免费】线性代数第3章向量空间

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线性代数第三章总结

第三章几何空间一、向量的运算1. 向量的数量积（1）在仿射坐标系123{;,,}O e e e 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则112323(,,)y x x x A y y αβ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，其中111213212223313233e e e e e e A e e e e e e e e e e e e ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭. （2）在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则131233213(,,)i i i y x x x I y x y y αβ=⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪⎝⎭∑ ∙ =0αβαβ⊥⇔⋅2. 向量的向量积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则123123i jk x x x y y y αβ⨯=. ∙ //=0αβαβ⇔⨯3. 向量的混合积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，123(,,)z z z γ=则123123123(,,)x x x y y y z z z αβγ=. ∙ (,,)0αβγαβγ⇔=，，共面例：（1）设=αβγδ⨯⨯， =αγβδ⨯⨯，证明αδ-，βγ-共线.（2）设0αββγγα⨯+⨯+⨯=，证明αβγ，，共面.（3）证明()()βγααγβγ⋅-⋅⊥.证明：（1）因为()()αδβγ-⨯-=αβαγδβδγ⨯-⨯-⨯+⨯=αβγδαγ⨯-⨯-⨯+0βδ⨯=，所以αδ-，βγ-共线.(2)因为()αβγ=，，()αβγ⨯⋅=()βγγ-⨯⋅()γαγ-⨯⋅=()βγγ-，，()γαγ-，，0=，所以αβγ，，共面.（3）因为(()βγα⋅())αγβγ-⋅⋅=()βγ⋅()αγ⋅()αγ-⋅()βγ⋅0=，所以()βγα⋅()αγβ-⋅γ⊥.二、位置关系的判断1. 两个向量的共线；三个向量的共面.2. 两条直线异面，共面（相交、平行、重合）3. 两个平面相交、平行、重合4. 直线与平面相交、平行、直线在平面上.三、距离和垂线（在右手直角坐标系中讨论）1. 点到直线的距离，垂线方程垂线方程：设直线过已知点0000,,)P x y z （方向向量为0()X Y Z υ=，，，求过111(,,)P x y z 点直线的垂线方程。

