习中扮演主动角色，教师不代替学生思考，把重点放在教学情境的设计上?例如，通过实际计算，让学生自己休会到负数与分数的乘方要加括号?4、有理数的乘方中反映出来的数学思想主要是分类讨论思想，在例1中，精心设计了三组计算题，引导学生从底数大于零、等于零、小于零分析、归纳、概括出有理数乘方的符号法则，使学生在潜移默化中形成分类讨论思想?符号语言的使用，优化了表示分类讨论思想的形式，尤其是负数的奇次幂和偶次幂是大分类中的小分类，用符号语言就更加明显?在练习中让学生完成问题(-1)n-1，进一步巩固了分类讨论思想，使这种思想得以落实?《有理数的乘方》优秀教案篇2教学目标1.知道乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算;2.知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂;3.会用科学记数法表示较大的数.教学重点1.有理数乘方的意义，求有理数的正整数指数幂;2.用科学记数法表示较大的数.教学难点有理数乘方结果(幂)的符号的确定.教学过程(教师)问题引入手工拉面是我国的传统面食.制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折(每次对折称为一扣)，如此反复操作，连续拉扣若干次后便成了许多细细的面条.你能算出拉扣6次后共有多少根面条吗?乘方的有关概念试一试：将一张报纸对折再对折……直到无法对折为止.你对折了多少次?请用算式表示你对折出来的报纸的层数.你还能举出类似的实例吗?有理数的乘方：同步练习1.对于式子(-3)6与-36，下列说法中，正确的是()A.它们的意义相同B.它们的结果相同C.它们的意义不同，结果相等D.它们的意义不同，结果也不相等2.下列叙述中：①正数与它的绝对值互为相反数;②非负数与它的绝对值的差为0;③-1的立方与它的平方互为相反数;④±1的倒数与它的平方相等.其中正确的个数有()A.1B.2C.3D.4《有理数的乘方》优秀教案篇3教学目标：1、知识与技能:了解科学记数法的意义，会用科学记数法表示绝对值比较大的数。

