2013届高考数学第一轮专项复习教案40.doc
高考数学第一轮复习教案
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2013届高考数学第一轮数列专项复习教案2
2.1 等差数列(一)课时目标 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做________数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d 表示． 2．若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的__________，并且A ＝________.3．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝____________.4．等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为______数列；若公差d <0，则数列{a n }为________数列．一、选择题1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－32．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．524．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( ) A.14 B.12 C.13 D.23 5．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )A ．1B ．2C ．4D ．66．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n}的通项公式是() A．a n＝2n－2 (n∈N＋) B．a n＝2n＋4 (n∈N＋) C．a n＝－2n＋12 (n∈N＋) D．a n＝－2n＋10 (n∈N＋) 二、填空题7．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a、b的等差中项是__________．8．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．9．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则d1d2的值为________．10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．三、解答题11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．12．已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝4－4a n－1(n≥2)，令b n＝1a n－2.(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．能力提升13．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．不确定14．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N ＋时，有a n －1a n＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n，n ∈N ＋.(1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．1．判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1、d 、n 、a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．3．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .§2 等差数列 2．1 等差数列(一)答案知识梳理1．等差 公差 2等差中项 a ＋b2 3.a 1＋(n －1)d 4．递增 递减作业设计1．C 2.B 3.D 4．C[⎩⎨⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x . ∴a b ＝13.]5．B [设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.] 6．D [由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⇒⎩⎨⎧a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎨⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)×(－2)，得a n ＝－2n ＋10.] 7.38．a n ＝14n ＋1解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74.∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1. 9.43解析 n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43. 10.83<d ≤3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎨⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0解得：83<d ≤3.11．解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎨⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，∴⎩⎨⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.12．(1)证明 ∵a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝4－4a n(n ∈N ＋)．∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12.∴b n ＋1－b n ＝12，n ∈N ＋.∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为12.(2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2. ∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n . 13．B [由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，d ＝40n －1为整数，且n ≥3. 则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个．]14．(1)证明 当n >1，n ∈N ＋时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a na n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5. (2)解 由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N ＋.∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145. 令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．2.1 等差数列(二)课时目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式.2.熟练运用等差数列的常用性质．1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以____为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项a n (m≠n )，则a m －a nm －n＝____.3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与a p ＋a q 之间的关系为______________．一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．102．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A. 3 B ．±3C ．－33 D ．－3 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．44．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35 5．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－826．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0C ．－(p ＋q ) D.p ＋q2二、填空题7．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝_____________________________.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________.9．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝___________________________.10．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.三、解答题11．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．12．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．能力提升13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为()A．18 B．9C．12 D．1514．已知两个等差数列{a n}：5,8,11，…，{b n}：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？2．1等差数列(二)答案知识梳理1．d 2.d 3.a m＋a n＝a p＋a q作业设计1．C [由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.] 2．D [由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.]3．B [由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0， ∴m ＝8.]4．C [∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.]5．D [a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33 ＝50＋2×(－2)×33 ＝－82.]6．B [∵d ＝a p －a q p －q ＝q －pp －q ＝－1，∴a p ＋q ＝a p ＋qd ＝q ＋q ×(－1)＝0.] 7．24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415，∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24. 8．1解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105，a 3＝35. ∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99. ∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2. ∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1. 9.125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124.所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125.10.12解析 由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d .则14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12， ∴这4个根依次为14，34，54，74，∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716，∴|m －n |＝12.11．解 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.12．解 ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，∴a 4＝5. 又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2. 若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3； 若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .13．D [设这7个数分别为a 1，a 2，…，a 7，公差为d ，则27＝3＋8d ，d ＝3. 故a 4＝3＋4×3＝15.]14．解 在数列{a n }中，a 1＝5，公差d 1＝8－5＝3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d 1＝3n ＋2.在数列{b n }中，b 1＝3，公差d 2＝7－3＝4， ∴b n ＝b 1＋(n －1)d 2＝4n －1.令a n ＝b m ，则3n ＋2＝4m －1，∴n ＝4m3－1. ∵m 、n ∈N ＋，∴m ＝3k (k ∈N ＋)，又⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1000<n ≤100，解得0<m ≤75. ∴0<3k ≤75，∴0<k ≤25， ∴k ＝1,2,3，…，25∴两个数列共有25个公共项．2.2 等差数列的前n 项和(一)课时目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其性质.2.掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的关系．1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做____________________________．例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记作______；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝______ (n ≥2)．2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝__________；若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝____________.3．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为________．(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则a nb n＝S 2n －1T 2n －1.一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．632．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( ) A.12 B ．2 C.14 D ．43．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－154．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．275．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．6636．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－1二、填空题7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S nT n＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5的值是________． 9．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为________．10．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．三、解答题11．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .12．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .能力提升13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 14．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．51．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五2．2 等差数列的前n 项和(一)答案知识梳理1．S n S 16 S n －1 2.n (a 1＋a n )2 na 1＋12n (n －1)d 3．(1)d 2 作业设计1．C [S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.] 2．A [由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )， ∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.]3．D [由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.] 4．B [数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45.∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.]5．B [因a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.] 6．B [由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.]7．15解析 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24， 即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 8.6512解析 a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512.9．10解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝165， S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝150. ∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝165150＝1110，∴n ＝10. 10．210解析 方法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列， ∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m . 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. 11．解由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎨⎧n ＝5a 1＝3或⎩⎨⎧n ＝7，a 1＝－1.12．解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎨⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎨⎧a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－2d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .13．B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． ∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当n ＝19时，S 19＝190. 当n ＝20时，S 20＝210>200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．]14．D [a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1，∴n ＝1,2,3,5,11.]2.2 等差数列的前n 项和(二)课时目标 1.熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(n ＝1)， (n ≥2).2．等差数列前n 项和公式S n ＝____________＝______________. 3．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中当a 1>0，d <0时，S n 有________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组________ 确定；当a 1<0，d >0时，S n 有________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组____________确定．(2)因为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有________值；当d <0时，S n 有________值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值． 一个有用的结论：若S n ＝an 2＋bn ，则数列{a n }是等差数列．反之亦然．一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( ) A ．n B ．n 2 C ．2n ＋1 D ．2n －1 2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．64．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18 D.195．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.126．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值二、填空题7．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2－n，(n∈N＋)，则通项a n＝________.8．在等差数列{a n}中，a1＝25，S9＝S17，则前n项和S n的最大值是________．9．在等差数列{a n}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.10．等差数列{a n}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n 项和S n取到最小值，则k的值是________．三、解答题11．设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．12．已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和T n.能力提升13．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2n 2 (n ∈N ＋)，则当n ≥2时，下列不等式成立的是( )A ．S n >na 1>na nB ．S n >na n >na 1C ．na 1>S n >na nD ．na n >S n >na 1 14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．1．公式a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N ＋都成立，而只对n ≥2的正整数才成立．由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况能否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示． 2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N ＋，结合二次函数图像的 对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．2．2 等差数列的前n 项和(二)答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.n (a 1＋a n )2na 1＋n (n －1)2d 3．(1)最大 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0 最小⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0 (2)最小 最大 作业设计1．D2．B [等差数列前n 项和S n 的形式为：S n ＝an 2＋bn ， ∴λ＝－1.] 3．B[由a n ＝⎩⎨⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.]4．A [方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d＝310.方法二 由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.]5．A [由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1.]6．C [由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0. 由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5.] 7．2n －2 8．169解析 方法一 利用前n 项和公式和二次函数性质．由S 17＝S 9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ，解得d ＝－2，所以S n ＝25n ＋n2(n －1)×(－2)＝－(n －13)2＋169， 由二次函数性质可知，当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二 先求出d ＝－2，因为a 1＝25>0，由⎩⎨⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212.所以当n ＝13时，S n 有最大值． S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169. 因此S n 的最大值为169.方法三 由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0， 而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14， 故a 13＋a 14＝0.由方法一知d ＝－2<0， 又因为a 1>0，所以a 13>0，a 14<0， 故当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169. 因此S n 的最大值为169. 9．10解析 由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝31n2＝155，得n ＝10. 10．10或11解析 方法一 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由⎩⎨⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－110(n －1)≥01－110n ≤0，解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小． 方法二 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1， 由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120a 1·n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2120a 1·n ＝－a 120⎝⎛⎭⎪⎫n －2122＋44180a 1 (a 1<0)， 由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，S n 最小． 但n ∈N ＋，故n ＝10或11时S n 取得最小值． 11．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值．12．解 由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎨⎧2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12.解得⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N ＋)． (1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎨⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6).13．C[由a n ＝⎩⎨⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)，解得a n ＝5－4n .∴a 1＝5－4×1＝1，∴na 1＝n ， ∴na n ＝5n －4n 2，∵na 1－S n ＝n －(3n －2n 2)＝2n 2－2n ＝2n (n －1)>0. S n －na n ＝3n －2n 2－(5n －4n 2)＝2n 2－2n >0. ∴na 1>S n >na n .]14．解 (1)根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3.(2)∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…， 而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0. 又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0， ∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。
2013届高考数学第一轮专项复习教案50
