小学数学拓展专题计数综合完整版题型训练+答案

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小学数学《计数综合复习》练习题

《计数综合复习》练习题1、用0、1、2、3、4、5这六个自然数中的三个组成三位数，从个位到百威的数字依次增大，且任意两个数字的差都不是1，这样的三位数有多少个？2、从1到30中选出两个不同的数相加，和大于30的情况有多少种？3、从1000到2010中，十位数与个位数相同的数有多少个？4、在用数字0、1组成的6位数中，至少有4个连续的1的数共有多少个？5、3个海盗分30枚金币，如果每个海盗最多分12枚，一共有多少种不同的分法？6、由图中有多少条线段，多少个三角形，多少个梯形7、一台综艺节目，由2个不同的舞蹈和3个不同的演唱组成，如果第一个节目时舞蹈，那么共有多少种不同的安排方法？8、有身高各不相同的5个孩子，按下列条件排成一行：条件一：最高的孩子不排在边上条件二：最好的孩子的左边按由高到矮向左排列条件三：最高的孩子右边按由高到矮向右排列那么符合上述所有条件的排队方法有多少种。

9、a）平面上7个点，任意三点不共线，那么可以连出多少个三角形。

b)两条平行线上各有4个点，从这些点中任取3个作为顶点，可以连出多少个三角形？10、如图，左边是由22个六边形组成的图形，在六边形内蚂蚁只可以选如右边箭头所指的方向之一爬到相邻的六边形内，已知蚂蚁从六边形A出发，选择不经过六边形B的路线到达六边形C，那么这样的路线共有多少条？11、8块相同的奥运纪念徽章分给乐乐、小宇、小明和小卡四人，每人至少分一块，有多少种不同的分法？12、由0123456789组成的小于5000且没有重复数字的四位数共有多少个？其中从小到大第2010个是多少？13、有些三位数，相邻两个数字的差都不超过2，比如424、244、110、....，所有这样的三位数有多少个？14、各位数字之和为4的四位数有多少个？其中能被11整除的有多少个？。

2022年7月16日小学四年级数学奥数题《计数问题》暑假专项练习和答案

2022年7月16日小学四年级数学奥数题《计数问题》暑
假专项练习和答案
题型：计数问题难度：★★以下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？
通过观察每增加一层，恰好增加6根小棍，这6根恰好是增加那一层比上一层多摆出的两个正方形多用的，即前1层用4根，前2层用4+6根，前3层用4+6×2根，前n层用4+6×(n-1)根，现在共用了60多根，应减去4是6的倍数，所以共用小棍64根，围成的图形有11层．
1/ 1。

小学数学拓展试卷答案

一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列各数中，哪个数是质数？A. 21B. 25C. 29D. 35答案：C解析：质数是指只能被1和自身整除的自然数。

21=3×7，25=5×5，29是质数，35=5×7。

因此，选C。

2. 下列各图形中，哪个图形是轴对称图形？A. 长方形B. 三角形C. 梯形D. 圆形答案：D解析：轴对称图形是指存在一条直线，将图形分为两部分，两部分完全重合。

长方形、三角形、梯形都不是轴对称图形，而圆形是轴对称图形。

3. 小明有5个苹果，小红有3个苹果，他们一共有多少个苹果？A. 8B. 10C. 12D. 15答案：B解析：小明有5个苹果，小红有3个苹果，他们一共有的苹果数是5+3=8。

因此，选B。

4. 一个长方形的长是6厘米，宽是4厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？A. 12B. 16C. 24D. 36答案：C解析：长方形的面积公式是长×宽。

这个长方形的长是6厘米，宽是4厘米，所以面积是6×4=24平方厘米。

因此，选C。

5. 小华有8个球，他要把这些球分成3组，每组至少有多少个球？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B解析：要使每组至少有球，我们可以先假设每组有2个球，那么3组共有2×3=6个球，这时还剩下8-6=2个球。