【例题与讲解】有理数的乘方

有理数的乘方1．有理数乘方的概念 (1)乘方的意义：一般地，n 个相同的因数a 相乘：，记作a n ，即＝a n ，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作a 的n 次方(或a 的n 次幂)．(2)乘方的表示方法(3)学习乘方的意义，需要注意的几个方面： ①注意乘方的双重含义乘方指的是求几个相同因数的积的运算，其结果叫做幂．由此不难发现，乘方具有双重含义：一是乘方表示一种运算；二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果．如25中，25可以看成一种运算，表示有5个2相乘，即25＝2×2×2×2×2，这时，25应读作2的五次方；另一方面，25又可看成5个2相乘的结果，即2×2×2×2×2＝25，这时25却读作2的5次幂；②注意乘方底数的书写格式乘方的书写一定要规范，不然会引起误会．当底数是负数或分数时，一定要记住添上括号，以体现底数是负数或分数的整体性．如(－3)×(－3)×(－3)×(－3)应记作(－3)4，不能记作－34.(－3)4与－34表示的意义和结果完全不同．前者表示4个－3相乘，结果为81；后者为4个3相乘的积的相反数，结果为－81.再如54×54×54×54×54×54应记作⎝ ⎛⎭⎪⎫546，不能记作564；③一个数可以看成这个数本身的一次方，如3就是31，a 就是a 1，只是指数1通常省略不写；④a n 与－a n 的区别：ⅰ.a n 表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．ⅱ.－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数．如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作－3的3次方，表示3个－3相乘，(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.所以(－3)3与－33的结果虽然都是－27，但表示的含义并不同．⑤注意乘方运算的转化．计算乘方运算的结果时，应将乘方运算转化为乘法运算来完成．如计算(－5)3时，应将它转化为计算(－5)×(－5)×(－5)的积；再如计算⎝ ⎛⎭⎪⎫124时，应将它转化为计算12×12×12×12的积．【例1】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数，指数各是什么 (1)(－× (－×(－×(－×(－； (2)25×25×25×25； (3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )．分析：以上三题都是相同因数相乘，可用乘方的形式表示，相同因数为底数，相同因数的个数为指数，指数写在右上角．解：(1)(－×(－×(－×(－×(－＝(－5； (2)25×25×25×25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254；(3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )＝a 2 011.警误区书写乘方的注意事项当底数是负数或分数时，写成乘方的形式时，底数一定要加上括号，如(1)，(2)两题．2．乘方运算的符号法则(1)有理数乘方的符号法则：①正数的任何次幂是正数；②负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；③0的任何次幂等于0；1的任何次幂等于1.(2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化，关于乘方有如下几个性质：①0的任何正整数次幂都是0；互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数．如0n ＝0(n 是正整数)；(－4)6＝46；(－4)3＝－43.②进行乘方运算时与其他运算一样，先要确定符号，再计算出绝对值，同时还应注意(－a )2n ＝a 2n ，(－a )2n ＋1＝－a 2n ＋1(n 是正整数)，由乘方的法则我们还知道：a 2n ≥0，即任何有理数的偶次幂是非负数．谈重点决定乘方结果的符号的因素有理数乘方结果的符号取决于：一底数的符号，二指数的奇偶．【例2】利用有理数乘方运算的符号法则计算： (1)(－3)2；(2)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－434；(4)(－1)11；(5)(－1)2；(6)(－1)2n ；(7)(－1)2n －1.分析：根据有理数乘方的符号法则：(2)正数的任何次幂都是正数，(1)(3)(5)(6)是负数的偶次幂，结果为正；(4)(7)是负数的奇次幂，结果为负．解：(1)(－3)2＝3×3＝9； (2)＝××＝；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－434＝43×43×43×43＝25681； (4)(－1)11＝－1； (5)(－1)2＝1； (6)(－1)2n ＝1； (7)(－1)2n －1＝－1.3．有理数乘方的运算有理数乘方运算的思路：确定幂的符号；确定幂的绝对值．有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果．因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来运算幂的绝对值，最后得出幂的结果．例如计算(－5)3，先确定幂的符号为“－”号，再计算53＝125，即(－5)3＝－125；再如，计算(－2)×32时，先算32＝9，再算(－2)×9＝－18.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘．在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错．【例3－1】计算：(1)－33；(2)(－2)2；(3)(－3×2)3；(4)－(－2)3.分析：运算时，先确定符号，再计算乘方．(1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数－3×2＝－6，再计算(－6)3；(4)先计算(－2)3，其结果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数．解：(1)－33＝－(3×3×3)＝－27；(2)(－2)2＝4；(3)(－3×2)3＝(－6)3＝－216；(4)－(－2)3＝－(－8)＝8.警误区勿把底数乘指数在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误．如－33＝－(3×3)＝－9，这是由于没有理解乘方的意义导致的．【例3－2】计算(－10×412的值．分析：直接求(－10和412比较麻烦，但仔细观察可以发现(－10＝，表示10个相乘，而412表示12个4相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律，比较容易求出结果．解：(－10×412＝10×412＝[10×410]×42＝×4)10×42＝1×16＝16.4.有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便．现代高科技技术离不开数学技术，数学也是一门神奇的艺术，它那神奇的力量常常让人感到意外和惊奇！比如，一层楼高约3米，一张纸的厚度只有0.1毫米，0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计，如果我们将纸对折、再对折，如此这样对折20次后，其厚度将比30层楼房还要高，这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用．数学是一门规律性很强的学科，只要掌握了它的规律，很多问题都可以迎刃而解了，乘方的规律也不例外．同学们要认真思考，仔细观察找到有理数乘方应用的规律．【例4】“兰州拉面”在学校门口开了一个连锁店，今天开张，做拉面的张师傅站在门口进行广告宣传，当众拉起了拉面．他精湛的拉面技术赢得了围观顾客的阵阵喝彩，吃面的人更是络绎不绝．张师傅先是用一根直径约13厘米的粗面条，把两头捏起来拉长，然后再把两头捏起来拉长，不断地这样，张师傅共拉了10次，在他手里出现了一根根直径约0.1毫米的细面条．算一算：张师傅拉10次共拉出了多少根细面条若拉n次呢(请把探索的结果填入下表中)8根，所以第n次拉出2n根．解：拉面的根数与拉面的次数n有关系，拉面的根数＝2n.5．与乘方相关的探究题探究题是近几年中考中的亮点，渗透多个知识点，形式多样．解题时，一般遵循从特殊到一般的探究思路，先准确计算几个特例的结果，再通过对这些结果的分析、归纳得到一个较一般的结论，最后再应用这个结论解决问题．由于乘方是一种新运算，它是一种特殊的乘法，特殊在因数相同，是同学们新接触的运算，所以解决问题时要注意，当底数是分数或负数时，写成幂时底数要加括号．与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如3n的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1，…依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用2n 或⎝ ⎛⎭⎪⎫12n求解．【例5－1】有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．(1)对折2次后，厚度为多少毫米 (2)对折20次后，厚度为多少毫米分析：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出对应关系．根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×＝22×0.1毫米，对折3次后厚度变为8×＝23×0.1毫米，对折4次是16×＝24×0.1毫米，对折5次是32×＝25×0.1毫米，……，从中探寻规律，解答问题．解：(1)×22＝(毫米)． (2)(220×毫米．【例5－2】 1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多少米长分析：此题的关键是找出每次截完后，剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关系．解：第7次后剩下的小棒有⎝ ⎛⎭⎪⎫127×1＝1128(米)．。

