周期函数

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高一数学-周期函数

高一数学——周期函数解读

知识解读

1．周期函数：对于函数f （x ），如果存在一个非零常数T （T ≠0），使得当x 取定义域D 内的每一个值时，都有f （x +T ）=f （x ）恒成立，那么这个函数f （x ）叫做周期函数，常数T 叫做函数f （x ）的一个周期，周期函数的周期不唯一．

2．最小正周期：对于一个周期函数f （x ）来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做这个函数f （x ）的最小正周期．重要结论（分别对应各种题型，以下k 为非零整数，T 表示周期）

1、由定义判断：如果()()f x f x a =+，则()y f x =是周期函数，T=ka ；

2、若函数f(x)满足f(x+a)=－f(x)(a >0), 则f (x )为周期函数且T=2ka ；

3、若函数()()f x a f x a +=-，(a >0)，则()x f 是周期函数，T=2ka ；

4、若函数f (x )满足f(x+a)=()

x f 1 (a >0), 则f(x)为周期函数且T=2ka ； 5、若函数f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-

(a >0), 则f (x )为周期函数且T=2ka ； 6、若函数f(x)满足1()()1()

f x f x a f x -+=+，则()x f 是周期函数，T=2ka ； 7、若函数f(x)满足1()()1()f x f x a f x -+=-

+，则()x f 是周期函数，T=4ka ； 8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= )

周期性函数

函数的周期性定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。

当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现。

假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期。

(1)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b-a|。

(2)若函数f(x)关于直线x=a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b-a|。

(3)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x=a对称，则其周

期为2a。

(4)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x=a对称，则其周期为4a。

根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。

函数周期性公式大总结：

f（x+a）＝－f（x）。

那么f（x+2a）＝f=-f（x+a）＝－［－f（x）］＝f（x）。

所以f（x）是以2a为周期的周期函数。

f（x+a）＝1/f（x）。

那么f（x+2a）＝f=1/f（x+a）＝1/[1/f（x）］＝f（x）。

所以f（x）是以2a为周期的周期函数。

f（x+a）＝－1/f（x）。

那么f（x+2a）＝f=-1/f（x+a）＝1/[-1/f（x）］＝f（x）。所以f（x）是以2a为周期的周期函数。

周期函数公式大全推导

2019-11-25 16:56:26文/张敏函数周期性公式及推导：f

（x+a）=-f（x）周期为2a。证明过程：因为f(x+a)=-f(x)，且

f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是

2a。

公式及推导f（x+a）=-f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）

+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的

周期函数。

f（x+a）=1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1/f（x+a）=1/[1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。

f（x+a）=-1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1/f

（x+a）=1/[-1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周

期函数。

所以得到这三个结论。

函数的周期性设函数f(x)在区间X上有定义，若存在一一个与x无关的正数T,使对于任一x∈X,恒有f(x+T)=f(x)

则称f(x)是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正

数T称为函数f(x)的周期。

二、周期函数的运算性质:①若T为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为T/al。

②若f(x),g(x)均是以T为周期的函数,则f(X)+g(X)也是以T为周期的函数。

③若f(x),g(x)分别是以T

1,T

2,T1≠T2为周期的函数,则f(x)+g(x)是以T

1,T2的最小公倍数为周期的函数。

周期公式sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2πcosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。