4.10 三角函数的应用●知识梳理1.三角函数的性质和图象变换.2.三角函数的恒等变形.三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查.3.三角函数与其他数学知识的联系.特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系. ●点击双基1.已知sin x +cos x =51，0≤x ≤π，则tan x 等于A.－34或－43B.－34C.－43D.34或43解析：原式两边平方得2sin x cos x =－2524⇒－2sin x cos x =2524⇒1－2sin x cos x =2549⇒sin x －cos x =57， 可得sin x =54，cos x =－53.∴tan x =－34.答案：B2.（2001年春季北京）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵△ABC 为锐角三角形，∴A +B ＞2π.∴A ＞2π－B ，B ＞2π－A.∴sin A ＞cos B ，sin B ＞cosA.∴P 在第二象限. 答案：B3.（2004年北京西城区一模题）设0＜|α|＜4π，则下列不等式中一定成立的是A.sin2α＞sin αB.cos2α＜cos αC.tan2α＞tan αD.cot2α＜cot α解析：由0＜|α|＜4π，知0＜2|α|＜2π且2|α|＞|α|， ∴cos2|α|＜cos|α|.∴cos2α＜cos α. 答案：B4.（2003年上海）若x =3π是方程2cos （x +α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α=_________.解析：∵x =3π是方程2cos （x +α）=1的解，∴2cos （3π+α）=1，即cos （3π+α）=21.又α∈（0，2π），∴3π+α∈（3π，3π7）.∴3π+α=3π5.∴α=3π4.答案：3π45.（2004年北京西城区二模题，理）函数y =sin x ·（sin x +3cos x ）（x ∈R ）的最大值是____________.解析：原式=sin 2x +3sin x cos x =22cos 1x +23sin2x =23sin2x －21cos2x +21=sin （2x －6π）+21，其最大值为1+21=23. 答案：23●典例剖析【例1】 化简cos （313+k π+α）+cos （313-k π－α）（k ∈Z ）.剖析：原式=cos （k π+3π+α）+cos （k π－3π－α）=cos ［k π+（3π+α）］+cos ［k π－（3π+α）］.解：原式=cos ［k π+（3π+α）］+cos ［k π－（3π+α）］=2cos kπcos （3π+α）=2（－1）k （cos 3πcos α－sin 3πsin α）=（－1）k （cos α－3sin α），k∈Z .【例2】 已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=51，求βαtan tan 的值.解：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+②①，.51sin cos cos sin 32sin cos cos sin βαβαβαβα所以sin αcos β=3013，cos αsin β=307.从而βαtan tan =βαβαsin cos cos sin =713.思考讨论由①②不解sin αcos β、cos αsin β，能求βαtan tan 吗?提示：①÷②，弦化切即可，读者不妨一试. 【例3】 求函数y =x x x x sin 42cos 3sin 1sin 2+--）（，x ∈（0，2π）的值域.剖析：将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数，再换元将其转化为一元函数求解.解：y =xx x x sin 4sin 213sin 1sin 22+---）（）（=1sin 2sin sin sin 22+++-x x x x .设t =sin x ，则由x ∈（0，2π）⇒t ∈（0，1）. 对于y =1222+++-t t t t =2212131）（）（）（+-+++-t t t =－1+13+t －212）（+t ，令11+t =m ，m ∈（21，1），则y =－2m 2+3m －1=－2（m －43）2+81.当m =43∈（21，1）时，y max =81， 当m =21或m =1时，y =0. ∴0＜y ≤81，即y ∈（0，81］.评述：本题的解法较多，但此方法主要体现了换元转化的思想，在换元时要注意变量的范围.●闯关训练 夯实基础1.（2002年春季北京）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限. ∴α在第二、四象限.又∵cos α－sin α＜0， ∴α在第二象限. 答案：B2.（2002年春季上海）在△ABC 中，若2cos B ·sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：∵2cos B ·sin A =sin C =sin （A +B ）⇒sin （A －B ）=0， 又A 、B 、C 为三角形的内角，∴A =B .答案：C3.（2005年启东市高三年级第二次调研考试题）在斜△ABC 中，sin A =－cos B cos C 且tan B tan C =1－3，则∠A 的值为 A.6πB.3πC.3π2D.6π5解析：由A =π－（B +C ），sin A =－cos B cos C 得sin （B +C ）=－cos B cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =－cos B cos C . ∴tan B +tan C =－1.又tan （B +C ）=CB CB tan tan 1tan tan -+=3tan tan C B +=31-=－33，∴－tan A =－33，tan A =33. 又∵0＜A ＜π，∴A =6π.答案：A4.函数y =sin x －cos x 的图象可由y =sin x +cos x 的图象向右平移_______个单位得到.解析：由y 1=sin x +cos x =2sin （x +4π），得x 1=－4π（周期起点）.由y 2=sin x －cos x =2sin （x －4π），得x 2=4π（周期起点）.答案：2π5.函数y =21sin （4π－32x ）的单调递减区间及单调递增区间分别是__________.解析：y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4π）.故由2k π－2π≤32x －4π≤2k π+2π⇒3k π－8π3≤x ≤3k π+8π9（k ∈Z ），为单调减区间；由2k π+2π≤32x －4π≤2k π+2π3⇒3k π+8π9≤x ≤3k π+8π21（k ∈Z ），为单调增区间.答案：［3k π－8π3，3k π+8π9］（k ∈Z ）；［3k π+8π9，3k π+8π21］（k ∈Z ）6.已知0≤x ≤2π，则函数y =42sin x cos x +cos2x 的值域是________.解析：可化为y =3sin （2x +ϕ），其中cos ϕ=322，sin ϕ=31，且有ϕ≤2x +ϕ≤π+ϕ.∴y max =3sin 2π=3，y min =3sin （π+ϕ）=－3sin ϕ=－1.∴值域是［－1，3］. 答案：［－1，3］ 培养能力7.设a =（sin x －1，cos x －1），b =（22，22）.（1）若a 为单位向量，求x 的值；（2）设f （x ）=a ·b ，则函数y =f （x ）的图象是由y =sin x 的图象按c 平移而得，求c .解：（1）∵|a |=1，∴（sin x －1）2+（cos x －1）2=1，即sin x +cos x =1，2sin （x +4π）=1，sin （x +4π）=22，∴x =2k π或x =2k π+2π，k ∈Z .（2）∵a ·b =sin （x +4π）－2.∴f （x ）=sin （x +4π）－2，由题意得c =（－4π，－2）.8.求半径为R 的圆的内接矩形周长的最大值.解：设∠BAC =θ，周长为P ，则P =2AB +2BC =2（2R cos θ+2R sin θ）=42R sin（θ+4π）≤42R ，当且仅当θ=4π时，取等号.∴周长的最大值为42R .探究创新9.（2004年北京东城区高三第一次模拟考试）在△ABC 中，若sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B .（1）求∠C 的度数；（2）在△ABC 中，若角C 所对的边c =1，试求内切圆半径r 的取值范围.解：（1）∵sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B ， ∴2sin C cos 2B A +·cos 2B A -=2sin 2B A +·cos 2B A -.在△ABC 中，－2π＜2B A -＜2π.∴cos 2B A -≠0.∴2sin 22C cos 2C =cos 2C ，（1－2sin 22C ）cos 2C =0.∴（1－2sin 22C ）=0或cos 2C =0（舍）.∵0＜C ＜π，∴∠C =2π.（2）设Rt △ABC 中，角A 和角B 的对边分别是a 、b ，则有a =sin A ，b =cos A .∴△ABC 的内切圆半径r =21（a +b －c ）=21（sin A +cos A －1）=22sin （A +4π）－21≤212-. ∴△ABC 内切圆半径r 的取值范围是0＜r ≤212-. ●思悟小结三角函数是中学教材中一种重要的函数，它的定义和性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，由于三角函数和代数、几何知识联系密切，它又是研究其他各类知识的重要工具，因此应重视对知识理解的准确性，加强对三角知识工具性的认识.●教师下载中心 教学点睛1.因本节是三角函数的应用，建议教学中让学生自己总结一下三角函数本身有哪些应用，使知识能条理化并形成一个网络.2.总结本章涉及的数学思想方法，以及与三角相关联的一些知识点.拓展题例【例1】 已知cos B =cos θ·sin A ，cos C =sin θsin A . 求证：sin 2A +sin 2B +sin 2C =2.分析：本题为条件恒等式的证明，要从条件与要证的结论之间的联系入手，将结论中的sin 2B 、sin 2C 都统一成角A 的三角函数.证法一：sin 2A +sin 2B +sin 2C =sin 2A +［1－（cos θsin A ）2］+［1－（sin θsin A ）2］=sin 2A +1－cos 2θsin 2A +1－sin 2θsin 2A =sin 2A （1－sin 2θ）+1－cos 2θsin 2A +1 =sin 2A cos 2θ－sin 2A cos 2θ+2=2. ∴原式成立.证法二：由已知式可得cos θ=AB sin cos ，sin θ=AC sin cos .平方相加得cos 2B +cos 2C =sin 2A ⇒22cos 1B ++22cos 1C +=sin 2A⇒cos2B +cos2C =2sin2A －2.1－2sin 2B +1－2sin 2C =2sin 2A －2，∴sin 2A +sin 2B +sin 2C =2. 【例2】 函数f （x ）=1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g （a ），a ∈R ，（1）求g （a ）；（2）若g （a ）=21，求a 及此时f （x ）的最大值.解：（1）f （x ）=1－2a －2a cos x －2（1－cos 2x ）=2cos 2x －2a cos x －1－2a=2（cos x －2a）2－22a －2a －1.若2a ＜－1，即a ＜－2，则当cos x =－1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（－1－2a）2－22a －2a －1=1；若－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2，则当cos x =2a 时，f （x ）有最小值g （a ）=－22a －2a －1；若2a ＞1，即a ＞2，则当cos x =1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（1－2a）2－22a －2a －1=1－4a .∴g （a ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-----<.24122122212）（），（），（a aa a aa（2）若g （a ）=21，由所求g （a ）的解析式知只能是－22a －2a－1=21或1－4a =21.由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---≤≤-21122222a a a a =－1或a =－3（舍）.由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->21412a a a =81（舍）. 此时f （x ）=2（cos x +21）2+21，得f （x ）max =5.∴若g （a ）=21，应a =－1，此时f （x ）的最大值是5.。
高中一轮复习教案数学
高中一轮复习教案数学第一课：函数及其性质
1.1 函数的定义和性质
概念：函数的定义和表示方法
性质：单调性、奇偶性、周期性等
1.2 函数的基本变换
平移、翻转、缩放等基本函数的变换方法
例题：给出函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像1.3 复合函数
概念：复合函数的定义和计算方法
例题：计算复合函数的值，并分析其性质
1.4 反函数
概念：反函数的存在条件及求解方法
例题：给定函数，求其反函数，并验证是否合理
第二课：三角函数及其应用
2.1 三角函数的概念与性质
正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质
例题：解三角函数方程，证明恒等式等
2.2 三角函数的图像与变换
三角函数的图像特征及平移、翻转、缩放等变换规律
例题：给定函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像2.3 三角函数的应用
三角函数在几何、物理等领域的应用
例题：实际问题中的三角函数应用
第三课：导数与微分
3.1 导数的概念与性质
导数的定义、导数与函数图像的关系等基本性质
例题：求函数的导数，研究导数的性质
3.2 导数的计算
常见函数的导数计算方法
例题：计算给定函数的导数，并分析其变化规律
3.3 微分的应用
微分的定义及在近似计算、最值问题等方面的应用
例题：利用微分求函数的极值点，解几何问题等
以上是高中数学一轮复习的教案范本，希望对你的备考有所帮助。
祝你取得优异的成绩！。
2013届高考数学第一轮专项复习教案33
7.6直线与圆的位置关系●知识梳理 直线和圆1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ＞0，直线和圆相交. ②Δ=0，直线和圆相切. ③Δ＜0，直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较. ①d ＜R ，直线和圆相交. ②d =R ，直线和圆相切. ③d ＞R ，直线和圆相离.2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. ●点击双基1.（2005年北京海淀区期末练习题）设m >0，则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切解析：圆心到直线的距离为d =21m+，圆半径为m . ∵d －r =21m +－m =21（m －2m +1）=21（m －1）2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离. 答案：C2.圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于 A.6B.225 C.1D.5 解析：圆心到直线的距离为22，半径为2，弦长为222)22()2(-=6.答案：A3.（2004年全国卷Ⅲ，4）圆x 2+y 2－4x =0在点P （1，3）处的切线方程为 A.x +3y －2=0B.x +3y －4=0 C.x －3y +4=0D.x －3y +2=0 解法一：x 2+y 2－4x =0y =kx －k +3⇒x 2－4x +（kx －k +3）2=0. 该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k =33. ∴y －3=33（x －1），即x －3y +2=0. 解法二：∵点（1，3）在圆x 2+y 2－4x =0上， ∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直. 又∵圆心为（2，0），∴1230--·k =－1. 解得k =33，∴切线方程为x －3y +2=0. 答案：D4.（2004年上海，理8）圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、B （0，－2），则圆C 的方程为____________.解析：∵圆C 与y 轴交于A （0，－4），B （0，－2）， ∴由垂径定理得圆心在y =－3这条直线上. 又已知圆心在直线2x －y －7=0上，y =－3， 2x －y －7=0.∴圆心为（2，－3），半径r =|AC |=22)]4(3[2---+=5. ∴所求圆C 的方程为（x －2）2+（y +3）2=5. 答案：（x －2）2+（y +3）2=55.若直线y =x +k 与曲线x =21y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k =－2●典例剖析 【例1】已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于OP ⊥OQ ，所以k OP ·k OQ =－1，问题可解.解：将x =3－2y 代入方程x 2+y 2+x －6y +m =0，得5y 2－20y +12+m =0.设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则y 1、y 2满足条件y 1+y 2=4，y 1y 2=512m+.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2+y 1y 2=0.而x 1=3－2y 1，x 2=3－2y 2，∴x 1x 2=9－6（y 1+y 2）+4y 1y 2.∴m =3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－21，3），半径r =25.评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.∴解得【例2】求经过两圆（x +3）2+y 2=13和x 2+（y +3）2=37的交点，且圆心在直线x －y －4=0上的圆的方程.剖析：根据已知，可通过解方程组 （x +3）2+y 2=13，x 2+（y +3）2=37由圆心在直线x －y －4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为（x +3）2+y 2－13+λ［x 2+（y +3）2－37］=0，再由圆心在直线x －y －4=0上，定出参数λ，得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆（x +3）2+y 2=13和x 2+（y +3）2=37的交点， 所以设所求圆的方程为（x +3）2+y 2－13+λ［x 2+（y +3）2－37］=0.展开、配方、整理，得（x +λ+13）2+（y +λλ+13）2=λλ++1284+22)1()1(9λλ++. 圆心为（－λ+13，－λλ+13），代入方程x －y －4=0，得λ=－7. 故所求圆的方程为（x +21）2+（y +27）2=289.评述：圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0，若圆C 1、C 2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1）+λ（x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2）=0（λ∈R 且λ≠－1）.它表示除圆C 2以外的所有经过两圆C 1、C 2公共点的圆.特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程. 【例3】已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0，x =3，x +y －4=0，y =1，即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径），∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点.（2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21，∴l 的方程为2x －y －5=0.评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论求直线过定点，你还有别的办法吗？●闯关训练 夯实基础1.若圆（x －3）2＋（y +5）2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y =2的距离等于1，则半径r 的范围是A.（4，6）B.［4，6）C.（4，6］D.［4，6］得圆上两∵m ∈得解析：数形结合法解. 答案：A2.（2003年春季北京）已知直线ax +by +c =0（ab c ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为｜a ｜、｜b ｜、｜c ｜的三角形A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在解析：由题意得22|00|b a c b a ++⋅+⋅=1，即c 2=a 2+b 2，∴由｜a ｜、｜b ｜、｜c ｜构成的三角形为直角三角形.答案：B3.（2005年春季北京，11）若圆x 2+y 2+mx －41=0与直线y =－1相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为____________.解析：圆方程配方得（x +2m ）2+y 2=412+m ，圆心为（－2m，0）.由条件知－2m<0，即m >0.又圆与直线y =－1相切，则0－（－1）=412+m ，即m 2=3，∴m =3.答案：34.（2004年福建，13）直线x +2y =0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于____________.解析：由x 2+y 2－6x －2y －15=0，得（x －3）2+（y －1）2=25. 知圆心为（3，1），r =5.由点（3，1）到直线x +2y =0的距离d =5|23|+=5.可得21弦长为25，弦长为45. 答案：455.自点A （－3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程.解：圆（x －2）2＋（y －2）2＝1关于x 轴的对称方程是（x －2）2＋（y ＋2）2＝1. 设l 方程为y －3＝k （x ＋3），由于对称圆心（2，－2）到l 距离为圆的半径1，从而可得k 1＝－43，k 2＝－34．故所求l 的方程是3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.6.已知M （x 0，y 0）是圆x 2+y 2=r 2（r >0）内异于圆心的一点，则直线x 0x +y 0y =r 2与此圆有何种位置关系?分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心O （0，0）到直线x 0x +y 0y =r 2的距离为d =20202y x r +.∵P （x 0，y 0）在圆内，∴220y x +<r . 则有d >r ，故直线和圆相离. 培养能力7.方程ax 2+ay 2－4（a －1）x +4y =0表示圆，求a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.解：（1）∵a ≠0时，方程为［x －a a )1(2-］2+（y +a 2）2=22)22(4a a a +-，由于a 2－2a +2＞0恒成立，∴a ≠0且a ∈R 时方程表示圆.（2）r 2=4·2222aa a +-=4［2(a 1－21)2+21］， ∴a =2时，r min 2=2.此时圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=2.8.（文）求经过点A （－2，－4），且与直线l ：x +3y －26=0相切于（8，6）的圆的方程.解：设圆为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，依题意有方程组 3D －E =－36， 2D +4E －F =20， 8D +6E +F =－100. D =－11，E =3，F =－30.∴圆的方程为x 2+y 2－11x +3y －30=0.（理）已知点P 是圆x 2+y 2=4上一动点，定点Q （4，0）. （1）求线段PQ 中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于R ，求R 点的轨迹方程.解：（1）设PQ 中点M （x ，y ），则P （2x －4，2y ），代入圆的方程得（x －2）2+y 2=1.（2）设R （x ，y ），由||||RQ PR =||||OQ OP =21， 设P （m ，n ），则有 m =243-x ，n =23y ，代入x 2+y 2=4中，得（x －34）2+y 2=916（y ≠0）. 探究创新9.已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程.∴解：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有||||PN PM =2，即22)1(y x ++=2·22)1(y x +-，整理得x 2+y 2－6x +1=0. ①因为点N 到PM 的距离为1，|MN |=2，所以∠PMN =30°，直线PM 的斜率为±33. 直线PM 的方程为y =±33（x +1）. ②将②代入①整理得x 2－4x +1=0.解得x 1=2+3，x 2=2－3.代入②得点P 的坐标为（2+3，1+3）或（2－3，－1+3）；（2+3，－1－3）或（2－3，1－3）.直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1. ●思悟小结1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.●教师下载中心 教学点睛1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.拓展题例 【例1】已知圆的方程为x 2+y 2+ax +2y +a 2=0，一定点为A （1，2），要使过定点A （1，2）作圆的切线有两条，求a 的取值范围.解：将圆的方程配方得（x +2a ）2+（y +1）2=4342a -，圆心C 的坐标为（－2a ，－1），半径r =4342a -，条件是4－3a 2＞0，过点A （1，2）所作圆的切线有两条，则点A 必在圆外，即22)12()21(+++a ＞4342a -.化简得a 2+a +9＞0.4－3a 2＞0， a 2+a +9＞0，由－332＜a ＜332， a ∈R .∴－332＜a ＜332.故a 的取值范围是（－332，332）.【例2】已知⊙O 方程为x 2+y 2=4，定点A （4，0），求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹.剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P （x ，y ），因为动圆过定点A ，所以|PA |即动圆半径. 当动圆P 与⊙O 外切时，|PO |=|PA |+2； 当动圆P 与⊙O 内切时，|PO |=|PA |－2. 综合这两种情况，得||PO |－|PA ||=2.将此关系式坐标化，得|22y x +－22)4(y x +-|=2.化简可得（x －2）2－32y =1.解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系 ||OP |－|PA ||=2，即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2，所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA 中点（2，0），实半轴长a =1，半焦距c =2，虚半轴长b =22a c -=3，所以轨迹方程为（x －2）2－32y =1.解。
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10.5二项式定理●知识梳理1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.●点击双基1.已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于A.29B.49C.39D.1解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9.∴已知条件中只需赋值x=－1即可.答案：B2.（2004年江苏，7）（2x+x）4的展开式中x3的系数是A.6B.12C.24D.48解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为·22=24.C24答案：C1）7的展开式中常数项是3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x3－xA.14B.－14C.42D.－42解析：设（2x 3－x1）7的展开式中的第r +1项是T 1+r =C r7（2x 3）r-7（－x1）r =C r72r -7·（－1）r·x)7(32x r-+-，当－2r +3（7－r ）=0，即r =6时，它为常数项，∴C 67（－1）6·21=14. 答案：A4.（2004年湖北，文14）已知（x 23+x 31-）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）解析：∵（x 23+x 31-）n 的展开式中各项系数和为128， ∴令x =1，即得所有项系数和为2n =128.∴n =7.设该二项展开式中的r +1项为T 1+r =C r7（x 23）r-7·（x 31-）r=C r 7·x61163r -，令61163r -=5即r =3时，x 5项的系数为C 37=35.答案：355.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________.解析：a ∶b =C 3n ∶C 2n =3∶1，n =11.答案：11 ●典例剖析 【例1】如果在（x +421x）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ， 由题意得2×2n =1+8)1(-n n ，得n =8.设第r +1项为有理项，T 1+r =C r8·r21·x4316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8.有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=22561x.评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r .【例2】求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项. 解法一：（｜x ｜+||1x －2）3=（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取||1x ，一个括号取－2，得C 13C 12（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+（－12）=－20. 解法二：（|x |+||1x －2）3=（||x －||1x ）6.设第r +1项为常数项，则T 1+r =C r6·（－1）r ·（||1x ）r ·|x |r -6=（－1）6·C r6·|x |r 26-，得6－2r =0，r =3.∴T 3+1=（－1）3·C 36=－20.思考讨论（1）求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数； （2）求（x +x4－4）4的展开式中的常数项；（3）求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.解：（1）原式=xx --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 46－1=14.（2）（x +x 4－4）4=442)44(x x x +-=48)2(x x -，展开式中的常数项为C 4482·（－1）4=1120. （3）方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483-+-++x x x =x x x 351)1()1(+-+.展开式中x 3的系数为C 451.方法二：原展开式中x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 451.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.【例3】设a n =1+q +q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C n n a n .（1）用q 和n 表示A n ； （2）（理）当－3<q <1时，求lim ∞→n nn A 2.解：（1）因为q ≠1，所以a n =1+q +q 2+…+q 1-n =qq n --11.于是A n =qq --11C1n+qq --112C2n+…+qq n--11C n n=q-11［（C 1n +C 2n +…+C n n ）－（C 1n q +C 2n q 2+…+C n n q n）］=q -11{（2n －1）－［（1+q ）n －1］} =q-11［2n －（1+q ）n ］.（2）nn A 2=q-11［1－（21q+）n ］. 因为－3<q <1，且q ≠－1， 所以0<|21q+|<1. 所以lim ∞→n nn A 2=q-11.●闯关训练 夯实基础1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－1解析：C 120+C 220+…+C 2020=220－1. 答案：D2.（2004年福建，文9）已知（x －xa）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.38C.1或38D.1或28解析：T 1+r =C r 8·x 8－r ·（－ax －1）r =（－a ）r C r8·x 8－2r .令8－2r =0，∴r =4.∴（－a）4C48=1120.∴a=±2.当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1.当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38.答案：C3.（2004年全国Ⅳ，13）（x－x1）8展开式中x5的系数为_____________.解析：设展开式的第r+1项为T1+r =C r8x8－r·（－x1）r=（－1）r C r8x238r-.令8－23r=5得r=2时，x5的系数为（－1）2·C28=28.答案：284.（2004年湖南，理15）若（x3+xx1）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________.解析：T1+r =C rn（x3）n－r·（x23-）r=C rn·x rn293-.令3n－29r=0，∴2n=3r.∴n必为3的倍数，r为偶数.试验可知n=9，r=6时，C rn =C69=84.答案：95.已知（x x lg+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值.解：由题意C2-nn ＋C1-nn＋C nn=22，即C2n ＋C1n＋C0n=22，∴n=6.∴第4项的二项式系数最大.∴C36（x x lg）3=20000，即x3lg x=1000.∴x=10或x=101.培养能力6.若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.求：（1）a1+a2+a3+…+a11；（2）a0+a2+a4+…+a10.解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.令x=1，得a0+a1+a2+…+a11=－26，①又a0=1，所以a1+a2+…+a11=－26－1=－65.（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+…－a11=0.②①+②得a0+a2+…+a10=21（－26+0）=－32.评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－1.7.在二项式（ax m+bx n）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ba的范围.解：（1）设T1r =C r12（ax m）12－r·（bx n）r=C r12a12－r b r x m（12－r）+nr为常数项，则有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项.（2）∵第5项又是系数最大的项，C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3，① C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5.②由①得2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥23101112⨯⨯⨯a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0，∴49b ≥a ，即ba≤49.由②得b a ≥58，∴58≤b a≤49.8.在二项式（x +421x）n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n ，再分别求出相应的有理项.解：前三项系数为C 0n ，21C 1n ，41C 2n ，由已知C 1n =C 0n +41C 2n ，即n 2－9n +8=0，解得n =8或n =1（舍去）.T 1+r =C r8（x ）8－r（24x ）－r=C r8·r21·x434r -.∵4－43r ∈Z 且0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r =0，r =4，r =8.∴展开式中x 的有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2561x －2.评述：展开式中有理项的特点是字母x 的指数4－43r ∈Z 即可，而不需要指数4－43r ∈N.∴探究创新 9.有点难度哟！求证：2<（1+n1）n <3（n ≥2，n ∈N *）.证明：（1+n 1）n =C 0n +C 1n ×n 1+C 2n （n1）2+…+C nn （n1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n +…+C nn×n n 1=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×nnn n 12)1(⨯⨯⨯-⨯ <2+!21+!31+!41+…+!1n <2+21+221+321+…+121-n =2+211])21(1[211---n =3－（21）1-n <3.显然（1+n1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n +…+C n n ×nn 1>2.所以2<（1+n1）n <3.●思悟小结1.在使用通项公式T 1+r =C r nr n a -br时，要注意：（1）通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项.（2）展开式中第r +1项的二项式系数C r n 与第r +1项的系数不同. （3）通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T 1+r 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n .2.证明组合恒等式常用赋值法. ●教师下载中心 教学点睛1.要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.2.要注意区分项的系数与项的二项式系数.3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要熟练掌握.拓展题例【例题】求（a－2b－3c）10的展开式中含a3b4c3项的系数.解：（a－2b－3c）10=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），从10个括号中任取3个括号，从中取a；再从剩余7个括号中任取4个括号，从中取－2b；最后从剩余的3个括号中取－3c，得含a3b4c3的项为C310a3C47·（－2b）4C33（－3c）3=C310C47C4332（－3）3a3b4c3.所以含a3b4c3项的系数为－C310C47×16×27.。
