周期函数

1.函数f(x)对一切实数x都满足f(0.5+x)=f(0.5-x).并且方程f(x)=0有三个实根,这三个实根的和为
2.方程x^5+x+1=0和x+x^0.2+1=0的实根分别为A,B,A+B=
3.定义在R上的函数y=f(x),y=f(-x),y=-(-x)的图象重合,则函数y=f(x)的值域为
4.函数y=f(x)是偶函数,其周期为2,当x属于[2,3]时,f(x)=x-1,y=f(x)的图象上有两点A,B,他们的纵坐标相等(A点在B点的左边),横坐标都在区间[1,3]上,定点C的坐标为(0,a),其中a>2,求三角形ABC面积的最大值
5.已知函数f(x)的定义域为R，若函数f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，那么f(x+3)的奇偶性为（）
参考答案：
1.f(0.5+x)=f(0.5-x)
得出f(x)=f(1-x)
于是这三个实根的和为1+0.5=1.5
2.x^5+x+1是单调的，且A，B^0.2均是他的根，有A=B^0.2
于是得到A+B=-1
3.y=f(x),y=f(-x)图像重合，说明f(x)关于y轴左右对称；
y=f(-x),y=-f(-x)图像重合，说明f(x)关于x轴上下对称，从而说明f(x)恒等于0，于是值域为{0}
4.x属于[0,1],f(x)=x+1;x属于[-1,0],f(x)=-x+1
从而x属于[1,2],f(x)=-x+3
设A、B的纵坐标为t，那么S=1/2(2t-2)(a-t)<=(a-1)^2/4
当且仅当t=(a+1)/2时等号成立
于是当2<a<=3时，S<=(a-1)^2/4 当且仅当t=(a+1)/2时等号成立
当a>3时，S<=a-2 当且仅当t=2时等号成立
5. f(x+1)是奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1)，
即f(1+x)+f(1-x)=0
该式子说明：位于1左右的两处的1-x、1+x的函数值是一对相反数，
由x的任意性知f(x)的图像关于点(1,0)对称。

周期函数解题技巧：
f(a-x)=f(b+x) f(x)关于x=(a+b)/2对称
f(x-a)=f(x+b) T=a+b
周期函数的定义及性质
定义：设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；
（1）对有（X±T）；
（2）对有f（X+T）=f（X）
则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。

如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。

由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

2、性质：
（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。

（因f[x+(T-T)]=f[X+(-T)]= f(X)）。

因而周期函数必定有正周期。

（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。

证：当n＞0时，f(x+nT)=f[x+(n-1)T+T]=f[x+(n-1)T]=……
=f（x+T）= f(X)。

当n＜0时，∵-n＞0，由前证和性质1可得：
nT=-（-nT）是f(X)的周期。

∴当n为任意非零整数时命题成立。

（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。

（因f[x+（T1±T2）]=f（x+T1）= f(X)）。

（4）、如果f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

否则必存在n1r Z+（Z+为正整数）使T=n1T*+r（0＜r＜T*），则对（f(X)的定义域）有f(X)=f（x+T）=f＝（x+n1T*+r）=f（x+r），∴r也是f(X)的正周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾。

∴T 必是T*的正整数倍。

（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则（Q是有理数集）证：据条件和性质4知，存在K1、K2 Z，使T1=K1T*，T2=K2T*，∴。

（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且是无理数，则f(X)不存在最小正周期。

（用反证法据性质5即可证得）。

（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

证：若T是f(X)的周期，则nT（n ，n≠0）也是f(X)的周期，∴有X±nT M，∴M双方无界，但并非M必定（-∞、+∞），如tgX和ctgX的定义域分别为X≠Kπ+π/2和X≠Kπ（K ）。

例2：f(X)=sinX（≤10π）不是周期函数。

3、周期函数的判定
定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。

证：∵T*是f(X)的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴K f(X)+C 也是M上以T*为周期的周期函数。

假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期，则对，有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)，∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。

同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。

定理2：若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

证：（先证是f(ax+b)的周期），∵T*是f(X)的周期，∴，有X±T*∈M，∴a（X±）+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴是f（ax+b）的周期。

再证是f（ax+b）的最小正周期
假设存在T’（0＜T’＜）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，∴aT’是f(X)的周期，但＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。

定理3：设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。

证：设T是u=g(x)的周期，则1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是M1上的周期函数。

例3 设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x 是R上的周期函数。

同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx ＞0)也都是周期函数。