线性代数课件6第三章向量空间

线性代数课件6第三章向量空间第三章向量空间3.13.23.33.4n维向量概念及其线性运算线性相关与线性无关向量组的秩向量空间3.1n维向量概念及其线性运算3.1.1n维向量及其线性运算3.1.2向量的线性组合3.1.1n维向量及其线性运算定义3.1.1由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组(a1,a2,……,an)称为一个n维向量，数ai称为该向量的第i个分量i=1,2,…,n向量的维数指的是向量中分量的个数.向量写成一行(a1,a2,……,an)列向量写成一行(a1,a2,……,an)T列向量写成一列a1a2.an行向量用小写的黑体字母:α,β,某,y,…表示向量用带下标的白体字母:ai,bi,某i,yi,…表示向量1行、列不同不等：1,22次序不同不等：1,22,1n维向量——矩阵定义一个n维行向量a1,a2,,an.可以定义为一个1n的矩阵b1b2一个n维列向量bn.可以定义为一个n1的矩阵既然向量是一个特殊的矩阵则：1.向量相等=矩阵相等2.零向量=零矩阵3.负向量=负矩阵4.向量运算=矩阵运算a1,a2,,ana1,a2,,an几个定义(1)定义3.1.2所有分量都是0的n维向量称为n维0向量记作：0=(0,0,…,0).向量α=(a1,a2,…,an)的所有分量都取相反数组成的向量，称为α负向量-α=(-a1,-a2,…,-an)如果n维向量α=(a1,a2,…,an)与n维向量β=(b1,b2,…,bn)的对应分量都相等，即ai=bi,(i=1,2,…,n)则称向量α与β相等，记作α=β定义3.1.3几个定义(2)定义3.1.4(向量的加法)设n维向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),则α与β的和是向量α+βα+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α与β的差是向量α-βα-β=α+(-β)=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)定义3.1.5(数与向量的乘法)设α=(a1,a2,…,an)是n维向量，k为一个数,则数k与α的乘积称为数乘向量，简称数乘，记作kα,并且kα=(ka1,ka2,…,kan).约定：kα=αk.线性运算律设α,β,γ都是n维向量，k,l是数，则(1)α+β=β+α;(加法交换律)(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(加法结合律)(3)α+0=α;(4)α+(-α)=0;(5)1某α=α;(6)k(α+β)=kα+kβ;(数乘分配律)(7)(k+l)α=kα+lα;(数乘分配律)(8)(kl)α=k(lα).(数乘向量结合律)例1设α=(2,1,3),β=(-1,3,6),γ=(2,-1,4).求向量2α+3β-γ.解2α+3β-γ=2(2,1,3)+3(-1,3,6)-(2,-1,4)=(4,2,6)+(-3,9,18)-(2,-1,4)=(-1,12,20).例2设α=(1,0,-2,3),β=(4,-1,-2,3),求满足2α+3β+3γ=0向量γ.解γ=-1/3(2α+β)=-1/3[2(1,0,-2,3)+(4,-1,-2,3)]=-1/3[(2,0,-4,6)+(4,-1,-2,3)]=-1/3(6,-1,-6,9)=(-2,1/3,2,-3).练习习题3.1P862.(2)答案P184解某=3α-β=3(2,0,1)-(3,1,-1)=(6,0,3)-(3,1,-1)=(3,-1,4).3.1.2向量的线性组合1.向量的线性组合2.向量的线性表出关系的几何解释3.线性组合的——矩阵表示法4.表出系数的求法1.向量的线性组合定义3.1.6设α1,α2,…,αm是一组n维向量，k1,k2,…,km是一组常数，则称k1α1+k2α2+…+kmαm为的一个线性组合.常数k1,k2,…,km称为该线性组合的组合系数.若一个n维向量β可以表示成β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则称β是α1,α2,…,αm的线性组合，或称β可用α1,α2,…,αm线性表出(线性表示).仍称k1,k2,…,km为该线性组合的组合系数，或表出系数显然，零向量可以用任意一组α1,α2,…,αm(同维向量)线性表出：0=0α1+0α2+…+0αm(k1=0,k2=0,…,km=0)零向量的平凡表出式表出系数全为0——必是0向量向量组若干同维数的向量组成的集合——向量组m个向量α1,α2,…,αm组成的向量组——记为R:α1,α2,…,αm或R={α1,α2,…,αm}例3:矩阵——向量组表示法Aaija11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamjmna1na11,a12,,a1na2na21,a22,,a2nA的行向量组量m个n维行向ainai1,ai2,,ain(i1,2,,m)amnam1,am2,,amnAaijmna11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamja1na2nainamnA的列向量组a1ja11a12a1na2ja21a22a2naijai1ai2ainaaaam1m2mnmjn个m维列向量(j1,2,,n)n维标准单位向量组Eaij100010nn01,0,01第i个分量为其余01,分量为00,1,,02i0,,0,1,0,,00i1,2,,n10,0,,1n。

线性代数课件第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介

, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ，求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5

线性代数中的向量空间及其基本性质

线性代数中的向量空间及其基本性质向量空间是线性代数中的一个重要概念。

它起源于欧氏空间中的几何向量，但不仅仅局限于几何背景。

向量空间是所有线性组合构成的集合，在数学中有广泛的应用，如线性代数、微积分、统计学等。

本文将就向量空间及其基本性质进行详细的阐述。

一、向量空间的定义定义1：设V为一个数域k上的非空集合，称V上的元素为向量。

如果：① V中定义了向量的加法（+），使得∀u，v∈V，都有u+v∈V；② V中定义了数乘，即对于任意的k∈K，都有ku∈V；满足：①加法交换律：∀u，v∈V，都有 u +v=v +u；②加法结合律：∀u，v，w∈V，都有 u +(v +w)=(u +v)+w；③加法有零元：∃0∈V，使得对于任意的u∈V，都有u+0=u；④加法有负元：∀u∈V，∃v∈V，使得u+v=0；⑤数乘结合律：∀k，l∈K，∀u∈V，都有 (kl)u=k(lu)；⑥数乘分配律1：∀k∈K，∀u，v∈V，都有k(u+v)=ku+kv；⑦数乘分配律2：∀k，l∈K，∀u∈V，有 (k+l)u=ku+lu；⑧数乘有单位元1：∀u∈V，都有1u=u。