2013届高考数学第一轮数列专项复习教案5
习题课(1) 课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1 ， n ≥2. 2．若数列{a n }为等差数列，则有：(1)通项公式：a n ＝__________；(2)前n 项和：S n ＝______________＝_________________________________________.3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则______________________．(2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则S k ，S 2k －S k ，____________成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( )A ．24B ．22C ．20D ．－82．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( )A ．24B ．25C ．26D ．273．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－374．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A．120 B．105C．90 D．755．若{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则S n>0成立的最大自然数n为()A．11 B．12C．13 D．146．在等差数列{a n}中，a1＝－2 008，其前n项和为S n，若S2 0082 008－S2 0062 006＝2，则S2 012等于()A．－2 012 B．2 012C．6 033 D．6 036二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S p＝S q(p，q∈N＋且p≠q)，则S p＋q＝________.9．等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取得最大值的自然数n是______．10．已知数列{a n}中，a1＝20，a n＋1＝a n＋2n－1，n∈N＋，则数列{a n}的通项公式a n＝________.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.能力提升13．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，S n为{a n}的前n项的和，则下列结论正确的是()A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 345 6789101112131415……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n≥3)行从左至右的第3个数是______________．1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．习题课(1)答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.(1)a 1＋(n －1)d (2)na 1＋n (n －1)d 2 n (a 1＋a n )23.(1)a m ＋a n ＝a p ＋a q(2)S 3k －S 2k作业设计 1．A2．C [∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.]3．C [设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d )＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100. 又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d )＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.]4．B [∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5.∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d >0，∴a 1a 2a 3＝(5－d )·5·(5＋d )＝80，∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.]5．A [S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d <0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，n <12时，S n >0.]6．D [S n n ＝a 1＋(n －1)d 2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2. ∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036.]7．80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80.8．0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q .知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a .∴S p ＋q ＝a (p ＋q )2＋b (p ＋q )＝a (－b a )2＋b (－b a )＝b 2a －b 2a ＝0.9．5或6解析 d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>….∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值．10．n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)．∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21. 11．解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．13．D [∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0， S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11， ∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11，∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0. 又∵d ＝a 11－a 10>0.∴S n >0 (n ≥20)．]14.n 22－n 2＋3解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n 2＋3.。
2013届高考数学第一轮例题专项复习教案7
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．函数y ＝ cos x －12的定义域为( ) A ．[－π3，π3] B ．[k π－π3，k π＋π3]，k ∈Z C ．[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z D ．R 解析：由题意得cos x ≥12， ∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z. 答案：C2．函数y ＝sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( )A ．－2，2πB ．－2,2πC ．－2，πD ．－2，π解析：∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴当x ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z)时，y min ＝－ 2.T ＝2π. 答案：A3．若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f (x )可以是( ) A ．1B ．cos xC ．sin xD ．－cos x 解析：因为y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，满足题意，所以函数f (x )可以是－cos x .答案：D4．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]．答案：A5．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z B.[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z C.[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z D.[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z 解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)． ∵f (x )图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.f (x )＝2sin(2x ＋π6)． 故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)．k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)．答案：C6．若函数y ＝2cos ωx 在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2B.12 C ．3 D.13解析：由y ＝2cos ωx 在[0，23π]上是递减的，且有最小值为1，则有f (23π)＝1，即2×cos(ω×23π)＝1⇒cos 2π3ω＝12.检验各数据，得出B 项符合． 答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________．解析：f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32. 答案：328．设函数y ＝sin(π2x ＋π3)，若对任意x ∈R ，存在x 1，x 2使f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 1－x 2|的最小值是__________．解析：由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，可得f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值，|x 1－x 2|的最小值为半个周期．答案：29．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数中，所有正确结论的编号为________．解析：∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2，∴φ＝k π＋π3. ∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 由图象及性质可知②④正确．答案：②④三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知复数z 1＝3sin2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －cos2x )i(λ，m ，x ∈R)，且z 1＝z 2.(1)若λ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设λ＝f (x )，求f (x )的最小正周期和单调增区间．解：(1)∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧ 3sin2x ＝m ，λ＝m －cos2x .∴λ＝3sin2x －cos2x . 若λ＝0，则3sin2x －cos2x ＝0，得tan2x ＝33. ∵0<x <π，∴0<2x <2π.∴2x ＝π6，或2x ＝7π6. ∴x ＝π12，7π12. (2)∵λ＝f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2(32sin2x －12cos2x ) ＝2(sin2x cos π6－cos2x sin π6) ＝2sin(2x －π6)， ∴函数的最小正周期为T ＝π.即2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z. ∴f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z. 11．已知向量a ＝(sin x,23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2为偶函数，求θ的值． 解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin2x ＋23·1－cos2x 2－3＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2， 解得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z. (2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π3， 根据三角函数图象性质可知y ＝f (x ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值． 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝±1，∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z. 又0<θ<π2，∴θ＝5π12. 12．已知函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，a 为常数)，且π4是函数y ＝f (x )的零点． (1)求a 的值，并求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]，求函数f (x )的值域，并写出f (x )取得最大值时x 的值． 解：(1)由于π4是函数y ＝f (x )的零点， 即x ＝π4是方程f (x )＝0的解， 从而f (π4)＝sin π2＋a cos 2π4＝0， 则1＋12a ＝0，解得a ＝－2. 所以f (x )＝sin2x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1，则f (x )＝2sin(2x －π4)－1， 所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由x ∈[0，π2]，得2x －π4∈[－π4，3π4]， 则sin(2x －π4)∈[－22，1]， 则－1≤2sin(2x －π4)≤ 2， －2≤ 2sin(2x －π4)－1≤2－1， ∴值域为[－2，2－1]．当2x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z)， 即x ＝k π＋38π时，f (x )有最大值， 又x ∈[0，π2]，故k ＝0时，x ＝38π， f (x )有最大值2－1.。
2013届高考数学第一轮复习教案8
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第35讲曲线方程及圆锥曲线的综合问题一．课标要求：1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3．了解圆锥曲线的简单应用。
二．命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。
但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。
1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
预测2013年高考：1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。
三．要点精讲1．曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。
这是求曲线方程的基本方法。
转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。
即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。
几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。
如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。
2．圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。
2013届高考数学第一轮专项复习教案32
第八章圆锥曲线的方程●网络体系总览圆锥曲线椭圆定义双曲线定义抛物线定义标准方程标准方程标准方程几何性质几何性质几何性质作图作图作图第二定义第二定义直线与圆锥曲线的位置关系统一定义●考点目标定位1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用.5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.●复习方略指南本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容，在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显著特点：1.注重双基保持稳定圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右，“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.2.全面考查重点突出试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，通过知识的重新组合，考查学生系统掌握课程知识的内在联系，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.3.考查能力探究创新试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：1.搞清概念（对概念定义应“咬文嚼字”）；2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；4.处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.8.1椭圆定义 1.到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定长（＞|F 1F 2|）的点的轨迹 2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （∈（0，1））的点的轨迹方程1.22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） 2.22a y +22bx =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ） x =a cos θ， y =b sin θ性质E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）1.范围：|x |≤a ，|y |≤b2.对称性：关于x ，y 轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：长轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）；短轴端点B 1（0，－b ），B 2（0，b ）4.离心率：e =a c∈（0，1） 5.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =ca 26.焦半径：P （x ，y ）∈E r 1=|PF 1|=a +ex ，r 2=|PF 2|=a －ex对于焦点在y 轴上的椭圆22a y +22b x =1（a ＞b ＞0），其性质如何？焦半径公式怎样推导？●点击双基1.（2003年北京宣武区模拟题）已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为A.8B.16C.25D.32解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B 2.（2004年湖北，6）已知椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为3.参数A.59B.3C.779 D.49 解析：由余弦定理判断∠P <90°，只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角.由a =4，b =3得c =7，∴|y P |=49. 答案：D x =4+5cos ϕ， y =3sin ϕA.（0，0），（0，－8）B.（0，0），（－8，0）C.（0，0），（0，8）D.（0，0），（8，0）解析：消参数ϕ得椭圆25)4(2-x +92y =1，∴c =4.易得焦点（0，0），（8，0）.答案：D4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 解析：椭圆方程化为22x +ky 22=1.焦点在y 轴上，则k2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1.答案：0＜k ＜15.点P 在椭圆252x +92y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是____________.解析：利用第二定义.答案：1225●典例剖析【例1】已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.剖析：求椭圆的离心率，即求ac，只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a 、c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB 易得b =c ，a =2b .解：设椭圆方程为22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），F 1（－c ，0），c 2=a 2－b 2，则P （－c ，b 221ac -），即P （－c ，a b 2）.∵AB ∥PO ，∴k AB =k OP ，即－a b =acb 2-.∴b =c .3.（2003年春季北京）（ϕ为参数）的焦点坐又∵a =22c b +=2b ， ∴e =a c =bb 2=22. 评述：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.【例2】如下图，设E ：22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2=2θ.求证：△PF 1F 2的面积S =b 2t an θ.剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ.若能消去r 1r 2，问题即获解决.证明：设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ，又|F 1F 2|=2c ， 由余弦定理有（2c ）2=r 12+r 22－2r 1r 2cos2θ=（r 1+r 2）2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ=（2a ）2－2r 1r 2（1+cos2θ），于是2r 1r 2（1+cos2θ）=4a 2－4c 2=4b 2.所以r 1r 2=θ2cos 122+b .这样即有S =21·θ2cos 122+b sin2θ=b 2θθθ2cos 2cos sin 2=b 2t an θ.评述：解与△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF 1|+|PF 2|=2a 来解决.特别提示 我们设想点P 在E 上由A 向B 运动，由于△PF 1F 2的底边F 1F 2为定长，而高逐渐变大，故此时S 逐渐变大.所以当P 运动到点B 时S 取得最大值.由于b 2为常数，所以t an θ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，2π）.这样，θ也逐渐变大，当P 运动到B 时，∠F 1PF 2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，读者不妨一试.【例3】若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程. 剖析：欲求椭圆方程，需求a 、b ，为此需要得到关于a 、b 的两个方程，由OM 的斜率为22.OA ⊥OB ，易得a 、b 的两个方程.解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （221x x +，221y y +）. x +y =1，ax 2+by 2=1，∴221x x +=b a b +，221y y +=1－221x x +=b a a +.∴M （b a b +，b a a +）.∵k OM =22，∴b =2a . ①∵OA ⊥OB ，∴11x y ·22x y=－1.∴x 1x 2+y 1y 2=0. ∵x 1x 2=ba b +-1，y 1y 2=（1－x 1）（1－x 2）， ∴y 1y 2=1－（x 1+x 2）+x 1x 2=1－b a b +2+b a b +-1=ba a +-1.∴b a b +-1+b a a +-1=0.∴a +b =2. ② 由①②得a =2（2－1），b =22（2－1）. ∴所求方程为2（2－1）x 2+22（2－1）y 2=1.评述：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），但不是真的求出x 1、y 1、x 2、y 2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0是解决本题的关键.●闯关训练 夯实基础1.（2004年全国Ⅰ，7）椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|2PF |等于A.23B.3C.27D.4解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F 1，左焦点为F 2，过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x+y 2=1，∴a =2，b =1，c =3. ∴F 1（3，0）.设P （3，y P ）代入42x +y 2=1，得y P =21，由 ∴（a +b ）x 2－2bx +b －1=0.∴P （3，21），|PF 1|=21. 又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4，∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二：椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23，∴|PF 2|=27.解法三：由解法一得P （3，21）， 又F 2（－3，0），∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.答案：C评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙.2.（2003年昆明市模拟题）设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为A.3－1B.2－3C.22D.23 解析：易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2，（a c ）2+2（a c ）－2=0，ac=3－1.答案：A3.（2005年春季北京，10）椭圆252x +92y =1的离心率是____________，准线方程是____________.解析：由椭圆方程可得a =5，b =3，c =4，e =54，准线方程为x =±452=±425.答案：54x =±4254.已知P 是椭圆22a x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．答案：452x ＋202y ＝15.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a =2c ，b =3c ，又a －c =3，解得a 2=12，b 2=9.∴所求椭圆的方程是122x +92y =1或92x +122y =1.6.直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则421x +321y =1，①422x +322y =1. ②①－②，得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43·2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2.∴直线l 的斜率为－43.∴直线l 的方程为y －1=－43（x －1），即3x +4y －7=0.培养能力7.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），解方程组y =x +1， mx 2+ny 2=1.y ，整理得（m +n ）x 2+2nx +n －1=0.Δ=4n 2－4（m +n ）（n －1）>0，即m +n －mn >0，OP ⊥OQ ⇒x 1x 2+y 1y 2=0， 即x 1x 2+（x 1+1）（x 2+1）=0，2x 1x 2+（x 1+x 2）+1=0， ∴n m n +-)1(2－n m n -2+1=0.∴m +n =2.①由弦长公式得2·2)()(4n m mn n m +-+=（210）2，将m +n =2代入，得m ·n =43.② m =21，m =23， n =23n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1.解①或8.（2003年南京市模拟题）设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8.（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程.（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP =OA +OB ，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8，∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为122x +162y =1.解法二：由题知，22)2(++y x +22)2(-+y x =8， 移项，得22)2(++y x =8－22)2(-+y x ，两边平方，得x 2+（y +2）2=x 2+（y －2）2－1622)2(-+y x +64， 整理，得222)2(-+y x =8－y ，两边平方，得4［x 2+（y －2）2］=（8－y ）2， 展开，整理得122x +162y =1.（2）∵l 过y 轴上的点（0，3），若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点.∵OP =OA +OB =0，∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， y =kx +3，122x+162y =1， （－21）＞0恒成立，且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－23421k +. ∵OP =OA +OB ，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即OA ·OB =0.∵OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2）， ∴OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）·（－23421k +）+3k ·（－23418kk +）+9=0，即k 2=165，得k =±45. 由 消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－42∴存在直线l ：y =±45x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 探究创新9.已知常数a ＞0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BC BE =CD CF =DADG，P 为GE 与OF 的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.分析：根据题设条件首先求出P 点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P 到两定点距离的和为定值.解：按题意，有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）. 设BC BE =CD CF =DADG =k （0≤k ≤1）， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为2ax +（2k －1）y =0. ① 直线GE 的方程为－a （2k －1）x +y －2a =0. ② 由①②消去参数k ，得点P （x ，y ）满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(aa y -=1. 当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜21时，点P 到椭圆两个焦点（－221a -，a ），（221a -，a ）的距离之和为定值2.当a 2＞21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.●思悟小结1.椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.2.要明确参数a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.3.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，||||11PM PF =||||22PM PF =e ； （2）|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ，|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ； （4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，|PM 2|+|PM 1|=ca 22.