华师大版七年级数学上册《有理数的乘方》课件(共21张PPT)

2.计算：
（1）（-1)3 (2)(-1)10 (3）（0.1)3
(4)(3/2)4
(5)(-2)3×(-2)2
(6)(-1/2)3×(-1/2)5
一、把下列乘法的形式写成乘方的形式：
1、1×1×1×1×1×1×1= ；17
底数是负数的乘方要加括号
2、3×3×3×3×3= 3；5
3、（－3）×（－3）×（－3）×（－3）= ( 3；)4
华东师大版七年级（上册）
§2.11 有理数的乘方
回顾 & 思考☞
1、如图,边长为a的正方形的面积？棱长为a的正方体的体积？
面积为：a·a 可记作： a2 读作：a的平方
体积为：a·a·a 可记作： a3 读作： a的立方
2、某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个。
1个小时后分裂2次
2×2个
4、5 5 5= 5
6666
5
；6
4
底数是分
数的乘方
要加括号
二、把下列乘方写成乘法的形式：
1、0.=93 0 .9 0 ；.9 0 .9
2、
9
4
=
7
9 7
9 7
；79
9 7
3、ab=2 aba ；b
三、判断下列各题是否正确：
（错）① 23 2；3
（错）② 222；23
（对）③ 232；22
100
问:数8有没有指数?若有你能说出它的指数吗? 那a呢?
计算并观察
( 1 ) 4 3 ;( 2 ) 2 4 ;( 3 ) 4 3 ;( 4 ) 2 4 (5)(-2)5 解：1 43 44464 2 24 222216
3 43 4 4 4 64

有理数的乘除乘方运算(含答案)

有理数的运算(乘、除、乘方)教学目的:1、理解有理数的乘法法则；掌握异号两数的乘除运算的规律：2、会进行有理数的乘法、除法、乘方的运算，能灵活运用运算律进行简化运算。

教学重点:1、有理数的乘法、除法法则：2、熟练的进行有理数乘法、除法、乘方运算。

教学难点:若干个有理数柑乘，积的符号的确定，乘方的符号确世。

有理数的乘法有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

例题目的：掌握有理数的乘法法则。

有理数乘法法则的推广：(1) 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负数的个数为奇数时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正。

(2) 几个数相乘，有一个因数为0,积为0. ⑵ 1^X (-1)X (-2.5)X (-A) 3 9 25例®目的：会算两个以上有理数的乘法，并能判定积的符号。