因此，每组至少有2个球，选B。

二、填空题（每题3分，共9分）6. 2×5=（），3×4=（），5×6=（）答案：10，12，30解析：2×5=10，3×4=12，5×6=30。

7. 下列各数中，哪个数是偶数？A. 17B. 20C. 25D. 28答案：B解析：偶数是指能被2整除的数。

17、25、28都不能被2整除，而20能被2整除。

因此，选B。

8. 一个正方形的边长是3厘米，这个正方形的面积是多少平方厘米？答案：9解析：正方形的面积公式是边长的平方。

四年级高思奥数之计数综合一含答案

第22讲计数综合一内容概述内容概述巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．典型问题典型问题兴趣篇兴趣篇1．现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张．张．如果从中取出如果从中取出一些钞票(至少取1张)，可能凑出多少种不同的总钱数?2．一本书从第1页开始编排页码，到最后一页结束时共用了1983个数码．这本书共有多少页?3．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇一起到圆明园游玩．他们四人站成一排照相，其中费叔叔要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法?4．有13个球队参加篮球比赛．比赛分两个组，第一组7个队，第二组6个队．各组内先进行单循环赛(即每队都要与本组中其他各队比赛一场)，然后由两组的第1名再比赛一场决定冠亚军．请问：一共需要比赛多少场5．从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，拿出2瓶不同类型的饮料，共有多少种不同的选法?6．从4台不同型号的等离子电视和5台不同型号的液晶电视中任意取出3台，其中等离子电视与液晶电视至少要各有1台，共有多少种不同的取法?7．从1至9中取出7个不同的数，要求它们的和是36，共有多少种不同的取法?8．用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数?9．用两个1、一个2、一个3、一个4可以组成多少个不同的五位数?10．在所有不超过1000的自然数中，数字9一共出现了多少次?拓展篇拓展篇 1．把自然数1至2008依次写成一排，得到一个多位数12345678910111213…0620072008．请问：问：(1)这个多位数一共有多少位?(2)从左向右数，这个多位数的第2008个数字是多少? 2．商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9个球．其中红色的、黄色的和绿色的球各有3个，而且每种颜色的球都分别标有1、2、3号．顾客从箱子里摸出3个球，如果3个球的颜色全相同或者各不相同，就可以中奖．已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，并且一等奖比二等奖少．问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种是二等奖呢?3．工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，件进行检查，问：问：(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种?4．如图22-1，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形?5．6名学生和4名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是3名学生和2名老师，一共有多少种分队的方法?6．10个人围成一圈，从中选出3个人．要求这3个人中恰有2人相邻，一共有多少种不同选法?7．用0、1、2、3、4、5这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数?其中偶数有多少个?8．用l 、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?这些三位数的和是多少?9．用两个1、两个2、两个3可以组成多少个不同的六位数?10．5名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：(1)5个人站成一排；个人站成一排；(2)5个人站成一排，小强必须站在中间；个人站成一排，小强必须站在中间；(3)5个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；(4)5个人站成一排，小强、大强必须站在两边；个人站成一排，小强、大强必须站在两边； (5)5个人站成一排，小强、大强都没有站在边上．个人站成一排，小强、大强都没有站在边上．11．6名小朋友A 、B 、C 、D 、E 、F 站成一排．若A ，B 两人必须相邻，一共有多少种不同的站法?若A 、B 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法?12．学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：(1)如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法? (2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法?超越篇超越篇1．有6种不同颜色的小球，请问：种不同颜色的小球，请问：(1)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法? (2)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法? (3)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法(4)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法? 2．有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数，而且不含有数字0．这样的四位数有几个3．用l 、2、3、4这四个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次．例如1234、1233和2414是满足条件的，而1212、3334和3333都不满足条件．请问：一共能组成多少个满足条件的四位数4．四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：问：(1)如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序?(2)如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序?5．在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法?6．有9张同样大小的圆形纸片．其中标有数字“1”的纸片有1张；标有数字“2”的纸片有2张；标有数字“3”的纸片有3张；标有数字“4”的纸片也有3张．把这9张圆形纸片如图22-2所示放置在一起，要求标有相同数字的纸片不许靠在一起．请问：所示放置在一起，要求标有相同数字的纸片不许靠在一起．请问：(1)如果在M 处放置标有数字“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法?(2)如果在M 处放置标有数字“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法?7．从三个0、四个1、五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数?8．8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间(不一定相邻)，小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种?第22讲计数综合一内容概述内容概述巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．典型问题典型问题兴趣篇兴趣篇1．现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张．张．如果从中取出如果从中取出一些钞票(至少取1张)，可能凑出多少种不同的总钱数? 答案：23种分析分析：根据题意，钱数的可能范围为1-28元，其中4元，元，99元，元，1414元，元，1919元，24元是不可能出现的。

六年级数学专题思维训练—计数综合(含答案及解析)

六年级数学专题思维训练—计数综合1、若4个两两不同的自然数的倒数之和为1，则这样的自然数组（次序不同认为是同共有组，2、如下图所示，在纸上画有A、B、C三点，经过其中任意两点画一条直线，可以画3条直线，如果在纸上画有5个点，其中任意三个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，可以画____条直线．3、在右下图中，以最短的路径从点P到点Q，请问共有种不同的走法．4、科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，如下图所示，按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”．5、在下图中，用水平或者竖直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？6、甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中始终没有领先过，那么两队的入球次序共有种不同的可能．7、如下图所示，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条．8、国际象棋中“马”的走法如图a所示，位于O位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图b）中标有△的位置），要走到第八行第五列（图b）中标有★的位置），最短路线有条．9、小思从X市开车到y市，她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶：请问小思由X市到y市共有多少种不同的路径？10、 A，B两人进行象棋比赛，没有和棋，先比对方多胜三局的一方赢得比赛，如果经过11局比赛A才以7胜4负获胜，那么这11局比赛的胜负排列共有种．（例如：“胜负胜负胜负胜负胜胜胜”是一种胜负排列）11、一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列．现在他们要变成2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有种不同排法．12、有7个相同的小球放人4个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则共有种不同的放法．A. 15 B．18 C．20 D．2413、以下图的黑点作为顶点，请问可作出多少个三角形？14、正整数2009的数码和为11，请问在2010到2999之间有多少个自然数其数码和为11 ？15、学学和思思一起洗已摞好的5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放人碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法。

【详解】六年级(上)第20讲计数综合提高下的答案

第二十讲计数综合提高下例1．答案：45详解：按十位数字分类枚举，十位数字取2、8的红数各有3个，取3、7的红数各有6个，取4、5、6的红数各有9个，因而共有45个．方法二、也可用传球法：1+3+6+8+9+9+9=45种．例2．答案：（1）122；（2）68 详解：（1）；（2）先画直线，再画三角形和圆，．例3．答案：360 详解：先不考虑左下角那部分，其余6部分可看作5等分圆环染色问题．例4．答案：100 详解：．例5．答案：680 详解：在不考虑旋转和翻转的情况下共有种方法，其中包括翻转后和自己相同的，以及翻转后和自己不同的，考虑旋转和翻转时，前者被计1次，后者被计2次．前者共种，所以共有种不同的染法．例6．答案：详解：每次染色只会用到五种颜色中的四种，先选出四种颜色，有种方法．用所选出的四种颜色染正四面体，任何两种染色方式，总能通过适当的旋转使得两种染色方式的底面和某一个侧面颜色对应相同，其他两个面的颜色可能相同，也可能刚好是对换，因而本质上只有两种不同的染色方式．所以共有种不同的染色方式．45210C ⨯= 455C = 45210C ⨯= ()454802680⨯+÷= 54480⨯⨯= 454⨯ 455100⨯⨯= 22814202268+++++= 2816243240122+++++=练习：练习1、答案：58简答：传球法：1+4+7+8+8+8+8+8+6=58种．练习2、答案：78简答：22814223078+++++=种．练习3、答案：258简答：假设三种颜色是红黄蓝，如果开始A 涂红色，如下图有86种着色方式，而A 有红黄蓝三种颜色涂色，所以有种．练习4、答案：900 简答：91010900⨯⨯=．863258⨯=作业1. 答案：5040简答：圆排列，共有种方法．2. 答案：54简答：百位是2、3、4、5、6、7、8、9时，分别有1、3、6、8、9、9、9、9，共54个黑数．3. 答案：26简答：传球法：588526+++=种．4. 答案：62简答：每增加一个五边形，可与已有的每一个五边形交出10个点进而把平面多分出10部分．共有部分．5. 答案：140简答：482140C ⨯=种染法．210203062+++=8!85040÷=。