●教师下载中心 教学点睛本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a 、b 、c 、e 的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2（如下图），它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2=θ，则cos θ=ac=e .（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF 1B 2、公式cos θ=e 等，均不因坐标系的改变而改变.（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要A 、B 、C 同号，就是椭圆方程.（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.拓展题例【例1】（2003年太原市模拟题）如下图，已知△OFQ 的面积为S ，且OF ·FQ =1.（1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； （2）设|OF |=c （c ≥2），S =43c ，若以O 为中心，F 为一个焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由已知，得（π－θ）=S ， θ=1.∴t an θ=2S .∵21＜S ＜2，∴1＜t an θ＜4. 则4π＜θ＜arc t an4. （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为22a x +22by =1（a ＞b ＞0），Q （x ，y ）. OF =（c ，0），则FQ =（x －c ，y ）.∵21|OF |·y =43c ，∴y =23. 又∵OF ·FQ =c （x －c ）=1，∴x =c +c 1. 则|OQ |=22y x +=49)1(2++c c （c ≥2）. 可以证明：当c ≥2时，函数t =c +c1为增函数， ∴当c =2时， |OQ |min =49)212(2++=234，此时Q （25，23）.将Q 的坐标代入椭圆方程，2425a +249b =1，a 2=10， a 2－b 2=4.b 2=6.∴椭圆方程为102x +62y =1. 【例2】（2002年春季全国）已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.（1）解：由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4，所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1． （2）解：由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54． 根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）． 由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2×59． 由此得出x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4． 方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2×59， ① 由A （x 1，y 1）在椭圆252x ＋92y ＝1上，得y 12＝259（25－x 12）， 得解所以2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++- ＝21)545(x -＝51（25－4x 1）. ② 同理可得2222)4(y x +-＝51（25－4x 2）． ③ 将②③代入①式，得51（25－4x 1）＋51（25－4x 2）＝518． 所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4． （3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得 9x 12＋25y 12＝9×25， ④ 9x 22＋25y 22＝9×25． ⑤ 由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0， 即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）. 将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k 1（k ≠0）代入上式，得 9×4＋25y 0（－k 1）＝0（k ≠0）． 由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0＝4k ＋m ，所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0． 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516． 评述：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以. 解法二：因为弦AC 的中点为P （4，y 0），所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k1（x －4）（k ≠0）. ⑥ 将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1，得 （9k 2＋25）x 2－50（ky 0＋4）x ＋25（ky 0＋4）2－25×9k 2＝0．所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8． 解得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 以下步骤同解法一.。
2013届高考数学第一轮数列专项复习教案1
第一章 数 列 1.1 数列的概念课时目标 1.理解数列及其有关概念；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1．一般地，按一定________排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…简记为数列{a n }，其中数列的第1项a 1也称首项；a n 是数列的第n 项，也叫数列的通项． 2．项数有限的数列称________数列，项数无限的数列称为______数列．3．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的________公式．一、选择题1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,03．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1]B ．a n ＝12[1－cos(n ·180°)] C ．a n ＝sin 2(n ·90°)D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12[1＋(－1)n －1]4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项 5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2 D ．a n ＝n 2＋16．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么a n ＋1－a n等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)4n －1(n 为正偶数).则它的前4项依次为_____．8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第______项．9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，… (4)32，1，710，917，… (5)0,1,0,1，…12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．能力提升13．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是____________________________．14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n＝(－1)n，也可以写成a n＝(－1)n＋2，还可以写成a n ＝⎩⎨⎧－1 (n ＝2k －1)，1 (n ＝2k )，其中k ∈N ＋.1.2 数列的函数特性课时目标 1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．2．数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．3．一般地，一个数列{a n }，如果从________起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从________起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项________，那么这个数列叫做常数列．一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥23．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.58 4．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则：a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31155．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( )A.67B.57C.37D.176．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3,4S n ＝6a n －a n －1＋4S n －1，则a n ＝________.8．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N ＋)，则使a n >100的n 的最小值是________．9．若数列{a n }满足：a 1＝1，且a n ＋1a n＝n ＋2n (n ∈N ＋)，则当n ≥2时，a n ＝________.10．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N ＋，则实数λ的最小值是________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.12．已知a n ＝9n (n ＋1)10n (n ∈N ＋)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．能力提升13．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N ＋，则通项公式a n ＝________.14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N ＋或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图像是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图像可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图像呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N ＋)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N ＋)都成立．§1 数 列 1．1 数列的概念答案知识梳理1．次序 2.有穷 无穷 3.通项 作业设计 1．B 2.A3．D [令n ＝1,2,3,4代入验证即可．]4．C [n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．]5．C [令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C .]6．D [∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.]7．4,7,10,15 8．10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n(n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.9．a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 10．55解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.11．解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N ＋)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n (n ∈N ＋)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n (n ∈N ＋)．(4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1(n ∈N ＋)．(5)a n ＝⎩⎨⎧0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N ＋)．12．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N ＋，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎨⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧n >76n <83.∴76<n <83.又∵n ∈N ＋，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.13．a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b 2，故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －b 2. 14．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.1．2 数列的函数特性知识梳理2．正整数集N ＋ 函数值 3.第2项 a n ＋1>a n第2项 a n ＋1<a n 都相等作业设计1．A 2.B 3.B4．C [a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.]5．C [计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37.]6．C [∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1 ∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图像上，在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图像，由图像易知当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1， 当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减，∴a 10>a 11>…>a 30>1. 所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.]7．3·21－n8．129.n (n ＋1)2解析 ∵a 1＝1，且a n ＋1a n＝n ＋2n (n ∈N ＋)． ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n －1a n －2·a n a n －1＝31·42·53·…n n －2·n ＋1n －1，即a n ＝n (n ＋1)2. 10．－3解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N ＋⇔λ≥－3.11．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2， ∴a 2 010＝2.12．解 因为a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ·(n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n ＋2)－109(n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·8－n 9，则 当n ≤7时，⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·8－n 9>0， 当n ＝8时，⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·8－n 9＝0， 当n ≥9时，⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·8－n 9<0， 所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108.13．－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)， ∴a 2－a 1＝11×2； a 3－a 2＝12×3； a 4－a 3＝13×4； … …a n －a n －1＝1(n －1)n； 以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n .∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n .14.1n解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0.方法一 a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ， ∴a n a 1＝1n . 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n .方法二 (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1，∴na n ＝1，a n ＝1n .。
2013届高考数学第一轮专项复习教案14
*第十二章统计●网络体系总览●考点目标定位1.了解简单随机抽样、分层抽样及系统抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样.2.会用样本频率分布估计总体分布.3.会用样本估计总体平均值和方差.●复习方略指南在本章的复习中，要理解几种抽样方法的区别与联系.应充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率统计中处理问题的基本思想方法，掌握所学的概率统计知识的实际应用.这部分内容高考命题趋向主要以选择题、填空题为主，重点考查基础知识、基本概念及其简单的应用.对有关概率统计的应用题要多加关注.12.1抽样方法与总体分布的估计●知识梳理1.简单随机抽样：一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.2.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.3.两种抽样方法的比较（略）.4.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.5.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.6.总体分布：从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n的样本，就是进行了n次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.●点击双基1.为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是A.1000名运动员是总体B.每个运动员是个体C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是100解析：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况.因此应选D. 答案：D2.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是A.310C 3B.89103⨯⨯C.103 D.101 解析：用简单随机抽样法从中抽取，则每个个体被抽到的概率都相同为103，所以选C.答案：C3.一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40、0.125，则n 的值为A.640B.320C.240D.160解析：∵n40=0.125，∴n =320.故选B. 答案：B4.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，在简单随机抽样、系统抽样、分层抽样这三种方法中较合适的抽样方法是___________.解析：要研究的总体里各部分情况差异较大，因此用分层抽样. 答案：分层抽样______________、_______（精确到0.01）.解析：由频率计算方法知：总人数=45.分数在［100，110）中的频率为458=0.178≈0.18. 分数不满110分的累积频率为458652+++=4521≈0.47.答案：0.180.47●典例剖析【例1】（2004年湖南，5）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是A.分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样法C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法 剖析：此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法.故选B.答案：B评述：采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定.【例2】（2004年福建，15）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m +k 的个位数字相同.若m =6，则在第7组中抽取的号码是___________.剖析：此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样.按题目中要求的规则抽取即可.∵m =6，k =7，m +k =13，∴在第7小组中抽取的号码是63. 答案：63评述：当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样.采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行.【例3】把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.剖析：已知前七组的累积频率为0.79，而要研究后三组的问题，因此应先求出后三组的频率之和为1－0.79=0.21，进而求出后三组的共有频数，或者先求前七组共有频数后，再计算后三组的共有频数.由已知知前七组的累积频数为0.79×100=79，故后三组共有的频数为21，依题意qq a --⋅1)1(31=21，a 1（1+q +q 2）=21.∴a 1=1，q =4.∴后三组频数最高的一组的频数为16.答案：16评述：此题剖析只按第二种思路给出了解答，你能按第一种思路来解吗？（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图；（3）估计电子元件寿命在100～400h 以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400h 以上的概率.剖析：通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤.（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400h 内的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100～400h 内的概率为0.65.（4）由频率分布表可知，寿命在400h 以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400h 以上的概率为0.35.评述：画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义. ●闯关训练 夯实基础1.（2004年江苏，6）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为A.0.6hB.0.9hC.1.0hD.1.5h解析：505.020)5.11(1025⨯++⨯+⨯=0.9.答案：B2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上的人，用分层抽样法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为A.7，5，8B.9，5，6C.6，5，9D.8，5，7解析：45×10020=51×45=9，25×10020=5，30×51=6. 答案：B3.某单位共有N 个职工，要从N 个职工中采用分层抽样法抽取n 个样本，已知该单位的某一部门有M 个员工，那么从这一部门中抽取的职工数为___________.答案：NMn4.下图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空：（1）样本数据落在范围［6，10）内的频率为___________； （2）样本数据落在范围［10，14）内的频数为___________； （3）总体在范围［2，6）内的概率约为___________. 答案：（1）0.32（2）36（3）0.085.举例说明简单随机抽样和分层抽样两种抽样方法，无论使用哪一种抽样方法，总体中的每一个个体被抽到的概率都相等.解：袋中有160个小球，其中红球48个，蓝球64个，白球16个，黄球32个，从中抽取20个作为一个样本.（1）使用简单随机抽样：每个个体被抽到的概率为16020=81. （2）使用分层抽样：四种球的个数比为3∶4∶1∶2.红球应抽103×20=6个；蓝球应抽104×20=8个；白球应抽101×20=2个；黄球应抽102×20=4个.由于486=648=162=324=81，所以，按颜色区分，每个球被抽到的概率也都是81. 培养能力6.某工厂生产的产品，可分为一等品、二等品、三等品三类，根据抽样检验的记录有一等品54个、二等品140个、三等品6个.（1）估计三种产品的概率； （2）画出频率分布条形图. 解：（1）0.27，0.7，0.03. （2）频率分布条形图如下.7.有点难度哟！某县政府机关在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级人事部门为了了解职工对机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试说明具体实施办法，并证明用这种抽样方法可使总体中每个个体被抽到的概率相等.解：因机构改革关系到所有人的利益，故采用分层抽样方法较宜.∵10020=51，∴10×51=2，70×51=14，20×51=4.故从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人.副处级以上干部被抽到的概率为102=51，一般干部被抽到的概率为7014=51，工人被抽到的概率为204=51，即每个个体被抽到的概率都是10020=51. 8.有点难度哟！从一个养鱼池中捕得m 条鱼，作上记号后再放入池中，数日后又捕得n 条鱼，其中k 条有记号，请估计池中有多少条鱼.解：设池中有N 条鱼，第一次捕得m 条作上记号后放入水池中，则池中有记号的鱼占N m ；第二次捕得n 条，则这n 条鱼是一个样本，其中有记号的鱼占nk.我们用样本来估计总体分布，令n k =N m ，∴N =kmn. 探究创新9.有点难度哟！1936年，美国进行总统选举，竞选的是民主党的罗斯福和共和党的兰登，罗斯福是在任的总统.美国权威的《文学摘要》杂志社，为了预测总统候选人谁能当选，采用了大规模的模拟选举，他们以电话簿上的地址和俱乐部成员名单上的地址发出1000万封信，收到回信200万封，在调查史上，样本容量这么大是少见的，杂志社花费了大量的人力和物力，他们相信自己的调查统计结果，即兰登将以57%对43%的比例获胜，并大力进行宣传.最后选举结果却是罗斯福以62%对38%的巨大优势获胜，连任总统.这个调查使《文学摘要》杂志社威信扫地，不久只得关门停刊.试分析这次调查失败的原因.解：失败的原因：抽样方法不正确.样本不是从总体（全体美国公民）中随机地抽取，1936年，美国有私人电话和参加俱乐部的家庭，都是比较富裕的家庭.1929～1933年的世界经济危机，使美国经济遭到沉重打击，“罗斯福新政”动用行政手段干预市场经济，损害了部分富人的利益，但广大的美国人民却从中得到了好处.所以，从这部分富人中抽取的样本严重偏离了总体，导致样本不具有代表性.●思悟小结1.采用什么抽样方法，要视情况来定：当总体中的个体较少时，一般可用随机抽样；当总体中的个体较多时，一般可用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般可用分层抽样.2.用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法.用样本估计总体，本节主要研究在整体上用样本的频率分布估计总体的分布.●教师下载中心 教学点睛1.常用的抽样方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，其中第一种是最简单、最基本的抽样方法.三种抽样方法的共同点：都是等概率抽样，体现了抽样的公平性；三种抽样方法各有其特点和适用的范围.2.总体分布反映了总体在各个范围内取值的概率.当总体中所取不同数值比较少时，常用条形图表示相应样本的频率分布；否则，常用频率分布直方图表示相应样本的频率分布.3.系统抽样的步骤：（1）将总体中的个体随机编号；（2）将编号分段；（3）在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；（4）按照事先研究的规则抽取样本.4.分层抽样的步骤：（1）分层；（2）按比例确定每层抽取个体的个数；（3）各层抽样（方法可以不同）；（4）汇合成样本.5.解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=总数频数）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计.6.条形图是用其高度表示取各值的频率；直方图是用图形面积的大小表示在各区间内取值的频率；累积频率分布图是一条折线，利用任意两端值的累积频率之差表示样本数据在这两点值之间的频率.拓展题例 【例1】（2004年辽宁省重点高中模拟题）用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是___________.解析：不妨设在第1组中随机抽到的号码为x ，则在第16组中应抽出的号码为120+x . 设第1组抽出的号码为x ，则第16组应抽出的号码是8×15+x =126，∴x =6. 答案：6 【例2】（2004年苏、锡、常、镇四市模拟题）某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为____________.解析：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取. ∵120∶16∶24=15∶2∶3，又共抽出20人，∴各层抽取人数分别为20×2015=15人，20×202=2人，20×203=3人. 答案：15人、2人、3人。
2013届高考数学第一轮精讲精练复习教案2