周期函数

定义严格定义

设f(x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x）；

则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。

由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

正弦函数图象

2性质周期函数的性质[1]共分以下几个类型：

⑴若T（≠0）是f(X）的周期，则-T也是f(X）的周期。

⑵若T（≠0）是f(X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期。

⑶若T1与T2都是f(X）的周期，则T1±T2也是f(X）的周期。

⑷若f(X）有最小正周期T*，那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

⑸若T1、T2是f(X）的两个周期，且 T1/T2不是无理数，则f(X）存在最小正周期

⑹若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X）不存在最小正周期。

⑺周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

3判定周期函数定理，总结一共分一下几个类型。

定理1

若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。[2]证：

∵T*是f(X）的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，

∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。

假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0<T’<T*）是K f(X)+C的周期，则对，

函数的周期性原理及应用

1. 什么是函数的周期性原理？

函数的周期性原理是数学中一个十分重要的概念。周期是指函数在一定区间内

重复的特性。周期性原理描述了函数以固定的重复模式出现的现象。

2. 周期函数的定义

周期函数是指满足f(x+T)=f(x)，其中T是正数，被称为函数的周期。例如，$f(x) = \\sin(x)$是一个周期为$2\\pi$的周期函数。

3. 周期函数的特点

周期函数具有以下特点：

•函数值在一个周期内具有相同的模式，即函数图像在重复的周期内呈现相似的形状。

•周期函数的平均值为周期内各个函数值的平均数。

4. 周期函数的图像

周期函数的图像可以通过绘制一个周期内的部分来表示。例如，对于周期为

$2\\pi$的正弦函数，我们可以绘制一个周期内的函数曲线。通过绘制多个周期，

我们可以更全面地观察周期函数的特征。

5. 周期函数的应用

周期函数在许多领域都有广泛的应用。以下是几个常见的应用：

5.1 电子信号处理

周期函数在电子信号处理领域扮演着重要的角色。例如，音频信号、视频信号

等都是周期函数。通过对周期函数进行采样和处理，可以实现音频和视频的数字化和传输。

5.2 信号分析与滤波

周期函数的频谱分析是信号处理中的一个重要步骤。通过对周期函数进行傅里

叶变换，可以将其表示为一系列正弦和余弦函数的叠加。这些频谱分析结果可以用于信号的滤波和频率分析。

5.3 电力系统

电力系统中的交流电信号可以看作是周期函数，其周期通常为50Hz或60Hz。电力系统中的稳定性和谐波分析等问题都与周期函数的性质密切相关。

5.4 振动系统

函数的周期性--经典例题

函数的周期性

周期函数的定义：对于函数f (x )，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有f (x +T )=f (x )，则称的常数T 为函数的周期。

周期函数的性质：

1、f (x )=f (x +a )，则y =f (x )是以T =a 为周期的周期函数；

2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它

的一个周期。

3、若函数f (x +a )=f (x -a )，则f (x )是以T =2a 为周期的周期函数

4、y=f(x)满足f(x+a)=

个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=

是它的一个周期。

6、f (x +a )=1-f (x )，则f (x )是以T =2a 为周期的周期函数.

1+f (x )-1(a>0),则f (x )1f (x )(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一f(x)为周期函数且2a

7、f (x +a )=-1+f (x )

1-f (x )，则f (x )是以T =4a 为周期的周期函数.

8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期

函数且2（b-a ）是它的一个周期。

9、函数y =f (x )(x ∈R )的图象关于两点A (a ,y 0)、B (b ,y 0

)(a <b )都对称，

则函数f (x )是以2(b -a )为周期的周期函数；

10、函数y =f (x )(x ∈R )的图象关于A (a ,y 0

函数周期公式

简介

在数学中，周期函数是指具有周期性质的数学函数。周期函数的基本特点是在

一个特定的间隔内，函数值会重复出现。我们可以通过使用函数周期公式来计算周期函数的周期。

什么是周期函数

周期函数是指满足一定条件的函数，在某个特定的间隔范围内，函数值会重复

出现。换句话说，对于周期函数 f(x)，当 x 在某个特定范围内变化时，f(x) 的值会

在该范围内重复。

周期函数的表示

周期函数可以用函数周期公式来表示。函数周期公式的形式为：

f(x + T) = f(x)

其中，f(x) 是周期函数的表达式，T 是函数的周期。

周期函数的周期计算

对于周期函数 f(x) 来说，周期 T 的计算是非常重要的。下面介绍几种常见的函

数周期计算方法。

正弦函数和余弦函数的周期计算

对于正弦函数sin(x) 或余弦函数cos(x)，它们的周期都是2π（或者是360°）。

常数函数的周期计算

对于常数函数 f(x) = a（其中 a 是常数），它的周期是无穷大，或者说不存在周期。

幂函数的周期计算

对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 是自然数。当 n 是奇数时，该幂函数的周期是

无穷大；当 n 是偶数时，该幂函数的周期是2π（或者是360°）。

指数函数的周期计算

对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是自然数，该指数函数的周期是无穷大，或者说不存在周期。