六年级下册数学试题-小升初：第07讲：计数综合三(递推法)(含答案)全国通用

1、基本递推计数2、经典传球法3、综合题型例题1：老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇。

如果冬冬每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？计数综合三 --递推法授课提纲情课堂激模块一：基本递推计数一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈2级台阶或3级台阶。

走完这12级台阶，一共可以有多少种不同的走法？例题2：用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表，共有多少种覆盖方法？【练习2】用7个1×2的长方形纸片覆盖一个7×2的方格表，共有多少种覆盖方法？例题3：如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8个圆，最多可以分成几个部分？如果在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分？例题4：用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字。

请问：这样的九位数共有多少个？模块二：经典传球法例题5：四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个。

先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中。

请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？三个人分别穿着红、黄、绿三种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个。

先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过7次传球后球后传到绿衣人手中。

请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？例题6：一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1，这样的七位数一共有多少个？【练习5】一个九位数，每一位都是0或1，而且没有连续的两个1，这样的九位数一共有多少个。

例题7：如下图所示，一个圆环被分成8部分，现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种染色方法？【练习6】如下图所示，一个正六边形被分成6部分，现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种染色方法？模块三：综合题型例题8：圆周上有10个点A1、A2、A3、……、A10，以这些点为端点连接5条线段，要求线段之间没有公共点，共有多少种连接方式？圆周上有12个点A1、A2、A3、··· ···、A11、A12 。

人教版六年级上册数学拓展题及答案

人教版六年级上册数学拓展题1、合唱队原来女生人数占1/3，后来又有3名女生加入，这样女生就占合唱队的4/9。

现在合唱队多少人？（也可列方程解）2、奶奶今年65岁，妈妈的年龄是奶奶的3/5，小红的年龄是妈妈的1/3。

小红今年多少岁？3、馨馨家园去年有96户家庭中拥有电脑，今年比去年增加了1/4。

今年有多少户家庭、拥有电脑？4、光头强看一本书，第一天看了全书的1/6，第二天看了全书的1/5正好是60页。

第一天看了多少页？5、六（2）班有72名学生，男女生人数的比为5∶4，六（2）班男、女生各有多少人？6、操场上有408名学生，老师的人数是学生人数的1/8。

操场上师生一共有多少人？7、一份稿件1/3小时打完，1小时打完这样的稿件3份。

如果1/3小时打完这份稿件的1/2,1小时打完这样的稿件（）份。

8、一件工作，甲先单独完成2/3用了1/5小时，如果全完成，要用（）小时。

9、甲数是乙数的4/5，甲数是乙数的（）%；乙数是甲数的（）%。

10、学校买来300盆花美化环境，其中150盆布置校园花坛，其余的按3∶2分给五、六年级。

五、六年级各分到多少盆？11、用来消毒的碘酒是把碘和酒精按1：50的比混合配制的，现在有35克碘，能配制这种碘酒多少克？12、减数相当于被减数的4/7，差和减数的比是（）13、A是B的2倍，B是C的2/3，A：B：C=（）14、一件工作，甲单独做要15小时完成，乙单独做要12小时完成。

两人合作3小时后，由甲继续做几小时才能完成这件工作的4/5?15、打一份稿件，甲单独打18小时完成，乙单独打30小时完成，甲先打3小时后，剩下的任务由两人合打，还需要多少小时完成？16、一个书架上层放的书是下层的3倍。