2013高中数学精讲精练第二章函数【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”．4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．第1课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 【基础练习】1．设有函数组：①y x =，y =；②y x =，y =；③y =，y =；④1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩，x y x =；⑤lg 1y x =-，lg 10xy =．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____②③____． 3.写出下列函数定义域：(1) ()13f x x =-的定义域为______________；(2) 21()1f x x =-的定义域为______________；(3)1()f x x =的定义域为______________； (4)()f x =的定义域为_________________． 4．已知三个函数:(1)()()P x y Q x =；(2)y =(*)n N ∈； (3)()log ()Q x y P x =．写出使各函数式有意义时，()P x ，()Q x 的约束条件：(1)______________________；(2)______________________； (3)______________________________． 5.写出下列函数值域：(1) 2()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}．①②③④R {1}x x ≠± [1,0)(0,)-⋃+∞ (,1)(1,0)-∞-⋃- ()0Q x ≠ ()0P x ≥ ()0Q x >且()0P x >且()1Q x ≠(2) 2()22f x x x =-+； 值域是[1,)+∞． (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]．【范例解析】例 1.设有函数组：①21()1x f x x -=-，()1g x x =+；②()f x =，()g x =③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-⋃+∞，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可． 例2.求下列函数的定义域：①12y x =+- ②()f x =解：（1）① 由题意得：220,10,x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠，故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞．② 由题意得：12log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．例3.求下列函数的值域：（1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈；（2）221x y x =+()x R ∈； （3）y x =-分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．（1） 解：2242(2)2y x x x =-+-=--+，[0,3)x ∈ ，∴函数的值域为[2,2]-；（2） 解法一：由2221111x y x x ==-++，21011x <≤+ ，则21101x -≤-<+ ，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．解法二：由221x y x =+，则21y x y=-，20x ≥ ，∴01y y ≥-，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．（3t =(0)t ≥，则21x t =-，2221(1)2y t t t ∴=--=--，当0t ≥时，2y ≥-，故函数值域为[2,)-+∞． 点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________． 2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数21()1y x R x=∈+的值域为________________． 4.函数23y x =-+_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为_____________________．6.记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，x <－1或x ≥1， 即A =(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．∵a <1，∴a +1>2a ，∴B=(2a ，a +1) ． ∵B ⊆A ， ∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， ∴21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时， 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)．(,0]-∞ (1,2)(2,3)⋃ (0,1] (,4]-∞ 13[,0)(,1]44-⋃第2课 函数的表示方法【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式． 【基础练习】1.设函数()23f x x =+，()35g x x =-，则(())f g x =_________；(())g f x =__________．2.设函数1()1f x x =+，2()2g x x =+,则(1)g -=_____3_______；[(2)]f g =17；[()]f g x =213x +． 3.已知函数()f x 是一次函数，且(3)7f =，(5)1f =-,则(1)f =__15___．4.设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝_____________．5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________． 【范例解析】例1.已知二次函数()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式． 分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．解法一：设2()(0)f x ax bx c a =++>，则26,426,4 4.4c a b c ac b a⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪-⎪=⎪⎩解得2,4,6.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的解析式为2()246f x x x =-+．解法二：(0)(2)f f = ，∴抛物线()y f x =有对称轴1x =．故可设2()(1)4(0)f x a x a =-+>．第5题67x - 64x + 413 |1|2323--=x y (0≤x ≤2)将点(0,6)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．解法三：设()() 6.F x f x =-，由(0)(2)6f f ==，知()0F x =有两个根0，2， 可设()()6(0)(2)F x f x a x x =-=--(0)a >，()(0)(2)6f x a x x ∴=--+，将点(1,4)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+． 点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出()y f x =的函数解析式．分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．解：当[0,30]x ∈时，直线方程为115y x =，当[40,60]x ∈1[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210x x f x x x x ⎧⎪∈⎪∴=∈⎨⎪∈⎪-⎩点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域． 【反馈演练】1．若()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则(2)f x =（ D ）Ａ． 2()f x Ｂ．2[()(f x g x + Ｃ．2()g xＤ． 2[()()]f x g x ⋅2．已知1(1)232f x x -=+，且()6f m =，则m 等于________．3. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．求函数g (x )的解析式． 解：设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故．14-第3课 函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性． 【基础练习】 1.下列函数中： ①1()f x x=； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-．其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___． 2.函数y x x =的递增区间是___ R ___． 3.函数y =的递减区间是__________． 4.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________． 5.已知下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数； ②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函(,1]-∞- (1,)+∞数()f x 在R 上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______． 【范例解析】例 . 求证：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数； （2）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（1）对于区间3(,]4-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为22121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-1212()[32()]x x x x =--+，又1234x x <≤，则120x x -<，1232x x +<，得1232()0x x -+>， 故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调增函数． （2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数；所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论． 例2.确定函数()f x =分析：作差后，符号的确定是关键．解：由120x ->，得定义域为1(,)2-∞．对于区间1(,)2-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，则12()()f x f x -===又120x x -<0>，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．所以，()f x 在区间1(,)2-∞上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．【反馈演练】1．已知函数1()21xf x =+，则该函数在R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________． 2．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =__25___.3.函数y =1[2,]2--.4. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为1(,1],[,1]2-∞-．5. 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=-++2112(12)()0(2)(2)a x x x x --=<++， 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即12a >．(0,1)第4课 函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数． 【基础练习】1.给出4个函数：①5()5f x x x =+；②421()x f x x -=；③()25f x x =-+；④()x x f x e e -=-．其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____． 2. 设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数=a －1 ．3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）A .R x x y ∈-=,3B .R x x y ∈=,sinC .R x x y ∈=,D .R x x y ∈=,)21( 【范例解析】例1.判断下列函数的奇偶性：（1）2(12)()2x xf x +=； （2）()lg(f x x =；（3）221()lg lgf x x x =+； （4）()(1f x x =- （5）2()11f x x x =+-+； （6）22(0),()(0).x x x f x x x x⎧-+≥⎪=⎨<+⎪⎩分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断． 解：（1）定义域为x R∈，关于原点对称；2222(12)2(12)()222x x x x x x f x ----+⋅+-===⋅2(12)()2x xf x +=, 所以()f x 为偶函数． （2）定义域为x R∈，关于原点对称；()()lg(lg(lg10f x f x x x -+=-+== ，()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．（3）定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，关于原点对称；()0f x = ，()()f x f x ∴-=-且()()f x f x -=，所以()f x 既为奇函数又为偶函数．（4）定义域为[1,1)x ∈-，不关于原点对称；故()f x 既不是奇函数也不是偶函数． （5）定义域为x R ∈，关于原点对称；(1)4f -= ，(1)2f =，则(1)(1)f f -≠且(1)(1)f f -≠-，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（6）定义域为x R ∈，关于原点对称；22()()(0),()(0).()()x x x f x x x x ⎧--+-->⎪-=⎨-<-+-⎪⎩ ，22(0),()(0).x x x f x x x x ⎧-->⎪∴-=⎨<-⎪⎩又(0)0f =，22(0),()(0).x x x f x x x x ⎧--<⎪∴-=⎨≥-⎪⎩()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即()()f x f x -=-或()()f x f x -=判断，注意定义的等价形式()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=．例2. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2()22f x x x =-+，求函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间．分析：奇函数若在原点有定义，则(0)0f =． 解：设0x <，则0x ->，2()22f x x x ∴-=++．又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，2()()22f x f x x x ∴=--=---． 当0x =时，(0)0f =．综上，()f x 的解析式为2222,0()0,0022,x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪<---⎩． 作出()f x 的图像，可得增区间为(,1]-∞-，[1,)+∞，减区间为[1,0)-，(0,1]．点评：（1）求解析式时0x =的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“⋃”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“x -”实现转化；（4）根据图像写单调区间．【反馈演练】1．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ D ）A ．()()76f f >B ．()()96f f >C ．()()97f f >D ．()()107f f >2. 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ B ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数3. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为____1，3 ___． 4．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f ________．5．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是（－2，2）．6. 已知函数21()ax f x bx c+=+(,,)a b c Z ∈是奇函数．又(1)2f =，(2)3f <,求a ，b ，c 的值；解：由()()f x f x -=-，得()bx c bx c -+=-+，得0c =．又(1)2f =，得12a b +=，而(2)3f <，得4131a a +<+，解得12a -<<．又a Z ∈，0a ∴=或1． 若0a =，则12b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈．所以，1,1,0a b c ===．综上，可知()f x 的值域为{0,1,2,3,4}．25第5 课 函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法． 【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：（1）2x y =12x y -=123x y -=+；（2）2log y x = 2log ()y x =-2log (3)y x =-．2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）31xy =-； （2）2log (2)y x =-； （3）21xy x -=-． 解：（1）将3x y =的图像向下平移1个单位，可得31x y =-的图像．图略； （2）将2log y x =的图像向右平移2个单位，可得2log (2)y x =-的图像．图略；（3）由21111x y x x -==---，将1y x =的图像先向右平移1个单位，得11y x =-的图像，再向下平移1个单位，可得21x y x -=-的图像．如下图所示：3.作出下列各个函数图像的示意图：（1）12log ()y x =-； （2）1()2xy =-； （3）12log y x =； （4）21y x =-．解：（1）作12log y x =的图像关于y 轴的对称图像，如图1所示；（2）作1()2xy =的图像关于x 轴的对称图像，如图2所示；（3）作12log y x =的图像及它关于y 轴的对称图像，如图3所示；（4）作21y x =-的图像，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，如图4所示．图1图2向右平移1个单位 向上平移3个单位作关于y 轴对称的图形 向右平移3个单位4. 函数()|1|f x x =-的图象是（ B ）【范例解析】例1.作出函数2()223f x x x =-++及()f x -，()f x -，(2)f x +，()f x ，()f x 的图像．分析：根据图像变换得到相应函数的图像． 解：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；将()y f x =的图像向左平移2个单位得到(2)y f x =+的图像；保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分．图略．点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；()y f x =--与()y f x =的图像关于原点对称；图3图4()y f x =保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；()y f x =将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分． 例2.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； （2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明.分析：根据图像变换得到)(x f 的图像，第（3）问实质是恒成立问题．解：（1）（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A .由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142.【反馈演练】11B ）2. 为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象向右平移1个单位长度得到．3．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k =14-． 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y =f (x )的图象关于直线21=x 对称，则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ． 5. 作出下列函数的简图：（1）2(1)y x x =-+； （2）21xy =-； （3）2log 21y x =-．第6课 二次函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．【基础练习】1. 已知二次函数232y x x =-+,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为32x =；顶点坐标为 31(,)24-，与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为14-．2. 二次函数2223y x mx m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =__－2___，顶点坐标为(2,3)-，递增区间为(,2]-∞-，递减区间为[2,)-+∞． 3. 函数221y x x =--的零点为11,2-． 4. 实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件为0ac <；有两正根的充要条件为0,0,0b c a a ∆≥->>；有两负根的充要条件为0,0,0b ca a∆≥-<>．5. 已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__________．【范例解析】例1.设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈． （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）若2a =时，求)(x f 的最小值． 分析：去绝对值．解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数．当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠．此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．[1,2]（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2123)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f ． 故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43． 点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值． 例2.函数()f x 212ax x a =+-()a R ∈在区间的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式．分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况． 解：∵直线1x a =-是抛物线()f x 212ax x a =+-的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当0>a 时，函数()y f x =，x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段，由10x a=-<知()f x在x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ； （2）当0=a 时，()f x x =，x ∈，有)(a g =2；（3）当0<a 时，，函数()y f x =，x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，若1x a =-]2,0(∈即22-≤a 时，)(ag f = 若1x a =-]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g 11()2f a a a =-=--， 若1x a =-),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g (2)f =2+=a ．综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ．点评：解答本题应注意两点：一是对0a =时不能遗漏；二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及()y f x =在区间上的单调性．【反馈演练】1．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是0b ≥．2．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为2215y x x =-++．3. 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列四图之一：则a 的值为 （ B ）A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+- 4．若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是5[,)2-+∞．5.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是(,5][5,)-∞-⋃+∞．6.已知函数2()223f x x ax =-+在[1,1]-有最小值，记作()g a ． （1）求()g a 的表达式； （2）求()g a 的最大值．解：（1）由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为2ax =， 当12a≤-时，即2a ≤-时，()(1)25g a f a =-=+； 当112a -<<，即22a -<<时，2()()322a a g a f =-=-；当12a≥，即2a ≥时，()(1)52g a f a ==-； 综上，225,(2)()3,(22)252,(2)a a a g a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩． （2）当2a ≤-时，()1g a ≤；当22a -<<时，()3g a ≤；当2a ≥时，()1g a ≤．故当0a =时，()g a 的最大值为3．7. 分别根据下列条件,求实数a 的值：（1）函数2()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2； （2）函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4．解：（1）当0a <时，max ()(0)f x f =，令12a -=，则1a =-； 当01a ≤≤时，max ()()f x f a =，令()2f a =，a ∴=； 当1a >时，max ()(1)f x f =，即2a =． 综上，可得1a =-或2a =．（2）当0a >时，max ()(2)f x f =，即814a +=，则38a =； 当0a <时，max ()(1)f x f =-，即14a -=，则3a =-．综上，38a =或3a =-． 8. 已知函数2(),()f x x a x R =+∈．（1）对任意12,x x R ∈，比较121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小； （2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范围．解：（1）对任意1x ，2x R ∈，212121211[()()]()()0224x x f x f x f x x ++-=-≥ 故12121[()()]()22x x f x f x f ++≥． （2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，得2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤．第7课 指数式与对数式【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算． 【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=3π-； 238=____4____； 3481-=127； log 1a =___0_____； log a a =____1____；log 4=__－4__．2.化简下列各式：(0,0)a b >>（1）2111333324()3a ba b ---÷-=6a -；（2）2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+．3.求值：（1）35log(84)⨯=___－38____；（2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)+⋅+=____1____；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____． 【范例解析】 例1. 化简求值：（1）若13a a -+=，求1122a a --及442248a a a a --+-+-的值；（2）若3log 41x =，求332222x xx x--++的值． 分析：先化简再求值． 解：（1）由13a a-+=，得11222()1a a --=，故11221a a--=±；又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438a a a a --+-=-+-． （2）由3log 41x =得43x=；则33227414223x x x xx x---+=-+=+． 点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．例2.（1）求值：11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+； （2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56． 分析：化为同底．解：（1）原式=lg10lg3lg 240136lg10lg9lg5+-+-+1lg810lg8=+=；（2）由2lo g 3m =，得31lo g 2m=；所以33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mnm mn++===++++． 点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数． 例3. 已知35abc ==，且112a b+=，求c 的值． 分析：将a ，b 都用c 表示． 解：由35a bc ==，得1log 3c a =，1log 5c b =；又112a b+=，则log 3log 52c c +=， 得215c =．0c >，c ∴= 点评：三个方程三个未知数，消元法求解．【反馈演练】 1．若21025x=，则10x -=15． 2．设lg321a =，则lg 0.321=3a -． 3．已知函数1()lg1xf x x-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ．4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12． 6．若618.03=a，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__．7．已知函数1(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ． （1）求实数c 的值； （2）解不等式182)(+＞x f ． 解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()1f x >得，当102x <<时，解得142x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．第8课 幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图像了解它们的变化情况；2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)．2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，则()f x =222x -+．3.函数220.3x xy --=的定义域为___R __；单调递增区间1(,]2-∞-；值域14]．4.已知函数1()41x f x a =++是奇函数，则实数a 的取值12-．5.要使11()2x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-．6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2． 【范例解析】例1.比较各组值的大小： （1）0.20.4，0.20.2，0.22， 1.62；（2）ba -，ba ，aa ，其中01ab <<<；（3）131()2，121()3．分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性． 解：（1）0.20.200.20.40.41<<= ，而0.2 1.6122<<，0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<．（2）01a << 且b a b -<<，ba b aa a -∴>>．（3）111322111()()()223>>．点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．例2.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数,求,a b 的值；解：因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= －f （－1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++例3.已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+，求证： （1）函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数； （2）方程()0f x =没有负根． 分析：注意反证法的运用．证明：（1）设121x x -<<，122112123()()()(1)(1)xxx x f x f x a a x x --=-+++，1a > ，210x x a a ∴->，又121x x -<<，所以210x x ->，110x +>，210x +>，则12()()0f x f x -<故函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数．（2）设存在00x <0(1)x ≠-，满足0()0f x =，则00021x x ax -=-+．又001xa <<，002011x x -∴<-<+ 即0122x <<，与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根． 点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．【反馈演练】1．函数)10()(≠>=a a a x f x且对于任意的实数y x ,都有（ C ）A ．)()()(y f x f xy f =B ．)()()(y f x f xy f +=C ．)()()(y f x f y x f =+D ．)()()(y f x f y x f +=+2．设713=x，则（ A ）A ．－2<x <－1B ．－3<x <－2C ．－1<x <0D ．0<x <13．将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的图像．A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ． 先向下平行移动1个单位4．函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ C ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a5．函数x a y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为___2__． 6．若关于x 的方程4220x xm ++-=有实数根，求实数m 的取值范围．解：由4220x xm ++-=得，219422(2)224xxxm =--+=-++<，(,2)m ∴∈-∞ 7．已知函数2()()(0,1)2x x af x a a a a a -=->≠-． （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在R 上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．解：（1）定义域为R ，则2()()()2x x af x a a f x a --=-=--，故()f x 是奇函数． （2）设12x x R <∈，12121221()()()(1)2x x x x a f x f x a a a a-+-=-+-， 当01a <<时，得220a -<，即01a <<；当1a >时，得220a ->，即a >综上，实数a的取值范围是(0,1))⋃+∞．第9课 对数函数及其性质【考点导读】1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 【基础练习】1. 函数)26(log 21.0x x y -+=的单调递增区间是1[,2)4．2. 函数2()log 21f x x =-的单调减区间是1(,)2-∞． 