则称V是数域k上的向量空间，简称向量空间。

向量空间的典型例子包括n元有序实数对$(x_1,x_2,...,x_n)$以及所有n次实系数多项式构成的集合$P_n(R)$。

二、基本概念1. 向量向量是指向量空间中的元素。

2. 零向量零向量是指满足向量空间中定义的加法有零元的向量，用0表示。

3. 运算在向量空间中，有两种运算：加法和数乘。

向量空间中的任何向量都可以通过加法和数乘来表示。

4. 线性组合若给定向量空间V中的n个向量${\{v_1, v_2, …, v_n}\}$以及n 个标量${\{k_1, k_2, …, k_n}\}$，则它们的线性组合是指如下表达式：${v=k_1v_1+k_2v_2+…+k_nv_n=\sum_{i=1}^n k_iv_i}$其中，${v_1, v_2, …, v_n}$是向量空间V中的向量，${k_1,k_2, …, k_n}$是一个数域k中的标量。

线性代数第3章向量空间

1 1 22 2 31 42 则 1 , 2 , 3 必相关 3 51 62 如果 B : 1, 2 ,, m 可由 A : 1,2 ,,n
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?

线性代数—3.3 向量空间

§3.3 向量空间
一、向量空间的概念二、向量空间的基和维数三、基变换与过渡矩阵
一、向量空间的概念
例1 设 V 为平面上所有起点在定点 O 的向量的集合.
集合 V 具有如下性质: (1) 若 aV, bV, 则 a + bV;
B
a2 a
(2) 若 aV, kR, 则 kaV, 称 V 为平面向量空间.
a 可唯一地表示为 a k1a1 + L + krar
称 (k1, , kr) 为向量 a 在基 a1, , ar 下的坐标.
例4 验证 a1 (1,-1,0)T, a2 (0,1,3)T, a3 (2,1,8)T 为R3 的一个基, 并求 b1 (5,0,12)T, b2 (9,-7,8)T, b3 (3,1,11)T 在这
O a1 A
uuur uuur a OA + OB k1a1 + k2a2
设 V 中两向量 a1, a2 线性无关, 即 a1, a2 不共线, 则
V {k1a1 + k2a2 | k1,k2 R} 称 V 为由向量组 a1, a2 生成的向量空间.
例2 设 n 元方程组 Ax 0 的解集为 S, 秩 R(A) r < n.
• L(A) 为向量空间V 的子空间的充要条件是 A V . • L(B) 为 L(A) 的子空间的充要条件是向量组 B 可由组 A 线性表示. • L(A) L(B) 的充要条件是向量组 A 与组 B 等价.
例3 由 a1 (1,1,0,0)T, a2 (1,0,1,1)T 所生成的空间记为V1, 而由 b1 (2,-1,3,3)T, b2 (0,1,-1,-1)T 所生成的空间记为V2.
(-1,-4,3), (13,8,-2), (1,1,1)

《线性代数》向量与向量空间

向量的加法
( )
(a1 b1 , a2 b2 , , an bn ),
即：两个向量相加减就是将它们的对应分量相加减
17
02
n维向量的线性运算
数乘
是维向量,是实数,规定
( a1 , a2 , , an )
负向量
向量的相等
ai bi , i 1,2, ,n
即两个向量相等，就是各个对应的分量都相等。
16
02
n维向量的线性运算
向量的加法
都是维向量，规定
(a1 b1 , a2 b2 , , an bn ),
称 + 为向量与的和
E 2 T T 2 T T
E T 2 T ( T ) E T 2( T ) T
1 T
T
T
E (1 2 ) E (1 2 ) E
2
故应填
23
02
n维向量的线性运算
3 x 4 x 6 x 5
2
3
1
使用克莱姆法则可解得： x1 1, x2 2, x3 1,
故
1 2 2 - 3 .
32
01
向量组的线性组合
例5
证明：任意维向量可由其基本单位向量组唯一线性表示.
证
a1
1
0
0
a
0
38
02
向量组的等价
例7 设,,均为阶方阵，若=，且可逆，
(A)矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价.
(B)矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价.