对数函数的周期计算

对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是自然数。该对数函数的周期是无穷大，

或者说不存在周期。

周期函数的例子

正弦函数的例子

下面是一个正弦函数的周期计算的例子：

函数周期归纳总结

函数是数学中一个重要的概念，它描述了一种映射关系，将一个自

变量映射到对应的因变量上。在函数的研究中，周期是一个经常遇到

的概念。周期函数是指具有某种规律性重复出现的函数。本文将对函

数周期的概念进行归纳总结。

周期函数是指在一定的自变量取值下，函数值具有规律性的重复出

现的函数。在函数图像上，这种重复出现往往表现为图像的部分或者

整体重复。函数周期的概念是从图像的视角来考虑的，因此我们首先

需要了解函数图像的特点和性质。

函数图像是函数在直角坐标系中的表现形式，横坐标表示自变量的

取值，纵坐标表示函数值。在直角坐标系中，我们可以通过绘制函数

图像来观察函数的变化规律，从而更好地理解函数的性质。对于周期

函数来说，函数图像将呈现出一定的规律性重复。

周期函数的周期可以通过观察函数图像的特点来进行判断。当函数

图像在横坐标某一段上具有重复性质时，我们可以认为函数具有周期。周期即横坐标上的距离，可以通过测量函数图像的一段距离来确定。

在实际问题中，我们会遇到许多周期函数。例如，三角函数就是常

见的周期函数之一。正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，它们

的周期是2π。对于正弦函数来说，当自变量增加2π时，函数值会重复

出现；对于余弦函数来说，当自变量增加2π时，函数值也会重复出现。

除了三角函数，指数函数也是常见的周期函数。指数函数具有形如

f(x)=a^x的形式，其中a为常数，x为自变量。对于指数函数来说，当

自变量增加一个常数倍数时，函数值也会重复出现。这种情况下，函

数的周期可以通过求解指数函数的指数等式来确定。

函数的周期性

基本知识方法

1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，

则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,

① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

③()()

f x a f x +=±

，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

⑤1()

()1()

f x f x a f x -+=

+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

⑥1()

()1()

f x f x a f x -+=-

+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

⑦1()

()1()

f x f x a f x ++=

-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为

.A 1- .B 0 .C 1 .D 2

2．（1）设()f x 的最小正周期2T =且()f x 为偶函数，

周期函数的八个基本公式

周期函数是数学中用来表示周期性变化的函数，它可以模拟许多自然现象。其中有8个基本公式，分别是正弦函数、余弦函数、正切函数、双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数、反正弦函数和反余弦函数。

正弦函数是最常用的周期函数之一，它的图形有像类似潮汐一样的变化，其公式可以表示为：y = sinx，其中x是周期的弧度参数，y是函数的值。正弦函数是与它相关的余弦函数的补函数，其公式可以表示为：y = cosx，其中x是周期的弧度参数，y是函数的值。

正切函数是另一个常用的周期函数，它的图形也有像潮汐一样的变化，其公式是：y = tanx，其中x是周期的弧度参数，y是函数的值。

双曲正弦函数和双曲余弦函数是正弦函数和余弦函数的变种，它们的公式分别是：y = sinhx，y = coshx，其中x是周期的弧度参数，y是函数的值。

双曲正切函数是另一个变种，其公式是：y = tanhx，其中x是周期的弧度参数，y是函数的值。

反正弦函数和反余弦函数是正弦函数和余弦函数的反函数，它们的公式分别是：y = arcsinx，y = arccosx，其中x是函数的值，y是周期的弧度参数。

这8个基本的周期函数的公式都能很好地描述各种周期性函数的变化，它们是描述许多自然现象的理想工具，因此被广泛应用在几何、物理学和工程领域。

数学函数6个周期性公式推导

数学函数的周期性是指函数在一定区间内以其中一种规律重复出现的

性质。下面将推导出六个常见的周期性函数公式，即正弦函数、余弦函数、正切函数、指数函数、对数函数和常函数的周期性公式：

1.正弦函数的周期性公式推导：

正弦函数的定义为f(x) = sin(x)，其中x为实数。根据正弦函数的

属性，它的最小正周期为2π，即sin(x) = sin(x + 2π)。进一步推导，可以得到sin(x) = sin(x + 2πk)，其中k为任意整数。因此，正弦函