【范例解析】例1. （1）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是_________． （2）设函数2()lg()f x x ax a =+-，给出下列命题：①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ； ③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a ． 则其中正确命题的序号是_____________． 分析：注意定义域，真数大于零．解：（1）0,1a a >≠ ，2ax ∴-在[0,1]上递减，要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则1a >；又2ax -在[0,1]上要大于零，即20a ->，即2a <；综上，12a <<．（2）①)(x f 有无最小值与a 的取值有关；②当0=a 时，2()lg f x x R =∈，成立； ③当40a -<<时，若)(x f 的定义域为R ，则20x ax a +->恒成立，即240a a +<，即40a -<<成立；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则2,2420.a a a ⎧-≤⎪⎨⎪+->⎩解得a ∈∅，不成立．点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决． 例3.已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 分析：利用定义证明复合函数的单调性．解：x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x x x x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xx x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力． 【反馈演练】1．给出下列四个数：①2(ln 2)；②ln(ln 2)；③；④ln 2.其中值最大的序号是___④___.2．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，(8,2)，则a b +等于___5_ _．3．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标是(2,1)--．4．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为12． 5．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数有___3___个.6．下列四个函数：①lg y x x =+； ②lg y x x =-；③lg y x x =-+；④lg y x x =--.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.7．求函数22()log 2log 4x f x x =⋅,1[,4]2x ∈的最大值和最小值． 解：2222()log 2log (log 1)(log 2)4xf x x x x =⋅=+-222log log 2x x =-- 令2log t x =， 1[,4]2x ∈，则[1,2]t ∈-，即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值． 故函数()f x 的最大值为0，最小值为94-． 8．已知函数()log ax bf x x b+=-(0,1,0)a a b >≠>． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性，并证明．解：（1）解：由0x bx b+>-，故的定义域为()(,)b b -∞-⋃+∞． （2）()log ()()a x bf x f x x b-+-==--- ，故()f x 为奇函数． （3）证明：设12b x x <<，则121221()()()()log ()()ax b x b f x f x x b x b +--=+-，12212121()()2()10()()()()x b x b b x x x b x b x b x b +---=>+-+-．当1a >时，12()()0f x f x ∴->，故)(x f 在(,)b +∞上为减函数；同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数；第6题当01a <<时，12()()0f x f x ∴-<，故)(x f 在(,)b +∞，(,)b -∞-上为增函数．第10课 函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点． 2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个． 【范例解析】例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+，则下列关于函数()g x 的结论：①若a <0，则函数()g x 的图象关于原点对称；②若a =－1，－2<b <0，则方程()g x =0有大于2的实根； ③若a ≠0，2b =，则方程()g x =0有两个实根； ④若0a ≠，2b =，则方程()g x =0有三个实根． 其中，正确的结论有___________． 分析：利用图像将函数与方程进行互化．解：当0a <且0b ≠时，()()g x af x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2()g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，2()f x a=-，由图知，当222a -<-<时，2()f x a=-才有三个实数根，故④不正确；故选②． 点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．例2.设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >． 求证：（1）0a >且12-<<-ab； （2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换．证明：（1）(0)0f c => ，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代入(1)f 得：0a c ->，即0a c >>，且01c a <<，即1(2,1)b ca a=--∈--，即证． （2）11()024f a =-< ，又(0)0f >，(1)0f >．则两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2内，得证．点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12来考察1()2f 的正负是首选目标，如不能实现1()02f <，则应在区间内选取其它的值．本题也可选3b a-，也可利用根的分布来做．【反馈演练】。
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13.2导数的应用●知识梳理1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求f'（x）.（2）确定f'（x）在（a，b）内符号.（3）若f'（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f'（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求f'（x）.（2）f'（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f'（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.●点击双基1.函数y=x2（x－3）的减区间是A.（－∞，0）B.（2，+∞）C.（0，2）D.（－2，2）解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得0<x<2.答案：C2.函数f（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足A.a<0且b=0B.a>0且b∈RC.a<0且b≠0D.a<0且b∈R解析：f'（x）=2ax，x<0且f'（x）<0，∴a>0且b∈R.答案：B3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］A.在（－2，0）上递增B.在（0，2）上递增C.在（－2，0）上递增D.在（0，2）上递增解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，F'（x）=4x3－8x，令F'（x）>0，得－2<x<0或x>2，∴F（x）在（－2，0）上递增.答案：C4.在（a，b）内f'（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的________条件.解析：∵在（a，b）内，f（x）>0，∴f（x）在（a，b）内单调递增.答案：充分●典例剖析【例1】设f （x ）=x 3－3ax 2+2bx 在x =1处有极小值－1，试求a 、b 的值，并求出f （x ）的单调区间.剖析：由已知x =1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f （x ）上，得方程组解之可得a 、b .解：f '（x ）=3x 2－6ax +2b ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯+⨯-=+⨯-⨯,112131,021613232b a b a 即⎩⎨⎧=+-=+-.0232,0263b a b a 解之得a =31，b =－21. 此时f （x ）=x 3－x 2－x ，f '（x ）=3x 2－2x －1=3（x +31）（x －1）.当f '（x ）>0时，x >1或x <－31，当f '（x ）<0时，－31<x <1.∴函数f （x ）的单调增区间为（－∞，－31）和（1，+∞），减区间为（－31，1）. 评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.【例2】（2004年全国，19）已知函数f （x ）=ax 3+3x 2－x +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.剖析：在R 上为减函数，则导函数在R 上恒负.解：f '（x ）=3ax 2+6x －1.（1）当f '（x ）<0时，f （x ）为减函数.3ax 2+6x －1<0（x ∈R ），a <0时，Δ=36+12a <0，∴a <－3.∴a <－3时，f '（x ）<0，f （x ）在R 上是减函数.（2）当a =－3时，f （x ）=－3（x －31）3+98. 由y =x 3在R 上的单调性知：a =－3时，f （x ）在R 上是减函数，综上，a ≤－3.评述：f （x ）在R 上为减函数⇒f '（x ）≤0（x ∈R ）.【例3】（2004年全国，21）若函数y =31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力.解：f '（x ）=x 2－ax +a －1=0得x =1或x =a －1，当a －1≤1，即a ≤2时，函数f （x ）在（1，+∞）上为增函数，不合题意.当a －1>1，即a >2时，函数f （x ）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a －1）上为减函数，在（a －1，+∞）上为增函数.依题意，当x ∈（1，4）时，f '（x ）<0，当x ∈（6，+∞）时，f '（x ）>0，∴4≤a －1≤6.∴5≤a ≤7.∴a 的取值范围为［5，7］.评述：若本题是“函数f （x ）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数.”我们便知x =4两侧使函数f '（x ）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.●闯关训练夯实基础1.已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是A.0B.1C.2D.3解析：f '（x ）=3x 2－a 在［1，+∞)上，f '（x ）≥0恒成立，即a ≤3x 2在［1，+∞）上恒成立，∴a ≤3.答案：D2.已知函数f （x ）=x 4－4x 3+10x 2，则方程f （x ）=0在区间［1，2］上的根有A.3个B.2个C.1个D.0个解析：f '（x ）=4x （x 2－3x +5）在［1，2］上，f '（x ）>0，∴f （x ）在［1，2］上单调递增.∴f （x ）≥f （1）=7.∴f （x ）=0在［1，2］上无根.答案：D3.函数f （x ）的导函数y =f '（x ）的图象如下图，则函数f （x ）的单调递增区间为________.解析：在［－1，0］和［2，+∞)上，f '（x ）≥0.答案：［－1，0］和［2，+∞)4.若函数y =－34x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________. 解析：y ′=－4x 2+b ，若y ′值有正、有负，则b >0.答案：b >05.设函数f （x ）=x 3－21ax 2+3x +5（a >0），求f （x ）的单调区间. 解：（1）f '（x ）=3x 2－ax +3，判别式Δ=a 2－36=（a －6）（a +6）.1°0<a <6时，Δ<0，f '（x ）>0对x ∈R 恒成立.∴当0<a <6时，f '（x ）在R 上单调递增.2°a =6时，y =x 3－3x 2+3x +5=（x －1）3+4.∴在R 上单调递增.3°a >6时，Δ>0，由f '（x ）>0⇒x >6362-+a a 或x<6362--a a . f '（x ）<0⇒6362-+a a <x <6362--a a . ∴在（63622-+a a ，+∞）和（－∞，6362--a a ）内单调递增，在（6362--a a ，6362-+a a ）内单调递减. 6.设f （x ）=x 3－22x －2x +5. （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围.解：（1）f '（x ）=3x 2－x －2=0，得x =1，－32.在（－∞，－32）和［1，+∞)上f '（x ）>0，f （x ）为增函数；在［－32，1］上f '（x ）<0，f （x ）为减函数.所以所求f （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］. （2）当x ∈［1，2］时，显然f '（x ）>0，f （x ）为增函数，f （x ）≤f （2）=7.∴m >7.培养能力7.已知函数f （x ）=x 3－ax －1.（1）若f （x ）在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f （x ）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）证明f （x ）=x 3－ax －1的图象不可能总在直线y =a 的上方.解：f '（x ）=3x 2－a ，（1）3x 2－a >0在R 上恒成立，∴a <0.又a =0时，f （x ）=x 3－1在R 上单调递增，∴a ≤0.（2）3x 2－a <0在（－1，1）上恒成立，即a >3x 2在（－1，1）上恒成立，即a >3.又a =3，f （x ）=x 3－3x －1，f '（x ）=3（x 2－1）在（－1，1）上，f '（x ）<0恒成立，即f （x ）在（－1，1）上单调递减，∴a ≥3.（3）当x =－1时，f （－1）=a －2<a ，因此f （x ）的图象不可能总在直线y =a 的上方.8.已知函数f （x ）=ax 4+bx 2+c 的图象经过点（0，1），且在x =1处的切线方程是y =x －2.（1）求y =f （x ）的解析式；（2）求y =f （x ）的单调递增区间.解：（1）由题意知f （0）=1，f '（1）=1，f （1）=－1.∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=.1,124,1c b a b a c∴c =1，a =25，b =－29， f （x ）=25x 4－29x 2+1. （2）∵f '（x ）=10x 3－9x ，由10x 3－9x >0，得x ∈（－10103，0）∪（10103，+∞）， 则f （x ）的单调递增区间为（－10103，0）和（10103，+∞）. 9.已知函数f （x ）=2ax －x 3，a >0，若f （x ）在x ∈（0，1］上是增函数，求a 的取值范围.解：f '（x ）=2a －3x 2在（0，1]上恒为正，∴2a >3x 2，即a >23x 2. ∵x ∈（0，1]，∴23x 2∈（0，23]. ∴a >23.当a =23时也成立.∴a ≥23. 探究创新10.有点难度哟！证明方程x 3－3x +c =0在［0，1］上至多有一实根.证明：设f （x ）=x 3－3x +c ，则f '（x ）=3x 2－3=3（x 2－1）.当x ∈（0，1）时，f '（x ）<0恒成立.∴f （x ）在（0，1）上单调递减.∴f （x ）的图象与x 轴最多有一个交点.因此方程x 3－3x +c =0在［0，1）上至多有一实根.●思悟小结1.f '（x ）>0⇒f （x ）为增函数（f '（x ）<0⇒f （x ）为减函数）.2.f （x ）是增函数⇒f '（x ）≥0（f （x ）为减函数⇒f '（x ）≤0）.●教师下载中心教学点睛1.可导函数f （x ）在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f （x ）在x 0处连续，在x 0两侧的导数异号，那么点x 0是函数f （x ）的极值点.2.求可导函数f （x ）的极值的步骤如下：（1）求f （x ）的定义域，求f '（x ）；（2）由f '（x ）=0，求其稳定点；（3）检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f （x ）在这个根处不取极值.3.求可导函数f （x ）的最值的方法：（1）求f （x ）在给定区间内的极值；（2）将f （x ）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.拓展题例【例1】若函数f （x ）=ax 3－x 2+x －5在（－∞，+∞）上单调递增，求a 的取值范围. 解：f '（x ）=3ax 2－2x +1>0恒成立.∴⎩⎨⎧<>,0,0Δa 即⎩⎨⎧<->.0124,0a a ∴a >31.当a =31时，f （x ）在（－∞，+∞）上单调递增.∴a ≥31.【例2】求证：x >1时，2x 3>x 2+1.证明：令f （x ）=2x 3－x 2－1，则f '（x ）=6x 2－2x =2x （3x －1）.当x >1时，f '（x ）>0恒成立.∴f （x ）在（1，+∞）上单调递增.又∵f （1）=0，∴f （x ）在（1，+∞）上恒大于零，即当x >1时，2x 3>x 2+1.。
2013届高考数学第一轮专项复习教案3
*第十三章导数●网络体系总览●考点目标定位1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值.●复习方略指南在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.13.1导数的概念与运算●知识梳理1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy ； （2）求平均变化率xy ∆∆. （3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim→∆x xy ∆∆. 2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. 物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处的瞬时速度.3.求导公式(c )'=0，(x n )'=n ·x n －1（n ∈N *）.4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'=c f '（x ）. ●点击双基1.若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy ∆∆等于A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx 2解析：Δy =2（1+Δx ）2－1－1=2Δx 2+4Δx ，xy∆∆=4+2Δx . 答案：C2.对任意x ，有f '（x ）=4x 3，f （1）=－1，则此函数为A.f （x ）=x 4－2B.f （x ）=x 4+2C.f （x ）=x 3D.f （x ）=－x 4 解析：筛选法. 答案：A3.如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3s 时的瞬时速度为 A.6 B.18C.54 D.81解析：∵s ′=6t 2，∴s ′|t =3=54. 答案：C4.若抛物线y =x 2－x +c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.解析：∵y ′=2x －1，∴y ′|x =－2=－5.又P （－2，6+c ），∴26-+c=－5. ∴c =4. 答案：45.设函数f （x ）=（x －a ）（x －b ）（x －c ）（a 、b 、c 是两两不等的常数），则)(a f a '+)(b f b '+)(c f c'=________. 解析：∵f （x ）=x 3－（a +b +c ）x 2+（ab +bc +ca ）x －abc ， ∴f '（x ）=3x 2－2（a +b +c ）x +ab +bc +ca .又f '（a ）=（a －b ）（a －c ），同理f '（b ）=（b －a ）（b －c ），f ' （c ）=（c －a ）（c －b ）.代入原式中得值为0. 答案：0 ●典例剖析【例1】（1）设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为 A.［0，a 1］B.［0，a21］ C.［0，|ab2|］ D.［0，|ab 21-|］ （2）（2004年全国，3）曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为 A.y =3x －4B.y =－3x +2 C.y =－4x +3 D.y =4x －5 （3）（2004年重庆，15）已知曲线y =31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是______. （4）（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.解析：（1）∵过P （x 0，f （x 0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，4π］， ∴P 到曲线y =f （x ）对称轴x =－a b 2的距离d =x 0－（－a b 2）=x 0+ab 2. 又∵f '（x 0）=2ax 0+b ∈［0，1］， ∴x 0∈［a b 2-，a b 21-］.∴d =x 0+a b 2∈［0，a21］. （2）∵点（1，－1）在曲线上，y ′=3x 2－6x ，∴切线斜率为3×12－6×1=－3.∴所求切线方程为y +1=－3（x －1）. （3）∵P （2，4）在y =31x 3+34上， 又y ′=x 2，∴斜率k =22=4.∴所求直线方程为y －4=4（x －2），4x －y －4=0. （4）y ′=6x －4，∴切线斜率为6×1－4=2.∴所求直线方程为y －2=2（x +1），即2x －y +4=0. 答案：（1）B （2）B （3）4x －y －4=0（4）2x －y +4=0评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用. 思考讨论导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.【例2】曲线y =x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少? 剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y =27x －54，此直线与x 轴、y 轴交点分别为（2，0）和（0，－54），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S =21×2×54=54. 评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.【例3】已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ，直线l ：y =kx ，且直线l 与曲线C 相切于点（x 0，y 0）（x 0≠0），求直线l 的方程及切点坐标.剖析：切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解：∵直线过原点，则k =x y （x 0≠1）. 由点（x 0，y 0）在曲线C 上，则y 0=x 03－3x 02+2x 0， ∴x y =x 02－3x 0+2. 又y ′=3x 2－6x +2，∴在（x 0，y 0）处曲线C 的切线斜率应为k =f '（x 0）=3x 02－6x 0+2. ∴x 02－3x 0+2=3x 02－6x 0+2. 整理得2x 02－3x 0=0. 解得x 0=23（∵x 0≠0）. 这时，y 0=－83，k =－41. 因此，直线l 的方程为y =－41x ，切点坐标是（23，－83）. 评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.【例4】证明：过抛物线y =a （x －x 1）·（x －x 2）（a ≠0，x 1<x 2）上两点A （x 1，0）、B （x 2，0）的切线，与x 轴所成的锐角相等.剖析：利用与x 轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可.解：y ′=2ax －a （x 1+x 2），y ′|1x x ==a （x 1－x 2），即k A =a （x 1－x 2），y ′|2x x ==a （x 2－x 1），即k B =a （x 2－x 1）. 设两条切线与x 轴所成的锐角为α、β，则tan α=|k A |=|a （x 1－x 2）|， tan β=|k B |=|a （x 2－x 1）|，故tan α=tan β. 又α、β是锐角，则α=β.评述：由tan α=tan β不能直接得α=β，还必须有α、β为锐角时（或在同一单调区间上时）才能得α=β.●闯关训练 夯实基础1.函数f （x ）=（x +1）（x 2－x +1）的导数是 A.x 2－x +1 B.（x +1）（2x －1）C.3x 2D.3x 2+1 解析：∵f （x ）=x 3+1，∴f '（x ）=3x 2.答案：C2.曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为3x +y +3=0，则 A.f '（x 0）>0 B.f '（x 0）<0 C.f '（x 0）=0D.f '（x 0）不存在解析：由题知f '（x 0）=－3. 答案：B3.函数f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f '（－1）=4，则a 的值等于________. 解析：f '（x ）=3ax 2+6x ，从而使3a －6=4，∴a =310. 答案：310 4.曲线y =2x 2+1在P （－1，3）处的切线方程是________________.解析：点P （－1，3）在曲线上，k =f '（－1）=－4，y －3=－4（x +1），4x +y +1=0. 答案：4x +y +1=05.已知曲线y =x 2－1与y =3－x 3在x =x 0处的切线互相垂直，求x 0.解：在x =x 0处曲线y =x 2－1的切线斜率为2x 0，曲线y =3－x 3的切线斜率为－3x 02.∵2x 0·（－3x 02）=－1，∴x 0=361.答案：3616.点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围. 解：∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）.当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2π）； 当tan α∈［－1，0）时，α∈［43π，π）. ∴α∈［0，2π）∪［43π，π）. 培养能力7.曲线y =－x 2+4x 上有两点A （4，0）、B （2，4）.求： （1）割线AB 的斜率k AB 及AB 所在直线的方程； （2）在曲线AB 上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）k AB =4204--=－2， ∴y =－2（x －4）.∴所求割线AB 所在直线方程为2x +y －8=0.（2）y '=－2x +4，－2x +4=－2，得x =3，y =－32+3×4=3. ∴C 点坐标为（3，3），所求切线方程为2x +y －9=0. 8.有点难度哟！若直线y =3x +1是曲线y =x 3－a 的一条切线，求实数a 的值. 解：设切点为P （x 0，y 0），对y =x 3－a 求导数是y '=3x 2，∴3x 02=3.∴x 0=±1.（1）当x =1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上， ∴y =3×1+1=4，即P （1，4）. 又P （1，4）也在y =x 3－a 上， ∴4=13－a .∴a =－3. （2）当x =－1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上，∴y =3×（－1）+1=－2，即P （－1，－2）. 又P （－1，－2）也在y =x 3－a 上， ∴－2=（－1）3－a .∴a =1.综上可知，实数a 的值为－3或1.9.确定抛物线方程y =x 2+bx +c 中的常数b 和c ，使得抛物线与直线y =2x 在x =2处相切. 解：y '=2x +b ，k =y ′|x =2=4+b =2，∴b =－2.又当x =2时，y =22+（－2）×2+c =c ， 代入y =2x ，得c =4. 探究创新10.有点难度哟！曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线中，求斜率最小的切线方程. 解：y '=3x 2+6x +6=3（x +1）2+3，∴x =－1时，切线最小斜率为3，此时，y =（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14. ∴切线方程为y +14=3（x +1），即3x －y －11=0. ●思悟小结1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.2.非多项式函数要化成多项式函数求导.3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法. ●教师下载中心 教学点睛 1.f '（x 0）=0lim→x xx f x x ∆-∆+)()(00的几种等价形式：f '（x 0）=0limx x →00)()(x x x f x f -- =0lim →h h x f h x f )()(00-+=0lim→h hh x f x f )()(00--2.曲线C ：y =f （x ）在其上一点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为 y －f （x 0）=f '（x 0）（x －x 0）.3.若质点的运动规律为s =s （t ），则质点在t =t 0时的瞬时速度为v =s （t 0）.这就是导数的物理意义.4.直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，即切点.拓展题例【例题】曲线y =x 2+1上过点P 的切线与曲线y =－2x 2－1相切，求点P 的坐标.解：设P （x 0，y 0），由题意知曲线y =x 2+1在P 点的切线斜率为k =2x 0，切线方程为y =2x 0x +1－x 02，而此直线与曲线y =－2x 2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x 2+2x 0x +2－x 02=0的判别式 Δ=4x 02－2×4×（2－x 02）=0.解得x 0=±332，y 0=37. ∴P 点的坐标为（332，37）或（－323，37）.。