有理数乘法的运算律：衽有理数运算中，乘法的交换律，结合律以及乘法对加法的分配律仍然成立。

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位S,积不变，用式子表示为a b=b a例1：计算⑴(-5)x(-3)⑵(一7)x41 7例 2： (I) -X(--)x(-4)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.用式子表示成(a ・b)・c=a ・(b ・c)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘. 用字母表示成-a(b+c)=a ・b+a ・c⑶7唏心)例題目的：掌握有理数乘法的运算律。

有理数的除法法则两个有理数相除，同号得正，异号向负，并把绝对值相除。

0除以任何非0的数都得0。

倒数与负倒数的概念：乘积为1的两个有理数互为倒数，即若a, b 互为倒数，则ah = l ；乘积为一1的两个有理数互为负倒数，即若互为负倒褻则a b = -l法则2：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即《4 ="・一0式0) b 例4： 1.求下列各■数的倒数，负倒数。

有理数的乘方重难点题型归纳总结(含答案)

有理数的乘方-重难点题型即有：.在【题型1 有理数乘方的概念】【例1】（2020秋•甘井子区期末）（−23）3表示的意义是（） A ．（−23）×（−23）×（−23） B ．（−23）×3 C ．−2×2×23 D ．−23×3×3【解题思路】根据题目中的式子和有理数乘方的意义，可以解答本题．【解答过程】解：（−23）3表示的意义是（−23）×（−23）×（−23），故选：A ．【变式1-1】把−(−23)(−23)(−23)(−23)写成乘方的形式是（）A ．−243B ．−(23)4C ．(−23)4D ．−(−23)4【解题思路】根据幂的意义即可得出答案，求n 个相同因数积的运算，叫做乘方．na a a a n ⋅⋅⋅=个【解答过程】解：−23当底数的时候，要加括号，故A 选项错误；底数是−23，故B 选项错误；在最前面有一个负号，故C 选项错误；原式写成乘方的形式是﹣（−23）4，故D 选项正确；故选：D ．【变式1-2】（2020秋•安居区期中）关于（﹣5）4的说法正确的是（） A ．﹣5是底数，4是幂B ．﹣5是底数，4是指数，625是幂C ．﹣5是底数，4是指数，﹣625是幂D ．5是底数，4是指数【解题思路】利用乘方的意义判断即可．【解答过程】解：关于（﹣5）4的说法正确的是﹣5是底数，4是指数，625是幂．故选：B ．【变式1-3】（2020秋•浑源县期中）将写成幂的形式，正确的是（） A ．2m 3nB ．2m 3nC ．2m n 3D ．m 23n【解题思路】根据有理数的乘方解答即可．【解答过程】解：将写成幂的形式为：2m 3n，故选：A ．【题型2 有理数乘方的运算】【例2】（2020秋•含山县期末）下列各式结果相等的是（） A ．﹣22与（﹣2）2B ．233与（23）3C ．﹣（﹣2）与﹣|﹣2|D ．﹣12021与（﹣1）2021【解题思路】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答过程】解：A 、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，不相等，不符合题意； B 、233=83，（23）3=827，不相等，不符合题意；C 、﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，不相等，不符合题意；D 、﹣12021＝﹣1，（﹣1）2021＝﹣1，相等，符合题意．故选：D ．【变式2-1】（2020秋•镇平县期中）下列各对数中，数值相等的是（） A ．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3 B ．﹣32与（﹣3）2 C ．﹣3×23与﹣32×2D ．﹣23与（﹣2）3【解题思路】根据乘方的定义分别求解可得．【解答过程】解：A ．﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣（﹣2）3＝8，不相等； B ．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，不相等； C ．﹣3×23＝﹣24，﹣32×2＝﹣18，不相等； D ．﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，相等；故选：D ．【变式2-2】（2020春•西湖区校级月考）下列说法中正确的是（） A ．﹣a n 和（﹣a ）n 一定是互为相反数B ．当n 为奇数时，﹣a n 和（﹣a ）n 相等C ．当n 为偶数时，﹣a n 和（﹣a ）n 相等D ．﹣a n 和（﹣a ）n 一定不相等【解题思路】根据有理数的乘方的定义，分n 是奇数和偶数两种情况讨论求解即可．【解答过程】解：当n 为奇数时，﹣a n 和（﹣a ）n 相等，当n 为偶数时，﹣a n 和（﹣a ）n 一定互为相反数．故选：B ．【变式2-3】（2020秋•涞水县期末）设n 是自然数，则(−1)n +(−1)n+22的值为（）A ．1或﹣1B ．0C ．﹣1D ．