如果从上层搬40本到下层，那么两层书架上的书相等。

原来上下层各有多少本？17、有两筐水果，甲筐的个数是乙筐的3倍。

如果从乙筐中拿5个放进甲筐，这时甲筐的个数恰好是乙筐的5倍。

两筐水果共有多少个？（提示：可以列方程解答）18、甲乙两队挖一条水渠，甲队单独挖8天完成，乙队单独挖12天完成。

小学数学计算综合非常完整版题型训练+详细答案

计算综合内容介绍：（1）等比数列错位相减的方法进行求和；（2）简化较复杂的分散算式；（3）“定义新运算”问题；（4）较复杂的数列与数表问题．例题讲解：板块一：基础题型1、计算;2561286432168421)1(++++++++答案：511解析：设S=1+2+4+8+16+32+64+128+256则2S=2+4+8+16+32+64+128+256+512那么S=2S-S=512-1=511⋅++++++++256112816413211618141211)2( 答案：1255256解析：设S=⋅++++++++256112816413211618141211)2( 则12 S=12 +14 +18 +116 +132 +164 +1128 +1256 +151212 S=S-12 S=1-1512 =511512所以S=2×511512 =12552562．计算.33333365432+++++答案：1092解析：设S=3+32+33+34+35+36则3S=32+33+34+35+36+37 2S=3S-S=37-3=2184所以S=2184÷2=10923．计算⋅++++092009200920200920092009951995199519199519951995答案：285287解析：分子化简为1995×（1+10001+100010001）分母化简为2009×（1+10001+100010001）分子分母同时约去1+10001+100010001原式=19952009 =2852874．计算⋅⨯+⨯+⨯655363542152433141 答案：126解析：原式=（40+113）×34 +（50+212 ）×45 +（60+335 ）×56 =40×34 +43 ×34 +50×45 +52 ×45 +60×56 +185 ×56=30+1+40+2+50+3=1265．计算⋅++-++-++-+21100419318217416315214413312211 答案：170334解析：原式=（1+100）×100÷2-（3+99）×33÷2×2+（12 +13 -14 ）×33+12=5050-3366+1914 +12=1703346．规定新运算“*”为：a*b=3 × a – 2 × b.（1）计算：);56*45(*34（2）已知56)45*(*34=x ，求x （1）答案：1310解析：原式= 43 *(3×54 -2×65) =43 *(154 -125) =43 *2720=3×43 -2×2720 =1310（2）答案：1310解析：43 *(x ×54 )=65所以3×43 -2×(x ×54 )=65所以x*54 =（3×43 -65 ）÷2=75所以3×x-2×54 =75所以x=（75 +2×54 ）÷3=13107．图中除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，例如：2.75是2.5和3的平均数，请问：第100行中的各数之和是多少？答案：204解析：各行的和构成一个等差数列：6，8，10，12，14……第100个数为6+（100-1）×2=204，即第100行个数之和为2048．有这样一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和： 0，l ，l ，2，3，5，8，13，21，34，…，请问：这个数列的第1000个数除以8所得的余数是多少？答案：2解析：这一列数除以8的余数分别为：0、1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1、0、1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1……，每12个循环一次，1000÷12=83……4，所以这个数列的第1000个数除以8所得的余数是2。

小学奥数整除与分类计数综合(完整版)

小学奥数整除与分类计数综合5-2-3.整除与分类计数综合知识框架1.熟练掌握整除的性质；2.运用整除的性质解计数问题；3.整除性质的综合运用求计数.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、利用整除的性质分类枚举【例 1】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；⑵一共有多少种满足条件的填法？【考点】利用整除的性质分类枚举【难度】3星【题型】解答【解析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+□+3+2+□是9的倍数，而4+3 +2=9, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．∣依次填入3、6，因为4+3+3+2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数；∣经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法．【答案】（1）43326，（2）12种【例 2】用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?【考点】利用整除的性质分类枚举【难度】4星【题型】解答【解析】现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：偶位奇位∣ 1，8 9，8∣ 1，9 8，8∣ 9，8 1，8∣ 8，8 1，9经过验证，只有第∣种分组法满足前面的要求：189A=+=，98320B=++=，11B A-=能被11整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第∣种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．【答案】4种可能的排法：1988，1889，8918，8819【例 3】在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有多少个？【考点】利用整除的性质分类枚举【难度】4星【题型】解答【解析】1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228【例 4】有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由.【考点】利用整除的性质分类枚举【难度】4星【题型】解答【解析】3个连续自然数的和，一定能够被3整除；4个连续自然数的和，一定能够被2整除，且除以2所得的商是奇数，也就是说它不能被4整除，除以4所得余数为2；5个连续自然数的和，一定能够被5整除．3、2、5的最小公倍数是30，所以满足上述三个条件的最小的数是30．3、4、5的最小公倍数是60，所以60的整数倍加上30就可以满足条件．700601140=⨯+，所以第一个符合题意的数是750601230=⨯+，最大的一个数是990601630=⨯+，共计161215-+=个数，分别为750、810、870、930、990．【答案】750、810、870、930、990．模块二、利用整式拆分进行分类枚举【例 5】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个.【考点】利用整式拆分进行分类枚举【难度】4星【题型】解答【解析】两位数字中能被11整除的数字是11、22、……99这些数字中显然没有这样的数.三位数，设这个三位数为abc ，有13a b c ++=和11a c b +-=，显然有12a c +=，1b =，所以就有913，814，715，616，517，418，319这7个.四位数，设这个四位数为abcd ，∣ 有13a b c d +++=和(a c +)-(b d +)11=中，若12a c +=，1b d +=则3a =或4有2种组合，b 和d 有2种.因此有4种；∣ 有13a b c d +++=和(b d +)-(a c +)11=，1a c +=，12b d +=，则只能1a =，0c =，b 和d 有7种组合.综上所述，这样的数有74718++=个.【答案】18个【例 6】在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a 能使2008+a 能被2007-a 整除。

小学数学《计数问题》练习题(含答案)