线性代数中的向量空间理论

线性代数中的向量空间理论向量空间是线性代数的核心概念之一，它是研究向量之间关系和性质的理论基础。

本文将介绍向量空间的定义、性质以及在线性代数中的应用。

一、向量空间的定义向量空间是由一组向量构成的集合，满足以下条件：1. 封闭性：对于任意的向量v和w以及标量a和b，av+bw仍然属于该向量空间。

2. 加法：对于向量v和w，满足交换律和结合律，即v+w=w+v和(v+w)+u=v+(w+u)。

3. 数乘：对于向量v和标量a和b，满足分配律和结合律，即a(bv)=(ab)v，(a+b)v=av+bv和a(v+w)=av+aw。

4. 零向量：存在一个零向量0，满足0+v=v。

二、向量空间的性质1. 唯一零向量：向量空间中的零向量是唯一的，即满足对任意向量v，v+0=0+v=v。

2. 相反向量：对于任意向量v，存在一个相反向量-u，满足v+(-u)=(-u)+v=0。

3. 数乘零：对于任意标量a，有a0=0。

4. 数乘单位元：对于任意向量v，有1v=v。

5. 数乘分配律：对于任意标量a和向量v、w，有a(v+w)=av+aw。

6. 加法交换律：对于任意向量v和w，有v+w=w+v。

7. 加法结合律：对于任意向量v、w、u，有(v+w)+u=v+(w+u)。

8. 数乘结合律：对于任意标量a和b以及向量v，有(a+b)v=av+bv。

9. 数乘分配律：对于任意标量a和b以及向量v，有(a*b)v=a(bv)。

三、向量空间的应用向量空间理论在线性代数中有广泛的应用，例如：1. 线性方程组求解：线性方程组可以通过向量空间的理论来进行求解。

将线性方程组的系数矩阵表示为一个向量空间的基，通过求解向量空间的线性组合，可以得到方程组的解。

2. 矩阵和线性变换：矩阵和线性变换可以看作是向量空间之间的映射关系。

通过向量空间的理论，可以研究矩阵和线性变换的性质，包括线性变换的可逆性、特征值和特征向量等。

3. 向量子空间：向量空间的子集也可以构成一个向量空间，称为向量子空间。

线性代数中的向量空间

线性代数中的向量空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究的是向量和线性方程组的性质。

在线性代数中，向量空间是一个基本的概念，它在许多数学和科学领域中都有重要的应用。

本文将介绍关于向量空间的定义、性质以及应用。

一、向量空间的定义在线性代数中，向量空间是指由一组向量构成的集合，其中包含了向量加法和标量乘法两种运算，并满足以下八个性质：1. 零向量存在性：向量空间中存在一个特殊的向量，被称为零向量，记为0，它满足对于任意向量v，有v + 0 = v。

2. 向量加法封闭性：对于任意向量v和w，它们的和v + w也属于向量空间。

3. 向量加法结合律：对于任意向量u、v和w，有(u + v) + w = u + (v + w)。

4. 向量加法交换律：对于任意向量u和v，有u + v = v + u。

5. 标量乘法封闭性：对于任意标量k和向量v，k * v也属于向量空间。

6. 标量乘法结合律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k * l) * v = k * (l * v)。

7. 向量与标量加法的分配律：对于任意标量k和向量v、w，有k * (v + w) = k * v + k * w。

8. 向量与标量乘法的分配律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k + l) * v = k * v + l * v。

满足以上八个性质的集合即可称为向量空间。

二、向量空间的性质在向量空间中，还有一些重要的性质：1. 零向量的唯一性：向量空间中的零向量是唯一的，即任意向量空间中的零向量都相等。

2. 负向量的存在性：对于任意向量v，在向量空间中存在一个向量-u，使得v + (-u) = 0。

这里的-u被称为v的负向量。

3. 数乘的零乘性：对于任意标量k和向量v，在向量空间中，有0 * v = 0，其中0表示标量的零。

4. 数乘的单位元性：对于任意向量v，在向量空间中，有1 * v = v，其中1表示标量的单位元。

三、向量空间的应用向量空间的概念和性质在数学和科学中有广泛的应用。

线性代数第三章(一二节向量与线性相关性)

组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
证明
必要性设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便有
（9）若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10）若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第三章向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个