数的周期性公式为sin(x) = sin(x + 2πk)，k为整数。

2.余弦函数的周期性公式推导：

余弦函数的定义为f(x) = cos(x)，其中x为实数。根据余弦函数的

属性，它的最小正周期也为2π，即cos(x) = cos(x + 2π)。进一步推导，可以得到cos(x) = cos(x + 2πk)，其中k为任意整数。因此，余

弦函数的周期性公式为cos(x) = cos(x + 2πk)，k为整数。

3.正切函数的周期性公式推导：

正切函数的定义为f(x) = tan(x)，其中x为实数。根据正切函数的

属性，它的最小正周期为π，即tan(x) = tan(x + π)。进一步推导，

可以得到tan(x) = tan(x + πk)，其中k为任意整数。因此，正切函数

的周期性公式为tan(x) = tan(x + πk)，k为整数。

4.指数函数的周期性公式推导：

指数函数的定义为f(x)=a^x，其中a为正实数、且a≠1，x为实数。指数函数并没有严格的周期性，但它满足更一般的周期性性质，即

函数周期的概念

函数周期是数学中描述函数重复性质的一个概念。在函数中，周期性意味着函数的图像在某个平移距离下可以重复出现。周期性是很常见的现象，可以在自然界中找到很多周期性的现象，如地球公转、人的睡眠周期等。函数周期的概念在数学中有着广泛的应用，特别是在函数图像的分析和应用中。

对于一个函数f(x)，如果存在一个正数T使得对于任意的x，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)具有周期T，T称为函数f(x)的周期。即函数在自变量方向上从一个值到T之后，函数值又回到原来的值，如图像一样重复出现。

周期函数是指具有周期的函数，它在一个固定的区间内不断地重复自己。周期函数具有重要的特点，例如：具有周期的函数在一个周期内的特性和性质是相同的，因此在函数的分析和计算中，可以只考虑函数在一个周期内的变化情况。

在函数周期的概念中，周期要求是最小的正数，也就是说，如果一个函数具有多个周期，则其中的每个周期的长度都是它们的公倍数。例如，对于一个具有周期2的函数，它也具有周期4、6、8等。

函数周期的存在使得函数在数值计算和图像分析中表现出一些固有的性质。首先，周期函数可以分段计算，通过对函数在一个周期内的计算结果，可以推导出整个函数的性质。其次，对于周期函数，我们只需要关心一个周期内的变化情况，从而简化了计算过程。此外，周期函数具有与平移对称的性质，即对于函数f(x)具

有周期T，有f(x+T) = f(x)，同样有f(x-T) = f(x)。这种对称性使得我们在分析函数的图像时可以减少计算量，只需要研究一个周期内的情况，就可以获得整个函数的图像。

周期函数的有关概念

定义：如果一个函数f(x)存在一个正数T（称为周期），使得对于定义域内的所有x，都有f(x+T)=f(x)成立，那么我们就称f(x)为周期函数，T为它的一个周期。