0或1【解题思路】分n 为奇数和偶数两种情况，根据有理数乘方运算法则计算可得．【解答过程】解：若n 为奇数，则n +2也是奇数，此时(−1)n +(−1)n+22=−1−12=−1；若n 为偶数，则n +2也为偶数，此时(−1)n +(−1)n+22=1+12=1；故选：A ．【题型3 偶次乘方的非负性】【例3】（2021春•沙坪坝区期中）已知（2x ﹣4）2+|x +2y ﹣8|＝0，则（x ﹣y ）2021＝．【解题思路】由非负数的意义求出x 、y 的值，再代入计算即可．【解答过程】解：∵（2x ﹣4）2+|x +2y ﹣8|＝0， ∴2x ﹣4＝0，x +2y ﹣8＝0，解得，x ＝2，y ＝3，∴（x ﹣y ）2021＝（2﹣3）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式3-1】（2020秋•崇川区校级期中）若a 、b 为整数，且|a ﹣2|+（b +3）2020＝1，则b a ＝．【解题思路】先利用绝对值和乘方的意义得到a ＝1或3，b ＝﹣3或a ＝2，b ＝﹣4或﹣2，然后利用的意义进行计算．【解答过程】解：∵|a ﹣2|≥0，（b +3）2020≥0，而a 、b 为整数，∴|a ﹣2|＝1，（b +3）2020＝0或|a ﹣2|＝0，（b +3）2020＝1，∴a＝1或3，b＝﹣3或a＝2，b＝﹣4或﹣2，当a＝1，b＝﹣3时，b a＝﹣3；当a＝3，b＝﹣3时，b a＝（﹣3）3＝﹣27；当a＝2，b＝﹣4，b a＝（﹣4）2＝16；当a＝2，b＝﹣2时，b a＝（﹣2）2＝4；综上所述，b a＝（﹣3）3＝﹣27；的值为﹣3或﹣27或4或16．故答案为﹣3或﹣27或4或16．【变式3-2】（2020秋•衡水期中）对于|a﹣1|﹣3及﹣（b+3）2+2，佳佳和音音提出了两个观点佳佳的观点：|a﹣1|﹣3有最小值，最小值为3音音的观点：﹣（b+3）2+2有最大值，最大值为2对于以上观点，则（）A．佳佳和音音均正确B．佳佳正确，音音不正确C．佳佳不正确，音音正确D．佳佳和音音均不正确【解题思路】根据有理数的平方、绝对值的定义解答即可．【解答过程】解：因为|a﹣1|≥0，所以|a﹣1|﹣3有最小值，最小值为﹣3；因为（b+3）2≥0，所以﹣（b+3）2≤0，所以﹣（b+3）2+2有最大值，最大值为2，所以佳佳不正确，音音正确，故选：C．【变式3-3】（2020秋•蓬溪县期中）若a、b有理数，下列判断：①a2+（b+1）2总是正数；②a2+b2+1总是正数；③9+（a﹣b）2的最小值为9；④1﹣（ab+1）2的最大值是0其中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】直接利用偶次方的性质分别分析得出答案．【解答过程】解：①a2+（b+1）2总是非负数，故此选错误；②a2+b2+1总是正数，正确；③9+（a ﹣b ）2的最小值为9，正确；④1﹣（ab +1）2的最大值是1，故此选项错误．故选：B ．【题型4 含乘方的混合运算】【例4】（2021春•金山区期末）计算：−32÷[4−(−1)2]+[23−(12)2]×24．【解题思路】利用有理数混合运算的法则运算：先做乘方，再做乘除，最后做加减，有括号的先做括号里面的．【解答过程】解：原式＝﹣9÷（4﹣1）+（23−14）×24＝﹣9÷3+（23×24−14×24）＝﹣3+（16﹣6）＝﹣3+10 ＝7．【变式4-1】（2020秋•郯城县期末）计算：[2+（﹣5）2]÷3×13−|﹣4|+23．【解题思路】先算乘方，再算乘除，最后算加减．同级运算，从左往右计算．【解答过程】解：原式＝[2+25]÷3×13−4+8 ＝27÷3×13−4+8 ＝9×13−4+8 ＝3﹣4+8 ＝7．【变式4-2】（2021春•奉贤区期中）计算：−12012−[2−(−3)2]−(138+213−3.75)×24．【解题思路】先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．注意乘法分配律的灵活运用．【解答过程】解：−12012−[2−(−3)2]−(138+213−3.75)×24＝﹣1﹣（2﹣9）−118×24−73×24+154×24 ＝﹣1+7﹣33﹣56+90 ＝7．【变式4-3】（2021春•浦东新区月考）计算：(−1)2021+12÷|−34|×(−4)−(−22)×(−114)．【解题思路】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【解答过程】解：(−1)2021+12÷|−34|×(−4)−(−22)×(−114) ＝（﹣1）+12×43×（﹣4）﹣（﹣4）×（−54）＝（﹣1）﹣64﹣5 ＝﹣70．【题型5 乘方的应用规律】【例5】（2020秋•卢龙县期末）一根1m 长的绳子，第一次剪去绳子的23，第二次剪去剩下绳子的23，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（） A ．(13)99mB ．(23)99mC ．(13)100mD ．(23)100m【解题思路】根据有理数的乘方的定义解答即可．【解答过程】解：∵第一次剪去绳子的23，还剩13m ；第二次剪去剩下绳子的23，还剩13(1−23)=(13)2m ，……∴第100次剪去剩下绳子的23后，剩下绳子的长度为（13）100m ；故选：C ．【变式5-1】（2021春•松北区期末）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二，若这种细菌由一个分裂到16个，那么这个过程要经过分钟．