(完整)自考线性代数第三章向量空间习题

第三章向量空间一、单项选择题1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ）的列向量构成的向量组，则必有( )A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ )A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ）A 。

α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。

如果|A ｜=2，则|—2A |=（）A.-32B.-4C 。

4 D.327。

设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ )A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。

α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（）A.1 B 。

线性代数第三章向量空间与线性方程组

① ②
③÷2
①
②
③ ④
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 6 9 7 3
r1 r2 r3 2
2 4 B 4 9
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
① ② ③ ④
1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 6 9 7 3
4 2 B1 2 9
兰星
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
第三章向量空间与线性方程组的解
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
x1 x2 2 x3 x4 4, x2 x3 x4 0, x4 3, 0 0. x1 x3 4, 取 x3 为自由变量，则 x2 x3 3, x 3. 4
①
②
③ ④
恒等式
x1 c 4 1 4 x c 3 1 3 2 令 x3 = c ，则 X c . x3 c 1 0 x4 3 0 3
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 6 9 7 3 2 4 B 4 9
增广矩阵
结论：对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换.
兰星
广东技术师范学院天河学院《线性代数》

线性代数简明教程(方小娟编科学出版社)第三章、向量空间

1 2 1 0 1 = 2 − 1 − 0 1 3 1 1
定义3 向量组 α1,α2 ,⋯αm，如果该向量组对零向量定义只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法唯一，只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法唯一， α1,α2 ,⋯αm 线性无关，否则，称其线性则称向量组线性无关，否则，称其线性相关。相关。定义3 称为线性相关线性相关的定义 / 向量组 α1,α2 ,⋯αm 称为线性相关的，如果存在一组不全为零的数k 存在一组不全为零的数 1,k2,…,km，使
是线性相关的，是线性相关的，因为
α3 = 3α1 −α2
定理2 定理
线性无关，设向量组 β1 , β2 ,⋯βt 线性无关，而向量组
线性相关， β1, β2 ,⋯, βt ,α 线性相关，则 α 能由向量组 β1 , β2 ,⋯, βt 线性表示，且表示式是唯一的。线性表示，且表示式是唯一的。线性相关，证由于β1 , β2 ,⋯, βt ,α 线性相关，就有不全为零的数k1,k2,…, kt,k，使，
向量称为的数量乘积，数乘，的数量乘积简称数乘 α 与k的数量乘积，简称数乘，记为 kα 。称为零向量，称为零向量，记为
(ka1,ka2,…,kan)T
(0,0 ⋯ 0)T 定义4 定义分量全为零的向量
ϑ
= (0,0⋯ 0)T ϑ
α 与-1的数乘 (−1)α = (−a1 ,−a2 ,⋯,−an )T 定义5 定义的数乘的负向量，称为 α 的负向量，记为 −α
即 =2ε1 − 5ε2 + 3ε3 + 0ε4 β
所以，的线性组合，所以，称 β 是ε1,ε2 ,ε3 ,ε4 的线性组合，线性表示。或 β 可以由 ε1,ε2 ,ε3 ,ε4 线性表示。

(完整版)线性代数第三章向量空间(自考经管类原创)

求 2 3
解 2 3 2(2,1,3) 3(1,3,6) (2, 1, 4)
=(4,2,6)+( 3,9,18) (2, 1, 4)
=( 1,12, 20)
例2 设 (1,0, 2,3) (4, 1, 2,3)
求满足 2 3 O 的
解
1 (2
3
)
1[2(1, 0, 2,3) 3
20
小结
k11 k22 L kmm
列摆行变换
3.2 线性相关与线性无关
22
一、线性相关、线性无关
1.定义给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 , , km使
k11 k22 kmm 0 则称向量组A是线性相关的,k1, k2 ,L , km 称为相关系数
否则称它线性无关．
提问:“否则,线性无关”是什么意思?
若 1,2 , ,n线性无关, 则只有当1 n 0时,才有
11 22 nn 0成立 .
注
1) 对于任意一个向量组，不是线性相关就是线性无关; 2) 任意一个含零向量的向量组，必线性相关;
3) 单个向量线性相关 O 单个向量线性相关 O
(1, 2)与
1
2
是两个不同的向量。
2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；
3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.
零向量、负向量、相等向量的定义及向量的相关运算
定义3.1.2 : 所有分量都是零的n维向量称为n维零向量，记为
O (0, 0,L , 0).
第三章向量空间
知识结构
向量及线性运算 n 维向量线性组合
向量空间
线性相关、线性无关