换句话说，周期函数就是每隔一个固定的间隔T，函数的值就会重复出现。这个间隔T就是函数的周期。

周期函数的性质

1.周期性：这是周期函数最显著的性质。函数的图像在水平方向上每隔一个

周期T就会重复一次。

2.无界性：周期函数在其定义域内通常是无界的，除非它是常数函数。这是

因为函数值会不断地重复出现，所以无法找到一个上界或下界来限制它。

3.不可导点：如果周期函数在某些点处不连续，那么这些点就是不可导点。

但是，周期函数在其周期内的其他点上可能是可导的。

4.傅里叶级数：周期函数可以用傅里叶级数来表示。傅里叶级数是一种将周

期函数分解为简单正弦波和余弦波的方法，这在信号处理和图像处理等领

域非常有用。

周期函数的例子及其重要性

1.正弦函数和余弦函数：这两个函数是最基本的周期函数，它们的周期都是

2π。正弦函数和余弦函数在三角函数、波动理论、信号处理等领域都有广

泛应用。

2.方波函数：方波函数是一种在电子学和信号处理中常见的周期函数。它的

图像看起来像一系列的矩形脉冲。方波函数可以用于表示数字信号和模拟

信号之间的转换。

3.实际应用：周期函数在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛应用。例

如，在物理学中，波动现象（如声波、光波等）都可以用周期函数来描

述；在工程学中，交流电路中的电压和电流也是周期函数；在经济学中，

季节性变化（如销售量、失业率等）也可以用周期函数来建模。

函数周期性总结

函数的周期性是指函数在一定的规律下重复出现的性质。周期性是函数的重要特点之一，在数学和物理等领域中有着广泛的应用。本文将对函数周期性进行总结，包括周期函数的定义、性质和应用。

首先，周期函数是指满足下列条件的函数：存在正数T，使得对于函数的定义域内的任意实数x，都有f(x+T)=f(x)成立。其中T称为函数的周期。周期函数是以一定的周期不断重复的函数。

周期函数的性质包括以下几个方面：

1. 周期的唯一性：周期函数可能有多个周期，但这些周期一定是存在一个最小的正数T，使得对于任意实数x，都有

f(x+T)=f(x)成立。该最小的正数T称为函数的最小整周期，且它唯一确定。

2. 函数值的重复性：对于周期函数f(x)，当x和x+T（T为周期）属于函数的定义域时，有f(x)=f(x+T)。也就是说，函数在一个周期内的函数值是相同的。

3. 趋于零的性质：当x趋于正无穷或负无穷时，周期函数f(x)也具有相应趋于零的性质。

周期函数的应用范围广泛，主要有以下几个方面：

1. 物理学中的应用：周期函数在物理学中有广泛的应用，如描述物体的运动规律、电磁波的传播等。例如，正弦函数和余弦函数分别描述了振动和电磁波的传播规律。

2. 信号处理中的应用：周期函数在信号处理中有重要的应用。

例如，通过对周期性信号进行频谱分析，可以了解信号中的频率成分，进而用于信号处理和信息传输等领域。

3. 经济学中的应用：周期函数在经济学中的应用非常广泛，如经济波动的周期性。周期性的经济波动可以通过周期函数进行建模和预测，为经济决策提供依据。

周期函数的定义和特性

周期函数是一种定义在实数集上的函数，其具有明确的正弦、余弦或其他周期函数的特征。在数学中，主要指周期函数和它们的相关量，它们通常使用三角函数作为基本单位来表示。

定义：周期函数是满足“当其变化趋势发生改变时，其一定时

间内会重复其变化趋势”的函数。特别地，该函数只存在满足

f(x)=f (x+T)的无穷多个值，其中T是函数的周期， x和x+T

是变化坐标，f(x)和f (x+T)表示函数值。

特征：

1. 幅度：周期函数的幅度一般指函数值的最大值和最小值的差值；

2. 周期：指函数值最大值和最小值之间相隔的实数坐标之差；

3. 频率：指周期内函数值执行完一个周期时，所需要的时间；

4. 连续性：周期函数一般是连续函数，可以定义在实数域上；

5. 部分导数局部可微性：一般来说，周期函数的部分导数局部可微；

6. 抛物线性：许多周期函数的拐点处，其函数图像的曲线是抛物线。

由于周期函数的特性，它们在物理学、工程学、生物学、地理学等领域有各种各样的应用，如波浪理论及其应用中频繁使用。此外，周期函数在微积分学、数学分析中也有重要的应用。

函数的周期

如果， f是x=0上任意实数x所对应的一个周期函数。

(1)x=10时

f(x)= 0。(2) x>20时f(x)=-2。

(3)因为f是定义在闭区间[0， 2]，并且f是有界函数，那么这种情况只存在于开区间[0， 2]。

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