【解题思路】根据细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，则n 小时后，分裂到22n 个，从而列方程求解．【解答过程】解：设经过n小时，根据题意，得22n＝16，2n＝4，n＝2．2小时＝120分钟，故答案为：120．【变式5-2】看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有多少个孙悟空？【解题思路】根据有理数乘方的定义，可推断出变化30次，孙悟空的个数2×2×...×2（30个2相乘）＝230（个）．【解答过程】解：变化一次，孙悟空的个数为2＝21（个）；变化两次，孙悟空的个数为2×2＝22＝4（个）；变化三次，孙悟空的个数为2×2×2＝23＝8（个）；变化四次，孙悟空的个数为2×2×2×2＝24＝16（个）；..．以此类推，变化30次，孙悟空的个数2×2×...×2（30个2相乘）＝230（个）．∴悟空一连变了30次，会有230个孙悟空．【变式5-3】（2020秋•农安县期中）有一种纸的厚度为0.1毫米，若拿两张重叠在一起，将它对折一次后，厚度为22×0.1毫米．（1）对折2次后，厚度为多少毫米？（2）对折6次后，厚度为多少毫米？【解题思路】（1）根据对折规律确定出所求厚度即可；（2）根据对折规律确定出所求厚度即可．【解答过程】解：（1）根据题意得：2×22×0.1＝0.8（毫米）；（2）根据题意得：25×22×0.1＝12.8（毫米）．【题型6 乘方应用中的新定义问题】【例6】（2021•永州）定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5B．2C．1D．0【解题思路】根据题意，按照题目的运算法则计算即可．【解答过程】解：（lg2）2+lg2•lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2+lg5＝1g10＝1．故选：C．【变式6-1】（2020秋•驿城区校级期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：log a N＝b．例如：①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2；②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2．（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；②43＝64；（2）将下列对数式改为指数式：①log525＝2；②log327＝3；（3）计算：log232．【解题思路】（1）根据对数的定义求解；（2）利用对数的定义写成幂的形式；（3）先利用乘方的意义得到25＝32，然后根据对数的定义求解．【解答过程】解：（1）①62＝36；对数式记作：log636＝2；②43＝64；对数式记作：log464＝3；（2）①log525＝2；指数式为52＝25，②log327＝3；指数式为33＝27；（3）∵25＝32，log232＝5．【变式6-2】（2020秋•宁化县月考）（1）计算下面两组算式：①（3×5）2与32×52；②[（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32；（2）根据以上计算结果猜想：（ab）3等于什么？（直接写出结果）（3）猜想与验证：当n为正整数时，（ab）n等于什么？请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求（﹣4）2020×0.252021的值．【解题思路】（1）根据题意计算出结果即可（2）根据（1）的计算结果写出猜想即可．（3）当n为正整数时，写出猜想的结果，然后根据乘方的意义说明理由即可．（4）利用（3）的结论计算出值即可．【解答过程】解：（1）计算下面两组算式：①（3×5）2＝225；32×52＝9×25＝225．②[（﹣2）×3]2＝36；（﹣2）2×32＝4×9＝36．（2）根据（1）计算结果猜想：（ab）3＝a3b3．（3）当n为正整数时，（ab）n＝a n b n．理由：当n为正整数时．（ab）n=ab⋅ab⋯ab⋅ab︸n个ab的乘积=a⋅a⋯a⋅a︸n个a的积•b⋅b⋯b⋅b︸n个b的积=a n b n．即：当n为正整数时，（ab）n＝a n b n．（4）（﹣4）2020×0.252021＝（﹣4）2020×0.252020×0.25＝（﹣4×0.25）2020×0.25＝0.25．【变式6-3】（2020秋•聊城期中）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n 个a （a ≠0）a ÷a ÷a ÷⋯⋯÷a ︸n 个a ，记作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”．初步探究：直接写出计算结果：2③＝，(−12)③= ；深入思考：例如（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=(−3)×(−13)×(−13)×(−13)=(−13)2=(13)2（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑥＝；(−12)⑥= ；（2）算一算：22÷(−13)④×(−2)③−(−13)⑤÷33．