小学数学《计数问题》练习题（含答案）知识点：1. 图形的计数.2. 排列组合3. 容斥原理图形计数中常见的几类：1、数线段、三角形，（锐）角的个数.①我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类.如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条.所以共有3＋2＋1＝6(条).②我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类.如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条.数线段时线段的条数与图上的点存在一定的关系.例题中共有4个点，线段的条数为3+2+1=6(条). 由此，我们可以推广到一般情况：如果图中有N个点，那么线段的总条数为：(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+3+2+1即：(1)2n n⨯-第一个图中三角形的个数是：3+2+1=6（个），第二个图中锐角的个数是：4+3+2+1=10（个）数三角形、数角的方法与数线段的的方法相似，所以计算线段总条数的公式，同样也适用于数三角形和数（锐）角.2、数长方形的个数.以BC为宽的长方形有5+4+3+2+1=15(个)(CD上有一条线段就有一个以BC为宽的长方形)；同理：以AB、AC为宽的长方形有15个.共有长方形15+15+15=45(个).注意到在AC上有几条线段就有几个不同的宽： (5+4+3+2+1)×(2+1)=45(个)由此，我们可以推广到一般情况：当一边上含有n条基本线段，另一边上含有m条基本线段时，长方形的总数为(n+…+3+2+1)×(m＋…+3+2+1)．3、数正方形的个数.图中共有正方形9×3+8×2+7×1=50(个)．由此，我们可以推广到一般情况：如果一个长方形的一条边被分成n等份，另一条边被分成m等份，且长和宽上的每一份相等，那么这个长方形中正方形的总数为：nm+(n－1)(m－1)+(n－2)(m－2)+…+(n－m+1)×1(其中n≥m)．如果长方形的两条边都相等，那么就成了一个正方形，如下图：图中共有正方形4×4＋3×3＋2×2＋1=30（个）由此我们可以得出：如果一个大正方形的每条边都被分成n等份，那么这个大正方形中所有正方形的总数为：n2+(n一1)2+(n一2)2+…+32+22+12．在数学竞赛和小升初的考试中，会出现一些比较复杂的图形，这就需要我们根据图形的构成方法和自身特点，选择适当的方法．常见的计数图形的方法有多退少补法、分类法、列表法、转化法等．遇到一些复杂的图形计数问题时，常常需要把几种方法结合起来使用，下面我们就通过一些例题来进行分析.【例1】数一数图中有多少条线段?仔细观察图2—1—2，不难发现其中一共有50个点，运用上面的公式易求线段的总条数．【分析】图中共有线段：49+48+47+46+…+3+2+1=50×(50—1)÷2=1225(条)说明：如果要计数的线段是共线线段，只要数出其中共有几个点，就可以直接运用上面的公式求出线段的总条数．【巩固】数一数，右图中共有线段_______条．【分析】AG，AB中共有线段： (3+2+1)×2=12(条)EF，CD，BC，AC中共有线段(2+1)×4=12(条)所以，总共有线段： 12+12=24(条)．【例2】分别数出图中每个图形中三角形的总个数？【分析】仔细观察图中的两个图形可以发现：每个三角形中，有两条边是由A点引出的，而第三条边是BC或HI上的线段，BC或HI上线段的条数就与三角形的个数一一对应了．于是数三角形个数的问题可以转化为数线段条数的问题．先看图(1)，根据数线段的规律可知，BC边上共有(5+4+3+2+1)=15条线段，也就是说图(1)中有15个三角形．再看图(2)，它仅仅是在图(1)的基础上又画了一条割线所构成的；同样的道理，HI边上也有15条线段，因此以HI边上的线段为第三边的三角形也有15个，所以图(2)中共有(15×2)=30个三角形．解：(1)5+4+3+2+1=15(个)(2)(5+4+3+2+1)×2=30(个)【例3】（北京市第七届“迎春杯”决赛试题）下图中共有____个正方形.【分析】这个图可以先看成是3个没有重叠的4×4正方形来数，然后再把重叠的部分2个2×2正方形的个数减掉.这就利用了多退少补的方法.每个4×4正方形中有：边长为1的正方形42个；边长为2的正方形32个；边长为3的正方形22个；边长为4的正方形12个；总共有42+32+22+12=30(个)正方形．现有3个4 × 4的正方形，它们重叠部分是2个2 ×2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×3—5×2=80（个）【例4】（南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛试题）数一数，右图中三角形共有______个．【分析】利用对称性，分情况计算．类似于△ABH的三角形共有6个；类似于△AGH的三角形共有6个；类似于△ABJ的三角形共有12个；类似于△ABC的三角形共有6个；类似于△AEC的三角形共有2个．于是，图中共有三角形6+6+12+6+2=32(个)．【例5】（第二届“华数杯”决赛试题）图中有多少个平行四边形?【分析】这个题要用分类法来计数更合适，不妨把图1转变为图2来讨论．仔细观察和分析图2可以从以下两个方面来对平行四边形分类：(1)平行四边形的方向，图中阴影部分图形代表三种基本平行四边形，它们组成的平行四边形分别以A、B、C类表示．(2)平行四边形所含基本平行四边形的个数．下面我们列表统计如下：图中平行四边形的个数为：(6+6+2+1)×2+(5+4)=39(个)．说明：在用分类法计数图形时，如何合理地选择分类的标准是非常重要的；恰当地结合列表法来统计，可以化繁为简，一目了然．1、关于排列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，我们把它记做mnp（m≤n），m(1)(2) (1)mnp n n n n m=---+14444244443共个数.其中!(1) (1)nnP n n n==⨯-⨯⨯2、关于组合一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作(1) (1)!mmnn n n mCm⨯-⨯⨯-+=64444744448个数这就是组合数公式.【例6】（1）有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排）【分析】这是个排列问题.由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：种不同的拍照情况．【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?【分析】先排独唱节目，四个节目随意排，有44P=24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，对应23P=6种排法；再在独唱节目之问的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法，由乘法原理，一共有24×6×3=432种不同的编排方法．（2）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班.问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？【分析】这是组合问题.一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法.【例7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第1阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第3阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1到4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛?C=15场，共8个小组，有【分析】第l阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛26C=6场，共4个小组，15×8=120场；第2阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛24有6×4=24场；第3阶段赛2+2=4场．根据加法原理，整个赛程一共有120+24+4=148场比赛．【例8】从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?C=20种选法．由【分析】先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有36乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．【例9】如下图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？【分析】从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B 的全部走法时，只要用加法原理求和即可．解：从A点先经过C到B点共有：1×3=3（种）不同的走法．从A点先经过D到B点共有：2×3=6（种）不同的走法．所以，从A点到B点共有：3+6=9（种）不同的走法．同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“容斥原理”，大家先一起回答两个问题：(1) 如右图（1），两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？