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第六章不等式●网络体系总览不等式的性质 绝对值及其性质不等式的证明：比较法、分析法、综合法、放缩法等含绝对值的不等式不等式的解法不等式的应用：比较大小，函数的定义域、值域，方程根的分布，取值范围问题，实际应用问题等●考点目标定位1.理解不等式的性质及应用.2.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用.3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.4.掌握不等式的解法.5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.●复习方略指南本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题.借助不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点.本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意：1.复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据.2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧宾夺主.3.解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来.4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用.5.利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.6.对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义.7.要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系.6.1不等式的性质●知识梳理1.比较准则：a －b ＞0⇔a ＞b ； a －b =0⇔a =b ；a －b ＜0⇔a ＜b .2.基本性质：（1）a ＞b ⇔b ＜a . （2）a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c .（3）a ＞b ⇔a +c ＞b +c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a +c ＞b +d .（4）a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd .（5）a ＞b ＞0⇒n a ＞n b （n ∈N ，n ＞1）；a ＞b ＞0⇒a n ＞b n （n ∈N ，n ＞1）.3.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论：a ＞b ，ab ＞0⇒a1＜b1，不能弱化条件得a ＞b ⇒a1＜b1，也不能强化条件得a ＞b＞0⇒a1＜b1.4.要正确处理带等号的情况.如由a ＞b ，b ≥c 或a ≥b ，b ＞c 均可得出a ＞c ；而由a ≥b ，b ≥c 可能有a ＞c ，也可能有a =c ，当且仅当a =b 且b =c 时，才会有a =c .5.性质（3）的推论以及性质（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式.6.性质（5）中的指数n 可以推广到任意正数的情形.特别提示不等式的性质从形式上可分两类：一类是“⇒”型；另一类是“⇔”型.要注意二者的区别.●点击双基1.若a ＜b ＜0，则下列不等式不能．．成立的是 A.a1＞b1B.2a ＞2bC.|a |＞|b |D.（21）a ＞（21）b解析：由a ＜b ＜0知ab ＞0，因此a ·ab1＜b ·ab1，即a1＞b1成立； 由a ＜b ＜0得－a ＞－b ＞0，因此|a |＞|b |＞0成立.又（21）x 是减函数，所以（21）a ＞（21）b 成立.故不成立的是B.答案：B2.（2004年春季北京，7）已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，a c－bd ＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3解析：由ab ＞0，bc －ad ＞0可得出ac －bd ＞0. bc －ad ＞0，两端同除以ab ，得ac －bd ＞0.同样由ac －bd ＞0，ab ＞0可得bc －ad ＞0.⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->-0000abad bc ad bc b da c ad bc ab ＞0. 答案：D3.设α∈（0，2π），β∈［0，2π］，那么2α－3β的范围是A.（0，6π5）B.（－6π，6π5）C.（0，π）D.（－6π，π）解析：由题设得0＜2α＜π，0≤3β≤6π.∴－6π≤－3β≤0.∴－6π＜2α－3β＜π.答案：D4.a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则ab ，ba ，ma mb ++，nb n a ++的由大到小的顺序是____________.解析：特殊值法即可 答案：ba ＞nb n a ++＞ma mb ++＞ab5.设a =2－5，b =5－2，c =5－25，则a 、b 、c 之间的大小关系为____________.解析：a =2－5=4－5＜0，∴b ＞0.c =5－25=25－20＞0.b －c =35－7=45－49＜0.∴c ＞b ＞a . 答案：c ＞b ＞a ●典例剖析【例1】已知－1＜a +b ＜3且2＜a －b ＜4，求2a +3b 的取值范围. 剖析：∵a +b ，a －b 的范围已知，∴要求2a +3b 的取值范围，只需将2a +3b 用已知量a +b ，a －b 表示出来.可设2a +3b =x （a +b ）+y （a －b ），用待定系数法求出x 、y .解：设2a +3b =x （a +b ）+y （a －b ），∴⎩⎨⎧=-=+.32y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125y x ，∴－25＜25（a +b ）＜215，－2＜－21（a －b ）＜－1.∴－29＜25（a +b ）－21（a －b ）＜213，即－29＜2a +3b ＜213.评述：解此题常见错误是：－1＜a +b ＜3，①2＜a －b ＜4.②①+②得1＜2a ＜7.③由②得－4＜b －a ＜－2.④①+④得－5＜2b ＜1，∴－215＜3b ＜23.⑤③+⑤得－213＜2a +3b ＜217.思考讨论1.评述中解法错在何处?2.该类问题用线性规划能解吗?并试着解决如下问题：已知函数f （x ）=ax 2－c ，满足－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5，求f （3）的最大值和最小值.答案：20－1【例2】（2004年福建，3）命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件；命题q ：函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则A.“p 或q ”为假B.“p 且q ”为真C.p 真q 假D.p 假q 真剖析：只需弄清命题p 、q 的真假即可.解：∵|a +b |≤|a |+|b |，若|a |+|b |＞1不能推出|a +b |＞1， 而|a +b |＞1一定有|a |+|b |＞1，故命题p 为假. 又函数y =2|1|--x 的定义域为|x －1|－2≥0，∴|x －1|≥2.∴x ≤－1或x ≥3.∴q 为真. 答案：D【例3】比较1+log x 3与2log x 2（x ＞0且x ≠1）的大小. 剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性.解：（1+log x 3）－2log x 2=log x 43x .当⎪⎩⎪⎨⎧<<<<143010x x ，或⎪⎩⎪⎨⎧>>，，1431x x 即0＜x ＜1或x ＞34时，有log x 43x ＞0，1+log x 3＞2log x 2.当⎪⎩⎪⎨⎧><<，，14310x x ①或⎪⎩⎪⎨⎧<<>14301x x ，②时，log x 43x ＜0.解①得无解，解②得1＜x ＜34，即当1＜x ＜34时，有log x 43x ＜0，1+log x 3＜2log x 2.当43x =1，即x =34时，有log x 43x =0.∴1+log x 3=2log x 2.综上所述，当0＜x ＜1或x ＞34时，1+log x 3＞2log x 2；当1＜x ＜34时，1+log x 3＜2log x 2；当x =34时，1+log x 3=2log x 2.评述：作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏.深化拓展函数f （x ）=x 2+（b －1）x +c 的图象与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且x 2－x 1＞1.当t ＜x 1时，比较t 2+bt +c 与x 1的大小.提示：令f （x ）=（x －x 1）（x －x 2）， ∴x 2+bx +c =（x －x 1）（x －x 2）+x . 把t 2+bt +c 与x 1作差即可. 答案：t 2+bt +c ＞x 1. ●闯关训练 夯实基础1.（2004年辽宁，2）对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式： ①log a （1+a ）＜log a （1+a1）；②log a （1+a ）＞log a （1+a1）；③a1+a＜a1a11+；④a1+a＞a a11+.其中成立的是 A.①③B.①④C.②③D.②④解析：∵0＜a ＜1，∴a ＜a1，从而1+a ＜1+a1.∴log a （1+a ）＞log a（1+a1）.又∵0＜a ＜1，∴a 1+a ＞a a11+.故②与④成立.答案：D 2.若p =a +21-a （a ＞2），q =2242-+-a a ，则A.p ＞qB.p ＜qC.p ≥qD.p ≤q解析：p =a －2+21-a +2≥4，而－a 2+4a －2=－（a －2）2+2＜2，∴q ＜4.∴p ＞q .答案：A3.已知－1＜2a ＜0，A =1+a 2，B =1－a 2，C =a +11，D =a-11则A 、B 、C 、D 按从小到大的顺序排列起来是____________.解析：取特殊值a =－31，计算可得A =910，B =98，C =23，D =43.∴D ＜B ＜A ＜C . 答案：D ＜B ＜A ＜C4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是____________.解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：（－3，3）5.已知a ＞2，b ＞2，试比较a +b 与ab 的大小. 解：∵ab －（a +b ）=（a －1）（b －1）－1， 又a ＞2，b ＞2，∴a －1＞1，b －1＞1.∴（a －1）（b －1）＞1，（a －1）（b －1）－1＞0.∴ab ＞a +b . 6.设A =x n +x －n ，B =x n －1+x 1－n ，当x ∈R +，n ∈N 时，求证：A ≥B. 证明：A －B =（x n +x －n ）－（x n －1+x 1－n ）=x －n （x 2n +1－x 2n －1－x ） =x －n ［x （x 2n －1－1）－（x 2n －1－1）］=x －n （x －1）（x 2n －1－1）. 由x ∈R +，x －n ＞0，得当x ≥1时，x －1≥0，x 2n －1－1≥0；当x ＜1时，x －1＜0，x 2n －1＜0，即x －1与x 2n －1－1同号.∴A －B ≥0.∴A ≥B .培养能力7.设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠31，试比较|log 3a （1－x ）3|与|log 3a （1+x ）3|的大小.解：∵0＜x ＜1，∴①当3a ＞1，即a ＞31时，|log 3a （1－x ）3|－|log 3a （1+x ）3|=|3log 3a （1－x ）|－|3log 3a （1+x ）|=3［－log 3a （1－x ）－log 3a （1+x ）］=－3log 3a （1－x 2）. ∵0＜1－x 2＜1，∴－3log 3a （1－x 2）＞0. ②当0＜3a ＜1，即0＜a ＜31时，|log 3a （1－x ）3|－|log 3a （1+x ）3|=3［log 3a （1－x ）+log 3a （1+x ）］ =3log 3a （1－x 2）＞0.综上所述，|log 3a （1－x ）3|＞|log 3a （1+x ）3|. 8.设a 1≈2，令a 2=1+111a +.（1）证明2介于a 1、a 2之间；（2）求a 1、a 2中哪一个更接近于2； （3）你能设计一个比a 2更接近于2的一个a 3吗？并说明理由.（1）证明：（2－a 1）（2－a 2）=（2－a 1）·（2－1－111a +）=1211221a a +--））（（＜0.∴2介于a 1、a 2之间.（2）解：|2－a 2|=|2－1－111a +|=|111221a a +--））（（| =1112a +-|2－a 1|＜|2－a 1|. ∴a 2比a 1更接近于2. （3）解：令a 3=1+211a +，则a 3比a 2更接近于2. 由（2）知|2－a 3|=2112a +-|2－a 2|＜|2－a 2|. 探究创新 9.已知x ＞－1，n ≥2且n ∈N *，比较（1+x ）n 与1+nx 的大小. 解：设f （x ）=（1+x ）n －（1+nx ），则f '（x ）=n （1+x ）n －1－n =n ［（1+x ）n －1－1］.由f '（x ）=0得x =0.当x ∈（－1，0）时，f '（x ）＜0，f （x ）在（－1，0）上递减. 当x ∈（0，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上递增. ∴x =0时，f （x ）最小，最小值为0，即f （x ）≥0.∴（1+x ）n ≥1+nx .评述：理科学生也可以用数学归纳法证明.●思悟小结1.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a 、b 有a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b =0⇔a =b ，a －b ＜0⇔a ＜b ，这是比较两数（式）大小的理论根据，也是学习不等式的基石.2.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用.3.对两个（或两个以上）不等式同加（或同乘）时一定要注意不等式是否同向（且大于零）.4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.●教师下载中心教学点睛1.加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算.2.通过复习要强化不等式“运算”的条件.如a ＞b 、c ＞d 在什么条件下才能推出ac ＞bd .3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系. 拓展题例【例1】已知f （x ）=|log 2（x +1）|，m ＜n ，f （m ）=f （n ）.（1）比较m +n 与0的大小；（2）比较f （n m n m -+）与f （mn n m -+）的大小. 剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号. 解：（1）∵f （m ）=f （n ），∴|log 2（m +1）|=|log 2（n +1）|. ∴log 22（m +1）=log 22（n +1）.∴［log 2（m +1）+log 2（n +1）］［log 2（m +1）－log 2（n +1）］=0， log 2（m +1）（n +1）·log 211++n m =0. ∵m ＜n ，∴11++n m ≠1.∴log 2（m +1）（n +1）=0. ∴mn +m +n +1=1.∴mn +m +n =0.当m 、n ∈（－1，0］或m 、n ∈［0，+∞）时，由函数y =f （x ）的单调性知x ∈（－1，0］时，f （x ）为减函数，x ∈［0，+∞）时，f （x ）为增函数，f （m ）≠f （n ）.∴－1＜m ＜0，n ＞0.∴m ·n ＜0.∴m +n =－mn ＞0.（2）f （n m n m -+）=|log 2n m m -2|=－log 2n m m-2=log 2mn m 2-， f （m n n m -+）=|log 2m n n -2|=log 2mn n -2. m n m 2-－mn n -2=）（）（m n m mn n m ----242=－）（）（m n m n m -+22＞0. ∴f （n m n m -+）＞f （mn n m -+）. 【例2】某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？解：设该家庭除户主外，还有x 人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y 1和y 2.一张全票价格为a 元，那么y 1=a +0.55ax ，y 2=0.75（x +1）a .∴y 1－y 2=a +0.55ax －0.75a （x +1）=0.2a （1.25－x ）.∴当x ＞1.25时，y 1＜y 2；当x ＜1.25时，y 1＞y 2.又因x 为正整数，所以当x =1，即两口之家应选择乙旅行社；当x ≥2（x ∈N ），即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解40---等比数列
高考数学一轮复习考点知识专题讲解等比数列考点要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a nq1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . (5)若⎩⎨⎧a 1>0，q >1或⎩⎨⎧a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎨⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎨⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 也是等比数列．2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0. 3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．(×) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×)(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n)1－a.(×)(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．(×) 教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于()A ．－12B ．－2C ．2D ．±12答案D解析设等比数列的公比为q ， ∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14，∴q ＝±12.2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案5解析∵{a n }是等比数列， 且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25.又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案1,3,9或9,3,1解析设这三个数为aq，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a q ＋aq ＝13，a ·aq·aq ＝27，解得⎩⎨⎧a ＝3，q ＝13或⎩⎨⎧a ＝3，q ＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1(1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n等于() A ．2n －1 B ．2－21－n C ．2－2n －1 D ．21－n －1 答案B解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1. 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二设等比数列{a n }的公比为q ， 则⎩⎨⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，②②①得a 4a 3＝q ＝ 2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．(2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________. 答案1213解析设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________. 答案54或24解析由⎩⎨⎧a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎨⎧q ＝3，a 1＝2或⎩⎨⎧q ＝2，a 1＝3，a4＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，若a2a6＝－2a7，S3＝－6，则a6等于() A．－2或32 B．－2或64C．2或－32 D．2或－64答案B解析∵数列{a n}为等比数列，a 2a6＝－2a7＝a1a7，解得a1＝－2，设数列的公比为q，S3＝－6＝－2－2q－2q2，解得q＝－2或q＝1，当q＝－2时，则a6＝(－2)6＝64，当q＝1时，则a6＝－2.思维升华(1)等比数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a n}的前n项和S n＝na1；当q≠1时，{a n}的前n项和S n＝a1(1－q n)1－q＝a1－a n q1－q.跟踪训练1(1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k等于()A．2 B．3 C．4 D．5答案C解析a1＝2，a m＋n＝a m a n，令m＝1，则a n＋1＝a1a n＝2a n，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. ①求{a n }的通项公式；②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1. 解①设{a n }的公比为q (q >1)． 由题设得⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎨⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎨⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *. ②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1 ＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1 ＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－22)n ]1－(－22)＝85－(－1)n 22n ＋35.题型二 等比数列的判定与证明例2已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)·a n，设b n＝ann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n}的通项公式．解(1)由条件可得a n＋1＝2(n＋1)nan.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){b n}是首项为1，公比为2的等比数列，由条件可得a n＋1n＋1＝2a nn，即b n＋1＝2b n，又b1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得ann＝2n－1，所以a n＝n·2n－1.教师备选已知各项都为正数的数列{a n}满足a n＋2＝2a n＋1＋3a n.(1)证明：数列{a n＋a n＋1}为等比数列；(2)若a1＝12，a2＝32，求{a n}的通项公式．(1)证明a n＋2＝2a n＋1＋3a n，所以a n＋2＋a n＋1＝3(a n＋1＋a n)，因为{a n }中各项均为正数， 所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3，所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列． (2)解由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1 ＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1， 所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0， 故a n ＋1＝3a n ， 所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1.思维升华等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解(1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)， 解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列．题型三 等比数列的性质例3(1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023等于() A.20243 B ．1011 C.20232D ．1012 答案C解析由题意得a5a2019＝3，根据等比数列性质知，a 1a2023＝a2a2022＝…＝a1011a1013＝a1012a1012＝3，于是a1012＝12 3，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2023＝log3(a1a2a3 (2023)＝log311011233⎛⎫⋅⎪⎝⎭＝20232.(2)已知数列{a n}是等比数列，S n为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于()A．40 B．60 C．32 D．50答案B解析数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.教师备选1．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6S3＝3，则S9S6＝__________.答案7 3解析设等比数列{a n}的公比为q，易知q≠－1，由等比数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，∴S6－S3S3＝S9－S6S6－S3，又由已知得S 6＝3S 3， ∴S 9－S 6＝4S 3， ∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案2解析由题意，得⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎨⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3(1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于()A ．5B ．10C ．15D ．－20 答案C解析易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0. 因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)， 所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)已知函数f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2，若等比数列{a n }满足a 1a 2023＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2023)等于()A.12B.20232 C ．2 D ．2023 答案D解析根据题意，等比数列{a n }满足a 1a 2023＝1， 则有a 2a 2022＝a 3a 2021＝…＝(a 1012)2＝1， 若a 1a 2023＝1，则1a 1＝a 2023，则f (a 1)＋f (a 2023)＝f (a 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＝2，同理f (a 2)＋f (a 2022)＝f (a 3)＋f (a 2021)＝…＝f (a 1011)＋f (a 1013)＝2， f (a 1012)＋f (a 1012)＝f (a 1012)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1012＝2，则f (a 1012)＝1，故f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2023)＝2×1011＋1＝2023.课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n}满足a1＋a2＝1，a4＋a5＝8，则a7等于()A.643B．－643C.323D．－323答案A解析设等比数列{a n}的公比为q，则a4＋a5a1＋a2＝q3＝8，所以q＝2，又a1＋a2＝a1(1＋q)＝1，所以a1＝1 3，所以a7＝a1×q6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为()A．2B．4C.92 D．6答案B解析根据等比数列的性质得a3a5＝a24，∴a24＝4(a4－1)，即(a4－2)2＝0，解得a4＝2.又∵a1＝1，a1a7＝a24＝4，∴a7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n}的前n项和为S n＝32n－1＋r，则r的值为()A.13B．－13C.19D．－19答案B解析由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13.4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为()A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里 答案C解析由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12，因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24.5．设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是() A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是公比为1q 的等比数列答案D 解析对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列，故A 错误； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列，故B 错误； 对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列，故C 错误；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是公比为1q 的等比数列，故D 正确．6．(2022·西北工业大学附属中学模拟)已知等比数列{a n }的公比q ≠1，向量m ＝(a 1，a 2)，n ＝(a 3，a 4)，则()A ．m ⊥nB ．m ∥nC ．(m ＋n )·(m －n )＝0D ．|m |＝|n | 答案B解析对于A ，m ·n ＝a 1a 3＋a 2a 4＝a 21q 2＋a 21q 4＝a 21q 2(1＋q 2)>0，A 错误；对于B ，∵a 1a 4＝a 2a 3，∴a 1a 4－a 2a 3＝0，∴m ∥n ，B 正确； 对于C ，D ，由(m ＋n )·(m －n )＝0得m 2＝n 2，即|m |＝|n |，又|m |2＝a 21＋a 22＝a 21＋a 21q 2＝a 21(1＋q 2)，|n |2＝a 23＋a 24＝a 23＋a 23q 2＝a 23(1＋q 2)，∴当a 21≠a 23，即q ≠±1时，|m |≠|n |，C ，D 错误．7．(2022·河南六市联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________.答案1解析由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1， 又S 6＝S 3＋q 3S 3， 得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7，得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________. 答案381解析由{a n }是等比数列， 得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243， 故a 7＝3，a 4＝a 7q3＝81.9．已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n －1(n ∈N *)．若数列{b n }满足b n ＝a n －12.(1)求证：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . (1)证明因为a n ＋1＝3a n －1(n ∈N *)， 所以a n ＋1－12＝3a n －32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12，又b n ＝a n －12，a 1＝32，所以b n ＋1＝3b n ， 即b n ＋1b n＝3(n ∈N *)，b 1＝1， 所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列． (2)解由(1)可得b n ＝3n －1， 即a n －12＝3n －1，所以a n ＝3n －1＋12，所以S n ＝30＋12＋31＋12＋…＋3n －1＋12＝30＋31＋…＋3n －1＋12×n＝1－3n 1－3＋n 2 ＝3n ＋n －12.10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10. (1)证明由S n ＋1＝4a n ＋1， 得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n b n －1＝a n ＋1－2a na n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1， 故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列． (2)解由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n ，所以c n ＝|2n－100|＝⎩⎨⎧100－2n，n ≤6，2n－100，n >6，所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400 ＝200－2(1－26)1－2＋27＋28＋29＋210＝200＋2＋28＋29＋210 ＝1994.11．已知数列{a n }为正项等比数列，a 2＝2，a 3＝2a 1，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于() A ．(2＋2)[1－(2)n ] B ．(2＋2)[(2)n －1] C.2(2n －1) D.2(1－2n ) 答案C解析由{a n}为正项等比数列，且a2＝2，a3＝2a1，可得a1＝1，公比q＝2，所以数列{a n a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝2(1－2n)1－2＝2(2n－1)．12．(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，a7－1a8－1<0.则下列结论正确的是()A．q>1B．a7·a9>1C．S n的最大值为S9D．T n的最大值为T7答案D解析∵a1>1，a7·a8>1，a7－1a8－1<0，∴a7>1,0<a8<1，∴0<q<1，故A错误；a 7a9＝a28<1，故B错误；∵a1>1,0<q<1，∴数列为各项为正的递减数列，∴S n无最大值，故C错误；又a7>1,0<a8<1，∴T7是数列{T n}中的最大项，故D正确．13．记等比数列{a n}的前n项积为T n(n∈N*)，已知a m－1a m＋1－2a m＝0，且T2m－1＝128，则m ＝________.答案4解析∵a m－1a m＋1－2a m＝0，由等比数列的性质可得，a2m－2a m＝0，∵a m ≠0，∴a m ＝2.则T 2m －1＝a 1·a 2·…·a 2m －1＝(a 1a 2m －1)·(a 2a 2m －2)·…·a m＝a 2m －2m a m ＝a 2m －1m＝22m －1＝128，∴2m －1＝7，∴m ＝4.14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案132解析由题意，得正方形的边长构成以22为首项，22为公比的等比数列，现已知共含有1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫2210＝132.15．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是()A ．k 可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0答案D解析对于A ，若k ＝0，则a n ＋2－a n ＋1＝0，分母不可能为0，k 不可能为0，错误；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误； 对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n 项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解(1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12， 所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)， 两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)， 因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列， 所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <34. 因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。
2013届高考数学第一轮专项复习教案24