【解题思路】（1）利用新定义求解；（2）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算．【解答过程】解：2③=12，(−12)③=−2；（1）5⑥=(15)4，(−12)⑥=24；（2）22÷(−13)④×(−2)③−(−13)⑤÷33 =22÷(−3)2×(−12)1−(−3)3÷27=4×19×(−12)+27÷27=79．故答案为：12；﹣2；（1）(15)4；24；（2）79．【题型7 科学记数法的表示】【例7】（2021春•浦东新区期末）如图，是津巴布韦于2009年发行的一张面值为100万亿的津元，但这一张100万亿津元还抵不上1美元的价值，在当地，一张这样的钞票也就顶多能买一个面包．“100万亿”可以用科学记数法表示（）A．1×1010B．1×1012C．1×1013D．1×1014【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答过程】解：100万亿＝100×104×108＝100000000000000＝1×1014．故选：D．【变式7-1】（2021•深圳模拟）2020年12月17日，嫦娥5号经历了往返76万千米的长途跋涉，顺利回家并在我国内蒙古着陆，同时将在月球采集的土壤样本带回了地球，这标志着我国探月工程嫦娥5号的任务获得了圆满的成功．其中76万千米用科学记数法可表示为（）A．760000米B．7.6×108米C．7.6×107米D．7.6×109米【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答过程】解：76万千米＝760000000＝7.6×108米．故选：B．【变式7-2】（2021•包头）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（）A．6B．5C．4D．3【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．【解答过程】解：因为46.61万＝466100＝4.661×105，所以将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于5．故选：B．【变式7-3】（2021•雨花区模拟）据中国政府网报道，截至2021年4月5日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗14280.2万剂次．下列说法不正确的是（）A．14280.2万大约是1.4亿B．14280.2万大约是1.4×108C．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×104D．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答过程】解：A、14280.2万大约是1.4亿，故本选项不合题意；B、14280.2万大约是1.4×108，故本选项不合题意；C、14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108，故本选项符合题意；D、14280.2万＝142802000＝1.42802×108．故本选项不合题意；故选：C．【题型8 近似数的表示】【例8】（2021春•浦东新区期末）据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次全国人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达14.1178亿人，这里的近似数“14.1178亿”精确到（）A．亿位B．千万位C．万分位D．万位【解题思路】根据近似数“14.1178亿”，可知最后的数字8在万位上，从而可以解答本题．【解答过程】解：近似数“14.1178亿”精确到万位，故选：D．【变式8-1】（2021•江岸区校级自主招生）把4383800精确到万位并用科学记数法表示为（）A．4.38×106B．4.3×106C．4.384×106D．43.8×105【解题思路】首先把4383800精确到万位，然后根据：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，判断出用科学记数法表示是多少即可．【解答过程】解：4383800≈4380000，4380000＝4.38×106．故选：A．【变式8-2】（2020秋•高邮市期末）我市某部门2021年年初收入预算为8.24×106元，关于近似数8.24×106，是精确到（）A．百分位B．百位C．千位D．万位【解题思路】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．【解答过程】解：因为8.24×106＝8240000，所以近似数8.24×106是精确到万位．故选：D．【变式8-3】（2020秋•宽城区期末）数M精确到0.01时，近似数是2.90，那么数M的范围是（）A．2.8≤M＜3B．2.80≤M≤3.00C．2.85≤M＜2.95D．2.895≤M＜2.905【解题思路】考虑两方面：①千分位舍去得到2.90；②千分位入得到2.90，据此可得答案．【解答过程】解：数M精确到0.01时，近似数是2.90，那么数M的范围是2.895≤M＜2.905，故选：D．。