(2) 如右图（2），一个正方形每条边上有6个点，四条边上一共有24个点吗？聪明的同学马上就会发现：(1) 两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了.因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2.(2) 四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有 6×4-4＝20(个)点.这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法.当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉.在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.我们用|A|表示有限集A 的元素个数.求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： |A ∪B|=|A|+|B|-|A ∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.图示如右:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A ∩B ，即阴影面积.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A ∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）.【例10】某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人，那么语文成绩得满分的有多少人？【分析】数学或语文至少有一科得满分的有45 - 29=16人，这16个人中数学得满分的有10人，那么数学没有得满分的有6人，这些人必定是语文得了满分，又知有3人两科均得满分，则语文得满分的一共有6+3=9人.【例11】求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？【分析】“既不是5的倍数也不是6的倍数”的反面情况就是“是5的倍数或者是6的倍数”.记A ：1～100中5的倍数，205100=÷，有20个； B ：1～100中6的倍数，4166100ΛΛ=÷，有16个；B A I ：1~100中5和6的公倍数，即30的倍数，10330100ΛΛ=÷，有3个.依据公式，1~100中5的倍数或6的倍数共有3331620=-+个，则既不是5的倍数也不是6的倍数的数有6733100=-个.【例12】学而思画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的.现在知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅？【分析】不是六年级的画中包括五年级的画，同样不是五年级的画中也包括了六年级的画，又16比15大1，说明五年级比六年级多1幅，又知两个年级共有25幅画，则五年级的画有132)125(=÷+幅，因此其他年级的画有31316=-幅.【例13】某校五年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组.已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人.那么三组都参加的有多少人？【分析】设参加语文小组的人组成集合为A ，参加英语小组的人组成集合为B ，参加数学小组的人组成集合为C.A CB 语文数学英语那么不只参加一种小组的人有：110－16－15－21＝58，为|A ∩B|+|B ∩C|+|A ∩C|+|A ∩B ∩C|；不只参加语文小组的人有：52－16＝36|A ∩B|+|A ∩C|+|A ∩B ∩C|；不只参加英语小组的人有：61－15＝46|A ∩B|+|B ∩C|+|A ∩B ∩C|；不只参加数学小组的人有：63－21＝42|B ∩C|+|A ∩C|+|A ∩B ∩C|；于是，三组都参加的人|A ∩B ∩C|有36+46+42－2×58＝8人.【附1】数一数，右图中共有多少条线段？【分析】数线段要分类数：我把它分成两大类：“个人”和“集体”.“个人”：5条；“集体”：3+2+1=6 （条）；共5个这样的集体，所以共5×（3+2+1）+5=35（条）.【附2】（第六届迎春杯决赛）用三根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．用这样的等边三角形如图所示，拼合成一个大的等边三角形．如果这个大的等边三角形的底为20根火柴长，那么一共要多少根火柴？【分析】注意引导学生用“分层数的思路”.把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2=6根火柴；从上向下数第三层用了3×3=9根火柴；…… 从上向下数第20层用了3×20=60根火柴．所以，总共要用火柴：3×(1+2+3+…+20)=630(根)．【附3】（北京市第六届“迎春杯”决赛）如图是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有____种不同的放置方法．【分析】设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有10×9=90种不同的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有9×8=72种不同的放置方法．因此，总共有72×90=6480种不同的放置方法．【附4】有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语.问既懂英语又懂俄语的有多少人？【分析】法1 ：在100人中懂英语或俄语的有：100-10=90（人）.又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：90-75=15（人）.从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的83-15=68（人）就是既懂英语又懂俄语的旅客.法 2 ：学会把公式进行适当得变换，由容斥原理，得：|A∩B|=|A|+|B|-|A∪B|=75+83-90=68（人）.【附5】三年级科技活动组共有63人.在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人.每个同学都至少完成了一项活动.问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【分析】因42＋34＝76，76＞63，所以必有人同时完成了这两项活动.由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，42＋34-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)＝63.由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76-63＝13(人).也可画图分析.1. 如右图，数数有多少个三角形？【分析】法1：常规方法（分类数），第一类（含1个基本三角形，最小的）：1+3+5=9（个）；第二类（含4个基本三角形，次大的）：3个；第三类（含9个基本三角形，最大的）：1个.法2：我们可以换个角度分层，将右图从上到下分成最基本的3层，第一层有1个小三角，第一层有3个小三角，第一层有5个小三角，第一层+第二层有1个较大的三角形，第二层+第三层有2个较大的三角形，第一层+第二层+第三层有最大的一个三角形，所以共：1+3+5+1+2+1=13（个）三角形.在数的过程中注意可将三角形分成尖朝上和朝下两类.2. （第十一届迎春杯决赛）如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么图中包含“*”号的大、小正三角形一共有多少个？【分析】分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个；边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有：1+4+1=6(个)．3. 从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?C=20种选法．由【分析】先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有36乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．4. 某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？分析由组合数公式，共有种不同的选法；由排列数公式，共有p＝42×41×40＝68880342种不同的站法.5. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【分析】A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人：43-37=6，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人：58-37=21.6. 一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了.一班有多少人两项比赛都没有参加？【分析】45-(26＋22-12)=9(人).。

