简单线性规划课件

线性目 标函数
线性约 束条件
x − 4 y ≤ −3 z=2x+y,求满足 设z=2x+y,求满足 3 x + 5 y ≤ 25 x ≥ 1 最优解
的最大值和最小值. 时,求z的最大值和最小值 求 的最大值和最小值 线性规 划问题
所有的
任何一个满足 不等式组的 x,y） （x,y） 可行解
P = 2x + y
何时达到最大？ 何时达到最大？
利润
三、当堂检测 已知
x - y ≥ 0 x + y - 1 ≤ 0 y + 1 ≥ 0
（1）求z=2x+y的最大值和最小值。 ） 的最大值和最小值。 的最大值和最小值 的最优解。 （2）求z=2x+y的最优解。 ） 的最优解
2x+y=0
x－4y＝－3 －
∴
解线性规划问题的步骤： 解线性规划问题的步骤：
画出线性约束条件所表示的可行域； 画 画出线性约束条件所表示的可行域； 2、 移 在线性目标函数所表示的一组平行线 1、
中，用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线； 共点且纵截距最大或最小的直线；
通过解方程组求出最优解； 求 通过解方程组求出最优解； 作出答案。 4、 答 作出答案。 3、
可行域
有关概念
的不等式(或方程 组成的不等式组称为x 或方程)组成的不等式组称为 由x，y 的不等式 或方程 组成的不等式组称为 ， y 的约束条件。关于 ，y 的一次不等式或方程组 约束条件。关于x 成的不等式组称为x 线性约束条件。 成的不等式组称为 ，y 的线性约束条件。欲达到 最大值或最小值所涉及的变量x， 最大值或最小值所涉及的变量 ，y 的解析式称为 目标函数。关于x， 的一次目标函数称为线性目 目标函数。关于 ，y 的一次目标函数称为线性目 标函数。 标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值问题称为线性规划问题 线性规划问题。 大值或最小值问题称为线性规划问题。满足线性 可行解。 约束条件的解（ ， ）称为可行解 约束条件的解（x，y）称为可行解。所有可行解 组成的集合称为可行域 可行域。 组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值 最优解。 或最小值的可行解称为最优解 或最小值的可行解称为最优解。
y
y-x=0
5
1
O
1 A(2,-1) 5
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
z max = 3
zmin = −3
x+y-1=0
知识小结
1．线性规划问题的有关概念; 2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤： 1）设出未知数，列出约束条件，确定目标函 数 2）作出可行域 3）作平行线 使直线与可行域有交点 4）求出最优解并作答
x-4y+3=0
C
5
3.作一组与直线 l 0 平行的 直线l : 2 x + y = t , t ∈ R
A B
O
1 5 x=1
2x + y = 0
直线L 直线L越往右平 ,t随之增大 随之增大. 移,t随之增大. x 以经过点A(5,2)的 以经过点A(5,2) t 直线所对应的t值 最大;经过点B(1,1) 最大;经过点B(1,1) 的直线所对应的t 的直线所对应的t 值最小. 值最小. Z max = 2 × 5 + 2 = 12, Z min = 2 × 1 + 1 = 3
典例讲评
式中变量x、 满足下列条件 例1：设z＝2x－y,式中变量 、y满足下列条件 ： 式中变量 求ｚ的最大值和最小值。 的最大值和最小值。 解：作出可行域如图： 作出可行域如图 当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0 ｚ＝ 时 ＝ 平移l 经过可行域上点A时 平移l0，当l0经过可行域上点 时，
y
o
x
知识回顾：
确定二元一次不等式（组）表示区域的方法：
直线定域，特殊点定界。
注意的问题： 1、Ax+By+C≥0表示的平面区域把直线画成 Ax+By+C≥ 实线以表示区域包含边界直线 以表示区域包含边界直线； 实线以表示区域包含边界直线； Ax+By+C>0表示的平面区域把直线画成 2、Ax+By+C>0表示的平面区域把直线画成 虚线以表示区域不包含边界直线 以表示区域不包含边界直线． 虚线以表示区域不包含边界直线．
在关数据列表如下： 在关数据列表如下： A种原料 B种原料 甲种产品 乙种产品 现有库存 4 1 10 12 9 60 利润 2 1
设生产甲、 设生产甲、乙两种产品的吨数 分别为x、 分别为 、y
4 x + y ≤ 10 12 x + 9 y ≤ 60 x ≥ 0 y ≥ 0
问题思考1：
在同一坐标系上作出下列直线: 在同一坐标系上作出下列直线 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结论 : 形如 2 x + y = t ( t ≠ 0) 的直线与2 x + y = 0平行 .
x
o
作出下列不等式组的所表 示的平面区域 x-4y≤-3
在该平面区域上 问题 1：ｘ有无最大(小)值？
3x+5y≤25 x≥1
问题２：ｙ有无最大(小)值？ ２
y
x=1
C
问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？ ３
x-4y=-3
A B
3x+5y=25
o
x
二.提出问题 提出问题
把上面两个问题综合起来: 把上面两个问题综合起来
x − 4 y ≤ −3 z=2x+y,求满足 设z=2x+y,求满足 3 x + 5 y ≤ 25 x ≥ 1
的最大值和最小值. 时,求z的最大值和最小值 求 的最大值和最小值
y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
x − 4 y ≤ −3 1.先作出3 x + 5 y ≤ 25 x ≥ 1 所表示的区域 .
2.作直线 l 0 : 2 x + y = 0
例2 某工厂生产甲、乙两种产品，生产 甲 某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲 种产品需要A种原料 种原料4t、 种原料 种原料12t， 种产品需要 种原料 、 B种原料 ，产 生的利润为2万元 生产1t乙种产品需要 万元； 乙种产品需要A 生的利润为 万元；生产 乙种产品需要 种原料1t、 种原料 种原料9t，产生的利润为1万 种原料 、 B种原料 ，产生的利润为 万 现有库存A种原料 种原料10t、 种原料 种原料60t， 元。现有库存 种原料 、 B种原料 ， 如何安排生产才能使利润最大？ 如何安排生产才能使利润最大？
－z 最小，即ｚ最大。 最小， 最大。
x －4y≤－3 3x+5y≤25 x≥1
y
3x+5y=25
2x－y＝0 ＝
C (1,4.4)
平移l 当 经过可行域上点C时 平移l0 ， l0经过可行域上点 时，
－ｚ最大，即ｚ最小。 最大， 最小。
x－4y=－3
o
B
(5,2)
Ａ
x=1
x=1
x
由
点坐标_____； 点坐标_______； 得A点坐标 (5,2) ； 点坐标 由 得C点坐标 (1,4.4) ； 点坐标 3x＋5y＝25 3x＋5y＝25 ＋ ＝ ＋ ＝ zmax＝2×5－2＝8 × ＝ zmin＝2×1－4.4＝ －2.4 ×