《有理数的乘方》word教案 (公开课)2022年北师大版 (10)

字母表示数【学习目标】课标要求：1.能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式。

2．体会字母表示数的意义，形成初步的符号感。

3. 经历探索规律并用代数式表示规律的过程。

目标达成：理解用字母表示数的意义。

学习流程：【课前展示】出示小题【创境激趣】提供便于学生感受需要使用一般性符号表达事物的实例。

如：“一支青蛙一张嘴，两支眼睛四条腿……〞，让学生想方法用一句歌词将它唱完整。

【自学导航】请同学们认真看题，利用图形解答以下问题〔利用电脑或投影仪〕问题〔一〕【合作探究】搭一个正方形需要4根火柴棒。

①按上述方式，搭2个正方形需要______根火柴棒，搭3个正方形需要______根火柴棒。

②搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？③搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？待学生解答完以上问题后，出示引申题：④如果用X表示所搭正方形的个数，那么搭X个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同学交流？【展示提升】典例分析知识迁移提供教材上的实例，师生共同活动。

要求学生经历“独立思考、合作交流【强化训练】①要求学生说出用字母表示数的其他例子，教师引导学生分析各式中字母可表示什么数。

②练一练：1、小明步行上学,速度为v米/秒,亮亮骑自行车上学,速度是小明的3倍, 那么亮亮的速度可以表示为_______米/秒.2、如图, 用字母表示图中阴影局部的面积是_________3、一个三位数,个位数字是a, 十位数字是b, 百位数字是c, 这个三位数是____________【归纳总结】让学生交流这节课的学习收获，包括知识和方法方面的。

【板书设计】【教学反思】本节课按照创设问题情景→建立模型→解释、应用与拓展的根本模式展开教学，课堂显得生机勃勃。

1、学生自主探究、合作学习的课堂教学模式。

本节课的核心环节〔第二环节〕均由学生在动手、动脑与小组交流中成教学目标，学生表现兴趣盎然，在探索与合作的过程中体验了认识事物、寻求规律与解决问题的过程，在掌握知识、开展能力的同时促进了积极的情感形成。