【竞赛题】人教版小学五年级下册数学第05讲《计数综合》竞赛试题(含详解)

第五讲计数综合从三年级开始到现在，我们已经学了很多有关计数的讲次，其中包括枚举法、加乘原理、排列组合、容斥原理等．我们先来做一个简单的小结和复习．枚举法是万能的方法，只要有足够多的时间和精力．并且往往在一些复杂棘手的题目中，别的方法都不能适用，此时就能体会到枚举法的“威力”．使用枚举法时一定要注意有序思考．．．．．加法原理强调的是分类，计数时我们只需选择其中的某一类即可以满足要求，类与类之间可以相互替代．乘法原理强调的是分步，每一步只是整个事情的一部分，必须全部完成才能满足结论，缺一不可．在乘法原理中，步骤顺序的安排往往非常重要．排列与组合：排列的计算公式由乘法原理推导而来，组合的计算公式由排列公式推导而来．从n 个不同的元素中取出m 个（m n ≤），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从n 个不同元素中取出m 个的排列数，记作m n A ．()()()()!121!m n n A n n n n m n m ==⨯-⨯-⨯⨯-+- 从n 个不同元素中取出m 个（m n ≤）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从n 个不同元素中取出m 个的组合数，记作m n C ．()()()()()121!121m mn nn n n n m A C m m m m ⨯-⨯-⨯⨯-+==⨯-⨯-⨯⨯ 在运用排列组合时，有特殊要求的我们往往优先考虑，有时还会用到“捆绑法”和“插空法”.我们今天主要来学习计数中的分类思想，以及正面分类和反面排除的合理选择．分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，将整体问题划分为局部问题，把复杂问题转化为单一问题，然后分而治之、各个击破，最后综合各类的结果得到整个问题的解答．例题1．五张卡片上分别写有0、1、2、3、5，每张卡片各用一次可以组成一些五位数．其中5的倍数有多少个？4的倍数有多少个？分析：一个数是5的倍数，它要满足什么条件？4的倍数呢？练习1．五张卡片上分别写有0、1、2、3、5，每张卡片只能用一次可以组成多少个三位偶数？例题2．（1）用2个1、2个2和1个3可以组成多少个不同的五位数？（2）用1个0、2个1和2个2可以组成多少个不同的五位数？（3）用1个0、2个1和2个2可以组成多少个不同的四位数？分析：先选好1的位置，再选好2的位置，最后选好3的位置，就可以组成五位数．那么有多少种不同的选法？练习2．（1）用1个1、1个2、2个3可以组成多少个不同的四位数？（2）用1个0、1个2、2个3可以组成多少个不同的四位数？（3）用1个0、1个2、2个3可以组成多少个不同的三位数？例题3．数1447、1225、1031有某些相同的特点，每一个数都是以1为首的四位数，且每个数恰好只有两个数字相同（1112，1222，1122这样的数不算），这样的数共有多少个？分析：根据题意可知这样的四位数由三种数字组成，其中有一种数字出现了2次．那么可以根据这个数字所在的数位来分类．练习3．用1、2、3、4这4个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复一次．例如1234、1233和2434是满足条件的，而1212、3331和4444就是不满足条件的．那么，所有这样的四位数共有多少个？例题4和2468相加至少会发生一次进位的四位数有多少个？分析：和2486相加发生进位有好多种情况，比如发生一次进位、发生两次进位、发生三次进位等等，不同的类型太多了．这时不妨考虑下反面．练习4．和250相加至少会发生一次进位的三位数有多少个？例题5．有10名外语翻译，其中5名是英语翻译，4名日语翻译，另外1名英语和日语都很精通，从中找出7人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另3人翻译日语，这两个小组能同时工作，则不同的分配方案共有多少种？分析：这个英语和日语都很精通的人很麻烦，应该优先考虑他．例题6．将右图中的“○”分别用四种颜色染色，只要求有实线段连接的两个相邻的“○”都涂成不同的颜色，共有多少种涂法？如果还要求虚线段连接的两个“○”也涂成不同的颜色，共有多少种涂法？分析：染色时顺序很重要，要遵循“前不影响后”的原则．四色定理四色定理指出每个可以画出来的无飞地地图（飞地是指与本土不相连的土地）都可以至多用4种颜色来上色，而且没有两个相邻的区域会是相同的颜色．被称为相邻的两个区域是指它们共有一段边界，而不是一个点．这一定理最初是由Francis Guthrie 在1853年提出的猜想．很明显，3种颜色不会满足条件，而且也不难证明5种颜色满足条件且绰绰有余．但是，直到1977年四色猜想才最终由Kenneth Appel 和Wolfgang Haken 证明．他们得到了J. Koch 在算法工作上的支持．证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查．这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检．在1996年，Neil Robertson 、Daniel Sanders 、Paul Seymour 和Robin Thomas 使用了一种类似的证明方法，检查了633种特殊的情况．这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的．四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证．最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任．参见实验数学．缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”虽然四色定理证明了任何地图可以只用四种颜色着色，但是这个结论对于现实中的应用却相当有限．现实中的地图常会出现飞地，即两个不相连的土地属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个颜色将会是不够用的．作业1. 计算：（1） 38C =_________；（2） 48A =_________；作业2. （3） 810C =_________；（4）012345555555C C C C C C +++++=_________．作业3. 王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工4人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这8人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法？作业4. 用2个3、3个1和1个0可以组成多少个不同的六位数？作业5. 用2个5、1个2和1个0可以组成多少个不同的三位数？作业6. 与1357相加会发生进位的四位数有多少个？自古一切有成就的人，都很严肃地对待自己的生命，当他活着一天，总要尽量多劳动，多工作，多学习，不肯虚度年华，不让时间白白地浪费掉。

【思维拓展】数学二年级思维拓展之图形计数(附答案)

二年级思维拓展之不规则图形计数1.下图表示"宝塔"，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的。

仔细观察后，请你回答：(1)五层的"宝塔"的最下层包含多少个小三角形?(2)整个五层"宝塔"一共包含多少个小三角形?(3)从第(1)到第(10)的十个"宝塔"，共包含多少个小三角形?2.数一数，有()个长方形。

3.如图有5个点，在两个点之间可以画出一条线段，画出的图形中一共可以得到()条线段.4.将14个大小一样的小正方体摆成下面的图形，然后将表面涂成红色再分开，有()个小正方形的面没有被涂色。

5.找规律：第五排有几颗珠子()6.如下图所示，若每个圆圈里都有五只蚂蚁，问右图中一共应有多少只蚂蚁?7.请把1～9九个数字填入下图中，要求每行、每列和每条对角线上三个数的和都要等于15。

8.请看下图，共有多少个三角形?9.数一数、图中有多少长方形?参考答案1.【答案】(1)数一数"宝塔"每层包含的小三角形数：第几层1234……小三角形数1357……可见1，3，5，7是个奇数列，所以由这个规律猜出第五层应包含的小三角形是9个。