9.2直线与平面平行●知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.●点击双基1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是A.α⊥β且m⊥βB.α∩β=n且m∥nC.m∥n且n∥αD.α∥β且mβ答案：D2.（2004年北京，3）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n ∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA.①②B.②③C.③④D.①④解析：①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交.答案：A3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是A.异面B.相交C.平行D.不能确定解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，∴b∥c.又b α，α∩β=l，∴b∥l.∴a ∥l.答案：C4.（文）设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，①当S在α、β之间时，SC=_____________，②当S不在α、β之间时，SC=_____________.解析：∵AC∥BD，∴△SAC∽△SBD，①SC=16，②SC=272.答案：①16②272（理）设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_____________.解析：解法类同于上题.答案：bacab - 5.在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.解析：连结AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB ，因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC 、平面ABD ●典例剖析 【例1】如下图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .证法一：过M 作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足（如上图），连结PQ . ∵MP ∥AB ，NQ ∥AB ，∴MP ∥NQ .又NQ =22BN =22CM =MP ，∴MPQN 是平行四边形. ∴MN ∥PQ ，PQ ⊂平面BCE .而MN ⊄平面BCE ，∴MN ∥平面BCE .证法二：过M 作MG ∥BC ，交AB 于点G （如下图），连结NG .∵MG ∥BC ，BC ⊂平面BCE ，MG ⊄平面BCE ， ∴MG ∥平面BCE . 又GA BG =MA CM =NFBN ，∴GN ∥AF ∥BE ，同样可证明GN ∥平面BCE . 又面MG ∩NG =G ，∴平面MNG ∥平面BCE .又MN ⊂平面MNG .∴MN ∥平面BCE . 特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例2】如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E =C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .证法一：分别过E 、F 作EM ⊥AB 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，连结MN . ∵BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC . ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1.∴EM ∥FN .又B 1E =C 1F ，∴EM =FN .故四边形MNFE 是平行四边形. ∴EF ∥MN .又MN 在平面ABCD 中， ∴EF ∥平面ABCD .证法二：过E 作EG ∥AB 交BB 1于点G ，连结GF ，则A B E B 11=BB GB 11. ∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ，∴B C F C 11=BB GB 11.∴FG ∥B 1C 1∥BC . 又∵EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD .而EF 在平面EFG 中， ∴EF ∥平面ABCD .评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行.【例3】已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求直线MN 与平面ABCD 所成的角.（1）证明：∵P —ABCD 是正四棱锥，∴ABCD 是正方形.连结AN 并延长交BC 于点E ，连结PE .∵AD ∥BC ，∴EN ∶AN =BN ∶ND .又∵BN ∶ND =PM ∶MA ，∴EN ∶AN =PM ∶MA . ∴MN ∥PE .又∵PE 在平面PBC 内，∴MN ∥平面PBC .（2）解：由（1）知MN ∥PE ，∴MN 与平面ABCD 所成的角就是PE 与平面ABCD 所成的角.设点P 在底面ABCD 上的射影为O ，连结OE ，则∠PEO 为PE 与平面ABCD 所成的角.由正棱锥的性质知PO =22OB PB -=2213. 由（1）知，BE ∶AD =BN ∶ND =5∶8，∴BE =865. 在△PEB 中，∠PBE =60°，PB =13，BE =865，根据余弦定理，得PE =891. 在Rt △POE 中，PO =2213，PE =891，∴sin ∠PEO =PE PO =724.故MN 与平面ABCD 所成的角为arcsin 724.思考讨论证线面平行，一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角.本题若直接求MN 与平面ABCD 所成的角，计算困难，而平移转化为PE 与平面ABCD 所成的角则计算容易.可见平移是求线线角、线面角的重要方法.●闯关训练 夯实基础1.两条直线a 、b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是 A.a ∥αB.a 与α相交 C.a 与α不相交 D.a α 答案：C2.a 、b 是两条异面直线，A 是不在a 、b 上的点，则下列结论成立的是 A.过A 有且只有一个平面平行于a 、b B.过A 至少有一个平面平行于a 、b C.过A 有无数个平面平行于a 、b D.过A 且平行a 、b 的平面可能不存在 解析：过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A . ∴a ′、b ′可确定一个平面，记为α. 如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在. 答案：D3.（2004年全国Ⅰ，16）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号） 解析：A 1D 与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行； AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直；DD 1与BC 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点.答案：①②④4.已知Rt △ABC 的直角顶点C 在平面α内，斜边AB ∥α，AB =26，AC 、BC 分别和平面α成45°和30°角，则AB 到平面α的距离为__________.解析：分别过A 、B 向平面α引垂线AA ′、BB ′，垂足分别为A ′、B ′.设AA ′=BB ′=x ，则AC 2=（o45sin x ）2=2x 2，BC 2=（o30sin x）2=4x 2. 又AC 2+BC 2=AB 2，∴6x 2=（26）2，x =2.答案：25.如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E，且BE =6a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD . 解：在面PCD 内作EG ⊥PD 于G ，连结AG .∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD .∴CD ∥EG . 又AB ∥CD ，∴EG ∥AB .若有EF ∥平面PAD ，则EF ∥AG ，∴四边形AFEG 为平行四边形，得EG =AF . ∵CE =22)36(a a -=33a ，△PBC 为直角三角形，∴BC 2=CE ·CP ⇒CP =3a ，AB AF =CD EG =PCPE=aaa 3333-=32.故得AF ∶FB =2∶1时，EF ∥平面PAD .6.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 上的点，且MB AM =NPDN ，求证：直线MN ∥平面PBC . 分析：要证直线MN ∥平面PBC ，只需证明MN ∥平面PBC 内的一条直线或MN 所在的某个平面∥平面PBC .证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连结RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MBAM=MB MB AB -=MBMBDC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .证法二：过N 作NQ ∥AD 交PA 于点Q ，连结QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .证法三：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连结RB ，依题意有AB BM =PD PN =DCNR，∴NR =MB ，BR =BM +MN +NR =MN .∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .培养能力7.已知l 是过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点的平面AB 1D 1与下底面ABCD 所在平面的交线，（1）求证：D 1B 1∥l ；（2）若AB =a ，求l 与D 1间的距离.（1）证明：∵D 1B 1∥BD ，∴D 1B 1∥平面ABCD . 又平面ABCD ∩平面AD 1B 1=l ， ∴D 1B 1∥l .（2）解：∵D 1D ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内，由D 作DG ⊥l 于G ，连结D 1G ，则D 1G ⊥l ，D 1G 的长即等于点D 1与l 间的距离.∵l ∥D 1B 1∥BD ，∴∠DAG =45°.∴DG =22a ，D 1G =212D D DG +=2221a a +=26a . 探究创新8.如下图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=21AB ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1、B 、M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N .（1）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1； （2）求二面角B —A 1N —B 1的正切值； （3）设截面A 1BMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V 1、V 2（V 1＜V 2），求V 1∶V 2的值.（1）证明：设A 1B 1的中点为F ，连结EF 、FC 1.∵E 为A 1B 的中点，∴EF 21B 1B.又C 1M21B 1B ，∴EF MC 1.∴四边形EMC 1F 为平行四边形. ∴EM ∥FC 1.∵EM ⊄平面A 1B 1C 1D 1，FC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴EM ∥平面A 1B 1C 1D 1. （2）解：作B 1H ⊥A 1N 于H ，连结BH . ∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴BH ⊥A 1N .∴∠BHB 1为二面角B —A 1N —B 1的平面角.∵EM ∥平面A 1B 1C 1D 1，EM ⊂平面A 1BMN ，平面A 1BMN ∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1N ， ∴EM ∥A 1N .又∵EM ∥FC 1，∴A 1N ∥FC 1.又∵A 1F ∥NC 1，∴四边形A 1FC 1N 是平行四边形.∴NC 1=A 1F . 设AA 1=a ，则A 1B 1=2a ，D 1N =a . 在Rt △A 1D 1N 中，A 1N =21211N D D A +=5a ，∴sin ∠A 1ND 1=N A D A 111=52. 在Rt △A 1B 1H 中，B 1H =A 1B 1sin ∠HA 1B 1=2a ·52=54a .在Rt △BB 1H 中，tan ∠BHB 1=H B BB 11=a a 54=45. （3）解：延长A 1N 与B 1C 1交于P ，则P ∈平面A 1BMN ，且P ∈平面BB 1C 1C .又∵平面A 1BMN ∩平面BB 1C 1C =BM ，∴P ∈BM ，即直线A 1N 、B 1C 1、BM 交于一点P .又∵平面MNC 1∥平面BA 1B 1，∴几何体MNC 1—BA 1B 1为棱台.（没有以上这段证明，不扣分）∵S 11BB A ∆=21·2a ·a =a 2，S 1MNC ∆=21·a ·21a =41a 2， 棱台MNC 1—BA 1B 1的高为B 1C 1=2a ， V 1=31·2a ·（a 2+2241a a ⋅+41a 2）=67a 3，∴V 2=2a ·2a ·a －67a 3=617a 3.∴21V V =177. ●思悟小结1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外.2.辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）.●教师下载中心 教学点睛1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理及性质定理；结合本课时题目，使学生掌握解证线面平行的基本方法.2.证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行.拓展题例【例1】如下图，设a 、b 是异面直线，AB 是a 、b 的公垂线，过AB 的中点O 作平面α与a 、b 分别平行，M 、N 分别是a 、b 上的任意两点，MN 与α交于点P ，求证：P 是MN 的中点.证明：连结AN ，交平面α于点Q ，连结PQ .∵b ∥α，b ⊂平面ABN ，平面ABN ∩α=OQ ，∴b ∥OQ .又O 为AB 的中点， ∴Q 为AN 的中点.∵a ∥α，a ⊂平面AMN 且平面AMN ∩α=PQ ， ∴a ∥PQ .∴P 为MN 的中点.评述：本题重点考查直线与平面平行的性质.【例2】在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB =CC 1=a ，BC =b .（1）设E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：A 1C 1⊥AB ；（3）求点B 1到平面ABC 1的距离.（1）证明：∵E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，∴EF ∥A 1C 1.∵A 1C 1∥AC ，∴EF ∥AC . ∴EF ∥平面ABC . （2）证明：∵AB =CC 1，∴AB =BB 1.又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB 1A 1为正方形.连结A 1B ，则A 1B ⊥AB 1.又∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1.∴AB 1⊥A 1C 1. 又A 1C 1⊥AA 1，∴A 1C 1⊥平面A 1ABB 1. ∴A 1C 1⊥AB .（3）解：∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1∥平面ABC 1.∴A 1到平面ABC 1的距离等于B 1到平面ABC 1的距离. 过A 1作A 1G ⊥AC 1于点G ， ∵AB ⊥平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1G .从而A 1G ⊥平面ABC 1，故A 1G 即为所求的距离，即A 1G =ba22a b .评述：本题（3）也可用等体积变换法求解.。
2013届高考数学第一轮例题专项复习教案14
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知命题：“若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0”是真命题，则下面对a 、b 的判断正确的是( )A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 一定垂直D ．a 与b 中至少有一个为0解析：由平面向量基本定理可知，当a 、b 不共线时，k 1＝k 2＝0.答案：B2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)解析：设D (x ，y )，AD ＝(x ，y －2)，BC ＝(4,3)，又BC ＝2AD ，∴⎩⎨⎧ 4＝2x ，3＝y －，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝72，即点D 坐标为(2，72)． 答案：A 3．已知向量a ＝(1，－m )，b ＝(m 2，m )，则向量a ＋b 所在的直线可能为( )A ．x 轴B ．第一、三象限的角平分线C ．y 轴D ．第二、四象限的角平分线解析：a ＋b ＝(1，－m )＋(m 2，m )＝(m 2＋1,0)，其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，故向量a ＋b 所在的直线可能为x 轴．答案：A4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：AQ ＝PQ －PA ＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)． PC ＝PA ＋AC ＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝(－6,21)．答案：B5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ， 又△DEF ∽△BEA ，∴DF ＝13AB ， 即DF ＝13DC ，∴CF ＝23CD ， ∴CF ＝23CD ＝23(OD －OC ) ＝23(12b －12a )＝13b －13a ， ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b . 答案：B6．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1解析：若点A 、B 、C 不能构成三角形，则向量AB ，AC 共线，∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ＝OC －OA ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.答案：C二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析：设D 点的坐标为(x ，y )，由题意知BC ＝AD ，即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)．答案：(0，－2)8．已知点A (1，－2)，若点A 、B 的中点坐标为(3,1)，且AB 与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________.解析：由A 、B 的中点坐标为(3,1)可知B (5,4)，所以AB ＝(4,6)，又∴AB ∥a ，∴4λ－1×6＝0，∴λ＝32. 答案：329．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N ＝{b |b ＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M ∩N ＝________.解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，得⎩⎨⎧ 1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2，解得⎩⎨⎧ λ1＝－1λ2＝0，∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．答案：{(－2，－2)}三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，以AB 、AC 为一组基底来表示AD ＋BD ＋CD .解：由已知得：AB ＝(1,3)，AC ＝(2,4)， AD ＝(－3,5)，BD ＝(－4,2)，CD ＝(－5,1)，∴AD ＋BD ＋CD ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．设AD ＋BD ＋CD ＝λ1AB ＋λ2AC ，则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)，∴⎩⎨⎧ λ1＋2λ2＝－12，3λ1＋4λ2＝8，解得⎩⎨⎧ λ1＝32，λ2＝－22，∴AD ＋BD ＋CD ＝32AB －22AC .11．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC ，∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎨⎧ a －1＝4b －1＝－4，解得⎩⎨⎧ a ＝5b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．12．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)，且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解：(1)∵m ∥n ，∴2sin B (2cos 2B 2－1)＝－3cos2B ， ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3.又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立． S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，即S △ABC 的最大值为 3.。
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6.6不等式的应用●知识梳理1.运用不等式求一些最值问题. 用a +b ≥2ab求最小值；用ab ≤（2ba +）2≤222b a +求最大值.2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.5.利用不等式可以解决一些实际应用题. ●点击双基1.已知函数f （x ）=log 21（x 2－ax +3a ）在［2，+∞）上是减函数，则实数a 的范围是A.（－∞，4］B.（－4，4］C.（0，12）D.（0，4］解析：∵f （x ）=log 21（x 2－ax +3a ）在［2，+∞）上是减函数， ∴u =x 2－ax +3a 在［2，+∞）上为增函数，且在［2，+∞）上恒大于0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤.032422a a a，∴－4＜a ≤4. 答案：B2.把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A.233cm2B.4cm 2C.32cm2D.23cm2解析：设两段长分别为x cm ，（12－x ）cm ， 则S =43（3x ）2+43（312x -）2=183（x 2－12x +72）=183［（x －6）2+36］≥23.答案：D3.（理）如果0＜a ＜1，0＜x ≤y ＜1，且log a x log a y =1，那么xy A.无最大值也无最小值 B.有最大值无最小值 C.无最大值有最小值 D.有最大值也有最小值 解析：∵log a x +log a y ≥2yx a a log log =2，∴log a xy ≥2.∴0＜xy ≤a 2.答案：B（文）已知a ＞b ＞c ＞0，若P =ac b -，Q =bc a -，则A.P ≥QB.P ≤QC.P ＞QD.P ＜Q解析：特殊值检验.a =3，b =2，c =1.P =31，Q =1，P ＜Q .答案：D4.已知实数x 、y 满足yx =x －y ，则x 的取值范围是_______.解析：由yx =x －y ，得y 2－xy +x =0.∵y ∈R ，∴Δ=x 2－4x ≥0.∴0≤x ≤4. ∵x =0时y =0不符合题意，∴0＜x ≤4.答案：0＜x ≤45.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-08603422x x x x ，的解集是不等式2x 2－9x +a ＜0的解集的子集，则实数a 的取值范围是____________.解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-，，08603422x x x x 得2＜x ＜3.则⇒⎩⎨⎧≤≤0302）（）（f f a ≤9. 答案：（－∞，9］ ●典例剖析【例1】函数y =122++x bax 的最大值为4，最小值为－1，求常数a 、b 的值.剖析：由于函数是分式函数，且定义域为R ，故可用判别式法求最值.解：由y =122++x b ax 去分母整理得 yx 2－2ax +y －b =0.①对于①，有实根的条件是Δ≥0，即（－2a ）2－4y （y －b ）≥0. ∴y 2－by －a 2≤0.又－1≤y ≤4，∴y 2－by －a 2=0的两根为－1和4.∴⎩⎨⎧-=⨯-=+-.41412a b ，解得⎩⎨⎧==32b a ，或⎩⎨⎧=-=.32b a ，评述：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.深化拓展已知x 、y ∈R +且x2+y8=1，求x +y 的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）.由本题的启发，你能解下列问题吗？ 已知a 、b 是正常数，a +b =10，又x 、y ∈R +， 且xa +yb =1，x +y 的最小值为18.求a 、b 的值.略解：x +y =（x +y ）（yx82+）=10+xy 2+yx 8≥10+2yxx y 82⋅=18.当且仅当yx xy 82=时取等号.由⎪⎩⎪⎨⎧==+224182x y y x ，解得⎩⎨⎧==.126y x ， ∴当x =6，y =12时，x +y 的最小值为18.同上题，x +y =（x +y ）（xa +yb ）=a +b +ybx x ay +≥a +b +2ab.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=++，，10182b a ab b a 得⎩⎨⎧==，，82b a 或⎩⎨⎧==.28b a ，【例2】已知a ＞0，求函数y =ax a x +++221的最小值.解：y =ax +2+ax +21，当0＜a ≤1时，y =ax +2+ax +21≥2，当且仅当x =±a -1时取等号，y min =2.当a ＞1时，令t =ax +2（t ≥a ）.y =f （t ）=t +t1.f '（t ）=1－21t＞0.∴f （t ）在［a ，+∞）上为增函数.∴y ≥f （a ）=aa 1+，等号当t =a 即x =0时成立，y min =aa 1+.综上，0＜a ≤1时，y min =2； a ＞1时，y min =aa 1+.【例3】已知函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0且bc ≠0）. （1）若|f （0）|=|f （1）|=|f （－1）|=1，试求f （x ）的解析式； （2）令g （x ）=2ax +b ，若g （1）=0，又f （x ）的图象在x 轴上截得的弦的长度为l ，且0＜l ≤2，试确定c －b 的符号.解：（1）由已知|f （1）|=|f （－1）|，有|a +b +c |=|a －b +c |，（a +b +c ）2=（a －b +c ）2，可得4b （a +c ）=0.∵bc ≠0，∴b ≠0.∴a +c =0. 又由a ＞0有c ＜0.∵|c |=1，于是c =－1，则a =1，|b |=1.∴f （x ）=x 2±x －1. （2）g （x ）=2ax +b ，由g （1）=0有2a +b =0，b ＜0. 设方程f （x ）=0的两根为x 1、x 2.∴x 1+x 2=－ab =2，x 1x 2=ac .则|x 1－x 2|=212214x x x x -+）（=ac44-.由已知0＜|x 1－x 2|≤2，∴0≤ac ＜1.又∵a ＞0，bc ≠0，∴c ＞0.∴c －b ＞0. ●闯关训练 夯实基础1.已知方程sin 2x －4sin x +1－a =0有解，则实数a 的取值范围是 A.［－3，6］B.［－2，6］C.［－3，2］D.［－2，2］解析：∵a =（sin x －2）2－3，|sin x |≤1， ∴－2≤a ≤6. 答案：B2.当x ∈［－1，2］时，不等式a ≥x 2－2x －1恒成立，则实数a的取值范围是A.a ≥2B.a ≥1C.a ≥0D.a ≥－2解析：当x ∈［－1，2］时，x 2－2x －1=（x －1）2－2∈［－2，2］.∵a ≥x 2－2x －1恒成立，∴a ≥2. 答案：A3.b g 糖水中有a g 糖（b ＞a ＞0），若再添m g 糖（m ＞0），则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式____________.解析：b a ＜m b m a ++.答案：ba ＜mb m a ++4.若a ＞0，b ＞0，ab ≥1+a +b ，则a +b 的最小值为____________. 解析：1+a +b ≤ab ≤（2b a +）2，∴（a +b ）2－4（a +b ）－4≥0.∴a +b ≤2244-或a +b ≥2244+.∵a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2+22.答案：2+225.已知正数x 、y 满足x +2y =1，求x1+y1的最小值.解：∵x 、y 为正数，且x +2y =1，∴x1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1）=3+x y 2+yx≥3+22，当且仅当xy 2=yx ，即当x =2－1，y =1－22时等号成立.∴x1+y1的最小值为3+22.6.（2004年春季上海）已知实数p 满足不等式212++x x ＜0，试判断方程z 2－2z +5－p 2=0有无实根，并给出证明.解：由212++x x ＜0，解得－2＜x ＜－21.∴－2＜p ＜－21.∴方程z 2－2z +5－p 2=0的判别式Δ=4（p 2－4）. ∵－2＜p ＜－21，41＜p 2＜4，∴Δ＜0.由此得方程z 2－2z +5－p 2=0无实根. 培养能力7.（2003年全国）已知c ＞0，设P ：函数y =c x 在R 上单调递减，Q ：不等式x +|x －2c |＞1的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.解：函数y =c x 在R 上单调递减⇔0＜c ＜1.不等式x +|x －2c |＞1的解集为R ⇔函数y =x +|x －2c |在R 上恒大于1.∵x +|x －2c |=⎩⎨⎧>≥-，，c x cc x c x 22222∴函数y =x +|x －2c |在R 上的最小值为2c .∴不等式x +|x －2c |＞1的解集为R ⇔2c ＞1⇔c ＞21.如果P 正确，且Q 不正确，则0＜c ≤21.如果P 不正确，且Q 正确，则c ≥1. ∴c 的取值范围为（0，21］∪［1，+∞）.8.已知函数f （x ）=x 2+bx +c （b 、c ∈R ）且当x ≤1时，f （x ）≥0，当1≤x ≤3时，f （x ）≤0恒成立.（1）求b 、c 之间的关系式；（2）当c ≥3时，是否存在实数m 使得g （x ）=f （x ）－m 2x 在区间（0，+∞）上是单调函数？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）由已知f （1）≥0与f （1）≤0同时成立，则必有f （1）=0，故b +c +1=0.（2）假设存在实数m ，使满足题设的g （x ）存在. ∵g （x ）=f （x ）－m 2x =x 2+（b －m 2）x +c 开口向上，且在［22bm -，+∞）上单调递增，∴22b m -≤0.∴b ≥m 2≥0.∵c ≥3，∴b =－（c +1）≤－4.这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m 不存在. 探究创新 9.有点难度哟！ 已知a ＞b ＞0，求a 2+）（b a b -16的最小值.解：∵b （a －b ）≤（2ba b -+）2=42a ，∴a 2+）（b a b -16≥a 2+264a ≥16.当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b ，，即⎪⎩⎪⎨⎧==222b a ，时取等号.深化拓展a ＞b ＞0，求b （a －b ）·216a的最大值. 提示：b （a －b ）≤42a .答案：4●思悟小结1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.2.建立不等式的主要途径有：（1）利用问题的几何意义；（2）利用判别式；（3）利用函数的有界性；（4）利用函数的单调性.3.解不等式应用问题的三个步骤：（1）审题，必要时画出示意图；（2）建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在x+y≥2xy中，x和y要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.5.化归思想在本节占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.●教师下载中心教学点睛1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.2.应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，根据题意列出不等式或函数式，再利用不等式的知识求解.3.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.拓展例题【例1】（2003年福建质量检测题）已知函数f （x ）=|log 2（x +1）|，实数m 、n 在其定义域内，且m ＜n ，f （m ）=f （n ）.求证：（1）m +n ＞0；（2）f （m 2）＜f （m +n ）＜f （n 2）.（1）证法一：由f （m ）=f （n ），得|log 2（m +1）|=|log 2（n +1）|，即log 2（m +1）=±log 2（n +1），log 2（m +1）=log 2（n +1），①或log 2（m +1）=log 211+n . ②由①得m +1=n +1，与m ＜n 矛盾，舍去. 由②得m +1=11+n ，即（m +1）（n +1）=1.③∴m +1＜1＜n +1.∴m ＜0＜n .∴mn ＜0. 由③得mn +m +n =0，m +n =－mn ＞0. 证法二：（同证法一得）（m +1）（n +1）=1.∵0＜m +1＜n +1，∴211）（）（+++n m ＞））（（11++n m =1.∴m +n +2＞2.∴m +n ＞0.（2）证明：当x ＞0时，f （x ）=|log 2（x +1）|=log 2（x +1）在（0，+∞）上为增函数.由（1）知m 2－（m +n ）=m 2+mn =m （m +n ），且m ＜0，m +n ＞0，∴m （m +n ）＜0.∴m 2－（m +n ）＜0，0＜m 2＜m +n .∴f （m 2）＜f （m +n ）.同理，（m +n ）－n 2=－mn －n 2=－n （m +n ）＜0，∴0＜m +n ＜n 2.∴f （m +n ）＜f （n 2）.∴f （m 2）＜f （m +n ）＜f （n 2）.【例2】求证：对任意x 、y ∈R ，都有497721++x x ≤5－3y +21y 2，并说明等号何时成立.证明：72x +49≥2·7x ·7=2·7x +1， ∴497721++x x ≤21. 又∵5－3y +21y 2=21（y －3）2+21≥21，∴497721++x x ≤5－3y +21y 2. 当且仅当x =1，y =3时取等号.。