线性代数3a

线性代数
第3章向量空间
3.2 向量的线性相关性
定理3.2.2 设
s 个 n 维向量
a1s a2 s , s , ans
a11 a12 a a22 21 1 , 2 , a n1 an 2
(1) 得
( 2)
特别注意( 2 )中未知量个数 s ，方程式个数 n , 向量方程式( 1 )有解和线性方程组（ 2 ）有解是一回事，
因而有定理 3.2.1。
线性代数
第3章向量空间
3.2 向量的线性相关性
例1 判断下列向量能否由向量组 1 , 2 , 3 线性表示,若能,试写出它的一种表达式,其中
行向量列向量
n 维向量的第 i
个分量.
a1, a2 , , an
a1 a2 a1 , a2 , an
, an
T
线性代数
第3章
向量空间
3.1
n维向量
定义3.1.2
向量的分量都是零的向量称为零向量,记为
0 0,0,
1 3 5 5 ,1 1 1 3 1 ,
2 2 3 7 4 ,3 0 1 1 2 .
例2 设
1 1 5 2 1 1 , 3 , 3 , 2 3 4 0 1 t 1
,s s 2 线性相关的充分必要条件
为其中有一个向量可由其余向量线性表示. 推论1 向量组 1,
,s s 2 线性无关的充分必要条件
是其中每一个向量都不能由其余向量线性表示.

《线性代数》第3章向量空间与线性方程组解的结构

k11+k22 +L +knn
称为该向量组的一个线性组合.
定义 4
n 给定维向量组1,2,L ,n 和一个n 维向量，如果存在一组数 k1, k2,L , kn ，使得
k11+k22 +L
+kn
，
n
则称向量可由向量组1,2,L ,n 线性表示，
或者说向量是向量组1,2,L ,n 的一个线性组合.
一、向量的概念及运算
第3章向量空间与线性方程组解的结构 7
例1 设有线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21x1 LL
a22 x2 LLL
L a2n xn b2 LLLLLL
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
a1i
将第 i
个未知量
维向量组
1T
,
T 2
,L
， ,
T m
则得到一个以
1T
,
T 2
,L
,
T m
为行的
m
n
矩阵
A
1T
T 2
M
.
T m
因此，一个所含向量个数有限的向量组总可与一个矩阵建立一一对应关系.
二、向量组及其线性组合
定义 3
第3章向量空间与线性方程组解的结构 11
给定 n 维向量组1,2,L ,n ，对于任意一组数 k1, k2,L , kn ，表达式
2 矩阵方程 AX B 与 BY A同时有解 X Kms ，Y = Msm .
三、向量组的等价
第3章向量空间与线性方程组解的结构 22
例6
1 2
3 3 1
已知向量组

第3章3.5 向量空间线性代数课件

2
a
22
,
3
a
2 3
,
a 3 1
a 3 2
a 3 3
b1
b
2
b 3
a 11
若
A
a
2
1
a 12 a 22
a a
1 3 2 3
初等行变换
a 1 1
0
a 1 2 a 1 3
b 22
b
2
3
a 3 1 a 3 2 a 3 3
0 0 b 3 3
则 1 , 2 , 3 是 R 3 的一个基
( 0 , a2 b2 , a3 b3 , ...,an bn)V1 , R, ( 0 , a 2 , a 3 ,...,an) V1 ,
第1个分量是1，后面的分量全部是实数
例3 V 2 x ( 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ) x 2 , x 3 , ..., x n R
设
在基 1 , 则 x
2, 1 1
3 下的坐标为 ( x 2 2 x 3 3
x1, x ( 1 ,
2,x3) 2, 3)
x x
1 2
b1
b
2
即求 A X 中的 X
x 3 b 3
( A | ) 初等行变换 E|A1
2
2
1
5
0
例4 设
1
2
,
2
1
,
3
例2. V 1 x ( 0 , x 2 , x 3 , ..., x n ) x 2 , x 3 , ..., x n R
问：集合V1 是不是一个向量空间?
答是
对于V1中的任何两个向量