(2)整个五层塔共包含的小三角形个数是：1+3+5+7+9=25(个).(3)每个"宝塔"所包含的小三角形数可列表如下：几层塔一二三四五六七八九十小三角形数149162536496481100凑十法求和：2.【答案】分类计数由一个小长方形组成4个;由两个小长方形组成2个;由四个小长方形组成1个。

所以共有4+2+1=7(个)3.【答案】横排方向有2+1+1=4(条)线段，竖列方向有2条线段，斜向有4条线段，所以共有4+2+4=10(条)线段4.【答案】14个小正方形共有14*6=84(个)面，其中被涂色的有6*4+9*2=42(个)面，那么没有被涂色的应该有84-42=42(个)面5.【答案】第二排比第一排多一个，第三排比第二排多两个，第四排比第三排多三个，第五排比第四排多四个，所以第五排有7+4=11个珠子.6.【答案】一共只有5只蚂蚁.如右图所示，每一个圆圈里都有五只蚂蚁.7.【答案】从1～9这九个数字中，5是处于中间的一个数，而4与6，3与7，2与8，1与9之和都正好是10.所以5应当填在中心的空格中，而其他八个数字应当填到周边的方格中。

数学四年级拓展题50道含答案

四年级数学拓展题50道含答案(1) 2, 6, 10, 14, ( ), 22, 26(2) 33, 28, 23, ( ), 13, ( ) 3(3) 3, 6, 12, ( ), 48,( ), 192(4) 128 , 64 , 32, ( ), 8, () , 2(5) 768 , ( ), 48 , 12 , 3(6) 10 , 11 , 13 , 16 , 20, (), 31(7) 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , ( ), 49 , 64(8) 53 , 44 , 36 , 29 , ( ), 18 , ( ), 11 , 9 , 8(9) 1 , 4 , 8 , 13 , 19 ,( )()(10) 3 , 4 , 6 , 10 , 18 ,(121868157488175 10119 1216411962473530(14)根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形应该填什么数?),()(15 )根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形应该填什么数?(16)根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形应该填什么数?(17) 先计算第一题，然后根据其中的规律，直接写后边几道题的得数12345679X9= 12345679X 18=12345679 X 54= 12345679 X 81 =(18) 找规律，写得数81-18=(8-1)X 9=7X 9=6372-27=(7-2)X 9=5X 9=4563-36=(口- □ )X 9=^X 9=口(19) 有两个油桶,大油桶可以装油5于克,小油桶可以装油3千克。

你能用这两个油桶称出7千克油吗？(20) 某玩具厂把630件玩具装在5个塑料箱和6个治理向，1个塑料箱和3个纸箱装的玩具同样多，每个塑料箱和质量各装多少件玩具?（21）—桶油连桶重180千克，用去一半油候，连桶还有100千克。

问原来油和桶各多少千克?（22）有5盒一样的茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒茶叶中剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的质量相等。

六年级下册数学试题-小升初能力训练：计数综合(解析版)全国通用

第06讲计数综合1：如图，每次只能走一格，从A 到B 有多少条最短路线？2：学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法．我们把学学洗的5个碗过程看成从起点向右走5步（即洗几个碗就代表向右走几步），思思拿5个碗的过程看成是向上走5步（即拿几个碗就代表向上走几步），摞好碗的摞法，就代表向右、向上走5步到达终点最短路线的方法.由于洗的碗要多余拿的碗，所以向右走的路线要多余向上走的路线，所以我们用下面的斜三角形进行标数，共有42种走法，所以共有42种不同的摞法。

BA4242142814514952543211111111【重要一】标数法or 对应法/构造标数3：游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？与类似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A 点沿格线走到B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A 到B 有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A 到B 有42种走法．但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5120=！种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5514400⨯=！！种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有4214400604800⨯=(种)．4：一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有种不同排法.【解析】首先，将8人的身高从低到高依次编号为12345678、、、、、、、，现在就相当于要将这8个数填到一个42⨯的方格中，要求每一行的数依次增大，每一列上面的要比下面的大．下面我们将12345678、、、、、、、依次往方格中填，按照题目规则，很容易就发现：第二行填的的数字的个数永远都小于或等于第一行数字填的个数．而这个正好是“阶梯型标数”题型的基本原则．于是，我们可以把原题转化成：AB 424228145141494553221111111在这个阶梯型方格中，横格代表在第一行的四列，纵格代表第二行的四列，那么此题所有标数的方法就相当于从A走到B的最短路线有多少条．用“标数法”得出从A到B的最短路径有14种，如下图：5：在一次小组长选举中，铮铮与昊昊两人作为候选人参加竞选，一共得了7张选票。

六年级下册数学试题-小升初复习培优讲义：计数综合三(对应法)(含答案)全国通用

1、插板法2、对称法3、综合题型例题1：把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法?如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？计数综合三 --对应法授课提纲情课堂激模块一：插板法龟丞相把7个顶级乌龟壳分给4只小乌龟。

如果每只小乌龟至少分一个，共有多少种分法？如果可以有的小乌龟没有分到乌龟壳，共有多少种方法？例题2：一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？【练习1】有6个鸡蛋，冬冬要在3天内吃完，每天只能吃整数个或者不吃，一共有多少种吃鸡蛋的方法？例题3：某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择。

请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？8名同学做同一道单选题，它有A、B、C、D四个选项，每个同学都选了其中一个选项。

老师为了调查同学们的做题情况，把选择各个选项的人数都做了统计，则有多少种可能的统计结果？模块二：对称法例题4：在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？（注：这里要强调只要位置不完全相同就算不同的，可以重叠。

）在6×6的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由3个单位小正方形组成的图形？例题5：（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点。

如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？【练习5】一只青蛙沿着一条直线跳跃6次后回到起点。

如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？常昊与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，谁先胜4局即获得比赛的胜利。